Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Självständigt arbete II, 15 hp
Bråk i mellanstadiet
- hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån
delar och helhet i årskurs 4
Författare: Lars Magnusson
Handledare: Oduor Olande
Examinator: Constanta Olteanu
Datum: 2017-05
Kurskod: 4GN04E
Ämne: Matematik
Nivå: Avancerad nivå
1
Svensk titel
Bråk i mellanstadiet - hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån delar
och helhet i årskurs 4
Fractions in middle school – how teachers and teaching aids present part-whole
fractions in grade 4
Abstrakt Bråktal visar sig i fler aundersökningar vara ett av de mest problematiska områden för
elever att lära. Flera forskare menar att detta beror på att bråktal inte är lika vanligt
förekommande i vardagssituationer längre. De är dock viktiga och de tidiga
prestationerna inom bråktal korrelerar med allmänna matematiska kunskaper senare i
skolåren. För att förvärva kunskaper inom bråkområdet är förståelse viktig och genom
att arbeta med begreppsförmågan kommer förståelse också att uppstå. Detta görs
inledningsvis genom att låta eleverna möta bråktal genom olika former och
representationsformer för att sedan slussa över dem till symboler. Genom att analysera
hur läraren presenterar bråkbegreppet i mellanstadiet och hur undervisningen planeras
utifrån läromedel och konkreta material kan förståelse skapas för varför bråktal visar sig
problematiskt för så många.
Nyckelord Bråk, del av helhet, helhet, undervisning, variationsteori
Populärvetenskaplig sammanfattning
Studien syftar att synliggöra hur lärare väljer att utforma sin matematikundervisning.
Undervisningen baseras på olika slags läromedel, bland annat lärobok och digitala
läromedel, samt lärarens egna planeringar med hjälp av bland annat konkret material.
För att ge möjlighet att utreda syftet undersöktes presenterade aspekter av bråktal med
inriktning på delar av helhet i undervisningen. Lärare observerades och intervjuades för
att synliggöra deras uppfattningar och läromedlet i form av lärobok analyserades för att
kunna klargöra dessa aspekter. Hur aspekterna presenterades låg även i fokus vid
undersökningen.
Studiens resultat tydliggör att aspekter är avgörande för bråktalens förståelse presenteras
i undervisningen av olika grad. Konkret material och olika former används för att skapa
förståelse för de komplicerade bråktalen speciellt inom delar av helhet. Lärarens
arbetssätt visar sig vara den vital för möjligheten till en god undervisning. Hur läraren
väljer att komplettera den bild av bråktal läromedlet presenterar är grunden för att
eleverna ska skapa goda kunskaper.
På grund av att lärarens centrala roll synliggörs i resultatet är det av yttersta vikt att
läraren undersöker alternativa vägar i sin undervisning, istället för att förlita sig på en
undervisningskälla. Digitala läromedel och konkret material bör ges plats i
undervisningen för att skapa motiverade och kunniga elever.
2
Tack Efter att ha lagt ner mycket tid och energi på studier under dessa fyra år finns det flera
nyckelpersoner att tacka, två av dem har varit viktigare än andra. Först vill jag tacka
min dotter Isa. Du har en förmåga att alltid få mig på bra humör och jag är stolt över att
få kalla mig för din pappa. Jag vill även tacka den person som har ställt upp för mig och
hela tiden fått mig att försöka bli lite bättre. Linn, tack för ditt stöd under dessa fyra år.
Utan dig hade det inte gått så bra som det gjort. Du får mig att prestera ännu bättre och
att ha dig i min närhet kommer att göra mig till en bättre lärare, men framförallt en
bättre person. Vi är en liten bit på vägen och det ska bli väldigt spännande att se vart vi
hamnar. Tack!
3
Innehållsförteckning
1. Inledning 4
2. Syfte 4 2.1 Frågeställning 4
3. Litteraturöversikt 5 3.1 Vad är bråk? 5 3.2. Bråktalens skepnader 5 3.3 Begrepps- och procedurförmåga 6 3.4 Bråktalens komplexitet 7 3.5 Missuppfattningar om det hela 7 3.6 Bråk i undervisning 9 3.7 Bråk i läromedel 10
4. Teoretisk ansats 11 4.1 Variationsteorin 11 4.2 Lärandeobjekt 12 4.3 Kritiska aspekter och kritiska drag 12 4.4 Variationsmönster 12
5. Metod 15 5.1 Metodologisk ansats 15 5.2 Genomförande 16
5.2.1 Läromedelsanalys 17 5.2.2 Intervju 17 5.2.3 Observation 18
5.3 Urval 19 5.4 Validitet och reliabilitet 19 5.6 Etiska principer 19
6. Resultat 20 6.1 Undervisningens utformning 20 6.2 Identifierade aspekter 20
7. Analys av empiri 24 7.1 Helhet 24 7.2 Lika stora delar 25 7.3 Täljare och nämnarens betydelse 26 7.4 Ekvivalenta uttryck 26 7.5 Bråktalens koppling till decimaltal och procent 27
8. Diskussion 27 8.1 Metoddiskussion 27
8.1.1 Läromedelsanalys 27 8.1.2 Intervju 28 8.1.3 Observation 28
8.2 Resultatdiskussion 28 8.3 Slutord och förslag till framtida studier 30 8.4 Slutsats 30
Bilagor 35 Bilaga 1 - Observationsschema 35
4
1. Inledning Idag tar bråktal inte lika stor plats i vardagen till skillnad mot tidigare (Kilborn, 2014).
De förekommer dock i gymnasiematematiken vilken de flesta av dagens elever läser.
Tonas vikten av bråk ner i grundskolan resulterar det därmed i att elevernas möjligheter
till utbildning försämras (Kilborn, 2014). Skolverket (2016:64) skriver i läroplanens
centrala innehåll att eleverna fram till årskurs 6 ska ha arbetat med tal i bråkform och
hur de förekommer i vardagliga situationer, rationella tal och deras egenskaper samt att
jämföra tal i bråkform, decimalform och procent. Bråk är därmed en betydande del i
läroplanens (Skolverket, 2016) centrala innehåll men berörs även i dess syfte i form av
att eleverna ska ”ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande
matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet” (Skolverket, 2016:62).
Internationella undersökningar som TIMSS (Mullis, 2008) och PISA visar bristande
bråkkunskaper hos svenska elever. Charalambous och Pitta-Pantazi (2007) skriver att
bråktal till och med är ett av de mest problematiska delarna av matematiken, historiskt
sett. Problem visar sig både i grundskolan och gymnasiet vilket indikerar dess
omfattning. Eftersom 90 % av eleverna i de svenska skolorna har en undervisning
vilken baseras på ett läromedel utgör dess presentation av bråkbegreppet en viktig del
till elevernas förståelse (Mullis, 2008).
När jag har talat med matematiklärare om problematiska matematiska begrepp nämner
de flesta bråk. Vid observationer av lärare under deras matematikundervisning har det
även varit tydligt att de baserat stor del av sin undervisning med hjälp av ett eller flera
läromedel, oftast i form av en lärobok. Vissa lärare undersöker sedan vilka aspekter
läromedlen presenterar för att kunna planera sin undervisning utifrån upptäckerna.
Lärarnas medvetenhet kring elevernas svårigheter inom bråk gör att de reflekterar över
sin undervisning för att ge eleverna bästa möjliga förutsättningar att skapa förståelse.
Elevers matematiska bråkprestationer under de tidiga skolåren korrelerar med elevernas
allmänna matematiska prestationer under senare år (Lortie-Forgues, Tian & Siegler,
2015; Torbeyns, Schneider, Xin & Siegler, 2014). Inlärning av algebra försvåras även
om bråkkunskaper saknas vilket är avgörande för att klara av matematik senare under
skolgången. För att kunna förstå ekonomi men även andra viktiga delar i samhället, som
tidningar, behövs grundläggande bråkkunskaper (Lortie-Forgues m.fl., 2015).
Bråktalens betydelse är därmed omfattande, inte bara för möjligheten till god och jämlik
utbildning (Kilborn 2014), det är också en förutsättning för att kunna fatta beslut i
vardagen avgörande för vårt samhälle.
2. Syfte Studiens mål är att synliggöra hur matematikundervisningen utförs i årskurs 4 på en
skola i sydöstra Sverige. Syftet med studien är att undersöka hur lärare väljer att
presentera bråkbegreppet med hjälp av läromedel samt hur lärarens undervisning
stimulerar elevernas förståelse av bråkbegreppet med fokus på delar och helhet.
2.1 Frågeställning
Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras i läromedlet för årskurs 4-
elever?
5
Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras av läraren för elever i
årskurs 4?
Hur presenterar lärare bråkbegreppets delar och helhet för elever i årskurs 4?
3. Litteraturöversikt I det här kapitlet presenteras tidigare forskning kring bråktal. Först kommer bråk i
allmänhet presenteras tillsammans med dess bakgrund. Olika skepnader av bråk
kommer att belysas i form av del av helhet, del av antal, bråk som tal, förhållande och
skala. Vanliga missuppfattningar inom bråk kommer att redogöras för samt hur lärare
bör arbeta med bråk för att vägleda elever mot förståelse av de komplicerade bråktalen.
Till sist kommer läromedels uppbyggnad att presenteras eftersom en läromedelsanalys
genomförs i studien.
3.1 Vad är bråk?
Bråktal uttrycker andelar av ett antal eller en mängd och består av en till synes
ofullständig division (utan kvot) av två naturliga tal (McIntosh, 2009). Det övre talet
kallas täljare, det undre nämnare och skiljs åt med ett bråkstreck (1
2). Ordet nämnare
beskriver bråktalets andelars beteckning, vilket kan vara sjättedelar om helheten är
delad i sex delar. Ordet täljare härstammar från ordet tälja och är ett gammalt svenskt
uttryck för berätta eller att räkna antal (McIntosh, 2009). Täljaren beskriver antal delar
av nämnaren. Bråktals fördel mot decimal- och procenttal är att de kan uttrycka exakta
kvoter medan till exempel decimaltal inte alltid kan det (McIntosh, 2009). Dess
samband med procent och decimaltal gör bråktal viktiga trots att bråktal sällan används
i dagens samhälle (McIntosh, 2009).
3.2. Bråktalens skepnader
Karlsson och Kilborn (2015b) skriver att bråktal presenteras genom olika skepnader.
Del av helhet, del av antal, tal på en tallinje, förhållande samt skala nämns som
exempel. Skolans vanligast förekommande skepnader är del av helhet, del av antal samt
relation (Häggblom, 2012). Karlsson och Kilborn (2015a) skriver också att del av helhet
och del av antal är central i undervisningen men att bråk som tal försakas.
Del av helhet
Häggblom (2012) skriver att del av helhet är det vanligast förekommande avsnittet av
bråk i skolans läromedel. För att skapa förståelse för del av helhet ska helheten vara
tydligt avgränsad samt varieras i storlek och form. Häggblom (2012) betonar även att
delarna initialt ska vara av samma storlek när de presenteras för eleverna.
Del av antal
Till skillnad från del av helhet består del av antal av flera indelade objekt (Häggblom,
2012). Svårigheter att skilja mellan del och antal sker ofta och är ett hinder för
förståelse. Om fyra kuber presenteras och tre är färgade, är antalet färgade kuber tre.
Andelen färgade kuber är 3
4. Med del av antal är det viktigt att konkretisera
räkneoperationer på flera olika sätt och uttrycksformer. Del av antal kan också användas
med hjälp av likadelning. När 6 delar delas in i till exempel grupper med 2 eller 3 delar
med lika många i varje del är exempel på likadelning. Häggblom (2012) skriver att när
6
barnen arbetar på detta sätt uppfattar de talens del och kopplas ihop med multiplikation,
vilket förenklar arbetet med svårare bråktal.
Bråk som tal
En position mellan två heltal kan beskrivas genom bråk som tal (McIntosh, 2009).
Karlsson och Kilborn (2015b) betonar att bråk som tal är den viktigaste aspekten av
bråk. För att beskriva bråk som tal kan tallinjen användas. Talen konkretiseras och
underlättar för eleverna att skapa förståelse för talens storlek. Det är avgörande för
många elever som visar på okunskap om att det finns tal mellan exempelvis 1
2 och
1
3
(Karlsson & Kilborn, 2015a).
Förhållande
Lamon (2012) beskriver förhållande som en jämförelse mellan två olika mängder. De
kan jämföras mellan olika delar eller delar och helhet. Om en äggkartong med 12 ägg
innehåller 5 bruna och 7 vita ägg kan förhållandet beskrivas som 5:7 (bruna:vita), vid
jämförelse mellan antal. Vid jämförelse mellan antal och helheten beskrivs det genom
5:12 bruna ägg.
