Bt Lt Olympic 30-4-

Bi tp luyn thi Olympic Ton hc ton min Nam ln th XVIII - Dnh cho HS lp 10 chuyn Ton

Vn Ph Quc, GV. Trng H Qung Nam - D: 0934 825 925 -Mail: [email protected] 1

BI TP LUYN THI OLYMPIC TON HC TON MIN NAM LN TH XVIII

Ch : PHNG TRNH, H PHNG TRNH,

BT PHNG TRNH, H BT PHNG TRNH ( VN PH QUC- GV. TRNG H QUNG NAM)

1. Gii PT: 3 2 3 2 3 33 2012 3 6 2013 5 2014 2013x x x x x .

HD: t 3 23 2012a x x ; 3 23 6 2013b x x ; 3 5 2014c x

Ta c h sau:

33

33 3 3

201320132013 3 2013

a b ca b ca b c a b c a b b c c a

Suy ra: a b hoc b c hoc c a .

2. Gii BPT:

2 3 2012... 11 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 ... 2012 1

x x x xx x x x x x x x x

HD: k ta c:

1 1 1 1

1 2 1 ... 1 1 2 1 ... 1 1 2 1 ... 11 2 1 ... 1 1kxkx

x x kx x x kx x x kxx x k x

p dng cho bi ton trn, ta thu c:

11 1 1 2 1 ... 2012 1 0

1 2 1 ... 2012 1x x x

x x x

.

Nghim ca BPT l: 1 1 1 1 11; ; ... ;2 3 4 2011 2012

x

.

3. Gii HPT:

1

2

3

4

2

3

4

1

2 2 os

2 2 os

2 2 os

2 2 os

x c

x c

x c

c

x

x

x

xx

; 1 2 3 4, , ,x x x x .

HD: Theo : 1 1, 4 os 1, 4022 2

iix i c ix

Nu 1 3x x th 2 4 2 4 3 1 3 1os os os osx c x x x xc c x c x x . Do : 1 3x x .

Chng minh tng t ta c c: 2 4x x .

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MATHVN.COM - Ton Hc Vit Nam



HPT cho tng ng vi: 2

1 3

2 4

1

2 1

2 os42 os

4

x xx x

x c

x

x

xc

th ca hai hm s: 212 os

4x c x , 2 1

1 arccos 2 2x x

; 110;2

x

, 220;

4x

trong h

trc ta 1 2Ox x ct nhau ti mt im duy nht c ta 1 1;4 4

.

HPT cho c nghim duy nht l: 1 2 3 414

x x x x .

4. Gii HPT:

2

2

2

30 4 2012

30 4 2012

30 4 2012

y yxz zyx xz

; , ,x y z

HD: Ta c: 2 23030 4 2012 4 2012 0 0y y y y

x x

. Tng t , 0x z .

Khng mt tnh tng qut, gi s: ,x y x z .

Tr v theo v ca phng trnh th ba cho phng trnh th nht ta c:

3 2 2 22 230 4 0 30 4 0x y x y x yz x z x yz x

.

V 0, 0y xx z nn 0x y ; 3 2 0x yz .

Do : 3 2

3 2 2 230 4 0x yz

x yz x z x y x y zx y

.

5. Cho 2013 s dng: 1 2 2013, ,..., 0x x x tha mn:

2 21 2 2 12 22 3 3 2

2 22011 2012 2012 2011

2 22012 2013 2013 2012

..........................

..........................

x x x xx x x x

x x x xx x x x

.

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Chng minh rng trong 2013 s c hai s ,a b sao cho: 12012

a b .

HD:

T 2 21 2 2 1 2 1 1 20 0x x x x x x x x . Chng minh tng t c: 2 3 2013...x x x .

Mt khc: 2 2 2 22012 2013 2013 2012 2013 2013 2012 2012 20130 0 1x x x x x x x x x .

Khi : 1 2 20130 ...x x x .

Chia an 0;1 thnh 2012 on con bng nhau, di ca mi on con l 12012

.

Theo nguyn l Dirichlet: ,a b trong 2013 s cho thuc v cng mt on con.

Nh vy 1

2012a b .

6. Gii HPT: 2 2 22012 2012 2012

33

3

x y zx y zx y z

; , ,x y z .

HD: Xt cc vect: ; ; , 1;1;1u x y z v

. D thy . . 3u v u v

.

Suy ra: ,u v

cng phng 01 1 1x y z x y z .

Kt hp vi phng trnh cn li ta c: 1x y z .

7. Gii BPT: 2 22012 2014 2 4028 2014 2 4024x x x x ; x . iu kin: 2012x .

BPT cho tng ng vi: 22012 2014 2 2014 2 2012x x x x .

t: 2012 0u x ; 2014v x .

BPT thnh:

2 2

2 2 2

2 2 0 0

2 2

0uu v u v u v u v

u v u v

.

8. Gii HPT:

201220131 2 3

201220132 3 4

201220132012 1 2

1 2 2012

30 4

30 4.......................................

30 4, ,..., 0

x x x

x x x

x x xx x x

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HD: Gi s: 1 2 2012, ,...,x x x l mt nghim ca HPT trn.

t: 1 2 2012, ,...,M Max x x x ; 1 2 2012, ,...,m Min x x x .

Suy ra: 0M m .

Ta c:

201220131 2 3

201220132 3 4

201220132012 1 2

34 30 4

34 30 4......................................................

34 30 4

M x x x

M x x x

M x x x

20132012 2012 2012 20122013 2013 20131 2 201234 ; ;...; 34 34M Max x x x M M 4026 2013 402434 M M 2011 4026 2011 402634 34M M .

Chng minh tng t, ta c: m 2011 402634 . Suy ra: 2011 402634M m .

Do : 2011 40261 2 2012... 34x x x . Th li thy ng.

Vy h phng trnh cho c nghim dng duy nht: 2011 40261 2 2012... 34x x x .

9. Gii HPT:

1 22

2 33

2012 11

1 20122

1 20122

..............................

1 20122

x xx

x xx

x xx

; 1 2 2012, ,...,x x x .

HD: Ta c: 21 1 1 11

1 2012 1 2012 02 2i i i i ii

x x x x xx

1,2011i

Cc ix cng du 1,2012i .

p dng BT Cauchy ta c: 11

2012 2 2012 2 2 2012 2012i i ii

x x xx

1,2012i .

Ly phng trnh u tin ln lt tr cho cc phng trnh s 2, s 3,..., s 2012 v theo v ta c:

1 2 2 32 3

1 201212

x x x xx x

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2 3 3 43 4

1 201212

x x x xx x

................................................

