MTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS TRANSCEDENTES Tomemososistema ==0 ) y , x ( G0 ) y , x ( F,elepodeserreescritonaforma ==) y , x ( G y) y , x ( F x____,ondea soluo a ser determinada ) y , x ( u__ __= . Considerandoque0xG.yFyG.xF) y , x ( D =cccccccc= estejaemumavizinhanade) y , x ( u__ __= , utilizaremos o Mtodo de Newton para encontrar a soluo deste sistema. Tal mtodo consiste em um algoritmo que chega a tal soluo de forma iterativa. Num primeiro momento, escolhe-se x0 e y0 como valores iniciais da soluo do sistema. A partir da usamos as frmulas iterativas abaixo para obteno das seqncias ... ||||.|

\|cccccccccccc =+xG.yFyG.xF) y , x ( G .yFyG. ) y , x ( Fx xr 1 r

( 1 ) ||||.|

\|cccccccccccc =+xG.yFyG.xFxG). y , x ( F ) y , x ( G .xFy yr 1 r O ndice r indica que o clculo feito para xr e yr . SeasseqnciasforemCONVERGENTES,entoelasconvergemparaaSOLUOdo sistema. Exemplo : Encontre,usandoomtododeNewtonparasistemastranscendentes,asoluodosistema= += +0 1 x y0 1 y x22. Resoluo : TemosF(x, y ) = x2 + y 1eG(x, y ) = y2 + x 1, logo encontramos as derivadas parciais de primeira ordem so: 1yFx 2xF=cc=cc

y 2yG1xG=cc=ccUtilizando as frmulas ( 1 ), temos : yGxGyFxFyG) y , x ( GyF) y , x ( Fx xr 1 rcccccccccccc =+eyGxGyFxF) y , x ( GxG) y , x ( FxFy yr 1 rcccccccccccc =+ Considerando ==1 y1 x00e utilizando as frmulas acima, obtemos : ==67 , 0 y67 , 0 x11 ==62 , 0 y62 , 0 x22 ==62 , 0 y62 , 0 x33

Como temos = == =62 , 0 y y62 , 0 x x3 23 2ento a soluo do sistema S = { ( 0,62 ; 0,62 )}. Exerccios : Encontre, usando o mtodo de Newton para sistemas transcendentes, a soluo dos sistemas : a ) = + = +0 2 y x0 1 y x comx0 = -1 ey0 = 2S ={ ( -0,70;1,70 ) } b ) = + = +0 1 x y ln0 1 y x ln comx0 = 1 ey0 = 1S ={ ( 1,00;1,00 ) }

