Upload
m-furqon
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 1/47
STATISTIK BOSE-EINSTEIN
1.1 Sifat Dasar Boson
Sifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari
konsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebut
memenuhi λ= h/mω dengan m massa sistem dan υ laju sistem. Karena m
untuk sistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombang λ cukup besar.
Panjang gelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang
berdekatan menjadi tumpang tindih. Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih
maka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi
gelombang tersebut.
Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekul
gas. massa sistem sangat besar sehingga λ sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi
tumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip
sistem-sistem tersebut dapat dibedakan.
Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku seperti
sistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggi kecepatan sistem sangat besar
sehingga panjang gelombangnya sangat kecil. Akibatnya, tumpang tindih
gelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan.
Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson dan
fermion. Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dariℏ
.
Sistem ini tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi
dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion
memiliki spin yang merupakan kelipatan ganjil dariℏ /2 . Sistem ini memenuhi
prinsip eksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan
yang sama.
1
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 2/47
1.2 Konfigurasi Boson
Statistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose- instein.
!ntuk menentukan fungsi distribusi Bose- instein, kita terlebih dahulu harus
menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar. Konfigurasi ini
memiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi
lainnya sehingga hampir seluruh "aktu sistem boson membentuk konfigurasitersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada
konfigurasi maksimum tersebut. Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem
dalam assembli atas # kelompok sebagai berikut $
Kelompok-% memiliki jumlah keadaan g1 dan eneri rata-rata E1
Kelompok-& memiliki jumlah keadaan g2 dan energi rata-rata E2
-
-
Kelompok-s memiliki jumlah keadaan gs dan energi rata-rata Es
-
-
-
Kelompok-# memiliki jumlah keadaan g M dan energi rata-rata E M
Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika $
2
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 3/47
Terdapat n1 sistem di kelompok-%
Terdapat n2 sistem di kelompok-&
-
-
-
Terdapat n s sistem dikelompok-s
-
-
-
Terdapat n M sistem di kelompok-#
'ika ditinjau kelompok-% di mana terdapat g1 keadaan dan n1
sistem. #ari kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem
dianalogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu
kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja.
!ntuk menghitung jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut $
3
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 4/47
Gambar 1.1 Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson
dalam tingkat-tingkat energi. Untuk merepresentasikan sistemboson, bagian paling bawah harus selalu kursi.
(ari gambar %.%, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung
ba"ah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi )sistem harus
menempati tingkat energi*. +leh karena itu, jika jumlah total kursi adalah g1
maka jumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan harga g1− 1 karena salah
satu kursi harus tetap di ujung ba"ah. Bersama dengan sistem banyak n1 ,
maka jumlah total benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson
adalah ) g1− 1 ¿+n1= g 1+n1− 1. Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang
dapat dilakukan adalah (g1+n1− 1)! .
4
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 5/47
Karenna sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, maka
pertukaran sesame sistem dan sesame kursi tidak menghasilkan penyusunan yang
berbeda. 'umlah penyusunan sebanyakg
(¿¿1+n1− 1 )¿
Secara emplisit
memperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. 'umlah
pertukaran antar sistem adalah n1 ! dan pertukaran jumlah antar kursi adalah
g1 ! . +leh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk n1 boson di
dalam g1 keadaan hanyalah
(g1 +n1− 1 )!n1 !g 1 !
(1.1 )
al yang sama berlaku untuk kelompok-& yang mengandung g2
keadaan dengan populasi n2 sistem. 'umlah cara penyusunan yang berada
sistem-sistem, ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalah
(g2+n2− 1)!g2 ! n2 !
(1.2 )
Terakhir hingga kelompok energi ke-#, jumlah cara penyusunan yang berbeda
untuk n M sistem dalam g M keadaan adalah
(g M +n M − 1)!g M !n M !
(1.3 )
5
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 6/47
Akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan n1
sistem di dalam g1 keadaan, n2 sistem di dalam g2 , ., n M sistem
dalam g M keadaan adalah
(g1+n1− 1)!n1 !g 1 !
×(g 2+n2− 1)!
g 2 !n2 ! ×…×
(g M +n M − 1)!g M ! n M !
=∏s= 1
M (gs+n s− 1)!ns ! gs !
(1.4 )
arus juga diperhitungkan jumlah cara memba"a / sistem dari luar untuk
didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. 'umlah cara pengambilan / sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah
tersebut harus dibagi dengan N!, sehingga jumlah total cara memba"a N sistem ke
dalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!= %. Akhirnya, kita
dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala
W = ∏s=1
M (g s+ns− 1)!n s! g s!
(1.5 )
1.3 Konfigurasi Maksimum
Selanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluang
kemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan )%.0*
∏s= 1
M (g s+n s− 1)!ns !g s !
= ¿∑s= 1
M
ln[(gs+ns− 1)!n s ! g s ! ]= ln ∑
s= 1
M
ln (g s+n s− 1)!− ln ns !− ln gs !(1.6 )
ln W = ln ¿
Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukan
penyederhanaan sebagai berikut $
6
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 7/47
ln (g s+ns− 1)!≅(gs+ns− 1)ln (g s+n s− 1)−( gs+n s− 1)ln g s !≅g s ln g s− g s
ln n s !≅ns ln n s− n s
(engan pendekatan tersebut maka persamaan )%.1* menjadi $
gs+¿ g s
ln W =∑s= 1
M
[(g s+ns− 1)ln (g s+n s− 1)−( gs+ns− 1)]− g s ln ¿
− nsln n
s+n
s(1.7 )
'umlah total sistem serta energi total assembli memenuhi
N = ∑s= 1
M
ns danU = ∑s= 1
M
ns Es
!ntuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran sistem
maupun energi antara assembli dan lingkungan. 'umlah sistem maupun energiassembli constant.
Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini $
δN = ∑s= 1
M
δ ns= 0(1.8 )
δU = ∑s= 1
M
E s δn s= 0 (1.9 )
Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan
memaksimumkan ln W . (engan memperhatikan konstrain pada persamaan )%.2*
dan )%.3* maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi
7
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 8/47
δ ln W +αδN + βδU = 0 )%.%4*
Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan )%.5* diperoleh
W = ¿∑s= 1
M
[δ (g s+ns− 1)ln (g s+n s− 1)− δ (g s+n s− 1)− δg s ln gs+δ g s− δ ns ln n s+δ n s](1.11 )
δ ln ¿
itung suku per suku yang terkandung dalam persamaan )%.%%*
i*
δ (g s+ns− 1)ln (gs+n s− 1)= ∂
∂n 1
(g s+n s− 1)ln (g s+ns− 1)δn s
¿[ln (g s− 1+n s)+(gs+ns− 1)× 1(g s+ns− 1)]δn s
¿[ln (g s− 1+n s)+1]δn s
ii* δ (g s+ns− 1)= ∂
∂ ns(gs+n s− 1)δ ns= δ ns
iii* δgs ln gs=
∂
∂ n s
gs ln gs δ ns= 0
i6* δns ln ns=
∂∂n s
n s ln ns δ n s=[ln ns+n s× 1n s ]δ ns= [ln ns+1]δ n s
Persamaan )%.%%* selanjutnya menjadi
δ ln W ≅∑s=1
M
[ln (g s+ns− 1)+1]δ n s− δ n s− 0+0− [ln ns+1]δ n s+δ n s= ∑s= 1
M
[ln (g s+n s− 1)− ln ns]δ ns
¿∑s =1
M
ln[ gs+n s− 1ns ]δ n s(1.12 )
Karena gs≫1 dan n s
≫ 1 maka gs+n s− 1≅g s+ns sehingga persamaan
)%.%&* dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi
8
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 9/47
δ ln W = ∑s= 1
M
ln[ gs+ns
n s ]δ n s(1.13 )
Subtitusikan persamaan )%.2*, )%.3*, dan )%.%7* ke dalam persamaan )%.%4*
diperoleh
∑s= 1
M
ln[ g s+ns
n s ]δ n s+α ∑s= 1
M
δ ns+ β ∑s= 1
M
E s δn s= 0
Atau
∑s= 1
M
{ln[ gs+n s
n s ]+α + β E s}δ ns= 0(1.14 )
Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua 6ariasi δ n s . 8ni dijamin ika
bagian di dalam kurung selalu nol, yaitu
ln
[ g s+n s
n s
]+α + β E s= 0
g s+ns
ns= exp (− α − β Es)
gs+n s= n s exp (− α − β Es)
gs= ns [exp (− α − β E s)− 1](an akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energi
sebagai berikut
n s= gs
exp (− α − β Es)− 1(1.15 )
9
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 10/47
Ternyata untuk assembli boson, parameter β juga berbentuk β= − 1kT
.
(engan demikian, bentuk lengkap fungsi Bose- instein untuk assembli boson
adalah
n s= gs
exp (− α + E s/kT )− 1(1.16 )
1. !aram"t"r α untuk foton #an fonon
Parameter α pada persamaan )%.%1*. ada satu kekhususan untuk
assembli foton )kuantisasi gelombng elektromagnetik* dan fonon )kuantitasi
getaran atom dalam Kristal* dan ini berimplikasi pada nilai parameter α .
(alam suatu kotak, foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang
berada pada dinding kotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak
harus tetap. 'umlah foton bias bertambah, jika atom-atom di dindingmemancarkan foton dan bias berkurang jika atom-atom di dinding menyerap
foton. !ntuk sistem semacam ini pembatasan bah"a jumlah total sistem dalam
assembli konstan sebenarnya tidak berlaku. Pada penurunan fungsi distribusi
Bose- instein kita telah mengamsusikan bah"a jumlah sistem dalam assembli
selalu tetap, yaitu δN = 0 . Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan
memperkenalkan faktor pengali 9angrange α . +leh karena itu, agar konstrain
ini tidak diberlakukan untuk assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti
foton dan fonon maka nilai α harus diambil nol. (engan nilai ini maka fungsi
distribusi untuk sistem semacam ini menjadi
n s= g s
exp ( Es/kT )− 1(1.17 )
10
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 11/47
A!$IKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN
2.1 %a#iasi B"n#a &itam
Teori tentang radiasi benda hitam menandai a"al lahirnya mekanika kuantum dan
fisika modern. Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalor
11
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 12/47
terbaik. Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton.
'umlah foton dalam kotak tidak selalu konstan. Ada kalanya foton diserap oleh
atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom di dinding
kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlah foton
yang tidak konstan ini maka faktor Bose- instein untuk gas foton adalah
1
e EkT − 1
:ang diperoleh dengan menggunakan α = 0
;oton adalah kuantum gelombang elektromagnetik. kstensi foton
direspresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karena
gelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi )polarisasi*
yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua
kali kerapatan gelombang stasioner, yaitu $
g ( λ)dλ= 8 π
λ4 dλ (1.18 )
(engan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai
λ+dλ adalah
n ( λ)dλ= g( λ)dλ
e E− kT − 1(1.19 )
Karena energi satu foton adalah E= hc / λ maka energy foton yang memiliki
panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ adalah
E ( λ)dλ= hc λ
n( λ)dλ
12
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 13/47
¿ 8 πhc λ5
dλe E /kT − 1
(1.20 )
2.1.1 &ukum !"rg"s"ran 'i"n
<ambar %.& adalah plot ) λ¿ sebagai fungsi λ pada berbagai suhu. Tampak
bah"a ) λ¿ mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai
maksimum pada panjang gelombang λm . Kita dapat menentukan λm dengan
mendiferensial ) λ¿ terhadap λ dab menyamakan λ dengan
dE ( λ)dλ | λm
= 0(1.21 )
Gambar 1.2 Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhu
Berdasarkan persamaan )%.&4* maka
13
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 14/47
E ( λ)= 8 πhc λ5
dλ
e EkT − 1
(1.22 )
!ntuk memudahkan diferensial persamaan )%.&&* persamaan diatas kita misal
x= λkT /hc . (engan pemisalan tersebut maka dapat ditulis
E λ= 8 πhc(kT hc )
5 1
x5(e1
x − 1)(1.23 )
dE ( λ)dλ
= dE ( λ)dx
dxdλ
= kT hc
dE ( λ)dx
¿(kT hc )8 πhc(kT
hc )5 d
dx( 1 x5(e 1 / x− 1))(1.24 )
Agar terpenuhidEdλ = 0 maka pada persamaan %.&= harus memenuhi
ddx( 1
x5(e1 / x− 1))= 0(1.25 )
'ika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikut
(1− 5 x)e1 / x− 5= 0 (1.26 )
/ilai > pada persamaan )%.&1*dapat diselesaikan dengan berbagai cara. 'ika
menggunakan instruksi ?olfram @esearch, maka solusi untuk > yang
memenuhipersamaan 3%.&1* adalah 4,%3=%35. (engan demikian, λm
memenuhi hubungan
14
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 15/47
λm kT hc
= 0,194197
Atau
λm T = 0,194197 hck (1.27 )
dengan menggunakan nilai konstanta k %,72> 10− 23 J / , h 1,1&0 >
10− 34 Js , dan c= 3 × 10 8 m/ s maka kita peroleh
λm T = 2,8 × 10−3 m (1.28 )
Gambar 1.3 Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari
gari .
15
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 16/47
Gambar 1. Warna bintang menun"ukan suhu bintang. Semakain menu"ukewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhubintang semakin rendah apabila menu"u ke warna merah.
Persamaan )%.&2* tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran ?ien. ukum
ini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitas
maksimum yang dipancarkan benda tersebut. #akin tinggi suhu benda makamakin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau "arna benda
bergeser kea rah biru. Ketika pandai besi memanaskan logam maka "arna logam
berubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke
biru-biruan. 8ni akibat suhu benda yang semakin tinggi. ukum pergeseran ?ien
telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrum
elektromagnetik yang dipancarkan. nergi yang dipancarkan benda diukur pada
berbagai panjang gelombang. Kemudian intensitas tersebut diplot terhadap panjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukum
pegeseran ?ien guna memprediksi suhu benda. Pada astronom memperkirakan
suhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh
bintang-bintang tersebut.
2.1.2 !"rsamaan St"fan-Bo(t)mann
16
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 17/47
Sebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semua
jangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga. anya intensitas gelombang
yang dipancarkan berbeda-beda. Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas
yang dipancarkan menuju nol. 'uga ketika panjang gelombang menuju tak
berhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. 8ntensitas
gelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat λ= λm .
nergy total yang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh dengan
mengintegralkan persamaan )%.&4* dari panjang gelombang nol sampai tak
berhingga, yaitu
E=∫0
E ( λ)dλ
¿8 πhc ∫0
1 λ5
dλehc / λkT − 1
(1.29 )
!ntuk menyelesaikan persamaan integral )%.&3* misalkan = hc / λkT
. (engan pemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini $
1 λ
= kT hc
1 λ5 =(kT
hc )5
5
λ= hckT
1
dλ= − hckT
1 2 d
17
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 18/47
Syarat batas yang berlaku bagi y. saat λ= 0 maka y dan saat λ= maka
y 4. (engan demikian, dalam 6ariable y integral )%.&3* menjadi
E= 8 πhc ∫0
(kT hc )
5
5 (− hc / kT 2)de− − 1
¿8 πhc(kT hc )
5( hckT )∫
0 − 5 de − 1
¿8 πhc
(kT
hc )4
∫0 − 5 d
e
− 1
(1.30 )
Persamaan )%.74* merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. ubungan
antara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah
E"ad = cE /4
¿2 πh c 2
(kT
hc )4
∫0
3 d
e
− 1
¿[2 πh c 2( k hc )
4
∫0
3 de − 1]T 4(1.31 )
Persamaan )%.7%* sangat mirip dengan persamaan Stefan-BoltCman. 'adi pada
persamaan )%.7%* kita dapat menyamakan
# = 2 πhc 2( k hc )
4
∫0
3 de − 1
(1.32 )
(engan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkan
∫0
3 de − 1
= 6,49394
18
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 19/47
Selanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain
k = 1,38 x 10− 23 J / ,h = 6,625 x 10− 34 Js,danc = 3 × 10 8 m/ s kita dapatkan nilai
konstanta Stefan-boltCman.
# = 5,65 × 10− 8 W /m2 4
2.1.3 *osmi+ Mi+ro,a " Ba+kgroun# *MB/
Salah satu gejala penting sebagai hasil peristi"a Big bang adalah
keberadaan radiasi yang bersifat isotropic )sama ke segala arah* di alam semesta
dalam panjang gelombang mikro. <ejala ini selanjutnya dikenal dengan i#osmi#
mi#rowa$e ba#kground )D#B*. @adiasi ini benar-benar isotropic. Penyimpangan
dari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu. (ua astronom muda, Arno PenCias
dan @obert ?ilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun %310
dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti. (engan
anggapan bah"a alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelah
dilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini pada
berbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fit
dengan persamaan radiasi benda hitam )%.=* disimpulkan bah"a suhu rata-rata
alam semesta sekarang adalah &,5&0 K.
