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RELACION DE PROBLEMAS
MATEMATICAS I-GRUPO E
Curso 2020/2021
Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Agronomica
Departamento de Matematica Aplicada I
Tema 5. La integral indefinida
5.1. Hallar las integrales indefinidas siguientes:
a)
∫
(x− 1)2 dx b)
∫
1√1 + x
dx
c)
∫
x3 − 1
x2dx d)
∫
sen x cosx dx
e)
∫
3x2
(x3 + 1)2dx f)
∫
cosx
1 + sen 2xdx
g)
∫
sen 2x cosx dx h)
∫
cosx
1 + sen xdx
i)
∫
12x2 sen (4x3 − 7) dx j)
∫
1
x ln xdx
k)
∫
3x2ex3
dx l)
∫
4x
cos2 2x2dx
m)
∫
2x3x2
dx n)
∫
cotg x dx
5.2. Hallar las integrales indefinidas siguientes :
25
26 Matematicas I
a)
∫
tg x dx b)
∫
x√x2 + 5
dx
c)
∫
arcsen x√1− x2
dx d)
∫
x cosx2 dx
e)
∫
1√1− 9x2
dx f)
∫
3
1 + 4x2dx
g)
∫
e1
x
x2dx h)
∫
e4x − e2x + 1
exdx
i)
∫
e2x − e−2x
e2x + e−2xdx j)
∫
x√1− x4
dx
k)
∫
1
16 + x2dx l)
∫
x
16 + x2dx
m)
∫
cos√x√
xdx n)
∫
2 tg x
cos2 xdx
5.3. Hallar las integrales indefinidas siguientes haciendo un cambio de variable adecuado:
a)
∫
x√x+ 2 dx b)
∫
x2√1− x dx
c)
∫
2x− 1√x+ 3
dx d)
∫
t 3√t− 4 dt
5.4. Hallar las integrales indefinidas siguientes mediante integracion por partes:
a)
∫
x sen x dx b)
∫
ln x dx
c)
∫
arcsen x dx d)
∫
x2ex dx
e)
∫
t ln(t+ 1) dt f)
∫
ex cos(2x) dx
5.5. Hallar las integrales indefinidas siguientes :
La integral indefinida 27
a)
∫
x sen (5x2 + 3) dx b)
∫
cos(7x+ 3) dx
c)
∫
(4x+ 2)(x− 1) dx d)
∫
x+ 2
2√x+ 2
dx
e)
∫
(1− cosx)3 sen x dx f)
∫
tg x
cos2 xdx
g)
∫
arctg x dx h)
∫
x arctg x dx
i)
∫
√x2 − 1
xdx j)
∫
x2 cos(x3 + 1) dx
k)
∫
(x3 − 1
x3) dx l)
∫
x4√5− 2x2
dx
m)
∫
x2 ln x dx n)
∫
x√x+ 1 dx
o)
∫
e√x + 1√x
dx p)
∫
(2x+ 4)e2x+4 dx
5.6. En los ejercicios siguientes decidir si la afirmacion es verdadera o falsa. Si es falsa,
explicar la razon y dar un contraejemplo.
a) Toda primitiva de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n+ 1.
b) Si p(x)es una funcion polinomica, p tiene exactamente una primitiva cuya
grafica pasa por el origen de coordenadas.
c) Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x), entonces F (x) = G(x) + C
d) Si f ′(x) = g(x), entonces
∫
g(x) dx = f(x) + C
e)
∫
f(x) g(x) dx =
∫
f(x) dx.
∫
g(x) dx
f) La primitiva de f(x) es unica.
