Click here to load reader

Buku tutorial

  • View
    75

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Buku tutorial

1. Catatan Tutotial ini mengandungi bahan berikut 1.Imbasan Teori Aliran Upaya Tutorial Aliran UpayaBUKU TUTORIALKumpulan Soalan Peperiksaan Akhir Aliran Upaya MEKANIK BENDALIR SMM/SMJ 33032.Imbasan Teori Aliran Lapisan Sempadan Tutorial Aliran Lapisan Sempadan Kumpulan Soalan Peperiksaan Akhir Aliran Lapisan Sempadan 3.Imbasan Teori Ringkas Mesin Turbo Tutorial Mesin Turbo Kumpulan Soalan Peperiksaan Akhir Mesin TurboJabatan Haba BendalirFakulti Kejuruteraan Mekanikal Pesan kepada Semua Pelajar SMM/SMJ 3303 Universiti Teknologi Malaysia - anda dinasihatkan supaya menyelesaikan semua soalan dalam Catatan Tutorial ini, - menurut pengalaman kami, pada setiap semester, peratusan pelajar yang lulus DENGAN BAIK mata pelajaran MEKANIK BENDALIR II adalah AMAT RENDAH sekali, - doa kami mudah mudahan dengan Catatan ini anda boleh menolong diri anda sendiri untuk meningkatkan lagi tahap penghayatan anda mengenai mata pelajaran teras ini, dan Sem.I sekaligus membantu kami untuk meluluskan anda dalam Sessi Akademik 2002/2003peperiksaan dan ujian SMJ 3303. Jun 2002 Prof amer n darus, c23 430 h/p:019 3239491 Kampus SkudaiJohor Baru 2. Kita perhatikan beberapa penting menegenai Mesin Turbo: a. Turbin Denyut: Roda Peltonbulatanub W2pic roda VJ ub VJW2 W1 + W2 kos IMBASANlegendaVw1 Vw2 Vw2 V = halaju mutlak TEORI MESIN TURBOW = halaju relatifW2 V2Vw = V kos = halaju pusaran = ( 180o - ) W1 ub = sudut pesongan JABATAN HABABENDALIRFAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL = sudut bilah pandu UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIAVJ = V1 = Vw1 Rajah 3.1: Hal penting roda Pelton Halaju jet, VJ = Cv 2 gH B , turus jet hKE = VJ2/(Cv2 2g) Turus berkesan, HB = Turus kasar turus geseran paip penstok= Hkasar (4fL/d)(u2/2g) dengan L dan d masing masing panjang dan diameter paipSemester 1 penstok; f dan u pula ialah factor geseran dan halaju aliran dalamSessi Akademik 2001/2002 di dalam paip.Julai, 2001 Turus Euler = turus yang dijana oleh mesin turbo = [(UVw)1-(UVw)2]/g Khas untuk turbin Pelton, U1 = U2 = ub = ND/60: D = diameter pic roda. 3. Ciri penting: Seluruh sistem turbin tergenang air, iaitu dari head race ke tailTurus Euler turbin Pelton,race dipenuhi oleh air; tenaga mekanikal diraih dari penjelmaan tenagahidrodinamik oleh tekanan dan juga oleh tenaga kinetik air yang melaluihE = (ub/g)[Vw1 Vw2] = (ub/g)[W1 + k W2 kos ]bilah pada roto. Pemilihan sama ada perlu dipasang turbin Francis ataupunturbin Kaplan diasaskan kepada magnitud laju tentu, N S = NP1/2H-5/4.= (ub/g) [(VJ ub)(1 + k kos )Lazimnya untuk H rendah akan menghasilkan NS besar, turbin Kaplandigunakan. Untuk turus H tinggi akan menghasilkan N s kecil, turbin Peltondengan W1 = halaju relatif = V J ub; k = 1 jika tiada geseran padadipasang.permukaan bilah/sauk/timba.Kuasa yang diraih oleh turbin Pelton, Pohead race,0= gQhE = gQ[(ub/g) [(VJ ub)(1 + k kos )] [1]bilah rotoKuasa yang disediakan oleh nosel,Pin = gQhKE stator= gQ [VJ2/(Cv2 2g)]paip (diam) penstok bilah pandu [2]Kecekapan hidraulik, h = hE/hKE roto = 2Cv2 (1-)(1+ k kos ); dengan = (180o - )(bergerak)Kecekapan maks. dicapai apabila dh/d = 0. Ini terjadi pada = . Dalamturbin roto/runnerpraktiknya, (h)maks terjadi untuk 0.46 0.48.dari penstokturbin jejarian tiub draftail race,4 Rajah 3.2: Turbin aliran ke dalam Terapkan Pers. tenaga dari 0 4: hT = (Hkasar hLpenstok) (hLturbin); hLpentoksadalah kesusutan turus oleh geseran paip [(4fL/d)(u 2/2g)]; hLturbin ialahkesusutan pada perumah, bilah pandu, bilah gerak dan dalam tiub draf.Jadi, hT = HB hLturbin; dengan HB = turus berkesan = Hkasar - hLpenstokb. Turbin FrancisPenerapan Pers. tenaga dari [1] [2] serentas roto, lihat Rajah 3.2. H01 = H02 + hE + hLroto hE = H01 H02 - hLrotoTurbin tindak balas: Turbin Francis dan turbin Kaplan. 