19
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 20/47
Gambar 1.0 %&' dengan persamaan radiasi benda hitam
Gambar 1. (ariasi suhu alam semesta berdasarkan posisi
Ada sekitar 6ariasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalam
gambar diatas. Bagian ber"arna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna biru
sedikit lebih dingin dengan penyimpangan 4,444& derajat.
2.2 Ka asitas ka(or Krista(
20
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 21/47
(alam Kristal-kristal atom ber6ibrasi. 'ika diselesaikan dengan mekanika
kuantum maka energy 6ibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi. Kuantisasi
getaran atom tersebut disebut fonon. nergy fonon dengan bilangan kuantum n
adalah En=( n+ 12
) ωℏ . Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsi
distribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil α = 0 . ;ungsi distribusi
tersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton.
Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang,
$ , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat
ditulis
U = ∑ ωℏ ($ )exp [ ωℏ ($ )/kT ]− 1
(1.33 )
'ika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi
ω % ($ ), maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebut
adalah
U = ∑ %
∑$
ℏ ω %($ )exp [ℏ ω %($ )/kT ]− 1
(1.34 )
Penjumlahan terhadap $ dilakukan engan asumsi bah"a $ adalah integer.
Tetapi jika $ adalah 6ariable kontinu maka penjumahan terhadap $ dapat
diganti dengan integral dengan melakukan transformasi berikut ini
∑$
& ∫ g % ($ )d$ (1.35 )
21
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 22/47
Tetapi karena ω merupakan fungsi $ maka kita dapat mengubah integral
terhadap $ menjadi integral terhadap ω dengan melakukan transformasi
∑$
& ∫ g % ($ )d$ & ∫ g % (ω )dω (1.36 )
Akhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan )%.7=* menjadi
U = ∑ %
∫ g %(ω ) ωℏ
exp [ ωℏ /k ' T ]− 1dω (1.37 )
(ari definisi energy dalam persamaan )%.75* maka kita dapat menentukan
kapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikut
( ) =dU dT
¿ ddT ∑ %
∫ g %(ω ) ωℏexp [ ωℏ /k ' T ]− 1
dω
¿∑ %
∫ g % (ω ) ddT { ωℏ
exp [ ωℏ /kT ]− 1 } ωdωℏ (1.38 )
!ntuk menyederhanakan persamaan )%.72* mari kita lihat suku diferensial dalam
persamaan tersebut. !ntuk mempermudah kita misalkan = ωℏ /kT . (engan
pemisalan tersebut maka
ddT
= dd
ddT
= − ωℏ
k T 2dd
ddT { ωℏ
exp [ ωℏ /kT ]− 1 }= ddT { 1
e − 1}= − ωℏ
k T 2d
d { 1
e − 1}
22
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 23/47
− ωℏ
k T 2 { 1
(e − 1)2}= ωℏ
k T 2e
(e − 1)2
¿ ωℏ
kT 2exp [ ωℏ /kT ]
(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2
(engan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis
( ) = ∑ %
∫ g % (ω ){ ωℏ
k T 2exp [ ωℏ /kT ]
(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2} ωdωℏ
¿ ωℏ
k T 2∑
%∫ g % (ω ) exp [ ωℏ /kT ]
(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω2 dω (1.39 )
2.2.1 Mo#"( Einst"in
!ntuk mencari kapasitas kalor Kristal, instein mengusulkan model
bah"a semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama, ω0 ,
dengan asumsi ini maka dapat ditulis
g % (ω )= Nδ (ω− ω0)(1.40 )
(i mana δ (ω− ω0) merupakanfungsi data dirac. (engan model ini kita
dapatkan kapasitas kalor Kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesar
( ) = ℏ 2
k T 2∫ g (ω ) exp [ ωℏ /kT ]
(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω 2 dω
¿ ℏ 2
kT 2∫ Nδ (ω − ω0)
exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]− 1 )2
ω2 dω
23
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 24/47
¿ N ℏ 2
k T 2exp [ ωℏ /kT ]
(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω02(1.41 )
!ntuk Kristal 7 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi fonon yang mungkin )arah
sumbu >, y, dan C*. dengan menganggap bah"a ke tiga polarisasi tersebut
memberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas kalor total
menjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan )%.=%*, yaitu menjadi
( ) =3 N ℏ 2
k T 2
exp[ ωℏkT ]
(exp
[ ωℏ
kT ]− 1
)2 ω0
2 (1.42 )
Tinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T & 0 dan T & . dalam kondisi T
& 0 maka e>p E ℏ ω0 /kT ¿≫1 sehingga e>p E ℏ ω 0 /kT ¿− 1* exp[ℏ ω 0
kT ] akibatnya
( ) =3 N ℏ 2
k T 2
exp[ℏ ω0
kT ](exp [ℏ ω 0
kT ])2 ω 0
2
3 N ℏ 2 ω02
k T 2 e
− ℏ ω 0
kT (1.43 )
Perhatikan suku pembilang dan penyebut pada persamaan )%.=7*. jika T & 0
maka suku penyebut T 2 & 0 dan suku pembilang exp[− ωℏkT ]& 0 sehingga
kita dapat mengaproksimasi
24
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 25/47
exp[ℏ ω0
kT ]* 1+ℏ ω 0
kT
(engan aproksmasi ini maka persamaan )%.=&* dapat ditulis menjadi
( ) =3 N ℏ 2
k T 2
1+exp[ℏ ω0
kT ](1+[ℏ ω 0
kT ]− 1)2 ω0
2
* 3 N ℏ 2
k T 2 (ℏ ω 0
kT )2
ω0
2
¿3 Nk = 3(n N + )k
¿3 n ( N + k )= 3 n (1.44 )
(engan N + bilangan A6ogadro, n jumlah mol d an @ N + k konstanta gas
umum. asil ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bah"a kapasitas
kalor persatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 7@.
