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Segundo Capitulo de calculo integral temas la integral indefinida
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---------------------CAPITULO 2--------------------
17
INTEGRACIÓN
En este capítulo examinaremos el proceso de integración mediante dos pasos: El primero es hallar una fórmula que
nos de todas las funciones posibles que puedan tener a f como derivada, estas funciones son llamadas Antiderivadas de f, y la fórmula que nos lleva a ellas es la integral indefinida de f. El segundo paso es usar el valor conocido de la
función para seleccionar la Antiderivada que en particular queremos para la integral indefinida.
La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas; la naturaleza de esta relación es una de las ideas
más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente) sigue
siendo uno de los avances técnicos más importante de los tiempos modernos.
2.1 ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
_________________________________________________________________________
Definición:
Una función F se denomina Antiderivada de la función f en un intervalo I si xfxF ´ para todo valor
de x en I
La función 23 3xxxF es Antiderivada (o primitiva) de la función xxxf 63 2 , para todo x real,
puesto que
,63´ 2 xfxxxF ,x
La función xarcsenxF es Antiderivada de la función 21
1
xxf
en el intervalo 1,1 pues
,1
1´
2xf
xxF
1,-1x
Del ejemplo 2.1 otra Antiderivada de f es la función x definida por
53 23 xxx , ya que )(63' 2 xfxxx Por consiguiente si F y son antiderivadas de una función f , entonces difieren en una constante C , es
decir CxFx )()(
Ejemplo 2.1:
Ejemplo 2.2:
---------------------CAPITULO 2--------------------
18
Demostración:
Sea H cualquier Antiderivada de f en I . Entonces xfxH para toda x en I (1)
Como F es una Antiderivada particular de f en I xfxF , para toda x en I (2)
De (1) y (2) se tiene que
xFxH para toda x en I
Por teorema: (Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que xgxf para toda x en I,
entonces existe una constante K tal que Kxgxf para toda x en I), existe una constante C tal que
CxFxH )( para toda x en I.
Como H representa cualquier Antiderivada de f en I, toda Antiderivada de f puede obtenerse a partir de
CxF . Por tanto, se ha demostrado el teorema.
La expresión CxF recibe el nombre de Antiderivada general.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.1
En los ejercicios 1-7 Encuentre la Antiderivada general de la función dada.
1. 5612 2 xxxf 5. x
xxf1
3
2. 5
6
xxf 6. 12 xxxf
3. 349 2 xxxf 7. 22sec xxxf
4. 732 23 xxxxf
8. Determine cinco Antiderivadas particulares de la función xxf 2)( y grafíquelas.
2.2 INTEGRAL INDEFINIDA
Teorema 2.1: Si F es una Antiderivada particular de f en un intervalo I ,
entonces cada Antiderivada de f en I está dada por
CxF )(
Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I
pueden obtenerse a partir de la ecuación CxF )( , asignando valores
particulares a C .
---------------------CAPITULO 2--------------------
19
Definición: El conjunto de todas la antiderivadas de la función f es la integral indefinida de f respecto a x , se
denota con el símbolo dxxf . El símbolo (integral) denota la operación Antiderivación o Antidiferenciación.
La función f es el integrando de la integral y x es la variable de integración.
Si F es una Antiderivada de la función f , entonces
CxFdxxf )(
donde )()( xfxF y C una constate real arbitraria
Si { CxF )( } es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f(x), entonces la Antiderivación se
considera como la operación para determinar el conjunto de todas las funciones que tiene una derivada dada.
2.2.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Como la Antiderivación es la operación inversa de la derivación las fórmulas o propiedades de Antiderivación se
obtienen de las fórmulas de diferenciación.
Supongamos que todas las funciones consideradas están definidas y son integrables en un mismo intervalo.
1. La diferencial de la integral indefinida es igual al integrando multiplicado por el diferencial de la variable de
integración.
dxxfdxxfd
2. La derivada de la integral indefinida es igual a la función integrando.
)(xfdxxfdx
d
3. La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria
CxFxdF
En el caso simple Cxdx
4. (Linealidad de dx... .) Sean f y g dos funciones que tienen antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k
una constante. Entonces:
)(i dxxfkdxxkf )()( ;
)(ii dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2.2.2 REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS
---------------------CAPITULO 2--------------------
20
Si es un número racional y , entonces
,1
1
Cr
xdxx
rr
Evaluar dxxx 725 4 .
Usando propiedades y la regla de la potencia para integrales indefinidas, obtenemos
321
25
32
2
1
5
4
44
7257
3 Propy RP 72
25
5
(i) 4 Propiedad 725
(ii) 4 Propiedad 725 725
CCCxxx
CxCx
Cx
dxxdxdxx
dxxdxdxxdxxx
Como 321 725 CCC es una constante arbitraria, puede denotarse por C, de modo que el resultado puede
escribirse como dxxx 725 4 Cxxx 7 25
Verifiquemos que el resultado de la integral anterior es correcto,
Veamos:
Derivamos el miembro derecho de la igualdad, esto es
7257 425 xxCxxxdx
d
Ejemplo 2.3:
Solución:
OBSERVACIÓN: La expresión
recibe el nombre de integral definida de
entre .Los números se llaman límites de integración, siendo el límite inferior y el límite superior.
---------------------CAPITULO 2--------------------
21
2.3 TABLA DE INTEGRALES
Toda fórmula de las derivadas de funciones elementales puede invertirse. De este modo, se obtiene la siguiente tabla
de las principales integrales que son la inversión de las fórmulas fundamentales del cálculo diferencial.
1.
