Cálculo integral. Capítulo 2. Las Integrales Definida e Indefinida

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CAPÍTULO 2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA

Sumatoria Para representar en forma abreviada determinado tipo de sumas, se utiliza como símbolo a la letra griega sigma . Ejemplos.

30 302 2 2 2 2 2

1 11 2 3 4 30 ; 1 2 3 4 30

i ii i

A " "i se le conoce como índice de la sumatoria. A esta suma también se le identifica como

1

1 2 3n

if i f f f f n

Propiedades de la sumatoria

1 1

)n n

i ii f i f i

1 1 1

)n n n

i i iii f i g i f i g i

1 1 1

) : 1jn n

i i i jiii f i f i f i j n

Algunas propiedades de la sumatoria:

1

1

2 2 2 2 2

1

1 1 1 1 1

11 2 3

21 2 1

1 2 36

n

i

n

i

n

i

n

n ni n

n n ni n


2

Área bajo la curva

Se fijarán dos condiciones: )i Que f x sea continua en el intervalo ,a b )ii Que f x sea positiva en el intervalo ,a b

Suma inferior

Se hace una partición del intervalo considerado en " "n subintervalos iguales cuyos extremos se denotan como:

0 1 2, , , , na x x x x b tales que

0 1 2 na x x x x b La longitud de cada subintervalo está dada por:

1 0 2 1 1 1i i n nx x x x x x x x x de donde

b axn

y como la función es continua en todo el intervalo, entonces es continua en los subintervalos, por lo que de acuerdo con el Teorema de Weierstrass, hay un valor del subintervalo para el cual la función toma su mínimo valor. Estos valores son

1 2 3, , , , nc c c c . Luego if c es el menor valor de la función en cada subintervalo 1,i ix x . Considérese la siguiente figura:

y f x

x

a b

y

A


3

Se construyen " "n rectángulos cuyas áreas son:

1 1 0 1

2 2 1 2

1

1

i i i i

n n n n

f c x x f c x

f c x x f c x

f c x x f c x

f c x x f c x

de donde 1 2I i nS f c x f c x f c x f c x

IS A Ejemplo. Calcular con la suma inferior el valor aproximado del área bajo la curva de la función

103

xf x

de 2x a 8x , para: ) 3 ) 6i n y ii n

y f x

y

x 1c 2c nc

0a x 1x 2x 1ix ix 1nx nx b

ic


4


5

Definición. El área bajo la curva y f x y limitada por las rectas x a y x b es el límite, cuando el número de subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma inferior. Esto es,

lim InS A

Suma superior

Se considera la misma área y la partición que para la suma inferior y por el Teorema de Wierstrass se garantiza que hay una " "x en cada subintervalo donde la función toma su máximo valor. Estos valores son 1, 2, , nd d d . Luego, if d es el a mayor valor en cada subintervalo 1,i ix x .

Se construyen " "n rectángulos cuyas áreas son:

1 1 0 1

2 2 1 2

1i i i i

f d x x f d x

f d x x f d x

f d x x f d x

y f x

y

x

0a x 1x 2x 1ix ix 1nx nx b

1d 2d id nd


6

1n n n nf d x x f d x

Aquí también se observa que la suma de estas áreas es una aproximación del área bajo la curva y mientras mayor sea la partición, más cerca estará del valor exacto del área. Entonces esta suma superior está dada por:

1 2s i nS f d x f d x f d x f d x

sS A Ejemplo. Calcular con la suma superior el valor aproximado del área bajo la curva de la función

103

xf x

de 2x a 8x , para: ) 3 ) 6i n y ii n


7

Definición. El área bajo la curva y f x y limitada por las rectas x a y x b es el límite, cuando el número de subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma superior. Esto es,

lim SnS A

Finalmente, con respecto a estas dos “sumas” y por medio de la notación de sumatorias se puede escribir que:

1 1

lim lim lim limn n

I i i Sn n n ni iS f c x A f d x S

Ejemplo. Considérese la misma área requerida en los ejemplos anteriores y obténgase su valor a través del límite de la suma superior.


