Nombre:Jacome Duran Francisco Sebastian NRC:2087 Tema: Diagrama
de BODE
DiagramadeBodeesunarepresentacingrficaquesirveparacaracterizarla
respuestaenfrecuenciadeunsistema.Normalmenteconstadedosgrficasseparadas,
unaquecorrespondeconlamagnituddedichafuncinyotraquecorrespondeconla
fase. Recibe su nombre del cientfico que lo desarroll, Hendrik Wade
Bode.
EldiagramademagnituddeBodedibujaelmdulodelafuncindetransferencia
(ganancia) en decibelios en funcin de la frecuencia (o lafrecuencia
angular) en escala
logartmica.Sesueleemplearenprocesadodesealparamostrarlarespuestaen
frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. El
diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de
transferencia en funcin de la frecuencia (o frecuencia angular) en
escala logartmica. Se puede dar engrados o
enradianes.Permiteevaluareldesplazamientoenfasedeunasealalasalidadel
sistemarespectoalaentradaparaunafrecuenciadeterminada.Porejemplo,tenemos
unasealAsin(t)alaentradadelsistemayasumimosqueelsistemaatenaporun
factor x y desplaza en fase . En este caso, la salida del sistema
ser (A/x) sin(t ).
Generalmente,estedesfaseesfuncindelafrecuencia(=(f));estadependenciaes
lo que nos muestra el Bode. En sistemas elctricos esta fase deber
estar acotada entre-90 y 90. La respuesta en amplitud y en fase de
los diagramas de Bode no pueden por lo general
cambiarsedeformaindependiente:cambiarlagananciaimplicacambiartambin
desfase y viceversa. En sistemas de fase mnima (aquellos que tanto
su sistema inverso
comoellosmismossoncausalesyestables)sepuedeobtenerunoapartirdelotro
mediante la transformada de Hilbert. Si la funcin de transferencia
es una funcin racional, entonces el diagrama de Bode se puede
aproximar con segmentos rectilneos. Estas representaciones
asintticas son tiles
porquesepuedendibujaramanosiguiendounaseriedesencillasreglas(yenalgunos
casos se pueden predecir incluso sin dibujar la grfica). Respuesta
frecuencial del sistema de 1er y 2do orden diagrama de bode
Seconocecomorespuestafrecuencialdeunsistemaalarespuestadelmismo,en
rgimen permanente, Cuando se utiliza como seal de entrada una
senoide. La respuesta deun sistema lineal estable a una seal de
excitacin de tipo senoidal, es otra seal senoidal de la misma
frecuencia que la de entrada, pero que difiere de ella en los
valores de su amplitud y de su ngulo de fase. La amplitud de la
seal de salida y su ngulodefasesonfuncindelafrecuencia.
Lasealsenoidalqueaplicaremosa nuestro sistema vendr dada por: r(t)=
A* sen(wt) (1) siendo A la amplitud y w(rad/s) la pulsacin de la
seal.La seal de salida es tambin senoidal en la medida en que el
sistema es lineal. La representamos por: y(t)= B* sen(wt+) (2)
siendo B la amplitud y f el desfase en radianes.
Larepresentacingrficadelarespuestaenfrecuenciasedenominadiagramade
Bode.
LafuncindetransferenciasenoidalG(jw)esunafuncincomplejaquepuedeser
representada por sus Curvas de mdulo (ganancia) y de argumento
(ngulo de fase). En los diagramas de Bode se representa la funcin
de transferenciaG(jw) mediante dos
curvasseparadas.Enunadeellassemuestralagananciaenescalalogartmica
|G(jw)|dB,respectodelafrecuencia,tambinenescalalogartmica;yenlaotrael
ngulodefasey(jw),engradosenescalanatural,respectodelafrecuenciaenescala
logartmica. En un papel semilogartmico (como el que se incluye al
final de la prctica) la propia subdivisin del papel realiza la
escala logartmica de la frecuencia.