0 ,1 ,1
1
urCr
uduu
rr
2. 0u ,ln Cuu
du
3. 1a0 ,ln
Ca
adua
uu
3.1 En particular, cuando ,ea obtendremos Cedue uu
4. Cuusen cosdu
5. Cu cos senu
6. Ctandu seccos
2
2 uu
u
du
7. Cuuusen
du cotdu csc2
2
8. Cuudu tanseclnu sec
9. Cuuu cotcsclndu csc
10. CuCuu secln)ln(cosdu tan
11. Cu lndu cot senu
12. Ca
usearc
ua
du
n
22
13. Cauuau
du
22
22ln
14. Ca
u
aua
du
arctan1
22
15. Cua
ua
aua
du
ln2
122
16. Cua
ua
aau
du
ln2
122
---------------------CAPITULO 2--------------------
22
17. Ca
usearc
aua
uduua n
22
22222
18. Cauua
auu
duau 22
22222 ln
22
19. Cusenh coshduu
20. Cusenh du cosh u
21. Cu -tanh du sech 2 u
22. uduu coth csch 2
La validez de todas las fórmulas anteriormente aducidas se establece mediante la diferenciación, de la que se
desprende que la derivada de los miembros derechos de estas igualdades es igual a la función subintegral.
Vale notar que si la operación de diferenciación de las funciones elementales lleva siempre a funciones elementales,
la operación de integración puede llevar a funciones no elementales.
Por ejemplo, las siguientes integrales no se pueden expresar mediante funciones elementales.
dxe x
2 (La integral de Poisson)
dxxdxxsen 22 cos , (La integral de Fresnel)
x
dx
ln (Logaritmo integral) 10 x , o bien dx
x
ex
dxx
xsen
(Seno integral), 0x , dx
x
xcos (Coseno integral), 0x
Aunque estas integrales existen en virtud de la continuidad de las funciones subintegrales en sus campos de
definición no son funciones elementales
Cálculo inmediato para las siguientes integrales
1. Caua
audusen cos1
0a , a
2. Cbaua
dubausen cos1
3. Ca
uadu
a
usen cos
4. Causena
audu 1
cos
---------------------CAPITULO 2--------------------
23
5. Cbausena
dubau 1
cos
6. Ca
usenadu
a
u cos
7. Cea
due auau 1
8.
Cea
due baubau
1
9. Caedue a
u
a
u
Calcular las siguientes integrales
a) dxxxxx
3
494
1
23 2 b) dt
t
tt
12 24
c) dxx
x
2
3
3 3
d)
1
0 11 xxx
a) dxxxx
dxxxxx
3
49 3
494
1
25
32
41
23 2 Reescribiendo
dxxxx
349 4
12
53
2
dxdxxdxxdxx 349 41
25
32
Cxxxx
3
45
23
4
31
94
52
33
1
OBSERVACIÓN: Para un mejor entendimiento de los ejemplos dados a continuación se debe tener en cuenta las propiedades, reglas de la integral indefinida y las fórmulas de la tabla de integrales.
Ejemplo 2.4:
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
24
Cxxx
x 35
4
3
827 4
5
23
31
b) dtt
ttdt
t
tt
21
2424 1212
dtt
dtt
tdt
t
t
21
21
2
21
4 12 Propiedad de los cocientes y linealidad
dttdttdtt
2
12
32
7
2
Cttt 2
12
52
9
25
4
9
2
c) dxx
xdxx
x
3
3
2
3
3 96
3 Desarrollando el producto notable
dxxdxdxx
3396
C
xxxC
xx
x
2
424
2
96
4
1
2
96
4
Para abordar la integral d) del ejemplo 2.4 debemos tener en cuenta la siguiente observación.
d) Calculamos la integral indefinida
dxxxxdxxxx
1111 2
12
1 Reescribiendo
dxx
12
3
Efectuando operaciones
Cxx 25
5
2
Por tanto, la integral definida es
OBSERVACIÓN: Como la integral indefinida de f es una Antiderivada, el
teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas e indefinidas como sigue
)()()()()( aFbFCxFdxxfdxxf b
a
b
a
b
a
Entonces, puede evaluarse integrales definidas de una función f si se conoce su
integral indefinida.
---------------------CAPITULO 2--------------------
25
Calcular las siguientes integrales.
a)
dxxx
x
3
21
b)
dxx
xx
5
2332 c) dx
x
xx
4
22
1
11
a)
dx
xx
xxdx
xx
xxdx
xx
x
2
2
3
2
3
2
1
21211
dxxx
dxxx
xdx
xx
x
222
2
1
21
1
2
1
1
1
22x
dx
x
dx
Cxx arctan2ln
b)
dxdxdxdxdxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
5
23
5
32
5
23
5
32
5
2332
dxdx
xx
5
23
5
32
C
xx
52ln
52
3
53ln
53
2
c)
dxxx
xxdx
x
xx
22
22
4
22
11
11
1
11
Ejemplo 2.5:
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
26
Cxxarcsenx
x
dx
x
dx
dxxx
x
xx
x
dxxx
xx
2
22
22
2
22
2
22
22
1ln
11
11
1
11
1
11
11
En algunos casos, empleando transformaciones idénticas de la función subintegral, la integral dada puede reducirse a otra, a la que podemos aplicar las reglas principales de integración y utilizar la tabla de integrales.
2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE LA VARIABLE
La sustitución de la variable es uno de los procedimientos principales de la integración de funciones.
Dada la integral indefinida , sea xgu y dxxgdu ' .