8

LA INTEGRAL DEFINIDA Considérese la siguiente sumatoria:

1

n

i ii

f x

En esta suma llamada “Suma de Riemann”, la función no es necesariamente continua en el intervalo ,a b y además puede o no ser positiva en dicho intervalo y los subintervalos pueden ser diferentes.

0a x 1x 2x 1ix ix 1nx nx b 1 2 i n

x


9

La longitud del iésimo subintervalo es 1i i ix x x . A la longitud del mayor subintervalo se le conoce como “Norma de la partición” y se denota con . En cada subintervalo se selecciona un valor i tal que

1i i ix x y entonces se construye la siguiente Suma de Riemann:

1 1 2 21

n

i i i i n ni

f x f x f x f x f x

Definición. Se dice que f es integrable con respecto a x en su intervalo de definición ,a b si existe un número real I tal que para una cierta partición se tiene que:

1

limn

i in if x I

si para un 0 y tan pequeño como se desee, existe un 0 (función de ) tales que:

1

siempre que 0n

i ii

f x I

En este caso, al número " "I así determinado y denotado por

b

aI f x dx

se le llama la integral definida de la función f x en el intervalo ,a b . A la función f se le conoce como integrando y a la

variable x como integrador. De acuerdo con esta definición, la integral definida es el área limitada por la gráfica de la función f , las rectas x a y x b y el eje de las abscisas.


10

Teorema. Si se tiene una función y f x y es continua en un intervalo cerrado ,a b , entonces la integral definida

0 1

limnb

i iai

f x dx f x

existe.

Puede haber funciones no continuas en un número finito de puntos en el intervalo y sin embargo para las cuales la integral definida exista. Ejemplo. Evaluar la integral definida

24

1

44

x dx

Considerar subintervalos iguales y tomar el valor medio de cada subintervalo para evaluar la función.

A

a b

y

x

y f x

b

aA f x dx


11

Ejemplo. Evaluar la integral definida

9

1

52

x dx

Considerar subintervalos iguales y tomar el valor medio de cada subintervalo para evaluar la función.


12

Propiedades de la integral definida Teorema. Sean f x y g x dos funciones continuas en el intervalo cerrado ,a b , " "c un valor de x perteneciente a este intervalo y " "k una constante. Entonces:

)b

ai dx b a

a b

x

1f x

A b a

y

1

A


13

)b

aii k dx k b a

)b b

a aiii k f x dx k f x dx

) 0a

aiv f x dx

)b a

a bv f x dx f x dx

A

a b

y

x

1y

b

aa

b

A dx b a

dx a b b a

a bx

f x k

A k b a k

y

A

a

y

x

y f x

0A


14

)b b b

a a avi f x g x dx f x dx g x dx

) ; ,b c b

a a cvii f x dx f x dx f x dx c a b

) ; ,b b

a aviii f x g x x a b f x dx g x dx

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL

Sea la función f continua en un intervalo cerrado ,a b . Entonces existe al menos un valor ,c a b para el cual se cumple que:

b

af x dx f c b a

donde a f c se le conoce como la ordenada media. Prueba.

y f x

y

x a b

y

xc

y

b

cf x dx c

af x dx

c x

b

af x dx

y f x y f x

a a b


15

Ejemplo. Obtener la ordenada media de la integral definida

8

2

2 2 3;

8 3 8x si x

f x dx f xx si x

a b

y

x

y f x

b

af x dx

a b

y

x

f c b a

y f x


16

INTEGRAL INDEFINIDA

Definición. Sea f una función definida en un intervalo cerrado

,a b y supóngase que existe otra función F continua en ,a b y derivable en ,a b de manera que se cumple que:

,dF x

f x x a bdx

Entonces a F se le llama la integral indefinida o la antidiferencial de f en ,a b y se puede escribir

F x f x dx Si F existe, entonces se dice que la función f es integrable. Ejemplo. Algunas antidiferenciales son:

3x es la antidiferencial de 23x dx tanx es la antidiferencial de 2sec x dx

lnx es la antidiferencial de dxx

Entonces una diferencial dada puede tener un número indefinido de antidiferenciales. Considérense las parábolas

