Conf 1 Integral Indefinida

LA ANTIDERIVADA, PRIMITIVA O INTEGRAL INDEFINIDA

CONTENIDO:

1. EL OPERADOR INTEGRAL__________________________________________1

2. LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA_______________________1

3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS__________________33.1. Integral del diferencial_________________________________________________3

3.2. Integral de una constante_______________________________________________3

3.3. Integral de una función potencial________________________________________4

3.4. Integral de una constante por una función_________________________________4

3.5. Integral de una suma de funciones_______________________________________5

3.6. Integración por sustitución algebraica____________________________________6

3.7. Integración por partes________________________________________________10

EJERCICIOS 3.1__________________________________________________________14

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 3.1_____________________________________15

La antiderivada o integral indefinida

1. EL OPERADOR INTEGRALSeñor lector, en el transcurso de la formación matemática que ha ido adquiriendo, quizá habrá notado que cada vez que se definió y aprendió a utilizar un operador matemático, el siguiente paso fue estudiar el operador inverso de dicho operador. Por ejemplo, después de que aprendió a realizar y a utilizar la operación Suma, definió y aprendió a manejar la operación Resta, que es la operación contraria de la Suma. También, después de que aprendió a resolver y a usar el producto, aprendió a resolver y a usar la división. De manera similar, se puede decir lo mismo respecto de la potenciación y la radicación. Teniendo en cuenta que en los cursos anteriores de cálculo usted definió, estudio y aprendió a utilizar el Operador Diferencial, el cual es un operador matemático, es de esperar que, manteniendo la metodología que ha seguido en su formación matemática, se debe proceder a definir, estudiar y aprender a utilizar el Operador Integral, el cual es el operador inverso del Operador Diferencial.

2. LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDAUna antiderivada o primitiva de la función f(x) es otra función F(x) tal que F’(x) = f(x), por ejemplo:

Una antiderivada o primitiva de f(x) = 3x2 es la función F(x) = x3, por que F’(x) = 3x2, es decir F’(x) = f(x).

Obsérvese que otras antiderivadas o primitivas de f(x) = 3x2 son:

F(x) = x3 + 5F(x) = x3 + 6F(x) = x3 – 3

DEFINICIÓN: Si en todos los puntos de algún intervalo, la derivada de la función F(x) es la función f(x), entonces se dice que F(x) es una Función Primitiva de f(x).

Ejemplos: a) Son primitivas de la función f(x) = 3x2:

La función F(x) = x3, por que F’(x) = 3x2

La función G(x) = x3 + 5, por que G’(x) = 3x2

La función H(x) = x3 – 12, por que H’(x) = 3x2

La función R(x) = x3 + C, si C es una constante, por que R’(x) = 3x2

b) Son primitivas de la función f(x) = 5cosx + 2:

La función F(x) = 5senx + 2x, por que F’(x) = 5cosx + 2

La función G(x) = 5senx + 2x + 6, por que G’(x) = 5cosx + 2

La función h(x) = 5senx + 2x – 3, por que G’(x) = 5cosx + 2

La función g(x) = 5senx + 2x + C, si C es una constante cualquiera, por que g’(x) = 5cosx + 2

Lo anterior nos permite asegurar que si F(x) es una Función Primitiva de f(x), entonces todas las Funciones Primitivas de f(x) son de la forma F(x) + C, donde C es una Constante.

DEFINICIÓN: La Antiderivada o integral indefinida de la función f(x), es el conjunto de todas las primitivas de f(x).

Lo anterior significa que si F(x) es una Función Primitiva de f(x), entonces la antiderivada ó integral indefinida de f(x) es la función F(x) + C y escribimos:

(Donde C es llamada la constante de integración)

En los ejemplos anteriores, para encontrar la primitiva de la función, recurrimos a nuestra memoria y conocimientos de derivadas para respondernos la pregunta ¿cuál es la función que al derivarla es igual a la que estamos integrando? Éste procedimiento para encontrar la antiderivada, primitiva o integral indefinida de una función se conoce con el nombre, en el cálculo integral, de integrales inmediatas. Así,

Preparada por: Fernando A. Rincón A. 1

La antiderivada o integral indefinidacomo en los ejemplos anteriores, si recurrimos a nuestro conocimiento del cálculo diferencial, podemos encontrarnos una muy buena cantidad de integrales inmediatas, como por ejemplo:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7. .

En este caso decimos que la integral es el logaritmo natural del valor absoluto de x, por que no existen logaritmos de números negativos.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

Así como las anteriores, las siguientes propiedades de las integrales indefinidas nos suministran algunas herramientas que nos permiten calcular algunas integrales inmediatas.

3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDASLas propiedades de las integrales indefinidas se basan en las reglas fundamentales de las derivadas de funciones algebraicas.

3.1. Integral del diferencialSi x es una variable, entonces:

Esto es, la integral del diferencial es la variable mas la constante de integración.Ejemplos:Preparada por: Fernando A. Rincón A. 2


3.2. Integral de una constante

Si K es una constante, entonces:

Esto es, la integral de una constante es la constante por la variable mas la constante de integración.

Ejemplosa)

b)

c)

d)

e)

3.3. Integral de una función potencial

Si n es un número real diferente de –1, entonces:

En el caso de que n = –1, se usa la fórmula que aparece en el numeral 2.7 es decir:

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

e)



3.4. Integral de una constante por una función

Si k es alguna constante y f(x) es una función integrable, entonces:

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

3.5. Integral de una suma de funciones

Si f(x) y g(x) son funciones integrables, entonces:

Esto es, la integral de una suma es igual a la suma de las integrales.

Ejemplos:

a)

En éste caso, a pesar de que se han realizado tres integrales indefinidas, se suma una sola constante de integración ya que, la suma de tres constantes es igual a otra constante.

b)

c)

d)



e)

f)

g)

3.6. Integración por sustitución algebraica

Toda integral de la forma:

Puede ser transformada a una integral inmediata o que se resuelve usando las propiedades anteriores, si se realiza la siguiente sustitución algebraica:Sea:

U = g(x) Si se deriva con respecto a x, se obtiene:

Despejando dU, Obtenemos:

dU = g’(x).dxY sustituyendo en la integral, se obtiene:

Que es una integral inmediata o que se resuelve usando las propiedades antes mencionadas. Se debe tener en cuenta que después de resolver la integral, es necesario restituir la variable original, reemplazando la variable de transición U por su equivalente en términos de la variable original x.

Ejemplos:

a) Calcular la integral:

Solución:Obsérvese que el factor (2x – 5) es la derivada de la función (x2 – 5x + 3), por lo tanto se puede plantear la siguiente sustitución:

u = x2 – 5x + 3

du = (2x – 5).dx

Al sustituir, se obtiene:



b) Calcular la integral:

Solución:Obsérvese que el factor (4x3 – 3) es un submúltiplo de la derivada de la función (2x4 – 6x + 5), por lo tanto se puede plantear la siguiente sustitución:

u = 2x4 – 6x + 5

du = (8x3 – 6).dx Si dividimos por dos (2), se obtiene:

½ du = (4x3 – 3).dx

Al sustituir, obtenemos:

c) Calcular la integral:

Solución:Obsérvese que el factor (6x2 – 8) es un múltiplo de la derivada de la función (x3 – 4x – 5), lo que permite plantear la siguiente sustitución:

t = x3 – 4x – 8

dt = (3x2 – 4x).dx si multiplicamos por 2, se obtiene:

2dt = (6x2 – 8x).dx


d) Calcular la integral:

Solución:Obsérvese que el factor cosx es la derivada de la función senx, lo que permite plantear la siguiente sustitución:

t = senx

dt = cosx.dx




e) Calcular la integral:

Solución:

Obsérvese que la función tanx se puede escribir como . Por lo tanto se puede escribir:

Además el factor senx es la derivada de la función –cosx, lo que permite plantear la siguiente sustitución:

w = cosx

dw = – senx.dx

–dw = senx.dx


Usando las propiedades de los logaritmos, se puede escribir:

f) Calcular la integral:

Solución:

A pesar de que esta integral, no es de la forma , se puede resolver usando la sustitución algebraica:

u = x – 3

du = dx

Además, obsérvese que:

x = u + 3

Si se procede a hacer la sustitución, se obtiene:

g) Calcular la integral:

Solución:


La antiderivada o integral indefinidaEn éste caso, para poder usar la sustitución algebraica es necesario multiplicar y dividir el integrando por la expresión secx + tanx, es decir la integral se debe reescribir como:

Resolviendo el producto, se tiene:

Ahora, si se observa con detenimiento, notaremos que el numerador del integrando es exactamente la derivada del denominador, esto nos permite plantear la siguiente sustitución:

w = secx + tanx

dw = (secx.tanx + sec2x).dx que se puede escribir como:

dw = (sec2x +secx.tanx).dx


3.7. Integración por partesTeorema: Si U y V son funciones de una misma variable, entonces:

Demostración: Con base en la regla de la derivada de un producto, podemos decir:

Multiplicando por dx en ambos miembros de la igualdad, se obtiene:

d(U.V) = UdV + VdUIntegrando en ambos lado, obtenemos:

Ordenando los términos, se tiene:

Queda demostrado el teorema.Éste teorema es útil cuando se debe resolver la integral del producto de dos funciones y dicha integral no es posible resolverla por alguno de los métodos anteriormente mencionados.

Ejemplos:

a) Calcular la integral:

Solución:Al comparar la integral con la fórmula de la integral por partes:

podemos asumir que:

U = lnx dV = (2x + 4)dx V = x2 + 4xPor lo tanto:



Resolviendo el producto que aparece en la integral del segundo miembro, se obtiene:

b) Calcular la integral:


podemos asumir que:

U = x – 5 dU = dxdV = exdx V = ex

Por lo tanto:

c) Calcular la integral:

Solución:Comparando con la fórmula de la integral por partes:

se puede asumir que:

U = lnx

dV = (4x3 + 5)dx V = x4 + 5xPor lo tanto:

Resolviendo el producto que aparece en la integral del segundo miembro y resolviendo dicha integral, se obtiene:

d) Calcular la integral:


podemos asumir que:U = x2 + 7 dU = 2xdxdV = exdx V = ex

Por lo tanto:


La antiderivada o integral indefinidaObsérvese que la integral del segundo miembro no es inmediata y es necesario resolverla por partes, haciendo:U = x dU = dxdV = exdx V = ex

Por lo tanto:

Y resolviendo la nueva integral y quitando los paréntesis, se obtiene:

e) Calcular la integral:


podemos asumir que:U = cosx dU = – senxdxdV = exdx V = ex

Por lo tato:

Obsérvese que la integral del segundo miembro no es inmediata y es necesario resolverla por partes, haciendo:U = senx dU = cosxdxdV = exdx V = ex

Por lo tanto:

En éste caso, nos encontramos con que en el segundo miembro de la igualdad aparece la integral que estamos resolviendo. En éste caso recurrimos a nuestros conocimientos del algebra de ecuaciones y hacemos:

Agrupando

Por último despejamos la integral que estamos resolviendo y concluimos que:

f) Calcular la integral:


podemos asumir que:

U = sec1x

dV = xdx V = ½ x2

Por lo tato:

Simplificando se obtiene:



Y la integral del segundo miembro se debe resolver haciendo la sustitución algebraica:

w = x2 – 1

dw = 2xdx

½ dw = xdxLuego

:

Restituyendo la variable x, se obtiene finalmente:

EJERCICIOS 3.1En los ejercicios 1) a 10), calcule la integral



1)2)3)

4)

5)

6)

7)

8)9)10)

En los ejercicios 11) a 29), calcule la integral (se recomienda usar sustitución algebraica)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)26)27)28)

29)

En los ejercicios 30) a 40), calcule la integral (se recomienda usar integración por partes)

30)31)32)33)34)35)

36)37)38)39)40)

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 3.11) x4 – 3x2 + 5x + C2) 3x5 – 8senx + 6x + C

3)

4)

5)

6)

7) 2x3/2 – 6x2/3 + C

8)

9)



10)

11)

12)

13)

14)

15) ½ ln|x2 – 1| + C16) ½ ln|2x- 4| +C17) ln|lnx| + C18)

19)

20) ½ e2x + 1 + C21) ex – ex +C

22)

23)

24)

25)

26) ¼ tan4x + C27) ln|senx| +C28) ln|cscx cotx| +C29) sen1(ex) + C30) 3x3lnx – x3 +C31) xlnx – x + c32) (½ x2–½ x–¼)e2x + C

33)

34) (x2 – 4x + 4)ex + c35) ½ x2lnx–¼ x2+xex–ex +C36) (x – 2)ex – 1 + c

37) ½ exsenx + ½ excosx38) xtan1x – ½ ln(x2 + 1) +C39) – ½ cscxcotx + ½ ln|cscx – cotx| + C40) 4xcosx + 4senx + C


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