Breve Resea de La Integral

Prof. Enrique Mateus NievesDoctorando en Educacin Matemtica.

Breve resea histrica sobre La integral.

Recordemos que la expresin b

a

xf dx)( se interpreta

como el rea bajo la curva de f, entre a y b. (ver figura

adjunta).

Definicin: Dada una funcin )x(f de una variable real y un intervalo ba, de la recta real, laintegral

b

a

xf dx)( es igual al rea de la regin del plano yx limitada entre la grfica de f , el

eje x, y las lneas verticales ax y ,bx donde son negativas las reas por debajo del eje .

Es importante recordar que la palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin deprimitiva: una funcin F, cuya derivada es la funcin dada f. En este caso se denomina integralindefinida, mientras que las integrales tratadas en este escrito son las integrales definidas.Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integracin fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A

travs del teorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la

integracin se conecta con la derivacin, y la integral definida de una funcin se puede calcular

fcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser

herramientas bsicas del clculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera. Bernhard

Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que aproxima el rea de

una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. A comienzos del siglo XIX,

empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los

tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. La integral curvilnea

se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integracin ba, se sustituye poruna cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, lacurva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la geometradiferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las


necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes fsicas

cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Sin embargo, los conceptos modernos de

integracin se basan en la teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue, quefue desarrollada por Henri Lebesgue.

Integracin antes del clculo

La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, en el ao 1800 a. C., con el

papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el volumen

de un tronco piramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de determinar

integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar reas

y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las cuales se conocieran el

rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante por Arqumedes, que lo

emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos

similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui,

que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde, Zu Chongzhi us este mtodo para

encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronoma del siglo

XII del matemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de clculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de

exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de losindivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar los fundamentosdel clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las

aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexin entre

la integracin y la derivacin.

Newton y Leibniz: Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con laformulacin del teorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente por Newton

y Leibniz. El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin. Esta conexin,

combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del clculo de derivadas, se puede usar

para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del clculo permite resolver una

clase ms amplia de problemas. Tambin cabe destacar todo el marco estructural alrededor de

las matemticas que desarrollaron tambin Newton y Leibniz. El llamado clculo infinitesimal


permiti analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este

marco ha evolucionado hacia el clculo moderno, cuya notacin para las integrales procede

directamente del trabajo de Leibniz.

Formalizacin de las integrales: Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoquesistemtico a la integracin, su trabajo careca de un cierto nivel de rigor. Es memorable el

ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades

que se desvanecen". El clculo adquiri una posicin ms firme con el desarrollo de los lmites y,

en la primera mitad del siglo XIX, recibi una fundamentacin adecuada por parte de Cauchy. La

integracin fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando lmites. A

pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un

intervalo acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generales para las cuales no se

aplica la definicin de Riemann, y Lebesgue formul una definicin diferente de la integral1

basada en la teora de la medida. Tambin se propusieron otras definiciones de integral, que

amplan las definiciones de Riemann y Lebesgue.

Notacin: Isaac Newton usaba una pequea barra vertical encima de una variable para indicarintegracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunda fcilmente con

o , que Newton usaba para indicar la derivacin, y adems la notacin "caja" era difcil de

reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La

notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.2 3

Para indicar summa (en latn, "suma" o "total"), adapt el smbolo integral, "" , a partir de unaletra S alargada. La notacin moderna de la integral definida, con los lmites arriba y abajo del

signo integral, la us por primera vez Joseph Fourier en Mmoires de la Academia Francesa,

alrededor de 181920, reimpresa en su libro de 1822.4 5 En la notacin matemtica en rabe

moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .6

Terminologa y notacin: Si una funcin tiene una integral, se dice que es integrable. De lafuncin de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio deintegracin a la regin sobre la cual se integra la funcin. Si la integral no tiene un dominio deintegracin, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el

integrando puede ser una funcin de ms de una variable, y el dominio de integracin puede ser

un rea, un volumen, una regin de dimensin superior, o incluso un espacio abstracto que no

tiene estructura geomtrica en ningn sentido usual.