<ambar %.5 adalah perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalor
intan )symbol* dan prediksi dengan model instein. Terdapat kesesuaian yang
baik antara prediksi model tersebut dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitas
kalor yang menuju nol jika suhu menuju nol dan nilai kapasitas kalor menuju
konstanta dulong-petit pada suhu tinggi.
25
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 26/47
Gambar 1. )apasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan simboldan prediksi menggunakan model kapasitas panas *instein.
#odel instein dapat menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panas
terhadap suhu. Sesuai dengan pengamatan e>periment bah"a pada suhu menuju
nol kapasitas panas menuju nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilai
yang diramalkan (ulong-petit. Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpangan
antara data eksperimen dengan ramalan instein. Pada suhu yang menuju nol,
hasil eksperimen memperlihatkan bah"a kapasitas panas berubah sebagai fungsi
kubik 3 pangkat tiga* dari suhu, bukan seperti pada persamaan )%.=&*. oleh karena
itu perlu penyempurnaan pada model instein untuk mendapatkan hasil yang
persis sama dengan eksperimen.
2.2.2 Mo#"( D"b"4"
Salah satu masalah yang muncul dalam model instein adalah asumsi
bah"a semua fonon ber6ibrasi dengan frekuensi yang sama. Tidak ada justifikasi
untuk asumsi ini. Asumsi ini digunakan semata-mata karena kemudahan
mendapatkan solusi. +leh karena itu hasil yang lebih tepat diharapkan muncul jika
dianggap frekuensi fonon tidak seragam. Asumsi ini digunakan oleh (ebeye
untuk membangun teori kapasitas panas yang lebih teliti. /amun, sebelum masuk
26
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 27/47
ke teori (ebeye kita akan terlebih dahulu membahas kerapatan keadaan untuk kisi
dalam usaha mencari ekspresi yang tepat untuk g (ω ).
;rekuensi getaran kisi dalam Kristal secara umum tidak konstan, tetapi
bergantung pada bilangan gelombang. Persamaan yang menyatakan
kebergantungan frekuensi dengan bilangan gelombang dinamakan persamaan
dispersi, ω = ω ($ ) . (ari persamaan dispersi tersebut dapat diturunkan
persamaan kerapatan keadaan sebagai berikut
g (ω )= - 2 π 2 $ 2
dω /d$ (1.45 )
Kebergantungan ω terhadap $ kadang sangat kompleks. Sebagai contoh,
untuk Kristal satu dimensi, kita peroleh persamaan dispersi
1− cos
( 2 ( m
)¿
¿¿
$a ¿2,
dengan m massa atom, D konstanta pegas getaran kisi, dan a jarak antar atom
dalam kisi )periodisitas*. /amuun, jika $ sangat kecil, atau panjang
gelombang yang besat ) $ = 2 π / λ¿ , jika dapatkan sebuah persamaan
aproksimasi
ω= ) g$ (1.46 )
(engan ) g disebut kecepatan grup. (alam membangun model kapasitas panas,
(eybe mengambil asumsi sebagai berikut $
i. ;rekuensi getaran kisi memenuhi persamaan dispersi ω= ) g$
27
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 28/47
ii. Ada sebuah frekuensi maksimum, ω m yang boleh dimiliki fonon
dalam kristal sehingga tidak ada fonon yang dimiliki frekuensi di atas
ω m .
(ari persamaan dispersi )%.=1* kita dapatkan bah"a untuk ω F ω m ,
k = ω) g dan
dωdk
= ) g sehingga kerapatan keaadaan pada persamaan )%.=0*
menjadi g (ω )= -ω 2
2 π)g 3 . Akhirnya jika gabung dengan asumsi kedua tentan
adanya frekuensi maksimum getaran fonon diperoleh ungkapan umum untuk
kerapatan keadaan sebagai berikut $
g (ω )={ - 2 π) g
3 ω2 , ω . ω m
0 ω >ωm
(1.47 )
Gambar 1.5 )ur$a kerapatan keadaan sebagai +ungsi pada model *instein dan ebeye
28
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 29/47
Perbedaan kur6a kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model instein
dan (eybe diperlihatkan pada gambar %.2. Berapa nilai ω m pada model
(ebyeG !ntuk menentukan ω m kita kembali pada defenisi bah"a g (ω )
adalah jumlah keadaan per satuan frekuensi. Karena frekuensi maksimum fonon
adalah ω m maka integral g (ω ) dari frekuensi 4 sampai ω m memberikan
jumlah total keadaan yang dimiliki fonon, dan itu sama dengan jumlah atom, N .
