第5回 線積分とグリーンの定理

1. 曲線 -1-

平面上の曲線とは t の 閉区間 [a, b] で定義された連続函数C : x = φ(t), y = ψ(t)

のことである。以下 φ(t), ψ(t) は有限個の点を除いて微分可能とする。

例） t ∈ [0, 2π] とする -2-

C1 : x = cos t, y = sin t

C2 : x = cos t, y = − sin t

はどちらも単位円を表すが、方向が逆になる

2. 線積分 -3-

一変数の積分は ∫ b

a

f (t)dt

であった。また、二変数の積分は∫∫D

f (x, y) dxdy

であった。平面の上の曲線に沿った線積分を考えることにする

t の 閉区間 [a, b] で定義された曲線 -4-

C : x = φ(t), y = ψ(t)

を考える。

C に沿った線積分 を∫C

f(x, y)dx+g(x, y)dy =

∫ b

a

f(φ(t), ψ(t))φ′(t)dt+

∫ b

a

g(φ(t), ψ(t))ψ′(t)dt

で定める

注）線積分は曲線と向きで決まり、パラメタの取り方によらない

例） C : x = t, y = t2 (0 ≦ t ≦ a) とする。 -5-∫C

(x + y)dx =

∫ a

0

(t + t2)dt =

[t2

2+t3

3

]a0

=a2

2+

a3

3∫C

(x + y)dy =

∫ a

0

(t + t2) · 2t dt =[2t2

3+t4

2

]a0

=2a3

3+

a4

2

3. 境界の向き -6-

平面の中の領域 がなめらかな曲線で囲まれているとする。境界は領域の内部が進行方向の左手になるようにとる

4. グリーンの定理 -7-

D：有界な閉領域、P (x, y), Q(x, y): C1-級函数 のとき∫∂D

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫∫D

(∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

)dxdy

証明）P だけに依存する部分∫∂D

P (x, y)dx = −∫∫

D

∂P (x, y)

∂ydxdy

を示す。Q のほうも同様である。

D が x について単純な領域 -8-

D = {(x, y) | a ≦ x ≦ b, φ1(x) ≦ y ≦ φ2(x)}

になっているとすると、次のように分割できる：∫∂D

P (x, y)dx =

∫C1

+

∫C2

+

∫C3

+

∫C4

C1 は x = b, y = t ( φ1(b) ≦ t ≦ φ2(b)) とかけるので、 -9-dx

dt= 0 だから∫

C1

P (x, y)dx =

∫ φ2(b)

φ1(b)

P (b, t)dx

dtdt = 0

同様に、∫C3

P (x, y)dx = 0 となる。C2: x = t, y = φ2(t) (t : b→ a),

C4: x = t, y = φ1(t) (t : a→ b)

に注意すると

-10-

∫∂D

P (x, y)dx =

∫C2

P (x, y)dx +

∫C4

P (x, y)dx

=

∫ a

b

P (t, φ2(t))dt +

∫ b

a

P (t, φ1(t))dt

=

∫ a

b

P (x, φ2(x))dx +

∫ b

a

P (x, φ1(x))dx

= −∫ b

a

(P (x, φ2(x))− P (x, φ1(x))) dx

= −∫ b

a

dx

∫ φ2(x)

φ1(x)

∂P

∂y(x, y)dy

= −∫∫

D

∂P

∂y(x, y)dxdy

-11-

一般の領域に対しては、D を単純な領域のいくつかにわけて考える。分割された小領域の境界で D の内部にあるものは、隣接する 2つの小領域の境界として 2回現れてて、向きが逆なので打ち消し合う。よって、一般の領域でもグリーンの定理は成立する。

Qの場合は、y について単純な領域に分割すればよい。

例）C: x2 + y2 = a2 として、反時計回りに向き付けする。 -12-

D を C で囲まれた内部とすると∫C

ydx− xdy =

∫∫D

−2dxdy = −2πa2

例）Py = Qx が成り立てば∫∂C

P (x, y)dx +Q(x, y)dy =

∫∫D

(Qx(x, y)− Py(x, y)) dxdy = 0

よく間違える例） -13-

P,Qは Dの境界、内部ともに C1-級である。そうでない場合、グリーンの定理は成り立たないC を単位円に反時計回りに向き付けしたものとする

I =

∫C

−yx2 + y2

dx+x

x2 + y2dy

を求める。∂

∂y

(−y

x2 + y2

)=

∂

∂x

(x

x2 + y2

)=

−x2 + y2

(x2 + y2)2

なので、形式的にグリーンの定理を用いると I = 0.

しかし、被積分函数は原点で連続ではない。まじめに計算すると x = cos t, y = sin t とおいて

I =

∫ 2π

0

− sin t

cos2 t+ sin2 t(− sin t)dt+

∫ 2π

0

cos t

cos2 t+ sin2 t(cos t)dt

=

∫ 2π

0

dt = 2π

4. 重積分の変換公式の証明 -14-

I =

∫∫D

f (x, y)dxdy =

∫∫E

f (x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv以下の仮定をおく。実用上、たいていの函数で成り立つ。仮定 Fx(x, y) = f (x, y) となる C1-級函数F (x, y)が存在する

f (x, y) = Fx(x, y) とすると、グリーンの定理∫∂D

Q(x, y)dy =

∫∫D

∂Q(x, y)

∂xdxdy

により ∫∫D

f (x, y)dxdy =

∫∫D

∂F (x, y)

∂xdxdy

=

∫∂D

F (x, y)dy

ここで、 変換 x = x(u, v), y = y(u, v) を考えると -15-

dy =∂y

∂udu +

∂y

∂vdv

を代入してI = ±

∫∂E

F (x(u, v), y(u, v))

{∂y

∂udu +

∂y

∂vdv

}= ±

∫∂E

F (x(u, v), y(u, v))yudu + F (x(u, v), y(u, v))yvdv

ここで、もう一度グリーンの定理を使って E の積分に戻すとI = ±

∫∫E

{∂

∂u(F (x, y)yv)−

∂

∂v(F (x, y)yu)

}dudv

= ±∫∫

E

Fx(x(u, v), y(u, v))(xuyv − xvyu)dudv

= ±∫∫

E

f (x(u, v), y(u, v))∂(x, y)

∂(u, v)dudv

-16-

符号 ± はヤコビアンが正なら ∂D と ∂E の向きが同じなので正、ヤコビアンが負なら ∂D と ∂E の向きが逆なので負。よって、ヤコビアンに絶対値を付ければ ± はいらない。よって証明された