4. dengan H0 = turus total = (p/g + V2/2g +z); hE ialah turus Euler untukKecekapan keseluruhan,turbin tindak balas, hE = [(UVw)1-(UVw)2]/g0 =hidraulikmekanikal volumatrikRujuk rajah segi tiga halaju. c. Turbin Kaplan Vw1 Vf1 kot 1Vf1kot1 Vw1arah Vf1 Legenda aliranV1W1V1 VfW1 V = halaju mutlakU = halaju putaranbilahW = halaju relatif gerak Vw = halaju pusaran = V kos Vf2 = V2V2 Vf = halaju aliran = V sin W2 = sudut bilah pandu,DhabU2W2 = sudut bilah gerak Droto U2 Rajah 3.3: Rajah segi tiga halaju Rajah 3.4: Turbin Kaplanturbin tindak balas Di sini, kadar alir ditentukan dari pers. berikut, Q = (/4)(D2 Dhab2)VfLazimnya Vw2 = 0, iaitu aliran keluar secara jejarian, keluar tanpa kejutan, Lazimnya dalam analisis hidrodinamik turbin Kaplan dikenalkan,Jadi,hE = U1Vw1/g = U1[U1 Vf1 kot ]/g;Pekali aliran, = Vf/(2 gH B ); Vf = halaju alirandengan, U1 = Vf1[kot 1 + kot 1]Pekali halaju, = U/( 2 gH B ) ; U = halaju putarandengan U=DN/60 = halaju putaran, Turus Euler dengan Vw2 = 0, hE = U1Vw1/g; turus bersih = HBKuasa yang diraih oleh turbin, Po = gQhE = gQ[U1Vw1/g] Kuasa yang diraih oleh turbin, Po = gQhE = gQ[U1Vw1/g]Kuasa yang tersedia, Pin = gQHB; Q = bDVfdengan b = tinggi bilah, D = diameter roto, Vf = halaju aliran Kuasa yang tersedia,Pin = gQHB; Q = bDVfKecekapan hidraulik, dengan b = tinggi bilah, D = diameter roto, Vf = halaju aliran h = U1Vw1/gHB 5. Kecekapan hidraulik, h = U1Vw1/gHBKecekapan keseluruhan,0 =hidraulikmekanikal volumatrikjenis sesiku jenis spreadingRajah 3.6: Bentuk tiub draf Tiub drafDaripada pers. tenaga yang telah dituliskan di atas kita perhatikan tekananTiub draf merupakan sebahagian turbin tindak balas. Tiub draf perlu p3 boleh menurun ke satu takat yang rendah. Namun ini harus dikawaldipasang kerana 1. untuk meraih sebahagian tenaga kinetik air yang keluar jangan sampai melewati tekanan wap air.dari turbin, V42/2g menjadi lebih kecil, 2. meningkatkan turus berkesan, 3.Memudah kerja pembaikpulihan adan penyelengaraan loji kelak.(p3 p4)/g = (z4-z3)+(V42-V32)/2g + hL34Daripada pers. keterusan, A3V3 = A4V4 V3/V4 = A4/A3 = d42/d32 V3z3 p3/g + V32/2g + z3 = p4/g + V42/2g + z4 + hLtd Maka,(p3-p4)/g = - Ltd +(V42/2g)[1- (d42/d32)2] + hL34 V4Kita perhatikan pers. terakhir ini, sebutan [1- (d42/d32)2] adalah negatif.Maka tekanan p3 [tolok] adalah selalu negatif.Rajah 3.5: Tiub draf2. Hidrodinamik PamJika turbin adalah sebuah peranti hidrodinamik yang menjelmakan tenagahidro ke tenaga mekanikal, maka pam pula ialah peranti yang menjelmakantenaga mekanikal ke tenaga hidro. Pada prinsipnya jika turbin jejariandibalikkan putarannya, disongsangkan arah putarannya, maka kita perolehsebuah pam. Sama seperti turbin, pam juga boleh diklasifikasikan menurutoperasi kerja dan arah putaran rotornya. Bagi pam rotor dikenal sebagaipendesak.Terdapat beberapa jenis tiub draf: 1. jenis kon, 2. jenis sesiku, 3. jenisspreading. Tiub draf pada Rajah 3.5 adalah jenis kon.V33 6. hhJadi: hp merupakan turus yang dibekal oleh motor ke pam, digunakan 1 2Hst sepenuhinya untuk mengatasi turus static dan turus geseran sistem paip danpam.hsTurus manometer, HM pula ialah turus yang diwujud serentas pam. Kita 0perhatikan juga jika semua bentuk kesusutan turus di dalam pam diabaikanRajah 3.7 maka turus Euler = turus manometer.Turus Euler, hE ialah turus yang dijana oleh putaran pendesak , sama sepertiKita perhatikan agihan turus yang terjadi serentas sistem, dari stesen [0]turbin, iaitu hE = [U2Vw2 U1Vw1]/gpada permukaan air ke [3] iaitu stesen di hujung paip hantar. Kita terapkan Rujuk rajah tiga segi halaju sebuah pam.pers.tenaga [PT] dari satu stesen ke satu stesen.U2PT0-3: po/g+Vo2/2g+zo+hp= p3/g+V32/2g+z3 + hL03 Vf1kot1PT0-1: po/g+Vo2/2g+zo = p1/g+V12/2g+z1+ hL01Vw2PT1-2: p1/g+V22/2g+z2 + hE = p2/g+V22/2g+z2+hL12 LegendaPT2-3: p2/g+V22/2g+z2 = p3/g+V32/2g+z3+hL03V2Vf W2 V = halaju mutlakU = halaju putaranDaripada Rajah 3.7: po = p3 = 0[tolok], Vo = 0, z1-zo=hs,z3-z2=hh,W = halaju relatifz3-zo=hh, hL = turus kesusutan oleh pelbagai sebab, hp turus bekalan dan hE =Vw = halaju pusaran = V kos turus Euler [lihat turbin]. Maka,V1Vf = halaju aliran = V sin = sudut bilah pandu,PT0-3:zo+hp=V32/2g+z3 + hL03 hp = Hst + hL03 W1 = sudut bilah gerakPT0-1: zo = p1/g+V12/2g+z1+ hL01 p1/g= -hs-V12/2g+hLP U1PT1-2: p1/g+V22/2g+z2 + hE = p2/g+V22/2g+z2+hL12, ataupun Rajah 3.8: Rajah segi tiga halaju(p2/g+V22/2g)-( p1/g+V12/2g) = hE hLrotor+statorPam rotodinamikPT2-3: p2/g+V22/2g+z2 = V32/2g+z3+hL03, ataupunp2/g+V22/2g+z2 = V32/2g+z3+hL03, ataupun p2/g = hh + (V32/2g- V22/2g) + hLphTurus Euler boleh juga diungkapkan seperti yang berikut,Daripada analisis ini, kita dapatkan:1. hp = Hst + hL03 iaitu turus rintangan