2012 1 1 21 2

1 201212

x x x xx x

V 21 2 012...x xx nn 2 3 3 4 2011 2012

2012 2012 20121 0;1 0;...;1 0x x x x x x

v 1 2

20121 0x x

.

Suy ra:

2 3

2011 2012

1 2

2012..................

20122012

x x

x xx x

. Kt hp vi 2012ix 1,2012i suy ra 1 2 2012... 2012x x x .

10. Gii HPT:

2

2

2

2

2222

x x yy y zz z tt t x

; , , ,x y z t .

HD: t: 1 , 1 , 1 , 1X x Y y Z z T t .

Ta c h phng trnh sau:

2

216 8 4 2

2

2

X YY Z

X Y Z T XZ TT X

. Nh vy: 15 01 0 1X

X XX

* Vi 0 0 1X Y Z T x y z t .

* Vi 1 1 0X Y Z T x y z t .

11. Gii HPT:

221 1 2

222 2 3

222012 2012 1

12

12

....................................

12

kx kx x

kx kx x

kx kx x

; 1 2 2012, ,...,x x x , k l mt s cho trc.

HD: Cng v theo v ca cc PT cho ta c:

2 22012 2012

21 2 2012

1 1

1 1 10 1 ...2 2 2i i ii i

k k kx k x x x x x

.

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12. Cho s nguyn 3n . Gii h phng trnh:

1 2 3

2 3 4

1 2

2012 4025 2013 02012 4025 2013 0...............................................2012 4025 2013 0n

x x xx x x

x x x

; 1 2, ,..., nx x x .

HD: t 1 1 2 2 2 3 2; ; ... ; n ny x x y x y y x x .

H cho thnh:

1 2

2 31 2 1 2 1 2

1

2012 20132012 2013

2012 ... 2013 ... ... 0...........................2012 2013

n nn n n

n

y yy y

y y y y y y y y y

y y

.

Nh vy phi c mt ch s j sao cho 0jy . Nhng 12012 2013 ,j jy y ... nn 1 2 ... 0ny y y .

Suy ra: 1 2 ... nx x x a .

13. Gii HPT:

2013 2 2013

2012 2 2012

2013 2 2013

2 20122012

22 2 122 2 1

xyx x yx x

xyy y xx y

; ,x y .

HD:

Cng v theo v ca hai phng trnh trn ta c:

2 2

2012 2 2012 2 20125

1 122 2 1 2 2 1

xy x yx x y y

2 2

2 22012 20122012 2012

1 121 2 1 2

xy x yx y

(*)

Nhn xt: 2 2* 2 *VT xy x y VP .

0

* * 11

0

x yx y

VT VP x y x yx y

.

Vy tp hp nghim ca h phng trnh cho l: 0;0 , 1;1S .

14. Gii PT:2 2

2 2 2

3 2 2 2 3 1033 3 4 4 3

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x

HD: t 22, 1, 1, 1, 1a b x c x d x x e x . Phng trnh cho tr thnh:

103

a b b c c d d e e ac d e d e a e a b a b c b c d

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101 1 1 1 1 53

a b b c c d d e e ac d e d e a e a b a b c b c d

1 1 1 1 1 253

a b c d ec d e d e a e a b a b c b c d

1 1 1 1 1

25 *c d e d e a e a b a b c b c d

c d e d e a e a b a b c b c d

p dng bt ng thc Cauchy cho v tri ca (*) th ta c * 25VT . Du = xy ra khi v ch khi 1a b c d e x . Vy x = 1 l nghim duy nht ca phng trnh cho.

15. Gii HPT: 2012 2012 2011 20112x y

x y x y

; ,x y .

HD: H phng trnh tng ng vi:

2012 2012 2011 2011 2012 2012 2011 20112 2

2 2 2

x y x y

x y x y x y x y x y

2012 2012 2012 2011 2011 2012 2012 2012 2011 2011

2 22 2x y x y

x y x xy x y y x y x y xy

2011 20112011 201122 2

10 00

x yx y x yx y

x y x y x yx x y y x y

16. Gii HPT: 2

2 2

5 4 4

5 4 16 8 16 0

y x x

y x xy x y

; ,x y .

HD: Ta c: 2 2 2 25 4 16 8 16 0 4 8 5 16 16 0y x xy x y y x y x x . Xem y l mt phng trnh bc hai theo n y ( tham s x ).

Ta c: 29x , t : 5 4

4y xy x

.

+ Vi 5 4y x , thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

20 4

5 4 5 4 4 6 5 4 0 5 04

x yx x x x x

x y

.

+ Vi 4y x , thay vo phng trnh th nht ca h phng trnh ta c:

20 4

4 5 4 4 6 4 04 0

x yx x x x x

x y

.

Vy tp hp nghim ca h phng trnh cho l: 40;4 ; 4;0 ; ;05

S

.

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17. Gii HPT:

4 3 2 2

24 2 2 2

6 12 6

5 1 11 5

x x x y y x

x x y x

; ,x y

HD:

+ Xt 0x , h phng trnh cho thnh: 20 6

5y

( v l)

+ Chia v theo v ca tng phng trnh trong h cho 2 0x ta c: 2 2 2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

1 6 1 16 12 6 12 0

1 5 1 15 11 5 11 0

x x y y x x y yx xx x

x x y x x yx xx x

.

t 2 221 1 2t x x tx x

.

H phng trnh thnh:

2 2 2 2

2 2 22 2 2

6 2 12 0 6 0

5 1 05 2 11 0

t ty y t ty y

t t yt t y

+ Xt 0t , h phng trnh thnh: 0

1 0y

( v l).

+ Chia v theo v ca tng phng trnh trong h cho 2 0t ta c: 2 2

2 2

22 2

2 2

1 66 0 6

1 1 15 0 5 2. 5

yy y y y yt tt tt t

yy y yt t t t

t: 1; ya y bt t

H phng trnh thnh:

2

2 2

5 66 22 5 5

2

aaab

a b ab

3

2

5 12 0

52

a a

ab

22

3 3 4 03

5 22

a a aa

a bb

Khi : 2

111 213 2 3 2 3 1 0 1

12222 221

tt

yy t t tt tty y t ty tt y t

y

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* Vi 1t ta c: 21 1 51 1 02

x x x xx

.

* Vi 12

t ta c: 21 1 1 172 2 02 4

x x x xx

.

18. Gii HPT:

2 4 2 2 2 4

2 2 4 2 2

3 2 1 2

1 1 2 2 1 0

x y x y x x y

x y x x x xy

; ,x y .

HD: H phng trnh cho tng ng vi:

22 4 2 2

2 2 4 2 2

4 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

x y y x x

x y x x x xy

.