28 Matematicas I
Tema 6. Introduccion a las Ecuaciones Diferen-
ciales
6.1. Clasificar las siguientes ecuaciones como ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
o ecuaciones en derivadas parciales (EDP), indicando el orden y las variables depen-
dientes e independientes.
a) 3d2x
dt2+ 4
dx
dt+ 9x = 2 cos 3t, (vibraciones mecanicas, circuitos electricos, sismologıa).
b)d2y
dx2− 2x
dy
dx+ 2y = 0, (ec. de Hermite, mecanica cuantica, oscilador armonico).
c)dy
dx=
y(2− 3x)
x(1− 3y), (competencia entre dos especies, ecologıa).
d)∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0, (ec. de Laplace, teorıa de potencial, electricidad, calor, aerodinamica).
e)dp
dt= p(a− bp), a y b constantes, (curva logıstica, epidemiologıa, economıa).
f)dx
dt= (4− x)(1− x), (velocidad de reaccion quımica).
g) y(1 + (dy
dx)2) = c, c constante, (braquistocrona, calculo de variaciones).
h)√1− y
d2y
dx2+ 2x
dy
dx= 0 (ec. de Kidder, flujo de un gas en un medio poroso).
i) xd2y
dx2+
dy
dx+ xy = 0, (aerodinamica, analisis de tension dinamica).
j) 8d4y
dx4= x(1 − x), (deflexion de vigas).
k)∂N
∂t=
∂2N
∂r2+
1
r
∂N
∂r+ kN , k constante, (fision nuclear).
l)d2y
dx2− 0.1(1− y2)
dy
dx+ 9y = 0, (ec. de van der Pol, valvula triodo).
6.2. Determinar si la funcion dada es una solucion de la ecuacion diferencial correspon-
diente.
Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales 29
a) y = sen x+ x2,d2y
dx2+ y = x2 + 2.
b) x = 3 cos t− 5 sen t, x′′ + x = 0.
c) x = cos 2t,dx
dt+ tx = sen 2t.
d) θ = 2e3t − e2t,d2θ
dt2− θ
dθ
dt+ 3θ = −2e2t.
e) y = e2x − 3e−x,d2y
dx2− dy
dx− 2y = 0.
f) y = 3 sen 2x+ e−x, y′′ + 4y = 5e−x.
6.3. Averiguar si las siguientes funciones son solucion de la ecuacion dada para cualquier
eleccion de las constantes.
a) y = c1 sen x+ c2cosx,d2y
dx2+ y = 0.
b) y = ce3x + 1,dy
dx− 3y = −3.
c) y =2
1− cex,
dy
dx=
y(y − 2)
2.
6.4. Demostrar que la ecuacion
(
dy
dx
)2
+ y2 + 3 = 0 no tiene solucion (con valores
reales).
6.5. Determinar los valores de m para los que la funcion φ(x) es una solucion de las
ecuaciones dadas.
a) φ(x) = emx,d2y
dx2+ 6
dy
dx+ 5y = 0.
b) φ(x) = emx,d3y
dx3+ 3
d2y
dx2+ 2
dy
dx= 0.
c) φ(x) = xm, 3x2d2y
dx2+ 11x
dy
dx− 3y = 0,
d) φ(x) = xm, x2d2y
dx2− x
dy
dx− 5y = 0.
6.6. Verificar que la funcion y = c1ex + c2e
−2x es una solucion ded2y
dx2+
dy
dx− 2y = 0,
para cualquier eleccion de las constantes c1 y c2. Determinar estas constantes para
que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales:
a) y(0) = 2, y′(0) = 1. b) y(1) = 1, y′(1) = 0.
30 Matematicas I
6.7. Averiguar el valor de la constante k para que la funcion y = 3 sen (2x)+ e−x+ k sea
solucion de la ecuacion diferencial
d2y
dx2+ 4y = 5e−x + 2.
6.8. Determinar los valores de la constante c para que la funcion x sen y− y sen x+ c sea
solucion de la ecuacion diferencial
y∂z
∂y+ x
∂z
∂x− z = xy(cosy − cosx).
6.9. Hallar los valores c > 0 para los que la funcion f(x, y) = ln(cx + y) es solucion de
la ecuacion
∂2f
∂x2− 4
∂2f
∂y2= 0 (ecuacion de onda).
6.10. Se considera la ecuacion diferencialdy
dx= x+ sen y.
a) Una curva solucion pasa por el punto (1,π
2). ¿Cual es su pendiente en ese
punto?
b) Justificar que cada curva solucion es creciente para x > 1.
c) Mostrar que la segunda derivada de cada solucion satisface
d2y
dx2= 1 + xcosy +
1
2sen 2y.
d) Una curva solucion pasa por (0, 0). Demostrar que la curva tiene un mınimo
relativo en este punto.