El caso ms sencillo, la integral de una funcin real f de una variable real x sobre el intervalo ba, ,se escribe

b

a

xf dx)(

El signo "" , una "S" alargada, representa la integracin; a y b son el lmite inferior y el lmitesuperior de la integracin y definen el dominio de integracin; f es el integrando, que se tieneque evaluar al variar x sobre el intervalo ba, ; y dx puede tener diferentes interpretacionesdependiendo de la teora que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una

indicacin de que x es la variable de integracin, como una representacin de los pasos en la

suma de Riemann, una medida (en la integracin de Lebesgue y sus extensiones), un

infinitesimal (en anlisis no estndar) o como una cantidad matemtica independiente: una forma

diferencial. Los casos ms complicados pueden variar la notacin ligeramente.

Conceptos y aplicaciones: Las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas.Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y

profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen de agua que puede contener (para

llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es

ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades deben ser calculadas mediante

integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prcticas, pero al final harn

falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Consideremos la funcin x)x(f en el intervalo 10, .Tambin definamos unas aaproximaciones a la integral de

x)x(f entre 0 y 1, con 5 muestras por la izquierda (ejevertical) y 12 muestras por la derecha (eje horizontal). Como

lo muestra la grfica:

Para empezar, se considerar la curva )x(fy entre 0xy 1x , suponiendo que x)x(f . La pregunta es: Cules el rea bajo la funcin f, en el intervalo 10, . Esta rea(todava desconocida) ser la integral de f. La notacin para esta integral ser 1

0

dxx


Como primera aproximacin, se mira al cuadrado unidad dado por los lados 0x hasta 1x y00 )(fy y .)(fy 11 Su rea es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero

valor de la integral tendr que ser ms pequeo. Reduciendo el ancho de los rectngulos

empleados para hacer la aproximacin se obtendr un mejor resultado; as, se parte el intervalo

en cinco pasos, empleando para la aproximacin los puntos 0, 15, 25, as hasta 1. Se ajusta una

caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, as ,51

,52 ,53 , y as hasta 11 . Sumando las reas de estos rectngulos, se obtiene una

mejor aproximacin de la integral que se est buscando,

0,749755

52

51

54

55

51

5205

1

Ntese que se est sumando una cantidad finita de valores de la funcin f, multiplicados por ladiferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede ver fcilmente que la

aproximacin contina dando un valor ms grande que el de la integral. Empleando ms pasos

se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no ser nunca exacta: si en vez de 5

subintervalos se toman doce y se toma el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo,

se obtiene un valor aproximado para el rea, de 0,6203, que en este caso es demasiado

pequeo. La idea clave es la transicin desde la suma de una cantidad finita de diferencias depuntos de aproximacin multiplicados por los respectivos valores de la funcin, hasta usar pasos

infinitamente finos, o infinitesimales. La notacin dx)x(f concibe la integral como una sumaponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la funcin multiplicados por pasos de

anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al clculo real de integrales, el teorema fundamental del clculo, debido a Newtony Leibniz, es el vnculo fundamental entre las operaciones de derivacin e integracin.

Aplicndolo a la curva raz cuadrada, se tiene que mirar la funcin relacionada 23

32

x)x(F ysimplemente tomar ),(F)(F 01 donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo 10, . (ste es unejemplo de una regla general, que dice que para ax)x(f con ,a 1 la funcin relacionada,


la llamada primitiva es1

1

a

x)x(Fa

. De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se

calcula formalmente como:32

32

321

0

1

0

23

21 2323 01x32dxxdxx

1

0

Histricamente, despus de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los

infinitesimales no fructificasen, Riemann defini formalmente las integrales como el lmite de

sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el lmite de una diferencia (la anchura del

intervalo). La dependencia de la definicin de Riemann de los intervalos y la continuidad motiv la

aparicin de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la

habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho ms flexibles. As, la notacin

df(x)A hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la funcin,donde mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aqu A indica la regin de

integracin.) La geometra diferencial, con su "clculo de variedades", proporciona otrainterpretacin a esta notacin familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, =f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teoremafundamental pasa a ser el (ms general) teorema de Stokes, ,d AA a partir delcual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del clculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a travs de innovaciones modernas

como el anlisis no estndar. Estos mtodos no slo reivindican la intuicin de los pioneros,

tambin llevan hacia las nuevas matemticas, y hacen ms intuitivo y comprensible el trabajo con

clculo infinitesimal. A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la

integral, hay un solapamiento considerable. As, el rea de la piscina oval se puede hallar como

una elipse geomtrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como

una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido

con el clculo ser el mismo en todos los casos.