c ) = = +0 x y ln0 1 y x ln comx0 = 0,50 ey0 = 1,69S ={ ( 0,51;1,67 ) } EXERCCIOS RESOLVIDOS MTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS TRANSCEDENTES 1 MTODO DE NEWTON RAPHSON O mtodo de Newton-Raphson um dos mais utilizados quando a finalidade calcular as razes de uma equao.Tomemosf(x)=0umaequao,temosx=F(x)umatransformaodef(x)=0.Tal transformao pode ser representada pela seqncia : x1 = F(x0) x2 = F(x1) x3 = F(x2) . . . xn+1 = F(xn) Se tal seqncia for convergente, temos lim xn = r, seja F(x) contnua, temos: r = lim xn+1 =lim F(xn) = F(lim xn) = F(r) onde r raiz de x = F(x), logo f(x) = 0. O mtodo de Newton-Raphsonnos leva a transformarf(x) = 0 emuma equao conveniente onde a nica dependncia para que seja convergente a escolha do x0, da temos ) x ( ' f) x ( fx ) x ( F = , donde obtm-se a frmula APLICANDO A FRMULA . . . 1 )Resolvendo a equao x2 5 = 0, com preciso de 2 casas decimais. Resoluo : - = = = 5 x 5 x 0 5 x2 2Uma das razes xe] 2, 3 [ , pois5 maior que 2 e menor que 3. ) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n =+ Frmula de Newton-Rapson ) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n =+ 2 = =x 2 ) x ( ' f5 x ) x ( f2 temos - . 25 , 2 x4941 84124) 1 (245 42) 2 ( 25 ) 2 (2) 2 ( ' f) 2 ( f2) x ( ' f) x ( fx x12000 1= =+= + = = = = = = -. 24 , 2 x ...) 25 , 2 ( 25 ) 25 , 2 (25 , 2) 25 , 2 ( ' f) 25 , 2 ( f25 , 2) x ( ' f) x ( fx x22111 2~ = = = = -. 24 , 2 x ...) 24 , 2 ( 25 ) 24 , 2 (24 , 2) 24 , 2 ( ' f) 24 , 2 ( f24 , 2) x ( ' f) x ( fx x32222 3~ = = = = = Como x3 = x2 temos . 2 )Idem para 2x 2 1x ln= ;[ 00 , 1 ; 50 , 0 ] x ecom preciso de 2 casas decimais. Resoluo : - 0 2 x 4 x ln x 4 2 x ln ) x 2 1 ( 2 x ln 2x 2 1x ln= + = = = Logo ... += + = + =x1 x 44x1) x ( ' f2 x 4 x ln ) x ( f temos -. 62 , 0 x ...50 , 01 ) 50 , 0 ( 42 ) 50 , 0 ( 4 ) 50 , 0 ln(50 , 0) 50 , 0 ( ' f) 50 , 0 ( f50 , 0) x ( ' f) x ( fx x1000 1~ =+ + = = = Para x0 = 2 . . . Resp. : x ~ 2,24 ) x ( ' f) x ( fx xnnn 1 n =+ Para x0 = 0,50 . . . 3 -. 62 , 0 x ...62 , 01 ) 62 , 0 ( 42 ) 62 , 0 ( 4 ) 62 , 0 ln(62 , 0) 62 , 0 ( ' f) 62 , 0 ( f62 , 0) x ( ' f) x ( fx x2111 2~ =+ + = = = Como x2 = x1 temos. ======================================================================Exerccios : 1)Idempara2x3+lnx-5=0,sabendo-sequexe]1,00;2,00[.Use2casasdecimaisde preciso.

33 , 1 x : . sp Re ~ Observao para os execcios 2 e 3 : Na maioria das vezes, indicamos um erro de preciso (E) que o fator decomparao da nossa resposta.Para verificarmos se o valor dex calculado est dentro desta margem de erro, basta efetuarmos E =| xn+1 xn | e compararmoso resultado com o erro Esolicitado no exerccio, caso ele no se enquadre, devemos continuar as iteraes at o seu enquadramento. Desta forma, ns no precisamos comparar o resultado de x encontrado, com o resultado de x anterior e assim a resposta ser 2x xxn 1 n+=+. Vamos ver se voc entendeu ... 2 ) Idem para x3 + x 3 = 0com erro de preciso Es 0,005, sabendo-se que xe] 1, 2 [. Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL.21 , 1 x : . sp Re ~ 3 ) Idem para ln x + x = 0com erro de preciso Es 0,005, sabendo-se que xe] 0, 1 [. Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL. 57 , 0 x : . sp Re ~ Resp. : x ~ 0,62 EXERCCIOS RESOLVIDOS MTODO DE NEWTON-RAPHSON Vamos combinar, quando o exerccio apresentar um erro aproximal com trs casas decimais, deveremos trabalhar tambm com trs casas decimais. MTODO DE NEWTON-RAPHSON-SEPARAO DE RAZES Vamos aprender agora, um mtodo que nos permite localizar o intervalo aonde se encontram as razesdeumaequao.Talmtodonosauxiliarparaqueefetuemosaescolhadox0deformaa tentarmos minimizar o nmero de iteraes. O mtodo consiste em uma srie de procedimentos que indicaremos a seguir ... 1 )Verificar a condio de existncia principal das funes envolvidas na equao. 2 )Considerando que a funo principal f(x) estudada no exerccio seja definida nos intervalos | | | | + ; a e a ;, calcular : ) x ( f lim) x ( f lim) x ( f lim) x ( f limxa xa xx + + ----+ 3 )Determine x , tal que f (x) = 0. 4)Localizar,porqualquermtodo,ospontosdemximoemnimorelativosdafuno. Sugerimosaqui,usaromtododasegundaderivadaporsermaisrpidodoqueatabelade intervalosestudadaemCDIII,apesardestasermaisconfivel,poisnoapresentainconsistnciaquandof (x) = 0. 5 )Determine x , tal que f (x) = 0. 6 )Localizar os pontos de inflexo da funo. 7)Testarvaloresdexnafunof(x)comafinalidadededefinirosintervalosaondeamesma muda de sinal e assim podermos aplicar o mtodo de Newton-Raphson, e localizarmos as razes da equao estudada. 8 ) Esboar o grfico da funo f(x). Vamos agora apresentar um exemplo para que possamos aplicar esta metodologia ... -Determineasrazesdaequao0 2x1x ln = + eesboceogrficodasfunof(x) correspondente,utilizando para tal, o mtodo de separao de razes. Resoluo : 1 ) | | + e =>; 0 x : E . C0 x0 x: E . C , ou simplesmente, x > 0. 2 ). 2x1x ln lim ) x ( f lim. ) x ( f limx12 20 x ln0 2x1x ln lim ) x ( f limx x0 x 0 x 0 x+ =|.|

\| + = -+ = + = + = -+ + + + + 3 )1 x 0 1 x 0x1 x) x ( ' fx1x1) x ( ' f 2x1x ln ) x ( ' f2 2'= = == = |.|

\| + =(Valor crtico ) 4)Logo,aplicandox=1em2x1x ln ) x ( f + = ,temos1 y 2) 1 (1) 1 ln( ) 1 ( f y = + = = ,daobtemos o ponto P ( 1, -1 ). Fazendo o teste da segunda derivadatemos,x2 x) x ( ' ' f ...x1 x) x ( ' ' f'2+ = =|.|

\| = . Logo, aplicado em x = 1 em x2 x) x ( ' ' f+ = , temos > =+ = 0 1) 1 (2 ) 1 () 1 ( ' ' f( Mnimo relativo ). Da temos, P ( 1, -1 ) Ponto de mnimo relativo. 5 ) . 2 x 0 2 x 0x2 x) x ( ' ' f ...x1 x) x ( ' ' f'2= = + =+ = =|.|

\| =( Valor crtico de inflexo ). 6 ) Logo, aplicando x = 2 em2x1x ln ) x ( f + = , temos81 , 0 y 2) 2 (1) 2 ln( ) 2 ( f y ~ + = = , daobtemos o ponto Q ( 2; -0,81 ) Ponto de inflexo. 7 )- Como+ =+) x ( f lim0 x temos f(x) > 0. . 0 ) 1 ( f 1 2) 1 (1) 1 ln( ) 1 ( f y < = + = = -Logo f(x) possui uma raiz| | 1 ; 0 xr e .

| |. 7 6; x raiz outra possui f(x) Logo . 0 09 , 0 ) 7 ( f 2) 7 (1) 7 ln( ) 7 ( f y0 04 , 0 ) 6 ( f 2) 6 (1) 6 ln( ) 6 ( f y. 0 19 , 0 ) 5 ( f 2) 5 (1) 5 ln( ) 5 ( f y. 0 36 , 0 ) 4 ( f 2) 4 (1) 4 ln( ) 4 ( f y. 0 57 , 0 ) 3 ( f 2) 3 (1) 3 ln( ) 3 ( f y. 0 81 , 0 ) 2 ( f 2) 2 (1) 2 ln( ) 2 ( f yr e > ~ + = = -< ~ + = = -< ~ + = = -< ~ + = = -< ~ + = = -< ~ + = = - AgorautilizeoM.N.Rpara,finalmenteencontrarasrazesdaequao0 2x1x ln = + e depois, esboce o grfico da funo correspondente2x1x ln ) x ( f + = . Exerccio : 1)Determineasrazesdasequaesabaixoeesboceogrficodafunof(x)correspondente, utilizando para tal, o mtodo de separao de razes. a)()

b)()

