c al variacional

Victor Daniel Rojas Cerna Matemática III

1

INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL.

Siempre hemos tenido tres problemas clásicos en el cálculo de variaciones.

Problema Geodésico.

El problema consiste en encontrar una función ( ), ,y y x x a b , de manera que la longitud de

la curva grafica de dicha función sea mínima.

Es decir abría que encontrar el valor mínimo de la funcional:

2( ) 1 ( )

b

a

J y x y dx

Así tendremos que la curva debe pasar por , ( ) , ( )a y a y b y b por tanto no hay un valor máximo

para dicha funcional.

Problema de la superficie de área mínima.

El problema consiste en encontrar una curva ( )y y x cuya grafica al rotarla alrededor del eje x, ser

obtiene una solido cuya área de su superficie sea mínima.

Lo cual significara minimizar la funcional 2( ) 2 1 ( )

b

a

J y x y y dx determine un sólido de

revolución de área de su superficie mínima.

Problema isoperimétrico.

Consiste en encontrar una curva simple cerrada de longitud dada L , de manera que encierre una

región de área máxima.

A

B


2

Para lo cual tendremos que maximizar la funcional

1 , ( ), ( ) / 0,2

b

a

J f xy yx dt f x t y t t T pero condicionado a que

2 2

0

T

L x y dt

Conceptos de Análisis Funcional

Consideremos el espacio vectorial de las funciones que cumplan alguna condición como el espacio

vectorial de todas las funciones integrables en ,a b .

: / int ,V f R f egrable en a b

: / ,W f R f continua en a b

Una functional es una función de un espacio vectorial en R . Así tendremos las siguientes

funcionales.

: , ( ) 1

b

y

a

J V R J y y x e dx

: , ( )2

a bW R f f

Ambas son funcionales.

Funcionales lineales.

Diremos que la funcional : ,J V R es lineal si cumple la siguiente condición de linealidad:

, , :f g V c d R J af bg aJ f bJ g

Ejemplos.

1. Con V definido anteriormente, : , ( ) 1

b

a

J V R J y y x y dx es una funcional lineal.

L


3

2. Con W definido anteriormente, : , ( )2

a bW R f f es una funcional lineal.

Valores extremos de funcionales.

Sea la funcional : ,W R diremos que alcanza un valor máximo en h V si se

cumple:

: ( ) ( )g V g h

Diremos que alcanza un valor máximo en h V si se cumple:

: ( ) ( )g V g h .

Ejemplos .

I) Encontrar los valores extrémales para las siguientes funcionales

1)

2

0

22 dxyyyJ 1)1(

1)0(

y

y

Solución:

Aplicando la ecuación de Euler:

2

2( ) 0y y y y y x y

d y dyf f f f

dx dx …(1)

Donde:

yf

f

f

yf

yyf

y

xy

yy

y

2

0

0

2

22

Reemplazando en (1)

0)20(022

2

ydx

dy

dx

yd

0

022

yy

yy


4

Una solución de esta ecuación diferencial es: rxey

0)1(

0

2

2

re

eer

rx

rxrx

De aquí:

1

12

r

r

De esto:

xrxreyey 21

21 ;

La solución general seria:

xx ececy 21

Y de las condiciones iniciales 1)1(

1)0(

y

y, se obtiene:

e

ec

ec

1;

1

121

Finalmente, la ecuación seria:

xx ee

ee

ey

11

1

2)

1

0

2)(][ dxyeyJ y 2)1(

1)0(

y

y

Solución:

Como la funcional no depende directamente de x , la ecuación de Euler se

reduce a:

1

fy f c

y

…(1)

Donde:


5

)(2

)( 2

yef

yef

y

y

y

Reemplazando en (1)

cyeye yy 22 )()(2

cye y 2)(

cyey

)(2

Entonces integramos y obtenemos:

dyedxcy

22

322 cxce

y

Despejando y obtenemos la solución general:

)ln(2 32 cxcy


1)0(

y

y, se obtiene:

21

32

1

2 ; eceec

Finalmente, se obtiene la ecuación:

32

23

2

2)12(

xy

3)

3

0

22 )()( dxyyyyyJ 2)1(

1)0(

y

y

Solución:


reduce a:

1

fy f c

y

…(1)


6

Donde:

2

22

2

)()(

yyyf

yyyyf

y

Reemplazando en (1)

1

2222 )()(2 cyyyyyyyy

1

2)( cyy


dyycdx 2/1

2

La solución general:

32

3

23

2cycx


1)0(

y

y, se obtiene:

12

2;

12

3

233

232

cc


32

23

2

2)12(

xy

4) Encuentre la curva cerrada de longitud l , que podamos encerrar la mayor área

posible:

Solución:

Tenemos la ecuación de la curva cerrada en forma parametrica)(

)(

tyy

txx

Su área en paramétricas es

T

dtxyyxtytxS0

)(2

1)](),([

Y la condición es

T

dtyxl0

22


7

Sean las funcionales para paramétricas

1

0

),,,()](),([

t

t

dtyxyxHtytxV

Entonces tenemos:

2

xyyxF

22 yxG

22

2yx

xyyxGFH

Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones

0dt

dHH x

x 0

dt

dHH

y

y

Como H no depende explícitamente de t se tiene:

0 yHH yyy …(1)

0 xHH xxx …(2)

De (1)

0)(2 2

322

2

yx

yxx

2

1

)( 23

22

yx

yx

…(3)

De (2)

0)(2 2

322

2

yx

xyy

2

1

)( 23

22

yx

yx

…(4)

De (3) y (4)

kyx

yx

yx

yx

1)

2

1(

2

1

)()( 23

2223

22

Tenemos:

kyx

yxyx

23

22 )(

; k es la curvatura para parametricas.


8

Como la curvatura es k = constante.

Entonces, la curva cerrada de máxima área es un círculo.

5) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la

propiedad de que la superficie de revolución al girar la región acotada por ella y las

ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mínima.

Solución:

Como queremos la superficie de revolución, formula seria:

b

a

dxyy 2)(12

Así, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no

depende de x usamos:

1cfyy

f

…(1)

Donde:

2

2

)(1

)(1

y

yyf

yyf

y

Reemplazamos en (1):

12

22

)(1

)()(1 c

y

yyyy

2

2

22 )(1)())(1( ycyyyy

2

2 )(1 ycy

Despejando y :

12

2

c

yy


9

Integrando obtenemos

3

2

1

2 )(cosh cxc

yc

Y la solución general seria:

)cosh(2

3

2

2c

c

c

xcy

6) Encontrar los valores extrémales para las siguientes funcionales

1)

2

0

22 dxyyyJ 1)1(

1)0(

y

y

Solución:

Aplicando la ecuación de Euler:

2

2( ) 0y y y y y x y

d y dyf f f f

dx dx …(1)

Donde:

yf

f

f

yf

yyf

y

xy

yy

y

2

0

0

2

22

Reemplazando en (1)

0)20(022

2

ydx

dy

dx

yd

0

022

yy

yy

Una solución de esta ecuación diferencial es: rxey

0)1(

0

2

2

re

eer

rx

rxrx


10

De aquí:

1

12

r

r

De esto:

xrxreyey 21

21 ;

La solución general seria:

xx ececy 21


1)0(

y

y, se obtiene:

e

ec

ec

1;

1

121

Finalmente, la ecuación seria:

xx ee

ee

ey

11

1

6) Encontrara los valores extrémales para

1

0

2)(][ dxyeyJ y 2)1(

1)0(

y

y

Solución:


reduce a:

1

fy f c

y

…(1)


11

Donde:

)(2

)( 2

yef

yef

y

y

y

Reemplazando en (1)

cyeye yy 22 )()(2

cye y 2)(

cyey

)(2


dyedxcy

22

322 cxce

y

Despejando y obtenemos la solución general:

)ln(2 32 cxcy


1)0(

y

y, se obtiene:

21

32

1

2 ; eceec


32

23

2

2)12(

xy

7) Encontrar los valores extrémales para

3

0

22 )()( dxyyyyyJ 2)1(

1)0(

y

y

Solución:


reduce a:

1

fy f c

y

…(1)


12

Donde:

2

22

2

)()(

yyyf

yyyyf

y

Reemplazando en (1)

1

2222 )()(2 cyyyyyyyy

1

2)( cyy


dyycdx 2/1

2

La solución general:

32

3

23

2cycx


1)0(

y

y, se obtiene:

12

2;