6.11. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)dy
dx=
1− x2
y2b)
dy
dx=
1
xy3
c)dy
dx= y(2 + sen x) d)
dx
dt= 3xt2
e)dy
dx=
sec2 y
1 + x2f) x
dv
dx=
1− 4v2
3v
Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales 31
6.12. Calcular la solucion particular de la ecuacion diferencial dada en el punto que se
indica:
a) y′ = x3(1− y), y(0) = 3 b)dy
dx= (1 + y2) tg x, y(0) =
√3
c)dy
dθ= y sen θ, y(π) = −3 d)
dy
dx=
3x2 + 4x+ 2
2y + 1, y(0) = −1
e)dy
dx= 2
√
y + 1 cos x, y(π) = 0 f) x2dx+ 2ydy = 0, y(0) = 2
6.13. La variacion del precio y respecto de la cantidad demandada x de un determinado
producto esta dado pordy
dx=
−2xy + 24x
x2 + 16.
Determinar el precio en funcion de la cantidad demandada sabiendo que el precio
es de 7.5 euros cuando la cantidad demandada es 4.
32 Matematicas I
Tema 7. Ecuaciones Diferenciales Lineales
7.1. Obtener la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
a)dy
dx− y = e3x b)
dy
dx=
y
x+ 2x+ 1
c)dr
dθ+ r tg θ = sec θ d) x
dy
dx+ 2y = x−3
e)dy
dx= x2e−4x − 4y f) x
dy
dx+ 3y + 2x2 = x3 + 4x
7.2. Resolver los siguientes problemas con valor inicial.
a)dy
dx− y
x= xex, y(1) = e− 1 b)
dy
dx+ 4y − e−x = 0, y(0) =
4
3
c) t3dx
dt+ 3t2x = t, x(2) = 0 d)
dy
dx+
3y
x+ 2 = 3x, y(1) = 1
e) sen xdy
dx+ y cosx = x sen x, y(
π
2) = 2
7.3. Comprobar que las funciones dadas son un sistema fundamental de soluciones de la
ecuacion diferencial y hallar la solucion que satisface las condiciones iniciales dadas.
a) {x2, 1
x}, x2y′′ − 2y = 0, y(1) = −2, y′(1) = −7
b) {ex cos 2x, ex sen 2x}, y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0
c) {ex, x2 + 2x+ 2} xy′′ − (x+ 2)y′ + 2y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1
7.4. Determinar la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
a) y′′ + 5y′ + 6y = 0
b) y′′ − 2y′ + y = 0
c) 4y′′ + 20y′ + 25y = 0
d) y′′ + y = 0
e) y′′ − 2y′ + 5y = 0
f) y′′ + 4y′ + 6y = 0
7.5. Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaciones Diferenciales Lineales 33
a) y′′ − 2y′ − 3y = 3x2 − 5
b) y′′ − 2y′ + 5y = sen x
c) y′′ − y′ − 12y = e4x
d) y′′ − 3y′ + 2y = ex sen x
e) y′′ − 4y′ + 4y = xe2x
f) y′′ − 3y = x2 − ex
7.6. Hallar las soluciones particulares que pasan por (0, 0) y tienen derivada nula en el
origen para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
a) y′′ + 2y′ = 4x+ 8
b) y′′ − y = cosx
c) y′′ + 2y′ + 2y = e−x cos x
d) x′′ + 2x′ + x = e−t
e) x′′ − 4x′ + 4x = 2 + et
7.7.
a) Obtener la solucion general de la ecuacion diferencial y′′ + 3y′ + 2y = e−x.
b) Comprobar que la funcion y = 12( sen x− cosx)e−x es solucion de la ecuacion diferencial
y′′ + 3y′ + 2y = e−x cosx.
