Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi

8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi

1/72

T.C.SAKARYA NVERSTES

FEN BLMLER ENSTTS

BORSA LEMLERNDEOYUN TEORS KULLANIMI

YKSEK LSANS TEZ

Mat.r. Yldray SANCAK

Enstit Anabilim Dal : MATEMATK

Tez Danman : Yrd. Do. Dr.Hseyin KOCAMAN

Temmuz 2008


2/72


3/72

ii

NSZ

Trkiyede oyun teorisi, son yllarda akademik olduu kadar gnlk hayatta da

-zellikle Akl Oyunlar adl filmin lkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi oda

oldu. Yine son yllarda Nobel Ekonomi dl zellikle oyun teorisi alannda yaplan

almalara verildi. 1994te John Nashin bu dle layk grlmesinden sonra, 2002

ylnda Daniel Kahneman, 2005te Thomas Schelling ve Robert Aumann, 2007de

Leonid Hurwicz, Eric Maskin ve Roger Myerson da bu dllere hak kazanarak, oyun

teorisi alannda yaplan almalara verilen nemi gstermektedirler.

nsan ilikileri ve karlalan doal durumlar karsnda gelitirilecek stratejileri ve

davranlar incelemekte olduka yarar salayan oyun teorisinin, ekonomi alannda

ve zellikle sfr toplaml bir oyun olan borsada kullanlmas ile nasl bir durumla

karlalaca analiz edildi. Piyasann d etkenler ile genel etkilenmesi durumu

dnda, toplam likitte de deime olmad grld.


4/72

iii

NDEKLER

NSZ......................................................

NDEKLER ................................................................................................

ii

iii

EKLLER LSTES ....................................................................................... v

TABLOLAR LSTES....................................................................................... vi

ZET................................................................................................................. viii

SUMMARY...................................................................................................... ix

BLM 1.

RSK VE BELRSZLK ORTAMLARINDA KARAR VERME................. 1

1.1. Giri.................................................................................................. 1

1.2. Temel Kavramlar.......................................................................... 3

1.3. Risk Ortamnda Karar ltleri ....................................................... 5

1.3.1. En iyi beklenen deer lt................................................... 5

1.3.2. En byk olaslk lt.........................................................

1.3.3. Hrs dzeyi lt..

8

9

1.4. Belirsizlik Ortamnda Karar ltleri............................................. 11

1.4.1. Eit olaslkl durumlar(Laplace) lt.....

1.4.2. Ktmserlik (Wald) lt.

1.4.3. yimserlik (Plunger) lt.1.4.4. Genelletirilmi iyimserlik (Hurwicz) lt.

1.4.5. Pimanlk (Savage) lt....

11

12

1314

16


5/72

iv

BLM 2.

OYUNLAR: ATIMA ORTAMINDA KARAR VERME.... 19

2.1. Genel Aklamalar............................................................................ 19

2.2. Sfr Toplaml ki Kiilik Oyunlar.................................................... 21

2.2.1. Genel gsterim ve temel kavramlar........................................ 21

2.2.2. Sfr toplaml iki kiilik oyunun zm................................. 22

2.2.3. Kesinlikle saptanm oyunlarn zm.................................. 24

2.3. Karma Strateji Vektrnn Bulunmas............................................ 28

2.3.1. kier stratejili oyunlarda strateji vektrnn bulunmas 31

2.3.2. ok stratejili iki kiilik oyunlarn zm...... 40

2.3.2.1. Cebirsel zm.... 42

2.3.2.2. Dorusal programlama ile zm.... 44

BLM 3.

DEME (PAY-OFF) TABLOLARININ BORSADA KULLANIMI.. 51

BLM 4.

SONU............ 60

KAYNAKLAR.. 61

ZGEM... 62


6/72

v

EKLLER LSTES

ekil 1. Kazan Matrisi............................................................................... 4

ekil 2.1. Oyunlarn Snflandrlmas........................................................... 20

ekil 2.2. Strateji Belirleme Eilimi.............................................................. 32


7/72

vi

TABLOLAR LSTES

Tablo 1.1. En yi Beklenen Deer lt................................................... 6

Tablo 1.2. En yi Beklenen Deer lt................................................... 6

Tablo 1.3. Talep Dzeyi ve Olaslk............................................................ 7

Tablo 1.4. Hrs Dzeyi lt.................................................................... 10

Tablo 1.5. Eit Olaslkl Durumlar lt................................................. 12Tablo 1.6. Ktmserlik lt.................................................................... 13

Tablo 1.7. yimserlik lt....................................................................... 14

Tablo 1.8. Genelletirilmiyimserlik lt............................................. 15

Tablo 1.9. Genelletirilmiyimserlik lt............................................. 16

Tablo 1.10. Pimanlk lt........................................................................ 16

Tablo 1.11. Pimanlk lt........................................................................ 17

Tablo 1.12. Pimanlk lt........................................................................ 18Tablo 1.13. Pimanlk lt........................................................................ 18

Tablo 2.1. Kazan Matrisi........................................................................... 21


Tablo 2.3. Kazan Kayp likisi............................................................. 23





Tablo 2.8. demeler Matrisi....................................................................... 31



Tablo 2.11. cretlendirme Kararlar............................................................. 37

Tablo 2.12. ndirgenmi demeler Matrisi................................................... 40




8/72

vii


Tablo 2.16. Balang Simpleks Tablosu...................................................... 49

Tablo 2.17. Sonu Simpleks Tablosu............................................................ 49

Tablo 3.1. deme Matrisi............................................................................ 51















9/72

viii

ZET

Anahtar kelimeler: Borsa, oyun teorisi, karar verme, sfr toplam

Saysal bilimin bir rn olmasna ramen sosyal bilimlerde sklkla kullanlan oyunteorisinin genel amac, rakiplerin birbirlerine stnlk salamaya alrkengelitirdikleri stratejilerin ve bu stratejileri gelitirirken kullandklar yntemlerinincelenmesidir. Ekonomi dalnda ve zellikle borsada, oyuncu olarak hisse sahipleri,oyun olarak da devaml surette bu hisse senetlerinin el deitirmesi gz nnealndnda, aslnda oyun teorisinin borsada pek ok kullanm alannnbulunabilecei aikardr.

ncelikle, oyun teorisi ile ilgili temel kavramlar, oyun eitleri ve oyuncularnstratejilerini belirlerken kulland yntemler, borsa ve oyun teorisi ilikisininanlalmas iin gereklidir. u an borsada bulunan yzlerce kat ve milyonlarcahisse senedi sahibinin, 5 adet hisse senedi ve bunlara sahip 4 oyuncu zerindendeerlendirilmesi, borsa mantnn anlalmasna k tutacaktr. Burada esas alnan,piyasadaki toplam miktarn sabit, ancak oyuncular arasnda ve katlar arasnda,

oyuncularn belirledikleri stratejilere bal olarak yaanan kr ve zararlardr.