12

3

233

232

cc


32

23

2

2)12(

xy

8) Encuentre la curva cerrada de longitud l , que podamos encerrar la mayor área

posible:

Solución:

Tenemos la ecuación de la curva cerrada en forma parametrica)(

)(

tyy

txx

Su área en parametricas es

T

dtxyyxtytxS0

)(2

1)](),([

Y la condición es

T

dtyxl0

22


13

Sean las funcionales para parametricas

1

0

),,,()](),([

t

t

dtyxyxHtytxV

Entonces tenemos:

2

xyyxF

22 yxG

22

2yx

xyyxGFH

Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones

0dt

dHH x

x 0

dt

dHH

y

y

Como H no depende explícitamente de t se tiene:

0 yHH yyy …(1)

0 xHH xxx …(2)

De (1)

0)(2 2

322

2

yx

yxx

2

1

)( 23

22

yx

yx

…(3)

De (2)

0)(2 2

322

2

yx

xyy

2

1

)( 23

22

yx

yx

…(4)

De (3) y (4)

kyx

yx

yx

yx

1)

2

1(

2

1

)()( 23

2223

22

Tenemos:

kyx

yxyx

23

22 )(

; k es la curvatura para parametricas.


14

Como la curvatura es k = constante.

Entonces, la curva cerrada de máxima área es un círculo.

9) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la

propiedad de que la superficie de revolución al girar la región acotada por ella y las

ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mínima.

Solución:

Como queremos la superficie de revolución, formula seria:

b

a

dxyy 2)(12

Así, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no

depende de x usamos:

1cfyy

f

…(1)

Donde:

2

2

)(1

)(1

y

yyf

yyf

y

Reemplazamos en (1):

12

22

)(1

)()(1 c

y

yyyy

2

2

22 )(1)())(1( ycyyyy

2

2 )(1 ycy

Despejando y :

12

2

c

yy


15

Integrando obtenemos

3

2

1

2 )(cosh cxc

yc

Y la solución general seria:

)cosh(2

3

2

2c

c

c

xcy

10) Calcular la ecuación de Euler-Lagrange para la funcional

2 2 1/ 2( , ) (1 )x y

D

J z x y z z dxdy

Con la condición de frontera z(x,y) = f(x,y) (x,y) D

Solución:

La función 2 2( , , , , ) 1x y x yF x y z z z z z , la ecuación de Euler tiene la siguiente forma

0x yz z zF F F

x y

2 2 1/ 210, 2 ( )(1 )

2xz z x x yF F z z z

2 2

2 2

2 2

11

1x

x xx y yy

x y xx x

x y

z

x y

z z z zz z z z

z zF

x z z

2 2 2

2 2 3/ 2

(1 )

(1 )x

x y xx x xx x y xy

z

x y

z z z z z z z zF

x z z

2

2 2 3/ 2

(1 )( )

(1 )x

y xx x y xy

z x

x y

z z z z zF

z z

Igualmente:

2

2 2 3/ 2

(1 )( )

(1 )

x yy x y xy

zy y

x y

z z z z zF

z z

Así la ecuación de Euler es: ( ) ( ) 0xz x zy yF F ; sustituyendo:

2 2(1 ) (1 ) 2 0y xx x yy x y xyz z z z z z z

En forma experimental es sabido que la realización física de la superficie de área

mínima limitado por la curva D son calculos laboriosas extendidas sobre la D


16

Funcionales que contienen derivadas de orden superior

Consideremos funcionales de la forma:

1

[ ] ( , , ', '')

o

x

x

J y F x y y y dx

Con las condiciones de frontera siguiente 0 0( )y x y ; 1 1( )y x y ; 0 0'( ) 'y x y ; 1'(1) 'y y

Supondremos que 4

0 1[ , ]y C x x ; y que F tiene derivadas parciales continuas hasta el

orden 3 inclusive. Se desea hallar la ecuación de Euler – Lagrange para este caso.