2 2 2

1 ; ; 32 2 2x x xy y y

Las tres tienen como diferencial a dy x dx . Luego la antidiferencial de x dx no corresponde a un solo valor, por lo que es necesario introducir una constante conocida como “constante esencial y arbitraria”, de tal forma que se puede escribir entonces:


17

Antidiferencial de 2

2xx dx C que se puede escribir también

como 2

2xx dx C . Luego

f x dx F x C donde C es la constante esencial y arbitraria de integración. Dado que la integral indefinida equivale a la antidiferencial, es entonces la operación inversa a la derivada. Por lo que de aquí se desprende la siguiente expresión algebraica para integrar a la función identidad elevada a un exponente real:

1

; 11

nn xx dx C n

n

Prueba. 1 11 10

1 1

nnnn xd x C x

dx n n

Dos propiedades importantes que vale destacar y que ya se vieron para el caso de la integral definida son las siguientes:

;k f x dx k f x dx k

f x g x dx f x dx g x dx

Ejemplo. Resolver las integrales indefinidas:

5 22) 4 ; ) ; ) 5dxi x dx ii iii x x dx

x


18

Ejemplo. La potencia desarrollada por el motor de un vehículo en los primeros tres segundos de marcha está dada

por la expresión 2625

P t , en donde t está en segundos y P en

watts. Calcular el trabajo desarrollado en ese tiempo, así como la potencia promedio.

Integral definida con el límite superior variable Sea la integral definida b

af x dx . Si se hace x u y se cambia

el límite superior de la integral por " "x , se tiene que: x

af u du

Como se observa, el resultado de esta integral queda como función de " "x .

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea una función f continua en un intervalo ,a b y un cierto valor ,x a b . Si F es otra función definida a través de

x

aF x f u du , entonces se cumple que

dF x

f xdx


19

Prueba.


20

Regla de Barrow

Sean las funciones f y F continuas en el intervalo ,a b , tales

que dF x

f xdx

. Entonces se cumple que:

b

af x dx F b F a

Prueba. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo y la definición de la integral indefinida, se puede escribir lo siguiente:

x

af u du F x C

Si se hace x a se llega a 0a

af u du F a C , de donde

C F a .

Si se hace x b se llega a b

af u du F b C

Pero como C F a se tiene que b

af u du F b F a y, al

cambiar u por x , finalmente se obtiene b

af x dx F b F a

Ejemplo. Resolver la integral 3 2

12 5X dx


21

Ejemplo. La intensidad de corriente que pasa por un cable está dada por 2 3i t donde i es la intensidad de la corriente en amperes y t el tiempo en segundos. Calcular la cantidad de carga eléctrica que pasa por este cable en el intervalo de 1 4t s a t s , así como la intensidad de corriente promedio en dicho intervalo. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON SOLUCIONES LOGARÍTMICAS La primera fórmula, que ya se trató, es:

lndu u Cu

Ahora se presentarán y verificarán otras que involucran a funciones logarítmicas en su solución.

tanudu

tan ; coscos

ln ln cos ln sec

tan ln cos ln sec

senuudu du v u dv senuduu

dv v C u C u Cv

udu u C u C

cotudu


22

coscot ; cos

ln ln

cot ln

uudu du v senu dv udusenu

dv v C senu Cv

u senu C

secudu

Se multiplica y divide por el binomio sec tanu u y se obtiene:

2

2

sec sec tan sec sec tansecsec tan sec tan

sec tan sec tan sec

ln ln sec tan

sec ln sec tan

u u u u u uudu du duu u u u

v u u dv u u u du

dv v C u u Cv

udu u u C

cscudu

Se multiplica y divide por el binomio csc cotu u y se llega a:

2

2

csc csc cot csc csc cotcsccsc cot csc cot

csc cot csc cot csc

ln ln csc cot

csc ln csc cot

u u u u u uudu du duu u u u

v u u dv u u u du

dv v C u u Cv

udu u u C

2 2 2 21; constante ln

2du du u aa C

a u au a u a


23

2 2 2 21; constante ln

2du du a ua C

a a ua u a u

2 2

2 2 2 2lndu du u u a C

u a u a

Al resolver integrales de este tipo, es importante considerar el dominio de la función, lo que las pude hacer muy diferentes en cuanto a resultados. Ejemplo. Resolver las siguientes integrales:

22 2

2seccot 5) tan 1 ; ) ; ) ; )2

x xxi x x dx ii dx iii dx iv dxx sen xx


24

Ejemplo. Resolver las integrales siguientes:

2 2 22) ; ) ; ) ; )

9 16 25 4 8 949 1dx dx dx dxi ii iii iv

x x x xx

2 2 2

2) ; ) ; )8 6 81 108 32 6 4 1

dx dx dxv vi viix x x x x x


25


26

Ejemplo. Resolver las integrales:

22

3 4 11) ; )2 7 42

x xi dx ii dxx xx x

22

4 5 3 2) ; )1 6 94 8 10

x xiii dx iv dxx xx x


27


28

REGLA DE L’HOPITAL Cuando se resolvían límites se habló de las formas indeterminadas al calcular sus valores. Éstas pueden ser las siguientes:


29

0 00 , , 0 , , 0 , ,10

En este tema se tratará el cómo quitar la indeterminación en estos casos y lograr encontrar el valor del límite ya sea si existe o no. Primero se verá un teorema del célebre matemático francés Agustín Cauchy. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY Sean f y g continuas en un intervalo cerrado ,a b y diferenciables en el intervalo abierto ,a b , y sea

' 0 ,g x x a b . Entonces existe un número ,c a b tal que:

''

f b f a f cg b g a g c

TEOREMA. REGLA DE L’HOPITAL Supónganse las funciones f y g diferenciables en cada punto de un intervalo abierto ,a b que contiene al valor " "c excepto posiblemente en este valor; y sea ' 0g x para toda x c en el intervalo. Sea también L que denota tanto un valor

real o bien o , y supóngase que

f xg x

es una forma

indeterminada en " "c . Luego, si

'lim

'x c

f xL

g x , entonces

limx c

f xL

g x .

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si en el límite de este cociente se vuelve a presentar una


30

indeterminación de las formas 00

o

, se repite nuevamente

la Regla de L’Hopital hasta que el resultado esté determinado o no exista el límite.

Prueba. Sea

f x

g x una forma indeterminada en el valor de " "c

del tipo 00

y supóngase que

'lim

'x c

f xL

g x , donde " "L es un valor

real. Lo que se desea probar es que

limx c

f xL

g x . Primero se

presentarán las funciones F y G de la siguiente forma:

;0 0f x si x c g x si x c

x G xsi x c si x c

Ambas funciones así definidas son continuas en " "c ya que:

lim lim 0

lim lim 0x c x c

x c x c

F x f x F c

G x g x G c

Además ' ' ' 'F x f x y G x g x para toda " "x en el intervalo dado, con excepción posiblemente en " "c . Como las condiciones del Teorema del Valor Medio de Cauchy son conocidas para las funciones F y G, tanto en el intervalo

,x c como en el ,c x , existe un valor " "u entre c y x tal que:

' '' '

F x F c F u f uG x G c G u g u

De la definición de las funciones se puede escribir que

''

f x f ug x g u


31

Como " "u está entre c y x , del teorema del emparedado para límites se concluye que:

'lim lim

'x c u c

f x f uL

g x g u

Un argumento similar puede ser usado si L es “infinito”. La

prueba cuando

f xg x

es una forma indeterminada del tipo

puede encontrarse en libros de cálculo avanzado. Se puede justificar el uso de la Regla de L’Hopital cuando

c para la forma indeterminada del tipo 00

por el siguiente

argumento: en

limx

f xg x

sea 1xu

. Entonces, como x ,

entonces 0u , y

0 0

2

0 0

2

1 1

lim lim lim1 1

1 1' 'lim lim

1 1 ''

x u u

u u

df ff x u du udg x g g

u du u

f f xuu Lg xg

uu

Un caso similar se presenta cuando c . Como se ha visto, esta regla de L’Hopital se puede aplicar para

resolver las formas indeterminadas 00

y

. Ahora se

resolverán algunos ejercicios de límites para ilustrar la aplicación de esta novedosa regla:


32

Ejemplo. Calcular el valor de los límites siguientes: 2

0 0 0

ln2) lim ; ) lim ; ) lim1 cos cscx x x

xsensenx xi ii iiix x x


33

Ejemplo. Obtener el valor de los límites:

2

30 1

0

tan1 2 4) lim ; ) lim1

6 2) lim

x

x x

x x

x

ang xe xi ii

xx

iiix


34

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:

2 02

0

8 2 1) lim ; ) lim2 1 cos4

1 cos) lim

xx

x

xi iix senx xx

xiiisenx x


35

Ejemplo. Determinar el valor de los límites siguientes:

2

0

02

) lim csc ; ) lim cot

) lim ln ; ) lim 2 secx x

x x

i x x ii x x

iii x x iv x x


36

Ejemplo. Obtener el valor de los siguientes límites:

0

12 csc3

0

1) lim 1 ; ) lim csc

5) lim ; ) lim cos2

xx

x x

x x

x x

i ii xx

iii iv x xx


37


38

INTEGRALES IMPROPIAS

En integración se pide que la función sea continua en el intervalo considerado y que además éste sea finito. En este tema se pretende estudiar un cierto tipo de integrales en las cuales uno o los dos límites de integración son el infinito o bien, cuando el integrando considera una función con un número finito de discontinuidades en el intervalo de integración en estudio. A estas integrales se les llamará integrales impropias. Supóngase que se tiene una determinada función " "f que es continua en un intervalo semiabierto ,a y que es siempre positiva, y considérese además que:

lim 0x

f x

La gráfica de esta función se muestra a continuación:

Si como se observa en la figura, t a , entonces el área A t bajo la curva, entre las rectas de ecuaciones x a y x t está dada por la expresión:

t

aA t f x dx

Si en esta expresión el límite limt

A t

existe, entonces puede ser interpretado como el área de la región limitada bajo la curva f x , sobre el eje " "x y hacia la derecha del valor x a . El

f

x t

y

a

A t


39

símbolo a

f x dx

es usado para denotar este valor. Así, es posible resolver esta área de la manera siguiente:

limt

a atA t f x dx f x dx

También podría presentarse el siguiente caso en el que una función presenta una discontinuidad en el intervalo en estudio. Así, sea la función " "f y el intervalo ,a b , con su gráfica dada por:

Esta función presenta una discontinuidad en x c por lo que para calcular la integral entre los valores x a y x b , esto es, el área bajo la curva señalada en la figura, se podría hacer mediante las siguientes integrales:

lim limb c b p b

a a c a qp c q cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

Otro caso que se podría presentar es el que se muestra en la figura:

x

y

f

a c b

y f

x


40

Aquí la integral f x dx

o bien, el área bajo la curva, se podría resolver de la manera siguiente, “partiendo” en dos al área requerida:

0

00

0lim lim

q

pp q

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

Ahora se presenta una definición para estas integrales donde uno o los dos límites son el infinito o cuando existen puntos de discontinuidad en el intervalo en estudio. DEFINICIÓN. )i Sea la función f continua en el intervalo ,a . Entonces el

área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva y hacia la derecha de x a de manera indefinida, se obtiene a partir de la siguiente integral conocida y definida como integral impropia:

limt

a atf x dx f x dx

si el límite existe. )ii Sea la función f continua en el intervalo , b . Entonces,

el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva y hacia la izquierda de x b de manera indefinida, se obtiene a partir de la siguiente integral conocida como integral impropia:

limb b

ttf x dx f x dx

si el límite existe.

)iii Sea la función f continua en el intervalo , . Entonces, el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva y que se abre indefinidamente hacia la izquierda y derecha en


41

el eje de las abscisas, se obtiene a partir de las siguientes integrales conocidas como integrales impropias:

lim lim

a

a

a

pp qa


f x dx f x dx

si los límites existen. El valor x a pertenece al intervalo.

)iv Sea la función f continua en el intervalo , ,a c c b . Entonces, el área bajo la curva, limitada por los valores extremos del intervalo y considerando el punto de discontinuidad en x c se obtiene a partir de las siguientes integrales conocidas como integrales impropias:

lim lim

b c b

a a cp b

a qp c q c


f x dx f x dx

Si los límites existen. En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral impropia es convergente y que el valor del límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia es divergente. Cuando la integral original se divide en dos integrales, ambas deben ser convergentes para que la integral original sea convergente. Si una es divergente o las dos lo son, la integral original es divergente. Ejemplo. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. Asimismo, realizar una gráfica de ambas y analizar si existe una relación entre ellas.

