C´alculo - QueGrande.orgquegrande.org/apuntes/EI/1/Cal/teoria/06-07/integracion.pdf · Aplicaciones de la integral Integracion por partes´ Z u(x)v0(x)dx =(uv)(x)− Z v(x)u0(x)dx

Calculo

La integral indefinida

Metodos de integracion

Integracion de funciones deuna variable real

Integracion impropia

Aplicaciones de la integral

Calculo

Febrero, 2005

Calculo






Indice general

Calculo







Seaf : I −→ IR.

DefinicionDiremos que F esprimitiva de f en I si

F′(x) = f (x), ∀x∈ I .

TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I,entonces,

∃k∈ IR/

F(x) = G(x)+k, ∀x∈ I .

Calculo







DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremosintegral indefinida de fal conjunto de todas sus primitivas, y escribiremos:∫

f (x)dx={

F/

F′(x) = f (x), ∀x∈ I}

.

I En consecuencia, si conocemos una primitivaF def , conocemostodas: ∫

f (x)dx= {F +k, ∀k∈ IR} .

Propiedad (linealidad de la integral)

I

∫[f (x)+g(x)] dx=

∫f (x)dx+

∫g(x)dx

I

∫α f (x)dx= α

∫f (x)dx, ∀α ∈ IR

Calculo






Integrales inmediatas

∫f (x)mf ′(x)dx=

1m+1

f (x)m+1 +C, m 6=−1∫f ′(x)f (x)

dx= ln |f (x)|+C

∫ef (x) f ′(x)dx= ef (x) +C ∫

af (x) f ′(x)dx=af (x)

lna+C, a > 0,a 6= 1

∫[sinf (x)] f ′(x)dx=−cosf (x)+C∫

[cosf (x)] f ′(x)dx= sinf (x)+C

Calculo






Integrales inmediatas

∫f ′(x)

1+ f 2(x)dx= arctanf (x)+C ∫

f ′(x)√1− f 2(x)

dx= arcsinf (x)+C

∫f ′(x)

sin2 f (x)dx=−cotf (x)+C ∫

f ′(x)cos2 f (x)

dx= tanf (x)+C

∫[tanf (x)] f ′(x)dx=− ln |cosf (x)|+C∫

[cotf (x)] f ′(x)dx= ln |sinf (x)|+C

Calculo






Integracion por partes

∫u(x)v′(x)dx= (uv)(x)−

∫v(x)u′(x)dx

o, equivalentemente,∫udv= uv−

∫vdu

Calculo






Integracion por cambio de variable

Sean:f : [a,b]−→ IR integrable,ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:

ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]

Entonces ∫f (x)dx=

∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt

Calculo






Integrales racionales

Son integrales del tipo∫

P(x)Q(x)

dx, siendoP y Q polinomios

I Si gr(P)≥ gr(Q), debemos calcular el cociente de lospolinomios para expresarlo en la forma:

P(x)Q(x)

= C(x)+R(x)Q(x)

I Si gr(P) < gr(Q), podemos encontrar cuatro situaciones:(a) Todas las raıces son reales y simples(b) Todas las raıces son reales y alguna es multiple(c) Algunas raıces son complejas y simples(d) Algunas raıces son complejas y multiples.

Calculo







Todas las raıces sonrealesy simples.

Entonces, podemos hacer:

Q(x) = (x−a1)(x−a2) . . . (x−an)

Se descompone el cociente como sigue:

P(x)Q(x)

=A1

x−a1+

A2

x−a2+ . . .+

An

x−an

Calculo







Todas las raıces sonrealesy alguna es multiple

El polinomioQ puede factorizarse en la forma:

Q(x) = (x−a1)α1 (x−a2)α2 . . . (x−ar)αr ,

donde∑ri=1 αi = gr(Q)

Se descompone el cociente como sigue:

P(x)Q(x)

=A11

(x−a1)+

A12

(x−a1)2 + . . .+A1α1

(x−a1)α1+

+A21

(x−a2)+

A22

(x−a2)2 + . . .+A2α2

(x−a2)α2+ . . .+

+Ar1

(x−ar)+

Ar2

(x−ar)2 + . . .+Arαr

(x−ar)αr

Calculo






Algunas raıces soncomplejas simples.

