Ejemplo: Calcular la ecuacin de Euler-Lagrange para la funcional

Victor Daniel Rojas Cerna Matemtica III

INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL.

Siempre hemos tenido tres problemas clsicos en el clculo de variaciones.

Problema Geodsico.

El problema consiste en encontrar una funcin

, de manera que la longitud de la curva grafica de dicha funcin sea mnima.Es decir abra que encontrar el valor mnimo de la funcional:

As tendremos que la curva debe pasar por por tanto no hay un valor mximo para dicha funcional.

Problema de la superficie de rea mnima.

El problema consiste en encontrar una curva cuya grafica al rotarla alrededor del eje x, ser obtiene una solido cuya rea de su superficie sea mnima.

Lo cual significara minimizar la funcional determine un slido de revolucin de rea de su superficie mnima.

Problema isoperimtrico.

Consiste en encontrar una curva simple cerrada de longitud dada L , de manera que encierre una regin de rea mxima.

Para lo cual tendremos que maximizar la funcional pero condicionado a que

Conceptos de Anlisis Funcional

Consideremos el espacio vectorial de las funciones que cumplan alguna condicin como el espacio vectorial de todas las funciones integrables en .

Una functional es una funcin de un espacio vectorial en . As tendremos las siguientes funcionales.

Ambas son funcionales.

Funcionales lineales.Diremos que la funcional es lineal si cumple la siguiente condicin de linealidad:

Ejemplos.

1. Con V definido anteriormente, no es una funcional lineal.

2. Con W definido anteriormente, es una funcional lineal.Valores extremos de funcionales.Sea la funcional diremos que alcanza un valor mximo en

si se cumple:

Diremos que alcanza un valor mximo en

si se cumple:

.

Ejemplos .I) Encontrar los valores extrmales para las siguientes funcionales

1)

Solucin:

Aplicando la ecuacin de Euler:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Una solucin de esta ecuacin diferencial es:

De aqu:

De esto:

La solucin general seria:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, la ecuacin seria:

2)

Solucin:

Como la funcional no depende directamente de, la ecuacin de Euler se reduce a:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Entonces integramos y obtenemos:

Despejando y obtenemos la solucin general:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, se obtiene la ecuacin:

3)

Solucin:

Como la funcional no depende directamente de, la ecuacin de Euler se reduce a:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Entonces integramos y obtenemos:

La solucin general:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, se obtiene la ecuacin:

4) Encuentre la curva cerrada de longitud , que podamos encerrar la mayor rea posible:

Solucin:

Tenemos la ecuacin de la curva cerrada en forma parametrica

Su rea en paramtricas es

Y la condicin es

Sean las funcionales para paramtricas

Entonces tenemos:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones

EMBED Equation.3

Como H no depende explcitamente de se tiene:

(1)

(2)

De (1)

EMBED Equation.3 (3)

De (2)

EMBED Equation.3 (4)

De (3) y (4)

Tenemos:

;

es la curvatura para parametricas.

Como la curvatura es = constante.

Entonces, la curva cerrada de mxima rea es un crculo.

5) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la propiedad de que la superficie de revolucin al girar la regin acotada por ella y las ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mnima.

Solucin:

Como queremos la superficie de revolucin, formula seria:

As, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no depende de x usamos:

(1)

Donde:

Reemplazamos en (1):

Despejando :

Integrando obtenemos

Y la solucin general seria:

6) Encontrar los valores extrmales para las siguientes funcionales

1)

Solucin:

Aplicando la ecuacin de Euler:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Una solucin de esta ecuacin diferencial es:

De aqu:

De esto:

La solucin general seria:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, la ecuacin seria:

6) Encontrara los valores extrmales para

Solucin:

Como la funcional no depende directamente de, la ecuacin de Euler se reduce a:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Entonces integramos y obtenemos:

Despejando y obtenemos la solucin general:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, se obtiene la ecuacin:

7) Encontrar los valores extrmales para

Solucin:

Como la funcional no depende directamente de, la ecuacin de Euler se reduce a:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1)

Entonces integramos y obtenemos:

La solucin general:

Y de las condiciones iniciales , se obtiene:

Finalmente, se obtiene la ecuacin:

8) Encuentre la curva cerrada de longitud , que podamos encerrar la mayor rea posible:

Solucin:

Tenemos la ecuacin de la curva cerrada en forma parametrica

Su rea en parametricas es

Y la condicin es

Sean las funcionales para parametricas

Entonces tenemos:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones

EMBED Equation.3

Como H no depende explcitamente de se tiene:

(1)

(2)

De (1)

EMBED Equation.3 (3)

De (2)

EMBED Equation.3 (4)

De (3) y (4)

Tenemos:

;

es la curvatura para parametricas.

Como la curvatura es = constante.

Entonces, la curva cerrada de mxima rea es un crculo.

9) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la propiedad de que la superficie de revolucin al girar la regin acotada por ella y las ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mnima.

Solucin:

Como queremos la superficie de revolucin, formula seria:

As, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no depende de x usamos:

(1)

Donde:

Reemplazamos en (1):

Despejando :

Integrando obtenemos

Y la solucin general seria:

10) Calcular la ecuacin de Euler-Lagrange para la funcional

Con la condicin de frontera z(x,y) = f(x,y) (x,y) D

Solucin:

La funcin , la ecuacin de Euler tiene la siguiente forma

Igualmente:

As la ecuacin de Euler es: ; sustituyendo:

En forma experimental es sabido que la realizacin fsica de la superficie de rea mnima limitado por la curva D son calculos laboriosas extendidas sobre la DFuncionales que contienen derivadas de orden superior

Consideremos funcionales de la forma:

Con las condiciones de frontera siguiente ; ; ;

Supondremos que ; y que F tiene derivadas parciales continuas hasta el orden 3 inclusive. Se desea hallar la ecuacin de Euler Lagrange para este caso.