Paraescaladeganancias(mdulos)sesueleutilizarcomounidaddemedidael
decibelio: [ ] ( G( jw) dB 20logG jw ) = 20log A(w ) La energa de
un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de
la
fuerzadisipativas.Esposiblecompensarestaprdidadeenergaaplicandounafuerza
externaquesuministrelaenergadisipadarealizandountrabajopositivosobreel
sistema.Encualquierinstante,esposibleagregarenergaalsistemapormediodeuna
fuerza aplicada que acte en la direccin del movimiento del
oscilador. Vamos a estudiar el oscilador forzado, el cual est
sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza
impulsora) que vara armnicamente con el tiempo cuya expresin
obedece a una del tipo: en donde Fo es constante y w es la
frecuencia angular de la fuerza, que generalmente no est
relacionada con la frecuencia angular natural del sistema wo.
Unobjetodemasamsujetoaunmuelledeconstantedefuerzaksometidoauna
fuerzaamortiguadora-bvyaunafuerzaexternaFocoswtobedeceentoncesala
ecuacin del movimiento dada por o sea
en donde hemos puestoy La solucin de la ecuacin consta de dos
partes, la solucin transitoria y la solucin
estacionaria.Lapartetransitoriadelasolucinesidnticaaladeunoscilador
amortiguado no forzado dada por
Lasconstantesdeestasolucin,Ayd,dependendelascondicionesiniciales.
Transcurridociertotiempo,estapartedelasolucinsehacedespreciableporquela
amplituddisminuyeexponencialmenteconeltiempo.Deestemodosloquedala
solucinestacionaria,quenodependedelascondicionesinicialesyquesepuede
escribir como en donde la frecuencia angular w es la misma que la
de la fuerza impulsora. La amplitud A viene dada por y la constante
de fase d por
Observandolasecuacionespodemosverqueeldesplazamientodelsistemayla
fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en
fase en d.
Elsignonegativodelafasesehaintroducidoparaquelaconstantedefasedsea
positiva. - Resonancia La amplitud y, por tanto, la energa de un
sistema en estado estacionario, depende no slo de la amplitud del
sistema impulsor sino tambin de su frecuencia.
Sedefinelafrecuencianaturaldeunosciladorcomolaquetendrasinoestuviesen
presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor.
Elfenmenoderesonanciaseproducecuandolafrecuenciaimpulsoraesigual(o
aproximadamenteigual)alafrecuencianaturaldelsistema,esdecir,w=wo.Enesta
situacind = p/2. En esta imagen se observa una grfica que
representa la amplitud frente a la frecuencia
deunosciladoramortiguadocuandoseencuentrapresenteunafuerzaimpulsora
peridica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la
frecuencia natural,
wo,aparecelaresonancia.Seobservaquelaformadelacurvaderesonanciadepende
del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.
Lacantidadmediadeenergaabsorbidaenuncicloesigualalapotenciamedia
producidapor lafuerzaimpulsora.Enla
figurasemuestraundiagramadelapotencia
mediatransmitidaaunosciladorenfuncindelafrecuenciadelafuerzaimpulsorao
externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto
de Q).
Estascurvasrecibenelnombredecurvasderesonancia.Cuandoelamortiguamiento
es pequeo (el valor de Q es alto), la potencia consumida en la
resonancia es mayor y la resonancia es ms aguda; es decir, la curva
de resonancia es ms estrecha, lo que quiere decir que la potencia
suministrada es grande slo cerca de la frecuencia de resonancia.
Cuandoelamortiguamientoesgrande(elvalordeQespequeo),lacurvade
resonanciaesmsachatadaylapotenciasuministradatomavaloresmsparaw
diferentes de la de resonancia.
Paraamortiguamientosrelativamentepequeos,elcocienteentrelafrecuenciade
resonancia wo y la anchura total a la mitad del mximo Dw es igual
al factor Q (que ya se defini en oscilaciones amortiguadas): Por
tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es
aguda o no y en qu medida lo es. En resumen, cuando se est en
resonancia: la amplitud del oscilador es mxima;la energa absorbida
por el oscilador es mxima;la constante de fase d = p/2;la velocidad
est en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar:
segnesto,elosciladorsiempreseestmoviendoenelsentidoenqueactala
fuerza impulsora, por lo que se consigue el mximo aporte de energa.