Skala
När en figur återges identiskt i annan storlek används skala (Karlsson & Kilborn, 2014).
Om avbilden är 2 m och orginalet är 1 m är skalan 2:1. När den vänstra siffran är högst
är avbildningen en förstoring och när den är lägst är det en förminskning. Karlsson och
Kilborn (2014) skriver att barn tidigt skaffar sig en förståelse för skala och att de kan
förbättra den genom att initialt avbilda figurer med skala 2:1 på rutat papper.
3.3 Begrepps- och procedurförmåga
Svårigheterna med att lära bråktal kan ske av olika anledningar. Gabriel m.fl (2012)
skriver att undervisning kan delas in i begrepps- och procedurförmåga för att undersöka
vilka kunskaper elever förvärvar i skolan.
I Gabriels m.fl. (2012) studie arbetar en grupp med ordinarie undervisning, även kallad
kontrollgrupp, och den andra med experimentell undervisning genom fem olika
kortspel. Det visar sig att den experimentella gruppen förbättrar sig mer över lag men att
kontrollgruppen förvärvar bättre procedurförmåga. Kontrollgruppen ökade dock inte sin
begreppsförmåga och den förvärvade procedurförmågan var mekaniskt inlärd (Gabriel
m.fl., 2012).
Begreppsförmåga
Med begreppsförmåga innefattas explicit och implicit förståelse av bråktalens
beståndsdelar samt vetskapen om att bråktal kan ha samma värde, förståelse för
täljarens och nämnarens betydelse samt förståelsen för bråktalens storlek (Gabriel m.fl,
2012). Aksu (1997) beskriver begreppsförmågan som förståelsen för hur begreppen är
kopplade till andra matematiska idéer och begrepp.
Procedurförmåga
Procedurförmågan kan däremot ses som i vilken följd matematiska problem löses
(Gabriel m.fl., 2012). Gabriel m.fl. (2012) skriver även att andra forskare tolkar
procedurförmågan som kunskaper om symboler, algoritmer och regler. Att veta att
7
täljarna adderas vid addition med samma nämnare är ett typiskt exempel på
procedurförmåga (Gabriel m.fl., 2012). För att kunna anskaffa en god procedurförmåga
är en god begreppsförmåga avgörande. En studie av Byrnes och Wasik (1991) med
årskurs 5-elever visar att när eleverna får arbeta med sin procedurförmåga så
förbättrades enbart den. När begreppsförmågan fokuserades i undervisningen
resulterade det däremot i att även procedurförmågan förbättrades (Perry, 1991). I vissa
aspekter av bråk behöver dock procedurförmågan inövas för att lösa uppgifter. Vid
addition och subtraktion med olika nämnare, behöver eleverna lära sig mer
metodkunskap för att kunna lösa problemet (Gabriel m.fl., 2012).
3.4 Bråktalens komplexitet
Bråktal uppfattas ofta som komplicerade och svårlärda. Enligt Torbeyns m.fl. (2014) är
bråktalens uppbyggnad ett problem eftersom bråktal kan ses som en division av två
heltal fast utan kvot. Multipliceras 6 med 1/2 är det 3, produkten blir därmed inte större.
En annan komplicerad aspekt är att reglerna skiljer sig vid multiplikation och division
mot naturliga tal. Heltal blir större eller oförändrade vid multiplikation men med bråktal
sker det inte alltid (Torbeyns m.fl., 2014). Ofta missar lärare att få eleverna att skapa
förståelse för vad bråktalen innebär innan de används i beräkningar (Aksu, 1997).
Därmed skriver brister den tidigare nämnda begreppsförmågan (Gabriel m.fl., 2012).
Gabriel, Coche, Szucs, Carette, Rey och Content (2012) skriver att bråktal är ett av de
svåraste matematiska avsnitten i grundskolan. Problematiken kan bland annat bero på
att användandet av tal i bråkform har minskat i vardagslivet (Karlsson & Kilborn,
2015a; Kilborn, 2014; McIntosh, 2009). Eftersom procent utgår ifrån bråktal betonar
Karlsson och Kilborn (2015a) vikten av kunskaper inom tal i bråkform samt att både
proportionalitet och förhållande är viktiga inom vardagslivet. Enligt läroplanen
(Skolverket, 2016) ska eleverna vid ett flertal tillfällen bekanta sig med bråk genom det
centrala innehållet mellan årskurs 1-6. Både delar av helhet samt samband mellan tal i
bråkform, decimalform och procent nämns. Skolverket (2016) betonar även vikten av
att använda matematiken för att samtala, argumentera och diskutera, vilket visar ett
behov av matematiska begrepp.
Elevernas bråkkunskaper korrelerar med deras allmänna matematiska prestation längre
fram i skolgången (Lortie-Forgues m.fl., 2015; Torbeyns m.fl., 2014). Det beror på att
bråktal kräver en djupare matematisk förståelse än andra matematiska innehåll. Vissa,
annars självklara, matematiska regler gäller inte alltid vid bråkräkning (Torbeyns m.fl.,
2014). Siegler, Givvin och Thompson (2010) skriver att goda kunskaper inom bråktal
för amerikanska årskurs 5-elever även korrelerar med allmänt goda kunskaper i årskurs
10. Bristande kunskaper inom bråktal är även en av två hindrande faktorer vid
algebrainlärning (Lottie-Forgues m.fl., 2015). Betydelsen av bråktal stannar inte bara
inom matematiken utan är också viktig inom ekonomi, ämnen där matematik i
allmänhet inte är en avgörande faktor och för att kunna tolka information i tidningar
(Lortie-Forgues m.fl., 2015).
3.5 Missuppfattningar om det hela
Att regler för heltal inte är direkt överförbara till bråktal är en av anledningarna till
bråktalens komplexitet (Lamon, 2012; Torbeyns m.fl., 2014). När helheten introduceras
i de tidiga skolåren presenteras det hela alltid som 1 vilket resulterar i missuppfattningar
8
längre fram i undervisningen (Lamon, 2012). Det hela kan representeras av både fler, i
form av ett antal sammansatta objekt, eller färre, i form av ett redan delat objekt. Ett 6-
pack med läsk kan både representera det hela, men också 6 stycken burkar läsk. Lamon
(2012) skriver att det avgörande är att det hela klargörs och att delarna av helheten är av
samma storlek eftersom de annars inte är jämförbara. En annan möjlig missuppfattning
vid inlärning av bråk är att en tredjedel av helheten kan vara lika mycket som en halv av
någon annan helhet (Lamon, 2012) (figur 1).
= 1 enhet = 1 enhet
= 1/2 enhet = 1/2 enhet
= 1/3 enhet
Figur 1 – jämförelse av delar av helhet.
Wentworth och Monroe (1995) skriver likt Lamon (2012) om svårigheterna att definiera
begreppet det hela inom bråk. Anledningen till problemen är ofta lärares
representationer av det hela hämmar elevers förståelse. I studien beskrivs tre exempel
på missförstånd. Det första beskrivs genom en studie av Maher och Davis (1990) där en
lärare delar upp två pizzor i tolv delar var och att sju elever tar en del från varje pizza,
alltså två sammanlagt. Läraren kopplar ihop det hela som 12 delar när det hela av två
pizzor är 24 delar. När läraren adderar de ätna delarna blir de 14
12 vilket då anses omöjligt
eftersom mer än allt därmed måste vara uppätet.
Det andra är när en lärare använder äggkartonger för att presentera 1
5. Läraren klipper
först ut en enhet med fem delar av en äggkartong. Sedan klipps en ensam del ut för att
representera 1/5. Denna enhet läggs över enheten med 5 delar (Wentworth & Monroe,
1995). När läraren sedan ombes förklara 1
3 används samma ensamma kartongbit som
tidigare använts för 1
5 och sätts på en kartong med 3 delar. Wentworth och Monroe
(1995) skriver att elevens bild av bråktalen resulterar i att de tror att 1
3 och
1
5 är lika stora.
Det tredje exemplet handlar om multiplikation med bråktal. Eleverna ombads
multiplicera 1
3 med
1
5 och
1
4 med
1
6 på ett rutigt papper. Multiplikationernas helheter är
olika men dess del av helheten blir lika stora på grund av det rutade pappret (Wentworth
& Monroe, 1995). Forskarna (Wentworth & Monroe, 1995) skriver även att antalet fel
på denna uppgift korrelerar med användandet av rutigt papper.
Samtliga exempel visar vikten av att tydliggöra det hela för att kunna skapa en
förståelse för bråk (McIntosh, 2009; Wentworth & Monroe, 1995). Wentworth och
Monroe (1995) betonar att presenterade uppgifter ska vara väl genomtänkta och att
materialen har stor betydelse för elevernas lärande. Genom att inledningsvis ha det hela
9
konstant skriver Wentworth och Monroe (1995) att förståelse skapas och att det sedan
kan varieras när förståelsen infunnit sig.
3.6 Bråk i undervisning
Häggblom (2012) skriver att cirklar och rektanglar ofta representerar helheter på grund
av dess olika fördelar. Cirklar kan tydligt delas in i 1
2,
1
4 och
1
8 men uppger svårigheter
vid indelning av vissa andra bråk. Rektanglar kan fördelaktigt användas vid operationer
av bråktal samt i form av chokladkakemodellen när rektangeln delas upp både på bredd
och längd (Häggblom, 2012). Häggblom (2012) betonar vikten av att variera
representationen av bråktal varav fem sätt nämns:
Symboler kan användas för att skriva tre fjärdedelar (3
4).
Konkret material genom en flanotavla med cirkelform.
Verkligt material i form av till exempel en cirkelformad tårta.
Språk genom ”tre fjärdedelar”.
Rita egna figurer.
Karlsson och Kilborn (2015a) beskriver även likadelning som en metod att förklara del
av helhet. Likadelning innebär att när en helhet delas i två delar blir den ena delen en
halv. Delarna kan med fördel skrivas ut med bokstäver för att signalera att de är enheter
(Karlsson & Kilborn. 2015a).
Clarke, Roche och Mitchell (2006) skriver att australiensiska elever i årskurs sex har
stora problem med att urskilja helheten. När uppgifter visar en bild av exempelvis 2
3 av
helheten och eleverna ska rita den visar det sig vara problematiskt. Studien tydliggör
också elevernas svårigheter att benämna enskilda andelar när helheten är indelad i både
fjärde- och sjättedelar (Clarke m.fl, 2006). Clarke m.fl. (2006) fortsätter att poängtera
vikten av att låta elever möta uppgifter där helheten delas in i olika stora delar och
former. Öppnas elevernas tankar om bråk upp och missförstånd synliggörs sker lärande
(Clarke m.fl., 2006).
McIntosh (2009) beskriver fem avgörande aspekter för att skapa förståelse för bråktal.
Dessa är överförbara till delar av helhet vilket är studiens fokus. Det första är att
samtliga delar ska vara av samma storlek för att beräknas som bråkdelar. Det andra är
att eleverna måste förstå att nämnaren visar antalet delar helheten delats i. Det tredje att
om täljarna är identiska medan nämnaren skiljer sig så är talet mindre om nämnaren är
större. Det fjärde skriver McIntosh (2009) är att täljaren visar antalet delar av helheten.
Till sista nämner McIntosh (2009) ekvivalenta uttryck vilket innebär att flera
bråkuttryck kan representera samma tal. Om elever har förståelse för dessa fem
bråkaspekter har de möjligheten att bemästra bråkbegreppet.
För att ge elever möjligheter att förstå och sedan lösa problem kan uppgifterna med
fördel kontextualiseras (Hodges, Cady & Collins, 2008). Kontextualisera betyder att
problemet bemöts utifrån sitt sammanhang. Genom kontexten kan problemet förstås och
sedan tolkas med hjälp av olika representationsformer. När tolkningen sker från ett
vardagsexempel till andra representationsformer har de en bättre chans att bygga på sin
redan befintliga kunskap med nya tankar skriver Hodges m.fl. (2008). Är eleverna
10
ovana vid tolkningen genom läromedel och undervisning blir problemet komplicerat
och lösningsfrekvensen låg.
Genom att uppmana eleverna att använda och värdera representationsformernas för- och
nackdelar kan läraren hjälpa eleverna till förståelse. Läraren kan vid lektionerna även
uppmana till lösningar baserade på flera olika representationsformer skriver Hodges
m.fl. (2008). En uppgift kan med fördel lösas genom symboler och med ritad figur till
en början. När eleven sedan kommit fram till en lösning kan eleven beskriva med ord
hur den löste uppgiften. Uppgifterna ska utgå utifrån en för eleverna välbekant kontext
för att senare låta eleverna lösa uppgifter längre ifrån deras egna föreställningsvärld.