'adi,
∫0
ωm
g(ω )dω= N
∫0
ω m - 2 πg g
3 ω2
dω= N
-
2 π) g3 ∫
0
ω m
ω2 dω = N
- 2 π) g
3
ω m3
3 = N
:ang memberikan ungkapan untuk frekuensi maksimum
ωm
3 = 6 π) g3 N
- (1.48 )
!ntuk kemudahan mari kita didefenisikan suhu (ebye, / 0 , berdasarkan
hubungan ini
' / 0 = 1ω m(1.49 )
(engan definisi di atas didapatkan
29
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 30/47
/ 0 = 1) g
'
3√6 π 2 N -
(1.50 )
Kita asumsikan bah"a kapasitar kalor kisi yang dihasilkan oleh tiap polarisasi
fonon sama besarnya. Karena terdapat tiga polarisasi getaran yang mungkinan
maka penjumlahan terhadap indeks % dalam persamaan )%.73* mengahasilakan
tiga kali nilai per polarisasi. Akibatnya, tanda sumasi dapat diganti dengan tiga
dan kita peroleh kapasitas panas yang disumbangkan oleh semua polarisasi
menjadi,
e1ωkT − 1
¿¿
¿2¿
ω2 dω¿
e1ω /kT − 1
¿ 3 1 2
kT 2∫
0
ωm
g (ω ) e1ω /kT
¿2
¿g (ω ) e
1ωkT
¿
( ) = 3 12
kT 2∫0
2
¿
ee1ω /kT − 1
¿
¿¿2¿
(¿¿1ω /kT − 1)2 ω2 dω + 12
kT 2∫ω m
2
(0) e1ω /kT
¿
¿ 3 1 2
kT 2∫
0
ω m
( - 2 π ) g
3)e1ω /kT
¿
30
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 31/47
ee 1ω /kT
(¿¿1ω /kT − 1)2 ω4 dω (1.51 )
¿ 3 12
- 2 π ) g3 kT 2 ∫0
ω m
¿
!ntuk menyelesaikan integral pada persamaan )%.0%* kita misalkan
x= ωℏ /kT . (engan permisalan tersebut maka
ω = kT ℏ
x
dω = kT ℏ
dx
Selanjutnya, syarat batas untuk > ditentukan sebagai berikut. 'ika ω= 0 maka
x= 0 dan jika ω= ω m maka x=ℏ ωm
kT =
k / 0
kT = / 0 /T . (engan demikian,
bentuk integral untuk kapasitas panas menjadi
( ) = 3ℏ 2 - 2 π ) g
3 kT 2 ∫
0
/ 0 /T e x
(e x− 1)2 (kT ℏ
x)4 kT ℏ
dx
¿ 3ℏ 2 - 2 π ) g
3 kT 2 ∫
0
/ 0 /T e x x4
(e x− 1)2 dx (1.52 )
Berdasarkan definisi / 0 pada persamaan )%.04* maka dapat ditulis
/ 03= 6 π 2ℏ 3 ) g
3 /k 3 - atau- k 4 T 3
2 π ) g3ℏ
3 = 3 Nk (T // 0 )3 . Subtitusikan hubungan
ini ke dalam persamaan )%.0&* maka diperoleh ungkapan kapasitas kalor dalam
bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut
31
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 32/47
( ) = 9 Nk ( T / 0 )
3
∫0
/ 0 /T e x x4
(e x− 1)2 dx(1.53 )
Selanjutnya integral tidak bergantung lagi pada T dan hasil integral adalah sebuah
bilangan. 'ika menggunakan program &athemati# , maka diperoleh hasil integral
pada persamaan )%.07* adalah
e x x 4
(e x− 1)2 dx= ¿ π 2
15(1.54 )
∫0
¿
(engan demikian, untuk T & 0 diperoleh
( ) * 9 π 2 Nk 15 ( T
/ 0 )3
¿ + T 3(1.55 )
(engan
+ * 9 π 2 Nk 15 / 0
3 (1.56 )
Persamaan )%.01* sangat sesuai dengan hasil eksperimen. Sebaliknya, untuk
T & maka penyebut pada persamaan )%.0&* dapat diaproksmasi
e x− 1 * x
dan pada pembilang dapat diaproksimasi e x * 1 sehingga
( ) = 9 Nk ( T / 0 )
3
∫0
/ 0 /T x4
( x)2dx
32
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 33/47
( ) = 9 Nk ( T / 0 )
3
∫0
/ 0 /T
x2 dx= 9 Nk ( T / 0 )
3 13(/ 0
T )3
¿3 Nk (1.53 )
:ang juga persis sama dengan ramalan (ulong-Petit.
Gambar 1.6 Kapasitas kalor argon padat diukur pada suhu jauh di ba"ah suhu(ebeye. <aris adalah hasil perhitungan menggunakan teori (ebeye)kittel, hal %&0*
<ambar diatas adalah hasil pengukuran kapasitas panas argon padat )titik-titik*
beserta kur6a yang diperoleh menggunakan model (eybe. Tampakbah"a ramalan
(eybe tentang kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu sangat
sesuai dengan hasil pengamatan. Teori (eybe dan instein hanya berbeda pada
suhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksi hasil yang
sangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi ke dua teori memberikan prediksi
yang sama persis sama dengan hukum (ulong-Petit.
2.3 Kon#"nsasi Bos"-Einst"in
33
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 34/47
Gambar 1.17 Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan +enomenakondensasi 'ose-*instein.
Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose- instein. 'umlah sistem yang
menempati keadaan dengan energi En pada suhu T adalah
N ( En ,T )= 1exp
En− 3kT
− 1
Tampak jelas dari ungkapan di atas bah"a pada suhu yang sangat rendah sistem-
sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. 'ika
T & 0 maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah,
tingkat energi kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. 'umlah sistem yangmenempati keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan.
ampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhu
didinginkan hingga dalam orde 10− 14 . <ambar diatas memperlihatkan
e6olusi populasi boson pada tingkat energi terendah )bagian tengah kur6a*. Pada
suhu THHTc hampir semua boson berada pada tingkat energi paling rendah.
34
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 35/47
/amun, ada fenomena yang menarik di sini. Ternyata untuk boson,
keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah yang
sangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari10− 14 .
(engan kata lain,
boson tidak perlu menunggu suhu serendah 10− 14 untuk mendapatkan sistem
dalam jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Pada beberapa
material, seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkat energi
terendah dapat diamati pada suhu setinggi 7K. 'adi terjadi semacam kondensasi
boson pada suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. ;enomena ini dikenal
dengan kondensai Bose- instein.