Si F es una Antiderivada de f , entonces
CxgFCuFduufdxxgxgf `
En la práctica la función xgu se elige de modo que la integral en el miembro derecho sea más simple que la
inicial, es decir una vez reconocido el factor xg , el problema puede resultar tan sencillo que hasta sea posible
resolverlo mentalmente, además el éxito depende muchas veces de algunos artificios adicionales y de la manipulación algebraica que usted tenga.
Calcular las siguientes integrales.
a) dxxx 132
b)
dx
x
x2cos
tan35 c)
22 1ln1 xxx
dx
d)
dbae
bae e) dxex
xx
2
13 2 f)
221 xarcsenx
dx
g) xsen
dx
1 h) xbxsena
dx2222 cos
dxxgxgf '
Ejemplo 2.6:
---------------------CAPITULO 2--------------------
27
a) dxxx 132
De entrada, observa que el término 2x está relacionado con la derivada de 3x . Si hacemos la sustitución
13 xu , tenemos que su diferencial es dxxdu 2
3 . Al reunir tales resultados, expresamos la integral en
términos de la variable u :
Cu
Cu
Cu
duuduu
duu
dxxx
23
23
23
21
21
221
3
9
2
3
2
3
1
233
1
3
1
3 1
Finalmente, al sustituir el valor de u , obtenemos
Cxdxxx 2
3322
13 1
9
21
b)
dxx
x2cos
tan35
Reescribiendo la integral dada
xdxxdxx
xdxx
x 221
22sectan35
cos
1tan35
cos
tan35
Hacemos xdxdu
xdxduxu 22 sec3
sec3 tan35 , por tanto
Cx
Cuduudu
dxx
xu
2
3
23
21
21
2
tan359
2
3
2
3
1
3
1
3cos
tan35
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
28
c)
22 1ln1 xxx
dx
Reescribiendo la integral obtenemos,
2222 11ln
1
1ln1 x
dx
xxxxx
dx
Hacemos la sustitución
21ln xxu
dxx
x
xxdu
22 11
1
1
dxx
xx
xxdu
2
2
2 1
1
1
1
21 x
dxdu
Sustituyendo en la integral, se tiene
duuxxx
dx 1
1ln1 22
Cxx
Cu
duu
2/12
2/1
2/1
1ln2
2
d)
dbae
bae
Sumamos y restamos la expresión ae en el numerador de la integral dada, luego
---------------------CAPITULO 2--------------------
29
212
2
2
2
ddbae
aed
bae
ae
dbae
bae
bae
ae
dbae
baeae
dbae
baeaed
bae
bae
Hacemos
daedu
baeu
, entonces
Cbae
Cuu
dud
bae
bae
2ln
ln22
e)
dxex
xx
3
13 2
En este caso, la integración es casi inmediata, ya que si definimos xxu 3 , entonces dxxdu 13 2 ; de
manera que, al sustituir e integrar resulta
Ceduedxex uuxx
3
13 2
En términos de la variable original, obtenemos:
Cedxex xxxx
3
3
13 2
f)
221 xarcsenx
dx
Si hacemos la sustitución, 21 x
dxduarcsenxu
, la integral resulta casi inmediata;
221 xarcsenx
dx du
u2
1
duu 2
Cu 1
---------------------CAPITULO 2--------------------
30
Carcsenx 1)( , donde arcsenxu
Carcsenx
1
g) xsen
dx
1
Multiplicando el numerador y el denominador por senx1 se obtiene:
dxxsen
xsen
1
12
dx
x
xsen
xdx
x
xsen222 cos
cos
1
cos
1
dxx
xsenx
2
2
cos
sec
dx
x
xsenxdx
2
2
cos
sec
dxx
senxx
2costan
En la integral del miembro derecho hacemos xdxsenduxu cos , luego
CxxCx
x
Cu
xCux
duuxu
dux
xsen
dx
sectancos
1tan
1tantan
tantan 1
1
2
2
h) xbxsena
dx2222 cos
Dividimos el numerador y el denominador del integrando por x2cos , esto es
222
2
2
2222
2
2222 tan
sec
cos
cos
cos
1
cos bxa
xdxdx
x
xbxsena
x
xbxsena
dx
Sea xdxduxu 2sectan , por tanto:
dxxsen
xsen
xsenxsen
dx
1
1
1
1
1
---------------------CAPITULO 2--------------------
31
xudondeCxb
a
ab
Cub
a
b
a
a
a
bu
du
abua
du
xbxsena
dx
tan ,tanarctan1
arctan1
1
cos
2
2
2
22222222
La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:
Calcular las integrales:
a) dxe
e
x
x
1
2
b)
12 xx
dx
a) dxe
e
x
x
1
2
Hacemos 1 xeu , expresamos x en función de u ,
1ln 221
21 uxueeu xx , entonces
duu
udx
1
22
, luego la integral dada nos queda
Ejemplo 2.7:
OBSERVACIÓN: La mayor parte de los problemas de sustitución resultan mucho más fáciles si se recurren a estos trucos de expresar x en función de u y dx en función de du en vez de hacer lo contrario, es decir,
xgu ugx 1 y duugdx
1
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
32
Cee
Cee
Cuuduu
duu
u
u
udx
e
edx
e
e
xx
x
xx
xx
x
21
23
3
32
2
222
1213
2
23
2
23
212
1
21
11
11
2
b)
12 xx
dx
Hacemos 1 xt , expresando x en función de t obtenemos:
12 tx entonces tdtdx 2 , por consiguiente
Ct
t
dt
tt
tdt
xx
dx
arctan2
12
1
2
12
2
2
En términos de la variable original x , obtenemos
1 donde ,1arctan2
12
xtCx
xx
dx
La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:
Calcular la integral dxx
xx
1
332
OBSERVACIÓN: En algunas integrales el integrando es el cociente de dos polinomios en el cual el grado del numerador es mayor o igual que el denominador (fracción racional impropia). En estos casos la integral resulta sencilla si aplicamos la división de polinomios y el algoritmo de la división de estos.