Laborativa material
Laborativa material hjälper elever att förstå komplicerade och abstrakta objekt (Hodges
m.fl., 2008). När begreppen introduceras bör laborativa material användas. De
laborativa materialen vara inköpta av skolan eller skapas av lärar och elever. De
egengjorda kan till exempel skapas med hjälp av vanligt A4-papper. När bråkförståelsen
infunnit sig kan de sedan gå över till att använda ritade bilder för att till sist förlita sig
på symboler. Cusinaire-stavar och mönstrade block är exempel på laborativa material
lämpade för bråkinlärning (Hodges m.fl., 2008). Cusinaire-stavar är olikfärgade stavar i
varierade längder vilka kan representera bråktal.
Även Cramer, Post och DelMas (2002) skriver om laborativa materials fördelar, även i
sjätte klass. De tycker att elever sällan får koppla laborativt material med bråktal i
undervisningen (Cramer m.fl., 2002). Gabriel m.fl. (2012) och Hodges m.fl. (2008)
skriver i sina studier att bråktal ska introduceras tillsammans med konkret material för
att sedan gå över till mer abstrakta symboler. Det konkreta materialet, i detta fallet
trästavar, synliggjorde helheten. Eleverna utvecklade även en trygghet i att det vid
addition av bråktal kan bli mer än helheten, eller 1. Inte bara att bråktalen konkretiseras,
elevernas motivation att lära stärks också genom att eleverna deltar i läroprocessen
(Gabriel m.fl., 2012).
3.7 Bråk i läromedel
Läromedlets, i de flesta fall i form av en lärobok, upplägg påverkar lärarens
undervisning på flera olika sätt (Alajmi, 2012). Alajmi (2012) nämner att till exempel
att läxor, matematiska avsnitt och lärarens metodik påverkas. Ländernas läroplaner visar
sig i läromedlen skriver Charalambos, Delaney, Hsu och Mesa (2010) och det går även
att se om länderna förespråkar begrepps- eller procedurförmåga. I läromedlen tas bråktal
ofta upp i andra klass genom att storleksordna och namnge bråktal trots att de inte har
någon förståelse för bråktalens innebörd skriver Bezuk och Kramer (1989). För att
skapa förståelse behöver den tidigare nämnda begreppsförmågan stimuleras initialt.
I studien undersöker Alajmi (2012) hög- (Japan), medel- (USA) och lågpresterande
(Kuwait) länders läromedel. Skillnaden i deras prestationer utgår ifrån TIMSS (Mullis,
2008). De analyserade läromedlen är ifrån mellan årskurs 1-5. Alajmi (2012) hänvisar
till undersökningar av bland annat Flanders (1987) där mycket ny matematisk
information presenteras i amerikanska läromedel under de tidiga åldrarna. Mycket
repetition sker därmed för äldre elever. Anledningen till den vanligt förekommande
repetitionen kan vara att bråktal introduceras redan i första klass i USA och Kuwait. För
11
lite fokus ligger på förståelse i läromedlen skriver Alajmi (2012) och fortsätter att
förklara att andelen uppgifter där förklaringar krävs är betydligt färre än symboler.
Bråkkapitlens placering hindrar även inlärningen eftersom de vid flera tillfällen ligger i
läromedlets slut. Det resulterar i att det inte tar samma plats (Alajmi, 2012).
Det finns även stora skillnader mellan ländernas läromedel i uppgiftskonstruktionen
skriver Alajmi (2012). Japanska läromedel skilde sig tydligt ifrån amerikanska och
kuwaitiska läromedel i flera aspekter, framförallt att flera uppgifter baserades på
verkliga händelser. Genom att basera uppgifterna på verkliga scenarion ser eleverna
nyttan med kunskaperna (Alajmi, 2012). Charalambos m.fl. (2010) skriver att även
uppgifterna i cypriotiska, taiwanesiska och irländska textböcker skiljer sig. De
cypriotiska och irländska läromedlen har få kognitivt krävande uppgifter, vilket
stimulerar metodförmågan. De taiwanesiska läromedeln innehåller flera, vilket snarare
stimulerar begreppsförmågan. Av läromedlens matematiska avsnitt var delar av helhet
den mest framträdande aspekten av bråk i de cypriotiska och irländska läromedlen trots
att det tog lite plats i de taiwanesiska läromedlen (Charalambos m.fl., 2010).
Hodges m.fl. (2008) har undersökt hur Häggbloms (2012) fem olika
representationsformer används i tre amerikanska matematiska läromedel. Studien visade
att bråkavsnittet i de tre läromedlen skiljer sig mycket från varandra. Två av läromedlen,
Thematics och Glencoe, använder symboler i fler än åtta fall av tio medan det tredje,
CMP, har en bred variation av representationsformer (Hodges m.fl., 2008). CMP
använder symboler vid hälften av uppgifterna men även textform, bilder och
vardagsexempel i var fjärde uppgift. Thematics och Glencoes, vilka har stor
koncentration vid representationsformen symboler, upplägg gör att undervisningen
behöver kompletteras med ytterligare representationsformer för att ge eleverna
möjlighet att lära (Hodges m.fl., 2008). Hodges m.fl. (2008) antar att anledningen till
den höga koncentrationen symboler kan bero på att läromedlens författare förespråkar
abstrakt tänkande. Elever med redan utvecklad förståelse har god möjlighet att lösa
abstrakta uppgifter medan elever vilka är på väg att bygga en förståelse är i behov
bråktal ur fler aspekter. Hodges m.fl. (2008) fortsätter att poängtera att om lärare enbart
går efter läromedlet skapas elever med skilda kunskaper.
4. Teoretisk ansats I det här kapitlet kommer variationsteorin presenteras, eftersom den ligger till grund för
analysen av studiens empiri. Lärandeobjekt, aspekter och drag samt de olika
variationsmönstren är bärande begrepp och kommer att klargöras nedan.
4.1 Variationsteorin
Variationsteorins grund är att urskilja skillnader inom lärande för att skapa
lärandeförutsättningar (Runesson, 2006). Fenomenet som ska läras undersöks och
presenteras utifrån dess egenskaper och förståelsen skapas genom att egenskaperna
varieras. Genom variationen förstår eleven fenomenet utifrån flera håll, vilket gör att
förståelsen fördjupas (Runesson, 2006). Guo och Pang (2011) skriver att lärande inte
kan ske utan variation. En grundläggande förutsättning för lärande i variationsteorin är
att något alltid lärs in, vilket kallas lärandeobjekt (Lo, 2012; Marton & Booth, 2000;
Marton, 2014). Förståelse för lärandeobjektet sker genom att dess egenskaper
tydliggörs. Lärandeobjektets egenskaper kallas inom variationteorin aspekter. De bör
12
visas ur olika synviklar för att ges möjlighet att förstås (Lo, 2012; Marton, 2014). Dessa
synvinklar kallas för variationsmönster (Lo, 2012; Olteanu, 2016; Olteanu & Fors,
2013; Olteanu & Olteanu, 2012).
4.2 Lärandeobjekt
Lärandeobjektet syftar på det eleverna lär sig i undervisningen (Lo, 2012).
Lärandeobjektet är inte alltid det läraren vill att eleven ska lära sig, utan det skiljer sig
mellan elever. Det är lärarens uppgift att undersöka vilket lärandeobjektet är för varje
elev (Marton & Booth, 1997). Marton (2014) skriver att det kan preciseras i tre
aspekter, i form av innehåll, undervisningens lärandemål och i form av kritiska aspekter.
Lärandeobjekt och lärandemål blandas lätt ihop (Lo, 2012). Lärandemål kan vara att
använda bråktal i problemlösning, medan lärandeobjektet är att eleverna först ska
benämna täljare och nämnare.
Skolors fokus går alltmer mot bedömning till följd av att lärandemål för skolorna uttalas
(Lo, 2012). Lärandemålen kan till exempel utvärderas vid nationella prov. Skiftar fokus
mot lärandemål minskar fokus på skolans uppdrag, lärande (Lo, 2012). Lärandemålen
ska utvärdera undervisningen för att utveckla den, inte för att lärande ska hamna i
perifirin. Lärandeobjektet inriktar sig, till skillnad från lärandemålet, på lärandets start
(Lo, 2012). Om bråktal ska användas vid problemlösning (lärandemål) behöver eleven
först behärska nämnarens innebörd (lärandeobjektet) innan det är möjligt. Under tiden
eleverna arbetar med lärandeobjektet skiftar det form, vilket visar lärandeobjektets
dynamiska karaktär. Om läraren inte håller lärandeobjektet dynamiskt inför sina elever
resulterar det i att eleverna inte ges möjlighet att lära. Både elever och lärare förstärker
sina kunskaper om lärandeobjektet om det diskuteras emellan dem skriver Lo (2012).
4.3 Kritiska aspekter och kritiska drag
Ett lärandeobjekt kan ses utifrån olika synsätt och utifrån medvetandegjord aspekt är
bilden av lärandeobjektet olika (Lo, 2012). Aspekterna delas in i icke-kritiska eller
kritiska, beroende på om de försvårar elevens förståelse för fenomenet eller inte (Guo &
Pang, 2011; Lo, 2012; Marton, 2014). Marton (2014) skriver att aspekter är en
dimension av variation av lärandeobjektet och drag är ett värde av aspekten. Om ett
bråktal är lärandeobjektet kan helhet vara en aspekt av bråktalet och draget 2
2.
Aspekter eleverna inte är medvetna om är därmed kritiska för dem. Sambandet mellan
två aspekter kan även hindra förståelsen för lärandeobjektet (Marton, 2014). För att få
elever att lära sig behöver de urskilja aspekterna med lärarens stöd. För att läraren ska
lyckas med detta är det avgörande att läraren förutser lärandeobjektets potentiella
kritiska aspekter (Marton, 2014). De kritiska aspekterna är olika beroende på
lärandeobjekt och elever på grund av deras olika erfarenheter. Enda sättet att urskilja
dem är att undersöka elevgruppens förståelse (Marton, 2014).
4.4 Variationsmönster
Ett nödvändigt villkor för lärande är att ett lärandeobjekts drag varieras för att göra
dragen möjliga att urskilja (Lo, 2012). Det kan vara drag som tidigare tagits för givet
och plötsligt genom variationen blivit synligt eller när en individ bekantar sig med ett
13
nytt lärandeobjekt med nya kritiska drag. Olteanu och Olteanu (2012) skriver att vi
behöver erfara en skillnad från våra tidigare erfarenhet för att den ska tydliggöras. För
att möjliggöra lärande behöver undervisningen tillgängliggöra variationen, samtidigt
som eleverna måste vara mottagliga för den. Både Lo (2012) och Marton (2014) betonar
att lärarens uppdrag att se till att eleverna kan urskilja variationen både genom att de ges
möjlighet att upptäcka den själv, men också genom vägledning av läraren.
Variation i undervisning
Lo (2012) skriver att för mycket undervisning baseras på likheter istället för skillnader.
Studier har visat att undervisning baserad på variation ger mer omfattande effekt på
lärande än den utan variation (Runesson, 2005). Variation bör inte blandas ihop med
varierande undervisningsmetoder skriver Lo (2012). För att lärande ska ske behövs inte
bara variation utan även rätt undervisningsstrategier och metoder (Lo, 2012). En sådan
undervisningsmetod skulle kunna vara att läraren låter eleverna urskilja vad som inte är
det som ska läras in, så att eleverna lär sig var fokus inte är på. För att även kunna
urskilja ett enskilt drag behövs draget urskiljas i en variation skriver Lo (2012). När
aspekten tal undervisas kan draget bråktal visas. Om inte naturliga tal presenteras och
urskiljs kan kan uppfattningen vara att alla tal är bråktal. Visas flera olika bråktal istället
är det inte möjligt att urskilja variationen av tal, utan istället variationen av bråktal (Lo,
2012).
Urskiljning, variation och samtidighet ser Lo (2012) därmed som essentiellt för lärande.
För att lära något måste det kunna urskiljas. För att underlätta den möjligheten bör
variationen av lärandeobjektet presenteras samtidigt. Marton (2014) exemplifierar en
bild av ett soligt sommarlandskap. Visas det soliga landskapet på vintern istället är det
stor sannolikhet att skillnaderna uppfattas. Variation av aspekter och drag kan ske på
olika sätt. Lo (2012) exemplifierar kontrast, separation, generalisering och fusion.