2.3.1 K"b"rgantungan !ot"nsia( Kimia !a#a Su8u
#ari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose- instein. !ntuk
mudahnya kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi
E0= 0. Populasi keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan oleh
persamaan )%.07*. 'umlah populasi yang menempati tingkat energi terendah )
E0= 0 ¿ adalah
N (0, T )= 1
exp(− 3kT )− 1
(1.54 )
Pada suhu T & 0 hampir semua sistem menempati keadaan dengan energi
terendah. (engan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-
kira sama dengan jumlah total sistem, atau
35
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 36/47
− 3kT
N (0, T )= limT & 0
1exp (¿)− 1
(1.55 )
N * limT & 0
¿
Karena nilai / sangat besar )dalam orde 10 23 ¿ maka ketika T & 0 penyebut
pada %IE
− 3kT
(¿)− 1exp ¿
harus menuju nol. 'ika tidak maka %IE
− 3kT
(¿)− 1exp ¿
tidak akan
menghasilkan nilai / yang snagat besar. /ilai E
− 3kT
(¿)− 1exp ¿
akan menuju nol hanya
jika
− 3kT (¿)
exp ¿ menuju satu. (ari sifat fungsi eksponensial bah"a exp [ x]
mendekati % jika > & 0 . 'adi disimpulan bah"a pada T & 0 akan berlaku
3
kT & 0
maka dapat dilakukan aproksimasi
(− 3kT )* 1− ¿ 3
kT (1.56 )
exp ¿
'adi dapat diaproksimasikan sebagai berikut ini
36
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 37/47
− 3kT 1
exp (¿)− 1= 1
(1− 3kT )− 1 =
− kT 3
N * limT & 0
¿
Atau
3= − kT N
(1.57 )
ubungan pada persamaan )%.05* menyatakan bah"a pada suhu T menuju 4 maka
3 berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi,
pada T % K dan / 10 22 maka 3=− 1,4 × 10− 38 e"g . 8ni adalah nilai yang
sangat kecil. Bahkan nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat
energi terdekat dalam assembli atom helium di alam kubus dengan sisi % cm.
Kebergantungan 3 pada suhu itulah yang menyebabkan peristi"a kondensasi
Bose- instein.
Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose- instein, perhatikan
sistem-sistem yang berada dalam kubus dengan sisi 9. Tingkat-tingkat energi yang
dimiliki assembli memenuhi
E (n x n n 4)= ℏ 2
2 M (π / 5 )2(n x2+n 2 +n 42)(1.58 )
Tingkat energi terendah bersesuaian dengan n x= n = n 4= 1 , yaitu
E (111 )= ℏ 2
2 M ( π 5)
2
(1+1+1)
37
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 38/47
Salah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan n x= n = 1dann 4= 2
yaitu,
E (112 )= ℏ 2
2 M ( π 5 )
2
(1+1+4)
Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalah
6 E = E (111 )− E (112 )= 3 × ℏ 2
2 M ( π 5)
2
'ika assembli tersebut adalah atom helium ( M = 6,6 × 10− 24 g) dalam kubus
dengan sisi % cm makan 6 E ≅2,48 × 10− 30 e"g .
Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama
dan tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik #a>"ell-BoltCman
adalah
N 1 N 0
= exp (− 6 EkT
)
Pada suhu T % mK maka
N 1 N 0
= exp(− 2,48 × 10− 30 e"gk × 10−3 )≅1
asil diatas berarti bah"a pada suhu % mk, tingkat energi terendah dan eksitansi
pertama memiliki populasi yang hampir sama. /amun, dengan statistik Bose-
instein didapatkan hasil yang sangat berbeda. (negan asumsi / 10 20 dan
suhu T % mK maka kita peroleh
3= − kT N
= − k × 10−3
10 22 =− 1,4 × 10− 41 e"g
38
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 39/47
'umlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama )tepat di atas
tingkat energi paling rendah* adalah
N ( E1 ,T )= 1exp
E1− 3kT
− 1
Karena E0= 0 maka E1= 6 E . 9ebih lanjut, mengingat | 3|≪ 6 E maka
E1− 3* E 1= 6 E . (engan demikian
N ( E1 ,T )= 1exp 6 E
kT − 1
1
exp(2,48 × 10 30
k × 10− 3 )− 1
= 5 × 10 10
(engan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalah
N ( E1) N
= 5 × 10 10
10 22 = 5 × 10−12
Tampak bah"a fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. 8ni
berarti bah"a sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.
2.3.2 Su8u Kon#"nsasi Einst"in
Kerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis dengan
0 ( E )= - 4 π 2 (2 M
ℏ2 )3 /2
E1/2(1.59 )
39
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 40/47
Pada suhu T menuju 4 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah dengan
jumlah yang sangat signifikan. 'umlah total sistem dalam assembli dapat ditulis
N ( En)= ¿ N 0(T )+∑n8 0 N ( En) N = ∑ ¿
0 ( E )9 ( E ,T )dE= ¿ N : (T )+ N e (T ) (1.60 )
¿ N : (T )+∫0
¿
(engan N : (T )
adalah jumlah sistem pada tingkat energi terendah dan
N e (T )=∫ 0 ( E)9 ( E , T )dE dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-
tingkat energi lainnya.
(engan mengambil skala energi E0= 0 maka jumlah sistem pada tingkat
energi terendah dapat ditulis
N 0 (T )= 1
exp(− 3kT )− 1
'umlah sistem yang menempati semua tingkat energi lainnya adalah
N e (T )= - 4 π 2 (2 M
ℏ2 )
3 /2
∫0
E 1/2
exp E− 3
kT − 1
dE
- 4 π 2(2 M
ℏ2 )
3/2
∫0
E1 /2
exp (− 3kT
)exp EkT
− 1dE (1.61 )
#isalkan IkT >. (engan demikian
40
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 41/47
( EkT )= ¿exp ( x),dandE = (kT )dx .
√ E= √ kT √ x , exp ¿
Selanjutnya integralnya dapat ditulis
∫0
E1 /2
exp E− 3kT
− 1dE= 3√ kT ∫
0
√ xexp ( x)− 1
dx= 1,03 π 2 kT 3 /2
Akhirnya didapatkan
N e (T )= - 4 π 2 (2 M
ℏ2 )3 /2
× 1,03 π 2 kT 3 /2
¿2,612 n ; - )%.1&*
(engan MkT /2 π ℏ 2 ¿3/2
n; = ¿ dinamakan konsentrasi kuantum.