Definiciones formales: Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todasequivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser

integrables con otras definiciones, pero tambin en ocasiones por razones pedaggicas. Las

definiciones ms utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.


Integral de Riemann1: La Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basadaen una particin etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el mximo en

rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimacin obtenida es 3,648. La integral de Riemann se

define en trminos de sumas de Riemann de funcionesrespecto de particiones etiquetadas de un intervalo.

Sea ba, un intervalo cerrado de la recta real;entonces una particin etiquetada de ba, es unasecuencia finita

.bxtxxtxtxa nn1-n1 2210 ydenotamos la particin como n,1,0,i/xP i

Observe detenmidamente la sigueinte secuencia de graficos:

Representan una convergencia de sumatorias de Riemann a medida en que se parten los

intervalos, cuando se muestrea a la izquierda, el mnimo, el mximo, o la derecha. Esto

divide al intervalo ba, en n subintervalos i1-i x ,x , cada uno de los cuales es "etiquetado" conun punto especificado ti de i1-i x ,x . Sea 1-iii xxx la anchura del subintervalo i; el pasode esta particin etiquetada es el ancho del subintervalo ms grande obtenido por la particin,

maxi=1n i. Un sumatorio de Riemann de una funcin f respecto de esta particin etiquetada se

define como

n

iii ;)t(f

1As cada trmino de la sumatoria es el rea del rectngulo con altura

igual al valor de la funcin en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura

que la anchura del subintervalo.

1 tomado del Artculo: Integral de Riemann. Referenciado en la bibliografa al final del presente escrito.


La integral de Riemann de una funcin f sobre el intervalo ba, es igual a S si: Para todo > 0existe > 0 tal que, para cualquier particin etiquetada ba, con paso ms pequeo que , setiene ,)t(fS

n

iii

1, donde i

n

ii

b

a0

)t(flimfSi

1

. Cuando las etiquetas escogidas

dan el mximo (o mnimo) valor de cada intervalo, la sumatoria de Riemann pasa a ser una

sumatoria de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexin que hay entre laintegral de Riemann y la integral de Darboux.

Integral de Darboux:2 La Integral de Darboux se define en trminos de sumas de los siguientestipos:

ni

1-iii )xx(mP)(f,L , ni

1-iii )xx(MP)(f,U Llamadas suma inferior y superior

respectivamente, donde ,x,x/xf(x) supM i1-ii ,x,x/xf(x)infm i1-ii son lasalturas de los rectngulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectngulos.

La Integral de Darboux est definida como el nico nmero acotado entre las sumas inferior y

superior, es decir, ba

P)(f,UfP)(f,L . La interpretacin geomtrica de la integral de Darboux

sera el clculo del rea de la regin en ba, por el Mtodo exhaustivo.

La integral de Darboux de una funcin f en ba, existe si y slo s: P)(f,Uinf)P(f,L sup .Del Teorema de Caracterizacin que dice que si f es integrable en ba, entonces P0, particin de ba, : P)(f,L-P)(f,U 0 , evidencia la equivalencia entre las definiciones deIntegral de Riemann e Integral de Darboux pues se sigue que

n

iii

b

a

)P)(f,L-P)(f,U)t(ff1

.7

2 Tomado del Artculo: integral de Darboux. Referenciado en la bibliografa al final del presente escrito


Integral de Lebesgue: Integracin de Riemann-Darboux (azul) e integracin de Lebesgue(rojo).