sistem, hE = (V22 V12)/2g + (U22-U12)/2g + (W12-W22)/2g2. (p2/g+V22/2g)-( p1/g+V12/2g) = Hm, turus manometer3. hE = HM + hLroto + stator, turus Euler Pada permulaannya, V = 0, W = 0. Maka untuk memulakan proses4. p1/g= -hs-V12/2g+hLP, turus sedutan [lazimnya negatif]pengepaman, hE = (U22-U12)/2g dengan U = ND/60 sehingga5. p2/g = hh + (V32/2g- V22/2g) + hLph, turus hantarhE = (N/60)2[1/D22 1/D12]=N2 [2(1/D22-1/D12)/3600] 7. Maka putaran mimimum, untuk mula mengepam: >900 N2 = 3600 hE/[2(1/D22-1/D12)]=900Kecekapam pam: Hal ini sama dengan kecekapan sebuah turbin., < 90o 1. kecekapan manometer, h = Hm/hE = 1 - hL/hEQ 2. kecekapan mekanikal, m = (gQunghE/PmotorRajah 3.9: kesan 2 terhadap lengkuk H-Q pammekanikal= kuasa pada syaf pam/kuasa dibekal oleh motor Kes1: 2 > 900, rajah tiga segi di bahagian keluar menjadi 3. kecekapan isi padu,v = Qsebenar/QunggulVw1pam berkelajuan rendah.Kecekapan keseluruhan,0 = h m v U20 = gQHM/Pmotor2 = g (vQunggul) (hhE)/Pmotor = hv(gQunghE/Pmotor)= hmv W2 Kes2: =900:V2Prestasi pam dan pengaruh sudut 2:Pertimbangkan,hE = U2Vw2/g =U2[U2 Vf2kot2]/g Vw1pam aliran jejarianU2Jika kita anggap, hL sifar, maka hE = Hm. Halaju aliran Vf = Q/Aeff maka, 2 hE = U22 /g Q [kot2/gAeff] U2 W2 = vf2Pers. terakhir ini merupakan satu pers. linear terhadap H dan Q. Kita plot Kes3: - dalam daerah ini kesan daya inersia adalah lebih tinggi Universiti Teknologi Malaysiadaripada daya likat, kita dapati susuk halaju adalah tetapseperti sedia kala, iaitu u = U 0, satu pemalar; sehingga (du/dy)= 0, jadi tiada tegasan. Satu unsur bendalir yang diletakkan di Sem. II 10. dalam rantau ini tidak akan berputar. Maka tidak wujud Z vortisiti di dalam medan.Medan aliran upaya ialah medan aliran yang tidak wujud di dalamnya sebarang3. unsur vortisiti. Disebabkan vortisiti adalah sifar, maka medan halaju aliran bolehdiwakili dengan satu fungsi yang selanjar yang dinamai fungsi upaya, = (x,y,z)yataupun = (r, ,z).2. Nyatakan ungkapan vortisiti dalam sebutan komponen halaju aliran. Vortisiti adalah satu kuantiti vector, secara matematik vortisiti ditakrifkanRajah 1.1seperti yang berikut,x = xV [1.1 3.0 Tunjukkan dalam medan aliran dimensi 2, hanya komponen kdengan = i + j + k dan V = iu + jv + kw. Oleh itu [1.1] boleh dari sahaja yang wujud.dikembangkan seterusnya seperti yang berikut,Dalam medan aliran dimensi 2, komponen halaju dalam arah k adalah sifar, iaitu w = 0. Kini pertimbangkan, ijkw vu w v u =, =,=[1.3 xV= = i + j + k[1.2 y zz y x y xyz uv w Komponen halaju v dan u tidak mungkin merupakan fungsi z. IniJelas sekali bahawa, bermaksud bahawa, w vu w v u u = u(x,y) ataupun v = v (x,y)=, =,= [1.3 y zz y x yJelaslah bahawa, daripada [1.3] untuk medan aliran 2 dimensional, hanya komponen z dari sahaja yang wujud iaitu,Sila rujuk rajah di bawah untuk pengertian fizikal komponen , dan satu vector vortisiti tadi. v u = [1.4x y 4.0 Terbitkan Pers. [1.4] dari prinsip asas. 11. Kadar peputaran sesuatu unsur di dalam medan bendalir boleh ditakrifkansebagai,1 v u += [1.5= [a 2 x y 2dtMaka, v udengan dan masing masing merupakan sudut yang dibina oleh sisi2 = =[1.6 x yunsur apabila merenyuk [deforms] sewaktu merentas medan aliran. Pers. [1.7] sekali menunjukkan bahawa,Dengan merujuk kepada rajah di bawah, maka 2 = [1.7v =dt [bx Pers. [1.7] sekaligus menunjukan bahawa apabila unsur bendalir tidak berputar maka, vortisiti adalah sifar u5. Tunjukkan apabila vortisiti suatu medan aliran adalah sifar, maka= dt [c yhalaju medan boleh diwakili oleh satu fungsi skala, (x,y).Pertimbangkan rajah di bawah,Hal ini boleh ditunjukkan dengan mudah secara vector. Menurut analisis vector, u yudt dydt jika x V = 0, maka V = [1.8 y Oleh itu, u=,v =, dan w = [1.9 xy zdyA Jika kita khususkan kepada medan dimensi 2 sahaja maka w = 0. Pers. vdt [1.9] dalam koordinat kutub, vAdx-dxdt1 yur =, dan u =[1.20rr Rajah 1.2 Kini kita pertimbangkan hal yang sama secara skala. Katakan wujud Dengan menggantikan [b] dan [c] ke dalam [a] kita peroleh, =(x,y) yang selanjar. Disebabkan (x,y) adalah selanjar, maka urutan kebezaan ataupun terbitan adalah tidak penting. Ini bermaksud bahawa, 12. d = U 0 sehingga (x,y) = U0x + f(y) 22dx= x y y xDaripada Pers.