10/72

ix

USAGE OF THE GAME THEORY AT STOCK EXCHANGE

SUMMARY

Keywords: Stock exchange, game theory, decision making, zero sum

Although, the game theory is a work of numerical science, it is being used at socialscience requently. Aim of the game theory is researching the strategies of rival andused methods in developing these strategies. At the branch of economy andespacially at the stock exchange, in appropriating the share certificate owner asplayer, and exchanging of these certificates as the play, its clear that there are a lotof usage areas of game theory at stock exchange.

In this thesis at first, explained the basic concepts about the game theory, variety ofgames and the methods of the game strategy determination. Its necessary to

understand the affinity between the stock exchange and game theory. At the moment,there are hundreds of share certificates and millions of owners of these certificates. Ihave worked with 5 share certificates different from real ones, and 4 owners to lightthe way for understanding the exchange logic. Total summary is fixed, but gain andloss between players and between certificates dependent on determinated strategies isthe base of this thesis.


11/72

1

BLM 1. RSK VE BELRSZLK ORTAMLARINDA KARAR

VERME

1.1. Giri

Akademik aratrmalarda kullanm alanlar yaygnlatka nemi anlalan bu ara,

1990lardan itibaren Amerikada yaygn olarak uygulanmaya baland. zellikle

ekonomi alannda ihale dzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geni bir

uygulama alan ortaya kt.

Trkiyede oyun teorisi ancak son yllarda akademik olduu kadar gnlk hayatta

da- zellikle de Akl Oyunlar adl filmin lkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi

oda oldu. Aslnda, modern oyun teorisi bugn karsmza kan ekline uzun bir

gelime srecinden sonra ulat. Bu srece ksaca gz atmak Oyun Teorisi isminin

nereden geldiini anlamamza yardmc olabilir.

Satran, poker, bri gibi oyunlarda oyuncularn davranlarn modellemek ve aklc

strateji seimleri zerine alan Macar asll Amerikal John von Neuman, oyunlarzerine ilk makalesini 1928 ylnda yaynlad. Hidrojen bombas ve ilk bilgisayarn

mucitlerinden saylan bu dahi matematiki, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern

ile birlikte, oyun teorisini 1944 ylnda baslan Oyun Teorisi ve Ekonomik

Davran isimli kitaplarnda ilk defa ekonomi alanna tadlar. Bu almada iki

oyunculu, sfr toplaml oyunlar ve ibirliki oyunlar incelediler. John F. Nash,

1950-53 yllar arasnda yaynlad drt almas ile oyun teorisini gelitirdi ve hem

rekabeti hem de ibirliki oyunlarda kullanlabilecek bir denge kavramn ortaya


12/72

2

kard. Halen oyun teorisinin ar ykn onun ortaya att Nash dengesi

ekmektedir. Martin Shubik 1959 basml Strateji ve Pazar Yaps: Rekabet,

Oligopol ve Oyun Teorisi kitabnda rekabeti oyun teorisini ilk defa oligopollere (az

sayda firmann olduu piyasa yapsna) uygulad. 1965te Reinhard Selten, Nash

dengesini yaygn biimdeki oyunlarda (oyuncularn sra ile stratejilerini setikleri

oyunlar) kullanlabilecek ekilde gelitirdi. seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-

68 yllarnda teorinin oyuncularn eksik bilgi sahibi olduu oyunlara nasl

uygulanabileceini gsterdi.

Gittike gelien, oyunlar teorisi, ekonomi bilimi iin olduu kadar, hukuk, politika,

iletme, uluslararas ilikiler ve hatta biyoloji gibi bilimler iin de vazgeilmez bir

matematiksel ara oldu. Ekonomide, zellikle de endstriyel organizasyon alannda

teorik gelimelere yol at ve yn verdi. Oyun teorisi ayn zamanda stratejik

karlamalarn incelenmesinde standart bir dil haline geldi.

Oyunlar, kazanlar asndan sfr toplaml ve sfr toplaml olmayan oyunlar olarak

iki ekilde incelenir. Oyunun , sfr toplaml olarak isimlendirilmesinin sebebi iseoyun sonunda elde edilen kar ve zararn toplamnn 0 a eit olmasdr. Oyunda bir

oyuncunun , dierinin kaybettiini kazanmasndan dolay net kazan 0 a eittir.

Oyunda bir kiinin kazanabilmesi iin dierinin kaybetmesi gerekir. Bu nedenle

oyuncular rakiptirler. Taraflarn ulamak istedikleri amalar atmaktadr.

Oyuncular aralarnda birleerek veya bir kombinasyon yaparak bir kazan

salamalar imkanszdr.


13/72

3

1.2. Temel Kavramlar

Karar Verme: Birden fazla seenek iinden seim yapma ilemidir. Sreklilik

gsteren bir ilevdir.

Karar Sreci:

1. Problem nedir?

2. Seenekler nelerdir?

3. En iyi seenek hangisidir?

Problem nedir? sorusunun doru cevaplanabilmesi iin;

- Karar vericiler ve amalar,

- Karar deikenleri (Kontrol edilebilir deikenler)

- Parametreler (Kontrol edilemeyen deikenler)

- Kstlar belirlenmelidir.

Karar Ortamlar:

- Belirlilik Ortamnda Karar: Parametrelerin deerleri biliniyordur.

