bouwmechanica-dreisam_stadion.pdf

7/22/2019 bouwmechanica-dreisam_stadion.pdf

1/11

1

Bereken een van de spanten uit het Dreisam-stadion in Duitsland ahv de methode vanCross.

Geometrie en belasting

De spanten staan op tussenafstanden van 7m.

Materiaaleigenschappen

Het gaat om een stalen constructie. De E-modulus van het gebruikte staal is200000N/mm2.

Profieleigenschappen

De staven BC en CG zijn profielen van het type HEB650. Ze hebben een

traagheidsmoment I=210600cm4. De secties van de andere staven (voor zover relevantvoor het bepalen van de snedekrachten) worden getoond in de volgende figuur.


2/11

2

De bij de oplossing gebruikte eenheden zijn kNen m.

Statisch bepaalde delen

Een aantal delen van deze structuur is statisch bepaald en kan dus los van de restberekend worden. Deze delen worden niet opgenomen in de Cross-tabel waardoor het

rekenwerk tot een minimum beperkt blijft. Het grootste isostatische deel is het stuk dathet dak ondersteunt.

De daklast is gegeven per m2 horizontaal geprojecteerd dakoppervlak.

De volgende figuren geven het M-, N- en T-verloop en de verplaatsingen van dezestructuur. Let op de invloed van de helling van de ligger HJ: de verticale daklast werkt

niet loodrecht op de ligger waardoor er een varirende normaalkracht tot stand komt in

HJ. Verder is het belangrijk bij het vrijmaken van de structuur op te merken dat er op A

en I geen moment (door de aanwezigheid van de scharnieren), en geen horizontalekracht uitgeoefend worden (doordat AH een vakwerkstaaf is, AH kan enkel een kracht

parallel met zijn aslijn overdragen), maar enkel een verticale kracht. Omwille van de wetvan actie en reactie werken er vanwege het dak dus ook enkel verticale krachten op de

onderbouw.


3/11

3

Het resterende gedeelte van de structuur ziet er als volgt uit. Merk de (enkel verticale)krachten op die uitgeoefend worden door het weggesneden dak.


4/11

4

De uitkragende staven BI en CG zijn ook statisch bepaald. (De bepaling van de

snedekrachten en verplaatsingen voor deze delen mag je zelf doen.) Daarom snijden weook deze staven weg en brengen we ter hoogte van de snedes de (weggesneden)

snedekrachten weer aan. Zo krijgen we de volgende structuur:


5/11

5

Graad van kinematische onbepaaldheid

Voor deze structuur geldt:

We moeten dus 2 knopen vastzetten en loslaten, nl B en C.

De structuur heeft 1 uitwijkingsmogelijkheid.

Uitwijkingsmogelijkheden en berekingsfases

De enige uitwijkingsmogelijkheid van de structuur is deze:


6/11

6

In fase 0 brengen we de uitwendige last aan, en houden we de uitwijking tegen door eenknooptranslatie te verhinderen. In dit geval kan dat door de horizontale verplaatsing van

knoop A te verhinderen (dmv een verticale roloplegging).

In fase 1 laten we de structuur een (zelf gekozen) uitwijking ondergaan. Kiezen we1=1/300, dan liggen de waarden voor de andere -hoeken vast:

De verbanden tussen de -hoeken kan je in dit geval op het zicht bepalen. Als dat niet

gaat, kan je de formules van Bleich gebruiken (cursus blz C.15).

De verplaatsingen (en omwille van de lineariteit van de structuur ook de vervormingen,

spanningen, snedekrachten, reactiekrachten) van de oorspronkelijke structuur vinden wedan dmv volgende superpositie:

De factor x1 vinden we door uit te drukken dat de totale uitwendige kracht op knoop A in

de oorspronkelijke structuur gelijk is aan nul:

K10 is de reactiekracht die in fase 0 werkt op knoop A, vanwege de aangebrachte

roloplegging.