c) Utilizando los apartados anteriores, obtener la solucion particular del problema:{
y′′ + 3y′ + 2y = e−x(cosx+ 1)
y(0) = 0, y′(0) = 0
7.8. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
34 Matematicas I
a)
x′ = y
y′ = 2y − x
x(0) = 1, y(0) = 2
b)
{
x′ = −6x− 12y
y′ = x+ y
c)
x′ = 3y
y′ = 2x− y
x(0) = 0, y(0) = 1
d)
{
x′ = x− 4y
y′ = x+ y
7.9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
a)
x′ = −y + t
y′ = x− t
x(0) = 0, y(0) = 0
b)
{
x′ = 4y + 1
y′ = −x+ 2
c)
{
x′ = 3x− 2y + sen t
y′ = 4x− y − cos t
d)
x′ = 5x+ 2y + 5t
y′ = 3x+ 4y + 17t
x(0) = 1, y(0) = 1
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 35
Tema 8. Modelos matematicos de ecuaciones difer-
enciales
8.1. Un cultivo de bacterias crece a un ritmo proporcional a la poblacion actual. Entre
las 6:00 y las 7:00 la poblacion se triplica. ¿A que hora sera cien veces mayor que
la que habıa a las 6:00?
8.2. La poblacion de una ciudad crece a un ritmo proporcional a dicha poblacion. En
dos anos la poblacion se ha doblado y un ano mas tarde tiene 10.000 habitantes.
¿Cual era la poblacion inicial?
8.3. Un moho crece a un ritmo proporcional a la poblacion actual. Inicialmente habıa
2 gramos y en dos dıas ha pasado a haber 3 gramos. Calcular la masa de moho en
el instante t y la cantidad al cabo de diez dıas.
8.4. Al comienzo de 1970 la poblacion mundial era de 3600 millones. Suponiendo que
crezca con un ındice del 2 por ciento anual, ¿cual fue su poblacion en el 2000? Los
expertos en agricultura estiman que se necesita un tercio de acre (40, 46 Ha) para
alimentar a una persona continuamente, y se estima que hay 10.000 millones de
acres de tierra laborable en la tierra, con lo que se puede alimentar a una poblacion
de 30.000 millones como maximo, suponiendo que no existen otras fuentes de ali-
mentacion. ¿Cuando se alcanzara esa poblacion?
8.5. Un campo de trigo rebosante de saltamontes se fumiga con un insecticida que tiene
una efectividad (ındice de mortalidad) de 200 por 100 por hora, ¿que porcentaje de
saltamontes seguira con vida una hora mas tarde?
8.6. La masa inicial de cierta especie de peces es de 7 millones de toneladas. Dicha masa,
de dejarse sola, aumentarıa a una razon proporcional a la masa, con constante de
proporcionalidad 2 por ano. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de
peces a una razon constante de 15 millones de toneladas por ano. ¿En que momento
se terminaran los peces? ¿Cual deberıa ser la razon de pesca de modo que la masa
permanezca constante?
8.7. En un lago se siembra una cepa de peces cuyo ındice de natalidad y de mortalidad
son ambos inversamente proporcionales a√p, siendo p la poblacion actual.
36 Matematicas I
a) Determinar p(t).
b) Si en el instante inicial habıa 100 peces y despues de 6 meses la poblacion era
de 169 peces, ¿cuantos habra al cabo de un ano?
8.8. La poblacion de peces de un lago p(t) es atacada por una enfermedad que provoca
que los peces cesen de reproducirse y mueran con un ındice de mortalidad inversa-
mente proporcional a√p. Si originalmente habıa 900 peces en el lago y 6 semanas
despues quedaban 441, ¿cuanto tiempo tardaran en morir todos los peces del lago?
8.9. La poblacion de una prolıfica crıa de conejos tiene ındices de natalidad y mortalidad
ambos proporcionales a la poblacion de conejos. Determinar dicha poblacion en cada
instante sabiendo que inicialmente habıa p0.
8.10. Un tumor puede considerarse como una poblacion de celulas que se multiplican.
Se ha descubierto empıricamente que el ındice de natalidad de las celulas de un
tumor decrece exponencialmente con el tiempo segun la funcion β(t) = β0e−αt, con
β0 y α constantes positivas. Calcular la poblacion de celulas suponiendo que en el
momento inicial habıa una cantidad p0.