Variationsmönstret similaritet, vilket skulle kunna jämföras med de likheter Lo (2012)
beskriver, är ett ytterligare exempel på variationsmönster (Olteanu, 2016, Olteanu &
Olteanu, 2012; Olteanu & Fors, 2013).
Kontrast
Den minsta formen av variation är när två aspekter varieras respektive lämnas konstant
vilket kan ske genom kontrast (Marton, 2014). Vid kontrast erbjuds en variation av
lärandeobjektets aspekt (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012). När ett drag varieras ställs
dragen i kontrast med varandra (Lo, 2012). Guo och Pang (2011) skriver att en liknelse
sker mellan två värden av aspekten. Marton (2014) ser det som att eleven blir medveten
om en tidigare okänd aspekt. En viktig förutsättning för möjligheten att urskilja
kontrasten mellan dragen är att båda dragen upplevs samtidigt, alltså enligt samtidighet
(Lo, 2012). Lo (2012) jämför kontrastering med ”finn-fem-fel”- bilder där två bilder
med ett antal små skillnader jämförs bredvid varandra. Om de istället inte hade gått att
se samtidigt hade skillnaderna blivit svårare att uppfatta. Bråktal kan till exempel
kontrasteras genom att helheten först visas i form av en cirkel för att sedan visas som en
rektangel. Lo (2012) skriver att ett tecken på skickliga lärare är att de ofta förlitar sig på
kontrastering som metod.
Lo (2012) skriver att kontrastering även kan ske med uppfattningar genom att
kontrastera en individs tidigare uppfattningar mot nya. För att det ska kunna ske måste
den nya faktan jämföras mot den tidigare, annars förträngs de nya kunskaperna (Lo,
14
2012). Vissa elever behöver ingen lärare för att göra det vilket är en anledning till att de
lär sig mer och andra mindre skriver Lo (2012).
Separation
En förutsättning för separation är att kontrast tidigare skett (Lo, 2012). Om ett bråktals
aspekts representationsform varieras genom att visa upp det både som en cirkel och en
rektangel har aspekten form separerats från lärandeobjektet bråktal. Innan
representationsformen varierades genom kontrast var representationsformen inte synlig
eftersom den tidigare ansågs vara en självklarhet för lärandeobjektet (Lo, 2012). När
den separerats ifrån lärandeobjektet genom att flera drag av aspekten tydliggjorts kan
eleven se värdet skilt ifrån lärandeobjektet (Guo & Pang, 2011). Innan detta görs bör
eleverna få se aspekten ur ett flertal dimensioner av variation för att aspekten inte ska
bli ett med helheten igen (Lo, 2012). I undervisningen bör lärandeobjektet som helhet
visas till en början för att sedan separera lärandeobjektets aspekter skriver Lo (2012).
Generalisering
När flera aspekter av ett lärandeobjekt varieras samtidigt som den tidigare separerade
aspekten är konstant har en generalisering genomförts (Lo, 2012). Det kan till exempel
ske genom att visa en färg i olika sammanhang, alltså att generalisera färgen (Marton,
2014). För eleven handlar det inte om att se likheterna mellan objekten med samma
färg, utan att se att många andra objekt kan ha samma färg (Marton, 2014). Det betyder
att de varierande aspekterna separerats ifrån lärandeobjektet (Lo, 2012). Eleven erbjuds
en mer omfattande bild av lärandeobjektet och ökar därmed sin förståelse (Guo & Pang,
2011). Denna variationsform skapar ingen ny mening skriver Marton (2014) men
befäster en eller flera redan kontrasterade aspekter. Det finns dock ingen garanti att
eleverna lär sig att färg är generaliserbar bara för att de ser att färgen grön kan
generaliseras (Marton, 2014).
Fusion
När flera av lärandeobjektets aspekter separerats och sedan varieras simultant kallas
variationsmönstret för fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014). Variationsmönstret
kan användas för att se om eleven uppfattar den separerade aspekten när den inte ensamt
varieras. Lo (2012) skriver att vissa fenomen är nödvändiga att uppleva genom simultan
variation eftersom fenomenet annars inte helt kan förstås. I vissa fall varieras flera
ytterligare aspekter till följd av en aspekts variation (Marton, 2014). Om exempelvis en
kvadrats antal hörn varieras, varieras även dess form. Om först aspekten täljare varieras
av lärandeobjektet bråktals storlek får eleven en förståelse för dess betydelse. Om sedan
endast nämnaren varieras förstår eleven även den aspekten av bråktalet och dess
koppling till talets storlek. När båda dessa aspekter separerats kan de simultant varieras
för att undersöka om elevens förståelse för bråktalets storlek som helhet utvecklats (Guo
& Pang, 2011; Lo, 2012).
Similaritet
Similaritet, vilket är ett underordnat variationsmönster till generalisering, sker när minst
två uttryck ger utlopp för samma innebörd (Olteanu & Olteanu, 2012). Både Olteanu
och Olteanu (2012) och Olteanu och Fors (2013) exemplifierar similaritet genom frågor.
Olteanu och Olteanu (2012) skriver att variationsmönstret similaritet erbjuds genom att
fråga hur mycket något kostar med varierade ordval. Olteanu och Fors (2013) skriver att
läraren frågar efter hur något ska avslutas med varierande ordval.
15
5. Metod I detta kapitel kommer studiens metodologiska teori redogöras för tillsammans med hur
insamlad empiri analyseras. Empirin samlades in i form av läromedelsanalys,
lärarintervjuer och observationer.
5.1 Metodologisk ansats
Denna studie undersökte hur lärare uppfattade läromedel, elevers kunskaper och
metoder för att skapa sin undervisning. Studien grundar sig i en kvalitativ ansats vilket
betyder att orden analyseras i studien. Forskaren har även en central roll och är ett
avgörande mätinstrument skriver Denscombe (2016). Den fenomenografiska ansatsen
som låg till grund för undersökningen intresserar sig för hur människor uppfattar sin
omvärld (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Marton och Booth (2000) använder erfar istället
för uppfattar och nämner även andra tolkningar såsom sätt att förstå, sätt att begripa
eller begreppsbildning. Fenomenografi härstammar från orden fenomen och grafi.
Fenomen betyder att visa sig eller att ta fram i ljuset. Grafi betyder att beskriva något
(Uljens, 1989).
För att få en klar förståelse av en individ räcker det inte att bara veta hur individen
upplevs utifrån skriver Larsson (1986). Genom att istället försöka ta reda på hur
indivder förstår något kan förståelse för indivden utvecklas. Marton och Booth (2000)
skriver att fenomenografin intresserar sig för hur människor hanterar omvärlden och
därför måste förståelse för hur människor erfar den också tydliggöras. Marton och
Booths (1997) skriver att fenomenografin delvis förväxlas med psykologi eftersom båda
intresserar sig för vad som erfars och hur det erfars men det skiljer sig eftersom i
fenomenografin är det centralt men underordnat i psykologin. Fenomenografin
förväxlas även med fenomenologi men i fenomenologin är det självupplevda i och
fokus i fenomenografin står någon annans upplevelser i centrum (Marton & Booth,
2000).
I denna studie var andra ordningens perspektiv i fokus till skillnad från andra kvalitativa
forskningsmetoder vilka fokuserar på första ordningens perspektiv (Larsson, 1986). De
intervjuade personerna i denna studie beskrev hur bråkbegreppet framstog för dem efter
sina erfarenheter och tänkande, inte hur det nödvändigtvis var. Det betyder även att
olika individer har olika uppfattningar, vilket tydligt skiljer sig mot första ordningens
perspektiv vilket ska baseras på fakta. Även intervjuarens uppfattningar är viktiga
eftersom det påverkar hur denne tolkar empirin (Uljens, 1989). Uljens (1989) skriver att
intervjuaren ska sätta ord på sina egna uppfattningar innan empirins samlas in för att
öka empirins validitet.
Larsson (1986) beskriver fenomenografin i fyra steg:
1. Undersöka andra ordningens perspektiv, alltså hur en individ uppfattar
omvärlden.
2. Detta görs genom att samla in empiri genom intervjuer
3. Variation inom uppfattningar av fenomenet synliggörs i empirin
4. Beskrivningskategorierna binds till de specifika uppfattningarna.
Uppfattningsnivån representerar tydligt skillnader i uppfattning av fenomenet.
16
Första och andra ordningens perspektiv
Inom fenomenografin är det speciellt viktigt att skilja på hur fenomenet är och hur ett
fenomen uppfattas (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Fenomenografin benämner det som
kan styrkas av fakta för första ordningens perspektiv och individers uppfattningar för
andra ordningens perspektiv. Till skillnad mot Larsson (1986) förklarar Uljens (1989)
första ordningens perspektiv som aspekter forskaren själv beskriver utifrån
verkligheten. Andra ordningens perspektiv används däremot för att beskriva andras
uppfattningar utifrån verkligheten (Uljens, 1989). Marton och Booth (1997) går än
längre och skriver att andra ordningens perspektiv även beskriver fysiska, biologiska
och sociala erfaranden av omvärlden.
Den andra ordningens perspektiv är avgörande för fenomenografen (Marton & Booth,
1997). För fysiker är därmed första ordningens perspektiv vital skriver (Marton &
Booth, 1997). Fokus ligger inte på att benämna uppfattningen efter rätt och fel utan om
det är första eller andra ordningens perspektiv (Larsson, 1986). Larsson (1986) skriver
också att åsikter inte ska blandas ihop med uppfattningar eftersom åsikter betyder att det
går att välja mellan åsikter, uppfattningar är snarare det vi baserar våra åsikter efter.
Uljens (1989) benämner det som ”den för givet tagna verkligheten” (Uljens, 1989:19).
Kontextualisering
Två bärande begrepp inom fenomenografin är kontextualisering och dekontextualisering
av uppfattningarna (Uljens, 1989). De uppfattningar fenomenografin intresserar sig för
delas in i tankeakter och tankeprodukter (Uljens, 1989). Det uppfattade ses likt en
aktivitet för mening när uppfattningar ses som tankeakter och när uppfattningar ses som
tankeprodukter syftar det till objektets innehåll.
När uppfattningarna kontextualiseras tolkas de tillsammans med den omvärld de
härstammar ifrån (Uljens, 1989). De tolkas alltså inte för sig själva utan i sin kontext.
Kontextualiseringen kan därmed ses som en helhet eftersom uppfattningen behandlas
efter vem som uppfattar det (Uljens, 1989). En lärares uppfattning om ett matematiskt
avsnitt uppfattas efter sammanhanget. Bråktal uppfattas till exempel olika beroende på
om läraren är en låg- eller högstadielärare. Lärarens syn på avsnittet kan därmed skilja
sig beroende på kontext. När uppfattningen kontextualiseras är behovet stort att
definiera kontexten för att uppfattningen ska kunna förstås (Uljens, 1989).
När lärarna i studien beskrev sina egna uppfattningar om ett fenomen behövde de
reflektera över sina uppfattningar. Uppfattningen separerades därmed ifrån helheten och
uppfattningen dekontextualiseras (Uljens, 1989). Uppfattningen togs ifrån sitt
sammanhang och den analyserades fristående, vilket gjorde att den kunde jämföras med
andra uppfattningar från skilda kontexter (Uljens, 1989).
5.2 Genomförande
Studiens metod omfattade tre moment. En läromedelsanalys av elevernas
matematikläromedel, lärarintervjuer med två lärare samt observationer av deras
lektioner. Intervjun av lärarna genomfördes efter observationstillfället, den 25 april
2017. Empirin sammanställdes inledningsvis i en tabell och presenterades sedan en i
taget.
17
Beskrivningarna av lärarnas uppfattningar om undervisningen exemplifierades genom
citat från de intervjuade vilket fenomenografiska studier vanligtvis gör (Svensson,
1986). Svensson (1986) anser även att citat bör användas sparsamt vilket togs i
beaktande genom att endast de mest betydande citaten presenterades. När aspekterna var
frånvarande i läromedelsanalys, intervju eller observation redovisades de inte i
resultatet.
5.2.1 Läromedelsanalys
Det mest frekvent använda läromedlet i klasserna var Matteborgen vilket var uppdelat i
två läroböcker. Matteborgen 4B var det andra av två läromedel i årskurs 4. Matteborgen
4A vilken används först bestod av kapitel 1-5 och Matteborgen 4B bestod av kapitel 6-
10. I kapitel 9, vilket var 27 sidor, behandlades bråktal. Delar av helhet hade en
betydande roll i kapitlet. Bråkkapitlet hade även fyra mål. Målen var att eleverna ska
kunna läsa och skriva bråk, avläsa bilder av bråk, avläsa hur många delar det gick på en
hel och att storleksordna bråk med samma täljare eller nämnare. Varje delområde
inleddes med en presentation av området i en informationsruta och sedan presenterades
uppgifter till innehållet därefter. Först presenterades samtliga aspekter av bråk med en
efterföljande diagnos. Beroende på resultat fanns det ett enklare respektive svårare
avsnitt.