La integral de Riemann no est definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de

importancia prctica (y de inters terico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar

fcilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a

una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creacin de otras definiciones, bajo las

cuales se puede integrar un surtido ms amplio de funciones.8 La integral de Lebesgue, en

particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atencin en los pesos de la suma

ponderada. As, la definicin de la integral de Lebesgue empieza con una medida, . En el caso

ms sencillo, la medida de Lebesgue (A) de un intervalo A = ba, es su ancho, b a, as la integralde Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos ms

complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin

ningn parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada.

Como expresa Folland:9 "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio ba,en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se est particionado

es el recorrido de f". Un enfoque habitual define primero la integral de la funcin caracterstica deun conjunto medible A por: )A(dA 1 Esto se extiende por linealidad a las funcionesescalonadas simples, que slo tienen un nmero finito n, de valores diferentes no negativos:

n

iii

n

iAiiAi

n

ii )(Aad1ad1adS

111 (Donde la imagen de Ai al aplicarle la

funcin escalonada s es el valor constante ai. As, si E es un conjunto medible, se define

n

iiiE E).(Aad s

1 Entonces, para cualquier funcin medible no negativa f se define

;daescalonafuncinunaesy sfs:dssupdf EE 0 Es decir, se establece que


la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son mspequeas o iguales que f. Una funcin medible cualquiera f, se sepa ra entre sus valorespositivos y negativos a base de definir:

modootrode0,0f(x) si),x(f)x(f y

modootrode0,

0f(x) si),x(f)x(f

Finalmente, f es Lebesgue integrable si ,dfE y entonces se define la integral por.df-dfdf -EE

Cuando el espacio mtrico en el que estn definidas las funciones es tambin un espacio

topolgico localmente compacto (como es el caso de los nmeros reales IR), las medidascompatibles con la topologa en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un

ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera,

se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma

ms precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta

una topologa natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal

continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una funcin compactamente

soportada, es tambin, por definicin, la integral de la funcin. Entonces se contina expandiendo

la medida (la integral) a funciones ms generales por continuidad, y se define la medida de un

conjunto como la integral de su funcin caracterstica. Este es el enfoque que toma Bourbaki10 y

cierto nmero de otros autores.

Otras integrales: A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definicionesms importantes de integral, hay unas cuantas ms, por ejemplo:

La integral de Riemann-Stieltjes, una extensin de la integral de Riemann. La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las

integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.

La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.


La integral de Henstock - Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, OskarPerron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.

La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar. La integral de McShane. Trabaja sobre espacios vectoriales en topologa, conocidos

como integrales vectoriales de Riemann y McShane. Las integrales de Mcshane

Mcshane de funciones con valores de intervalos y funciones con valores difusos son las

definiciones de tipo Riemann de la integral de Aumann y (K) respectivamente.

La integral de Buchner. La integral de It, integral que extiende a la integral de Riemann-Stieltjes, permite integrar

respecto a procesos estocsticos que pueden no ser de variacin acotada como el

movimiento browniano.

Linealidad de la integracin

Linealidad: El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado ba,forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la funcin suma de otras dos es la

funcin que a cada punto le hace corresponder la suma de las imgenes de este punto por cada

una de las otras dos) y la multiplicacin por un escalar. La operacin integracin ba

dxff

es un funcional lineal de este espacio vectorial. As, en primer lugar, el conjunto de funciones

integrables es cerrado con la combinacin lineal, y en segundo lugar, la integral de una

combinacin lineal es la combinacin lineal de las integrales,

ba

b

a

b

a

dxg(x)(x)fdx)x(gf

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espaciomtrico E dado, con la medida es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo

tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue dff E es unfuncional lineal de este espacio vectorial, de forma que

.dgdfdg)f( EEE


De forma ms general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones mediblessobre un espacio mtrico (E,), que toman valores en un espacio vectorial topolgicocompleto localmente compacto V sobre un campo topolgico localmente compacto

V.E:fK, Entonces se puede definir una aplicacin integracin abstracta que a cadafuncin f le asigna un elemento de V o el smbolo , dff E que escompatible con las combinaciones lineales. En esta situacin, la linealidad se sostiene

para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las

integrales "finitas"). Los casos ms importantes surgen cuando K es IR, C, o una

extensin finita del campo Qp de nmeros p-dicos, y V es un espacio vectorial dedimensin finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedades naturales de continuidad y la normalizacin

para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definicin

alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en

un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio

vectorial topolgicamente compacto. Puede consultarse Hildebrandt (1953)11 para una

caracterizacin axiomtica de la integral.