8.11. Una poblacion de pequenos roedores sometida a investigacion en un laboratorio
tiene un ındice de natalidad inversamente proporcional a dicha poblacion y un ındice
de mortalidad contante e igual a 0.1. Sabiendo que en el momento inicial la poblacion
era de 100 individuos y el ritmo de crecimiento era 2, calcular:
a) El numero de individuos de esta poblacion en cada instante.
b) El valor lımite de la poblacion.
8.12. En un cultivo se detecta una plaga de langosta que crece a un ritmo proporcional a
la cantidad existente, con constante de proporcionalidad 0.1. En esta situacion, se
aplica un potente insecticida que elimina las langostas con una velocidad et, siendo
t el tiempo transcurrido desde su aplicacion, medido en dıas.
a) Si se estima que inicialmente hay 10000 langostas, determinar la poblacion de
langostas en cada instante de tiempo t.
b) Razonar si se consigue exterminar la plaga y en este caso, en cuanto tiempo.
c) ¿Cuantas langostas quedaran al cabo de diez dıas?
d) Si se deja de aplicar el insecticida a los diez dıas, determinar en este caso la
poblacion de langostas en cada instante de tiempo t y si se exterminarıa la
plaga.
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 37
8.13. En un laboratorio se suministran 40 bacterias como alimento a dos sistemas proto-
zoarios, A y B.
a) En el sistema A, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es inversa-
mente proporcional a la cantidad existente.
a1) Calcular el numero de bacterias presentes en cada instante, si al cabo de
una hora quedan 20 bacterias.
a2) ¿Cuando habran sido devoradas todas las bacterias?
b) En el sistema B, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es directa-
mente proporcional a la cantidad existente con constante de proporcionalidad
2, pero se introducen bacterias a ritmo constante de 40 por hora.
b1) Calcular el numero de bacterias presentes en cada instante.
b2) ¿Cual es la tendencia final de esta poblacion de bacterias?
8.14. La dinamica de dos poblaciones viene dada por el sistema diferencial:
{
x′ = −2x+ y
y′ = x− 2y
Si el tamano inicial de la poblacion x es 100 y el de la poblacion y es 40:
(a) ¿Como se comportan dichas poblaciones en cada instante?
(b) ¿Coinciden el algun momento el numero de individuos de ambas poblaciones?
(c) ¿Se extinguira a la larga alguna de ellas?
8.15. Dos especies con poblaciones x e y satisfacen el sistema diferencial:
{
x′ = −2x+ 4y
y′ = x− 2y
y las poblaciones iniciales son 1000 y 2000 individuos respectivamente.
(a) ¿Con que tipo de relacion coexisten esas especies?
(b) ¿Como evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo?
(c) ¿Cual es la tendencia final de ambas poblaciones?
8.16. La dinamica de dos especies coexistentes esta gobernada por el sistema diferencial:
{
x′ = 2x− y
y′ = 3x− 2y
38 Matematicas I
(a) Hallar la solucion general del sistema
(b) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 300, y(0) = 100
(c) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 100, y(0) = 300
8.17. La evolucion de dos especies se describe mediante el modelo:
{
x′ = x+ y
y′ = −9x+ y
y las poblaciones iniciales son 100 y 1000 individuos respectivamente.
(a) ¿Con que tipo de relacion coexisten esas especies?
(b) ¿Como evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo?
(c) ¿Se extingue alguna especie? En caso afirmativo, calcular en que momento se
produce la extincion de las presas (el tiempo se mide en anos).
8.18. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
{
x′ = 2y
y′ = −8x
representa la evolucion de dos poblaciones (el tiempo se mide en anos). Sabiendo
que las poblaciones iniciales son x(0) = 100, y(0) = 200,
(a) ¿Con que tipo de relacion coexisten esas poblaciones?
(b) Calcular dichas poblaciones para un instante cualquiera.
(c) Calcular cuantos dıas tarda en extinguirse la poblacion de presas.
