CACULO 3 - Integral Tripla

8/18/2019 CACULO 3 - Integral Tripla

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Notas de aula - Cálculo III

Integral Tripla

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Integral de linha

Teorema de Green

Prof. Ticiano A. Bastos.


2/27


3/27

3

2

1

ln

0

2

)2

y

y

x

z dzdxdy ye

dy y y y

dy y y

y y

dy y y

y y

dy yx yx

dxdy y yx

dxdy y ye

dxdye y

dzdxdye y

y

y

y

y

y

y

x

y

y

x z

y

y

x

z

2

1

235

2

1

23

35

2

1

23

35

2

1

2

2

1

2

1

ln

2

1

ln

0

2

1

ln

0

2

3

2

22

22

2

2

2

2

2

2

24

47

24

89264144128

3

1

8

3

12

1

3

8

8

48

12

64

38

3

12

2

1

346

y y y

2

0

1

0 0

2

cos)3

x

dzdxdy y x Resp: 1/4

2

1 1 0

2

2

2)4 x y x

dzdydx y x Resp: 13915/216

xe x ln

x

x

e x

e

e

x

x

?

ln?ln

ln?lnln

ln?ln

?

ln

ln


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4

Usando Integração tripla para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies.

6

34)1

2

z

z y

x y

4

01)2

2

z

z y

x y

1

0

22

13

)2

z

y

y x

x x z

x z

z

y x

y

x

3

1

0

2

1

)3

x y

x y z

y x z

2

0)42

4

0

4

)52

y

x y z

y z

2

64

3

)62

2

z

y z x y

x y

Coordenadas Cilíndricas

Sistema de coordenadas tridimensional onde os pontos são dados por .,, z

Nesse sistema , compõem o sistema polar e z é um eixo perpendicular ao plano polar.

Exemplos:

1) Dada a equação em coord. cartesiana, passar para coord. cilíndrica

22

222

5

5)

z

z y xa

3

3

3

3)

arctg

tg

x

y

x yb

3

2) Dada a equação em coordenada cilíndrica passar para coord. cartesiana.

22

1) 2 sen z a

cos22

1 2 sen z cos sen z yx z

623cos) z senb

623 z y x eq. de um plano.

x

y

z

P(x,y,z) coordenada cartesiana

z P ,, coordenada cilíndrica

z z

sen y

x

cos

22 y x

x

yarctg


5/27

5

3) Dadas as superfícies 922 y x e , y z esboçar o sólido. No 1º octante, armar a integral que dê o volume

em coordenadas cartesianas e calcular o volume em coordenadas cilíndricas.


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6

4) Idem ao 3 para 422 y x e x z no 1º octante.


7/27

7

5) Seja o sólido no 1º octante limitado por 1 z e .5 22 y x z Pede-se:

a) Esboçar o sólido.

b) Armar a integral que dê o volume em coordenadas cartesianas.

c) Calcular o volume em coordenadas cilíndricas.


8/27

8

6) Idem ao 5. 1 z e 225 y x z


9/27


10/27

10

b)

5

0

25

0

6

022

2 x

y x

dzdydx


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11

Coordenadas Esféricas

Os pontos M do espaço são dados pelas variáveis e R ,, onde:

: R distância da origem ao ponto M.

: ângulo entre R e eixo z.: ângulo entre projeção de R sobre o plano xy e eixo x.

Exemplos:

1) Transformar as equações para coord. esféricas.

9) 222 z y xa

392

R R

x

y

R e R M ,,

z

0 R

20

0

R

z cos

cos R z

R sen

Rsen

Rsen x

cos

cos Rsen x

Rsen sen

y

sen Rsen y

Equações que transformam esférica para cartesiana.

222 R z 2222 R y x z x

yarctg R

z e cos

222cos

z y x

z e

Equações que transformam de cartesiana para esférica.


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12

222) y x z b 22cos R

cos

2 2

R

sec2 2 R

sec2 22 sen R R

2) Transformar as equações para coord. cartesiana.