Solución

Tenemos 4

0 1[ , ]h C x x tal que 0 1( ) ( ) 0h x h x , 0 1'( ) '( ) 0h x h x es decir h debe ser

admisible

Para z real se tiene 1

[ ] ( , , ' ', '' '')

o

x

x

J y h F x y h y h y h dx

1

0 0[ ] ( , , ' ', '' '')

o

x

x

J y h F x y h y h y h dx

=1

''

' ''( ' )

o

x

y y y

x

F h F h F h dx

Osea que la variación de la “jota” 1

''

' ''[ , ] ( ' )

o

x

y y y

x

J y h F h F h F h dx

Derivando: ' ' '( ) ' ' ( )y y y

dF h F h h F

dx ; luego integrando:

1 1

1

0

0 00

0

' ' '

( ) ( ) 0

( ') ( )

x x

x x

y x x y y

x x

h x h x

dF h F h dx h F dx

dx

1 1

0 0

' '' ( )

x x

y y

x x

dF h dx h F dx

dx

1

0

' ''[ , ] ( ( ) '')

x

y y y

x

dJ y h F h h F F h dx

dx


17

Ahora: '' '' ''

1( ') ' '' ' ( )y y yF h F h h F

dx

Integrando: 1 1

0 0

'' ''

1'' ' ( )

x x

y y

x x

F h dx h F dxdx

(ojo: 1

0

''( ') ' 0

x

y

x

F h dx por 0 1'( ) '( ) 0h x h x )

2

'' '' ''2( ( )) ' 'y y y

d d dh F h F h F

dx dx dx

1 1

0 0

2

'' ''2( ) ( )

x x

y y

x x

d dh F dx h F dx

dx dx

1 1 1

0 0 0

2

'' '' ''2( '') ' ( )

x x x

y y y

x x x

d dF h dx h F dx h F dx

dx dx

Por tanto: 1

0

' ''[ , ] ( ( ) ( ) ) 0

x

y y x y xx

x

J y h F F F hdx ; en la función crítica; esto para todo h

admisible

Usando el lema Fundamental del cálculo de variaciones, se tiene:

' ''( ) ( ) 0y y y xx

dF F F

dx

que es la ecuación de Euler – Lagrange para este caso.

Nota: Si 1

[ ] ( , , ', '', ''')

o

x

x

J y F x y y y y dx entonces su ecuación de Euler – Lagrange es la

siguiente:

' '' '''( ) ( ) ( ) 0y y y xx y xxx

dF F F F

dx

Ejemplos espaciales

1. Hallar una función crítica para la funcional

1

2

0

1[ ] ( '') )

2

(0) 0

(1) 2

J y y dx

y

y

con (0) 0, (1) 0, '(0) 1, '(1) 5/ 2y y y y

Solucion


18

2 2( , , ', '') 360 ( '')F x y y y x y y

2

' '' ''360 , 0, 2 '', ( ) 2 IV

y y y y xxF x F F y F y

Luego la ecuación de Euler – Lagrange es: 6

2 2 3 4 5 2 3 2360 2 0 180 , ''' 60 , '' 15 , ' 3 ,2 2 6 2

IV IV A x A Bx y y x y x A y x Ax b y x x Bx C y x x Cx D

Podemos escribir: 6 3 2

1 1

1

2y x A x B x Cx D

5 2

1 1' 3 3 2y x A x B x C (0) 0 0y D

1 1

10 (1)

2y A B C 1 1

5 5'(1) 3 3 2

2 2y A B C

1 '(0) 1y C C 1 1

33 2

2A B

Luego 1 1

3

2A B

De donde: 1 1

33

2A B

Luego 6 3 2 5 21 3 93 1 , ' 3 6 1

2 2 2y x x x x y x x x


1

2

0

1[ ] ( '')

2J y y dx (0) 0, (1) 2, '(0) 2, '(1) 1y y y y

Solución

21( , , ', '') ( '')

2F x y y y y

' ''0, 0, ''y y yF F F y

2

''2( ) IV

y

dF y

dx , luego la ecuación Euler – Lagrange: 0 ''' ''IVy y c y Cx D

2 3 2' ,2 6 2

C C Dy x Dx E y x x Ex G

Podemos escribir 3 2y Ax Bx Ex G , 2' 3 2y Ax Bx E


19

0 (0) 0y G G

2 (1) 2y A B E A B E

2 '(0) 2y E E

1 '(1) 3 2y A B E

Resolviendo A+B=0

3A+2B=-1 A=-1 1B

Luego 3 2 2y x x x


1

2

0

1[ ] ( '') )