[1.20], untuk satu sumber,ataupun,C = u r = , sehingga (r,) = C ln r + f() rr y = y x [1.21 x dan, untuk satu vorteks, untuk satu aliran vorteks,1 C U == , sehingga (r,) = C + f( r )r rSeterusnya perhatikan Pers. [11.4], iaitu7. Nyatakan apakah syarat yang perlu dimiliki oleh satu medan aliranv u sehingga medan aliran tadi boleh dianggap sebagai medan aliran =upaya?x ySyarat yang amat perlu ialah, di dalam medan aliran tersebut haruslah bebasBandingkan dengan Pers. [1.21]. Maka, jelas bahawa, dari sebarang unsur vortisiti. Secara lebih ringkas, boleh kita katakan,fungsi upaya (x,y) hanya wujud jika x V = = 0. u=, dan v = Catatan: Perhatikan, medan aliran 1. tidak perlu mantap, 2. tidak perlu x yberdimensi 2,Perhatikan persamaan terakhir ini selaras dengan Pers. [1.9]! 8. Apakah yang dimaksudkan dengan fungsi arus?Fungsi arus (x,y) ataupun (r,) adalah satu fungsi selanjar yang6. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran mudah, dan dimisalkan wujud di dalam satu medan aliran dimensi 2, yang memenuhiungkapkan aliran mudah tadi dalam sebutan fungsi upaya. takrif berikut,Medan aliran mudah ataupun ringkas adalah medan aliran yang hanya mempunyai satu komponen halaju dalam satu arah tertentu. Contoh medan u= , dan v = [1.22aliran mudah ialah, y xi. aliran segaya, V = U0i, iaitu u = U0,ataupun,ii.aliran sumbur/sinki, V = Ur er, ur = Ur1 ur =, dan u = iii. aliran vorkteks, V = Ue , iaitu u = Ur rDaripada Pers. [1.9], untuk aliran segaya,sehingga persamaan keterusan dimensi 2 dipenuhi secara identitik[identically], iaitu 13. + = 0 , ataupun 2 = 0.u v (ru r ) ux x y y + = 0, ataupun, +=0x y r [1.23Untuk membuktikan (x,y) harmonik, gantikan u = , dan v =y 9. Apakah syarat wujudnya fungsi arus? Medan aliran mestilah berdimensi 2, dan mantap.xv u Kedalam pers. vortisiti sifar, iaitu () = 0. Maka, kita perolehCatatan: Perhatikan, medan aliran tidak perlu bebas dari vortisiti. Makax ydalam semua bentuk medan aliran pasti boleh ditakrifkan fungsi arus2 = 0.seandainya medan aliran tersebut adalah berdimensi 2.10. Tuliskan hubungan Cauchy Reimann?Hubungan Cauchy Reimann ialah, 11. Apakah pentingnya fungsi (x,y) dan (x,y) itu harmonik?Sesuatu fungsi dikatakan harmonik apabila fungsi berkenaan memenuhi u==, dan v == [1.24 pers. Laplace. Fungsi arus (x,y) dan fungsi upaya (x,y) ataupun dalam x y y x koordinat polarnya adalah harmonik. Disebabkan pers. Laplace adalah harmonik, maka kaedah penindihan boleh digunakan. Dengan ini kitaDalam koordinat kutub, maksudkan bahawa, jika satu bentuk ataupun yang ingin dikaji itu adalah kompleks, maka fungsi ataupun fungsi yang mudah boleh1 1 digunakan lalu digabungkan satu per satu sehingga membentuk dan u == - , and ur ==r rr r yang kompleks tadi.[1.25 Sebagai contoh, kata kita ingin mengkaji aliran meliputi sebatang silinder11. Tunjukkan bahawa (x,y) dan (x,y) adalah harmonik.yang berputar. Maka medan aliran yang sedemikian boleh dizahirkanSatu fungsi dikatakan harmonik jika fungsi yang berkenaan itu memenuhi dengan mengabungkan aliran segaya, satu doblet dan satu vorteks.persamaan Laplace, 2 = 0. Untuk membuktikan (x,y) harmonik , gantikan u = dan v =xydi dalam persamaan keterusan, iaituu v + = 0,x yJadi, 14. t Ur++ Rajah C13.0aliranaliranaliranaliran meliputi Maka,segayadoblet vortekssebatang silindr berputard = [Q/2r] dr (r,) = (Q/2) ln r + f()Rajah C11.0Disebabkan U = 0. Maka f() = C = 0. Oleh itu,12. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran mudah? Berikanbeberapa contoh medan aliran mudah ini. (r,) = (Q/2) ln r, [1.26Medan aliran mudah merupakan medan aliran yang asas. Lazimnya didan,dalam medan aliran ini, medan halaju V hanya mempunyai 1 komponen (r,) = (Q/2r), [1.27tertentu sahaja.untuk satu aliran sumber. Untuk sinki ,Contoh medan aliran mudah ialah:1. aliran segaya, V = U0i(r,) = ( - Q/2) ln r.[1.282. aliran sumber/sinki, V = Urer3. aliran vorteks, V = UeRujuk Perkara 6.0 di atas! b. Aliran vorteks adalah satu aliran pusaran dengan hanya komponen13. Dapatkan fungsi arus dan fungsi upaya untuk aliran- sahaja yang wujud, V = U e . Terdapat 2 jenis vorteks,mudah a. sumber, b. vorteks dan c. aliran segaya.Hubungan Cauchy Reimann, HCR ialah1. vorteks bebas, dengan U = C/r2. vorteks paksa dengan U = Cr. 1 1 u ==- , and ur == r rr r Yang mana satu medan aliran tak berputar?.a. aliran sumber mempunyai hanya komponen halaju jejari iaitu U r. Aliran sumber 2 dim ialah satu aliran yang terbit dari satu garis,Jika x V = = 0, maka medan halaju V adalah tidak berputar. maka daripada pers. keterusan,Dalam koordinat polar, x V = = 0, iaitu untuk medan 2 dim, Ur 2rt = Q sehingga Ur = Q/2rt, biasanya t = 1. 