Desigualdades con integrales: Se verifican varias desigualdades generales para funcionesRiemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado ba, y se pueden generalizar aotras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Cotas superiores e inferiores. Una funcin f integrable en ba, , es necesariamenteacotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos nmeros reales m y M tales que m f(x) Mpara todo x de ba, . Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre ba, sontambin acotados para m(b a) y M(b a) respectivamente, de aqu resulta que

ba

a).-(b Mdx(x)f)ab(m

Desigualdades entre funciones. Si f(x) g(x) para todo x de ba, entonces cada uno delos sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los


sumatorios superior e inferior de g respectivamente. As ba

b

a

dx.(x)gdx(x)f Esto es

una generalizacin de las desigualdades anteriores, dado que M '(b a) es la integral dela funcin constante con valor M en el intervalo ba, .

Subintervalos. Si d,c es un subintervalo de ba, y f(x) es no negativa para todo x,entonces d

c

b

a

dx.f(x)dx)x(f

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entoncespodemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

.(x)f(x)f,(x)f)x(f(x),g(x)fgf 22)x( Si f es Riemann integrable en ba, entonces lo mismo se cumple para f , y

dx.(x)fdx(x)fb

a

b

a

Es ms, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f2, g 2, y f g son tambin Riemann integrables, y

b

a

2b

a

22b

a

dx(x)gdx(x)fdx(x)g)(f Esta desigualdad se conoce como

desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempea un papel fundamental en la teora de los

espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar

de dos funciones integrables f y g en el intervalo ba, .

Desigualdad de Hlder. Si p y q son dos nmeros reales, q,p1 con 111 qp

, f

y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones pf y qgtambin son integrables y se cumple la desigualdad de Hlder:

.dx(x)gdx(x)fdxg(x)(x)f qp1 qp 1 Para el caso de p =q = 2, la desigualdad de Hlder pasa a ser la desigualdad de CauchySchwarz.


Desigualdad de Minkowski. Si p 1 es un nmero real y f y g son funciones Riemannintegrables. Entonces pf , pg , y pgf son tambin Riemann integrables y secumple la desigualdad de Minkowski

p1p1pp1 pp dx(x)gdx(x)fdx(x)g(x)f Una desigualdad anloga a sta para la integral de Lebesgue se usa en la construccin

de los espacios pL .

Convenciones: En esta seccin f es una funcin real Riemann integrable. La integral

b

a

xf dx)( sobre un intervalo ba, est definida si a < b. Esto significa que los sumatoriossuperiores e inferiores de la funcin f se evalan sobre una particin bxxxa n 10cuyos valores ix son crecientes. Geomtricamente significa que la integracin tiene lugar "de

izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos 1ii x ,x donde el intervalo con unndice ms grande queda a la derecha del intervalo con un ndice ms pequeo. Los valores a y

b, los puntos extremos del intervalo, se denominan lmites de integracin de f. Las integralestambin se pueden definir si a > b asi:

Inversin de los lmites de integracin. si a > b entonces se define

ab

b

a

dx)x(fdx)x(f en caso que a = b, implica:

Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un nmero real entonces

.dx)x(fa

a

0La primera convencin es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de ba, ; lasegunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un

motivo para la primera convencin es que la integrabilidad de f sobre un intervalo implica que f esintegrable sobre cualquier subintervalo d,c , pero en particular las integrales tienen la propiedadde que:


Aditividad de la integracin sobre intervalos. si c es cualquier elemento de ,b,aentonces .dx(x)fdx(x)fdx)x(f

c

a

b

c

b

a

Con la primera convencin la relacinresultante

ba

c

b

b

c

c

a

b

a

dx(x)fdx(x)fdx(x)f-dx(x)fdx(x)f Queda bien definida para

cualquier permutacin cclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, tambin se puede adoptar el punto de vista de

que la integracin se hace slo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-

dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientacin opuesta y es una m-forma,

entonces se tiene (vase ms abajo la integracin de formas diferenciales):

- MM

Teorema fundamental del clculo3: El teorema fundamental del clculo es la afirmacin:La derivacin y la integracin son operaciones inversas: si una funcin continua primero se

integra y luego se deriva, se recupera la funcin original. Una consecuencia importante, en

ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del clculo, permite calcular integrales a

base de emplear una primitiva de la funcin a integrar.

Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del clculo. Sea f una funcin real integrable definida en un

intervalo cerrado ba, . Si se define F para cada x de ba, por xa

dt.)(tf)x(F

Entonces F es continua en ba, . Si f es continua en x de ba, , entonces F es derivable enx, y F(x) = f(x).

3 Tomado del Artculo Teorema fundamental del clculo. Referenciado en la bibliografa al final del presenteescrito


Segundo teorema fundamental del clculo. Sea f una funcin real, integrable definidaen un intervalo cerrado ba, . Si F es una funcin tal que F(x) = f (x) para todo x de ba,(es decir, F es una primitiva de f ), entonces b

a

(a)F-F(b)dt(t)f

Corolario. Si f es una funcin continua en ba, , entonces f es integrable en ba, , y F,definida por b

a

dt.)(tf)x(F es una primitiva de f en ba, . Adems,

ba

(a)F-F(b)dt(t)f

Referencias y notas1. En el caso de las funciones a las que se aplica la definicin de Riemann, los resultados coinciden.2. Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6 ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN

978-0-07-305189-53. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm

Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Mller, p. 1544. Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247252,

ISBN 978-0-486-67766-85. Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Thorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, pre et fils, p.

231, [1]6. W3C (2006). Arabic mathematical notation [2]7. Haaser, LaSalle, Sullivan, Norman B.,Joseph P., Joseph A. (1970). Anlisis Matemtico 1: Curso de

Introduccin p.546. Mxico,D.F.: Trillas. ISBN 968-24-0132-1.8. Rudin, Walter (1987). "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.),

McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-99. Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1 ed.), John Wiley &

Sons, ISBN 978-0-471-80958-610. Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los captulos III y

IV.11. Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society

59(2): 111139, ISSN 0273-0979 [3]

Bibliografa Apstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd

edicin). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los captulos III y IV.


Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th edicin). McGraw-Hill. p. 359. ISBN978-0-07-305189-5.

Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp. 247252.ISBN 978-0-486-67766-8. http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp.

Dahlquist, Germund; Bjrck, ke (forthcoming). Chapter 5: Numerical Integration. Numerical Methods inScientific Computing. Philadelphia: SIAM. http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html.

Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st edicin). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6.

Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Thorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, pre et fils. p. 231.http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ.Disponible en ingls como Fourier, Joseph (1878). The analytical theory of heat. Freeman, Alexander (trans.).Cambridge University Press. pp. 200201. http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich.

The Works of Archimedes. Dover. 2002. ISBN 978-0-486-42084-4.http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp.(Originalmente publicado por Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)

Hildebrandt, T. H. (1953). Integration in abstract spaces. 59. 111139.http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761.

Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). Chapter 5: Numerical Quadrature. Numerical Methodsand Software. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-8.

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. ErsterBand. Berlin: Mayer & Mller. http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001.

Miller, Jeff. Earliest Uses of Symbols of Calculus. http://members.aol.com/jeff570/calculus.html. OConnor, J. J.; Robertson, E. F. (1996). A history of the calculus. http://www-history.mcs.st-

andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html. Rudin, Walter (1987). Chapter 1: Abstract Integration. Real and Complex Analysis (International edicin).

McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. Saks, Stanisaw (1964). Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by

Stefan Banach. Second revised edicin). New York: Dover.http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez=.

Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). Chapter 3: Topics in Integration. Introduction to Numerical Analysis(3rd edicin). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3..

W3C (2006). Arabic mathematical notation. http://www.w3.org/TR/arabic-math/.

Libros online Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to

calculus Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus Wikibook of Calculus Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute

Documents

Breve Resea de La Integral