I läromedlet analyserades aspekter av bråk för att undersöka vilken bild eleverna fick av
bråktal. Aspekterna analysen utgick för det första ifrån hade sin grund i vad tidigare
forskning skriver påverkar lärande. Andra aspekter som gavs omfattande utrymme i
läromedlet analyserades även.
Frågor vilka läromedelsanalysen av Matteborgen 4B baserades på är följande:
1. Vilka aspekter av delar av helhet presenteras i läromedlet?
2. Hur presenteras helheten, delars storlek, täljaren och nämnarens betydelse och
ekvivalenta uttryck?
3. Hur mycket begrepps- respektive procedurförmågor presenteras?
5.2.2 Intervju
Två lärare intervjuades i studien. Intervjufrågornas syfte var att urskilja lärarnas
planering utifrån bråkområdet i allmänhet och delar av helhet i synnerhet. Frågorna
valdes efter läromedlets upplägg, samt efter vilka aspekter av delar av helhet litteraturen
ansåg vitala för förståelsen.
1. Vad anser du eleverna har svårigheter för inom delar av helhet?
2. Hur gör du för att skapa förståelse för helhet, delars storlek, täljaren och
nämnarens betydelse och ekvivalenta uttryck?
3. Vilka representationsformer föredrar du i sin undervisning inom delar av helhet?
4. Hur arbetar du med begrepps- respektive precedurförmågan?
5. Hur tycker du att läromedlet förhåller sig till bråk med fokus på delar av helhet?
För att få möjlighet att undersöka frågeställningarna valdes intervju som en av tre
metoder. När intervjuobjekt valdes ut behövde flera förutsättningar beaktas, val av
intervjuform var en av dessa. När en intervju genomförs reflekterar den intervjuade
medvetet om sitt medvetande (Marton & Booth, 2000). Intervjun i studien var
18
semistrukturerad vilket menas med att intervjuaren har vissa förberedda frågor men att
ordning av dessa kan ändras samt att nya frågor kan tillkomma (Denscombe, 2016).
Istället för semistrukturerad intervju beskriver Johannson och Svedner (2010)
intervjuformen som kvalitativ intervju. Johansson och Svedner (2010) skriver att de
kvalitativa intervjuerna ofta ger intressanta resultat om exempelvis lärares undervisning.
Intervjufrågorna i studien var av öppen karaktär eftersom lärarnas tankar synliggörs
bäst. Det är viktigt eftersom intervjuaren vill att reflektionerna av den intervjuade skulle
återges så grundligt som möjligt (Marton & Booth, 2000).
När intervjun genomfördes mellan forskare och informant, vilket genomfördes i denna
intervju kallas den för personlig. Fördelen är att de är relativt enkla att ordna och
enklare att transkribera med enbart två röster (Denscombe, 2016). Denscombe (2016)
betonar vikten av att inte lita på intervjuarens minne. Intervjuerna i studien spelades
därmed in för att underlätta för författaren om något skulle förbises.
Deltagande lärare hade olika erfarenhet av matematikundervisning. Den ena läraren
(Lärare 1) hade undervisat i matematik i 20 år. Läraren hade bedrivit
matematikundervisning på både låg- och mellanstadiet och undervisat i årskurs 4 vid ett
flertal tillfällen. Den andra läraren (Lärare 2) hade undervisat i matematik i snart ett
läsår och det är därmed första gången läraren undervisar i matematik i årskurs 4. 5.2.3 Observation
För att se hur lärarna verkställde sina pedagogiska tankar var det avgörande att verifiera
hur dessa tankar presenterades i undervisningen. Observationerna genomfördes med
hjälp av ett observationsschema vilket Johansson och Svedner (2010) benämner
observationsmanual. Observationsmanualen bör vara välplanerad för att få en lyckad
observation och Johansson och Svedner (2010) nämner fem punkter vilka bör finnas
med vid en observation:
Observatörens namn, tidpunkt och plats för observation.
Om obervatören arbetar själv, placering i klassrummet och om den gör det
stillaståendes eller rörligt.
Noga definierad vad som ska observeras och vem som ska observeras.
Hur tiden används vid observationen vad gäller när observationen registreras
och pauser mellan de olika observationerna.
Vilka hjälpmedel observatören har, exempelvis papper och penna eller till och
med inspelningsutrustning.
Observationsmallen (bilaga 1) i denna studie var inspirerad av Los (2012)
observationsmall ämnad för variationsteorin. Konstanta och varierande värden skrevs
ner samt vad eleverna urskiljer vilket fanns med i Los (2012) original. Studiens mall
omfattade även fyra variationsmönster utskriva för att förenkla observationen.
Observationerna genomfördes genom att författaren satt längst ner i klassrummet, en bit
ifrån eleverna med observationsmanual och förde anteckningar med penna och
radergummi. Observationen av Lärare 1 var 50 minuter, och observationen av Lärare 2
var 40 minuter. Båda observationerna genomfördes under eftermiddagen den 25 april
2017 med en rast emellan och lektionerna omfattade enbart bråkbegreppet.
19
5.3 Urval
Vid denna studie var syftet att undersöka hur bråk med inriktning på delar av helhet
presenterades i mellanstadiet. Därav innefattade undersökningen lärare vilka
undervisade i mellanstadiet och helst lärare i årskurs 4 eftersom de undervisade dessa
elever vid studiens genomförande. Vid ett icke-sannolikhetsurval kan forskaren välja att
styra urvalet på grund av undersökningens karaktär (Denscombe, 2016).
Flera lärare i årskurs 4 tillfrågades varav två visade intresse för att delta i
undersökningen. Lärarna hade varsin årskurs 4-klass ibland annat matematik i sydöstra
Sverige. De fick frågan dels för att de båda hade årskurs 4:a i matematik men också för
att de arbetar på VFU-skolor. De hade även ett uttalat intresse för undervisning.
Anledningen till att undersökningen gjordes med bekanta lärare indikerar även på vad
Denscombe (2016) kallar bekvämlighetsurval. Att undersökningen innefattade en
erfaren lärare och en ny lärare beror på att snedvridning av resultatet ville undvikas.
5.4 Validitet och reliabilitet
Uljens (1989) skriver att en studie är valid om den mäter eller undersöker studiens
avsikt, dess frågeställningar. Uljens (1989) skriver att undersökningen lätt svarar på
närliggande frågor till frågeställningarna vilket minskar studiens validitet. Jag hade
därmed valt att tydligt koppla studiens resultat till frågeställningarna för att stärka
studiens validitet.
Om en annan forskare hade använt samma metod och fått samma svar har studien en
hög reabilitet (Uljens, 1989). Både Uljens (1989) och Larsson (1986) ser dock
kvalitativa undersökningar som problematiska på grund av tolkningarna av empirin.
Eftersom det inte tolkas mekaniskt är det viktigt att tolkningen är trovärdig och inte
innehåller forskarens egna värderingar (Larsson, 1986). Larsson (1986) skriver att
kategoriseringen av empirin ska granskas kritiskt för att svarens dimensioner ska
urskiljas tydligt. Genom att låta reflektioner och insamlad empiri ställas mot varandra
flertalet gånger fördjupas förståelsen för indelade kategorier så att de blir korrekta
(Larsson, 1986). I resultatet hade jag i största mån ansträngt mig för att inte lägga in
några personliga värderingar eller åsikter. Både intervjuer och observationer
genomfördes för att bringa klarhet i både lärarnas tankar och utförande av undervisning.
Läromedlets omfattande plats i många lärares matematikundervisning gjorde att även en
analys av läroboken verkställdes.
5.6 Etiska principer
Vetenskapsrådet (2002) skriver att samhället har ett behov av forskning och att krav
därmed ska ställas på forskning som bedrivs. Vid studier likt denna finns därför vissa
forskningsvetenskapliga principer forskaren bör följa. För att forskningsdeltagare inte
ska bli kränka ska en rad skydd för individen uppfyllas. Dessa krav består av fyra delar
och presenteras nedan med koppling till studien.
Informationskravet – Detta krav syftar på att studiens deltagare i förväg ska få
studiens innehåll och syfte vilket de två deltagande eleverna tidigt blev
medvetande om. Kravet är speciellt viktigt när deltagare under 18 år är
20
inblandade och i den här studien låg fokus på lärare och läromedel vilket gjorde
det mindre komplicerat.
Samtyckeskravet – Deltagare i studien måste inte bara vara medvetna om
studiens innehåll, forskaren behöver också ha ett godkännande från deltagarna
för att kunna intervjua dem. Samtyckeskravet kräver också att deltagarna är
medvetna om att de när de så önskar kan avböja att vara med i studien.
Konfidentialitetskravet – Genom att inte skriva ut namn, personuppgifter eller
annan information vilket skulle kunna röja deltagarnas identitet följs
konfidentialitetskravet. Deltagande lärare benämndes som Lärare 1 och Lärare 2
i studien för en neutral benämning.
Nyttjandekravet –Nyttjandekravet syftar på att information inte sprids vidare till
intressenter utanför studien. Den insamlade informationen bearbetades till
resultatet och inspelade intervjuer raderades.
6. Resultat Insamlad empiri ifrån läromedelsanalys, intervjuer och observationer presenteras i detta
kapitel. Läromedelsanalysen är genomförd på Matteborgen 4B vilket är det använda
läromedlet i båda klasserna. De berörda aspekterna presenteras i en tabell vilket ger en
överblick för hur de förekommer i läromedel, intervju och observation. I presentationen
av resultatet redovisas i första stycket läromedlet, sedan intervjun och sist
observationen.
6.1 Undervisningens utformning
Vid intervjuerna tydliggjorde Lärare 1 att undervisningen koncentreras kring
begreppsförståelsen till skillnad från Lärare 2 som lägger störst fokus på
procedurförmågan genom läromedlet. Lärare 1:s elever övar på procedurförmågan med
läromedlet främst genom läxor på grund av dess ”mekaniska uppgifter” och att det är
för koncentrerat kring ett matematiskt avsnitt i taget:
Man får inte fastna för mycket i läromedlet eftersom det tar upp ett
arbetsområde i taget. Det kan vara lätt att glömma det gamla
(Lärare 1).
Lärare 2 påpekar att bråkkapitlet tar upp bilder, symboler och text för att presentera
bråktal. Lärare 1 arbetar oftast i grupper och par samt presenterar lösningar i helklass
medan Lärare 2 mestadels låter eleverna arbeta i boken. Lärare 1 betonar vikten av att
ge avsnitten gott om tid och digitala läromedels fördelar. Ofta presenteras
missuppfattningar i klassrummet genom elevers lösningar och att klassen tillsammans
undersöker felsvaret. Eleverna uppmuntras även att reflektera över strategier både
genom att se på varandra samt att spela in sig själva för att se på i efterhand.
6.2 Identifierade aspekter
De aspekter läromedlet, intervjuerna och observationerna presenterar redovisas i Figur
1. Läromedlet, intervjuerna och observationerna redovisas på x-axeln och de
identifierade aspekterna presenteras på y-axeln. Lärare 1 betecknas i tabellen som L1
och Lärare 2 betecknas som L2.
21
För att visa aspekternas omfattning används additionssymbol (+), addition och
subtraktionssymbol (+/-) samt subtraktionssymbol (-). Additionssymbol innebär att
aspekten berörs omfattande, addition- och subtraktionssymbol innebär att aspekten
berörs, men inte omfattande. Vid enbart en subtraktionssymbol saknas aspekten.
Läromedel Intervju
L1 L2
Observation
L1 L2
Helhet
+
+/-
+/-
+/-
+/-
Lika stora
delar
+
+
+/-
+/-
+/-
Täljare och
nämnare
+/-
+/-
+/-
+
+/-
Ekvivalent
a uttryck
+/-
+
+/-
+/-
-
Bråktal,
decimaltal,
procent
-
+
+/-
-
-
Figur 1. Tydliggjorda aspekter i empirin.
De identifierade aspekterna som uppdagats efter insamling av empirin av bråktal med
fokus på delar av helhet är följande:
Helheten – Vilken är helheten och hur den ger möjlighet till att urskiljas i
undervisningen.
Lika stora delar – Hur delarna presenteras och jämförs vid indelningen av delar
och att delarna ska vara lika stora.