Suy ra: 4 2 21 2y x x 2 4 2 22 2 1x x x xy 4 2 4 6 4 3 2 22 2 2y x x x x x y x 26 3 2 4 3 2 3 22 0 0x x y y x y x y (*)

T (*) v du = xy ra bt ng thc trn ta suy ra: 1x y .

19. Gii HPT:

2 2

3 3

214 2 2

92 2

xy y x y x y x y

x y x y

; ,x y .

HD:

iu kin 00

x yx y

.

t , 2 2

x y x yu v ; , 0u v . Suy ra: 2 2 2 2, x u v y u v .

H phng trnh cho thnh: 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 414

9

u v u v u v u vu v

u v

3 3 3 33 3 3 33 3

7 0 0 79 99

u v u v u v u vu v u vu v

.

H 3 3

09

u vu v

v nghim.

Gii h 3 3

3 3

79

u vu v

ta c

21

uv

.

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Do : 2 8 52

2 31

2

x yx y xx y yx y

.

Vy phng trnh cho c nghim l: 53

xy

20. Gii HPT: 4 4

2009 2013 2013 20092011

2 1

23

xy x y

x y x y

; ,x y .

HD:

Ta c: 2009 4 4 2009 2013 2013 2009 20112 0 0

3xy x y x y x y xy .

T phng trnh th nht ca h phng trnh ta c:

4 41 2 2 2xy x y xy xy ( Bt ng thc Cauchy)

13

xy v 2

4 4 12xy

x y

.

Li c: 2

2009 20092009 2013 2013 2009 4 4 1.2xy

x y x y xy x y xy

2008 2008 3 20111 1 1 22 . . . 2 .

2 2 3 3xy xyxy xy xy .

Du = xy ra

4 4

12

1 13 3

xyxy

xy x y

x y

.

Vy tp hp nghim ca h phng trnh cho l: 1 1 1 1; , ;3 3 3 3

S

.

21. Gii HPT: 2 2

2011 20132011 2013

1

2014

x y

x y y x x y xy

; ,x y .

HD: T phng trnh th nht ca h ta suy ra: 1 , 1x y .

Do : 2014 1 1 2013 0x y xy x y . + Nu x y th phng trnh th hai ca h c v tri dng, v phi m. iu ny v l. + Nu x y th phng trnh th hai ca h c v tri m, v phi dng. iu ny v l.

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+ Nu x y th phng trnh th hai ca h tha mn. Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 12 12

x x .

Vy h phng trnh cho c hai nghim l: 1 1;2 2

, 1 1;2 2

.

22. Gii PT: 4

62

cos 23 1 tan 7cos

x xx

HD: t 22

cos 2 , tancos 1

xa b xx

.

Phng trnh cho thnh: 4 33 4 7a b . D thy a, b 0 v 2a b . p dng bt ng thc Cauchy ta c:

4 31 1 1 4 , b 1 1 3a a b . Suy ra: 4 3 4 33 3 12 , 4 2 12 3 4 7a a b b a b . Du bng xy ra 4 4 1 1a b a b hay tan 1

4x x k k

l nghim ca phng trnh cho.

23. Gii HPT:

3 33 3

1 1 9

1 1 1 11 1 18

x y

x y x y

( ,x y ).

HD:

iu kin , 0x y .t 3 3

1 1, u vx y

.

H phng trnh cho thnh:

33 3 9 3 91 1 18 1 18

u v u v uv u vu v u v u v u v uv

.

t ,S u v P uv . iu kin 2 4S P .

H phng trnh thnh:

33

2

3 9 13 91 18 18 2

S PSS PSS S P PS S S

Thay (2) vo (1) ta c: 33 23 3 63 0 1 64 3 2S S S S S P .

Vi 32

SP

ta suy ra: ,u v l nghim ca phng trnh: 21

3 2 02

XX X

X

.

Khi : 12

uv

hoc 21

uv

. Suy ra: 181

x

y

hoc 118

x

y

.

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24. Gii BPT: 2 4 26 3 1 1 0x x x x ; x HD: Bt phng trnh cho tng ng vi:

2 4 2 2 2 4 26 3 1 6 1 0 6 2 1 1 6 1 0x x x x x x x x x x

2 2 2 212 1 6 1 1 6 1 0x x x x x x x x

222 2

6 1112 6 01 1

x xx xx x x x

( v 2 1 0 x x x )

t 2

2

6 1 , 0

1x x

t tx x

.

Bt phng trnh thnh: 2 32 6 0 02

t t t .

Do : 2 2

2

6 1 9 11 21 11 215 11 5 01 4 10 10

x xx x x

x x

.

Vy tp hp nghim ca bt phng trnh cho l: 11 21 11 21;10 10

S

.

25. Gii HPT:

2

2 2

1 1 4 3

12 2 3 7 1 12 3 5

x y x y x y

x x y xy y x

, ,x y .

HD:

t 1 0u x y ; 3 0v x y .

H phng trnh cho thnh:

2 22 2

24 2 2 4

3 33 39 9 4 9 9 3 4 9

u vu vu v u u v v

2 22 2

3 2 2 34 2 2 4

3 33 39 9 3 3 09 9 9 6 3 0

u vu vu v u u v uv vu v u u v v

2 22 3 6

2u v

u vu v

Khi :

611 122 263

2

x yx y y x

x y

. Thay vo phng trnh th hai ca h phng

trnh cho ta tm c:

4 53 6

1 76 10

y x

y x

.

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26.Gii HPT:

4 4

2 2 2

1 1 22

1 1 3 32

y xx y

y x x yx y

, ,x y

HD: iu kin , 0x y . Vi iu kin trn, h phng trnh cho tng ng vi:

4 4 2 254 5 3 2

4 5 2 3 54 4 2 2

2 5 10 32 5 101 1 5 10 15 10

y x x y x yxy x x yxx y y x y x yx y x y

y

5

5

5

3 13 2

1 3 12

xx yx y

y

( tha iu kin).

Vy h phng trnh cho c nghim: 5 53 1 3 1;

2 2

.

27. Gii BPT: 3 3 2 24 6 7 12 6 2x x x x x ; x . HD:

iu kin: 32

x .

Vi iu kin trn, bt phng trnh cho tng ng vi:

2 32 2 232 2 2 2 2 2 2x x x x x x x

t 2 233 2 3 234 6 2 , 7 12 6 2 7 12 6 2A x x B x x x x x x x x (*)

Th th 32

x ta c: 0 , 0A B

Khi 2 2 3 32 2 22 2 2 2 2 2* 2x x x x x x x

A B

2 21 12 1 0 2 0 2 2x B xxA

( tha iu kin 3

2x )

Vy tp hp nghim ca bt phng trnh cho l: 2; 2S .