- Risk Ortamnda Karar: Parametrelerin olaslklar biliniyordur.

- Belirsizlik Ortamnda Karar: Parametrelerin alabilecekleri deerler

bilinmiyordur.

Strateji: Risk veya belirsizlik ortamnda karar verme srecindeki seenektir. Elde

edilecek sonu ynnden karar vericinin yaklamna baldr.

Doal Durum: Karar verme evresinde kontrol edilemeyen deikenlerin alabilecei

her farkl deer bir doal durumdur.


14/72

4

Risk veya belirsizlik ortamnda karar verme durumunda kalan bir kii:

- Uygulayabilecei stratejileri gelitirir.

-Karlaabilecei doal durumlar saptar.

- Her bir stratejinin bu doal durumlara katksn ler.

- Stratejilerini deerlendirerek seimini yapar.

Karar Matrisi: Karar probleminde, uygulanabilir m tane strateji gelitirilsin.

Bu stratejiler, i = 1,2,3,,m iin Si lerle gsterilsin.

Karlalabilir doal durumlar n tane olsun.Bu doal durumlar, j = 1,2,3,,n iin Dj lerle gsterilsin.

Karar vericinin fayda/deer fonksiyonu, f(Si,Dj) eklinde belirlensin.

i-inci strateji uygulandnda j-inci doal durumla karlalyorsa elde

edilecek fayda f(Si,Dj)=Kij ile gsterilsin.

ekil 1. Kazan Matrisi


15/72

5

1.3. Risk Ortamnda Karar ltleri

Risk ortamnda karar sz konusu iken D1, D2, , Dn doal durumlarnn ayrk ve

btn oluturan olaylar olduu ve j-inci doal durumun ortaya kma olaslnn Pj

olduu gz nne alnrsa,

1

1n

j

j

P=

=

dir.

1.3.1. En iyi beklenen deer lt

Eer problem katk, kazan yapl ise kazanlarn en byne; maliyet yapl ise

masraflarn en kne karlk gelen strateji benimsenir.

j-inci doal durumun ortaya kma olasl Pj ve

i-inci strateji uygulandnda beklenen deer B[Si] ile gsterilsin.

Her bir stratejinin beklenen deeri: [ ]1

n

i j ij

j

B S P K =

=

Kazan yapl problemde [ ]{ } [ ]i r Max B S B S= eitliine karlk gelen r-inci strateji,

Maliyet yapl problemde [ ]{ } [ ]i k Min B S B S= eitliine karlk gelen k-nc strateji

benimsenir.


16/72

6

[ ]{ }i Max B S

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

3

3 0, 4 7 0,6 5,4

8 0, 4 1 0,6 3,8

7 0,4 5 0,6 5,8

B S

B S

B S

= + =

= + =

= + =

rnek 1:ki farkl durum bulunan ortamda olaslklar, stratejiler ve krlaraadaki gibidir:

Tablo 1.1. En yi Beklenen Deer lt

yleyse S3 stratejisi nerilir.

rnek 2: Bir firmann mala olan devrelik talep dalm tablodaki gibidir:

Tablo 1.2. En iyi Beklenen Deer lt

Birim maliyet: 120 TL

Birim sat fiyat: 150 TL

Satlmayan maln deeri yoktur.

xi retim, yj talep, Kij Kr

Talep > retim Kij = (150 120). xi

Talep retim Kij = 150. yj 120. xi

D1 D2Beklenen

Kr

B[Si]Olaslk 0,4 0,6

St

ra

te

iler S1 3 7 5,4

S2 8 1 3,8

S3 7 5 5,8


17/72

7

( )

( )

( )

11

12 13 14 15

21

22 23 24 25

31

32

33 34 35

41

42

150.10 120.10 300

150 120 .10 300

150.10 120.12 60

150 120 .12 360

150.10 120.15 300

150.12 120.15 0

150 120 .15 450

150.10 120.16 420

150.12

K

K K K K

K

K K K K

K

K

K K K

K

K

= =

= = = = =

= =

= = = = =

= =

= =

= = = =

= =

=

( )43

44 45

120.16 120

150.15 120.16 330150 120 .16 480

KK K

=

= =

= = =

Tablo 1.3. Talep Dzeyi ve Olaslk

retim

Dzeyi

0,15

10

0,25

12

0,30

15

0,20

16

0,10

18

Beklenen

Kr

S1

S2

10 300 300 300 300 300 300

12

15

60 360 360 360 360 315

S3 -300 0 450 450 450 225

S4 16 -420 -120 330 480 480 150

S5 18 -660 -360 90 240 540 -60

yleyse, en yksek kra karlk gelen S2 stratejisi benimsenmelidir.


18/72

8

1.3.2. En byk olaslk lt

Risk ortamnda hareket eden baz kiiler, stratejilerini ortaya kma olasl enyksek olan doal duruma gre belirlerler. Bylece problem, belirlilik ortamna

indirgenerek en iyi kazanc veren strateji benimsenir.

Doal durumlarn olasl Pj ler iin { }j dj

Max P P= ise seim d-inci doal duruma

gre yaplr.

{ }id rd Eniyi K K = ise benimsenecek strateji Sr dir.

rnek 3: rnek 1de en iyi beklenen deer ltne gre S3 stratejisinerilirken, D2 nin ortaya kma olasl %60 olduundan en byk olaslk

ltne gre D2nin krlarna baklr ve bunlar arasnda en byk olana gre strateji

belirlenir.

{ } { }2 7,1,5 7i Max K Max= = olduundan S1 stratejisi benimsenir.

rnek 4: Devrelik retimin kararlatrld rnek2de en byk olaslk

ltne gre,

{ }0.15,0.25,0.30,0.20,0.10 0.30Max =

olduundan nc doal duruma gre davranlacak ve talebin 15 adet olduu

varsaylarak bu durumdaki en byk kr;

{ }300,360,450,330,90 450Max =

olduundan bu kra karlk gelen nc stratejideki 15 adet retime karar verilmesi

nerilir.