Täljaren och nämnarens betydelse – På vilka sätt ger undervisningen möjlighet
att urskilja täljarens och nämnarens betydelse.
Ekvivalenta uttryck – Hur ger undervisningen möjlighet att urskilja att samma
värde kan skrivas på olika sätt genom bråktal.
Bråktals koppling till decimaltal och procent – För att kunna skapa förståelse för
bråktals storlek jämförs de med decimaltal och procent.
Lärarnas identifierade aspekter
Elever har svårt att skilja mellan delarna och helheten nämner Lärare 1. Ekvivalenta
uttryck är även komplicerade:
Ibland är det svårt att förstå att en halv kan skrivas på olika sätt och
det krävs mycket för att de ska kunna jämföra en halv i halvor och
fjärdedelar (Lärare 1).
22
Lärare 2 påpekar att elever har problem med vad nämnaren står för och att olika stora
helheter inte kan jämföras:
Har eleverna två kvadrater som är olika stora tror en del att de kan
jämföras med varandra. Att de måsta vara lika stora tar lång tid att
förstå (Lärare 2).
Helhet
Helheten har ett eget avsnitt i läromedlet och presenteras genom en cirkelformad
brödkaka och delas in i en, två, fyra och åtta delar. Helheten presenteras genom
linjerade rektanglar i tredje- och sjättedelar, genom en röd rektangel indelad i
tredjedelar och en blå rektangel indelad i femtedelar. De presenteras i text och
symboler. Rektanglar och cirklar används som helheter där de identifieras och skrivs om
från text till siffror. Helheter i form av symboler identifieras även med synliga täljare
mellan 1-10 och nämnare 3-10 tomma.
Mycket konkret material används för att eleverna ska förstå helheten nämner Lärare 1
och 2. Lärare 1 använder använder pizzor och flanobilder att lägga på varandra för att
tydliggöra vilka delar som skapar en helhet. Båda lärarna använder cirklar initialt för att
beskriva jämna bråktal som 1
2 och
1
4. Båda lärarna anser däremot att rektanglar är viktiga
för mer avancerade bråkkunskaper:
Jag föredrar rektanglar eftersom de är enklare att dela exakt när den
ska delas i många delar. Det är också bra när de ska multiplicera
bråk senare (Lärare 1).
Eleverna får även själva rita och fundera vad det är som är lättast enligt Lärare 1.
Cirklar används av Lärare 1 och 2 för att presentera helheten under observationerna.
Lärare 1 målade den på tavlan, genom datorn och en flanocirkel. Lärare 2 använde ett
äpple. Båda lärarna delade cirkeln i två delar. Lärare 2 ritade även två rektanglar med
olika storlekar på tavlan. Eleverna skulle se rektanglarna som något annat de gillar och
sedan får läraren den stora och en elev den lilla. Läraren hävdar att det var rättvist
eftersom de båda fått lika mycket.
Lika stora delar
Avsnittet om lika stora delar introduceras med två rektanglar. Den ena rektangeln är
delad i tre lika stora delar och den andra tre olika stora, med ordet olika kursiverat. Den
första bildens lika stora delar skrivs med symboler och tydliggörs som 1
3. Eftersom den
andra bilden inte har lika stora delar kan den inte beräknas i tredjedelar skriver boken.
Bråktal paras ihop med bilder i form av rektanglar och andra polygoner vilka är
indelade i tredje-, fjärde-, femte- och sjättedelar. Bilderna delas sedan in i delar vilka
både går och inte går att identifiera som bråktal. Rektanglar ska även målas och tilldelas
bråktal mellan en tredjedel och en tiondel. Vid ett tillfälle ska en halva av en streckad
rektangel målas och sedan ska en lika stor avbildas för att fylla i en fjärdedel.
Både Lärare 1 och 2 tydliggör att enbart lika stora delar av helheten kan räknas som
bråkdelar i intervjuerna:
Jag frågar dem om de vill dela en halv chokladkaka med sina
syskon på lördagen eller om de vill dela på en ruta av
chokladkakan (Lärare 1).
23
Eleverna ser tydligt att det inte går att jämföra helheter om de inte är lika stora. Lärare 2
jämför olika vikta A4-papper för att eleverna ska urskilja delarna och att de inte kan
jämföras om de inte är lika stora.
Under observationen använder Lärare 1 flanobilder i form av en cirkel och Lärare 2
använde rektanglar. Lärare 1 gav grupperna tre delar var, två tredjedelar och en
fjärdedel. Eleverna ska bilda en cirkel med delarna. De märker att det inte går och får
därefter diskutera vilka delar som kan skapa en hel. Lärare 2 använder två rektanglar av
samma storlek och delar in den ena i lika stora fjärdedelar och den andra i fyra olika
stora delar. Eleverna ombads benämna delarna först. Sedan väljs en av rektanglarna i
gruppen för att dela upp mellan varandra. Eleverna fick sedan själva dela in ritade
rektanglar och dela upp dem i både lika delar och inte lika delar och sedan byta dem
med varandra inom gruppen.
Täljare och nämnarens betydelse
Varken täljare, nämnare eller kvot omnämns i läromedlet. En cirkel indelad i sex lika
stora delar presenteras med fem av delarna ifyllda. Varje del benämns som 1
6 och att 5
delar är ifyllda. Därmed är 5
6 av cirkeln ifylld. Detta genomförs även i uppgifter med
cirklar och kvadrater målade i fjärde- och femtedelar, där eleverna ska genomföra
samma procedur. Figurer med olika form och delar benämns även efter bråktal i de
kommande uppgifterna. Bråktal som symboler med olika täljare och nämnare ska också
läsas upp. Figurer med bestämd storlek ritas och delas in i lika stora delar för att måla
bråktal. Figuren benämnas sedan efter hur stor den målade delen är. Tre rektanglar
indelade i fjärdedelar med en, två och tre delar målade storleksordnas bredvid varandra.
Detta görs även med åttondelar i form av en cirkel samt med symboler. På nästa sida
används samma metoder men med olika nämnare.
Lärare 1 benämner bråktalens delar och använder dessa i undervisningen för att de ska
känna sig säkra medan Lärare 2 låter eleverna säga och skriva bråkuttrycken, para ihop
dem med bilder och storleksordna dem. Lärare 1:s elever pratar och visar när de delar
för att skapa medvetenhet kring täljare och nämnarens innebörd.
Båda lärarna varierar täljare och nämnare under observationen. Lärare 1 delar en cirkel
med en ifylld del i andradelar till sjättedelar med hjälp av digitala läromedel. Lärare 2
använder ett äpple som delas i andradelar och sedan fjärdedelar samtidigt som de skrivs
på tavlan med symboler och ord. Båda lärarna använder täljaren som 1 eller samma som
nämnaren. Lärare 1 adderar även täljaren ett steg i taget tills den är 6
6 för att tydliggöra
täljarens funktion.
Ekvivalenta uttryck
Läromedlet presenterar helheter som ekvivalenta uttryck. Täljaren är mellan 2-10 och
nämnaren fylls i. Någon av täljare, nämnare eller kvot fylls i för att utgöra en helhet.
Helheter översätts från bild till symbol och från symbol till skrift. Helheterna
presenteras från halvor, till tiondelar samt i form av cirklar och rektanglar.
Enligt Lärare 1 har elever ofta problem med ekvivalenta uttryck vilket inte Lärare 2
anser. Båda lärarna föredrar konkreta material för att undervisa ekvivalenta uttryck.
Lärare 1 använder pizzabitar och Lärare 2 A4-papper. Om två pizzahalvor placeras på
24
den hela eller om två A4, vikta på mitten två gånger, läggs på ett vikt A4 demonstrerar
det att 2
2 är lika med
1
1:
Om eleverna delar ett papper på mitten och ett papper på mitten två
gånger så ser de ibland att det blir dubbelt så många rutor (Lärare
2).
Rutorna kan sedan läggas på varandra för att tydliggöra att 2
4 är lika stort som
1
2 menar
Lärare 2. Lärare 1 gör även om uppgifter för att eleverna ska tvingas skriva så många
ekvivalenta uttryck som möjligt:
Jag gör om mattebokens uppgift så att eleverna i slutet (av
uppgiften) också ska uttrycka ett bråktal på så många sätt de bara
kan (Lärare 1).
Lärare 1 använde flanocirkeln i observationen och frågade efter antal delar. Läraren
skrev 1
1 på tavlan och benämnde den som hel. Två stycken
1
2 lades på cirkeln och läraren
frågar efter antal delar och hur många delar helheten kräver. Läraren skriver sedan 2
2 på
tavlan.
Bråktalens koppling till decimaltal och procent
Kopplingen mellan bråktal och decimaltal och procent framhävs av båda lärarna i
intervjuerna. Decimaltal kan vara enklare att förstå omfattningen på menar Lärare 2 till
skillnad från vad Lärare 1 anser:
Det är dock viktigt att inte jämföra för mycket mellan dem men att
tidigt visa att det finns en koppling (Lärare 1).
Bråktal presenteras från 1
1 till
1
12 och dess storlek genom decimaltal och procent av
Lärare 1. Delas helheten två gånger i lika stora delar blir det 1
4, 0,25 och 25 % vilket är
nödvändiga riktmärken.
7. Analys av empiri I följande kapitel analyseras insamlad empiri utifrån variationsteorin. Varje identifierad
aspekt för tal i bråkform med inriktning på delar av helhet presenteras nedan.
Läromedlet erbjuder en dimension av variation av flera identifierade aspekter.
En kritisk aspekt utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv är att aspekterna sällan
explicit kontrasteras bredvid varandra, vilket Lo (2012) benämner samtidighet. Ett
flertal uppgifter ges dock möjlighet att urskilja på varje sida. Därav ges ändå
möjligheten att se variationen enligt samtidighet.
7.1 Helhet
Lärandeobjektet helhet introduceras med en hel brödkaka. Brödkakan delas i andradelar,
fjärdedelar och åttondelar. En delad helhet har därmed kontrasterats (Marton, 2014) och
en dimension av variation av lärandeobjektet erbjuds. När helheten delas separeras
(Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) aspekten delade helheter från lärandeobjektet. Senare
erbjuds helheten genom en röd rektangel indelad i tredjedelar presenterad bredvid en
blå rektangel indelad i femtedelar. Att minst två aspekter varieras simultant är en
förutsättning för fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014). Helhetens aspekt
25
uttrycksform generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även när den visas genom dragen
bild, siffror och text.
Lärare 1 kontrasterar (Marton, 2014) i intervjun uttrycksformens drag som pizzor med
att även visa flanobilder. Både lärare 1 och 2 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014)
helhetens form med cirklar och rektanglar och aspekten uttrycksform av lärandeobjektet
helhet. Lärare 1 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) även representationsformen till
dragen ritade former och symboler. Även fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014)
sker när flanocirklar och ritade rektanglar används eftersom aspekterna uttrycksform
och form varieras av Lärare 1.
I observationen av Lärare 1 generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) helhetens delar
genom att lärandeobjektet flanocirkeln behålls konstant och antal delar viarieras i två
lika stora delar (Lo, 2012; Marton, 2014). Det möjliggör urskiljning av helheten som
flera lika stora delar. Helheten generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) ytterligare när
andra helheter behålls konstant medan antal delar varieras med bland annat fjärdedelar.
Aspekterna urskiljs dock inte enligt samtidighet (Lo, 2012). Möjligheten att urskilja att
flera lika stora delar kan representera en hel sker även hos Lärare 2 när ett äpple först
visas helt och sedan delas i två delar. Både Lärare 1 och 2 separerar (Guo & Pang,
2011; Lo, 2012) därmed helheten som delad. Lärare 2 kontrasterar (Marton, 2014)
lärandeobjektet helhet när utseende på helheten är konstant medan storleken varieras.
Aspekten storlek separeras (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) när helheten urskiljs i olika
storlekar. Även Fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) används av både Lärare 1
och 2 när ett nytt moment startar och flera aspekter varieras vilket dock inte sker genom
samtidighet vilket Lo (2014) anser avgörande för lärande.
7.2 Lika stora delar
I läromedlet kontrasteras (Marton, 2014) delarnas betydelse när två likadana rektanglar
presenteras bredvid varandra och den ena har lika stora delar och den andra inte.
Aspekten lika stora delar separeras (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) därmed. Fusion
(Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) sker sedan när båda figurerna ändrar aspekterna
utseende och antal delar. Aspekterna utseende och antal delar har tidigare separerats
från bråkbegreppet vilket är en förutsättning för fusion (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012).