28. Gii BPT: 35 3 2 2 21 1x x x x x x x ; x . HD: iu kin: 0x . + Nu 0x th BPT lun ng

+ Nu 0x th chia c 2 v ca BPT cho: 2 2 1 0x x

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Ta c:

32 2 2

2 2

5 3

2 2 2 2

1 1

1 11x x x x x

x x x xx x

x x

2

2 2 2

1 1 1 111 1 11 11x x xx x

x x x x x xxx

xx

11

11 1 11 x

x xx

xx x

x

.

t 1t xx

; 2t .

BPT trn thnh: 2

1 11 .. 11 . 0t tttt t

( lun ng 2t ).

Vy nghim ca BPT l: 0x .

29. Gii HPT:

22 2 2 2

22 2 2 2

22 2 2 2

3 1

4 1 ; , ,

5 1

x y z x x y z

y z x y y z x x y z

z x y z z x y

.

HD: + TH 1: 0xyz .

Nu 0x th h c nghim 0;0; , 0; ;0z y . Tng t cho trng hp 0y hoc 0z .

+ TH2: Chia c hai v ca cc PT trong h cho 2 2 2 0x y z ta c: 2

2

2

2

2

2

1 1 1 13

1 1 1 14

1 1 1 15

z y x x

x z y y

y x z z

t 1 1 1, ,a b cx y z

. HPT thnh:

2 2

2 2

2 2

3

4

5

b c a a

c a b b

a b c c

.

Cng v theo v cc PT trn ri rt gn ta c: 24

12 03

a b ca b c a b c

a b c

.

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30. Gii HPT:

2

2

2

222

x x y yy y z zz z x x

; , ,x y z .

HD:

HPT cho tng ng vi:

2

2

2

1 2

1 2

1 2

y x x

z y y

x z z

(I)

V mt trong cc gi tr , ,x y z bng 1 u khng tha h phng trnh ny nn: , , 1x y z .

Khi

2

2

2

21

21

21

xyxyI zyzxz

.

t tan ;2 2

, x t t

. Suy ra: tan 2y t ; tan 4 , tan8z t x t .

Do : tan tan 8 7

kt t t k . Nh vy: 2 4tan ; tan ; tan7 7 7

k k kx y z .

V ;2 2

t

nn 3; 2; 1;0;1;2;3k .

31. Gii HPT:

3 2 2

2 2

2 3 2 3

3 3 2

36

x x z z

y y x xy z zz

; , ,x y z .

HD:

HPT cho tng ng vi:

23 2 2

2 2

3 2 3 3 3 0

3 3 2

36

x z x z

y y x xy z zz

PT th nht c nghim 0

03x

zx

z

(1)

PT th ba c nghim 2 6 60 0y z z z . (2) T (1), (2) v kt hp vi 3z ta suy ra: 0z hoc 3z . p s: C 2 nghim: 1;0;0 , 2; 3;3 .

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32. Gii HPT:

3 2

3 2

3 2

3 3 1

3 3 1 ; , ,

3 3 1

x x y x

y y z y x y z

z z x z

.

HD:

Xt PT: 3 23 3 1x x y x . V 13

x khng tha PT nn 3

2

33 1x xy

x

.

t tanx t vi ;2

\3 6

t

.

D dng suy ra c: tan 3 , tan 9 , tan 27y t z t x t .

33. Gii HPT: 2012

1 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2

x y z

x y y z z x x y z y z x z x y

; , ,x y z

HD:

iu kin: 2 2 2 2 2 2, , 0

; ; 0

x y z

Min x y y z z x

.

p dng BT Cau chy ta c:

22 2 2 2 2 21 1 2

3 2 2 2 3 2 2 2 2 22 2

x y z x y zx y x y z x y x y z x y zx y z

.

Tng t chng minh c: 1 1 2

3 2 2 2 2 2y z y x z x z y

; 1 1

3 2 2 22

2 2z y x zx z y x

.

Suy ra: 1 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y z y z x z x y

.

Du "=" xy ra khi v ch khi x y z 20123 2012

9x x . Do : 2012

9x y z .

34. Tm mi cp s thc ;x y tha h: 22

6 3 2 2 2

3 3 2

2142

1 2

y y x xy x y

xy y x x y

.

HD: iu kin: 2 2 0 0 1xy xyx y .

Ta c: 2 22

22 1 12 44

1 12

xy x y x xyy x y

.

Khi : 6 3 2 2 2122

y y x xy x y .

Suy ra: 3 3 3 3 6 214 4 2 22

xy y xy y y x (1)

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M: 23 3 214 2 1 22

xy y x x y (2)

Cng v theo v (1) v (2) ta c:

223 2 3264 1 4 1 2 1 1 2 2xy y x x y y y xx 2

3

1 1 2 0

2 0

x y

y x

.

35. Gii HPT:

21 1 222 2 323 3 424 4 1

1 0

1 0

1 01 0

x x xx x xx x xx x x

; 1 2 3 4, , ,x x x x .

HD:

HPT cho c dng:

1 2

2 3

3 4

4 1

f x x

f x x

f x x

f x x

vi 2 1f t t t ng bin trong 1 ;2

, nghch bin

trong 1;2

v 1 52 4

f t f

. Suy ra: 5 1, 44k

x k .

* Trng hp: 1 41 1 11 52 2 6 4

x f x f

, m 454

x nn 41 ;2

x

.

Lp lun tng t: 3 21 1;2 2

x x .

Nu 21x x th 3 2 3 3 41 2 3 42 4 1x f x f x x x f xf x f x x xf x x . T : 1 2 3 4 1x x xx x nn 1 2 3 4x x x x .

Thay vo mt trong bn PT ca h ta c 1 2 3 4 1x x x x .

* Trng hp: 112

x , nu c 1k 12k

x th theo trn 1 2k

x k l mu thun.

Vy 1 2k

x k .

Nu 31x x th 3 2 4 2 4 3 1 1 31 f x x x f x f x x x x xf x . Tng t 2 4x x .

H tr thnh:

1 3 2 4

1 2 1 1 2 2

2 1

,x x x xf x x x f x x f x

f x x

.

t 2 2 1g x x f x x x . th ca hm s ny c trc i xng l ng 1x .

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T 1 1 2 2x f x x f x suy ra: 1 2g x g x 1x v 2x i xng qua 1x tc l: 1 1x m

v 1 1x m . Thay vo h

1 3 2 4

1 2

2 1

,x x x xf x x

f x x

ta tm c 0m . Suy ra: 1 2 3 4 1x x x x .

