Cálculo diferencial e integral

21/3/2015 Clculo diferencial e integral

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Matemticas

ClculodiferencialeintegralAnlisismatemtico.Funcin,funciones.Lmites.Derivada.Mximosymnimos.Optimizacin.Integracin.Integraldefinida.readecurvas

Enviadopor:DannAdventure

Idioma:castellano

Pas: Mxico

11pginas

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CALCULODIFERENCIALEINTEGRAL

Funcin:Esunconjuntodeparejasordenadas(x,y)endondetodoslosvaloresposiblesdexsellamadominiodelafuncinytodoslosvaloresposiblesdeysellamarangodelafuncin.

Smbolodefunciny=f(x)

Selee:yigualafdex

xesvariableindependiente.

yesvariabledependiente.

Ejemplo:

Y=f(x)=x22x

EncontrarDominiodelafuncin

EncontrarRangodelafuncin

x 210123

y 830103

y=(2)22(2)=4+4=8

y=(1)22(1)=3

y=(0)22(0)=00=0

y=(1)22(1)=12=1

y=(2)22(2)=0

Venta Departamentos uoaCompra en verde departamentos de 1-2-3 dormitorios. El arte de vivir



y=(3)22(3)=96=3

Df=(",")

Rf=[1,")

Operacionesconfunciones

Dadoy=f(x)=x22x3encontrar:

y=f(2)=(2)22(2)3=4+43=5

y=f(3)=(3)22(3)3=963=0

f(1)(1)22(1)31+230

y=f(1)f(2)=[(1)22(1)3][(2)22(2)3]=[123]

[4+43]=[4][5]=20

y=f(x+h)=(x+h)22(x+h)3=x2+2xh+h22x2h3

y=f(x+h)=f(x)=x2+2xh+h22x3(x22x3)

=2xh+h22h

y=f(x+h)f(x)=2xh+h22h=2x+h2

hh

LIMITES

Lim.3x22x=3(3)22(3)=2(9)6=276=21

x!3

"lim3x22x=21

x!3

Limx4=44=0=0x!4

2x2(4)8



Lim3x=3(1)=3="

x!1x1110

Limx24=(2)24=44=0=0

x!2x2+5x+6(2)2+5(2)+6410+666

indeterminacin

porlotantosefactoriza

Lim(x+2)(x2)=limx2=22_=4=

x!2(x+3)(x+2)x!2x+32+31

Lim"x+13="8+13=0indeterminacin

x!8x8880

Multiplicarporsuconjugado.

Lim"x13*"x+1+3=lim("x+1)2(3)2

x!8x8"x+1+3x!8(x+8)("x+1+3)

=limx+19_______=limx8________=lim1___

x!8(x8)("x+1+3)x!8(x8)("x+1+3)x!8"x+1+3

=1____=1__=1_

"8+1+33+36

Limx32x2+5x=limx32x2+5x

x!"x+3x2+4x3x!"__x3____________=

x+3x2+4x3

x3

12+5_

=limxx2___=lim1=



x!"1+3+4x!"4

x2x

DERIVADA

Laderivadaeslapendientetangenteaunacurvadada.

Matemticamente.

Smbolodeladerivada.

y=Dxy=limf(x+"x)f(x)

"x!0"x

Ejemplo:

Derivarmediantedeladefinicin

y=f(x)=x2



Dxy=lim(x+"x)2x2

"x!0"x

Dxy=limx2+2x"x+Dx2x2=lim2x"x+"x2

"x!0"x"x!0"x

=lim2x+"x=

"x!0

FORMULASDEDERIVADAS

Dxc=0

Dxx=1

Dxxn=nxn1

Dx(uvw)=DxvDxvDxw

Dx(u*v)=uDxv+vDxu

Dxu/v=vDxuuDxv

v2

Dxun=nun1Dxu

Ejemplos:

Derivar:

y=x32x+5"y1=3x22

y=x236"y=(x+6)(2x)(x236)(1)

x+6(x+6)2

y=2x2+12x+x2+36=x2+12x+36=(x+6)2=1

(x+6)2(x+6)2(x+6)2



y="x2+2x"y(x2+2x)1(2x+2)

=(x2+2x)1/2(2x+2)

y=(x2+2x)y=2x2_____=2(x+1)__

2(x2+2x)2"x2+2x

MXIMOSYMINIMOS

Dadalafunciny=f(x)=x33x210xencontrarMximoyMnimo,puntodeinflexinygraficar32

Solucin.Criteriodelasegundaderivada.

y=x23x10=0!y=2x3

(x15)(x2+2)=0Esmnimo

x1=5x2=2}PuntosCrticosy=2(5)3=7

y=2(2)3=7

Esmximo

y=2x3=0

x=3/2puntodeinflexin

y1=f(x)=(5)33(5)210(5)=1253(25)50=41.6637.550=

323

y2=f(2)=(2)33(2)210(2)=86+20=8+14=8+42=34=

32333334 Descargar

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Anguloentredoscurvas.



m1=f(x)

m2=y(x)

Ejemplo.

