Calcolo vettoriale E.F. Orsega – Università Ca Foscari di Venezia

Calcolo vettoriale

E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia

A

B

C

D

F

E

Segmenti orientati Segmenti orientati equipollenti:equipollenti: stessi:stessi: modulomodulo, , direzionedirezione, , verso verso

RappresentanoRappresentanogeometricamente geometricamente lo stesso lo stesso VETTOREVETTOREnello spazionello spazio

I vettorivettori rappresentati come segmenti orientati

(rappresentazione geometrica)

si intendono con l’origine coincidente con l’origine del sistema di riferimento (assi coordinati) eccetto nei casi in cui si parli di “vettori applicati” (fisica) per i quali si specifica la collocazione del punto origine (punto di applicazione)

Possono appartenere a uno spaziospazio:monodimensionale (retta), bidimensionale (piano) o tridimensionale (spazio tridim.),

I vettori

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori dello spazio monodimensionale (Vettori dello spazio monodimensionale (RR1 1

))Segmenti orientati applicati all’origine di una retta orientata sulla quale è stato stabilito un sistema di ascisse:

scelta un’unità di misura (U), si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra tutti i numeri reali e tutti i punti della retta.

Ad ogni segmento orientato è associato un numero reale. Es.: al segmento v è associato il numero +2, a w è associato il numero –3, al punto origine il numero 0.

vw

Vettori dello spazio monodimensionale Vettori dello spazio monodimensionale ((RR11))

I vettori dello spazio monodimensionale euclideo possono quindi essere rappresentati dai

segmenti orientati applicati all’origine della retta orientata (rappresentazione geometrica)

oppure dai

numeri reali (rappresentazione algebrica)

In entrambi i casi si definiscono le operazioni di

addizione e sottrazione tra vettori

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori dello spazio monodimensionaleVettori dello spazio monodimensionale

Es.:

v + w = s

vw OO

s

(+2) + (-3) = -1

s - v = w (-1) - (+2) = -3

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori dello spazio monodimensionaleVettori dello spazio monodimensionale

I vettori, rappresentati come segmenti orientati su una retta, si possono quindi rappresentare come NUMERI REALI (rappresentazione algebrica).

Si sommano e si sottraggono con le stesse regole di addizione e sottrazione tra numeri relativi.

L’elemento neutro OO dell’addizione tra vettori (tale che per ogni vv si ha che vv + OO = vv) è il vettore nullo. Algebricamente è rappresentato dal numero 0 (zero), geometricamente dal punto origine

vw OO

0 1 2 3-1

-2-3

Vettori dello spazio bidimensionale Vettori dello spazio bidimensionale ((RR22))

-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

I vettori

0 1 2 3-1

-2-3

Vettori dello spazio bidimensionale Vettori dello spazio bidimensionale ((RR22))

-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali, data dalle coordinate dell’estremo

I vettori

0 1 2 3-1

-2-3

Vettori dello spazio bidimensionaleVettori dello spazio bidimensionale

-1-2

-3

1

2

3

vv

0 1 2 3-1

-2-3


-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

Ogni vettorevettore nel piano nel piano si può quindi si può quindi

rappresentare come rappresentare come coppia ordinata di coppia ordinata di numeri numeri reali reali (rappresentazione algebrica)

0 1 2 3-1

-2-3


-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)



0 1 2 3-1

-2-3


-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

i = (1;0)i = (1;0)

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)



0 1 2 3-1

-2-3


-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

i = (1;0)i = (1;0)

j = j = (0;1)(0;1)

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)



0 = (0;0)0 = (0;0)

I vettori

1 2 3-1

-2-3

Vettori dello spazio tridimensionale (Vettori dello spazio tridimensionale (RR33))

-1-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

Ogni vettorevettore nello nello spazio tridimensionale spazio tridimensionale si può rappresentare si può rappresentare

come come terna ordinata terna ordinata di numeri reali di numeri reali (rappresentazione

algebrica)

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

V

i = i = (1;0;0)(1;0;0)j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)

Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori

In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla

“regola del parallelogramma”:

uu

vv

u + vu + v


In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura:

uu

vv

u - vu - v


In rappresentazione algebrica la somma (o la differenza) di due vettori (di coordinate datre) è un terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la differenza) delle coordinate corrispondenti.