36. Gii PT: 2012 2011 22011 4023 2012x y

x y y x z

; , ,x y z .

HD:

* Ta c BT thc sau: 2

1 4ab a b

; , 0a b .

* VP 2 2 zz

. Du "=" xy ra khi 1z .

*VT 2012 20114023 2011 2012

y xx y y x

2012.4023 2012 2011 2011.4023 2011 2012

y x y x x yx y y x

2 2 2

2 22012.4023 2012 2011 20114 4

4023 4023xy y x x y

x y x y

2 2 2

2

4023 2012 20112 2

4023

x y y xx y

.

Du "=" xy ra khi 2011, 2012x y .

37. Tm m bt phng trnh sau v nghim:

2

2

1 12 s inx s inx 7s inx s inx 2.

1 13 s inx s inx 12s inx s inx

m

HD: Bt phng trnh cho tng ng vi:

2

2

1 12 sin sin 1sin sin 21 13 sin sin

sin sin

x xx x

x x mx x

.

t 1sin , tsin

t x x kx

.

Bi ton tng ng vi vic tm m bt phng trnh sau ng vi mi t: 2

2

2 1 23

t tt t m

.

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V mu thc xc nh t nn 11 12 0 .12

t m Khi 23 0 tt t m .

V 22 1 0 tt t nn 2

22

2 1 2 4 3 2 1 0 3

t t t t t m tt t m

359 16 2 1 0 .12

m m

Vy 3512

m l gi tr cn tm tha mn yu cu bi ton.

38. Gii phng trnh: 2 3 3 244 4 41 1 1 1x x x x x x x x ; x HD: iu kin: 0 1x

t 4

44 4

00

1 1

uu x

vv x u v

T phng trnh cho ta c :

2 2 3 2 2 2

2 2 0

u uv v v u u v

u v u v u uv v

1 0

1 0

u v u v u v

u v u v

( do u , v khng m v u , v khng ng thi bng 0 nn 0u v ).

Ta c cc h :

4

4 44

10 2)

112

uu va

u v v

. Do

112 .

1 212

xx

x

224 4 2 2

11)

1 2 2 1

u vu vb

u v u v uv u v

2 2

1 01

0 110

2 4 0 1 12

2 0

u v uu v

uv vu vuv

u v uv u v uuv

uv v

. Do

01 1 0

111 0

xx x

xxx

.

39. Gii phng trnh : 2012 20102 21 1 2x x x x ; x . HD:

iu kin: 2

2

1 01

1

xx

x x

.

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Khi : 2010 2010 20122 2 21 1 1x x x x x x ( do 1x ).

Suy ra: 2012 2010 2012 20122 2 2 21 1 1 1x x x x x x x x p dng bt ng thc Cauchy ta c: 2012 2012 2012 20122 2 2 21 1 2 1. 1 2x x x x x x x x

Do : 2012 20102 21 1 2x x x x . Vy phng trnh cho v nghim.

40. Gii PT: 338sin 1 162sin 27 0x x . HD: t 2sinu x K: 2 2u

PT cho thnh: 3 33 31 81 27 0 1 81 27u u u u . t 3 33 1 3 1v u u v . Do , ta c:

3 33

3 3 2 23

1 3 1 31 33 3 01 3

u v u vu vu v v u u v u uv vv u

3

332

2

1 31 3

3 13 3 02 4

u vu v

u uvu v u v u v

Lc :

3 3 16sin 8sin 1 3sin 4sin sin 3 sin2 6

x x x x x

23 26 18 35 5 23 26 18 3

x k x k

x k x k

.

41. Tm m PT: 2 21 1 2012x x x x m c nghim. HD:

2 22 22 2 1 3 1 31 1 2012

2 2 2 2x x x x m x x m

Trong mt phng vi h ta Oxy, xt: 1 3 1 3; ; B ;2 2 2 2

A

v nh ;0M x ta c: 1AB .

Vi mi im M th 1AM BM AB .

M 2 22 21 3 1 3 ; BM=

2 2 2 2AM x x

Suy ra: 1 12012 1 1 2012 12012 2012

m m m .

42. Gii HPT: 2

2

1 1

1 3

x y

y x

; ,x y .

HD: K: 1 , 1x y .

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t os ; y osx c c , , 0; .

H phng trnh thnh:

2 2

2 2

os 2cos .sin sin 1 1os sin 1

os sin 3 os 2sin . os +sin 3 2

cc

c c c

Cng v theo v ca (1) v (2) ta c: sin 12 2

(3)

Kt hp (3) v PT: os sin 1c ta gii c: 1os2

c hay 1 32 2

x y ( tha K)

Vy 1 3, ;2 2

x y

l nghim duy nht ca h.

43. Tm m phng trnh sau c nghim duy nht: 2012 2014 2011 20142012 201130. 2011 4. 2012 68378x x m .

HD: iu kin : Nu phng trnh c nghim 0x th 0x cng l nghim ca n. Do phng trnh c nghim duy nht th iu kin l: 0 0 0 0x x x . Thay vo phng trnh, ta c: m 1 iu kin cn: Vi 1m , phng trnh c dng:

2012 2014 2011 20142012 201130. 2011 4. 2012 68378x x

nh gi 2012 2014 2011 20142012 201130. 2011 4. 2012 68378x x . Do phng trnh c nghim khi v ch khi 0.x Vy phng trnh c nghim duy nht khi v ch khi 3.m 44. Gii PT: 2 2 211 14 9 11 2 3 17 2 3 2 2 2x x x x x x x ; x HD:

Ta c: 2 2 2 2 2 2* 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 2 1VT x x x x x x

2 2 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1x x x x x x

2 2 1 2 1 2 2 2x x x x .

Vy

13 1 0 32 0 2 1* 2 2 2 .1 0 1 32 1 0 1

2

xxx x

VT x xx x

x x

45. Cho h phng trnh: 2 2 2

2 2

2 1 2 2 0

2 9 0

m m x m y m m

x y x

.

Chng minh rng h phng trnh trn lun c hai nghim phn bit 1 1,x y v 2 2,x y . Tm m biu thc 2 21 2 1 2P x x y y t gi tr nh nht.

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HD: Nghim ca h phng trnh ny l to giao im ca ng thng

2 2 2: 2 1 2 2 0m m x m y m m v ng trn 2 2: 1 10C x y tm 1;0I , bn knh 10R . Ta c: 2 2 22 1 2 2 0m m x m y m m

21 2 2 2 0x y m x m y . Phng trnh ny nghim ng vi mi m khi 1, y = 2x ngha l: lun i qua im c nh 1;2A v A nm trong C . Do lun ct C ti hai im phn bit 1 1 2 2; , N ;M x y x y . Vy h cho lun c hai nghim phn bit. Ta c: 2P MN nh nht khi v ch khi 2 2. 0 1 .2 2 .2 0IA IAu m m m

2 1 34 4 2 02

m m m . Vy 1 32

m .