1 (rU ) 1 U r = - =0 Rujuk rajah di bawah, r rr 15. Jelas sekali untuk aliran tidak berputar, = 0. Di sini disebabkan, U f() untuk kedua dua jenis vortek, maka kebezaan komponenJika fungsi dan untuk satu sumber pula dilakarkan maka kita akanhalaju V terhadap adalah sifar. Namun untuk vortekks paksa U = Cr, menghasilkan satu gambaran berikut.sedangkan untuk vorteks bebas U = C/r. Oleh itu, , hanya sifaruntuk vorteks bebas dan tidak untuk vorteks paksa.Dengan ini hanya vorteks bebas mempunyai fungsi upaya. Namunkedua duanya , vorteks bebas dan juga vorteks paksa, masing masing memiliki fungsi arus.Daripada hubungan CR, untuk satu vorteks bebas,U = - /r = /r = C/rOleh itu, (r,) = - Cln r, dan (r,) = C[1.29Cuba anda bandingkan ungkapan satu fungsi arus dan fungsi upayauntuk aliran vorteks bebas dengan aliran sumber. Rajah C13.c: Aliran SumberAnda akan dapati bahawa ungkapan fungsi arus untuk vorteks bebas Persoalan seterusnya pula ialah, bagaimana pemalar Cadalah sama dengan ungkapan fungsi upaya satu aliran sumber. Begituditentukan?juga dengan fungsi upaya aliran vorteks adalah sama dengan ungkapan Pemalar C pada satu vorteks bebas ditentukan secara langsung darifungsi arus aliran sumber pula.takrif edaran, . Malah edaran adalah kekuatan ataupun keupayaan sesebuah vorteks. Hal ini sama dengan Q pada satu sumber, ataupunHal ini dengan jelas ditunjukkan pada rajah berikutnya.sinki, Q ialah kekuatan satu sumber, ataupun sinki. 14. Tunjukkan bahawa edaran yang meliputi titik asalan adalahberhingga, sedangan edaran yang ditentukan dengan tidak meliputi titik asalan sesuatu vorteks adalah sifar.Rajah C13.b: Aliran Vorteks Bebas 16. Pertimbangkan rajah di bawah. cb c d a = V . ds = V . ds + V . ds + V . ds + V. y ab c d d dsUr1a Lingkaran luarataupun,babcda = Ur dr + U1 r1d - Urdr - U2 rd2lingkaran dalam Untuk satu vorteks, U = (/2)/r. Maka,U1U2 abcda = Ur dr +[(/2)/r1] r1d1 - Urdr [(/2)/r2 ] r2 d2 Ur2 Pada Rajah C14.0, d1 = d2 = /4, dan untuk satu vorteks Ur = 0. Oleh itu, abcda adalah sifar belaka.Rajah C14.0Daripada takrif edaran, Kini kita perhatikan takrif edaran, iaitu, = CV . ds.Kita sedia=CV . ds [1.30 maklum, dalam satu medan aliran tidak berputar, V = . Oleh itu,dengan kamiran ini adalah tertutup. =CV . ds = C . ds[1.32Pertama kita pertimbangkan, satu nilai kamiran yang diambil menuruti Boleh ditunjukkan bahawa, . ds = d. Dengan ini,lintasan pada lingkaran luar ataupun lingkaran dalam pada Rajah C14.0di atas. = a - a = b- b = 0V = U e dan ds = rd etanpa peduli sama ada kamiran dilakukan pada lingkaran luar mahupun lingkaran dalam.Maka,=CU e . rd e = C (C/r) rd = 2C Yang jelas di dalam satu medan aliran upaya tidak ada sebarang unsur edaran yang wujud.sehingga,C = /2[1.31Hal ini boleh dilihat dengan lebih jelas lagi daripada hubungan antara edaran dengan vortisiti.Seterusnya, kita pertimbangkan satu lintasan yang tidak meliputi titikasalan 0, iaitu lintasan abcda, rujuk Rajah C14.0. 17. 15. Tunjukkan bahawa dalam satu medan aliran upaya, edaran adalahsifar.Pertimbangkan takrif edaran,16. dapatkan fungsi arus aliran gabungan, = V . ds a. di antara satu sumber dengan satu vorteks Cb. di antara satu sumber [-a,0] dengan satu sinki [a,0],Menurut teorem Green, c. di antara satu vorteks [0,-a] dengan vortkes [0,a],d. di antara doublet dengan aliran segaya, = C V . ds = C x V. dA = C . dA = n A e. di antara doublet, aliran segaya dengan vorteks, [1.33a.gabungan satu sumber + satu vorteksdengan dA ialah luas yang diliputi oleh kamiran tertutup, . = (Q/2) + (/2)ln r [1.34y z n +x yxRajah C16.0 V = UeUntuk mendapatkan bentuk jasad yang terjana [generated], kita setkan =0. Oleh itu,rd = (Q/2) + (/2)ln r = 0maka,Rajah C15.0 ln r = - (Q/)Jelas sekali apabila, n = 0, maka sedaran = 0. ataupun,r = eksp [ - (Q/)] [1.35Untuk medan 2 dim telah kita perhatikan bahawa, komponen vortisitiyang wujud hanyalah, . Dari Perkara 4.0, kita telah tunjukkan bahawa 2b.gabungan sumber [-a.0] + sinki [+a.0]= . Jadi jika = 0, maka = 0. Dengan = 0, jelas = 0. = (Q/2) [sumber - sinki][1.36 