8.19. La dinamica de las poblaciones de dos especies que conviven en un mismo ecosistema
viene determinada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
{
x′ = x− 2y
y′ = −x+ 2y
a) Justificar razonadamente el tipo de relacion con el que interactuan estas es-
pecies.
b) Si inicialmente estas poblaciones son de x0 = 250 e y0 = 50 individuos y el
tiempo se mide en anos:
b1) Determinar ambas poblaciones en cada instante de tiempo t.
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 39
b2) Determinar si alguna de las poblaciones se extingue y en ese caso en que
momento ocurre.
8.20. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10oC, y se deja respirar en un
cuarto con temperatura de 23oC. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue
a los 15oC, ¿en que momento llegara la temperatura del vino a los 18oC?
8.21. Un recipiente con agua hirviendo a 100oC se retira del fuego y se deja enfriar en
la cocina. Despues de 5 minutos la temperatura del agua ha descendido a 80oC y
otros 5 minutos despues ha bajado a 65oC. Determinar la temperatura constante de
la cocina.
8.22. En una oficina, un dıa de invierno, el calefactor mantiene la temperatura interior en
21oC durante toda la manana y se apaga al mediodıa cuando los empleados salen.
Si la temperatura exterior se mantiene constante a 12oC y la constante de tiempo
para el edificio es de 3 horas, ¿en que momento la temperatura del edificio sera de
16oC? ¿Y si se dejan algunas ventanas abiertas y la constante de tiempo del edificio
se reduce a 2 horas?
8.23. Cuando los CSI llegan a la escena del crimen, que tiene una temperatura ambiental
constante de 27oC, se encuentran el cuerpo de una vıctima a 28oC. Sabiendo que la
variacion de la temperatura del cuerpo con respecto al tiempo es proporcional a la
diferencia entre la temperatura ambiental y la temperatura del cuerpo, y suponiendo
que la constante de tiempo del cuerpo humano es 1 y que su temperatura inicial era
de 37oC, se pide:
a) Plantear razonadamente la ecuacion diferencial que describe la temperatura
del cuerpo en funcion del tiempo.
b) Calcular cuanto tiempo lleva muerta la vıctima. (El tiempo se mide en horas).
8.24. Un tubo de ensayo que contiene una sustancia quımica con una temperatura inicial
de 80o C se sumerge en un lıquido cuya temperatura se mantiene controlada como
E(t) = 100 − 40e−0.1t, siendo t el tiempo medido en minutos. Sabiendo que la
constante de tiempo del tubo de ensayo es de 10 minutos, se pide:
a) Determinar la temperatura a la que se encuentra la sustancia quımica en cada
instante t.
b) Determinar el instante en el que la sustancia quımica y el lıquido estan a la
misma temperatura.
40 Matematicas I
8.25. Se dispone de una camara figorıfica especializada en congelacion rapida. Se sabe
que la constante de tiempo de la camara es 1 y que la temperatura exterior es
de 30◦C. Ademas, el frıo generado por el potente sistema de congelacion reduce
adicionalmente la temperatura de la camara de manera proporcional a et, siendo
t el tiempo transcurrido. Se introduce un cargamento de carne en la camara y se
conecta el congelador. En ese instante la temperatura de la camara es de 30◦C y
pasada una hora la temperatura de la camara baja a 28◦C.
a) Determinar la temperatura que tiene la camara en cada instante.
b) La carne se considera congelada cuando la temperatura de la camara se en-
cuentra por debajo de −10◦C. ¿Estara la carne congelada al cabo de 4 horas?
8.26. Una empresa ganadera tiene un cargamento de carne cuya temperatura es de 37oC
y otro de pescado cuya temperatura es de 25oC. Ambos se colocan en un almacen
refrigerado con temperatura constante de -3oC y a los 10 minutos la temperatura
de la carne es de 33oC y la del pescado de 23oC.
a) Determinar razonadamente la temperatura de la carne al cabo de una hora.
b) Hallar razonadamente el tiempo que se necesitara para que el pescado tenga
una temperatura de 5oC.
c) ¿En que momento se hallan los dos cargamentos a la misma temperatura?
¿Cual es esa temperatura?
8.27. Es una frıa noche de invierno. Un edificio consta de dos zonas A y B, pero solo la
zona A es calentada mediante una caldera que sube la temperatura 10◦C por hora.