Kita definisikan suku kondensasi Bose- instein, T E, sebagai suhu ketika
jumlah sistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem.
'adi pada T T E , terpenuhi N e T E ,= N . (engan menggunakan persamaan
)%.1&* didapatkan bah"a pada suhu kondensasi Bose- instein terpenuhi
N = - 4 π 2 (2 M
ℏ2 )3 /2
× 1,03 π 2 kT 3 /2
:ang memberikan
T E= 2 ℏ 2 π Mk ( N
2,612 - )2/3
(1.63 )
41
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 42/47
Gambar 1.11 raksi super+luida sistem yang menempati keadaan dasar dan +luida normal sistem yang menempati keadaan eksitasi dalamassembli boson sebagai +ungsi suhu ketika suhu berada di bawah
suhu kondensasi 'ose-*instein.
Pada sembarang suhu yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem pada
keadaan tereksitasi adalah
N e(T ) N
=( T T E)
3 /2
(1.64 )
Berarti pula bah"a fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah
N 0(T ) N
= 1− N e (T )
N = 1−( T
T E )32 (1.65 )
<ambar %.%% adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energi
terendah N 0 dan boson yang menempati keadaan terkesitasi N e sebagai
fungsi suhu. Boson yang terkodensasi membentuk fase yang dinamakan
superfluida dan boson yang menempati keadaan tereksitasi dinamakan fluida
normal. Superfluida hanya dijumpai ketika suhu T lebih rendah dari T E .
42
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 43/47
*ONTO& SOA$ DAN !EN9E$ESAIAN
%. Perlihatkan menggunakan definisi entropi bah"a ¿ 1kT
Penyelesaian $
ntropi, secara mikroskopik didefinisikan sebagai
<= k ln =
Jariasi kecil, menggunakan 6ariasi
43
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 44/47
= = ¿k ∑s= 1
ln(gs+n s
n s )δ n s
δ<= kδ ln ¿
Karena itu, deri6ati6e terhadap energi dalam hubungan
∑s= 1
M
δ ns {ln (ns+g s)− ln n s+α + β >s}= 0
#emberikan
∂ <∂ ? = k ∑s= 1
M
ln(g
s+n
sn s )
∂ns
∂?
¿k ∑s= 1
M
(α + β >s) ∂ ns
∂ ?
¿kα ∑s= 1
M ∂ n s
∂ ? +kβ ∑
s= 1
M
>s
∂ n s
∂ ?
(engan menggunakan batasan n1+n2+…+ns+…= N dan
n1 >1+n2 >2+…+ns >s+…= E
#aka
∑s= 1
M ∂ ns
∂ ? = ∂ N
∂? = 0
(an
44
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 45/47
∑s= 1
M
>s∂ n s
∂? = ∂
∂? (∑s= 1
M
ns >s)= ∂ ?∂ ?
= 1
Sedangkan
dU = Td<− %d-
:ang berarti pada 6olume tetap
∂ <∂ ?
= 1T
(engan demikian
∂ <∂ ?
= 1T
= kα ∑s= 1
M ∂ ns
∂ ? +kβ∑
s =1
M
>s
∂ ns
∂ ?
1T
= 0+kβ
Atau
β= 1kT
Daftar !ustaka
Abdullah, #ikrajuddin. &443. Pengantar isika Statistik . Bandung. 8TB.
45
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 46/47
Dahn, Sidney B., #ahan, <erald (., /adgorny Boris . uide to Physi#s
Problem Part 0 1hermodynami#s, Statisti#al Physi#s, and 2uantum
&e#hani#s . /e" :ork. Klu"er Academic Publishers.
Pur"anto, Agus. &445. isika Statistik . :ogyajakarta. <a6a #edia.
http$IIschools-"ikipedia.orgI"pItIThermodynamic temperature.htm
diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.& *
http$II""".ho"topo"erthe"orld.comI"hat-is-solar-energy.shtml
diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.7*
http$IIlaunch.yousaytoo.comIGlr@ef :e1A> diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.= *
http$IIkoestoer."ordpress.comI&4%%I47I&&Ikronologi-alam-semestaI diakses
tanggal %0 april &4%& ) gambar %.0 *
http$II""".faktailmiah.comI&4%4I42I&2Imateri-gelap-dan-terang.html diakses
tanggal %0 april &4%& ) gambar %.1 *
http$IIcua.mit.eduIketterle groupIpopular papersIultralo" temperatures.htm
diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.%4 *
:O%MAT !ENI$AIAN KEGIATAN TATA! M;KA MATA K;$IA& :ISIKA STATISTIK
46
7/23/2019 Bose Einstein(2)
http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 47/47
!"ni(aian K"(om ok<In#i i#u =
>u#u( mat"ri a?ar =
No !"mbuatan SA! Skor7@57@67@177/
!"n4am aianmat"ri
Skor7@57@67@177/
Skor
1 I#"ntitas
Tu?uan mata ku(ia8
Stan#ar kom "t"nsi
Kom "t"nsi #asar
In#ikatorMat"ri
"mb"(a?aran
K"giatan
!"mb"(a?aran =
- !"mbukaan- K"giatan Inti- !"nutu
A(at<m"#ia<sumb"r
!"ni(aian
Narasi<ka(imat
;rutan mat"ri
K"mam uanm"n?"(askan
K"mam uan
tan4a ?a,ab
*onto8 soa(
M"#ia !o,"r
oint
2 !"ni(aian In#i i#u
Nama =
1.2.
Kognitif Af"ktif !sikomotor %ata-rata
&ari<tangga( =
Dos"n !"ni(ai =