2J y y dx ; (0) 0y , (1) 2y

Solucion

Como en el anterior: 0IVy

3 2y Ax Bx Ex G

2' 3 2y Ax Bx E

'' 6 2y Ax B

0 (0) 0y G G

(1) 2z y A B E

Escribamos 1

2

0

[ ] ( '' '')J y h y h dx

1

2

0

1[ ] 2( '' '') ''

2J y h y h h dx

x

Cuando 0 se tiene:

1

0

[ ; ] '' ''J y h y h dx , para todo h admisible

1 1

1

0

0 0

( '' ') ' '' '' ''' ' '' '' ( '' ') '' 'x

xy h y h y h y h dx y h y h dx


20

1

1

0

00

( ''' ) ' ''' ' '''' ''' ' ( ''' ') ( ''' ) '''(1) (1) '''(0) (0) 0x

xy h y h y h y h y h dx y h y h y h

[ , ] ''(1) '(1) ''(0) '(0)y h y h y h

Pero uno desea que la variación [ , ] 0J y h , luego

''(1) '(1) ''(0) '(0) 0y h y h

entonces podemos pedir ''(1) 0 ''(0) 0y y

0 ''(0) 0y B

0 ''(1) 6 0 0y A A

Así: 2 0 2 2A B E E E

2y x

La condición ''(1) 0y , ''(0) 0y obtenida por este procedimiento se llama

condiciones naturales de frontera.

Ecuación Funcional

Consideremos una funcional de la forma:

2[ ] ( , ) ( ) ( ) ( ( )) 2 ( ) ( )

b b b b

a a a a

J y k s t y s y t dsdt y s ds y s f s ds ………………(i)*

Donde k(s,t) es continua y simétrica en el cuadrado [a,b]x[a,b], la f es continua en el

intervalo [a,b], y=y(s) es la funcion continua incognita.

Se desea hallar su ecuacion de Euler-Lagrange

Solucion

Escribimos:

2[ ] ( , )( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ( )) 2 ( ( ) ( )) ( )

b b b b

a a a a

J y h k s t y s h s y t h t dsdt y s h s ds y s h s f s ds

Derivando con respecto a :

[ ] ( , )[[( ( ) ( ))] ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] 2 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( )

b b b b

a a a a

dJ y h k s t y s h s h t y t h t h s dsdt y s h s h s h s f s ds

d

Cuando 0 se tiene:


21

[ , ] ( , )( ( ) ( ) ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

b b b b

a a a a

J y h k s t y s h t y t h s dsdt y s h s ds h s f s ds

Trabajando con la integral doble:

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

b b b b

a a a a

k s t y s h t dsdt k s t y t h s dsdt

( , ) ( ) ( )

b b

a a

k s t y s h t dsdt

[ , ] 2 ( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

b b b b

a a a a

J y h k s t y s h t dsdt y t h t dt h t f t dt

Como se desea hallar la ecuaicon de Euler-Lagrange, debemos tener:

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0

b b b b

a a a a

k s t y s h t dsdt y t h t dt f t h t dt

[ ( , ) ( ) ( ) ( )] ( ) 0

b b

a a

k s t y s ds y t f t h t dt

Donde h(t) cualquier funcion admisible, usando el lema fundamental del calculo de

variaciones, se tiene:

( , ) ( ) ( ) ( ) 0

b

a

k s t y s ds y t f t …………………..(**)

La ecuacion funcional (**) es la ecuacion de Euler-Lagrange

Para este caso esta ecuacion (**) se llama la ecuacion integral de FREHOLM de 2ª

clase

Condiciones Naturales de Frontera

Consideremos la funcional

1

0

[ ] ( , , ')

x

x

J y F x y y dx

donde no se pide las condiciones de frontera, para la funcion y=y(x)

Hemos calculado que: 1

0

'[ , ] ( ')

x

y y

x

J y h F xh F h dx


22

Como: 1 1

1

0

0 0

' ' ' '' ' ( )

x x

x x

y y y x x y

x x

dF h dx F h dx F h x h F dx

dx

se obtiene que: 1

1

0

0

' '[ , ] ( ) ( ) ( )

x

x x

y y y x x

x

dJ y h F F h x dx F h x

dx

En una funcion critica, debe ocurrir que [ , ] 0J y h para toda h(x) admisible entonces

debe cumplirse la ecuación de Euler-Lagrange: ' 0y y

dF F

dx , y por tanto

1

0'[ , ] ( ) 0x x

y x xJ y h F h x

Como h(x) es cualquier función admisible, debemos tener ' 0yF en 0x x y 1x x

es decir ' 0 0 0 ' 1 1 1( , ( ), '( )) 0 ( , ( ), '( ))y yF x y x y x F x y x y x (condiciones naturales de Frontera)