I intervjun exemplifierar Lärare 1 och 2 kontrast (Marton, 2014) när de tydliggör att
olika delar inte kan jämföras (Lo, 2012; Marton, 2014). Både Lärare 1 och 2 gör det
genom samtidighet eftersom de jämför två exempel bredvid varandra (Lo, 2012).
Under observationen behåller både Lärare 1 och 2 helheten konstant men varierar
storleken på delarna vilket gör att delarnas storlek går att urskilja genom kontrast (Lo,
2012; Marton, 2014). Lärare 2 håller två ritade rektanglar konstant och delar in dem i
fyra olika stora delar. Lärare 1 har flanocirkeln konstant och varierar delarna med två
tredjedelar och en fjärdedel. Eleverna generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) sedan
delarnas storlek när de själva varierar delarnas storlek för att testa varandra.
26
7.3 Täljare och nämnarens betydelse
Täljarens betydelse generaliseras (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) när en sexdelad
cirkels täljare benämns som 1
6 och sedan adderas en sjättedel i taget upp till
5
6. Både
täljaren och nämnaren urskiljs sedan genom fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014)
när flera olika figurer delas in i olika antal täljare och nämnare vilka ska benämnas.
Delar är konstanta medan täljare, nämnare och uttrycksform varieras. Täljaren
kontrasteras (Marton, 2014) genom samtidighet när tre rektanglar urskiljs bredvid
varandra med täljaren och utseendet konstant medan nämnaren varieras (Lo, 2012;
Marton, 2014). Detta sker även genom att nämnaren är konstant medan täljaren varieras.
Uttrycksform, täljare och nämnare varieras sedan genom samtidighet (Lo, 2012) vilket
gör att fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) sker. Därmed utvärderar läromedlet
om eleven uppfattar lärandeobjektet korrekt (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012).
Både Lärare 1 och Lärare 2 urskiljer täljare och nämnare i undervisningen genom att
benämna dem. Lärare 2 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) dem även genom
symboler, text och bilder.
Under observationen håller Lärare 1 täljaren konstant och varierar nämnaren
tillsammans med dess representation på en bild vilket gör det möjligt att urskilja
nämnarens betydelse. Nämnaren generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) eftersom den
visas i flera storlekar. Sedan sker samma procedur fast att täljarens betydelse urskiljs
genom generalisering (Lo, 2012; Marton, 2014). Lärare 2 behåller aspekten storlek
konstant och varierar både aspekterna täljare, nämnare och uttrycksform och läraren
låter därmed urskilja relationen mellan täljare och nämnare genom fusion (Guo & Pang,
2011; Marton, 2014) på grund av att flera aspekter varieras simultant. Aspekten
representationsform generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även de kritiska dragen
genom verkligt material, bild och symbol.
7.4 Ekvivalenta uttryck
Ekvivalenta uttryck innehåller ingen dimension av variation vad gäller aspekten storlek,
det är enbart helheten som generaliseras. Läromedlet presenterar ekvivalenta uttryck
som lärandeobjekt med en cirkelformad brödkaka. Den presenteras först genom 1
1 och
sedan generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) helheten genom att den även urskiljs som
andradelar, fjärdedelar och åttondelar. Helheten i form av symboler generaliseras (Lo,
2012; Marton, 2014) sedan när helheten visas både med täljare i storlek mellan 1-10 och
nämnare i storlek mellan 3-10.
I intervjun beskriver Lärare 1 och 2 att de kontrasterar (Marton, 2014) ekvivalenta
uttryck i undervisningen. Lärare 1 genom att ha en cirkelformad pizza som helhet,
skriva ut 1
1 i bråktal och sedan lägga på två halvor och visa att den helheten kan skrivas
som 2
2. Lärare 2 kontrasterar (Marton, 2014) på samma sätt fast med A4-papper. Lärare
2 kontrasterar (Lo, 2012; Marton, 2014) även ekvivalenta uttryck genom att visa en
halv som både 1
2 och
1
2. Genom att ändra uppgifter i undervisningen generaliserar (Lo,
2012; Marton, 2014) även Lärare 1 ekvivalenta uttryck.
27
Under observationen lämnar Lärare 1 helheten och uttrycksformen konstant och varierar
antalet delar vilket gör att helhetens ekvivalenta uttryck urskiljs genom kontrast.
Helheten generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även genom att den visas både som
konkret material och symboler.
7.5 Bråktalens koppling till decimaltal och procent
Både lärare 1 och 2 framhäver vikten av att presentera bråktals relation till decimaltal
och procent. Eftersom storleken på talen lämnas konstant och talsort varieras sker
kontrast (Marton, 2014). Lärare 1 visar flera olika bråktal och dess värde i decimaltal
och procent vilket betyder att generalisering (Lo, 2012; Marton, 2014) används.
8. Diskussion Studiens metodval kommer inledningsvis att diskuteras utifrån möjliga
utvecklingsmöjligheter. Studiens resultat kommer sedan ställas i kontext till studier
redovisade i litteraturöversikten.
8.1 Metoddiskussion
Studiens undersökta aspekter baserar på de aspekter av bråk tidigare forskning visat sig
vara avgörande för att skapa sig förståelse för bråkområdet (Clarke m.fl., 2006;
Häggblom, 2012; Lamon, 2012; McIntosh, 2009; Wentworth & Monroe, 1995). Flera
av aspekterna kändes igen från samtal med lärare under författarens studietid och
kändes därför akutella att undersöka.
För att ge möjlighet att synliggöra studiens frågeställningar är metodvalet avgörande.
Till den första frågeställningen var metodvalet givet, att en läromedelanalys behövdes
genomföras. Intervjuer och observationer ansågs nödvändiga för att kunna urskilja den
andra och tredje frågeställningen. För att ge möjlighet att utvärdera hur lärarens
uppfattningar om lärande gav utlopp i den faktiska undervisningen valdes även
observationer som metod. Läromedelsanalys har tidigare genomförts av författaren. Den
personliga intervjun (Denscombe, 2016) var dock ny. Vid kvantitativa studier är likt
denna vidhåller Marton och Booth (2000) forskarens tolkningar av andra gradens
uppfattningar som avgörande för resultatet vilket därmed är en möjlig felkälla.
8.1.1 Läromedelsanalys
För att ge möjligheten att synliggöra den bråkundervisning lärarana bedriver var
läromedelsanalysen nödvändig. Båda lärarna använder Matteborgen som lärobok och
bråkkapitlet presenteras i Matteborgen 4B vilken är den andra av två läroböcker för
årskurs 4. Anledningen till att just läroboken analyserades var att läroboken, enligt mig,
är det vanligaste läromedlet. Med tanke på att 90 % använder läromedel i
undervisningen (Mullis, 2008) tar det en stor plats i undervisningen. Studiens resultat
visar att även andra läromedel används, till exempel digitala läromedel. Den ena läraren
använder mer digitala läromedel än läroboken i undervisningen eftersom läroboken
enbart används vid läxor. Därmed hade även de digitala läromedlen kunnat analyseras.
Att analysera läroboken är dock enklare och ger även en klarare bild vad som
presenteras eftersom samtliga elever är inne på samma sidor där. Med digitala
läromedel finns ännu fler valmöjligheter.
28
8.1.2 Intervju
Intervjun gav möjlighet att synliggöra lärarnas egna uppfattningar om potentiella
kritiska aspekter inom bråkområdet vilket fenomenografiska studier har som mål att
göra (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Intervjun ger möjlighet att undersöka andra
ordningens perspektiv eftersom den beskriver lärarens uppfattningar.
Genom att intervjua lärarna gavs möjlighet att urskilja deras uppfattningar om
undervisning av bråktal ur ett större perspektiv. Intervjun genomfördes efter, men i
samband med observationen. Anledningen till metodordningen var att lärarnas
lektionsupplägg inte skulle förändras. Resultatets reliabilitet hade därmed kunnat
försvagats. Eftersom den ena läraren inte tidigare undervisat i årskurs 4 eller
bråkområdet tidigare visade det sig att han inte kunde svara lika utförligt som den andra
läraren. För att tydligare kunna ge denna lärare möjlighet att presentera sina tankar om
undervisningen hade frågorna kunnat presenterats tidigare för läraren, alternativt
genomföra intervjun senare. Det hade medföljt att lärarens svar troligtvis hade blivit
utförligare men också att svaren hade kunnat bli missvisande.
8.1.3 Observation
En observationsmanual användes under observationen vilket Johansson och Svedner
(2010) skriver är avgörande för att undersöka undervisningen. Under
observationstillfället användes därför en reviderad version av Los (2012)
observationsmanual där även variationsmönstren inkluderades. En möjlig felkälla för
resultatet är att detta var författarens första observationstillfällen. Sannolikheten att viss
empiri inte lyckats samlas in eller tolkats fel är större med tanke på detta.
Observationens syfte, att undersöka hur läraren presenterar aspekter av bråk sker dock i
lugnt tempo eftersom eleverna ska hinna med, vilket underlättar observationen.
Observationen ger möjlighet att se hur lärarna använder aspekterna i undervisningen
istället för enbart dess synsätt på den. Möjligheten att undersöka hela lärarens syn på
undervisning av bråktal är dock ej möjligt genom enbart en observation. För att kunna
urskilja hela lektionsupplägget för bråktal hade samtliga lektioner av bråktal behövts
synliggöras vilket kan vara en felkälla i studien. Att undersöka samtliga lektioner är
dock inte möjligt med tanke på studiens tidsperspektiv. Vid observationen är det
observerarens uppfattning av undervisningen läraren bedriver som tydliggörs vilket
därmed är första ordningens perspektiv (Larsson, 1986; Uljens, 1989) eftersom lärarens
syfte och det av observeraren uppfattade kan framstå som vara kritisk aspekt. Om
möjligt, hade en översiktsplanering av bråkområdet kunnat planeras av lärarna för att få
en än bättre blick över upplägg. Genom att enbart använda observation hade
möjligheten för lärarna att förklara sin egna syn på bråktalens potentiella kritiska
aspekter inte funnits.
8.2 Resultatdiskussion
De aspekter McIntosh (2009) benämner vitala för bråkförståelse synliggörs till viss del i
den undervisning lärarna bedriver. Det avgörande är inte enbart att aspekterna
presenteras, utan även hur de presenteras. Tidigare studier (Cramer m.fl. 2002;
Torbeyns m.fl., 2014) indikerar tydligt på behovet av förståelse inom bråk. Därmed är
det förvånande att läromedlet inte presenterar innehållet på ett sätt som gör att
förståelsen för bråk ökar. Läromedelsanalysen synliggör att bråktalens aspekter inte
förtydligas eller förklaras i tillräckligt stor omfattning för att eleverna ska ges möjlighet
29
att verkligen förstå dem. Begreppsförmågan (Aksu, 1997; Gabriel m.fl., 2012) är
speciellt utelämnad medan det finns gott om proceduruppgifter. Det är förvånande
eftersom att den svenska läroplanen (Skolverket, 2016) betonar vikten av förståelse och
att andra länders läromedel är influerade av landets läroplan (Alajmi, 2012;
Charalambos m.fl., 2010). Med tanke på hur frekvent använda läromedel är i
undervisningen (Mullis, 2008) är lärarens komplettering av undervisningen direkt
avgörande för goda resultat. Eleverna behöver få mer undervisning om och med
begreppsförmågan, vilket den ena av lärarna bedriver. Läraren poängterar lärobokens
ofullständighet och använder den enbart till läxor. Undervisningen kompletteras sedan
genom digitala läromedel men också mycket konkret material. Elevernas
begreppsförmåga stimuleras därmed och lärande sker. Den andra läraren förlägger mer
tid av undervisningen med matematikboken vilket gör det problematiskt för eleverna att
ge möjlighet att skapa förståelse.
Att variera olika former av helheten och att presentera bråktal med flera
representationsformer ser jag som nyckelfaktorer för att lärande ska ske. Lärarnas bilder
av helheten genom formerna cirklar och rektanglar stämmer väl överrens med
Häggbloms (2012) åsikt att de två formerna utgör en stor del i undervisningen. Båda
lärarna berättar att de baserar undervisningen på just cirklar och rektanglar under
intervjuerna och dess olika fördelar. Både lärarna, genom intervjun, och Häggblom
(2012) beskriver cirkelns fördel med att den kan delas in i 1
2,
1
4 och
1
8. Användingen av
cirklar visade sig även i observationerna genom bland annat flanocirklar. Cirklarnas
tillkortakommande vid mer avancerad bråkräkning poängteras av både lärare och
Häggblom (2012) men eftersom undersökningen ämnar tydliggöra undervisningen i
årskurs 4 anser jag att användandet av cirkeln som berättigad. Hade enbart cirklar
använts i undervisningen över hela bråkområdet hade variationen av helheter inte varit
tillräcklig enligt mig. Med tanke på att Lo (2012) skriver att variation ökar
undervisningens kvalité hade inte bara cirklar och rektanglar kunnat inkluderas utan
även se till att tydliggöra att helheten kan vara än fler former. Lamon (2012) skriver att
helheten ofta introduceras med att vara ett helt ting, och inte flera eller färre. Jag
instämmer därmed med Lamon (2012) att helheten måste visas på fler sätt för att
undvika missförståend senare i undervisningen vilket även Wentworth och Monroe
(1995) nämner. Eleverna behöver inte göra räkneexempel med andra helheter men jag
anser att de behöver presenteras för möjligheten. Finns inte den tanken i bakhuvudet hos
eleverna kan det enligt mig komma att visa sig bli en kritisk aspekt senare istället.