Solución:
Ejemplo 2.8:
---------------------CAPITULO 2--------------------
33
Realizamos la división algebraica de Polinomios
Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene
1
74
1
332
xx
x
xx
Reescribiendo la integral dada, tenemos
Cxxx
x
dxdxxdx
dxx
xdxx
xx
1ln742
174
1
74
1
33
2
2
La observación anterior se ilustra en los siguientes ejemplos:
a) 12 xx
dx b) dx
xx
x
2432
23
a) 12 xx
dx
Completando cuadrado en 12 xx se tiene
332 xxxx 2
34 x44 x7
1x4x
Ejemplo 2.9:
Solución:
OBSERVACIÓN: Si una integral implica una expresión de segundo grado de la forma , o la raíz cuadrada de tales expresiones, ésta se puede reducir a una integral inmediata completando cuadrado
---------------------CAPITULO 2--------------------
34
22
222
2
11
2
111
xxxxxx
4
3
2
12
x
Reescribiendo la integral dada tenemos
4
3
2
11 22
x
dx
xx
dx, Ahora
Hacemos dxduxu 2
1 y
2
3
4
32 aa , luego
Ca
u
aau
du
xx
dx
arctan1
1 222
Reemplazando 2
1 xu y
2
3a obtenemos:
C
x
xx
dx
2
3
2
1
arctan
2
3
1
12
Cx
3
12arctan
3
2
b) dxxx
x
2432
23
Completando cuadrado en 2432 xx se tiene
2
1
4
34432 22 xxxx
2
2
2
2
22
22
8
3
64
414432
64
41
8
34432
2
1
8
3
8
3
4
34432
xxx
xxx
xxxx
---------------------CAPITULO 2--------------------
35
Reescribiendo la integral dada:
dx
x
x
dx
x
xdx
xx
x
2
22
8
3
64
41
23
2
1
8
3
64
414
23
432
23
Hacemos 8
3
8
3 uxdxduxu
8
41
64
412 aa
Reemplazando en la integral, obtenemos:
du
ua
u
duua
u
dxxx
x
22222
28
93
2
12
8
33
2
1
432
23
duuaua
udu
ua
u
222222
825
3
2
18
253
2
1
2222 16
25
2
3
ua
dudu
ua
u
Sea
duua
uA
22 y
22 ua
duB
Desarrollando A
Sea ududtuat 222
1
2
1
22
1
21
21
21
2
1
21
4322
1
2
1
2
1
C)( -A
CuaCtA
A
xx
dtt
t
dt
---------------------CAPITULO 2--------------------
36
Por otra parte, la integral B es inmediata
2
22C
a
uarcsen
ua
duB
2241
388
3
8
41CCB
xarcsen
x
arcsen
, por tanto
Cx
arcsenxxdx
xx
xBA
41
38
16
25432
4
3
16
25
2
3
432
23 2
2
2.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje natural para describir fenómenos de diversas áreas de la ciencia y la
ingeniería. Sin profundizar, expresamos que una ecuación diferencial es una relación que incluye una función y sus
derivadas; su objetivo consiste en determinar la función que satisface tal relación. Aquí juegan un papel vital los
métodos de integración; sin embargo, el campo de las ecuaciones diferenciales es tan amplio que solo trataremos
las llamadas ecuaciones diferenciales separables.
2.5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición:
Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependiente con respecto a una o más
variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.
2.5.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE ORDEN n
Una ecuación en la que aparece nyyyyx ``,....,`,,, , donde y es una función de x y ny es la esiman
derivada de y con respecto a x , es una ecuación diferencial ordinaria de orden n , es decir una ecuación de la
forma 0`,...,,, nyyyxF , donde xfy es la función que se busca. Los siguientes ejemplos son ecuaciones diferenciales ordinarias de orden especificado
Orden 1: 13` xy o bien 13 xdx
dy
Orden 2: 015
3
2
2
2
y
dx
dyx
dx
yd
2.5.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES
---------------------CAPITULO 2--------------------
37
Definición:
Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede escribir de la forma yh
xg
dx
dy o bien
dxxgdyyh
El tipo más simple de una ecuación diferencial de variables separables es una de primer orden, de la forma
xgdx
dy o bien dxxgdy
El ejemplo siguiente ilustra la observación anterior:
Verifique que 16
4xy es una solución de la ecuación diferencial 2
1
xydx
dy en el intervalo , .
Una manera de verificar que la función dada es solución, es escribir la ecuación diferencial como
021
xydx
dy, pero
16
4xy Entonces
4
3x
dx
dy
Reemplazando en la ecuación dx
dy y y se tiene:
0164
21
43
xx
x
00
044
33
xx
Método de Solución
Para resolver una ecuación diferencial de variables separables, solo tenemos que reescribir la ecuación con las
variables separables, es decir, dxxgdyyh , integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:
dxxgdyyh
Solución:
Ejemplo 2.10:
OBSERVACIÓN: La expresión 0, yxH es solución, si al sustituir ', yyx y en la
ecuación diferencial yh
xgy se produce una identidad
---------------------CAPITULO 2--------------------
38
Si yH es la Antiderivada de yh y xG es la Antiderivada de xg , entonces
21 CxGCyH CxGyH Solución General, donde 12 CCC constante
arbitraria.
Esta última ecuación representa una familia de funciones que depende de una constate arbitraria C, por lo que se denomina familia de funciones de un parámetro.