Toda raız compleja siempre aparece con su conjugada

Para cada raız compleja tendremos un termino de la forma:

(x− (r +si)) (x− (r−si)) = (x− r)2 +s2

El desarrollo deQ(x) tendra entonces la forma:

Q(x) = (x−a1) (x−a2) . . . (x−an)((x− r)2 +s2

)y la descomposicion del cociente sera:

P(x)Q(x)

=A1

x−a1+

A2

x−a2+ . . .+

An

x−an+

Ax+B(x− r)2 +s2

Finalmente,∫Ax+B

(x− r)2 +s2 dx=A2

ln[(x− r)2 +s2

]+

Ar +Bs

arctanx− r

s+C

Calculo






Integrales trigonometricas

Son integrales del tipo∫

R(senx,cosx) dx, dondeRdenota una

funcion que combina operaciones racionales.Por ejemplo:

∫1

cos2x+senxdx,

∫sen2x+cos3x

1− tan5xdx

Calculo






Integrales trigonometricasEstas integrales se reducen a integrales racionales con los siguientescambios:

I CasoR(senx,−cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambiot = senx:

cosx =√

1− t2 dx=1√

1− t2dt

I CasoR(−senx,cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambiot = cosx:

senx =√

1− t2 dx=− 1√1− t2

dt

I CasoR(−senx,−cosx) = R(senx,cosx): se hace el cambiot = tanx:

senx=t√

1+ t2cosx=

1√1+ t2

dx=1

1+ t2dt

I En otro caso se realiza el cambio trigonometrico universalt = tan

(x2

):

senx =2t

1+ t2cosx =

1− t2

1+ t2dx=

21+ t2

dt

Calculo






Integrales irracionales

I

∫R

(x,

(ax+bcx+d

)m/n

, . . . ,

(ax+bcx+d

)r/s)

dx

ax+bcx+d

= tα , α = mcm(n, ...,s)

I

∫R(

x,√−ax2 +c

)dx

x =√

c√a

sent

I

∫R(

x,√

ax2−c)

dx

x =√

c√a

sect

I

∫R(

x,√

ax2 +c)

dx

x =√

c√a

tant

Calculo






Particiones

Sea un intervalo[a,b]⊂ IR.

DefinicionLlamamospartici on P de[a,b] al conjunto de puntos{x0,x1, . . . ,xn}que verifica:

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b

DefinicionLa particion P∗ es unrefinamiento de P si P⊂ P∗: todos los puntosde P estan en la particion P∗.

DefinicionLlamamosconjunto de las particionesP[a,b] al conjunto de todaslas particiones posibles del intervalo[a,b].

Calculo






Seaf una funcion realy acotadaen el intervalo[a,b] y seaP unaparticion.

Mi = supxi−1≤x≤xi

f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi

f (x).

Calculo






Sumas de Riemann

Seaf : [a,b]−→ IR una funcion acotada.

DefinicionLlamamossuma superior de Riemanny suma inferior deRiemannde la funcion f relativas a la particion P a:

U(P, f ) =n

∑i=1

Mi(xi−xi−1) L(P, f ) =n

∑i=1

mi(xi−xi−1)

I Asimismo, se definen lassumas intermedias:

n

∑i=1

f (ξi)(xi −xi−1), ξi ∈ [xi−1,xi ]

Calculo






Sumas de Riemann

PropiedadL(P, f )≤ U(P, f ), ∀P∈P[a,b].

TeoremaSi P∗ es un refinamiento de P, entonces:

L(P∗, f )≥ L(P, f ) y U(P∗, f )≤ U(P, f )

PropiedadL(P1, f )≤ U(P2, f ), ∀P1,P2 ∈P[a,b].

Calculo






La integral de Riemann

DefinicionLlamamosintegral superior de Riemanne integral inferior deRiemannde la funcion f en el intervalo[a,b] a:

∫ b

af dx= ınf

P∈P[a,b]U(P, f )

∫ b

af dx= sup

P∈P[a,b]L(P, f )

TeoremaPara toda funcion f real y acotada,

∫ b

af dx≤

∫ b

af dx.

Calculo






La integral de Riemann

DefinicionSi las integrales superior e inferior de Riemann de una funcioncoinciden, llamamos a este valorintegral de Riemannde f en elintervalo[a,b]: ∫ b

af dx=

∫ b

af dx=

∫ b

af dx

y decimos que f esintegrable segun Riemann: f ∈R[a,b].

Calculo






Calculo






Calculo






Calculo






Calculo





Aplicaciones de la integralInterpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo[a,b], su integral deRiemann representa elarea encerradapor la curvay = f (x) y el ejey = 0, entre las abscisasx = a y x = b.