19/72

9

1.3.3. Hrs dzeyi lt

lgilenilen olayn sonucunda elde edilebilecek katklarn dzeyine ve snrna gredavran belirlenmesidir. Bir iinin kabul edebilecei en dk cret, iletme btesi

planndaki en dk kr, bir mala denmesi gze alnan en yksek fiyat vb.

durumlarda karar vericinin tutumu, nceden belirledii deerlerle karlatrmal

olarak ekillenir.

Bir problemde strateji belirlenmesine esas olan katknn deerine hrs dzeyi, bu

yndeki lte hrs dzeyi lt denir. Bu ltte kr maksimize etmek yada

maliyeti minimize etmek sz konusu deildir.

Kazan yapl problemde hrs dzeyi, olay sonucunda elde edilmesi beklenen en

dk kazantr. Bu durumda, sadece hrs dzeyini (en dk kazanc) veya daha

fazlasn veren stratejiler benimsenebilir. Eer birden fazla stratejinin hrs dzeyinde

kazan salamas sz konusu ise, bunlardan en byk olasla karlk gelen strateji

benimsenir.

Maliyet yapl problemde hrs dzeyi, denmesi gze alnan en byk masraftr.Buna eit veya daha dk olan stratejiler benimsenebilir. Bu ekilde birden fazla

strateji varsa yine en byk olaslk lt uygulanr.

Kazan yapl bir problemde hrs dzeyi Hd ile gsterilsin. Karar verici her stratejiyi

uygulamas halinde elde edebilecei kazancn hrs dzeyine eit yada fazla kma

olaslklar hesaplanr.

{ }{ }

{ }

1 1

2 2

//

/

d

d

d m m

P Kazan H S hP Kazan H S h

P Kazan H S h

=

=

=

M

ile gsterilir ve { }i wi

max h h= ise Sw stratejisinin benimsenmesi nerilir.

Eer son eitlikte birden fazla strateji ayn deeri veriyorsa karar verici bunlardan

birini uygulayabilir.


20/72

10

{ }

{ }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

1

2

3 3 4 5

4 4 5

5 5

400 / 0

400 / 0

400 / 0,60

400 / 0,30

400 / 0,10

P Kr S

P Kr S

P Kr S P D D D

P Kr S P D D

P Kr S P D

=

=

= =

= =

= =

{ }max 0; 0; 0,60; 0,30; 0,10 0,60=

rnek 5: Devrelik retim miktarnn kararlatrlmas istenen rnek-2de devrekrnn en az 400 TL olmasnn istenmesi halinde benimsenecek olan stratejiyi

bulunuz.

zm: Bu rnekte, Hd = 400 olarak verilmitir.

Tablo 1.4. Hrs Dzeyi lt

retim

Dzeyi0,15

10

0,25

12

0,30

15

0,20

16

0,10

18

Beklenen

Kr

S1

S2

10 300 300 300 300 300 300

12

15

60 360 360 360 360 315

S3 -300 0 450 450 450 225

S4 16 -420 -120 330 480 480 150

S5 18 -660 -360 90 240 540 -60

olup,

bulunur ki, en az 400 TL kr elde etmek isteyen karar vericiye nc stratejiyi

benimsemesi yani 15 adet retim yapmas nerilir.

1.4. Belirsizlik Ortamnda Karar ltleri


21/72

11

Doal durumlarn ortaya kma olaslklarnn bilinmedii problemlerde, verilecek

karar belirleyecek olan tutum ve davranlar belirsizlik ortamnda karar ltleri

balnda incelenir.

1.4.1. Eit olaslkl durumlar (Laplace) lt

Doal durumlardan birinin ortaya kma olaslnn, dier durumlarn olaslndan

fazla olmas iin bir neden bulunmadnda her doal durumun ortaya kma olasl

eit kabul edilirse bu yaklama eit olasl durumlar denir. Laplace ltnde, mdoal durum varsa, j inci doal durumun ortaya kma olasl;

( )1

, 1,2,3,...,j

P D j mm

= =

olur ve karlalan problem risk ortamna dntrlm olur.

Bundan sonra da bilinen ltlerle strateji seimi yaplr. Ancak olaslklar eit

olduundan, en byk olaslk ltnn kullanlamayaca aktr.

Laplacen kulland lt, en iyi beklenen deer ltdr. Bu takdirde, i-inci

stratejinin beklenen deeri,

[ ] ( )1 1

i j ij ij ij

j j j

B S P D K K K m m

= = =

olup, Bu deer ilgili stratejiye karlk gelen katklarn aritmetik ortalamas olur.

rnek 6: Bir kazan problemine ilikin karar matrisi aada verilmitir. Laplaceltne gre benimsenecek stratejiyi bulunuz.


22/72

12

Tablo 1.5. Eit Olaslkl Durumlar lt

Stratejiler

Doal Durumlar

(Kij)/3D1 D2 D3

S1 4 3 2 9/3

S2 2 4 2 8/3

S3 5 3 2 10/3

S4 4 1 3 8/3

Bu rnekte durum sz konusu olduundan her birinin ortaya kma olasl 1/3

olarak kabul edilir. Daha sonra stratejilerin beklenen kazanlar bulunur ve en byk

kazan seilirse nc stratejinin benimsenmesi nerilir.

[ ]10

max

3

ii

B S =

1.4.2. Ktmserlik (Wald) lt

Belirsizlik ortamnda karar vermek durumunda kalan karamsar kiilerin izledikleri,

ktlerin iinden az kt olana gre davranma yaklamdr.

Kazan yapl bir problemde uygulanmak istenirse, her strateji karlnda elde

edilebilecek en kk kazanlar bulunur ve bunlardan en byne karlk gelen

strateji benimsenir. Kazan yapl problemde benimsenecek strateji

( ){ }max min ijji

K

ilemiyle bulunur.


23/72

13

Maliyet yapl bir karar matrisinde ktmserlik lt uygulanmak istenirse,

karlalabilir en byk maliyetlerin en kne karlk gelen strateji benimsenir.

( ){min max iji j

K

rnek 7: Bir kazan problemine ilikin karar matrisi aada verilmitir.Ktmserlik ltne gre benimsenecek stratejiyi bulunuz.