Las gráficas de estas funciones forman una familia de curvas de un parámetro en un plano, y sólo una curva de esta
familia pasa por cualquier punto particular 00 , yx
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Suponga que se desea encontrar la solución completa de la ecuación diferencial
xdx
dy2
Al separar las variables y escribir la ecuación con diferenciales se obtiene: xdxdy 2
Si se antiderivan los dos miembros de la ecuación se tiene:
xdxdy 2
2
2
1 CxCy
Como C2 – C1 es una constante arbitraria, entonces se puede reemplazar por C; obteniéndose
Cxy 2
La cual es la solución completa de la ecuación diferencial. La ecuación Cxy 2 representa una familia de
funciones de un parámetro. La figura 2.1 muestra las graficas de las funciones que corresponden a
2,1,0,1, CCCC
---------------------CAPITULO 2--------------------
39
(Figura 2.1): Familias de curvas de la ecuación
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
a) 01 ydxdyx b) 032 dx
dyxxyy
c) yxedx
dy 23
d) 322
2
xdx
yd
a) 01 ydxdyx Separando variable, tenemos
x
dx
y
dy
ydxdyx
1
1
Integrando ambos miembros, se tiene
Solución:
Ejemplo 2.11:
---------------------CAPITULO 2--------------------
40
Cxy
x
dx
y
dy
1lnln
1
kexky
exy
eey
ey
C
C
Cx
Cx
donde 1
1
1ln
1ln
b) 032 dx
dyxxyy
Separando variables, se obtiene
ox
dxx
dyy
yy
dx
dyyx
2323
Integrando ambos miembros
x
dxdy
y
x
dxdy
y
y
23
1
23
Cxyy ln2ln3
yCxy 23 lnln
yCyx 32ln
y
C
yCyC
eeyx
eeeyx
1
.
32
32
Cy ekkeyx donde 32
c) yxedx
dy 23
Separando variables tenemos
032 dx
dyyxy
---------------------CAPITULO 2--------------------
41
dxedye
e
e
dx
dy
eedx
dy
xy
y
x
yx
32
2
3
23
Integrando en ambos lados de la igualdad se tiene
dxedye xy 32
En la integral izquierda, hacemos dyduyu 22
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1CeCeduedye yuuy
En la integral derecha, hacemos dxdtxt 33
2
3
2
3
3
1
3
1
3
1CeCedtedxe xttx
Por lo tanto, reemplazando se obtiene
12
32
2
3
1
2
23,23
3
1
2
1
CCCCee
CeCe
xy
xy
donde
d) 322
2
xdx
yd
Recuerde que dx
dy
dx
dy
dx
d
dx
yd ´2
2
, luego
32´
xdx
dy
Separando variables se tiene que dxxdy 32´
Integrando ambos miembros, tenemos que
Cxxy
dxxdy
3´
32´
2
Pero dx
dyy ´ , entonces
Cxxdx
dy 32
---------------------CAPITULO 2--------------------
42
Separando variables nuevamente, se obtiene
KCxxxy
Cxxdy
dxCxxdy
23
2
2
2
3
3
1
3
3
2.6 ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON CONDICIÓN INICIAL
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de variable separable, xh
xg
dx
dy
Sujeta a la condición inicial 0yy cuando
0xx o bien, 00 yxy
Supongamos que CxGyH es la solución general de la ecuación diferencial, entonces reemplazando los
valores particulares de 0xx y
0yy en la solución se tiene que:
CxGyH 00, despejando C , tenemos que
KxGyHC 00 sustituyendo el valor de KC en la solución se obtiene que
KxGyH Solución particular
En resumen la solución de la Ecuación Diferencial con la condición inicial 00 yxy
está dada por la expresión
x
x
y
ydxxgdyyh
00
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen las condiciones iniciales que se indican
a) ;´ yxyyx
4y cuando 9x
Ejemplo 2.12:
0, yxH es solución de la ecuación diferencial con la condición inicial
0yxy o si es solución y, además, 0, 00 yxH .
---------------------CAPITULO 2--------------------
43
b) ;1 xx edx
dyye
10 y
a) Separando variables, se tiene
dx
x
x
y
dy
xydx
dyx
xyydx
dyx
21
21
21
21
21
21
21
1
1
Integrando ambos miembros
dxxxdyy
dxx
x
y
dy
2
12
12
1
21
21
1
Cxxy 23
21
21
3
222
Pero 4y cuando 9x , entonces
201864
93
29242 2
32
12
1
CC
C
Por lo tanto la solución particular es
203
222 2
32
12
1
xxy
103
12
32
12
1
xxy
b) Separando variables, se tiene
dxe
eydy
dxeydye
x
x
xx
1
1
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
44
Integrando
dx
e
eydy
x
x
1
Key
Cey
x
x
1ln2
1ln22
2
Donde KC 2
Pero 1y cuando 0x , entonces:
4ln2lnln2ln212ln21
1ln21
2
02
eKeKK
Ke
Reemplazando el valor de4
lne
K en la solución se obtiene:
2
41
41ln
4ln1ln
4ln1ln2
2
22
22
2
yx
x
x
x
ee
e
eey
eey
eey
2
21
2
21
2
2
2
2
2
21
21
41
41
yx
Y
x
yx
yx
eee
e
ee
e
ee
e
ee
Hallar la ecuación de la curva cuya pendiente en un punto cualquiera es igual a 2xy
y que pasa por el
punto particular 11,
Ejemplo 2.13:
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
45
La pendiente de la curva en un punto cualquiera es dx
dy, entonces
2x
y
dx
dy
Separando variables
2x
dx
y
dy
Integrando ambos miembros
Cx
y
dxxy
dy
1ln
2
Pero 1y cuando 1x , luego
11
11ln CC , por lo tanto la ecuación de la curva es:
xxx eeeey
xy
1111
1
11
ln
En cada punto de cierta curva es 3
3´´
xy .Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto
11, y tiene una inclinación de 45 en ese punto.
Recordemos que dx
dy
dx
ydy
'''
2
2
, entonces
21
3
3
3
3'
xxdx
dy
Separando variables, tenemos
dxxdy 21
33'
dxxdy 21
33' , hacemos dxduxu 3 , luego
duudy
21
3'
CxCuy 21
21
366'
Ejemplo 2.13:
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
46
Además tan'y , donde es el ángulo de inclinación en el punto 11, , con lo que 145tan' y ,
ahora para 1x y 1'y , se tiene:
11
121
3161 21
C
C
C
Reemplazando el valor de 11C , obtenemos posteriormente
1136' 21
xy , pero dx
dyy '
1136 21
xdx
dy Separando variables dxxdy 1136 2
1
Kxxy
dxdxxy
dxxdy
1134
1136
1136
23
21
21
Pero 1y , cuando 1x entonces
2011321
1113141 23
KK
K
Por lo tanto la ecuación de la curva es 201134 21
xxy
Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa. El día soleado y la temperatura de 30º C. Una vez afuera del refrigerador, temperatura del agua era de 0ºC y después de 10 minutos subió a 15ºC.
Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatura en el tiempo, suponiendo que la razón a
la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional:
a) A la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.
b) Al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.
a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. Para ello, observa que:
La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada
de la temperatura en el tiempo dt
dT
Ejemplo 2.14:
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
47
La frase “proporcional a la diferencia de la temperatura y el medio” significa Tk 30 .
De modo que la ecuación diferencial que buscamos es
dt
dT= Tk 30
Resolvemos la ecuación separando las variables y usando 00 T . Obtenemos
T
o
t
T
dtkdt
300 Separando variables,
30ln30ln Tkt Integrando,
30
30ln
Tkt Simplificando.
Al tomar la exponencial a ambos lados y despejar T.
30
30 Te kt
)1(30 kteT
De las condiciones del problema, sabemos que T(10)=15, entonces,
)1(3015 10te
De donde concluimos que
k = 0,0693147
Finalmente, la función de temperatura en el tiempo es
0,0693147t eT 130
b) En este caso, la ecuación diferencial que buscamos es:
dt
dT= 230 Tk
Nuevamente usamos separación de variables y T(0) = 0 para resolver la ecuación, por lo que
T
o
t
T
dtkdt
20 30
30
1
30
1
Tkt
---------------------CAPITULO 2--------------------
48
Al despejar T:
kt
ktT
301
900
Si usamos ahora T (10)=15, obtenemos
k
k
3001
900015
De donde concluimos que
300
1k
Finalmente la función de temperatura en el tiempo es
t
tT
10
30
Determinación del costo a partir del costo marginal
El costo marginal de producir gorras de béisbol a un nivel de producción de x gorras es de 3,2-0,001 x dólares
cada una y el costo de producir 50 gorras es $200. Determine la función de costo.
Solución
Se pide determinar la función de costo xC , dado que la función de costo marginal es de 3,2-0,001 x . Recordamos
que la función de costo marginal es la derivada de la función de costo; entonces xxC 001,020,3
Y se debe determinar xC . Ahora bien, xC debe ser la Antiderivada de xC , por lo que se escribe
Kxx
Kx
x
dxxxC
2
2
0005,020,3
2001,020,3
001,020,3
K es la constante de integración
Ahora, a menos que se conozca un valor de K , en realidad no se conoce la función del costo. Sin embargo, hay otro dato que no hemos tomado en cuenta: el costo de producir 50 gorras de béisbol de $200. En símbolos,
20050 C
Ejemplo 2.15:
---------------------CAPITULO 2--------------------
49
Sustituyendo en nuestra fórmula de xC tenemos
25,,41
75,158200
500005,05020,3502
K
K
KC
Ya que conocemos cuánto vale K podemos escribir la función de costo 25,410005,020,3 2 xxxC
Antes de seguir… Pregunta ¿Qué significa el término 41,25?
Respuesta Si sustituimos 0x obtendremos
25,4100005,0020,302C
O sea 25,410 C
Así, $41,25 es el costo de producir cero gorras; en otras palabras, es el costo fijo.
2.7 ECUACIÓN LOGÍSTICA
Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxito son los de Malthus y el
logístico. En el primero, se supone que la razón de crecimiento de una población es proporcional a la población
misma; es decir,
kpdt
dP
Si la población inicial es P0, no es difícil mostrar que la población está dada por P(t)=P0 ekt. Con este modelo, la
población crece sin medida. Sin embargo, sabemos que los recursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán
efecto sobre su crecimiento. El modelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima
que se puede tener. En este caso, la ecuación diferencial apropiada es
r
Pkp
dt
dP1
Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxima de la población.
Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30000 millones de
personas. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico, que en el año 2000 había 6000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6500 millones, aproximadamente. ¿En cuánto tiempo se alcanzaran 25000 millones de habitantes?
Ejemplo 2.16:
---------------------CAPITULO 2--------------------
50
Si el crecimiento es logístico, entonces la ecuación diferencial que modela la población humana es la ecuación
r
Pkp
dt
dP1 con r=30, en unidades de miles de millones; es decir,
301
Pkp
dt
dP
Si separamos las variables de población y tiempo, se tiene :
kdt
PP
dP
30
30
dtkPP
dP230
30
dtkPP
dP
3030
2
Completando cuadrado en el denominador de la integral izquierda,
dtkPP
dP222 151530
30
dtkP
dP
2251530
2
Aplicando la fórmula 16 de la tabla de integrales,
CktP
P
1515
1515ln
152
130
CktP
P
30ln
Ckt
P
P
30ln
Así, aplicando la exponencial y sus propiedades
ktCkt AeeP
P
30
, CeA
ktkt AeAeP 301 Desarrollando,
Solución:
---------------------CAPITULO 2--------------------
51
kt
kt
Ae
AeP
1
30
Despejando P.
Consideremos que t=0 en el año 2000 y t=5 en el año 2005. De la condición P(0) = 6 se tiene
A
A
1
306
De donde obtenemos
4
1A
De la condición P(5) = 6,5,
k
k
e
e5
5
25,01
5,75,6
De donde resulta
kk ee 55 5,7625,15,6
Multiplicando,
5,6875,5 5 ke
Despejando la exponencial,
0202192,0
875,5
5,6ln
5
1
k
Despejando k
Así, la ecuación logística que modela la población humana es
0,0202192t-0,0202192t-0,0202192t
0,0202192t
41
30
25,0
5,7
25,01
5,7
eee
eP
En la figura se muestra la grafica de la población para los próximos 300 años. Observa que 30.000 millones es, en
efecto, la población límite.
---------------------CAPITULO 2--------------------
52
FIGURA 2.2 : Número mundial de habitantes, de acuerdo con el modelo logístico. El tiempo medido en años y la
población, en miles de millones de habitantes.
Por otra parte, la población será de 25000 millones de habitantes cuando
te 0202192,041
3025
De aquí,
20
10202192,0 te Despejando la exponencial,
añost 163,1480202192,0
20ln Despejando el tiempo.
---------------------CAPITULO 2--------------------
53
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.2
Calcular las siguientes integrales, aplicando las propiedades de la integral indefinida y las fórmulas de
integración dadas en la tabla.
1. dxxa 625 2. dxxx 386 2
3. dxpx2 4. dxx
x
3
3 1
5. 1
0 231 dxxx 6.
dx
x
xa
2
7. dxx
2cos 8. dx
x
xx
10
52
9.
dxnx n
n1
10.
dxx
xx
3 2
22 21
11.
dxx
xx nm
2
12.
7
0 2 7x
dx
13. dxexx3 14.
dxe
ex
x 2
15.
0
2tan xdx 16. d22 tan3cot2
17. dxx
xx
1
11
4
22
18. dxxxsenh 5cosh352
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.3
Calcular las siguientes integrales utilizando las sustituciones indicadas.
1.t
xxx
dx 1 ,
22
2. 4
13 4
1,1
xdxx
x
3z
3. txdxxx 35 ,35 272 4.
1 ,
1xt
x
xdx
5. xsentxsen
xdx ,
1
cos
2
6. 2 ,
1
1zxdx
x
x
7.
arcsenxzdxx
xarcsen
,
1
2
2
8.
xu
x
dx
11 ,
11
2
2
1
---------------------CAPITULO 2--------------------
54
9. 4
8
3
,5
xrdxx
x
10. 1 ,1
2
x
xet
e
dx
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.4
Calcular las siguientes integrales indefinidas aplicando una sustitución adecuada.
1. dttt 132 2.
dx
xx
x32 34
2
3.
duu
u
4
3 4.
dx
x
xln2
5. de 2tan sec 6.
dxx
xx ln
7. dxx
xx
1
124
8. 257 x
dx
9.
dx
x
x
23
522
10. dxxsen
x
2
tanln
11. dxex
xsen x2tan
3cos
12. dx
x
xe x
2
arctan
1
arctan2
13.
dxxx
x2ln4
ln 14. dx
x
xx
241
2arctan
15.
322 11 xx
xdx 16. dx
e
ebx
bx
21
17. dxaxsenax2
cos 18. xxsen
dx
cos
19.
dxx
x2
1 20. dx
xsenx
xxsen
22cos
cos
21. dxx
bax
22.
dx
e
ex
x
1
12
2
23.
dx
x
xxe x
2
2arctan
1
11ln 24. dx
xsenx
xxsen
cos
cos
25. x
dxxsen ln 26. 258
32 xx
dx
27. 2215 xx
dx 28. dx
xx
x
14
14
3
---------------------CAPITULO 2--------------------
55
29.
dx
x
x
21
1 30.
dx
xx
x
26
3
31.
dx
xx
x
2519
23 32.
dx
xx
x
24
2
33.
dxxx
x
2961
23 34.
t
t
e
dte
21
35. xx
dx2ln
36. 1xe
dx
37. xdxsene xsen 2 2
38.
dx
x
xx2
2
1
)1ln(
39. dxxx
xddxx
x
24
2 11
1
1
1 .Indicación
40.
dx
x
x
1
14
2
41. 2
2
1 n
n
x
dxx
42. x
xdx
2cos2
cos 43.
dx
x
x
x 1
1ln
1
12
44. dxxxsen
xsenx 44 cos
cos 45.
dx
xx
xx
49
32
46. xx ee
dx 47.
xe
dx
21
48. )ln(lnln xxx
dx 49.
dxxx
xarcsen
1
50. dxxx 10
52 51. 12xx
dx
52. x
dx
x
x
4ln
2ln 53.
x
xdxsen
cos
3
54.
dxxx
21
2 55.
