Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

13

Chapter 3 ลิมิตและความต่อเนื่อง

3.1 ลิมิต

3.2 ลิมิตอนันต ์

3.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

…………………………………………………………………………………..

3.1 ลิมิต

ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต

1. lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐 เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ

2. lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎

ถ้า lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = L และ lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝑀 แล้ว

3. lim𝑥→𝑎

𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿

4. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)] = 𝐿 ±𝑀

5. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)] = 𝐿 ∙ 𝑀

6. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)] =

𝐿

𝑀 เม่ือ 𝑀 ≠ 0

7. lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛 = √lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿

𝑛

ทฤษฎีบท 3.1 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) หาค่าได้เม่ือ lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

14

Ex. 1 จงหาค่าของ lim𝑥→1

(3𝑥2+2𝑥+2

𝑥+1)

Ex. 2 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2+4

𝑥+2)

Ex. 3 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2+4

𝑥−2)

Ex. 4 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2−4

𝑥+2)

Ex. 5 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2− 4

𝑥− 2)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

15

เทคนิค การหาลิมิต lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) กรณีท่ีอยู่ในรูปแบบไม่ก าหนด (

𝟎

𝟎)

วิธีที่ 1 เทคนิคการแยกตัวประกอบ ใช้เมื่อ f(x) และ g(x) เปน็ฟังก์ชันพหุนาม

Ex. 6 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2− 4

𝑥− 2)

Ex. 7 จงหาค่าของ lim𝑥→2

(𝑥2− 5𝑥+6

𝑥2−𝑥− 2)

Ex. 8 จงหาค่าของ lim𝑥→−3

(2𝑥2− 18

𝑥+3)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

16

วิธีที่ 2 เทคนิคการคูณด้วยสังยุคทั้งเศษและส่วน ใช้เมื่อมรีากที่สองเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

วิธีที่ 3 เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

17

การหาลมิิตฟังก์ชันแยกนิยาม

ตัวอย่าง ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {1

𝑥+2 ถ้า 𝑥 > −2

𝑥 + 1 ถ้า 𝑥 ≤ −2

จงพจิารณาว่า lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) หาค่าได้หรือไม่เพราะเหตุใด ถ้าหาได้ lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) มีค่าเท่ากับ เท่าใด

ตัวอย่าง ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {

𝑥2+4𝑥+3

𝑥+1 ถ้า 𝑥 > 1

𝑥3−1

𝑥2−1 ถ้า 𝑥 ≤ 1

จงพจิารณาว่า lim𝑥→1

𝑓(𝑥) หาค่าได้หรือไม่เพราะเหตุใด ถ้าหาได้ lim𝑥→1

𝑓(𝑥) มีค่าเท่ากับ เท่าใด

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

18

3.2 ลิมิตอนันต์ ( เมื่อ 𝑥 → ∞ และ 𝑥 → −∞ )

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

หมายเหต ุ ทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับลมิิตเมื่อ 𝑥 → 𝑎 ยังใช้ได้ปกต ิ

ทฤษฎีบท

1. lim𝑥→∞

1

𝑥𝑛= 0 เมื่อ p เป็นจ านวนจรงิบวก ( n > 0 )

2. lim𝑥→∞

(1 +𝑥

𝑛)𝑛 = 𝑒𝑥 โดยที่ x เป็นจ านวนจริงใด ๆ

3. lim𝑥→∞

𝑘𝑥 = 0 เมื่อ |k| < 1

4. lim𝑥→∞

𝑘𝑥 = ∞ เมื่อ |k| > 1

5. lim𝑥→∞

𝑥𝑛 = ∞

Ex. 1 จงหาค่าของ lim𝑥→∞

(5𝑥3

2−𝑥)

Ex. 2 จงหาค่าของ lim𝑥→∞

(5𝑥2

2−𝑥3)

Ex. 3 จงหาค่าของ lim𝑥→∞

(5𝑥3

2−4𝑥3)

Ex. 4 จงหาค่าของ lim𝑥→−∞

(√𝑥2+4

𝑥+2)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

19

3.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ x = a ก็ต่อเมือ่

1. 𝑓(𝑎) หาค่าได้

2. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) หาค่าได ้

และ 3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

20

ตัวอย่าง1 ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {3𝑥2 + 3𝑥 + 2, 𝑥 < 0

8 − 𝑥2 , 0 < 𝑥 ≤ 11−𝑥

𝑥−3, 1 < 𝑥 ≤ 3

จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่ เพราะเหตุใด

จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด

จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ เพราะเหตุใด

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

21 ตัวอย่าง2 ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) =

{

(𝑥−1)(√𝑥+1)

(√𝑥−1), 𝑥 < 1

4𝑥2+12𝑥+8

𝑥2+5𝑥+6, 1 ≤ 𝑥 < 2

1

𝑥−1, 𝑥 ≥ 2

ข้อสอบปี 2554 (7 คะแนน)

จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด