Nel calcolo differenziale vettoriale , il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale . Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione , denotato con (il simbolo si legge nabla ), è definito in ciascun punto dalla seguente

relazione: per un qualunque vettore , il prodotto scalare dà il valore della derivata direzionale di rispetto a .In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione.

Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili

, anche se la definizione può essere estesa a funzioni in uno spazio di dimensione arbitraria. Il gradiente di è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di nella direzione di un generico vettore tramite il prodotto scalare tra ed il gradiente della funzione nel punto.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano il gradiente di è il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

dove , e sono i versori lungo gli assi.Dal momento che l'operatore gradiente associa ad un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una funzione differenziabile scalare su è un campo vettoriale che

associa ad ogni il vettore .Un campo gradiente è conservativo , cioè il rotore è ovunque nullo ed è semplicemente connesso.

Infatti, se si calcola l'integrale di linea lungo una qualunque curva che sia

chiusa, cioè tale che si ottiene:

Inoltre, le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di , cioè alle ipersuperfici date dall'equazione

cartesiana al variare di . Infatti, i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da : si consideri allora un generico vettore tangente ad una superficie di livello in un punto

, e sia una curva tale che , che giace interamente su una superficie di

livello e tale che il vettore tangente alla curva in è . Dato che è su una

superficie di livello allora , cioè derivando si ha

. I vettori e sono allora ortogonali per

l'arbitrarietà di e .

Varietà riemanniane

Per una funzione liscia definita su una varietà riemanniana il gradiente è il campo vettoriale tale che per un qualsiasi campo vettoriale si ha:

dove indica il prodotto interno (definito dalla metrica ) tra vettori tangenti la varietà nel

punto , mentre è la funzione che ad ogni punto associa la derivata direzionale di nella direzione valutata in .

In modo equivalente, data una carta definita su un aperto in a valori in , la funzione

è data da:

dove è la j-esima componente di nella carta considerata. Quindi la forma locale del gradiente è:

Generalizzando il caso , il gradiente di una funzione si relaziona con la sua derivata esterna nel seguente modo:

Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. Il gradiente è il campo vettoriale associato alla 1-forma differenziale usando l'isomorfismo musicale:

definito dalla metrica .

Approssimazione lineare di una funzionePer approfondire, vedi Differenziale (matematica) e Approssimazione lineare .

Il gradiente di una funzione in ogni punto caratterizza la miglior approssimazione lineare di nel punto:

per vicino a , con il gradiente di calcolato in . Tale espressione è equivalente all'espansione in serie di Taylor di una funzione di più variabili in .

La migliore approssimazione lineare a una funzione in è una mappa lineare da

in detta differenziale o derivata totale di in , e denotata con . Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione:

La funzione che mappa in è anche detta differenziale o derivata esterna , e si tratta di una 1-forma differenziale.

Espressione del gradiente in altre coordinate

Gradiente in coordinate polari

Coordinate polariIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione

basterà eseguire la trasformazione:

.Ricordando che:

si ottengono le seguenti derivate:

.Per i versori:

Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente:

.Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

Gradiente in coordinate sferiche

Coordinate sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle sferiche:

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

Gradiente in coordinate cilindriche

Coordinate cilindricheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate cilindriche diventa il vettore:

Gradiente in coordinate curvilinee

In coordinate curvilinee generali, quando la metrica è data da , il gradiente di

in un punto è il vettore:

dove e con si indica il versore della direzione -esima (con tutti gli elementi nulli tranne l' -esimo che vale 1).

Nel calcolo differenziale vettoriale , la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio.Il valore della divergenza di un vettore in una certa posizione è dato da un operatore

differenziale, denotato con o , che fornisce una quantità scalare (o . In coordinate cartesiane tale quantità è la somma delle derivate parziali delle componenti di lungo le direzioni degli assi.Per esempio, se si considera un campo vettoriale in due dimensioni che rappresenta la velocità dell'acqua contenuta in una vasca che si sta svuotando, la divergenza ha un valore negativo nella prossimità dello scarico. Lontano dallo scarico assume invece un valore prossimo allo zero dato che la velocità dell'acqua è quasi costante. Se si suppone l'acqua incomprimibile, in una regione in cui non ci sono né pozzi in cui essa viene scaricata, né sorgenti da cui viene introdotta, la divergenza è ovunque nulla. Un campo vettoriale con divergenza nulla ovunque viene detto solenoidale. Un esempio di campo vettoriale solenoidale è costituito dal campo magnetico , come stabilito dalle equazioni di Maxwell . Infatti, per il campo magnetico non esistono sorgenti statiche (monopoli magnetici).La divergenza è una quantita scalare che determina la tendenza delle linee di flusso di un campo vettoriale a confluire verso una sorgente o diramarsi (divergere) da essa. Tale comportamento può essere descritto considerando una regione di spazio e osservando il flusso (uscente o entrante) del campo vettoriale attraverso la superficie (chiusa) che delimita tale regione: se il flusso è uscente il campo si comporta come se all'interno della regione ci fosse una "sorgente", mentre se è entrante è come se ci fosse un "pozzo". La definizione di divergenza di un campo è ottenuta considerando il caso in cui la regione di spazio si restringe fino a diventare un punto: si tratta del limite, per il volume della regione che tende a zero, del rapporto tra il flusso del campo attraverso la superficie ed il volume stesso.Formalmente, senza fare riferimento ad un particolare sistema di coordinate, la divergenza di un

campo vettoriale nel punto è pari al flusso di attraverso la frontiera liscia di una

regione spaziale , diviso per il volume di , nel il limite in cui la dimensione della regione diminuisce fino a farla coincidere con il punto . Ovvero, si tratta dell'integrale:

dove è il versore normale alla superficie e uscente da essa. La precedente definizione è una formulazione del teorema della divergenza , secondo cui il flusso di attraverso la superficie

chiusa coincide con l'integrale della divergenza di svolto nel volume .[1]

Con questa definizione la divergenza viene ad assumere il significato di derivata spaziale di un campo vettoriale, intendendo con questo una sorta di rapporto incrementale su un insieme di

definizione che tende a zero. Il valore nullo riesce allora a descrivere la conservatività del campo quando questo rappresenta un campo di velocità . Quando si considera il trasporto di materia,

ad esempio, al campo vettoriale si fa corrispondere la velocità delle particelle, e per descrivere la conservazione della materia si sfrutta il teorema della divergenza: esso consente di stabilire che la variazione temporale della densità di materia all'interno di è uguale al flusso della materia

che entra o esce attraverso . Questo è descritto in forma locale dall'equazione di continuità.

Una funzione vettoriale e la sua divergenza rappresentata come campo scalare (rosso indica maggiore, blu indica minore).Considerando uno spazio euclideo a tre dimensioni, con versori , e relativi agli assi , e , la divergenza di un campo vettoriale continuo e differenziabile è la funzione scalare:

Nella notazione il punto rappresenta l'operazione di prodotto scalare tra l'operatore nabla ed il campo : dalle definizioni dei due operandi e dalla definizione di prodotto scalare si vede che il risultato è . Restando in coordinate cartesiane, la divergenza di un campo tensoriale

del secondo ordine differenziabile con continuità è un campo tensoriale del primo ordine:[2]

Considerando invece un campo vettoriale espresso coordinate cilindriche , la divergenza è:[3]

Infine, in coordinate sferiche , con l'angolo rispetto all'asse z e la rotazione intorno all'asse z, la divergenza è:[4]

GeneralizzazioniLa divergenza è un caso particolare della derivata esterna , quando quest'ultima mappa una 2-forma in una 3-forma in . Si consideri una 2-forma:

che, ad esempio, nel caso di trasporto di materia misura l'aumento di particelle che attraversa la superficie per unità di tempo in un fludo di densità che si muove con velocità locale . La sua derivata esterna è data da:

La divergenza di può quindi essere espressa come:

dove denota uno dei due isomorfismi musicali , e denota il duale di Hodge .Si consideri una varietà di dimensione n con una forma di volume , ad esempio una varietà riemanniana o lorentziana . Dato un campo vettoriale , esso definisce una n−1 forma

ottenuta contraendo con . La divergenza di rispetto a è definita da:

Sfruttando la derivata di Lie si può scrivere:

Su una varietà riemanniana o lorentziana la divergenza rispetto alla forma di volume può essere calcolata in termini della connessione di Levi-Civita :

dove la seconda espressione è la contrazione della 1-forma a valori in un campo vettoriale con se stessa.La divergenza può anche essere generalizzata ai tensori . Nella notazione di Einstein la divergenza di un vettore contravariante è data da:

dove è la derivata covariante . In modo equivalente, alcuni autori definiscono la divergenza di un tensore misto attraverso la "notazione musicale #", ovvero se è un tensore di tipo (p,q), con p indice di controvarianza e q di covarianza, allora la divergenza di è il tensore di tipo (p,q-1):

La divergenza è un operatore lineare , cioè:

per ogni coppia di campi vettoriali e , che gode delle seguenti proprietà:● Vi è una regola del prodotto tale per cui se è una funzione a valori in un campo di

scalari e un campo vettoriale allora:

che si può scrivere anche come:

● La divergenza del prodotto vettoriale è:

che si può scrivere anche come:

● Il laplaciano di un campo scalare è la divergenza del suo gradiente:

● La divergenza del rotore di qualsiasi campo vettoriale in 3 dimensioni è nulla:

Nel calcolo differenziale vettoriale , il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima , associando ad ogni punto dello spazio un vettore . Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione. Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.Il rotore, indicato con , misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore , caso particolare del teorema di Stokes , che mette in relazione l'integrale di superficie del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera di .A differenza di gradiente e divergenza , generalizzare il rotore a spazi di dimensione maggiore non è semplice. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in tre dimensioni la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale .

Interpretazione intuitivaSupponiamo che un campo vettoriale (tridimensionale) descriva la velocità di un liquido o un gas. Immaginando di fissare il centro di una piccola sfera in un punto, se questa sferetta ha una superficie ruvida allora inizierà a ruotare su se stessa, mossa dallo scorrere del liquido. Il rotore

valutato nel centro della sfera è un vettore che ha come direzione l'asse di rotazione

della sfera e come lunghezza la metà del valore assoluto del momento angolare della sfera. Inoltre, il senso di rotazione è associato al vettore in accordo con la regola della mano destra .

DefinizioneSotto l'ipotesi che un campo vettoriale sia di classe , il rotore di è definito in ogni punto attraverso la sua proiezione su un versore di posto nel punto: si tratta del valore dell'integrale di linea del campo in un piano ortogonale a nel limite in cui la curva di integrazione si riduce ad un punto, cioè nel limite in cui l'area delimitata da tende ad

annullarsi, diviso per l'area . Questo si esprime col prodotto scalare :

Si tratta di una scrittura del teorema del rotore , e si può interpretare il prodotto scalare tra ed il vettore unitario come densità superficiale di circuitazione del campo attorno

alla direzione .

In un sistema di riferimento con coordinate curvilinee ortogonali , come le coordinate cartesiane, sferiche , cilindriche , ellittiche o paraboliche , il rotore di

è dato da:

dove se, ad esempio, sono le coordinate cartesiane si ha:

Le restanti due componenti del rotore si ottengono dalla permutazione cilindrica degli indici: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.Più in generale, per un campo tensoriale il rotore è dato da:[1]

dove denota la derivata covariante . Utilizzando invece la derivata esterna :

dove e sono isomorfismi musicali e è il duale di Hodge .Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a varietà riemanniane orientate. Dato che dipende dall'orientazione della varietà, il rotore è un operatore chirale : se cambia l'orientazione cambia anche il verso del rotore.

Coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane, detti , , e i versori degli assi, il rotore di un campo vettoriale

è il campo vettoriale definito da:

dove nella seconda uguaglianza si è esplicitata l'equazione matriciale, mentre nella prima la scrittura indica il determinante formale della matrice:

Coordinate cilindricheDato invece un sistema di riferimento in coordinate cilindriche

, il rotore di

è dato da:

Rotore come derivata esternaPer approfondire, vedi Derivata esterna .

Ad un campo vettoriale nello spazio possiamo associare una corrispondente 1-forma differenziale

allora la sua derivata esterna risulta essere la 2-forma

Identità vettorialiIn coordinate cartesiane si mostra che è uguale a:

e se si invertono il campo vettoriale e :

dove significa che il gradiente agisce solo su .

Sempre in coordinate cartesiane, è dato da:

dove è il laplaciano vettoriale di . Questa relazione può essere vista come un caso particolare della precedente sostituendo v → .∇Il rotore del gradiente di ogni campo scalare è nullo:

mentre se è una funzione scalare e un campo vettoriale:

Inoltre, il rotore del rotore è:

Ovvero, il rotore del rotore è uguale al gradiente della divergenza meno il laplaciano.

EsempiSi consideri il seguente campo vettoriale , che dipende da x e da y linearmente:

La sua rappresentazione nel piano cartesiano è:

Dalla semplice ispezione visiva si nota che il campo "sta ruotando", ed usando la regola della mano destra si ottiene il verso del rotore, che è entrante nella pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. Infatti, calcolando il rotore secondo la definizione:

In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nel piano cartesiano è pertanto:

Equazioni di MaxwellNella terza equazione di Maxwell , espressione locale della legge di Faraday-Neumann-Lenz , il rotore del campo elettrico è uguale e opposto al tasso di variazione della densità di flusso magnetico:

In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, si ottiene la conservatività del campo elettrico:

Inoltre, nella quarta equazione, espressione locale della legge di Ampère-Maxwell , il rotore del campo magnetico è:

che in condizioni statiche diventa:

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Sia ora . Si noti che tale campo non è definito sui punti dell'asse ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse , quindi un lettore inesperto potrebbe essere indotto a pensare che anche

in questo caso il rotore di debba essere non nullo (una semplice ispezione visiva in questo caso non aiuta molto, anzi è fuorviante!). In realtà, è facile verificare che tale campo è irrotazionale (cioè il suo rotore è nullo):

Il campo in questione, a meno di costanti moltiplicative, coincide con il campo magnetico generato da un filo infinito (l'asse ) percorso da una corrente continua: si tratta appunto di un campo irrotazionale anche se non globalmente conservativo (il lavoro del campo lungo

qualunque circuitazione che non racchiuda l'asse è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse).

In matematica , la nozione di tensore generalizza tutte le strutture definite usualmente in algebra lineare a partire da un singolo spazio vettoriale . Sono particolari tensori i vettori , gli endomorfismi, i funzionali lineari ed i prodotti scalari .Il primo utilizzo del concetto e del termine tensore avviene nell'ambito della meccanica dei continui, in connessione con l'esigenza di descrivere le sollecitazioni e le deformazioni subite dai corpi estesi, da cui la formalizzazione della meccanica razionale .I tensori sono ampiamente utilizzati in relatività generale , per descrivere rigorosamente lo spaziotempo come varietà 4-dimensionale curva. I tensori sono utilizzati in molti altri ambiti della fisica , fra cui in particolare l'elettromagnetismo, la meccanica dei fluidi e la meccanica dei solidi. In particolare il tensore degli sforzi e il tensore delle deformazioni sono usati nella scienza delle costruzioni per definire lo stato tensiodeformativo in ogni punto di una determinata struttura.I tensori sono altresì usati in geometria differenziale per definire su una varietà differenziabile le nozioni geometriche di distanza , angolo e volume. Questo viene fatto tramite la scelta di un tensore metrico, cioè di un prodotto scalare definito sullo spazio tangente di ogni punto. Tramite questa nozione, vengono quindi definiti e studiati gli aspetti inerenti alla curvatura della varietà. Altri tensori, quali il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci , sono strumenti importanti per questo studio.

Un tensore può essere descritto informalmente come una "matrice a più dimensioni" contenente valori arbitrari: nella figura, è mostrata una matrice tridimensionale (un cubo) contenente

numeri, che rappresenta il tensore di Levi-Civita . Similmente a quanto accade per la matrice associata ad una applicazione lineare , una descrizione di questo tipo dipende però fortemente dalla scelta di un sistema di riferimento , ovvero di una base . In matematica e fisica si definisce quindi un tensore in modo più intrinseco.

Da un punto di vista fisico , un tensore è un oggetto molto generale, definito a partire da uno spazio vettoriale (che può essere ad esempio lo spazio euclideo 3-dimensionale, oppure lo spaziotempo 4-dimensionale), e quindi non dipendente da un particolare sistema di riferimento .Rispetto ad un fissato sistema di riferimento, un vettore dello spazio è espresso come una sequenza di componenti numeriche (le sue coordinate ), cioè una ennupla ordinata. Cambiando sistema di riferimento, lo stesso vettore è espresso con una sequenza diversa. La nuova sequenza è ottenuta dalla precedente secondo delle leggi precise.Un tensore, espresso rispetto ad un particolare sistema di riferimento, è una più generale "tabella di numeri -dimensionale" che generalizza i casi (una sequenza) e (una matrice ). Al mutare del sistema di riferimento le componenti di un tensore, come quelle di un vettore, sono anch'esse modificate da leggi precise.La nozione fisica di tensore come oggetto le cui coordinate dipendono dal sistema di riferimento secondo leggi fissate (chiamate covarianza e controvarianza ), è utile ad esprimere molte leggi fisiche.La nozione matematica di tensore è realizzata in modo più rigoroso tramite l'algebra lineare. Innanzitutto, nel linguaggio dell'algebra lineare un sistema di riferimento è una base e la legge di trasformazione è fornita dalla matrice di cambiamento di base . Inoltre, la definizione di tensore può essere data senza fare uso di sistemi di riferimento (cioè di basi), usando le nozioni più astratte di applicazione multilineare e di spazio vettoriale duale .

La definizione di tensore che segue è quella più intrinseca, perché non fa uso di   basi   , ed è la più usata in   matematica   . Una definizione alternativa, ampiamente usata in   fisica   , necessita di una base fissata.

Sia   uno   spazio vettoriale    di   dimensione      su un   campo     . Lo   spazio    duale   è lo spazio vettoriale formato da tutti i   funzionali lineari   

Lo spazio   ha anch'esso dimensione  . Gli elementi di   e   sono chiamati rispettivamente vettori e covettori.

Un tensore è una   applicazione multilineare   

Un tensore   associa quindi a   vettori   e   covettori   uno scalare

La multilinearità garantisce che la funzione sia   lineare    in ogni componente.

L'ordine o tipo del tensore è la coppia  . L'insieme di tutti i tensori di tipo   è munito di una naturale struttura di   spazio vettoriale    avente dimensione  .

Coordinate

Un vettore può essere descritto da una colonna di numeri, cioè da una disposizione ordinata 1­dimensionale. Una   trasformazione lineare    è descritta tramite una   matrice   , detta   matrice associata   : una griglia bidimensionale. Più in generale, un tensore di tipo   è descritto da una griglia di dimensione  . Per fare ciò, è però necessario fissare una   base   : scelte di basi differenti danno griglie contenenti numeri differenti.