Ahora consideremos la funcional 1

0

[ , ] ( , , , ', ')

x

x

J y z x y z y z dx

1

0

[ , ] ( , , , ' ', ')

x

x

J y h z F x y h z y h z dx

1

0

[ , ] ( , , , ', ' ')

x

x

J y z n F x y z n y z n dx

si y,z son funciones criticas para la funcional J[y,z] entonces la funcion:

( , ) [ , ]n J y h z n toma un valor critico 0 , entonces debe ocurrir:

0 0( , ) 0 ( , ) 0

fijo fijo

Entonces 1 1

1

0

0 0

' ' '( ,0) ( ') ( ) ( ) ^ 0

x x

x x

y y y y y x x

x x

dF h F h dx F F dx F h x

dx

idem: 1 1

1

0

0 0

' ' '( ,0 ( ') ( ) ( ) ( ) ^ 0

x x

x x

z z z z z x x

x x

dF n F n dx F F h x dx F h x

dx

Como buscamos funciones criticas debe cumplirse, las ecuaciones E-L:

' '0 0y y z z

d dF F F F

dx dx

luego:


23

1 1

0 0' '( ) 0 ( ) 0x x x x

y x x z x xF h x F h x

Como h(x) es cualquier función admisible debemos tener ' 0yF en 0x x y 1x x

' 0zF en 0x x y 1x x (condiciones naturales de frontera)

Ejercicios.

1. ara la funcional

[ ( , )] ( , , , , )x y

D

J z x y F x y z z z dxdy

se pide encontrar las condiciones naturales de frontera

3. 1

0

[ ]J y ydx restricción 1

2

0

47( )

12y xy dx

Tomemos: 2( , , ', ) ( )H x y y y y xy

La ecuación de Euler-Lagrange: 1 (2 )yH y x , ' 0 2 1yH y x

1

2 2

xy

por la restriccion:

21 1 2

2

0 0

1 1 47 1 47( ) ) ( ) 1/ 4

2 2 2 2 12 4 4 12

x x xx dx dx

2 , 22 2

x xy y

Veamos que

1 1

0 0

[ ] ( ) [ ]J y y dx J y dx

Por la restriccion:

12

0

47(

12y x y dx

1 1

2 2

0 0

47( ) (2 )

12y xy dx y x dx


24

1 1

2 2

0 0

(2 ) 0 ( 2 ) 0y x dx y x x dx

1 1

2

0 0

dx dx

Luego tendremos que cuando 22

xy , se tenia

1 1

2

0 0

0dx dx

asi se tiene:

[ ] [ ]J y J y

satisfaciendo la restriccion de esta manera en 22

xy , [ ]J y alcanza un valor

maximo

si 22

xy , se tiene:

1 1

2

0 0

0dx dx , luego:

1

0

[ ] [ ] [ ]J y J y dx J y

[ ]J y alcanza un valor mínimo cuando 22

xy

1

2

0

[ ] ( ')yJ y e y dx ; (0) 0 (1) ln 4y y

2 2

'( , , ') ( ') ( ') 2 'y y y

y yF x y y e y e y F F e y

Ecuación E-L 2( ') (2 ') 0y yde y e y

dx

2 2 2 2( ') 2( ' '') 0 ( ') 2( ') 2 '' 0y y ye y e y e y y y y

22 '' ( ') 0y y

hagamos: 2

2' 2 ( ) 0 2 0

d dpy p p p dx

dx p

2 2 2x C x C p

p p x c


25

2

2' ( ) ( )y p dy pdx dy p dp y Ln p k

p

Luego: 2

( )y Ln kx c

2(0) 0 0 ( )y Ln k

c

2(1) ln 4 ln 4 ( )

1y Ln k

c

(1) 11 0

2 (2) 2

y C DC D

y C D

2

2 2 2 22 2

0 (1) ' 1 11 1

1 11 (2) '

z Ae Be B eB B B A

e e e ez Ae Be

Luego 2 1 2 1 (1 )

2 2 2 2

[ ] ] ( 1)

1 1 1 1 (1)

x x x x x xe e e e e e e e e senh xy x z

e e e e senh

Luego la solucion del problema es: ( 1)

(1)

senh xy x z

senh

.