Es,:

u = (1; -3; 2); v = (2; 0; 5)

u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-1; -3; -3)

Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo

la rappresentazione algebricarappresentazione algebrica:

Un vettore è rappresentato da una

successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)

v = (x1; x2; x3; ….; xn)

Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

Esempi:Esempi:

u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4

v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5

w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

La sommaLa somma di due vettori nello spazio di due vettori nello spazio R R nn è un è un vettore che ha per coordinate la somma delle vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza).differenza).

Se: Se: u = (x1; x2; x3; …xn) e v = (y1; y2; y3; …yn)

Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)Es,:

u = (1; -3; 2.5; 2); v = (2; 0; 5; -2)

u + v = (3; -3; 7.5; 0)

Dato il vettore Dato il vettore vv, il suo , il suo modulomodulo vv (detto anche normanorma) è) è la la lunghezzalunghezza, in valore assoluto del , in valore assoluto del segmento orientato che rappresenta il vettore segmento orientato che rappresenta il vettore (fino a tre dimensioni - spazio (fino a tre dimensioni - spazio R R 33))

Se un vettore è dato mediante le sue Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:coordinate:

vv = (x; y; z) = (x; y; z) vv= =

222 zyx

E in generale, per uno spazio R n (vettore a n coordinate):

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

ModuloModulo di un vettore di un vettore

Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il

prodotto di un numero (reale) c per un vettore prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :v :u = c v

Il risultato di tale prodotto è un vettore (u) che ha:-stessa direzione di v (u parallelo a v)

-verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo

-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v

u= cv

ProdottiProdotti

Prodotto di un numero per un vettoreProdotto di un numero per un vettore

Es.:Es.:

u = 3 v

v

u

v

u = -2 v

u

ProdottiProdotti


In rappresentazione algebrica (vettori rappres. In rappresentazione algebrica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore vettore vv si ottiene moltiplicando ciascuna si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per coordinata per vv..

Es.: Es.: sia dato: sia dato: v v = (2; -3; 1)= (2; -3; 1)

uu = 3 = 3 v v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)= 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)

ww = -2 = -2 v v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)= -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)

ProdottiProdotti


Quindi si può dare un Quindi si può dare un criterio di criterio di parallelismoparallelismo tra tra due vettori:due vettori:

ProdottiProdotti


Due vettori u e v sono Due vettori u e v sono paralleliparalleli (o (o proporzionaliproporzionali) se e ) se e solo se uno si può ottenere dall’altro moltiplicandolo solo se uno si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionalidei due vettori sono proporzionali

ovveroovvero

se esiste un numero c tale che se esiste un numero c tale che v v = c= cuu

Es.:Es.: uu = (2; -1; 5) e = (2; -1; 5) e v v = (-8; -4; 20) = (-8; -4; 20)

sono paralleli, poiché sono paralleli, poiché v v = -4= -4uu

Esso non è un vettore, ma un Esso non è un vettore, ma un numeronumero (o scalare) (o scalare)

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettori di due vettori

In rappresentazione In rappresentazione geometrica:geometrica:

u vu v = = uuvvcos cos

uu

vv

Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell’angolo tra i vettori

o: modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sulla direzione del primo

ProdottiProdotti


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il Il prodotto scalare si può ottenere se sono si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori :date le coordinate dei vettori :

uu = (x = (x11; y; y11; z; z11))

vv = (x = (x22; y; y22; z; z22))

Il loro prodotto scalare è:Il loro prodotto scalare è:

u vu v = x = x1 1 xx22 + y + y1 1 yy2 2 + z+ z1 1 zz22

Es.: u = (3; -1; 4) ; v = (2; 5; -3)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11

ProdottiProdotti


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il prodotto scalare di due vettori nello Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-dimensionale spazio n-dimensionale R R nn (n coordinate): (n coordinate):

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33; … ; y; … ; ynn ) )

Il loro Il loro prodotto scalareprodotto scalare è: è: u vu v = =

Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ; v = (2; 5; -3; 1; -2)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0 1+5 (-2)= -21

ii

n

i yx1

ProdottiProdotti


Attraverso il prodotto scalare possiamo dare Attraverso il prodotto scalare possiamo dare un:un:

Condizione di perpendicolarità tra due vettori:

Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se

Il loro prodotto scalare è nullo (uv=0)Il loro prodotto scalare è nullo (uv=0)

Es.: u = (3; -1; -1); v = (2; 5; 1)

u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) =0 ;

i due vettori sono perpendicolari

ProdottiProdotti


Il Il modulomodulo ( o ( o normanorma) di un vettore) di un vettore di uno spazio R n (vettore a n coordinate):

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= =

si può esprimere attraverso il prodotto scalare si può esprimere attraverso il prodotto scalare del vettore per se stesso (del vettore per se stesso (v v x x v = vv = v22):):

vv= (= (vv22))1/2. 1/2.

Uno spazio vettoriale per il quale sia stata Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice definita la norma dei suoi vettori si dice ““normatonormato”.”.

n

ii x1

2

Esso è un Esso è un vettorevettore e si indica con la scrittura: e si indica con la scrittura:

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettori di due vettori

Come si calcolaCome si calcola::

ModuloModulo: : u u v v = = uuvvsen sen

(area del parallelogrammo di (area del parallelogrammo di

lati lati u u e e vv))

DirezioneDirezione: : perpendicolare al perpendicolare al

piano di piano di uu e e vv

VersoVerso: come in figura: come in figura

uu

u u vv

vv

u u vv

v v uu

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettori di due vettori

uu

Ne segue che il prodotto vettoriale non è commutativo,

ma anticommutativo:

u u v = - v = - v v uuvv

u u vv

v v uu

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Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale tra i versori principali tra i versori principali ii j kj k

(vettori di modulo unitario lungo x, y, z)

i i j = kj = k j j i = -ki = -k

j j k = ik = i k k j = -ij = -i

k k i = ji = j ii k = -jk = -j

ii jj

kk

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto vettorialevettoriale

Attraverso il prodotto esterno possiamo dare Attraverso il prodotto esterno possiamo dare unauna

Condizione di Condizione di parallelismoparallelismo tra due vettori: tra due vettori:

Due vettori non nulli sono paralleli se e Due vettori non nulli sono paralleli se e solo sesolo se

Il loro prodotto vettoriale è nulloIl loro prodotto vettoriale è nullo

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto mistomisto

Implica tre vettori (ad. es. u, v, w) e si indica con la scrittura:

(u v)w v)w ed è un numero: il prodotto vettoriale di u e v , a sua volta moltiplicato scalarmente per w.

Geometricamente ha il Geometricamente ha il significato del significato del Volume Volume del del parallelepipedo che ha i tre parallelepipedo che ha i tre vettori come spigolivettori come spigoli

ProdottiProdotti

Prodotto Prodotto mistomisto

Il prodotto misto dà un criterio Il prodotto misto dà un criterio didi

Complanarità di tre vettori: di tre vettori:

Tre vettori non nulli sono Tre vettori non nulli sono complanari se e solo se il loro complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo.prodotto misto è nullo.

Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori

Dati due o più vettori Dati due o più vettori uu11, u, u22, … u, … un ,n ,

se se si moltiplica ciascuno di essi per un numero

arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i

vettori così ottenuti, si ottiene una

combinazione lineare dei vettori dati.

Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori

Quindi se:

w = c1u1 + c2u2 + … + cnun

(dove c1, c2,…, cn sono numeri non nulli)

Diciamo che il vettoreDiciamo che il vettore w w è unaè una combinazione combinazione

linearelineare

dei vettoridei vettori uu11, u, u22, … u, … unn..

Es.: Es.: uu = (2; 3; -5); = (2; 3; -5); vv = (1; 0; 4) = (1; 0; 4)

ww = 2 = 2uu + + vv = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5;

6; -6)6; -6)

ww è una combinazione lineare dei vettori è una combinazione lineare dei vettori uu e e vv..

Dipendenza lineare tra vettoriDipendenza lineare tra vettori

N vettori (due o più) (N vettori (due o più) (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) si dicono) si dicono

linearmente dipendentilinearmente dipendenti

se ciascuno di essi si può esprimere come se ciascuno di essi si può esprimere come

combinazione lineare degli altri n-1 vettori.combinazione lineare degli altri n-1 vettori.

Ciò equivale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per valori dei coefficienti ci non tutti nulli.


Se ciascuno degli n vettori (Se ciascuno degli n vettori (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) ) nonnon si si

può esprimere come combinazione lineare può esprimere come combinazione lineare

degli altri, vale a dire che la combinazione degli altri, vale a dire che la combinazione

lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore

nullo) nullo) solo solo per valori dei coefficienti cper valori dei coefficienti cii tutti tutti

nulli,nulli,

allora gli n vettori si diconoallora gli n vettori si dicono

linearmente indipendentilinearmente indipendenti


In pratica:In pratica:

1.- Due vettori 1.- Due vettori paralleliparalleli sono sono l. dipendentil. dipendenti

2.-2.- Due vettori Due vettori nonnon paralleli sono paralleli sono l. l.

indipendenti.indipendenti.

3.- Tre vettori compalnari sono 3.- Tre vettori compalnari sono l. dipendentil. dipendenti

4.- Tre vettori non complanari sono4.- Tre vettori non complanari sono l. l.

indipendentiindipendenti

Sistemi di baseSistemi di base

Un insieme di n vettori linearmente Un insieme di n vettori linearmente

indipendenti costituisce un indipendenti costituisce un sistema di basesistema di base per per

lo spazio lo spazio RRn,n,

Ciò significa che ogni vettore dello spazio può Ciò significa che ogni vettore dello spazio può

essere espresso come combinazione lineare essere espresso come combinazione lineare

degli n vettori l. indipendenti.degli n vettori l. indipendenti.


Un vettoreUn vettore qualsiasi qualsiasi uu (non nullo) è sistema di (non nullo) è sistema di

base per lo spazio base per lo spazio R R 11 (retta euclidea): ogni (retta euclidea): ogni

vettore vettore vv della retta si ottiene da della retta si ottiene da uu

moltiplicandolo per un numero opportuno: moltiplicandolo per un numero opportuno: vv

= c= cu.u.


Due vettoriDue vettori uu e e vv non paralleli ( e ovviamente non paralleli ( e ovviamente

complanari) costituiscono un sistema di base complanari) costituiscono un sistema di base

per lo spazio per lo spazio R R 22 (piano euclideo): ogni vettore (piano euclideo): ogni vettore

ww del piano si ottiene come combinazione del piano si ottiene come combinazione

lineare di lineare di uu e e vv: :

ww = c = c11u u + c+ c22 v v

L’esempio più noto è quello della coppia di L’esempio più noto è quello della coppia di

versoriversori

ii e e j. j. Ogni vettore w del piano si può scrivere

come: w = xi + yj, cioè come combinazione

lineare di ii e e j.j.