Coordinate rispetto ad una base

Sia   una base di  . Questa induce la   base duale    

 per  , definita da

Un tensore   di tipo   è determinato dai valori

che assume sugli elementi della base. Ciascuno dei   indici in   può variare tra   e  . In totale sono quindi   valori. Questi formano le coordinate del tensore rispetto alla base  .

Facendo uso del   prodotto fra tensori   , il simbolo

indica il tensore che vale 1 in   e zero su tutte le altre combinazioni di elementi delle basi. Questo tensore ha quindi coordinata 1 in   e zero per tutte le altre combinazioni.

Il tensore generico   può essere espresso come combinazione lineare degli   prodotti tensoriali:

e tale rappresentazione è unica.

Un tensore è quindi rappresentato tramite le sue coordinate rispetto ad una base, ma la base è omessa, e questa scrittura risulta essere conveniente in molti contesti in cui la scelta della base risulta essere di fatto ininfluente. A volte è inoltre utile rimarcare l'ordine esistente fra i   indici e si antepone quindi uno spazio agli indici inferiori:

Cambiamento di base

Per approfondire, vedi   Covarianza e controvarianza   .

Date due basi   e  , esse sono collegate da una   matrice di cambiamento di base     , definita dalle relazioni

dove   è la   matrice inversa    di  , valide per ogni  . L'indice in alto descrive la riga e quello in basso la colonna della matrice. Essendo il tensore un oggetto indipendente dalla base scelta, si ha:

dove   sono le componenti del tensore   espresse nella base .

Le coordinate del tensore rispetto alle due basi sono quindi collegate tramite la relazione

La somma è effettuata su tutti gli indici  , ciascuno di questi da   a  : è quindi una somma di   termini.

Ad ogni base   di V è dunque possibile associare   

numeri reali  : tali numeri sono le componenti di un tensore se e solo se quando si effettua un cambio di base la trasformazione è descritta dalle due precedenti relazioni. Esse costituiscono dunque una definizione alternativa di tensore, spesso usata in   fisica   .

● Per gli h indici in alto la trasformazione alla quale sono soggette le relative componenti corrisponde alla trasformazione inversa rispetto a quella del cambiamento di base: gli indici in alto sono quindi detti di controvarianza.

● Per i k indici in basso la trasformazione alla quale sono soggette le relative componenti corrisponde alla stessa trasformazione subita dai vettori di base: gli indici in basso sono quindi detti di covarianza.

Dalla proprietà di covarianza o controvarianza, cioè di "mutare secondo una certa legge" al cambiamento di base, tali tensori vengono chiamati h­volte controvarianti e k­volte covarianti. Inoltre, un tensore avente solo indici in basso, è detto tensore covariante, un tensore avente indici soltanto in alto è invece detto tensore controvariante, mentre un tensore avente indici sia in alto che in basso è detto tensore misto.

Il tensore generalizza molte nozioni definite in   algebra lineare    a partire da uno spazio vettoriale  .

● Un tensore di tipo   è uno scalare.

● Un tensore di tipo   è un   vettore    di  .

● Un tensore di tipo   è un covettore, cioè un elemento dello   spazio    duale  .

● Un tensore di tipo   rappresenta un   endomorfismo      tramite la relazione   L'endomorfismo può essere 

descritto come  , e l'immagine è il risultato di un prodotto di due tensori e di una contrazione.

● Un tensore di tipo   è un   bivettore   .

● Un tensore di tipo   è una   forma bilineare   , come ad esempio i 

prodotti scalari. Essa associa a due vettori   e   lo scalare  , ottenuto contraendo due coppie di indici. La forma bilineare è simmetrica se   lo è, e cioè se   per ogni  .

● Un tensore di tipo   definisce il   prodotto vettoriale    nello spazio euclideo tridimensionale  . Esso può essere definito come un 

tensore   le cui componenti rispetto alla base canonica sono le stesse del simbolo di Levi­Civita. Il prodotto vettoriale di due vettori   

e   è dato quindi da 

● Un tensore di tipo   è una   forma trilineare   , come ad esempio il prodotto misto.