46. Tm gi tr ca m h phng trnh sau c ng hai nghim: 8

20128 8

256

30 . 24

x y

x y m

HD: Gi s 0 0;x y l mt nghim ca h phng trnh cho. Khi 0 0 0 0 0 0; , ; , ;y x x y y x cng l cc nghim ca h. V vy iu kin cn h c ng hai nghim l: 0 0 00 , xx y . Thay nghim ny vo h phng trnh trn ta c 0 1x v 0m .

Ngc li vi 0m , ta c h phng trnh: 8

8 8

256

2

x y

x y

.

p dng lin tip hu hn ln bt ng thc Bunhiacoski, ta c: 8 7 8 82 256.x y x y Du bng xy ra khi v ch khi x y . T y, ta d dng gii ra c nghim ca h l: 1;1 , 1; 1 .

47. Gii PT: 3 24 14 1 3 8 408

x x x x ; x .

HD: iu kin: 1x . Phng trnh cho tng ng vi: 3 2 43 8 40 8 4 4x x x x . Xt hm s: 3 2 43 8 40 ; g 8 4 4f x x x x x x trn 1; . p dng bt ng thc Cauchy cho bn s khng m, ta c:

4 4 4 4 4 44 12 .2 .2 . 4 4 2 2 2 4 4 13.4

g x x x x

I

AM

N

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Du = xy ra khi v ch khi 44 4 2 3x x . Mt khc 3 213 3 8 40 13f x x x x x x

23 2 23 9 27 0 3 9 0 3 3 0x x x x x x x . Du = xy ra khi v ch khi 3x . Ta c: 13g x x f x . C hai du = xy ra khi 3x . Vy f x g x xy ra khi 3x .

48. Gii HPT:

2 22 2

2 22 2

2 21 11 1 1 1

11 11 1

x yx yy x x y

x yx yx y

; ,x y .

HD: + iu kin: 1 , 1x y . + Vi iu kin , h phng trnh cho c vit thnh:

2 2

1 1 2 2

1 1 1

x y y x

x y y x

+ T y iu kin ca bi ton l: 2 2

1 , 1

1 1 0 *

1 1 1

x y

x y y x

x y y x

+ p dng bt ng thc Bunhiakovsky, ta c : 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1x y y x x x y y

Do : 2 2 2

2

0 , 1

1 1 1 11

x y

x y y x x xyy

( do kt hp vi (*))

2 20 , 1

11

x yx y

+ Li p dng bt ng thc Bunhiakovsky hai ln ( c kt hp vi (1) ), ta uc :

2 21 1 2 2x y y x x y x y x y

2 2 1 1 2 2 2x y .

Do : 2 2

0 , 0

11 11 1 2 22

1

x yx y

y xx y y x x yx yx y

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+ T (1) v (2) ta c h cho tng ng vi: 2 20 , 1

1121

2

x yx y x y

x y

Vy 12

x y l nghim ca h phng trnh cho.

49. Tm tt c cc cp s thc ;x y sao cho: 22 5 41

0x

x xy x yy

.

HD: 2 22 5 4 0 2 5 4 1 0x xy x y x x y x .

Ta c: 1 1 1x x y xx y . Nh vy: 22 20 2 5 4 1 2 5 4 1 2 2x x y x x x x x x x y .

50. Gii PT: 7 6 5 2011 2012 20132011 2012 2013 7 6 5x x x x x x

; x .

HD: iu kin: 2013x PT cho tng ng vi:

7 2012 6 2011 5 2010 02012 7 2011 6 2010 5x x x x x x

(*)

Cho 0b a vi 2018a b . Ta c: x a x b

a b x a bx a x b b ab a x a x b x a x bab

b a b a

Nh vy: + Nu 2018x th * 0VT . + Nu 2018x th * 0VT ., + Nu 2018x th thy tha mn PT (*). Vy 2018x l nghim ca phng trnh cho. 51. Cho , ,a b c , 0a sao cho a v 4 3 2a b c cng du. Chng minh rng phng trnh:

2 0ax bx c khng th c c hai nghim cng thuc khong 1;2 . HD:

Ta c: 1 2 1 2 1 2 1 24 3 20 4 3 2 4 3 2 1 2 2 1a b c b c x x x x x x x x

a a a

(*)

Gi s PT: 2 0ax bx c c hai nghim 1 2, 1;2x x th 1 2 1 21 2 2 1 0x x x x . iu ny mu thun vi (*). Vy ta c iu phi chng minh.

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52. Gii HBPT:

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 3 4 1 2

1 2 3 4

00

00, 0, 0, 0

x x x xx x x x x x x x

x x x x x x x xx x x x

.

HD: t 1 2 3 4A x x x x 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4B x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4C x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4D x x x x . T HBPT cho ta c: , , , 0A B C D . Xt 4 3 21 2 3 4 0P X X x X x X x X x X AX BX CX D (1) V tt c cc h s ca PT (1) u dng nn n khng c nghim dng. V th 21 0, 0x x . Nhng theo HBPT th 1 20, 0x x . Vy HBPT cho v nghim.

53. Gii HPT: 1 1 13 4 5

1

x y zx y z

xy yz zx

; , ,x y z .

HD: T PT th nht suy ra: , ,x y z cng du. Nu , ,x y z l nghim ca h th ; ;x y z cng l nghim ca h.

Gi s , , 0x y z . t tan , tan , tan2 2 2A B Cx y z ; 0, ;,A B C .

T PT th hai ta c: , ,A CB C BA l ba gc ca mt tam gic. Gi R l bn knh ng trn ngoi tip ABC . PT th nht tng ng vi: sin sin sin

3 4 5A B C ABC l tam gic vung ti 1C z .

Nghim ca HPT l: 1 1 1 1; ;1 , ; ; 13 2 3 2

.

54. Gii HPT:

2 4 7

2 4 7

1 1 1 1

1 1 1 1

x x x y

y y y x

; ,x y .