Tablo 1.6. Ktmserlik lt

Stratejiler D1 D2 D3 D4 Min(Kij)

S1 -1 3 1 0 -1

S2 2 1 3 1 1 MaxMin

S3 0 -1 2 4 -1

zm: Her bir strateji karl elde edilebilecek en kk kazanlar strateji srasna

gre -1, 1, -1 olup bunlarn en byne karlk gelen strateji S2 dir.

1.4.3. yimserlik (Plunger) lt

Btnyle iyimser karar vericilerin davranlarna ilikin bir genellemedir. Bu lt,

karar vericinin her bir strateji karl elde edebilecei en iyi katklarn en iyisinegre seim yapmasdr.


24/72

14

( ){min min iji j

K

Bu lte gre benimsenecek strateji,

kazan yapl problemlerde, ( ){ }max max iji j

K

maliyet yapl problemlerde, ( ){min min iji j

K ilemleri ile bulunur.

rnek 8: Bir maliyet problemine ilikin karar matrisi aadaki gibi verilmitir.yimserlik ltne gre benimsenecek olan stratejiyi bulalm.

Tablo 1.7. yimserlik lt

Stratejiler D1 D2 D3 D4 Min(Kij)

S1 3 2 5 4 2

S2 2 3 1 5 1

S3 7 3 2 4 2

S4 2 1 3 5 1

Her bir stratejide karlalabilecek en kk maliyetler srasyla 2, 1, 2, 1 dir.

Bunlardan en kne karlk gelen iki strateji vardr. yimserlik ltne gre

seim yapmak isteyen karar verici ikinci yada drdnc stratejiyi uygulayabilir. Bu

iki strateji arasnda fark yoktur.

1.4.4. Genelletirilmi iyimserlik (Hurwicz) lt

yimserlik ve ktmserlik ltleri, belirsizlik ortamlarnda iki u davran biimidir.

Gerek hayatta bu ekilde karar veren says az olduundan, Hurwicz, karar vericinin

ve olayn yapsna gre belirlenecek iyimserlik derecesine gre bir forml

gelitirmitir.


25/72

15

Hurwicz ltne gre, karar vericinin deneyimine, riske katlanabilmesine ve

olayn yapsna bal bir iyimserlik derecesi vardr. Karar probleminde iyimserlik

derecesi ise ( )0 1 ktmserlik derecesi 1 olur.

Karar verici, her bir strateji karlnda elde edebilecei katklarn en iyisini

iyimserlik derecesi ile, en ktsn de ktmserlik derecesi ile arpar. Elde ettii

deerleri toplar ve bu toplamlar iinden en iyisine karlk gelen stratejiyi benimser.

Hurwicz ltne gre seim yapacak olan karar verici, eer problem;

kazan yapl ise, ( ){ } ( ) ( ){ }{ }max .max 1 .minij ijji j

K K + ,

maliyet yapl ise, ( ){ } ( ) ( ){ }{ }min .min 1 .maxij iji j j

K K +

ilemine karlk gelen stratejiyi benimser.

Grld gibi, = 1 ise, kii tamamen iyimser demektir. Bu durumda, kazan

yapl problemde benimsenecek strateji, katklar arasnda, en byklerin en

byn veren max(max) ilemi ile belirlenir.

rnek 9: Bir kazan yapl probleme ilikin karar matrisi aadaki gibi

verilmitir. = 0,3 ise benimsenecek olan stratejiyi bulalm.

Tablo 1.8. Genelletirilmiyimserlik lt

D1 D2 D3

S1 -1 2 3,5

S2 3 -1,5 4,5

S3 2 2,3 -0,5


26/72

16

zm: = 0,3 ise 1 = 0,7 olur. Problem kazan yapl olduundan her strateji

iin,

( ){ } ( ){ }0,3.max 0,7.minij ijjj

K K+

deeri hesaplanr. Bunlar arasndan en byne karlk gelen stratejinin

benimsenmesi nerilir. Bunun iin aadaki ilemler yaplr:

Tablo 1.9. Genelletirilmiyimserlik lt

Strateji max(Kij) min(Kij) 0,3.max(Kij) + 0,7.min(Kij)

S1 3,5 -1 1,05 0,7 = 0,35

S2 4,5 -1,5 1,35 1,05 = 0,30

S3 2,3 -0,5 0,69 0,35 = 0,34

Bu durumda karar vericinin 0,35 iyimserlik derecesine gre birinci stratejiyi

benimsemesi nerilir.

1.4.5. Pimanlk (Savage) lt

Her problemde, benimsenen strateji ile beklenen katklarn yannda, benimsenmemi

olan stratejiler nedeniyle gze alnan kayplar sz konusudur. Sanki karar verilmi

gibi dnlerek, gze alnan kayplar ile maliyet yapl bir karar matrisi oluturulur.

Her doal durum karsnda karar vericinin birinci ncelikle benimseyecei

stratejinin katksna gre dier stratejileri uygulamas halinde gze ald kayplar,

problemin pimanlk matrisini oluturur.

Kazan yapl bir karar matrisi aadaki gibi verilmi olsun:


27/72

17

Tablo 1.10. Pimanlk lt

D1 D2 D3

S1 3 1 7

S2 5 3 1

S3 2 4 3

Bu problemde D1 doal durumu ile karlalaca bilinirse karar verici S2 stratejisini

uygular ve 5 birim kazan salar. Eer S1 benimsenir ve D1 ortaya karsa karar

verici 5 3 = 2 birimlik bir kazanc kayp ettiini varsayar. Pimanlk 2 birimdir.

Eer S3 uyguladnda D1 ortaya karsa, 5 2 = 3 birimlik kazan kayp edilmi

olur. Ancak S2 yi uygular ve D1 ortaya karsa pimanlk duymayacaktr. Benzer

dnceyle, dier doal durumlara karlk gelen pimanlklar da hesaplanrsa, bu

olayda pimanlk matrisi Tablo 1.11. deki gibi olur.


D1 D2 D3

S1 2 3 0

S2 0 1 6

S3 3 0 4

Benimsenecek olan stratejiyi belirlemek iin pimanlk matrisinin ele alnmas

halinde balang probleminin yaps nasl olursa olsun, pimanlk matrisinin maliyet

yapl olduuna dikkat edilmelidir.