2. Hallar funciones criticas para la funcional

2 2 2

0

[ , ] (2 2 ' ' )J y z yz y y z dx

con las condiciones de frontera: (0) 0, ( ) 1, (0) 0, ( ) 1y y z z

Solucion

2 2 2( , , ', ') 2 2 ' 'zF x y y z yz y y z

Ec E-L para y: 4

'2 4 , 2 ';2 4 (2 ') 0 2 0...( )y y

dF z y F y z y y y y z i

dx

Ec E-L para z: '2 , 2 ';2 2 '' 0 '' 0..( )z zF y F z y z z y ii

de (i): '' 2 ' ''' 2 '; '' 2 ''IVz y y z y y z y y

reemplazando este valor en (ii): 2 '' 0IVy y y

1 2 3 4cos [ cos ]y C x C senx x C x C senx


26

10 (0) 0y C

3 3

11 ( ) ( )y C C

Luego: 2 4 cos

xy C senx C xsenx x

Calculamos z de (i): 2 4

1' cos ( cos ) ( cos )y C x C senx x x xsenx x

2 4

1'' ( 2cos ) ( cos 2 )y C senx C xsenx x x x senx

2 4

22 2 2 cos

xy C senx C xsenx x

2 4 4

1 22 cos cosz C senx C xsenx C x x x senx

4 40 (0) 2 0z C C

1 ( ) 1z

Luego: 2 2

1 1cos , (2 cos )y C senx x z C senx senx x x

3. Hallar una funcion critica de la funcional

/ 2

2 2

0

[ , ] (( ') ( ') 2 )J y z y z yz dx

con las condiciones de frontera (0) 0, ( / 2) 1, (0) 0, ( / 2) 1y y z z

Solucion

2 2( , , , ', ') ( ') ( ') 2F x y z y z y z yz

' '2 , 2 '; 2 ''/ . : 2 2 '' 0 ''...(1)y y y

dF z F y F y ec E L z y z y

dx

' '2 , 2 '; 2 ''/ . : 2 2 '' 0 '' ...(2)z z z

dF y F z F z ec E L y z z y

dx

de (1) '' ( ) : 0IV IVz y en ii y y


27

cosx xy Ae Be C x Dsenx

cosx xz Ae Be C x Dsenx

con las condiciones:

0 (0)0

0 (0)

y A B CC A B

z A B C

Luego: x xy Ae Ae Dsenx

x xz Ae Ae Dsenx

/ 2 / 21 ...(3)Ae Ae D

/ 2 / 21 ...(4)Ae Ae D

Restando (4)-(3): D=1 y sumando (3)+(4): A=0

Finalmente: ,y senx z senx

4. Hallar una función critica para la funcional

/ 2

2 2

0

[ , ] (( ') ( ') 2 2 )J y z y z xy yz dx

con las condiciones de frontera (0) 0, ( / 2) 0, (0) 0, ( / 2) 2y y z z

5. Optimizar 2

2 2

0

[ ] ( ( ') )

Ln

x xJ y e y e y dx

La ecuación de Euler-Lagrange: 2 2( , , ') ( ')x xF x y y e y e y

'2 2 2 2 ' 0x x x x

y y

dF e y F e y e y e y

dx

22 2 ' 2 '' 0 '' ' 0x x x xe y e y e y y y e y

Hagamos la sustitución: x Lnu y v

Tomemos la funcional: 2

22 2

1

[ ( )] ( ' )Lnu Lnu duJ v u e u v e v

u

ojo: 22 2' ' ( ') '

dy dv duy uv y u v

dx du dx


28

Luego: 2

2 2

1

[ ( )] ( ' )J v u v v du

la ecuación de Euler-Lagrange: 2 2

'( , , ') ' 2 2 'v vF u v v v v F v F v

'( ) 0 2 2 '' 0 '' 0 cosv v

dF F v v v v v A u Bsenu

dx

regresando a las variables originales: cos( ) ( )x xy A e Bsen e

Ojo: Con las condiciones de frontera: (0) (ln 2)y a y b

(0) cos(1) (1) 2 1 cos1 cos 2

(ln 2) cos(2) (2) cos1 2 cos 2 1 cos1 2 cos 2 1

y a a A Bsen asen bsen b aA B

y b b A Bsen sen sen sen sen

como: cos1 2 1cos2 1sen sen sen

Tendremos:

2 1 cos1 cos 2cos( ) ( )

1 1

x xasen bsen b ay e sen e

sen sen

(en ojo, se ha considerado condiciones de frontera)

6. Optimizar2

2

1

[ ] ( ')J y x y dx

2

'( , , ') ( ') 0 2 ( ')y yF x y y x y F F x y

Ecuación de Euler-Lagrange: 1

'( ) 0 2 ' 'y

dF xy C y Dx

dx

(ojo: 2

CD )

Resolviendo la ecuación: ( )y DLn x E (nota: [1,2]x Ln x Lnx )

Condiciones de frontera:

(1) 1 1 (1) 1y DLn E E

1(2) 2 2 (2) 1

2y DLn D

Ln

Luego: 1 12

Lnxy

Ln


29

Veamos que efectivamente y es un numero. Tomemos y otra función y veamos

que: [ ] [ ]J y J y

2 2 22 22 2

1 1 1 1 1

1 1 1

[ ] [( ) '] ( ' ') ( ' 2 ' ' ' )J y x y dx x y dx x y y dx

2 2

2

1 1

1 1

[ ] ' ' ( ')J y xy dx x dx

2 2

2

1

1 1

1[ ] 2 ' ( ')

2J y x dx x dx

xLn

2 2

2

1

1 1

0

1[ ] 2 ' ( ')

2J y dx x dx

Ln

Utilizando el teorema B:

La funcional: 2

2 2

1

[ ] ( ( ') 0 2(0) )J y x y y y dx

7. Hallar la curva y=y(x) de longitud L dada tal que el area de trapecio curvilinea

CABD sea maximo

Solucion

Se pide el maximo de la funcional 2

1

[ ]

x

x

J y ydx en 0( )y x A , 1( )y x B

y con la restricción 2

1

2[ ] 1 ( '( ))

x

x

k y y x dx L

C

B

A

D


30

2( , , ') ; ( , , ') 1 ( ')F x y y y G x y y y

2( , , ') 1 ( ' )H x y y y y

consideramos la funcional

1

0

2[ ] ( 1 ( ' )

x

x

x

J y y y dx

a esta funcional calculamos su ecuacion de E-L

21 ( ')H y y

Como H no depende explicitamente de x, debemos tener

'' yH y H C constante '2

'

1 ( ')y

yH

y

entonces: 2

2

2

( ')1 ( ')

1 ( ')

yy y C

y

Dando un comun denominador:

2 2 2 21 ( ') (1 ( ') ) ( ') 1 ( ')y y y y C y

2 21 ( ') 1 ( ')y C y C

y y

Hagamos 2 2' 1 ( ') sec cosy tg y y C

' ( )cos

dy dy d d sen dy sen sen

dx d dx dx dx

1 2 2 2

1( ) ( )cos

x C senx C y C

y C

La solucion a nuestro problema es un arco de circunferencia

8. Hallar el mínimo de la funcional

2

0

[ ] ( ')J y y dx

con las condiciones de frontera (0) ( ) 0y y y con la restricción 2

0

1y dx


31

Solucion

2 2 2 2( , , ') ( ') ; ( , , ') ; ( , , ', ) ( ')F x y y y G x y y y H x y y y y

H no contiene a x explicitamente, luego debemos tener '' yH y H C

' 2 'yH y , 2

'' 2( ')yy H y ,

entonces: 2 2 2 2 2( ') 2( ') ( ')y y y C y y C

2 2( ')y y C

2 2 2

2( ') '

dy dyy C y y C y dx

dx C y

9. Hallar una funcion critica para la funcional

1

0

2[ ] 1 ( ')

x

x

J y y y dx

sujeto a la restricción 1

0

21 ( ')

x

x

y dx L , L constante

Documents

c al variacional