18. sumber - sinki = tan-1[y/(x+a)] tan-1[y/(x-a)] iaitu,tan-1 A tan-1 B = tan-1 [(A-B)/(1 + AB)][1.37 Dengan ini, g = (Q/2 ) tan-1 {[(y/(x+a) y/(x-a)]/[1 + y2/(x+a)(x-a)]}+ Apabila dipermudah hubungan ini menjadi, dengan m = Q/2g = - m tan-1 2ay/(x2+y2-a2) [1.38 Dalam keadaan had, apabila a 0, maka 2am , iaitu kekuatansumber sinkigabungan doublet.Maka kita peroleh,Rajah C16.a g = - y/(x2 + y2) = - /(r sin ) [1.39Bentuk aliran yang menarik terjadi apabila kedudukan sumber dan sinkiditindih, iaitu apabila a 0. Perhatikan rajah di bawah.Bagaimanakah ungkapan fungsi upaya bagi aliran doublet? Bagaimanakah ungkapan Ur dan U suatu aliran doublet?(x,y) y Satu bentuk aliran yang amat menarik terjadi apabila aliran segaya ditindihkan dengan aliran doublet, sumber sinkid. Penindihan di antara aliran segaya dengan aliran doublet.Pertimbangkan, aliran segaya yang dibuat melewati satu medan aliran doublet.-a+a + =Rajah C16.b sumber = tan-1 [ y/(x+a)], sinki = tan-1 [y/(x-a)]Rajah C16.cJadi, 19. Fungi arus medan aliran gabungan ini boleh dituliskan seperti yang berikut,S g = U r sin - ( sin /r) aliran aliran aliran aliran meliputi [1.40segayadobletvorteks sebatang silindr berputarBentuk jasad, g = 0.Rajah C11.0 0 = Ur sin [ 1 a /r ] dengan a = /U2 22 Kedudukan titik genangan S bergantung kepada magnitid dan U0.Di sini, [Ur sin] 0. Maka, r = a, ini adalah satu bulatan.Fungsi arus aliran gabungan adalah: c. gabungan vorteks [0,-a] + vorteks [0, +a] = U0 r sin [ 1 a2/r2] (/2) ln ( r/a ) [1.41(x,y)Ini merupakan sebatang silinder dengan jejari a yang berputar. Cuba set r = a, apa yang terjadi pada ? e. Gabungan aliran segaya + sumber (-a,0) + sinki (a,0)+a-a ++ jasad oval rankine segaya + sumber [-a,0] + sinki [-a,0] jasad Rankine Rajah C16.dGabungan dua vorteks,Rajah C16.e = (/2) ln (r1/r2)[1.40 Fungsi arus aliran gabungan,** Cuba ingat, fungsi arus satu vortek adalah serupakan dengan fungsi upaya satu sumber, dan fungsi upaya satu vorteks adalah serupa dengan fungsi arus satu sumber. Jadi? U0 rsin + (Q/2)[ sumber - sinki] = g [1.42 e. gabungan aliran segaya + doblet + vorteksGambaran polar aliran yang diperoleh adalah seperti yang di bawah. Bentuk jasad, g = 0. Q [ sin ki sumber ] r= 2 U 0 sin + + [1.43 Panjang jasad: 20. Q1 1 ] Q Ur == U0 kos +[ -rs = a +1[1.44 r2 r1 r2 aU 0Dan, Rujuk rajah seterusnya untuk melihat lebar dan panjang jasad. PanjangU = - = Usin r jasad ialah, L = 2rs[1.45Perhatikan: S1y S2 r1 Pr2sumber sinki hr1 aa x H rsrsRajah C16.e LTitik genangan ialah titik di dalam medan aliran dengan halaju tempatan Rajah C16.fadalah sifar, iaitu pada titik genangan, V = 0. Oleh itu, Ur = 0 dan U = 0. Lebar jasad: Rujuk Rajah C16.f, sumber = , sinki = - , dan = /2. Maka dengan r = hMaka,pada Pers. [1.43] kita hasilkan, U = -= Usin = 0 = 0, , r mh=[ 2]Dan, U0 Q 1 1 ]=0 ataupun, Ur = = U0 kos + [ -r2 r1 r2 U 0h= 2 2mpada S2, = 0 dan S1, = . Kini daripada Rajah C16.e, pada S1, r1 = rs Daripada Rajah C16.f,a, dan pada S2 , r2 = rS + a. Oleh itu,U 0 h h = a tan = a kot [1.45 Q 11 2m U0 - [ ]= 0 2 r s a rs + adengan m = Q/2.Iaitu, Tinggi ataupun lebar jasad Rankine ialah, 21. H = 2h [1.46Pada permukaan silinder, r = a. Maka Ur = 0, dan U = 2U0 sin .Perhatikan Pers. [1.45] dengan baik. Pers. ini adalah tidak linear. Cuba andaKini terapkan pers. Bernoulli pada 2 titik tertentu. Satu titik jauh di hadapandapatkan nilai h, apabila nilai U0, a dan m = Q/2 diberi! silinder dengan p, dan halaju U0 dan satu lagi terletak pada permukaan silinder dengan ps, dan halaju U sebab Ur = 0. Menurut Bernoulli,17. Tunjukkan daya seret [drag] pada sembarang jasad yang 1 U0 21 U 2diletakkan di dalam satu medan aliran unggul adalah sifar. Andap + = ps + boleh menggunakan satu jasad berbentuk silinder untuk memudahkan2 2analisisnya. iaitu,2Pertimbangkan rajah di bawah.1 U p = ps - p = U 0 [1 - 2 U ] y 2 0 pdA 1=U 0 [1- 4 sin2 ] 2[1.47 p, rd2xDengan merujuk kepada Rajah C17.0, unsur daya yang bertindak pada luas unsur dA ialah, U0 dF = p dA = p rdRajah C17.0 Unsur daya ini boleh dileraikan dalam arah x dan y, sepertiFungsi arus, aliran meliputi silinder dengan jejari a telah kita hasilkan, iaitudF = i dD + j dL[1.48 g = U0 r sin - ( sin /r) Dengan ini, Rujuk rajah di bawah. a2Ur = = U0 kos [1 - 2 ], dan dF rrdFy = dL a2U = -= U0 sin [1 + 2 ], rr dFx = dD 22. Perhatikan, agihan tekanan pada permukaan silinder tadi adalah bersimmetri dengan,dFx = p kos rd, dan dFy = p sin rdterhadap paksi x dan paksi y. Tiada lebihan daya, dalam arah positif dannegatif x mahupun y. Oleh itu jelas sekali, D = 0 dan L = 0. Rajah C17.a18. Buktikan teorem Kutta Joukousky, iaitu daya lif, L = U.Jadi, Daripada Perkara 17.0, kita lihat bahawa apabila sebatang silinder1 diletakkan di dalam satu medan aliran upaya, maka daya seret D dan daya dD = U 0 [1- 4 sin2 ] kos rd,2 [1.48lif L, kedua duanya adalah sifar.2dan,Seterusnya akan kita perhatikan agihan tekanan pada sebatang silinder1 dL = U 0 [1- 4 sin2 ]sin rd,2 [1.49berputar yang diletakkan di dalam satu medan aliran upaya. Kita akan2 tentukan D dan L.Jika Pers. [1.48] dan Pers. [1.49] dikamirkan dari = 0 hingga = 2, kitaPertimbangkan rajah di bawah.dapati bahawa daya seret, D = 0 dan daya lif, L = 0. yKeadaan daya seret D = 0, dinamai Paradok d Alembert.pdAKeadaan D = 0 dan L = 0 sebenarnya boleh dilihat daripada Pers. [1.47]. p, rdJika Pers. [1.47] diplot kita hasilkan gambaran berikut, iaitu agihan tekananpada permukaan silinder. xyU0Rajah C18.0 xKeadaan ini boleh dimodelkan dengan, = U0 r sin [ 1 a2/r2] (/2) ln ( r/a )Komponen halaju Ur dan U masing masing ialah,Rajah C17.b Ur = U0 kos [ 1 - a2/r2] [1.50 23. Dan,U = - U0 sin [ 1 + a2/r2] + (/2r)[1.51 dFx = dDJelas sekali pada permukaan silinder, r = a, Ur = 0. Mana kala, dengan, dFx = p kos ad, dan dFy = p sin adU = - 2 U0 sin + (/2a) [1.52Rajah C18.aKini terapkan pers. Bernoulli pada 2 titik tertentu. Satu titik jauh di hadapan Jadi,silinder dengan p, dan halaju U0 dan satu lagi terletak pada permukaan1dD =U 0 [1- (-2sin + (/2U0a)2 ] kos rd, [1.542silinder dengan ps, dan halaju U sebab Ur = 0. Menurut Bernoulli, 2dan, 1 U0 2 1 U 21p + = ps + dL = U 0 [1- (-2sin + (/2U0a)2] sin rd,2 2 22iaitu,[1.55 21 U p = ps - p = U 0 [1 -2U ] Seterusnya jika kita kamiran dD dan dL dari = 0 hingga = 2, kita akan2 0 dapati bahawa,ataupun, D=01 Dan, p = U 0 [1- (-2sin + (/2U0a)2]2[1.53L = - U0 [1.562Dengan merujuk kepada Rajah C18.0, unsur daya yang bertindak pada luasunsur dA ialah, Catatan:dF = p dA = p rd 1.kita dapati bahawa dalam medan aliran upaya, walaupunwujud edaran daya seret tetap sifar. Keadaan ini dinamaiparadok dAlembert.Unsur daya ini boleh dileraikan dalam arah x dan y, seperti2.Pers. [1.56] dikenal sebagai teorem Kutta Jouskousky. @prof amer/21/jun/2001dF = i dD + j dLRujuk rajah di bawah. dF dFy = dL 24. SOALAN PEPERIKSAAN AKHIR BEBERAPA TAHUN LALU SOALAN 2.BAHAGIAN 1: TEORI MEDAN ALIRAN UPAYAa. Apakah yang dimaksudkan dengan fungsi upaya halaju . Dapatkan hubungan di antara upaya halaju dengan MEKANIK BENDALIR II: SMJ/SMM 3303 komponen halaju u dan v dalam satu medan aliran. TAHUN 98/99 MAC 1999 [5 markahsSoalan 1.0a. Takrifkan vortisiti, dan terbitkan persamaan vortisiti dalam b. Upaya halaju suatu medan aliran diberi sebagai,sebutan komponen Ur dan U. Tunjukkan bahawa, (x,y) = 10x + 5 ln (x2 + y2) 2 1 1 2 = 2 + r+ 2 Dapatkan fungsi arus (x,y) medan aliran ini.r r r [14 markahc. Tentukan tekanan pada titik (2,0) jika tekanan pada titik tidak dengan adalah fungsi arus.berhingga ialah 100 kPa. [5 markah[6 markahb. Komponen halaju kutub suatu aliran 2 dimensi diberi oleh, MEKANIK BENDALIR II: SMJ/SMM 3303 a2 a2k TAHUN 1998/1999 Mac 1999 Ur = U sin 1 , dan U = U kos 1 + 2+ 2r r2 rSOALAN 1.0a. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran upaya. [5 markah Tunjukkan persamaan fungsi arus dan tunjukkan bahawa b. Terbitkan fungsi upaya halaju aliran, aliran ini adalah nirputaran. i. sumber dan sinki, masing masing dengan kekuatan[14 markahQ m3/sc. Lakarkan bentuk aliran medan 1(b) selengkapnya untuk nilaiii.aliran dublet yang terbentuk apabila aliran sumber edaran k yang sederhana. Tandakan titik genangan.pada (-a,0) dan sinki pada (a,0) didekatkan sehingga a [5 markah 0. 25. [8 markah dengan ialah daya angkat, ketumpatan udara dan U halaju aliran bebas. Tentukan daya angkat yang terjana jika ketumpatanc. Sebatang tiang jambatan berdiameter 3.0 m tercacak di dalam air udara ialah 1.2 kg/m3. Udara boleh dianggap unggul. yang mengalir dengan halaju 10 m/s. Jika air dianggap sebagai unggul, tentukan daya per unit panjang [N/m] yang wujud pada bahagian hadapan tiang jambatan, iaitu untuk /2 3/2.[12 markahSOALAN 2.0a. Jelaskan secara ringkas, i.vorteks bebas, Mekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303 ii. vorteks paksaTahun 1999/2000 Oktober, 1999[5 markahSoalan 1.0a. Bermula dari prinsip asas, buktikan bahawa fungsi arus untukmedan aliran seragam melintasi sebatang silinder berputar bolehdinyatakan sebagai, b. berasaskan prinsip asas, tunjukkan bahawa vortisiti a2 runtuk vorteks paksa dinyatakan sebagai, = U 0 sin (r )ln( )r 2a = 2 dengan ialah halaju sudut. Gunakan lakarkandengan a = jejari luar silinder, = edaran dan U0 = halaju aliran untuk membantu jawapan anda.seragam.[6 markahd. Sebatang silinder berdiameter 2.0 m diputar dengan kelajuan 100b. Tunjukkan bahawa titik genangan boleh ditentukan melalui pusingan se minit dalam arah putaran jam, di dalam suatu medanhubungan aliran udara. Halaju udara ialah 10 m/s dalam arah serenjang dengan paksi silinder dalam arah positif.Sin = Tunjukkan., dari prinsip utama, daya angkat (lif) boleh dinyatakan 4aU 0 sebagai,[6 markahc. Pada sebatang silinder panjang yang paksinya serenjang terhadap L = - U arah aliran seragam terdapat dua titik pada sudut = 600 dan = 1200 . Tunjukkan bahawa pekali daya angkat, 26. CL = 23Lakarkan fungsi arus ini. [5 markah1 Diberi: Ur = , dan U = -c. Dalam uji kaji seterusnya satu vorteks bebas dengan = 850 m2/sr rakan ditindihkan dengan satu aliran sinki. Kekuatan sinki belumdiketahui. Namun pengukuran pada jarak r = 4 m dari pusatvorteks bebas menunjukkan p = 220 kPa kurang dari nilai tekanandi r . Dengan ini, tentukan magnitud kekuatan sinki, iaituSoalan 2. m[m2/s] apabila ketumpatan udara ialah 1.2 kg/m3.[10 markahSuatu medan aliran dinyatakan sebagai, SOALAN 2.0 = 10x + 5ln (x2 + y2) a. Tunjukkan jika adalah fungsi arus, maka pada satu garis arus = C, dengan C merupakan satu pemalar. Tunjukkan bahawa jugaa. Tentukan fungsi arus, (x,y), [5 markahd = 2 - 1 = kadar alir isi padu Q [m 3/s] bendalir unggul yangb. Nyatakan bentuk aliran tersebut, [3 markahlalu di antara 2 dengan 1. [10 markahd. Tentukan tekanan di sepanjang paksi x jika b. Rujuk rajah di bawah. Tekanan p = 100 kPa pada x [7 markah ye. Tentukan kedudukan titik genangan [5 markahy=hDiberi Hubungan Cauchy Reimann: x1 1 y = -h Diberi: Ur ==dan U = - =r r r r Rajah S2.0Mekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303Tahun 1999/2000 Mac/April, 2000Susuk halaju aliran bendalir likat di antara dua keping plat ini boleh dirakam dengan persamaan berikut,Soalan 1.0a. Terangkan dengan ringkas mengenai edaran Bagaimanakahy 2 u(y) = U0 [1 ( ) ]hubungan di antara edaran dengan serta fungsi upaya, dalamhsatu medan aliran upaya. [5 markahb. Tunjukkan bahawa fungsi arus vorteks bebas ialahdengan U0 ialah halaju maksimum yang terjadi pada y = 0. Tentukan, i. fungsi arus dan fungsi upaya medan aliran yang diberi,= ln r2 ii.medan vortisiti medan halaju aliran ini, 27. iii. garis arus pada y = 0 dan y = h, masing masing 0 dan 1iv.nilai perbezaan di antara 1 dengan 0,v. kadar alir isi padu yang melalui celah 0 y h. [15 markahMekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303 Soalan 2.0Tahun 2000/2001 Oktober 2000 a. Tunjukkan fungsi arus untuk gabungan tiga jenis aliran iaitu dublet, vorteks dan aliran seragam melalui sebatang silinder ufukSOALAN 1.0 berputar dapat dinyatakan seperti yang berikut, a. Terangkan apakah yang dimaksudkan dengan fungsi arus dan fungsi upaya . R2 r = U sin r 2 ln R Seterusnya dapatkan huraian perhubungan di antara halaju zarah u, r yang selari dengan paksi x dengan halaju zarah v, yang selaripaksi y terhadap fungsi arus dan fungsi upaya . Nyatakandengan U ialah halaju aliran seragam mendatar arah ke kiri, R ialahanggapan yang digunakan.[6 markahjejari silinder, ialah edaran, r dan masing masing ialah koordinat polar dengan titik asalan diletakkan pada pertengahan b. Jika fungsi arus medan aliran diberi sebagai,silinder, [10 markaha2 b.Berdasarkan Soalan 2a. di atas, lakarkan bentuk medan arus di atas = Vy 1 22 untuk keadaan berikut, x +y dengan V ialah komponen halaju bebas selari paksi y, a jejari i.apabila 1iii.apabila apabila 2RU iii. taburan halaju pada permukaan sempadan silinder.[14 markah tunjukkan arah alirannya dan kedudukan titik genangan untuk setiap keadaan. [10 markah