K11 is de kracht die we in fase 1 op knoop A moeten aanbrengen om de gekozen

verplaatsingen te veroorzaken.

Cross-tabel

Knopen waarmee enkel scharnierende staven verbonden zijn, zetten we niet vast. (Dat

mag wel maar het moet niet en het geeft aanleiding tot veel extra rekenwerk, zie cursusblz 131.) Dit heeft een aantal gevolgen:

# is kleiner want de knopen de we niet vastzetten, tellen we niet mee.

De stijfheden K van de staven met een scharnierend uiteinde moeten gereduceerdworden met een factor 3/4.

De M0-momenten zijn niet dezelfde als die voor tweezijdig stijf verbonden staven. Voorde momenten die je afleest uit de tabel in de cursus betekent dit concreet dat je in een

andere kolom moet kijken. Voor de momenten die je berekent ahv de fundamentelevergelijkingen betekent het dat je de vergelijkingen voor staven met een scharnierenduiteinde gebruiken (cursus blz 112).

Er is geen overdracht van moment van het stijve naar het scharnierende uiteinde. Het

moment op het scharnierende uiteinde is en blijft dus gelijk aan nul. Daarom voorzien wein de tabel geen kolom voor dit uiteinde.


7/11

7

De statisch bepaalde delen die we weggesneden hebben, moeten in principe nietopgenomen worden in de Cross-tabel. Toch voorzien we een kolom voor staaf CG, om

het moment dat vanwege deze staaf op knoop C werkt in rekening te kunnen brengen.De verdeelfactor voor deze uitkragende staaf is gelijk aan nul want hij biedt geenweerstand tegen een rotatie van knoop C.

knoopstaaf

EEB

BBE BA BC

CCB CF CG

EILK

200E6.0000

0.000172

9.000000

1.53E400

200E6.0000 200E6.0000 200E6.0000

0.000172 0.000172 0.002106

9.000000 7.000000 9.710000

1.53E400 1.47E400 17.35E400

200E6.0000 200E6.0000 /0.002106 0.000144 /9.710000 3.500000 /

17.35E400 2.47E400 /v 1.000000 0.075000 0.072000 0.853000 0.875000 0.125000 0.000000

fase 0M0

0BCBCBC

BC

0.000000

0.000000

7.000000

0.000000

2.600000

0.000000

0.500000

0.000000

0.1000000.000000

0.000000 0.00000 0.000000

0.000000 0.00000 -186.700000

14.000000 13.500000 159.200000

0.000000 0.000000 -68.600000

5.100000 5.000000 58.500000

0.000000 0.000000 -12.800000

1.000000 0.900000 10.900000

0.000000 0.000000 -2.400000

0.200000 0.200000 2.0000000.000000 0.000000 0.000000

0.0000000 0.0000000 0.000000

186.700000 0.000000 -109.400000

79.600000 0.0000000 0.000000

-137.300000 -19.600000 0.000000

29.300000 0.000000 0.000000

-25.600000 -3.700000 0.000000

5.500000 0.000000 0.000000

-4.800000 -0.700000 0.000000

1.000000 0.000000 0.000000-0.900000 -0.100000 0.000000

M0 10.200000 20.300000 19.600000 -39.900000 133.400000 -24.000000 -109.400000fase 1

M10

CBCBC

0.000000

-76.300000

0.000000

-0.600000

0.000000

-0.200000

0.000000

0.000000 0.00000 0.000000

-76.300000 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 92.800000

-1.200000 -1.200000 -14.100000

0.000000 0.000000 3.100000

-0.300000 -0.200000 -2.600000

0.000000 0.000000 0.000000

0.0000000 0.0000000 0.000000

0.000000 -212.100000 0.000000

185.600000 26.500000 0.000000

-7.000000 0.000000 0.000000

6.200000 0.900000 0.000000

-1.300000 0.000000 0.000000

1.100000 0.200000 0.000000

M1 -77.100000 -77.800000 -1.400000 79.200000 184.600000 -184.600000 0.000000M 14.000000 24.200000 19.600000 -43.800000 124.200000 -14.800000 -109.400000