Savage, pimanlk matrisinde karar vericinin, en byk pimanlklar iinden en

kne karlk gelen stratejinin benimsenmesini nerir. Pimanlk ltnde

nerilen ilem, maliyet yapl bir problemde ktmserlik yaklamdr. Pimanlk

matrisi maliyet yapl bir problem olarak ele alnr ve belirsizlik ortamnda her

ltle benimsenecek olan stratejiyi benimsemek mmkndr.

Her stunda en az bir sfr olacandan iyimserlik lt her zaman duyarl sonu

vermez.


28/72

18

rnek 10: Bir maliyet problemine ilikin karar matrisi aadaki gibi verilmitir.Pimanlk matrisinden yararlanarak eit olaslkl durumlar ve ktmserlik ltne

gre benimsenecek olan stratejileri bulalm.


D1 D2 D3 D4

S1 5 6 7 6

S2 7 8 4 6

S3 10 10 5 8

zm: Problemin pimanlk matrisi aadaki gibidir.


D1 D2 D3 D4

S1 0 0 3 0

S2 2 2 0 0

S3 5 4 1 2

Eit olaslkl durumlar ltne gre,

3 2 2 5 4 1 2 3min , ,

4 4 4 4

+ + + + =

olduundan, S1 benimsenir. Eer ktmserlik ltne gre seim yaplmak

istenirse,

( ){ } { }min max min 3,2,5 2ijK = =

olduundan, buna karlk gelen S2 nin benimsenmesi nerilir.


29/72

19

BLM 2. OYUNLAR: ATIMA ORTAMINDA KARARVERME

2.1. Genel Aklamalar

atma ortamnda karar verme , rekabet sz konusu olduunda, taraflarn stratejibelirleme kriterleri ve bunlar belirleme olaslklar bilinmediinde ortaya kan bir

durumdur. Bu durumda en iyi stratejiyi seme ii, karlalan doal durumlara gre

deil, baka karar vericinin uygulayabilecei stratejilere baldr. Her karar vericinin,

kendisi iin iyi, kardaki iin tersi durumu salayan stratejiyi belirlerken sergiledii

davranlar bir oyun oluturur. Karlkl atma veya rekabet iindeki karar

vericilerin en iyi stratejiyi bulmalar ile ilgili kavram, teknik, model ve genellemeler

Oyun Kuram balnda toplanr.

Oyun kuramnda esas olan, zel durumlarla kar karya gelen karar vericilerin

dizisel karar verme olanana sahip olmalardr. Karar vericilerin davranlarnda

oyunun belirli evrelerinde duraanlama olur. Bu esnada, karar vericilerin

rakiplerine kar uygulayacaklar stratejiler konusunda belirsizlik yada risk ortamna

gemi olurlar.

Oyun kuramnda kavram, teknik ve stratejilerde aadaki durumlarn gerekletii

durumlar da uygulanr:

1. Oyuna taraf olan kii yada gruplarn uygulayabilecekleri farkl stratejilervardr ve bunlar bilinmektedir.

2. Taraflar, her evrede bir strateji semek zorundadr.3. Taraflar, kendi stratejileri ve kar tarafn stratejileri hakknda tm

ayrntlar bilmektedir.


30/72

20

4. Oyunun herhangi bir evresinde taraflar, kar tarafn hangi stratejiyiuygulayacan kesin olarak bilmemekte ancak bu strateji hakknda sezgi,

ngr gibi deerlendirmelerde bulunabilmektedir.

5. Taraflarn kazan yada kayplar sadece kendi davranlarn deil aynzamanda dier taraflarn uygulayaca stratejilere de baldr.

6. Taraflarn stratejilerine bal olarak dier taraflarn uygulayabilecekleristratejilere gre elde edecekleri kazan ve kayplar olup bunlar taraflarca

bilinmektedir.

Oyunlar, taraflarn saysna ve kazan-kayp durumuna gre u ekilde

snflandrlabilir:

ekil 2.1. Oyunlarn Snflandrlmas

Buna gre oyun trleri kazan-kayp durumlarna gre u balklarda toplanabilir:

- ki kiili sfr toplaml- ki kiili sfr toplaml deil- n-kiili sfr toplaml- n-kiili sfr toplaml deil

Oyuncu says ikiden fazla ve oyun sonunda kazan kayp toplamnn sfrdan farkl

olduu oyunlar iin matematik modelleme ve zm teknikleri yeterince

OYUNLAR

OYUNCU

SAYISI

KAZAN-

KAYIP

STRATEJ

SAYISI

K KLK OK KL SIFIR

TOPLAMLI

SIFIR

TOPLAMLI

DEL

SONLU SONSUZ


31/72

21

gelitirilmemitir. Burada, oyun kuram konusunda, sonlu stratejili, sfr toplaml iki

kiilik oyunlar zerinde durulacaktr.

2.2. Sfr Toplaml ki Kiilik Oyunlar

2.2.1. Genel gsterim ve temel kavramlar

Bu tr oyunlarda iki taraf vardr. Birinin benimsedii stratejiye bal olarak elde

edecei kazan, dierinin kaybna eittir.

ki kiilik bir oyunda taraflar A ve B, bunlarn uygulayabilecekleri stratejiler;

ai: Ann stratejileri , i = 1, 2, 3, . . . , m

bj: Bnin stratejileri , j = 1, 2, 3, . . . , n

iken, A i-inci stratejiyi uyguladnda B j-inci stratejiyi uygulad durumda

Kij: Ann kazanc

- Kij: Bnin kazanc olsun.

Bu durumda, oyunun kazan matrisi u ekilde olur:

Tablo 2.1. Kazan Matrisi

B

Stratejiler b1 b2 b3 . . . bn

a1 K11 K12 K13 K1ma2 K21 . . .

A

a3 K31 . . .

. . . . .