HD: Xt cc trng hp sau: TH: 0xy . HPT c nghim 0;0 TH: 0xy . Khng mt tnh tng qut, gi s 0x y . Khi : 7 2 41 1 1 1 1y x x x . HPT v nghim TH: , 0x y ; x y . Khng mt tnh tng qut, gi s 0x y . Khi : 2 4 7 71 1 1 1 1x x x x y . HPT v nghim TH: , 0x y ; x y . Khng mt tnh tng qut, gi s 0x y . HPT cho tng ng vi:

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2 4 7

2 4 7

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

x x x x x y

y y y y y x

8 7 7

8 7 7

1 11 1

x x y xyy y x x y

Suy ra: 8 8 7 7 6 6x y x y x y xy x y . T 0x y , 8 8 0x y , 0x y , 7 7 0x y , 0xy v 6 6 0x y . HPT v nghim

55. Cho a, b l hai s thc. Hy gii HPT:

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

x y x y ax y

y x x yb

x y

; ,x y .

HD:

t ,u x y v x y . Khi 2 20 1x y uv ; ,2 2

u v u vx v .

HPT cho thnh:

2 22 112 1

2 21

u v u v uva u v u v uv a uvuv

u v u v u v u v uv b uvuvb

uv

Cng v theo v v tr v theo v ca hai PT trong h ny ta c:1

1

u u uv a uv

v v uv b uv

Nhn v theo v ca hai PT trong h ny ta c: 2 2 2 21 1uv uv a b uv uv a b 56. Cho cc s thc , ,m n p tha mn: 30 4 2012 0m n . Chng minh phng trnh

2 0mx nx p lun c nghim. HD:

* Vi 0m th 20124

n p . PT tr thnh: 20120 1 04

bx c p x

+ 0p suy ra PT c nghim x .

+ 0p suy ra PT c nghim 42012

x .

* Vi 0m , ta c tam thc bc hai: 2f x mx nx p

Xt 2 24 16 4 16 2012 4 2012

2012 2012 2012 2012mmf m m n p m n p

2 16 2012.30 02012m m m .

Vy PT lun c nghim.

57. Gii HPT:

3 2

3 2

3 2

6 12 8 06 12 8 06 12 8 0

y x xz y yx z z

; , ,x y z .

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HD: Cng v theo v ca ba PT ta c: 3 3 32 2 2 0x y z . Nu 2x th t PT th nht ca h suy ra 3 6 2 8 8 2y x x y Vi 2y kt hp vi PT th hai ta suy ra 2z .

Do : 3 3 32 2 2 0x y z . Nu 2x th t PT th ba ta suy ra: 36 2 8 0 0 2z z x z . D dng suy ra 0 2y . Do : 3 3 32 2 2 0x y z . R rng 2x y z l nghim ca HPT cho.

58. Cho 1a . Gii HPT sau:

13

13

x a y a z a aa

a x a y a z aa

; ,x y .

HD: p dng BT Bunhiacopski ta c c: 2 3 3A a x y z ; 2 3 3a y zB x .

Suy ra: 2 2 18A B a . Li c: 2 2 1 19 18A B a a aa a

.

Do :

11

1

x a y a z a aa x y z

aa x a y a z a

a

.

59. Gii PT: 1 1 14 30 30 30 304 4 4

x x ; x

HD: iu kin: 0x .

t 1 130 304 4

t x ta thu c h:

14 30 30414 30 304

x t

t x

.

Gi s x t suy ra: 13014 30 304

30 44

t t x xx t . Do t x .

T ta c PT: 14 30 304

x x .

t 1 304

z x ta thu c h: 4 30

4 30

x z

z x

.

Gi s 4 30 30 4z z x z xx z x . Do : z x .

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60. Gii HPT:

2 2

2

22 8

4 3

x yz z x y

z y x

; , ,x y z .

HD: Cng v theo v ca PT th nht cho PT th hai ta c:

2 22 2 22 2 2 2 12 6

2 2z zx y z zx xy x y

.

p dng BT Bunhiacopski ta c:

2 2 2

2 22 4 42 2

2 22 2

z zx y x yz zzy zx y x x y

2 8.6 4 3zy zx z y x .

Du "=" xy ra

0

2 22 2

z y xz zx y

y x

.

61. Gii HPT:

2 2

2 2

2 2

2 1 9

2 1 9

2 1 9

x y y y

y z z z

z x x x

; , ,x y z .

HD:

HPT cho tng ng vi:

2

2

2

2

2

2

9

2 1

9

2 1

9

2 1

y yx

y

z zy

z

x xz

x

.

t

2

2

9

2 1

t tf t

t

; t .

Gi s: ax , ,x M x y z tc l: x y ; x z .

Ta c: 2 2... 3 0y f y f z y z yz y z y z f z f xx . Lp lun tng t ta c z x . Vy x y z .

62. Gii HPT:

2 2 2 3 132 3

9

x x y y z z

x y y z z x x y z

; , ,x y z .

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HD: iu kin: , 10 ,x y z .

Gi s: ax , ,x

x M x y zzxy

, c 2 trng hp:

+ Nu x y z th 0x y y z z x x y z . HPT v nghim.

+ Nu x z y th ta s chng minh 2 39

P x y y z z x x y z .

Tht vy! 4 4 4P x y y z z x x y z z y x z x y z

= 2 3 1 3 1z y x z x y z

31 2 3 1 3 127

z y x z x y z

= 3 31 1 8 32 3 3 3 2 3

27 272

993x y x P

.

Du "=" xy ra 11; 0;3

x y z .

Tng t cho cc trng hp ax , ,y M x y z ; ax , ,z M x y z

63. Tm tt c cc b ba ; ;x y z nguyn dng sao cho 2 2 2

20122012

x yy zx y z

; : tp hp cc s

nguyn t. HD:

Theo ta c: 20122012

x y mny z

vi *,m n ; ; 1m n

Suy ra: 2012xn ym yn zm .

V 2012 \ nn 200

ny mz x y m xz ynx my y z n

.

Mt khc: 2 22 2 2 2 22x y z x z xz y x z y x z y x z y .

Do 1x y z v 2 2 2x y z nn 2 2 2

1x y z x y zz z y

.

V , ,x y z nn 2 2 2 2 2 2; ; x x y y z z x y z x y z . Du "=" xy ra 1x y z .

64. Gii HPT:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

8

2 2

3 18

x x y z xyz

y x y z xyz

z x y z xyz

; , ,x y z .

HD: t 2 2 2a x y z ; b xyz .

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HPT thnh:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 882 2 4 8 43 18 9 108 324

x a b bxa bya b y a b bza b z a b b

.

Cng v theo v ca ba PT trong h ta c: 3 214 116 392a b b . Nhn v theo v ca ba PT trong h ta c: 3 8 2 2 3 18a b b b b . Suy ra: 214 116 392 8 2 2 3 18 ... 2 6b b b b b b b a .