2
7
3
32 x
dxx
56.
xbax
dx(Sugerencia: haga 2senabax )
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.5
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
---------------------CAPITULO 2--------------------
56
1.yy
xx
dx
dy
2.
y
yx
dx
dy213
3. 02sec ydxxdy 4. 053 dyxxyydx
5. yxyxy 1´ 6. xyx
y
dx
dy2
2
1
1
7. 022 dyedxe yxyx 8. 01´1 223 yxyxy
9.dx
dyxyy
dx
dyxa
2 10. 0cos 2 xdyxdxsene y
11. 0sec1tan3 2 ydyeydxe xx
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.6
En los ejercicios 1-15. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen las condiciones
iniciales que se indican.
1. 13 ´;3´2 2 yyyyy
2. 21 ;012 ydxexxdy y
3. 10 ;04 2 ydyxdxxxy
4. 10 ;01cot 2 ydxyxdy
5. 2,11- ;314
2
2
2
dx
dyyx
dx
yd
6. 14' xxyy
; 21 y
7. yxyxy 34' ; 31 y
8. 1' 2222 yxyxy ; 21 y
9. 5
1'
2
y
xy
; 10 y
10. yxey 2'
; 50 y
11. yxey 33' ; 12 y
12. yxxey 2
' ; 11 y
13. yexseny 2' ; 12
y
14. 2
'2
x
xey
y
; 21 y
15. 1
'2
2
x
xey
y
; 51 y
Demuestre que la solución que se indica es la solución de la ecuación diferencial dada
16. xx eCeCyyyy 2
21 ;02´3´´
17. 323 ;03´3´´´´´ Cxyyxyyxyx
18. Cxyxyyxdx
dyyx 22 ;022
---------------------CAPITULO 2--------------------
57
19. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve.
a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de estos que están
presentes en un instante dado.
b) La población de bacterias en un cultivo crece, de forma proporcional al cuadrado del número de bacterias
en un instante dado.
c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre esta y la temperatura del medio ambiente.
d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un instante dado.
20. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto, la presión P está relacionada con el
volumen V a través de la ecuación
VC
PC
dV
dP
v
p
Donde CP y Cv son calores específicos del gas a presión y volumen constantes, respectivamente. Resuelve la
ecuación para obtener la presión en función del volumen, suponiendo que la presión es de 4 libras por pulgada cubica, cuando el volumen es de una pulgada cúbica.
21. En cada punto de cierta curva es 312''
xy . Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto
0,1 y es tangente en ese punto a la recta 66 yx
22. La población de estados era de 75 millones en 1900 y de 150 millones en 1950. Suponiendo que la tasa de
crecimiento es en cualquier instante proporcional al tamaño de la población, determine el tamaño de la población en un instante t. (Considere a 1900 como t=0). ¿Cuál es la población proyectada para el 2005?
23. La Ley del Enfriamiento de Newton viene dada por la ecuación sTTkdt
dT , donde T es la temperatura
del cuerpo en el instante t y ST es la temperatura ambiente, demuestre que la solución de la ecuación está dada
por kt
S AeTT .
24. El peso de un ser humano, desde el nacimiento hasta la muerte, puede modelarse por la ecuación de Gompertz:
WWbadt
dWln
Donde a y b son constantes apropiadas no nulas. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfaga la condición inicial 00 0 WW
---------------------CAPITULO 2--------------------
58
25. En una zona pesquera del Pacífico la masa total de los peces ty (biomasa) se mide con la ecuación
diferencial:
r
yky
dt
dy1 , donde y se mide en kg y t en años
La capacidad de contención se estima que es, kgr 7108
71,0k Por año
a) Encuentre y(t)
b) Si kgy 71020 , encuentre la biomasa un año después
c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la biomasa llegue a kg7104 ?
AUTOEVALUACION
1. Encuentra la ecuación de la curva que tiene derivada92
x
x
dx
dy y pasa por el punto 2,4 .
a) 392 xy b) 93 2 xy c) 97 2 xy d) 92 xy
2. Si f es una función tal que su derivada es continua en ba, , elige el inciso que contiene el cálculo correcto de
b
adttftf '
a) afbf b) bfaf 22
2
3 c) afbf 22
2
1 d) bfaf 22
2
1
3. Si f es una función continua, elige la opción en la que se encuentra una integral igual a
dxxfb
a
a)
cb
cadxcxf b)
c
adxcxf c)
b
cdxcxf d)
cb
cadxcxf
4. Un tanque contiene inicialmente 20 litros de una solución salina, en la cual se disolvieron 1,2 kilos de sal. Se
agrega otra solución salina, cuya concentración es de 0,5 kilo por litro, a razón de 2 litros por minuto. Si la mezcla
sale del tanque a la misma velocidad de 2 litros por minuto, determina la cantidad de sal después de t minutos.
a) sal tet 1.08.810 c) sal tet 1.08.1012
b) sal tet 2.08.1012 d) sal tet 2.08.810
5. Encuentra en la columna B el resultado de la integral propuesta en la columna A.
---------------------CAPITULO 2--------------------
59
COLUMNA A
a) dxxx 12
b)
dxxx 31
1
c)
31
32 32 x
xdx
d)
dxx
xsen
8
3 1
1
e)
dx
xxsen
xxsen
31
cos
cos
f)
322 11 xx
xdx
g)
dxx
xx 51
2
1
21
COLUMNA B
i. Cxxsen 3
2
cos2
3
ii. Cx 2112
iii. Cxxx 23
25
27
13
21
5
41
7
2
iv. Cx
21
2112
v. 27
2
vi. Cx 52
12
5
vii. 3cos2cos2
viii. Cxx 52
2 212
5
ix. 322 sensen
x. Cxx 34
37
14
31
7
3
xi. Cxxsen 2
3
cos3
2