Hallarelnguloentrelascurvas.

x26xy=6

2x+y=7

y=x26x+5!y=2x6"m1=2(6)6=6

y=2x7!y=2"m2=2

igualar



x26+5=2x7

x28x+12=0

(x16)(x22)=0

x2=2

y2=3

tan=26___

1+(6)(2)

tan=4_

13

=tan1(4/13)

1=17.10



2=162.89

Problemasdeaplicacindemximosymnimos.

Sepretendehacerunacajasintapadeunalminadealuminiode10cm.porlado(cuadrado)sedeberdecortardelasesquinas.Cuntosedeberdecortarenlasesquinasparaobtenerunmximovolumen?

v(x)=(102x)(102x)x

v(x)=(102x)2x=(10040x+4x2)x=100x40x2+4x3

v(x)=10080x+12x2"v(x)=80+24x

v(5/3)=80+(24)(5/3)=40

3x226x+25=0



x=(20"(20)24(3)(25)=20"400300

2(3)6

x=20"100=20"100=2010

666

x1=5x2=10=5

66

DERIVADADEFUNCIONESTRIGONOMETRICASYLOGARTMICAS

y=senv"y=cosvv

y=cosv"y=senvv

y=tanv"y=sec2vv

y=cscv"y=cscvcotvv

y=secv"y=secvtanvv

y=cotv"y=csc2vv

y=Lnv"y=v

v

y=ev"y1=ev*v1

Ejemplos

Derivar

y=f(x)=cosx2sen3x"y1=senx2(2x)cos3x(3)

y1=2xsenx23cos3x

y=f(x)=tan2x2+sec3x



y1=f(x)=sec22x24x+sec3xtan3x(3)

y1=4xsec22x2+3sec3ctan3x

y=Lncsc2x"y1=cscxcot2x(2)=

csc2x

y=e3x2"y1=e3x2(6x)"y1=6xe3x2

CALCULOINTEGRAL

FORMULAS

"du=u+c

"adu=a"du

"umdu=um+1+c

m+1

"(uvw)dx="udx"vdx"wdx

"du=Lnu+c

u

"eudu=eu+c

"senudu=cosu+c

"cosudu=senu+c

"tanudu=Ln|cosv|+c

"ba(x)dx=f(b)g(a)|ba

Integracinporpartes



"wdv=uv"vdu

Ejemplos.

"(x22x+4)dx="x2dx"cxdx+"4dx=x2+12x2+4x+c

+12

""x22x(6x6)dx

="(x22x)m(6x6)dx=3"udu=3U3/2+c=2"v3+c

vdv3/2

v=x22x

dv=(2x2)dx

"(3x39x2)5(18x236x)dx="v5dv=v6+6

6/1

v=3x29x2=1/12v6+c

dv=(9x218x)dx

"21(x22x)dx="21dx"21x2dx"212x=x32x2|21=x2x2|21=

(2)3(2)2(1)3(1)233

=8/341/3+1=8/312/31/3+3/3=

Hallarelareabajolacurvadelafuncin.

y=f(x)=x23x



A"30(x23x)dx=

A"30x2dx3"30xdx=x3/33x2/2|30

A(3)3/33(3)2/2(03/33(0)2/2)

A927/2=18/227/2=

"sen3x2*2xdx=1/3"sendv=1/3(cos)+c

v=3x2=1/3cosv+c=1/3cos3x2+c

dv=6xdx

"2dx=2"dx=

x+8x+8

v=x+8



dv=dx

4

1

4

2x

y=x+1__

"x2+2x

45.84

11.33

x1=6

y1=5

Conx=5/3esmximo

2cot2x

=x3x2+4x+c

3

2"(x22x)3+c

=1/12(3x29x2)6+c

2/3

9/2v2

2Ln|x+8|+C



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