Resonancia e incertidumbre Hemos visto que la amplitud de un
oscilador armnico impulsado y amortiguado
tieneunpicoderesonancia.Tambinhemosvistoqueelosciladorarmnico
amortiguado,sinimpulsin,tieneuntiempodedecaimientocaracterstico.Estos
fenmenos se relacionan estrechamente, y esa relacin tiene
consecuencias importantes
sobrenuestracapacidaddeconstruccindesistemasconresonancias,como
sintonizadores, o filtros de radio para eliminar el ruido
electrnico.
Laecuacinpermiteobtenerlarapidezalacualsedisipalaenergaenun
osciladoramortiguadonoimpulsado.Laenergaesproporcionalalaamplitudal
cuadrado y, por consiguiente, decrece de acuerdo con, en la cuales
la vida media. La vida media determina el decaimiento debido al
amortiguamiento. El ancho de
frecuenciasdelosciladorarmnicoforzadoestrepresentadoporlaecuacin
,yvemosqueesinversamenteproporcionalat.Deacuerdoconlas ecuaciones
anteriores, tenemos que t Dwes del orden de 1.
Aestaecuacinseleconocecomoprincipiodeincertidumbre;expresala
posibilidaddemedir
efectosfsicosqueseanarbitrariamenteprecisos,tantoen tiempo como en
frecuencia. Hablando con propiedad, slo lo hemos deducido para una
fuerza
especialdeamortiguamiento.Peroenrealidadrepresentaunapropiedadmuygeneral.
Afirmaquesieltiempodeamortiguamientodeunosciladoresgrande,entoncesel
anchoderesonancia
espequeo,yviceversa.Cuantomsdbileselamortiguamiento
deunosciladorarmnico,conmsdefinicinrespondea,oselecciona,unafuerzade
impulsin armnica de la frecuencia adecuada. Veremos el significado
de este resultado en un ejemplo.Ejemplos Existen muchos ejemplos
familiares de resonancia.Cuando nos sentamos en un columpio y nos
impulsamos, la fuerza impulsora no
esarmnicasimple.Sinembargo,esperidicayseaprendeintuitivamentea
bombear con el cuerpo con la misma frecuencia que la natural del
columpio.Esta tcnica se basa en el hecho de que un sistema LTI
(lineal e invariante en el tiempo)
respondedemaneradistinta(condistintasgananciasydesfases)parasenoidesde
distintas frecuencias. Respuesta Frecuencial de un sistema de
segundo orden (pinchar aqu para ver video)
Larespuestaenfrecuencia,esdecir,formaenlaqueelsistemavarasugananciay
desfaseenfuncindelafrecuencia,defineunvocamentesudinmica,aligualquelo
hacenlarespuestaimpulsionalolafuncindetransferencia,porloquela
representacingrficadelarespuestaenfrecuenciaescomouna"radiografa"desu
dinmica. De hecho, un sistema LTI de funcin de transferencia L(s),
tiene una ganancia |L(j) | y produce desfaseante senoides de
frecuencia Para obtener experimentalmente la respuesta en
frecuencia de un sistema seguiremos el siguiente
procedimiento:inyectamos seales senoidales a distintas
frecuencias,determinamoslasgananciasydesfasesqueproduceelsistemaadichas
frecuencias por comparacin de las senoides de salida y
entrada,finalmenterepresentamoslospuntos(ylosunimos)endosdiagramas
logartmicos (uno para amplitudes y otro para fases) que constituyen
el llamado diagrama de Bode.Procedimiento bsicoConexinAplicar al
sistema una entrada senoidal a frecuencia w (verIntroduccin al los
mdulos de prcticas). Se recomienda tener en cuenta los siguientes
puntos:Poner el generador de ondas en modo ondasPoner el selector
de forma de onda en senoidalEl ajuste grueso de frecuencia permite
multiplicar/dividir por 10 la frecuencia en cada paso.El ajuste
fino permite modificar la frecuencia entre dos pasos del ajuste
gruesoUna de las masas del osciloscopio debe estar conectada a la
masa del equipo (la otra conviene ponerla al aire, porque
internamente estn
conectadas)Conectarlasalidadelgeneradordeondasalaentradadelsistemaquesevaa
analizar.Conectarlassondasdeloscanales1y2alaentradaylasalidadelsistema,
