5/24/2018 C.a.algebr Dr.labardini
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REPRESENTACIONES DE ESPECIES SOBRE CAMPOS FINITOS
TEMARIO
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
Resumen. La categor a de modulos de cualquier algebra de
dimension finita sobre un campo algebraica-
mente cerrado es equivalente a una subcategora plena de la
categora de representaciones de un carcaj.Para obtener una
equivalencia similar para algebras sobre campos no algebraicamente
cerrados es necesariointroducir la nocion de especie. En este curso
estudiaremos varias construcciones asociadas a una especie
definida sobre un campo finito o p-adico, con enfasis en una
teora de mutaciones de especies con potencialesdesarrollada muy
recientemente, que generaliza tanto la teora de mutaciones de carca
jes con potenciales de
Derksen-Weyman-Zelevinsky, como los funtores de reflexion de
Dlab-Ringel. Veremos tambien aplicacionesde la teora de
representaciones de especies con potenciales a algebras de
conglomerado antisimetrizables.
Pre-requisitos: No ciones de teora de Galois y de teora de
anillos y modulos (ambos a nivel Algebra
Moderna II de la licenciatura en particular se supondra
familiaridad con los conceptos de bimodulo yproducto tensorial).
Haber tomado anteriormente un curso de representaciones de
algebras, o de algebras
de conglomerado, sera muy util, pero no necesario (no se
supondra conocimiento previo de representacionesde carcajes, ni de
mutaciones de carcajes con potenciales, ni de algebras de
conglomerado).
Contenido del curso
1. Preliminares.Diagonalizabilidad de Gal(E/F) como conjunto de
transformaciones F-lineales de E enE.Bimodulos y productos
tensoriales de campos.Descomposicion de un bimodulo como suma
directa de bimodulos simples.
2. Especies y algebras completas de caminos.
Carcajes valuados y carcajes pesados.La especie asociada sobre
una extension de campos a un carcaj pesado.El algebra completa de
caminos de una especie y su topologa.Relacion entre las
representaciones de una especie y los modulos sobre el algebra
completa decaminos.
3. Potenciales y sus derivadas cclicas.Automorfismos del algebra
completa de caminos.Derivadas cclicas y su calculo diferencial.El
ideal y el algebra Jacobianos de un potencial.Invariancia bajo
extension de escalares.
4. Reduccion de especies con potencialesPotenciales triviales y
potenciales reducidos.El proceso de reduccion.
Caracterizacion de 2-aciclicidad por medio de determinantes.5.
Mutaciones de especies con potenciales.
Definicion.Invariancia bajo automorfismos del algebra completa
de caminos.Involutividad.Invariancia bajo extension de
escalares.Potenciales no degenerados, su existencia local y
global.Ejemplos provenientes de triangulaciones de superficies.
6. Mutaciones de representaciones de especies con
potenciales.Motivacion: Los funtores de reflexion de
Bernstein-Gelfand-Ponomarev y Dlab-Ringel.Definicion de mutacion de
una representacion de una especie con potencial.Invariancia bajo
automorfismos del algebra completa de caminos.
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Involutividad.Invariancia bajo extension de escalares.Ejemplos
provenientes de triangulaciones de superficies.
7. Aplicaciones a algebras de conglomerado.
Grassmannianas de representaciones de especies.Conteo de puntos
en Grassmannianas de representaciones de especies sobre campos
finitos.Polinomios de conteo y F-polinomios.Algebras de
conglomerado antisimetrizables.Representaciones asociadas a
variables de conglomerado.Conjeturas de Fomin-Zelevinsky.
Referencias
[1] Joseph Bernstein, Israel M. Gelfand, V. A. Ponomarev.
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preparacion.[11] Andrei Zelevinsky. Mutations for quivers with
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Instituto de Matematicas, UNAME-mail address:
[email protected]
