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Appunti su

RIDUTTORI A VITE

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In queste poche pagine si raccolgono

alcune considerazioni cinematiche e dinamiche

sui riduttori epicicloidali.

Questi appunti, attualmente ancora in bozza,

no pretendono di essere esaurienti o di sostituire trattazioni

riportate in libri di testo, ma sperano di essere utili a chi studia l’argomento.


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5

1.1 - Generalità

I riduttori a vite senza fine – ruota elicoidale sono anche detti riduttori a vite. Essi hanno la

possibilità di collegare alberi ad asse sghembo con rapporti di trasmissione elevati, dell’ordine del

centinaio, con un intervallo che va dalla metà di questo valore, al doppio. Altri tipi di riduttori che

possono offrire rapporti di trasmissione di questo ordine di grandezza sono i riduttori epicicloidali,

convenzionali o meno, ad uno o più stadi. Altri parametri fondamentali da tenere in considerazione,

per la scelta, sono il rendimento, la rigidezza, i giochi e gli ingombri.

In figura 1.1 si vede un tipico schema di riduttore a vite con la sua scatola.

Figura 1.1 – riduttore a vite

I riduttori a vite sono realizzati con accoppiamento vite-ruota cilindrica, hanno bassi rendimenti

rispetto ad altri accoppiamenti di ruote dentate cilindriche, hanno la possibilità di realizzare

facilmente la condizione di irreversibilità del moto.

1.2 - Rapporto di trasmissione

Nel caso, frequente, di assi sghembi e perpendicolari di vite e ruota, in un piano perpendicolare

all’asse della ruota e contenete l’asse della vite, si ha schematicamente la situazione di figura 1.2.

Osservando il sistema si ha, sul piano contenente l’asse della vite, una situazione equivalente ad una

dentiera (vite) che ingrana con una ruota dentata cilindrica a denti diritti (ruota), come quella

rappresentata in figura 1.2c. A fronte di una traslazione della dentiera equivalente, 1, ad una

velocità V si ha una rotazione della ruota, 2, alla velocità angolare ω2.

1 - albero di ingresso, motore 2 – vite 3 – ruota elicoidale 4 – albero di uscita, condotto 5 - scatola

1

2

3

4

5


6

Siano:

r1 raggio della primitiva della vite 1

r2 raggio della primitiva della ruota 2

z1 numero di principi della vite

z2 numero di denti della ruota

Pa passo assiale dell’elica della vite misurato sulla primitiva

Pe=(z1 Pa) passo dell’elica della vite della vite misurato sulla primitiva

P2= passo frontale della ruota elicoidale 2

Figura 1.2 – ingranamento vite – ruota

Quando la ruota gira, gira anche la vite. La dentiera equivalente si muove a velocità V:

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1 22ω

πω

πae PzPV ==

Il moto è equivale a quello di una dentiera a denti trapezi con angolo di pressione θ (se la vite ha

filetto a profilo trapezio, come quasi sempre è) che ingrana con una ruota a denti a profilo di

evolvente di circonferenza.

a c

r1

r2

ω1

ω2 2θ

ω2

V θ

b


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La velocità V è anche la velocità circonferenziale della primitiva della ruota:

12

1

22 2

ωπ

ωrPz

rV a==

essendo, per l’ingranamento, Pa=P2 allora Paz2=2πr2.

Il rapporto di trasmissione vale 1

2

2

1

zzi ==

ωω , la ruota può avere molti denti, la vite anche un solo

principio. L’ordine di grandezza del rapporto di trasmissione i può essere delle centinaia.

Esiste uno strisciamento tra vite e ruota, che influisce in modo importante sul rendimento della

trasmissione. Le velocità delle polari del moto di vite 1 e ruota 2 sono V1=ω1r1, V2=ω2r2. Queste

due velocità sono perpendicolari tra loro, se gli assi di vite e ruota sono perpendicolari.

Si osservi la figura 1.2. Con α si è indicato l’angolo tra la traccia del filetto e la direzione

perpendicolare all’asse della vite.

Figura 1.3 – schema delle velocità al contatto dei denti

Le velocità perpendicolare ai denti, V1⊥ e V2⊥, sono uguali, poiché i denti restano a contatto e,

dunque, né si compenetrano né si separano: sono polari del moto.

ω1 velocità angolare della vite; ω2 velocità angolare della ruota; V1 velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V2 velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; V1// componente parallela al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V2// componente parallela al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; V1⊥ componente perpendicolare al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V1⊥ componente perpendicolare al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; Vr velocità relativa dei due profili di denti: velocità di strisciamento

ω1

ω2

V1=ω1r1

V2=ω2r2

V2//

V1//

V2⊥

V1⊥

α

asse della vite

asse

del

la ru

ota

Vr


8

( ) ( )( ) ( )

( ) 1

2

1

2

2

1

2211

21

21

1cossin

cossin

zz

tgrr

rrVV

VV

==

==⊥⊥=

αωω

αωαωαα

la velocità di strisciamento sarà la somma algebrica delle velocità parallele al profilo e sarà parallela

alle V1// e V2//, nella figura 1.2 è indicata con Vr.