Tre vettoriTre vettori uu, , v, z v, z non complanarinon complanari

costituiscono un sistema di base per lo spazio costituiscono un sistema di base per lo spazio

R R 33 (spazio tridimensionale euclideo): ogni (spazio tridimensionale euclideo): ogni

vettore vettore ww dello spazio si ottiene come dello spazio si ottiene come

combinazione lineare di combinazione lineare di u,u, v v e z z: :

ww = c = c11uu + c+ c22 vv + c+ c33zz

L’esempio più noto è quello della terna di L’esempio più noto è quello della terna di

versoriversori

ii , , j j ee k. k.Ogni vettore w dello spazio trid. si può

scrivere come: w = xi + yj,+ zk, cioè come

combinazione lineare di ii , , jj e e k.k.

I vettorivettori (in rappresentazione algebrica)

costituiti da n-ple ordinate di numeri reali

si dicono anche vettori euclidei (vettori euclidei (o più completamente: : vettori dello spazio vettoriale lineare euclideo)vettori dello spazio vettoriale lineare euclideo)

Euclide di Alessandria

( 325 – 265 a.C.)

- l’nsieme di tutti i tutti i numeri reali costituisce uno numeri reali costituisce uno spazio euclideo monodimensionale (a una spazio euclideo monodimensionale (a una dimensione) o dimensione) o retta euclidearetta euclidea ( (R R 11 ) )

- l’nsieme di tutte le coppie ordinate di tutte le coppie ordinate di numeri numeri reali costituisce uno spazio euclideo reali costituisce uno spazio euclideo bidimensionale (a due dimensioni) o bidimensionale (a due dimensioni) o piano piano euclideoeuclideo ( (R R 22 ) )

-l’nsieme di tutte le terne ordinate di tutte le terne ordinate di numeri numeri reali costituisce uno spazio euclideo reali costituisce uno spazio euclideo tridimensionale (a tre dimensioni)tridimensionale (a tre dimensioni)-Ecc. per n>3Ecc. per n>3

I vettorivettori (in rappresentazione algebrica)

costituiti da n-ple ordinate di numeri complessi

si dicono anche vettori euclidei:vettori euclidei:

-‘‘l’nsieme di tutti i tutti i numeri complessi costituisce uno spazio numeri complessi costituisce uno spazio hermitiano monodimensionale (a una dimensione) o hermitiano monodimensionale (a una dimensione) o retta retta hermitianahermitiana ( (C C 11 ) )

-l’nsieme di tutte le tutte le coppie ordinatecoppie ordinate di di numeri complessi (znumeri complessi (z11; z; z22) costituisce uno) costituisce uno spazio hermitiano bidimensionale ospazio hermitiano bidimensionale o

piano hermitianopiano hermitiano ( (CC22 ) )

-l’nsieme di tutte le tutte le terne ordinateterne ordinate di di numeri complessi (x; y) costituisce uno numeri complessi (x; y) costituisce uno spazio hermitiano tridimensionale (spazio hermitiano tridimensionale (CC33 ) )

Ecc. per qualsiasi dimensione nEcc. per qualsiasi dimensione n

Charles Hermite

(1822-1901)

Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti che non sono necessariamente n-ple di numeri, ma che non sono necessariamente n-ple di numeri, ma per i quali si definiscono somma, differenza, per i quali si definiscono somma, differenza, prodotto scalare, modulo e distanza:prodotto scalare, modulo e distanza: spazi pre-hilbertiani

Si generalizza poi il concetto di Si generalizza poi il concetto di spazio vettoriale introducendo spazio vettoriale introducendo vettori a infinite dimensioni, con vettori a infinite dimensioni, con determinate proprietà che determinate proprietà che implicando i concetti di limite implicando i concetti di limite

di una successione, ecc.: di una successione, ecc.:

Spazi hilbertiani, spazi diSpazi hilbertiani, spazi di

BanachBanach,, ecc. ecc.

David Hilbert

(1862 – 1943)

Stefan Banach(1892 – 1945)

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