Teorema (Existencia de la integral de Riemann)La funcion f es integrable en[a,b] en el sentido de Riemann si y solosi:

∀ε > 0, ∃P∈P[a,b] tal que U(P, f )−L(P, f ) < ε.

Calculo






Teorema (de integrabilidad)

I Toda funcioncontinua en[a,b] es integrable en dicho intervalo

=⇒ Toda funcionderivable es continua, y por lo tantointegrable

I Toda funcionmonotonay acotadaen[a,b] es integrable endicho intervalo

I Toda funcionacotadaen[a,b] que presenta en dicho intervaloun numero finito de puntos de discontinuidad, es integrable en[a,b]

I Sea f una funcion integrable en[a,b] en el sentido de Riemann,y tal que:

m≤ f (x)≤M, ∀x∈ [a,b].

Si g escontinua en[m,M], entonces lafuncion compuesta(g◦ f ) es integrable en[a,b]

Calculo






PropiedadSean f,g∈R[a,b]

I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf) ∈R[a,b], ∀c∈ IR, y se cumple:∫ b

a(f±g)dx=

∫ b

af dx±

∫ b

agdx

∫ b

acf dx= c

∫ b

af dx

I Si f(x)≤ g(x) en[a,b], entonces∫ b

af dx≤

∫ b

agdx

I Si a< c < b, entonces f∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b

af dx=

∫ c

af dx+

∫ b

cf dx

I Si |f (x)| ≤M, ∀x∈ [a,b], entonces∫ b

af dx≤M(b−a)

I fg∈R[a,b]

I |f | ∈R[a,b], y se cumple:

∣∣∣∣∫ b

af dx

∣∣∣∣≤ ∫ b

a|f |dx

Calculo






Teorema (del cambio de variable)Sea f∈R[a,b], y g una funcion real de claseC 1([c,d]). Sig([c,d])⊂ [a,b], se verifica:∫ g(d)

g(c)f (t)dt =

∫ d

cf (g(x))g′(x)dx

Teorema (del valor medio)Sea f∈R[a,b], y llamemos:

M = supx∈[a,b]

f (x) m= ınfx∈[a,b]

f (x)

Entonces,∃c∈ IR, m≤ c≤M tal que:∫ b

af dx= c(b−a).

Ademas, si f es continua en[a,b], ∃x0 ∈ [a,b] tal que c= f (x0).

Calculo






Teorema (fundamental del calculo)Sea f∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:

F(x) =∫ x

af (t)dt.

Entonces, F∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en[a,b], F esderivable en[a,b], y F′(x) = f (x), ∀x∈ [a,b].

Tambien puede enunciarse de la siguiente manera: sif : I −→ IRes continua enI , entonces tiene primitivas enI ; una de ellas es laintegral definidaF dada por:

F(x) =∫ x

af (t)dt

dondea∈ I es cualquiera.

Calculo






DEMOSTRACION

(a) Seac∈ [a,b]. Por la definicion deF, tenemos:

F(c+∆x)−F(c) =∫ c+∆x

af (t)dt−

∫ c

af (t)dt =

=∫ c

af (t)dt+

∫ c+∆x

cf (t)dt−

∫ c

af (t)dt =

=∫ c+∆x

cf (t)dt = µ ∆x, µ ∈ [m,M]

Por lo tanto,

lım∆x→0

[F(c+∆x)−F(c)] = l ım∆x→0

µ ∆x = 0

lım∆x→0

F(c+∆x) = l ım∆x→0

F(c) = F(c)

l ımx→c

F(x) = F(c)

o, lo que es lo mismo,F es continua enc∈ [a,b]. Puesto que laigualdad es valida para cualquier puntoc, F es continua en[a,b].

Calculo






(b) Por serf continua,

F(c+∆x)−F(c) = f (ξ )∆x , ξ ∈ [c,c+∆x]F(c+∆x)−F(c)

∆x= f (ξ ) , ξ ∈ [c,c+∆x]

l ım∆x→0

F(c+∆x)−F(c)∆x

= F′(c) = f (c) = l ım∆x→0

f (ξ )

Como la igualdad es valida para cualquierc∈ [a,b],

F′(x) = f (x) , ∀x∈ [a,b]

Calculo






Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcionF derivable en[a,b] tal queF′ = f ,entonces: ∫ b

af (x)dx= F(x)

∣∣∣∣ba= F(b)−F(a).

Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en[a,b], y se tiene:{

F′ = f

G′ = gen[a,b]

siendo f y g integrables en[a,b], entonces,∫ b

aF(x)g(x)dx= F(b)G(b)−F(a)G(a)−

∫ b

af (x)G(x)dx.

Calculo





Aplicaciones de la integralTeorema

Sea la funcion F dada por la integral definida:

F(x) =∫ b(x)

a(x)f (t)dt.

La derivada de F con respecto a x viene dada por:

F′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x).

Calculo







DefinicionLa integral

∫ b

af (x)dx se denominaimpropia si tiene al menos una

de las condiciones siguientes:I el intervalo(a,b) no es acotado

I f no esta acotada en(a,b).

Clasificamos las integrales impropias en3 tipos.

Calculo






Integrales impropias de primera especieSeaf : (−∞,b]−→ IR integrable en[m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b

−∞f (x)dx= l ım

m→−∞

∫ b

mf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denominaconvergente.

Calculo






Integrales impropias de primera especieDe igual forma se definen:∫ +∞

af (x)dx= l ım

M→+∞

∫ M

af (x)dx∫ +∞

−∞f (x)dx=

∫ a

−∞f (x)dx+

∫ +∞

af (x)dx

si ambas integrales convergen. Las definiciones no dependen dea∈ IR.

Calculo






Integrales impropias de segunda especie

Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno delos extremos del intervalo, por ejemplo ena. Si f es integrableen[t,b] para todot tal quea≤ t ≤ b, entonces definimos:∫ b

af (x)dx= l ım

t→a

∫ b

tf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denominaconvergente.

Si la funcion pierde el caracter acotado en un puntoc∈ (a,b),definimos: ∫ b

af (x)dx=

∫ c

af (x)dx+

∫ b

cf (x)dx

donde las dosultimas integrales se han descrito anteriormente.

Calculo






Integrales impropias de segunda especie

Calculo






Integrales impropias de tercera especie

Corresponden a unintervalo no acotadoy unafuncion noacotadaen un numero finito de puntos del intervalo.

Ejemplo ∫ ∞

0

1x

dx.

Se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫ ∞

0

1x

dx=∫ 1

0

1x

dx︸︷︷︸2a especie

+∫ ∞

1

1x

dx︸︷︷︸1a especie

Calculo






Area de superficies planas

Sean las funcionesf ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces elareaA limitada por los grafos de ambas, las rectasx = a y x = bviene dada por:

A =∫ b

a|f (x)−g(x)| dx

I Caso particular: g(x) = 0, luegoA =∫ b

a|f (x)| dx

Calculo






Longitud de un arco de curva

Seaf ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo def que une los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)) es:

` =∫ b

a

√1+ f ′(x)2dx

Calculo






Longitud de un arco de curva

DEMOSTRACION. Aproximamos mediante la longitud de una lıneapoligonal construida uniendo los puntos(xi , f (xi)), dondeP = {x0,x1, ...,xn} es una particion del intervalo[a,b]. Ası:

`P =n

∑i=1

√(xi −xi−1)2 +(f (xi)− f (xi−1))2 =

=n

∑i=1

(xi −xi−1)

√1+

(f (xi))− f (xi−1)2

(xi −xi−1)2 = (tma. valor medio)

=n

∑i=1

(xi −xi−1)√

1+ f ′(ci)2 (ci ∈ [xi−1,xi ])

`P es la suma intermedia de la funciong(x) =√

1+ f ′(x)2. Aplicandoun proceso de lımite cuando el diametro de la particion tiende a 0,

` =∫ b

a

√1+ f ′(x)2dx

Calculo






Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un planoperpendicular al ejeOX, para cadax∈ [a,b] produce una secciondeareaA(x).El volumende dicho cuerpo comprendido entrex= a y x= b es:

V =∫ b

aA(x)dx

I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir delasareas de las secciones producidas por planos perpendicularesal ejeOY en el intervalo[a,b].

Calculo






Volumen de un solido

Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del ejeOX, se construye una figura cuyovolumen es:

V = π

∫ b

af (x)2dx

Calculo






Superficie lateral de revolucion

El area lateral del solido construido al girar el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del ejeOX, dondef es una funcion de claseC 1, se calcula mediante:

AL = 2π

∫ b

af (x)

√1+ f ′(x)2dx

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