2) Ra

2222 z y x

4222 z y x

Transformação de uma integral para coord. esférica

?,,,,'

S S

R f dv z y x f

d d dR J dv

Rsen

sen R Rsen sen sen

R Rsen sen

z z

R

z

y y

R

y

x x

R

x

R

z y x J

cos

coscos

coscoscoscos

,,

,,

Integrais

dzdydx z y x f S

,, coord. cartesiana

d d dz z f S

,, coord. cilíndrica

d d dR sen R R f S

2,, coord. esférica

.

.

.


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13

Volume

S

dzdydxV coord. cartesiana

S

d d dz V coord. cilíndrica

S

d dRd sene RV 2 coord. esférica

Coord. cilíndrica Coord. esférica

d d dz dv

y x

tg x

y

sen y

x

222

cos

Exercícios

1) Dado 3

0

9

0

9

0

2 22 x y x

dzdydx xz pede-se:

a) Esboçar o sólido. b) Armar a integral em coord. cilíndrica.

c) Calcular a integral em coord. esférica.

2) Calcular o volume do sólido no 1º octante onde:

0

0

1 22

xe x y

z

y x z

3) Calcular o volume do sólido onde

0

01

22

ye x y

z y x z

4) Calcular o volume no 1º octante onde:

0

3

0

0

1 22

y

x y

y

z

y x z

d dRd sen Rdv

R z y x

Rsen R z

sen Rsen y

Rsen x

2

2222

cos

cos


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14

Nos problemas 5 a 6, esboce o sólido S, e calcule cada integral tripla.

5) ,23 dxdydz y xS

onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 0

e lateralmente pelo cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, sobre a região quadrada ;11: x R

.31 y R: 64 u.v.

6) S

dxdydz xy ,3 onde S é o sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e o plano

.6 z y x R: 72 u.v.

Nos problemas 7 a 10, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.

7) S

dxdydz y x ,22 onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano

z = 4 e pelo cilindro .2522 y x

R:3

250

8) S

dxdydz y x ,2/322

onde S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide de revolução

,4 22 y x z inferiormente pelo plano xy, lateralmente pelo cilindro .422

y x

R:35

512

9) ,22 S y x

dxdydz onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 1 e

lateralmente pelo cilindro .1622 y x R: 24π

10) S dxdydz x ,2

onde S: 422

y x e .50 z

R: 20π

Exercícios para fixação do conteúdo.

1) Resolva as integrais triplas.

2

0

3

2

2

1

2) dzdydx z xya

1

0 0 0

2

) z y

y dxdydz zeb

401

0 0

2

cos)

x

dzdxdy y xc


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2) Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro 922 y x e limitado pelos

planos 1 z e .5 z y

3) Calcule o volume do sólido no 1º octante onde: .3,1,0 22 x ye x y y x z z Resposta: ..36

vu

4) Dado o sólido no 1º octante limitado superiormente por 49222 z y x e inferiormente por ,22 y x z

calcule: a) Esboce o sólido; b) Arme a integral que dê o volume em coordenadas cartesianas; c) Calcule o volume

em coordenadas esféricas.

Resposta: ..2

21

6

343vuV

5) Use coordenadas esféricas, para calcular S

dxdydz z y x ,222 onde S é o sólido limitado superiormente

pela esfera 49222

z y x e inferiormente pelo cone .22

y x z Resposta: ..2

21

2

74

vu

6) Calcule o volume da esfera de raio 3 em coordenadas esféricas. Resposta: 36π u.v.

7) Dado dzdydx z y x 222

onde S é a esfera de raio 3 e o centro na origem. Pede-se esboce o sólido, arme

a integral em coordenada cartesiana e calcule em esféricas. Resposta: 81π u.v.

8) Dado ,23

22 dzdydx y x

S

onde o sólido é limitador por: superiormente ;2

1: 22 y x z inferiormente pelo

plano xy e lateralmente .422 y x Resposta: 128π/7 u.v.

9) Monte a integral literada D

d d dz z f ),,( para calcular o volume da região D, onde D é o cilindro reto

sólido cuja base é a região entre as circunferências de raio 1 e raio 2 e cujo topo está no plano z = 3 - y.