La constante de tiempo para la transferencia de calor entre todo el edificio y el
exterior es de 4 horas y entre la zona A y la zona B es de 2 horas. Si la temperatura
exterior permanece en 0◦C y las temperaturas iniciales de ambas zonas son tambien
de 0◦C,
⋒ A B
a) ¿A que temperatura tiende a calentarse la zona A?
b) ¿A que temperatura tiende a calentarse la zona B?
8.28. Una casa consta de dos habitaciones: la zona A del desvan y la zona B habitable.
El area habitable se enfrıa mediante un sistema de aire acondicionado que baja la
temperatura 6◦C por hora. La constante de tiempo para la transferencia de calor
entre la zona A y el exterior es de 2 horas, entre la zona B y el exterior es de 2 horas,
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 41
y entre la zona A y la zona B es de 4 hora. La temperatura exterior se mantiene en
38◦C. Si la temperatura inicial de ambas zonas es de 30◦C,
⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧
❄❄❄❄❄❄❄❄❄A
B ⋐⋑
a) ¿A que temperatura tiende la zona A del desvan?
b) ¿A que temperatura tiende la zona B habitable?
c) ¿En que instante la zona B habitable alcanza su temperatura mınima? ¿cual
es esa temperatura?
8.29. Un edificio consta de dos zonas, una habitacion interior A y otra exterior B. La
habitacion interior A esta completamente aislada del exterior y se enfrıa mediante un
sistema de aire acondicionado que baja la temperatura 6◦C por hora. La constante
de tiempo para la transferencia de calor entre la habitacion B y el exterior es de
1/2 hora y entre las habitaciones A y B es de 1 hora. Si la temperatura exterior se
mantiene en 30◦C.
A
B
(a) Plantear razonadamente el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza
el comportamiento de las temperaturas de las dos habitaciones.
(b) Determinar la temperatura de la habitacion interior A en cualquier in-
stante.
(c) ¿A que temperatura tiende a estabilizarse la habitacion interior A?
8.30. Una nave consta de dos zonas: una oficina A y la zona de maquinarias B. La cons-
tante de tiempo para la transferencia de calor entre la nave y el exterior es de 2 horas
y entre las dos zonas A y B es de 1 hora. Un dıa en el que la temperatura exterior
es de 2oC, la zona B se mantiene a 10oC mientras las maquinas estan funcionando.
Cuando se apagan todas las maquinas, en la oficina que se encuentra a 4oC, se
enciende la calefaccion que consigue aumentar la temperatura a un ritmo de 5oC
por hora.
42 Matematicas I
(a) Determinar la temperatura que habra en cada una de las zonas despues de una
hora.
(b) ¿En que momento las dos zonas se encuentran a la misma temperatura?
8.31. El carbono catorce se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad exis-
tente.
a) Escribir, razonadamente, la ecuacion diferencial que modelice la cantidad de
carbono catorce en funcion del tiempo.
b) Hallar, razonadamente, la expresion de la cantidad de carbono catorce al cabo
de t anos.
c) Sabiendo que en 5600 anos se desintegra la mitad de una cantidad inicial de
carbono catorce, determinar la edad de un fosil que contiene 1/1000 de la
cantidad original.
8.32. Se deja caer libremente un objeto desde una cierta altura y se sabe que el ritmo de
crecimiento de la velocidad del objeto es igual a la gravedad terrestre (9.8 m/s2)
menos una friccion con el aire la cual es proporcional a la velocidad de dicho ob-
jeto (la constante de proporcionalidad es un numero positivo llamado coeficiente de
friccion del objeto).
a) Plantear razonadamente la ecuacion diferencial que rige la velocidad de este
movimiento y resolverla sabiendo que el objeto parte inicialmente del reposo.
b) ¿Cual es la velocidad lımite que alcanzarıa el objeto si la caıda se prolongase
indefinidamente?
c) Supongamos que el coeficiente de friccion es de 1 s−1. ¿En que instante alcan-
zara el objeto una velocidad de 9 m/s?
8.33. En una observatorio se ha tomado la imagen de un pequeno asteroide esferico de
1 metro de radio, que entro en la atmosfera terrestre a las 0 horas. Por su tamano
y composicion, los cientıficos esperan que la atmosfera haga de escudo protector y
no cause danos al caer en la Tierra, ya que se sabe que al cruzar la atmosfera el
radio del asteroide disminuye a un ritmo proporcional a la superficie del mismo.
Una imagen tomada a las 0 horas y 1 minuto mostraba el asteroide con un radio de
1 cm.
a) ¿Cuanto tiempo tardara en reducir su radio a 0.2cm?
b) ¿Que radio tenıa el asteroide al impactar sobre la superficie de la Tierra si lo
hizo a las 0 horas y 10 minutos?
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 43
Nota: Se recuerda que la superficie de una esfera de radio r es S = 4πr2.
8.34. En dos grupos A y B de una asignatura, con 100 alumnos cada uno, se va a realizar
un examen. Sabemos que 24 horas antes de realizar esta prueba nadie conoce el
examen, pero se han filtrado todas las preguntas.
a) Sea x(t) el numero de alumno del grupo A que conoce el examen en el instante
de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtracion del examen en este grupo
es directamente proporcional al numero de alumnos que no lo conocen, es
decir,dx
dt= k(100− x).
a1) Hallar k para que x(t) = 100(1−e−2t) sea solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria anterior.
a2) Calcular el numero de alumnos del grupo A que conoce el examen en el
momento de comenzar el mismo.
b) Sea y(t) el numero de alumno del grupo B que conoce el examen en el instante
de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtracion del examen en este grupo
es inversamente proporcional al numero de alumnos que no lo conocen.
b1) Determinar y(t) sabiendo que una hora despues de la filtracion lo conocen
3 alumnos.
b2) Calcular cuando lo conoceran todos los alumnos del grupo B.
8.35. Hallar la ecuacion de la curva que pasa por (0, 1) y con la propiedad de que la
pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada
y la mitad de la abcisa de dicho punto.
8.36. Se dispara una bala que se introduce en un muro con una velocidad de 200 m/s, lo
atraviesa en 0.00375 segundos y sale con una velocidad de 80 m/s. Se sabe que el
ritmo de decrecimiento de la velocidad de la bala dentro del muro es proporcional al
cuadrado de dicha velocidad, donde la constante de proporcionalidad solo depende
de las caracterısticas de los materiales de la bala y del muro. Se pide:
(a) Determinar la velocidad de la bala en cada instante de tiempo dentro del muro.
(b) Determinar el espacio recorrido por la bala en cada instante de tiempo dentro
del muro. ¿Cual es el grosor del muro?
(c) Si se dispara otra bala identica sobre el mismo muro, pero la bala llega al
muro a 320 m/s, ¿cuanto tiempo tardara la bala en disminuir su velocidad
a la mitad? En ese instante, ¿estara aun la bala dentro del muro o lo habra
atravesado por completo?
44 Matematicas I
8.37. Se introduce en un vaso un cubito de hielo de 3 cm de lado y se observa que al
minuto dicho lado ha disminuido hasta los 2 cm. Suponiendo que el lado varıa a un
ritmo proporcional al producto de la superficie del cubito por el tiempo transcurrido,
calcular el instante en el que el lado mide 1 cm (expresarlo en minutos y segundos).
8.38. El Uranio es un elemento radioactivo que se desintegra con una velocidad pro-
porcional a la cantidad existente. Se sabe que los isotopos de Uranio U235 y U238
tienen una semivida (tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los atomos
iniciales de una sustancia radioactiva) aproximada de 704 y 4470 millones de anos,
respectivamente.
a) Determinar el numero de atomos de estos isotopos de Uranio que hay en cada
instante t, en funcion de una cantidad inicial.
b) En 1929, Ernest Rutheford estimo la edad del universo usando el hecho de que
en ese momento habıa aproximadamente 140 atomos de U238 por cada uno de
U235 y que en en el instante de la creacion del universo habıa el mismo numero
de ambos isotopos. Calcular la estimacion de la edad del universo que obtuvo
Rutheford.
Modelos matematicos de ecuaciones diferenciales 45