22 2

1 1) ; )11

i dx ii dxxx

Solución.


42

22

1)1

i dxx

21dx

x

22

2

11

111

duu x du dx u du Cuu

dx Cxx

2 22 22

1 1 1 1 1lim lim lim 11 1 2 11 1

tt

t t tdx dx

x tx x

22

1 1 convergente1

dxx

2

1)1

ii dxx

1dxx

2

1 ln

ln 11

duu x du dx u Cu

dx x Cx

22 2

1 1lim lim ln 1 lim ln 1 ln11 1

t t

t t tdx dx x t

x x

2

1 divergente1dx

x

Las gráficas de ambas funciones se muestran a continuación:


43

Ejemplo. Asignar un área a la región que queda comprendida

bajo la curva 2

xey , sobre el eje " "x y a la izquierda de 2x .

1 2 3

1

4 x

y

2

4

3

5

11

yx

Asíntota: 1x

1 2 3

1

4x

y

2

4

3

211

yx

Asíntota: 1x


44

Ejemplo. Calcular la integral impropia 22

1dx

x

. Para ello,

trazar la gráfica de la función del integrando e interpretar la integral como un área. Solución. Se grafica la función del integrando y se obtiene:

Se divide en dos partes la región, se utiliza la integral impropia y se obtiene:

x

22

1y

x

y


45

0

2 2 20

2 2 21 1 1dx dx dx

x x x

0

2 20

2 2lim lim1 1

q

pp qdx dx

x x

La resolución de la integral indefinida está dada por:

2 22 2 2 tan

1 1dxdx ang x C

x x

Luego, dada la simetría de la figura, bastará con calcular una de las integrales y si es convergente, su valor finito, multiplicado por dos, equivaldrá al área de la región, esto es, al valor de la integral impropia. Así,

2 00

2lim lim 2 tan1

lim 2 tan 2 tan0 22

q q

q q

q

dx ang xx

ang q ang

Por lo tanto 22 2

1dx

x

y la integral impropia es

convergente. Ejemplo. Analizar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia y graficar la función del integrando.

3

1 24 3dx

x x


46


47

Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia. Graficar la función y el área que se obtendría con el cálculo de la integral impropia si es que es convergente.

8

2034

dx

x


48

Ejemplo. Determinar si la siguiente integral impropia converge o diverge y graficar el área que de ser convergente determinaría con su valor:

1

3 1dx

x


49

Ejemplo. Calcular la integral impropia siguiente: 2xxe dx


50

Nota. Si se hubiera pedido calcular el área bajo la curva, se tendría que haber hecho lo siguiente: se grafica la función y se tiene:

Como se observa, existe simetría con respecto al origen, por lo que se entiende que el resultado de la integral impropia haya sido cero ya que se trata de dos áreas de igual valor absoluto pero diferente signo. Para calcular el área habría que calcular una sola parte y después multiplicar por dos el resultado, lo que equivale, si se toma la parte de la derecha del eje de las ordenadas, a:

2 2 2

0 0

12 lim 2 1 12

qx x

qA xe dx xe dx A u

Ejemplo. Evaluar la integral definida siguiente, trazar el área que considera y resolverla:

2

31

dxx

Solución. Primero se hace una gráfica aproximada del problema planteado y:

x

y

1

1

1

2xy xe

1


51

La integral impropia, para resolverse, se expresa como:

2 0 3 2

3 3 3 3 31 1 0 10 0lim lim

p

qp q

dx dx dx dx dxx x x x x

La resolución de la integral indefinida es muy sencilla: 2

33 2

12 2

dx xx dx C Cx x

Luego,

22

3 2 21 0 01

2 20 0

1 1lim lim2 2

1 1 1 1lim lim2 1 2 42 2

p

p qq

p q

dxx x x

p q

Luego la integral impropia es divergente y no asigna área a la región señalada.

x

y

2

1

31yx

31yx

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Cálculo integral. Capítulo 2. Las Integrales Definida e Indefinida