respectivamente.PonerelosciloscopioenmodoDUALparavisualizarambassenoides
simultneamenteenelosciloscopio(verIntroduccinalmanejodel
osciloscopio)Ajustar la base de tiempos para que quepa 1 ciclo de
cada senoide. Si ponemos ms ciclos perdemos precisin (sale ms
pequeo) ysi ponemos menos (medio ciclo) podemos perder una parte
importante para medir.Ajustar las bases de tensin para que las
seales sean lo ms grandes posibles en la pantalla. De esta manera
los errores de medida sern mnimos.Medir siempre de pico a pico
(nunca medir de cero a pico, porque si la seal est descentrada
falsearemos la medida)Como ejemplo, consultar el croquis de
conexiones adjunto. Ejemplo: croquis de conexiones para el anlisis
del sistema de segundo orden. Clculo de la ganancia y desfasePara
una frecuencia dada w, la ganancia en dB y el desfase en grados
vienen dados por: Transcripcin de los valores calculados al
diagrama de BodePara cada frecuencia w, se obtiene un punto del
diagrama de Bode. Dado que para cada frecuencia se calculan dos
valores (ganancia en dB y fase en ), en realidad se dibuja el
puntoendosgrficas:lacurvademagnitudes(ganancias)ylacurvadefases.Por
ejemplo,siparaunafrecuenciade3rads/snossaliunagananciade-20dByun
desfase de -45, el punto se anotar como sigue: Clculo iterativo a
distintas
frecuenciasDadosucarcterdinmico,lossistemassecomportarndeformasdiferentesante
senoidesdedistintasfrecuencias(lasgananciasydesfasesvariarn).Eldiagramade
Bode es, precisamente, una especie de radiografa de esa variacin.
En la figura adjunta
semuestranlosdiagramasdeBode(realesyasintticos)desistemasdeprimery
segundo orden, respectivamente: Bode de un sistema de primer orden
(verde=real, azul=asinttico). Bode de un sistema de segundo orden
(verde=real, azul=asinttico).
ParatrazaradecuadamenteeldiagramadeBodeexperimentalesnecesariocalcular
variospuntos(enrealidad,cuantosmssecalculen,mejoraproximacintendremos).
Repetir los pasos anteriores para distintas frecuencias.Primer
orden Obtener la ganancia y fase para al menos cuatro
frecuencias:1.Encontinua(w=0).HallarlagananciaestticadelsistemaL(0)aplicando
continua o frecuencias muy bajas, donde el desfase entre las
senoides de salida y entrada es casi cero2.Frecuenciade
cortec.Buscarlafrecuenciaalaqueeldesfaseesde-45yla ganancia es de
-3 dB. Dicha frecuencia coincide con la frecuencia de cortec = 1 /
T. Esta frecuencia define el ancho de banda del sistema de primer
orden y en
ellaeldiagramaasintticotieneuncodoenelquelapendientepasade0
dB/dcada a -20 dB/dcada.3.Frecuencia baja. Elegir aproximadamente a
c / 54.Frecuencia alta. Elegir aproximadamente a 5c
5.Frecuenciamuyalta.Elegirunafrecuencia1020vecessuperiorala
frecuencia de corte.Segundo orden Obtener la ganancia y fase para
al menos cuatro
frecuencias:1.Encontinua(w=0).HallarlagananciaestticadelsistemaL(0)aplicando
continua o frecuencias muy bajas, donde el desfase entre las
senoides de salida y entrada es casi
cero2.Frecuenciadeoscilacinnaturaln.Buscarlafrecuencia
alaqueeldesfase es
de-90.Lagananciaenestecasopuedesermuyvariableydependerdela
amortiguacindelsistema.Aestafrecuenciaeldiagramaasintticotieneun
codo en el que la pendiente pasa de 0 dB/dcada a -40
dB/dcada.3.Frecuencias baja. Elegir aproximadamente n / 5 para el
de segundo orden4.Frecuencia alta. Elegir aproximadamente 5n para
el de segundo
orden5.Frecuenciamuyalta.Elegirunafrecuencia10o20vecessuperiorala
frecuencia de oscilacin natural.Diagrama de Bode del sistema de
Primer Orden Diagrama de Bode del sistema de Segundo Orden
Bibliografa: [1] Alvarez, Introduccion al anlisis de circuitos
elctricos, edi. 1ra, edit.ediuno [2] Gomez Jose, Circuitos
Electricos II, vol.1, edit. Universidad de Oviedo