c)()( ) 1 SEPARAO DE RAZES 2 3 4 5 6 7 8 1 INTERPOLAO Interpolar uma funo f(x) consiste em aproximar essa funo por uma outra funo g(x), escolhida entre uma classe de funes definida a priori e que satisfaa algumas propriedades. A funo g(x) ento usada em substituio funo f(x). A necessidade de se efetuar esta substituio surge em vrias situaes, como por exemplo: a)quando so conhecidos somente os valores numricos da funo para um conjunto de pontos e necessrio calcular o valor da funo em um ponto no tabelado; b)quando a funo em estudo tem uma expresso tal que operaes como a diferenciao e a integrao so difceis (ou mesmo impossveis) de serem realizadas. Interpolao polinomial: dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinmio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: f(xk) = pn(xk) k = 0, 1, 2, ..., n O polinmio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn nico. No entanto, existem vrias formasparaseobtertalpolinmio.Umadasformasaresoluodosistemalinear,aformade Lagrange e de Newton. Resoluo do Sistema Linear Exemplo: Vamos encontrar o polinmio de grau 2 que interpola os pontos da tabela: x-102 f(x)41-1 Embora a resoluo do sistema linear neste exemplo tenha sido um processo simples e exato na obteno de p2(x), no podemos esperar que isto ocorra para qualquer problema de interpolao. Forma de Lagrange Sejam x0, x1, ..., xn, (n+1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, 1, ..., n. Seja pn(x) o polinmio de grau n que interpola f em x0, x1, x2, ..., xn. Podemos representar pn(x) na forma pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x), onde os polinmios Lk(x) so de grau n. Para cada i, queremos que a condio pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja: pn(xi) = = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ... + ynLn(xi) = yi Ento, a forma de Lagrange para o polinmio interpolador :

Exemplo: Seja a tabela: x-102 f(x)41-1 Pela forma de Lagrange, temos que: 2 Assim, na forma de Lagrange,

Agrupando os termos semelhantes:

Determinar tambm f(2). Forma de Newton AformadeNewtonparaopolinmiopn(x)queinterpolaf(x)emx0,x1,x2,...,xn,(n+1) pontos distintos a seguinte:

Onde dk, k = 0, 1, 2, ..., n o operador diferenas divididas. Seja f(x) uma funo tabelada em n + 1 pontos distintos: x0, x1, x2, ..., xn. Definimos o operador diferenas divididas por: 3 Dizemosque

adiferenadivididadeordemkdafunof(x)sobreos pontos k + 1 pontos: x0, x1, x2, ..., xk. Dada umafunof(x) e conhecidos osvalores quef(x) assumenos pontos distintos x0,x1, x2, ..., xn, podemos construir a tabela: Exemplo: Seja f(x) tabelada abaixo: x-10123 f(x)110-1-2 Construa sua tabela de diferenas divididas. Forma de Newton para o Polinmio Interpolador Seja f(x) contnua e com tantas derivadas contnuas quantas necessrias num intervalo [a, b]. Sejam

pontos Seja o polinmio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn. Seja p0(x) o polinmio de garu 0 que interpola f(x) em x = x0. Ento,

. Seja agora p1(x) o polinmio de grau 1 que interpola f(x) em x0 e x1. Ento

. Seja agora p2(x) o polinmio de grau 2 que interpola f(x) em x0, x1 e x2. Ento

. Ento a forma de Newton para o polinmio de grau n que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn, :4

Exemplo: Usando a forma de Newton, o polinmio p2(x), que interpola f(x) nos pontos dados abaixo ? Calcular tambm f(3). x-102 f(x)41-1 Exerccios: Dada a tabela: x-103 f(x)158-1 Determinar o polinmio de interpolao para a funo definida por este conjunto de pares de pontos. 1)Usando a resoluo do sistema linear. 2)Usando a forma de Lagrange. 3)Usando a forma de Newton. 4)Calcule uma aproximao para f(1), usando o item 1). 5)Considere a tabela: x1345 f(x)062460 a)Determine o polinmio de interpolao, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos. b)Calcule f(3,5). 6)Seja a funo tabelada: x-2-112 f(x)01-10 a)Determinar o polinmio de interpolao usando a forma de Newton. b)Calcular f(0,5).