. . . . .

am Km1 . . Kmn

Oyun sfr toplaml deilse, karar matrisinde oyuncularn ayr ayr katk

(kazan/kayp) gstergeleri belirtilmelidir. Sfr toplaml oyunun karar matrisinde


32/72

22

gstergeler, bunlara karlk gelen stratejilere bal olarak taraflarn katklarn

(kazancn yada kaybn) gstermektedir. Kij >0 ise Ann kazanc Bnin kayb,

Kij


33/72

23

uygulanan zel abalara bal olarak karlkl mteri kazan ve kayplar aadaki

gibi bulunmutur:


B Firmas

Stratejiler TV Reklam Radyo Reklam zel Prim

AFirmas

TV Reklam 16 12 -5

Radyo Reklam 8 -2 -4

zel Prim 4 -2 6

A ve B firmalar arasndaki bu oyunda, reklam zellikleri ve ortamlaryla prim

sistemleri, bunlarn uygulayabilecekleri stratejilerdir. Birinin kazanaca mteriyi

dieri kaybedeceinden, sfr toplaml bir oyun sz konusudur. Matristeki deerler,

Ann kazand, ayn zamanda Bnin kaybettii mteriyi gstermektedir.

A firmas TV reklam uyguladnda B firmas da TV reklam uygularsa A 16

mteri kazanacak, B 16 mteri kaybedecektir (-16 kazan). Eer A birincistratejiyi (TV reklam) uyguladnda, B zel prim sistemine giderse, A 5 mteri

kaybetmekte ve B, -5 kayp gstergesi ile 5 mteri kazanmaktadr.

A firmasnn uygulanabilir stratejilerinden hibiri dierine baskn deildir. B firmas

iin kazanlar oyun matrisindeki gstergelerin ters iaretlileridir. Bundan dolay

Bnin birinci stratejisi iin;

Tablo 2.3. Kazan Kayp likisi

Kazan Kayp

- 16 < - 12 12 < 16

- 8 < 2 veya - 2 < 8

- 4 < 2 - 2 < 4

ilikilerinin sonucu olarak, Ann uygulayabilecei stratejilere gre, Bnin radyo ile

reklam stratejisi televizyonla reklam stratejisine baskndr. Yani B firmas TV

reklam stratejisini uyguladnda A firmasna mteri kaptracan bildiinden bunu


34/72

24

yapmak istemeyecektir. Bu durumda oyun aadaki indirgenmi matristen

srdrlecektir.


B

b1 b2

a1 12 -5

A a2 -2 -4

a3 -2 6

2.2.3. Kesinlikle saptanm oyunlarn zm

ki kiilik sfr toplaml bir oyunun kazan matrisi aadaki gibi olsun.


B

A

b1 b2 b3 ............... bn

a1 K11 K12 K13 .......... .......... K1n

a2 K21 .

a3 K31 .

.

.

.

.

. .

. .

. .

am Km1 ........... ........... ........... ........... Kmn

B oyuncusu, Ann uygulayabilecei her stratejiyi bildiinden, Ann davranna

bal olarak en az kayp verecei stratejiyi seecektir. Bu nedenle, A oyuncusu

uygulayaca stratejiyi aratrrken Bnin kar stratejilerini de gz nne alarak, her


35/72

25

strateji karl elde edebilecei en kk kazanlardan hareketle bunlarn iinden

en byk kazanca kar gelen stratejiyi benimser. Bylece Ann strateji seimindeki

davran ktmserlik ltne gre olup, benimsenecek strateji A oyuncusu iin

Kijler kazan gstergesi olduundan,

( ){ }iji j

Max Min K

eklinde belirlenir. Ayn mantkla, B oyuncusu da Ann stratejilerine gre en byk

kayplarn gz nne alarak, bunlarn iinden en kk kayb verecei stratejiyi

benimser. Yani B oyuncusu da genel karar kuramndaki ktmser yaklamla hareket

ederek, Kij ler B oyuncusu iin kayp gstergesi olduundan, benimseyecei strateji;

( ){ }ij

i j Min Max K

eklinde belirlenir.

Buna gre, Ann her strateji karl salayabilecei en kk kazan ve Bnin her

strateji karl urayabilecei en byk kayp, katk matrisine son stun ve son satr

olarak eklenir. A oyuncusu bu en kk kazanlar arasndan en byn (kazan

durumunda ktmserlik lt), B oyuncusu ise en byk kayplar iinden en

kn (kayp durumunda ktmserlik lt) veren stratejiyi

benimseyeceklerdir.

rnek 2:ki kiilik bir oyuna ait katk matrisi aadaki gibi verilsin:


36/72

26


B

b1 b2

a1 - 1 3

A a2 1 2

a3 - 3 - 5

Oyuna A oyuncusu asndan bakldnda, eer A, a1 stratejisini seerse en kk

kazanc -1, a2yi seerse 1 ve a3 seerse -5 birim olmaktadr. Bylece A oyuncusu

iin,

{ }

{ }

{ }

1

2

3

1

1

5

j

j

j

Min K

Min K

Min K

=

=

=

olup, bunlardan A iin en fazla katk salayan a2 olup elde edilecek kazan 1

birimdir.

Buradan grlecei gibi Ann benimseyecei strateji,

( ){ } 1iji j

Max Min K =

eklindeki 2. stratejidir. B oyuncusunun benimseyecei strateji ise;

( ){ }iji j

Min Max K

ltne gre

{ }

{ }

1

2

1

2

i

i

Max K

Max K

=

=


37/72

27

deerlerinin en k olan

{ }1, 2 1Min =

eklindeki 1. stratejidir.

Bu rnekte grld gibi, Ann en iyi stratejisi olarak benimseyecei a2 ile elde

edecei kazan 1 birim olup, bu deer Bnin en iyi strateji olarak benimseyecei b1

ile urayaca kayba eittir. Bu oyunda A ve Bnin nasl davranacaklar aratrlarak

nasl davranmalar gerektii bulunmu yani oyun zlmtr. zmde oyunun

deeri 1 olarak bulunmutur.

ki kiilik sfr toplaml oyunlarda, yukarda karlalan durum genelletirilemez.