SolucinTenemos tal que , es decir h debe ser admisible

Para z real se tiene

=

Osea que la variacin de la jota

Derivando: ; luego integrando:

Ahora:

Integrando: (ojo: por )

Por tanto: ; en la funcin crtica; esto para todo h admisible

Usando el lema Fundamental del clculo de variaciones, se tiene:

que es la ecuacin de Euler Lagrange para este caso.Nota: Si entonces su ecuacin de Euler Lagrange es la siguiente:

Ejemplos espaciales1. Hallar una funcin crtica para la funcional

con

Solucion

Luego la ecuacin de Euler Lagrange es:

Podemos escribir:

Luego

De donde:

Luego

2. Hallar una funcin crtica para la funcional

Solucin

, luego la ecuacin Euler Lagrange:

Podemos escribir ,

Resolviendo A+B=0

3A+2B=-1 A=-1

Luego

3. Hallar una funcin crtica para la funcional

; ,

Solucion

Como en el anterior:

Escribamos

Cuando se tiene:

, para todo h admisible

Pero uno desea que la variacin , luego

entonces podemos pedir

As:

La condicin , obtenida por este procedimiento se llama condiciones naturales de frontera.

Ecuacin Funcional

Consideremos una funcional de la forma: (i)*Donde k(s,t) es continua y simtrica en el cuadrado [a,b]x[a,b], la f es continua en el intervalo [a,b], y=y(s) es la funcion continua incognita.Se desea hallar su ecuacion de Euler-Lagrange

Solucion

Escribimos: Derivando con respecto a :

Cuando se tiene:

Trabajando con la integral doble:

Como se desea hallar la ecuaicon de Euler-Lagrange, debemos tener:

Donde h(t) cualquier funcion admisible, usando el lema fundamental del calculo de variaciones, se tiene:

..(**)

La ecuacion funcional (**) es la ecuacion de Euler-Lagrange

Para este caso esta ecuacion (**) se llama la ecuacion integral de FREHOLM de 2 clase

Condiciones Naturales de Frontera

Consideremos la funcional

donde no se pide las condiciones de frontera, para la funcion y=y(x)

Hemos calculado que:

Como:

se obtiene que:

En una funcion critica, debe ocurrir que para toda h(x) admisible entonces debe cumplirse la ecuacin de Euler-Lagrange: , y por tanto

Como h(x) es cualquier funcin admisible, debemos tener en y

es decir (condiciones naturales de Frontera)

Ahora consideremos la funcional

si y,z son funciones criticas para la funcional J[y,z] entonces la funcion:

toma un valor critico , entonces debe ocurrir:

Entonces

idem:

Como buscamos funciones criticas debe cumplirse, las ecuaciones E-L:

luego:

Como h(x) es cualquier funcin admisible debemos tener en y en y (condiciones naturales de frontera)

Ejercicios.

1. ara la funcional

se pide encontrar las condiciones naturales de frontera

3. restriccin

Tomemos:

La ecuacin de Euler-Lagrange: ,

por la restriccion:

Veamos que

Por la restriccion:

Luego tendremos que cuando , se tenia

asi se tiene:

satisfaciendo la restriccion de esta manera en , alcanza un valor maximo

si , se tiene: , luego:

alcanza un valor mnimo cuando

;

Ecuacin E-L

hagamos:

Luego:

Luego

Luego la solucion del problema es: .

2. Hallar funciones criticas para la funcional

con las condiciones de frontera:

Solucion

Ec E-L para y:

Ec E-L para z:

de (i):

reemplazando este valor en (ii):

Luego:

Calculamos z de (i):

Luego:

3. Hallar una funcion critica de la funcional

con las condiciones de frontera

Solucion

de (1)

con las condiciones:

Luego:

Restando (4)-(3): D=1 y sumando (3)+(4): A=0

Finalmente:

4. Hallar una funcin critica para la funcional

con las condiciones de frontera

5. Optimizar

La ecuacin de Euler-Lagrange:

Hagamos la sustitucin:

Tomemos la funcional:

ojo:

Luego:

la ecuacin de Euler-Lagrange:

regresando a las variables originales:

Ojo: Con las condiciones de frontera:

como:

Tendremos:

(en ojo, se ha considerado condiciones de frontera)

6. Optimizar

Ecuacin de Euler-Lagrange:

(ojo: )

Resolviendo la ecuacin: (nota: )

Condiciones de frontera:

Luego:

Veamos que efectivamente y es un numero. Tomemos otra funcin y veamos que:

Utilizando el teorema B:

La funcional:

7. Hallar la curva y=y(x) de longitud L dada tal que el area de trapecio curvilinea CABD sea maximo

Solucion

Se pide el maximo de la funcional en ,

y con la restriccin

consideramos la funcional

a esta funcional calculamos su ecuacion de E-L

Como H no depende explicitamente de x, debemos tener

constante

entonces:

Dando un comun denominador:

Hagamos

La solucion a nuestro problema es un arco de circunferencia

8. Hallar el mnimo de la funcional

con las condiciones de frontera y con la restriccin

Solucion

H no contiene a x explicitamente, luego debemos tener

, ,

entonces:

9. Hallar una funcion critica para la funcional

sujeto a la restriccin , L constante B

A

L

C

B

A

D

1

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