Vilka ändringar skulle behövas för att förbättra undervisningen? Jag anser att den grund
Lärare 1 har i sin undervisning skapar förståelsen (Cramer m.fl. 2002; Torbeyns m.fl.,
2014) eleverna är i behov av. Balansen mellan att använda ett läromedel, vilket ger
eleverna möjligheten att öva på grunderna och mängdträna, tillsammans med egna
kompletteringar av undervisningen ser jag som väsentligt för goda resultat. Båda lärarna
använder till viss del variationsmönster i sin undervisning för att främja lärande, det
hade dock kunnat användas mer. Studiens aspekter hade kunnat tydliggöras på liknande
sätt som både läromedel och lärarna gjorde med aspekten lika stora delar. De olika stora
delarna synliggjordes av både läromedel och lärare vilket gjorde dem enkla att urskilja.
Genom att ge flera exempel på vad lika delar är och inte är kommer lärande att främjas
(Lo, 2012). Görs det även tillsammans med att bråkdelarna omnämns, elevdiskussioner
och framförallt i verkliga kontexter, kommer resultaten blir än bättre. Att arbeta enligt
EPA (ensam, par, alla) kan vara en väg. Eleverna får genom EPA-metoden
30
inledningsvis synliggöra sina egna kunskaper och sedan ställa dem mot nya kunskaper.
Att kontrastera tidigare kunskaper mot nya kunskaper möjliggör lärande även enligt
Olteanu och Olteanu (2012).
Med tanke på att forskare benämner just bråktalens minskade fokus i vardagen
(Karlsson & Kilborn, 2015a; Kilborn, 2014; McIntosh, 2009) anser jag att
undervisningen bör fokusera på att flyttas från en klassrumskontext, till en
vardagskontext. Hodges m.fl. (2008) skriver att det bidrar till förbättrande resultat.
Undervisningen kommer därmed närmare eleverna och skapar en ökad motivation vilket
den ena läraren påpekar att även digitala läromedel medför. Med tanke på att flera
elever troligtvis använt bråk när de delat sin pizza med familjen eller godispåsen med ett
syskon får de dem att både förstå reglerna men framförallt nyttan med bråk.
8.3 Slutord och förslag till framtida studier
Vid undervisning av bråk poängterar littteraturen att mycket av undervisningen ska
baseras på förståelse istället för att räkna många tal. Detta överrensstämmer med min
bild av hur framgångsrik matematikundervisning ska bedrivas, inte bara för just bråk.
Eleverna behöver introduceras för begreppen genom bilder och konkret material för att
sedan veta vad symbolerna innebär. För läraren innebär det att det inte går att ge
eleverna läroboken och sedan låta dem jobba själva i 60 minuter, utan läraren är skyldig
att skapa egna sätt för att få eleverna att utvecklas. Genom att dra nytta av att det oftast
finns flera matematiklärare på skolorna kan dessa hjälpa varandra för att skapa
undervisning med hög kvalité.
Med tanke på vad en av lärarna nämner i intervjun vore det intressant att undersöka
digitala läromedel eftersom de börjar göra sig synliga i undervisningen. Vilka digitala
läromedel som finns och hur de används av lärare och elever skulle vara av intresse att
undersöka. Med tanke på att många skolor, från tidig ålder, köper in IKT-verktyg till
sina elever kan detta vara av allmänt intresse.
8.4 Slutsats
Nästan samtliga aspekter gavs möjlighet att urskilja i läromedlet. Enbart bråktals
koppling till decimaltal och procent utelämnades. Flera av aspekterna varieras på ett
tillfredsställande sätt trots att det inte utförs explicit. Helhetens utseende varieras genom
både former och uttryck vilket gör att den ges möjlighet att urskilja även om den alltid
presenteras som en hel. Läromedlet ger sällan förklaringar till i innehållet förutom när
lika delar ska jämföras med varandra. Uppgifterna i läromedlet var dock främst
koncentrerade till procedurförmågan istället för begreppsförmågan.
Båda lärarna berättar att de arbetar med aspekterna, men på olika sätt och omfattning.
Den ena läraren ägnar flera lektioner i veckan på att tillsammans med eleverna
undersöka bråktalens egenskaper. Eleverna erjbjuds en varierad bild av bråktal genom
konkret material, digitala läromedel och bilder. Den andra läraren arbetar mer med
läromedlet men berättar också att flera representationsformer används för att få eleverna
att skapa förståelse. Båda lärarna förordar cirklar och rektanglar som helheter beroende
på kontext.
31
Eleverna fick möjligheten att urskilja samtliga av aspekterna förutom kopplingen
mellan decimaltal och procent under observationerna. Konkret material användes i stor
omfattning. Flanocirklar och äpplen användes för att konkretisera helheten och de
delades i flera olika bråkdelar. Aspekten att delar måste vara lika stora för att jämföras
tydliggjordes för eleverna genom att flanocirklar delades i olika stora delar och med
hjälp av två rektanglar där den ena delades i lika stora delar, och den andra delades i
olika stora delar.
Med dessa slutsatser går det att konstatera att lärarens roll inom bråkundervisningen är
central. Eftersom läromedlet erbjuder flera aspekter, men inte tillräckligt grundligt eller
tydligt, resulterar det i att läraren behöver komplettera undervisningen på flera plan.
Läromedlet uppmuntrar inte heller användande av konkreta material vilket visat sig vara
nödvändigt för att skapa förståelse för de komplicerade bråktalen. Lärarens kompetens
att skapa en undervisning där eleverna får undersöka bråktal i en vardaglig kontext är
därmed avgörande för att få elever att frambringa kunskaper inom det viktiga
bråkområdet.
32
Referens:
Alajmi, Amal Hussain. (2012). How Do Elementary Textbooks Address Fractions? A
Review of Mathematics Textbooks in the USA, Japan, and Kuwait. Educational Studies
in Mathematics 79 (2), 239-261.
Aksu, Meral. (1997). Student Performance in Dealing with Fractions. Journal of
Educational Research, 90(6), 375-380.
Bezuk, N., & Cramer, K. (1989). Teaching about fractions: What, when and how?. New
directions for elementary school mathematics: 1989 Yearbook, 156-167.
Byrnes, James P., Wasik, Barbara A. (1991). Role of conceptual knowledge in
mathematical procedural learning. Developmental Psychology, 27(5), 777-786.
Charalambous, C., & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a Theoretical Model to
Study Students’ Understandings of Fractions. Educational Studies in
Mathematics, 64(3), 293-316.
Charalambos Y. C., Delaney, S., Hui-Yu, H., & Mesa, V. (2010). A Comparative
Analysis of the Addition and Subtraction of Fractions in Textbooks from Three
Countries. Mathematical Thinking and Learning, 12(2), 117-151.
Chinnappan, M. (2005). Children's mappings of part-whole construct of fractions.
Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, 241-248.
Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2008). Ten Practical Tips for Making
Fractions Come Alive and Make Sense. Mathematics Teaching in the Middle School,
(7), 372-380.
Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2006). Year Six Fraction Understanding: A
Part of the Whole Story. Mathematics: Essential Research, Essential Practice (1) 207-
216.
Cramer, Kathleen A., Post, Thomas R., & DelMas, Robert C. (2002). Initial Fraction
Learning by Fourth- and Fifth-Grade Students: A Comparison of the Effects of Using
Commercial Curricula with the Effects of Using the Rational Number Project
Curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-44.
Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: För småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna Lund: Studentlitteratur.
Holmqvist, M. (2011). Teachers’ learning in a learning study. Instructional Science,
39(4), 497-511.
Fazio, L., Kennedy, C., & Siegler, R. (2016). Improving Children's Knowledge of
Fraction Magnitudes. PLoS One, 11(10).
33
Flanders, James R. (1987). How Much of the Content in Mathematics Textbooks Is
New? The Arithmetic Teacher 35(1), 18-23.
Gabriel, F. C., Coché, F., Szucs, D., Carette, V., Rey, B., & Content, A. (2012).
Developing children’s understanding of fractions: An intervention study. Mind, Brain,
and Education, 6(3), 137–146.
Gabriel, F., Szucs, D., & Content, A. (2013). The Development of the Mental
Representations of the Magnitude of Fractions. PLoS One, 8(11), 1-14.
Guo, J., & Pang, M. (2011). Learning a mathematical concept from comparing
examples: The importance of variation and prior knowledge. European Journal of
Psychology of Education, 26, 495-525
Hodges, T. E., Cady, J, & Collins, L. (2008). Fraction Representation: The Not-So-
Common Denominator among Textbooks. Mathematics Teaching in the Middle
School, 14(2), 78-84.
Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass (1. uppl.. ed.). Lund:
Studentlitteratur.
Johansson, B., & Svedner, P. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:
Kunskapsföretaget.
Karlsson, N., & Kilborn, W. (2015a). Matematikdidaktik i praktiken: Att undervisa i
årskurs 1-6 (1. uppl.. ed.). Malmö: Gleerups Utbildning.
Karlsson, N., & Kilborn, W. (2015b). Konkretisering och undervisning i matematik :
Matematikdidaktik för lärare (1. uppl.. ed.). Lund: Studentlitteratur.
Kilborn, W. (2014). Tal i bråk- och decimalform – en röd tråd. Nationellt centrum för
matematikutbildning. Göteborg: Göteborgs universitet.
Lamon, S. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding : Essential content
knowledge and instructional strategies for teachers (3.rd ed.). New York: Routledge.
Larsson, S. (1986). Kvalitativ analys: Exemplet fenomenografi (Teori, forskning,
praktik). Lund: Studentlitteratur.
Lo, M.L. (2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning.
Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Loewenberg Ball, D., Ferrine-Mundy, J., Kilpatrick, J., Milgram, R.J., Schmid, W.,
Schaar, R. (2005). Reaching for Common Ground in K–12 Mathematics Education.
Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. S. (2015). Review: Why is learning fraction
and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201-221.
Marton, F. (2014). Necessary conditions of learning. London: Routledge.
34
Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah, N.J.: Erlbaum.
Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 International
Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends in International Mathematics and
Science Study at the Fourth and Eighth Grades. Chestnut Hill, MA, USA: TIMSS &
PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College.
Olteanu, C., Olteanu, L. (2012). Subtraction: the improvement of communication
through critical aspects. Proceedings of The 14th World Multi-Conference on Systemics,
Cybernetics and Informatics: WMSCI 2010, 90-95.
Olteanu, C., Fors, J. (2013). Levels of thinking and critical aspects: Congress of
European Research in Mathematics Education. CERME 8.
Olteanu, L. (2016). Opportunity to communicate: The coordination between focused
and discerned aspects of the object of learning. Journal Of Mathematical Behavior, 44.
1-12.
Runesson, U. (2005). Beyond discourse and interaction. Variation: a critical aspect for
teaching and learning mathematics. Cambridge Journal of Education, 35(1), 69-87.
Runesson, U. (2006) What is it Possible to Learn? On Variation as a Necessary
Condition for Learning. Scandinavian Journal of Educational Research, 50(4), 397-
410.
Siegler, J. W., Givvin, K. B., & Thompson, B. (2010). What community college
developmental mathematics students understand about mathematics. The MathAMATYC
Educator, 10, 4–16.
Torbeyns, J., Schneider, M., Xin, Z., & Siegler, R. (2015). Bridging the gap: Fraction
understanding is central to mathematics achievement in students from three different
continents. Learning and Instruction, 5-13.
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-
samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Wentworth, N, M., & Monroe, E, E. (1995). What Is the Whole? Mathematics Teaching
in the Middle School, 1(5), 356-60.
35
Bilagor
Bilaga 1 - Observationsschema
Lärandeobjekt:
Konstant
Variation
Urskiljning
Kontr
ast
Sep
arat
ion
Gen
eral
iser
ing
Fusi
on