65. Gii HPT:

2 2

2 2

2 2

5

13

40

x y x y

y z y z

x z x z

; , ,x y z

HD: Ta thy x y hoc y z hoc x z khng l nghim ca h cho. Nhn PT th nht, th hai, th ba ca HPT cho ln lt vi x y ; y z ; x z ta thu c:

4 4

4 4

4 4

5

13

40

x y y x

y z y z

z x x z

.

Cng v theo v ca tng PT ta c: 2 518 45 27 03

y xy x z z

Ta c:

2 2

2 2

540 8

x y x y

x z x z

.

Thay 2 53

y xz vo PT ny v bin i ta thu c 2y x ; 3z x .

66. Tm b ba s thc ; ;x y z phn bit tha mn:

1 1 1

4 3 10

x y zy z x

x y zxyz

; , ,x y z .

HD: iu kin: , , 0x y z .

t 1 1 1x y z ky z x

. Ta c: 1yz kz ; 1zx kx .

T suy ra: 2 21 1 1k x k zx kzx k yz x k xyz x k k x xyz k . Tng t: 2 1k y xyz k . Suy ra: 2 1 0k x y . Do x y nn 1k . Mt khc 0xyz k nn 1k . Khi : 1 11 1 1x y z x

y z x ; 1 1, 1

1y z

x x

.

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67. Gii HPT: 2 21 1 1 2 1

1 1 21 1 1

x x y

x y xy

; ,x y .

HD: iu kin: 1 , 1x y v 0xy . T PT th nht suy ra: 0 1x . Do : 0 1y .

Ta c: 2

1 1 1 121 11 1 x yx y

.

D dng chng minh c: 1 1 21 1 1x y xy

.

Khi : 1 1 2

1 1 1x y xy

.

Du "=" xy ra x y . Thay y x vo h u tin ta c: 2 21 1 1 2 1x x x . t sinx t ; 0;

2t

.

68. Cho cc PT: 2 1 0x ax (1) ; 2 1 0x bx (2) ; 2 1 0x cx (3). Bit rng tch mt nghim ca (1) vi mt nghim no ca (2) l nghim ca (3). Chng minh rng: 2 2 2 4a b c abc . HD: Gi 1 2,x x ln lt l cc nghim ca (1) v (2).

Ta c: 11

1x ax

; 22

1x bx

; 1 21 2

1x x cx x

.

Suy ra: 2 21 21

1 2x ax

; 2 22 22

1 2x bx

; 1 22 1

x x ab cx x

.

69. Gii PT: 2 2 22 3 2 1 4 2 3 2x y xy x y x x x ; ,x y . HD: PT cho 2 22 1 2 3 2 2 2x y x y x x x x 2x

21 2 2 1 2 2x y x x x x

21 2 2 1 2 2x y x x x x

2 22

1 2 03

xx y x

y

.

70. Gii HPT: 20121 2

1 2 2012

20121 2 ...2012 2011 1

... 2012.2013

xx x

x x x

; 1 2 2012, ,...,x x x .

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HD:

Ta c: 1 2 201220121 2 ... 1 2 ... 201220121 2 ... 1

2012 2011 1 2012 2011 ... 1x x xxx x

Suy ra: 1 2 2012... 1x x x .

Tng qut ha ton trn Gii HPT:2012 20121 1 2 2

1 2 2012

1 2 2012

...

...

x ax a x ab b b

x x x a

; 1 2 2012, ,...,x x x

71. Gii HPT:

1 2 3

2 3 4

98 99 100

99 100 1

100 2 1

00

........................0

00

x x xx x x

x x xx x xx x x

; 1 2 100, ,...,x x x .

HD: Cng v theo v ca cc PT trn ta thu c: 1 2 100... 0x x x . V tri ca PT ny gm 100 s hng nn ta c th vit li PT ny nh sau: 1 2 3 4 5 6 97 98 99 100... 0x x x x x x x x x x . Theo mi tng trong ngoc n bng 0 nn 100 0x . Lm tng t nh trn, cui cng ta thu c: 1 2 100... 0x x x .

72. Tm cc s nguyn ,x y tha mn PT: 2012

...x x x y .

HD: Nu ,x y l cc s nguyn tha mn iu kin bi th x x m v x k l cc s nguyn. Suy ra: 21k k m . Nu 0k th 22 2 1 1k m k k m k v do m khng phi l s nguyn, tc 0k . Do 0x y .

73. Gi s 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x l cc s nguyn dng tha mn h sau:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

100000

00

0

x x x x xx x x x xx x x x x

x x x x xx x x x x

x x x x x

Tm gi tr ln nht ca 2 41 3x xx x .

HD: Nu k hiu 1 2 3 4 5, , , ,y y y y y theo th t l v tri ca cc PT th hai n th su trong h trn th

, 1,5i iy x i l cc s nguyn dng. Ngoi ra 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1000y y y y y x x x x x v 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 52 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2y y x y y x y y x y y x y y x . T suy ra cc iy cng tnh chn l.

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rng: 1 3 1 2 3 4 51 1 10002 2

x x y y y y y ; 2 4 11 10002

x x y .

Nhng 1 5;y y l cc s nguyn dng v l s chn nn 1 2y ; 5 2y suy ra: 1 3 499x x ;

2 4 499x x . Do : 2 4 41 993 499x xx x .

74. Gii HPT:

1 2

1 3

1

1

1 01 0..................1 01 0

n n

n

x xx x

x xx x

; 1 2, ,..., nx x x .

HD: D thy cc n 1 2, ,.. , 0. nx x x . T PT th nht v th hai ta c: 1 3x x . T PT th ba v th t ta c: 3 5x x .... By gi nu n l th theo cch suy lun ny ta c: 1 3 5 2... n nx x x x x . Tng t ta cng c: 1 4 1... nx x x . T PT cui cng ta c:

21 11 1x x . Thay gi tr ny

vo PT th nht ta c: 2 1x . i vi n l ta c: 1 2 ... 1nx x x . Th li thy ng. i vi n chn, tng t nh trn ta c: 1 3 1... nx x x ; 2 4 ... nx x x .

T PT u tin ta c: 21

1xx

. Gi s 1 3 1 2 41... ...n nx x x a x x x a

0a .

75. Gii HPT:

1 2 1 3 2 3 4

1 2 1 4 2 4 3

1 3 1 4 3 4 2

2 3 2 4 3 4 1

2222

x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x

; 1 2 3 4, , ,x x x x .

HD:

Tr theo tng v tng i mt cc PT ca h cho, ta c:

1 2 3 4

1 3 2 4

1 4 2 3

2 3 1 4

2 4 1 3

3 4 1 2

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

T xt 4 trng hp: TH1: 1 2 3 4x x x x TH2: 1 2 43x xx x TH3: 31 2x xx v 41x x TH4: jix x vi i j .

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