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17

Exemplo:

Dado ,2

x y determinar um vetor unitário

02 x y ou 02 y x

ji x j y f i

x f

2

14

22

x

ji xn

f

f n

14

2

2

x

ji xn

4.2. Divergente de uma função vetorial

Chamamos de divergente de uma função vetorial de k z y x f j z y x f i z y x f

),,(),,(),,(V 321 a função

escalar k z y x f j z y x f i z y x f k z

j y

i x

),,(),,(),,(V 321

z

f

y

f

x

f

321V

.

Exemplo 1: Calcular o divergente da função k z x j yz i z xyV 322

k z x j yz i z xyV 322

222 3 z x z z yV

Exemplo 2: Calcular r sendo k z j yi xr

3111 r

x

y

x

y

z


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18

Interpretação Física.

Se k z y x f j z y x f i z y x f

),,(),,(),,(V 321 é um campo vetorial que indica as velocidades das

partículas de um fluido em movimento, o divergente de V

, indica a quantidade de fluido que diverge de um ponto,

por unidade de volume na unidade de tempo.

Se 0V

, no ponto A, dizemos que o fluido converge ou escoa, no ponto A, e A é chamado de Sumidouro.

Se 0V

, no ponto A, dizemos que o fluido diverge, no ponto A, e A é chamado de Fonte.

Se E

é um campo elétrico, E

indica o número de linhas de força que entra ou sai de uma região porunidade de tempo. (Densidade de linhas de força que entram ou saem).

Se 0E

, E

é chamado Solenoidal o que indica não haver nem fonte nem sumidouro.

Se 0E

, E

é campo divergente (no interior da superfície existem excesso de cargas positivas).

Se 0E

, E

é campo convergente (no interior da superfície existem excesso de cargas negativas).

4.3 Rotacional de uma função vetorial

Chamamos rotacional de uma função vetorial k z y x f j z y x f i z y x f

),,(),,(),,(V 321 a função vetorial

321

Vx

f f f

z y x

k ji

Exemplo 1: Dado .2 k xyz j yz i y xV Calcular V

xyz yz y x

z y x

k ji

2

Vx

y

y x

x

yz k

z

y x

x

xyz j

z

yz

y

xyz i

22

Vx

k x j yz i y xz 200Vx

Exemplo 2: Se ,22 k yz i xyV calcular o V no ponto 2,3,1 P

22 0

Vx

yz xy

z y x

k ji

y

xy

xk

z

xy

x

yz j

z y

yz iV

2222 00

xyk ji z V 202


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19

Exercícios.

1) Determinar um vetor normal unitário à superfície dada no ponto indicado.

)0,0,0(

43) 22

P

y x z a

)1,1,1(

01) 22

P

z y xb

2) Se f(x,y,z) = xy + yz + xz, calcular f no ).2,1,1( P

3) Se ,222 k xy z j xz yi yz xu calcule .u

4) Se k x j xi z u 22 e z y x z y x f 222),,( calcular:

f d f c

ub

ua

)

)

)

)

5) Calcular ,V no ponto )3,2,1( P se .322 423 k z j xyi y xV

6) Determinar o valor de m para que k z mz jmyz imx E 42 2 seja solenoidal.

7) Calcular V sendo .2 k z j senxz ieV xy

A Integral de linha.

Seja C uma curva contínua do R 3 de modo que em cada um de seus pontos esteja definido um vetor

.,,,,,, 321 k z y x f j z y x f i z y x f F

Dividimos o arco AB da curva C em "n" arcosii

P P 1

Em i P temos o vetor i F e para cada arco ii P P 1

fica definido um vetor .1 iii r P P

Formamos os "n" produtos escalares ii r F e

efetuamos a soma

n

i

iin r F S 1


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20

Chamamos integral de linha de F ao longo da curva C de A até B, o limite:

n

i

B

Acii

n

r d F r F 1

lim

se existir e for finito.

Expressão cartesiana de B

Acr d F

Temos ,,,,,,, 321 k z y x f j z y x f i z y x f F k dz jdyidxr e k dz jdyidxr d . Assim,

dz f dy f dx f r d F 321 e B

Ac

B

Ac

dz f dy f dx f r d F 321

Interpretação

Se z y x F ,, é uma força que desloca uma partícula ao longo de C, a integral de linha c r d F é o trabalho

realizado por . F

Exercícios

1) Sendo j xyi x F 22 e C a parábola 2 x y calcular c r d F de A(1,1) até B(2,4).