Bepaling vermenigvuldigingsfactor

Zoals gezegd berekenen we de vermenigvuldigingsfactor x1 ahv de volgende uitdrukking:

K10 en K11 volgen uit een rotatie- of een translatie-evenwicht van een deel van destructuur. We kiezen hier voor het horizontale translatie-evenwicht van het volgende

deel:


8/11

8

Dwarskrachten op staafuiteinden zijn gemakkelijk te berekenen uit de momenten op destaafuiteinden. Het berekenen van normaalkrachten vraagt meer werk. Daarom schrijven

we (indien mogelijk) best een evenwicht uit waarin geen normaalkrachten voorkomen,zoals in dit geval het horizontale translatie-evenwicht.

Bepaling van K10 (fase 0)

Translatie-evenwicht:

De dwarskrachten volgen uit de momentenevenwichten van de staven:

Invullen in het translatie-evenwicht levert:

Bepaling van K11 (fase 1)

Translatie-evenwicht:

De dwarskrachten volgen uit de momentenevenwichten van de staven:


9/11

9

Invullen in het translatie-evenwicht levert:

Nu K10 en K11 berekend zijn, vinden we voor de vermenigvuldigingsfactor x1:

De totale momenten op de staafuiteinden (in de laatste regel van de Cross-tabel, zie

vorige pagina) vinden we nu door de volgende superpositie:

Verplaatsingen & snedekrachten

Momentenverloop

Rekening houdend met de uitwendige belasting kunnen we uit de momenten die op de

staafuiteinden werken (en die we geschreven hebben in de onderste regel van de Cross-

tabel) het momentenverloop in de ganse structuur afleiden:

Verplaatsingen (schets)

De verplaatsingen van de structuur zijn moeilijk af te leiden uit het momentendiagram en

het verloop van de uitwendige belasting: je kan uit geen van beide afleiden of de


10/11

10

structuur naar links of naar rechts zal uitwijken. Maar we kunnen de verplaatsingen in deoorspronkelijke structuur berekenen dmv de superpositie:

De uitwijking in fase 0 is nul, de uitwijking in fase 1 is deze die we gekozen hebben, nleen uitwijking naar rechts. Aangezien de vermenigvuldigingsfactor negatief is, wijkt de

structuur uit naar links. Zo vinden we de volgende verplaatsingen:

Verplaatsingen (berekening)

De grootte van de knoopuitwijkingen kunnen we dmv dezelfde superpositie bepalen. Deuitwijking in fase 0 is (per definitie) gelijk aan nul, die in fase 1 kan je berekenen ifv de

-hoeken die je gekozen hebt. Zo vinden we vb voor knoop B een horizontaleverplaatsing van 0.0015 naar links.

Je kan deze verplaatsing ook berekenen met de methode van de virtuele arbeid, gebruikmakend van een isostatische deelstructuur (zie cursus blz 73-77). Als isostatische

deelstructuur kiezen we hier de volgende:

We zoeken de horizontale verplaatsing van knoop B naar rechts, dus brengen we op

knoop B een horizontale eenheidslast naar rechts aan. Dit geeft aanleiding tot het

volgende momentenverloop ms:


11/11

11

De verplaatsing berekenen we nu als volgt:

Een negatieve waarde -0.0015 voor de verplaatsing naar rechts betekent eenverplaatsing van 0.0015m naar links.

De eerste methode (superpositie van de knoopverplaatsingen in de verschillende fases) is

duidelijk de snelste en dus de beste. Maar ze is alleen bruikbaar voor de berekening vande translaties van knopen. Wanneer je de rotatie van een knoop of de translatie/rotatie

van een punt tussen de knopen (in het midden van een staaf) moet berekenen, gebruikje best de tweede methode.

Documents

bouwmechanica-dreisam_stadion.pdf