( ) ( )( ) ( )αωα

αωαsinsin//

coscos//////

2222

1111

21

rVVrVV

VVVr

====

+=

la velocità di strisciamento o relativa sarà parallela alla superficie dei denti a contatto:

( ) ( )( ) ( )αωαω

ααcoscos

coscos

2211

21

rrVVVV

r

r

+=+=

1.2 - Forze scambiate

Per quanto riguarda le forze scambiate ci si può riferire allo schema di figura 1.4.

Figura 1.4 – forze scambiate fra vite e ruota

z

z

ω1 C1

ω1 C1

y

ω2 C2

r2

r1 Fz

Fx F

Fz

Fy

F

θ

α

x


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Si ipotizzi, per il momento, attrito nullo. La risultante delle forze scambiate sarà perpendicolare alla

superficie dei denti a contatto. Si definisce un sistema di riferimento (x, y, z), in cui l’asse x è

parallelo all’asse della ruota, l’asse z è parallelo all’asse della vite e y di conseguenza per una terna

destrorsa. Il piano (yz) contiene il piano medio della ruota e l’asse della vite. Il piano (xz), invece

conterà l’asse della vite e sarà parallelo all’asse della ruota.

In assenza di attrito, la forza risultante F scambiata tra i denti, perpendicolare alla superficie dei

denti a contatto, sarà inclinata sia rispetto al piano (x,z), dell’angolo di inclinazione dell’elica α, sia

rispetto al piano (y,z) dell’angolo di pressione θ.

sarà:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).coscoscos

;coscoscos;cos;cos

;cos;cos

αθα

θαθ

θαθαθα

θ

α

FFF

FFFsenFsenFFsenFsenFF

FFFF

xzz

yzz

yzy

xzx

xz

yz

==

==

====

=

=

Il momento agente dal motore sull’albero della vite 1 e dall’albero dell’utilizzatore sulla ruota 2

saranno rispettivamente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )θαθ

αθαcoscoscos

cos

2222

1111

FrFrFrCsenFrsenFrFrC

yzz

xzx

======

Infatti, in assenza di attrito il rendimento è unitario:

( ) 111

1

2

11

22 ===itgr

rCC

αωωη essendo ( )αω

ωtgr

ri 1

2

1

2

1 ==

Nel caso, frequente, in cui sia presente attrito tra vite e ruota, la forza F normale al contatto sarà

accompagnata da una forza di attrito tangenziale al contatto fFFT = , dove f è il coefficiente di

attrito.

In questo caso esisterà una componnte ( )αcosfFFTx = che, con braccio r1, darà luogo ad un

momento resistente sulla vite CT1, che si somma al momento motore del caso senza attrito C1:

( )αcos111 fFrFrC TxT == . Anche sulla ruota ci sarà una forza fFFT = , essa darà un contributo

penalizzante, CT2, rispetto al momento C2, che sarà ( )αfFsenrFrC TzT 222 == .

Il momento in ingresso sarà

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ααθααθ coscoscoscos 111*1 fsenFrfFsenFrFFrC Txx +=+=+=


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il momento in uscita sarà:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]αθααθα fsenFrfFsenFrFFrC Tzz −=−=−= coscoscoscos 222*2

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )αααθαθαα

ααθαθα

ωωη tg

fsenfsentg

rr

fsenFrfsenFr

CC

coscoscoscos

coscoscoscos

2

1

1

2

1*1

2*2

+−

=+−

==

A scopo di verifica, si noti come questa espressione di η abbia valore unitario per f=0.

1.3 - Reversibilità del moto della trasmissione vite-ruota

Nel caso di moto inverso, in cui il motore sia collegato alla ruota, la vite sarà soggetta ad un

momento che tenderà a farla muovere dovuto a Fx per il suo braccio r1 e sarà presente una azione

antagonista contraria al moto di rotazione della vite dovuta a FTX per il suo braccio r1.

Questo, ricordando l’espressione di Fx e di FTX si traduce nella condizione seguente, per il

coefficiente di aderenza massimo:

( ) ( ) ( ) fsen ααθ coscos =

Il coefficiente di aderenza massimo f, ed il corrispondente massimo angolo di aderenza φ, per avere

reversibilità del moto risulta:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )θαφ

θαφθα

cos

coscos

=

==

tgtg

tgtgtgf

Se si vuole avere l’irreversibilità del moto è necessario avere ( ) ( )θα costgfa > ; per assicurare che

non acceda che il moto inverso si inneschi è bene avere ( ) ( )θα costgf > con f coefficiente di

attrito; questo per evitare che vibrazioni e disturbi inneschino il moto inverso che poi si mantenga.

Per avere un’idea dei valori di massimo coefficiente di aderenza fa, si considerino valori verosimili

per gli angoli di pressione θ e di inclinazione dell’elica α:

per

θ=20°

α=2°

si ha fa massimo 0,03.


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Per ottenere sistemi vite senza fine – ruota elicoidale reversibili si utilizzano configurazioni a

bassissimo attrito come quelli in cui si ha sistemi a ricircolo di sfere del tipo di quelli schematizzati

in figura 1.5. In questi sistemi il coefficiente di attrito (e aderenza) possono essere contenuti

nell’intervallo (0.05-0.001).

Figura 1.5 – schema di accoppiamento vite senza fine – ruota elicoidale con ricircolo di sfere.

3

2

1

1 – vite 2 – sfere ricircolanti 3 – ruota


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Bibliografia

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• G. Jacazio, B. Piombo, Meccanica applicata alle Macchine, Levrotto & Bella, Torino.

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Patron Editore, Bologna.

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