2) Sendo k z j z yi y x F e C a reta definida pelos pontos A(1,-1,1) e B(0,2,-1), calcular c r d F deA até B.

3) Calcular c r d F onde j xyi F e C é a curva definida por .21,2:11,:

2

2

1

x se x yC

x se x yC

4) Sendo j xyi x F e c o contorno da região R limitada pelas curvas .31,2 y xe y x y Calcular

c r d F

Teorema de Green (pode trabalhar apenas no R 2 e caminho fechado)

O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e

uma integral dupla na região R do plano limitada por C. Por convenção, a orientação positiva de uma curva simples

fechada C se refere a percorrer C no sentido anti-horário uma única vez.

Teorema: Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário, e R a região

fechada delimitada por C. Se

j y x f i y x f y x F ),(),(),( 21 é um campo vetorial contínuo com derivadas

parciais de 1ª ordem contínuas em um domínio D que contém R, então:

dxdy y

f

x

f dA

y

f

x

f F

R RC

1212r d.


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21

Exemplos

1) Aplicar o teorema de Green no exercício anterior (nº 4)

c

c

c

y

y

c

y

y

dy y y yr d F

dy y y y yr d F

dy yxr d F

dxdy yr d F

1

0

2

3

2

1

0

1

0

3

1

0

3

3

3

0

c r d F 3023

2) Se C é o contorno da região limitada pelas curvas 3yxe12 x y , calcule )( 2dy x senxdxC

.

y x

f

xy f

2

2

01

1

y

f

x f

.

.

.


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22

3) Verificar o Teorema de Green no plano para: dy xdx y xyC

22 )( onde C é a curva fechada que contorna a

região R limitada pelas curvas xye2 x y .

4) Calcular

r d.C F onde C é o contorno da região limitada pelas curvas 4e1 2222

y x x y , sendo y > 0 e

j xyi F .


23/27

23

5) Calcule dy xydx xC

4

, onde C é a região triangular construída pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0), de

(1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

6) Calcule dy y xdxe yC

senx

173 2

, onde C é o círculo 922 y x .


24/27

24

7) Calcule dy xydx yC

32

, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os

círculos 122 y x e 422 y x .


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25

Exercícios

1) Calcule C

dy y xdx y x )( 2222 ; C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).

(2/3)

2) Seja R a região limitada pelas três curvas, cujas equações polares são4

, 2 e

4

3 e seja C uma

linha delimitadora de R, tomada no sentido anti-horário (no 1º e 2º quadrantes), calcule C

dy x xydx 2 . 0

3) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha em cada exercício. Suponha que C é orientada no

sentido anti-horário.

a) dy xdx yC

22

, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). (-2)

b)dy ysenxdx y xC )cos

,onde C é o quadrado com vértices (0, 0); (

2

, 0); (

2

,2

);(0,

2

). (0)

c) C

xdy ydx , onde C é o círculo unitário no sentido anti-horário. (π)

d) C

xydy xydx 23 , onde C é o retângulo limitado por x = -2, x = 4, y = 1 e y = 2. (-36)

e) C

xdydx y x )( 22 , C é o círculo 922 y x . 9

f) C

dy xy y ydx x )( 22 , C é a fronteira da região compreendida por22 xe y x y . (0)

g) C

xdydx y x )( 2 e C é o círculo 422 y x . 8

h) C

y x dy xedx ye )()( 22 e C é a fronteira da região entre x x y y e2 .

e

15

43

i)

C

dy y

xydx y

1)1ln( e C é o triângulo de vértices (0, 0); (2, 0) e (0, 4). (-4)

j) C

xdy y ydx x 22( , onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante, compreendida entre os eixos

ccoordenados e o círculo 1622

y x . (0)

4) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força

j y xi y x x y x F 2)(),( ao mover uma

partícula da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e então de

volta à origem ao longo do eixo y.

12

1


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26


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CACULO 3 - Integral Tripla