Baka bir deyile, oyuncularn uygulayaca en iyi stratejiler her zaman kesinlikle

bulunamaz. Oyunun zlebilirlii konusunu genel olarak incelemek amacyla

aadaki kavrama ihtiya vardr:

Tanm: ki kiilik sfr toplaml bir oyunda;

( ){ } ( ){ }ij iji j j i

Max Min K Min Max K =

ise, oyuna Kesinlikle Belirlenmi Oyun ve bu deere de Tatmin Noktas yada Eyer

(Saddle) Noktas denir.

Oyunda eyer noktas varsa, her iki oyuncunun en iyi stratejileri akr. Bylecetaraflarn uygulayacaklar stratejiler kesinlikle belirlenebilmektedir.

2.3. Karma Strateji Vektrnn Bulunmas


38/72

28

Baz oyunlarda eyer noktas yoktur. Dier bir deyile, taraflarn uygulayabilecekleri

en iyi stratejilere kar katk gstergeleri farkl olabilir. Yani;

( ){ } ( ){ij iji j j i Max Min K Min Max K

durumu sz konusudur. Kesinlikle belirlenmemi bu tr oyunlarda taraflarn nasl

davranacaklar ve nasl davranmalar gerektii sorularna dorudan cevap bulunmaz.

Belirsizlik altnda zel bir karar verme ilemi olan bu tr oyunlarn kesin zm

yoktur.

Taraflar, hangi stratejiyi uygulamalar gerektiini kesinlikle bilmediklerinden, oyuna

bir strateji ile balayacak, kar tarafn uygulad stratejiye bal olarak izleyenaamalarda amacna en uygun gelen stratejilere geecektir. Yani oyun boyunca

taraflar karma strateji uygulayacaklardr.

Kesinlikle belirlenmemi oyunlarn zmyle, oyuncularn kar karya kaldklar

belirsizlik ortamnn risk ortamna dnm yaplr. Bu amala, oyunun en iyi

srdrlebilmesi iin, uygulanacak stratejilerin greli sklklar aratrlr.

Eyer noktas olmayan oyunlarn genel zmn vermeden nce, aadaki rnei

incelemekte yarar vardr.

rnek 3:



39/72

29

B Oyuncusu

b1 b2A'nn En

Kk KazanlarMin(Kij)

AOyuncusu

a1 7 2 2

a2 -3 6 -3

B'nin EnByk Kayplar

Max(Kij)

7 6

Bu rnekte,

( ){ } 2ij Max Min K = , a1 iin

olup, oyunun eyer noktas yoktur.

( ){ } 6ij Min Max K = , b2 iin

A oyuncusu en kk kazanlarn en by olarak a1 stratejisini uyguladnda, B

oyuncusu b2yi uygulayarak 2 birimlik kayba urayacaktr. Ancak Bnin ikinci

stratejiyi uygulayacan bilen A oyuncusu, a2 stratejisini uygulayarak kazancn 6

birim yapabilecektir. Byle bir durumda B oyuncusu b1i uygulayarak Aya 3 birim

kayp verdirebilecektir. Grld gibi, taraflarn hangi stratejiyi niin

benimsemeleri gerektii belirsizdir. Bu oyunun zmyle taraflara uygulanabilir

stratejilerin greli sklklar yani stratejilerin olaslk vektrleri verilerek,

belirsizlikten risk ortamna dn salanr.

ki kiilik sfr toplaml bir oyunda; birinci oyuncunun uygulanabilir stratejilerine

karlk gelen dizin kmesi

{ }1,2,..., I i i m= =


40/72

30

ve ikinci oyuncunun uygulanabilir stratejilerine karlk gelen dizin kmesi

{ }1,2,..., J j j n= =

olsun. Birinci oyuncunun oyun boyunca iinci stratejiyi uygulama saysnn toplamuygulanan strateji saysna oran xi ise, A oyuncusunun karma strateji vektr

[ ]1 2, , ..., , 0 , 1n i i X x x x x x= =

eklinde yazlr.

Ayn ekilde Bnin karma strateji vektr de

[ ]1 2, , ..., , 0 , 1n j jY y y y y y= =

olur. Bu gsterimlerde oyun kesinlikle saptanmamsa oyunun zmyle X ve

Ynin bulunmas amalanr.

Oyuncularn karma strateji vektrlerinin bulunmasyla, her bir oyuncu kar tarafn

hangi stratejiyi hangi sklkla uygulayacan yani hangi stratejiyi hangi olaslkla

benimseyeceini bilir duruma gelmektedir.

2.3.1. kier stratejili iki kiilik oyunlarda karma strateji vektrnn bulunmas


41/72

31

nceki rnekte B oyuncusunun b1 stratejisini greli uygulama skl y1, b2yi greli

uygulama skl y2 olsun.

1 2 1 2, 0 1 y y ve y y + =

olmas gerektiinden, y1 = y alnrsa y2 = 1 y1 yazlr.

Benzer ekilde A oyuncusunun a1 stratejisini benimsemesinin greli skl x iken, bu

oyuncunun a2yi benimsemesinin greli skl 1 x olur. Bylece oyunun demeler

matrisi her stratejinin greli uygulama sklklar ile birlikte,

Tablo 2.8. demeler Matrisi

y 1 y

b1 b2

x a1 7 2

1 x a2 -3 6

eklinde ele alnr.

B oyuncusu b1 stratejisini uygularsa bu stratejinin Aya getirecei beklenen kazan

B[b1], A nn stratejilerini benimseme olaslklar ve her bir strateji karl elde

edecei kazanlara gre;

[ ] ( )1 7 3 1 B b x x=

yazlr.

Benzer ekilde, B oyuncusunun b2 stratejisini benimsemesi halinde Ann beklenen

kazanc,

[ ] ( )2 2 6 1 B b x x= +

eklinde bulunur. B oyuncusunun uygulayabilecei stratejilere gre, Ann beklenen

kazanlar yazlabildiinden A, stratejilerinin skln (genelde karma strateji

vektrn) yukardaki ifadeleri olabildiince bytecek ekilde belirleyecektir.

Dier bir deyile, A, xe deer atarken,


42/72

32

1

1

90

14, ' .

x iin

B b i uygular

Documents

Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi