Calculoavanzado

5/9/2018 Calculoavanzado - slidepdf.com

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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Buenos Aires

Carrera: INGENIERIA MECANICA (Plan 1994)

Asignatura : Calculo Avanzado Código:Orientación: General Clase: Anual

Departamento: Mecánica Horas Sem:3Área: Mecánica Horas/año:102

Objetivos Generales:

• Tomar conciencia del valor utilitario de la Matemática para resolver problemas básicosde la Ingeniería.

• Concebir a la Matemática como una práctica social de argumentación, defensa,formulación y demostración.

Objetivos Específicos• Analizar las características de una función de variable compleja.

• Incorporar el concepto de diferenciabilidad de funciones de variable compleja

• Interpretar las propiedades de las funciones analíticas para el cálculo de Integrales enel campo complejo.

• Identificar las singularidades de las funciones de variable compleja analizando sudesarrollo en serie de Laurent.

• Utilizar adecuadamente el teorema del residuo para calcular integrales reales y para laresolución de problemas de ingeniería.

• Comprender el concepto de aproximación por Serie de Fourier

• Comprender que la elección de una base de la forma e minimiza el error cuadráticomedio.

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• Comprender la Integral de Fourier y el concepto de Transformación Integral.

• Utilizar la Teoría de Fourier para resolver problemas concretos de Ingeniería.

• Utilizar la Serie de Fourier para resolver problemas de contorno.

• Entender el concepto de frecuencia compleja.

• Comprender la Transformada de Laplace como una herramienta del cálculooperacional.

• Resolver ecuaciones diferenciales por Transformada de Laplace.

• Comprender el Concepto de Función de Transferencia y diagrama de polos y ceros.

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• Adquirir la capacidad de modelizar un sistema lineal y estudiar el comportamiento delmismo a través de su función de transferencia.

• Valorar la importancia y utilidad de los métodos numéricos para la resolución deproblemas de ingeniería.

• Utilizar los métodos de cálculo de raíces de ecuaciones decidiendo la conveniencia yestimando la precisión de cada uno.

• Comprender la diferencia entre interpolación y aproximación por mínimos cuadrados.

• Conocer los métodos de diferenciación e integración numérica para aplicarlos cuandosea necesario.

• Analizar la conveniencia de aplicar los métodos numéricos de resolución de ecuacionesdiferenciales.

Programa Sintético:

• Funciones de Variable Compleja.

• Limite, Continuidad de Funciones de Variable Compleja.

• Diferenciabilidad. Funciones Analíticas.

• Integración en el campo complejo.

• Sucesiones y Series. Series Funcionales de Taylor y Laurent.

• Teorema del Residuo.

• Resolución de Integrales Reales.

• Series y Transformadas de Fourier.

• Problemas de Contorno

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Programa Analítico

Unidad 1: VARIABLE COMPLEJA

1.1. El Número Complejo

Definición. La Unidad Imaginaria. Potencias sucesivas de la unidad imaginaria.Propiedades de los números complejos. Representación cartesiana de los númeroscomplejos. Representación polar. Expresión binómica del número complejo. Expresiónexponencial. Producto de un número complejo por la unidad imaginaria. Fórmula de DeMoivre. División de números complejos. Complejos conjugados. Propiedades del Módulode un Número complejo. Desigualdad Triangular. Correspondencia entre el conjunto de losnúmeros complejos y los puntos del plano.

1.2. Funciones de Variable ComplejaDefinición. La función potencial. Potencias de exponente negativo. Función raíz enésimade z. Función exponencial. Función logaritmo de z. Función potencial de exponentecomplejo. Valor principal. Funciones trigonométrica e hiperbólica.

1.3. Límite, Continuidad, Derivada.Entorno de un punto. Definición y propiedades. Dominio de una función de VariableCompleja. Conexidad. Puntos Singulares. Singularidad esencial. Punto de acumulación.Limite, definición. Condiciones de existencia del límite Propiedades de los límites. Límitesinfinitos. Límite en el infinito. Condiciones de existencia. Continuidad. Definición.Diferenciabilidad de las funciones de Variable Compleja. Funciones Analíticas. Definición.Existencia de la Derivada. Condiciones de Cauchy- Riemann. Calculo de derivadas.Ecuación de Laplace. Funciones Armónicas. Definición, Propiedades. ConjugadaArmónica. Obtención de la Conjugada. Representación plana de funciones conjugadas:Curvas de nivel.

1.4. Integración en el Plano Complejo.Funciones complejas de variable real. Derivadas e integrales de funciones complejas devariable real. Valor absoluto de la integral. Concepto de arco. Expresión parametrica delarco. Arco de Jordán. Longitud del arco. Concepto de integral en el campo complejo.Funciones Analíticas: Independencia de la integral respecto del camino de integración.Teorema de Green. Teorema de Cauchy Goursat en dominiosmúltiplemente conexos. Propiedades de la integral en el campo complejo. Propiedades delmodulo de la integral. Teorema fundamental del cálculo integral. Teorema de la derivadaenésima. Aplicación del teorema de la integral de Cauchy al cálculo de integrales defunciones de variable real y de variable compleja.

1.5. Sucesiones y series en el campo complejo.

Sucesiones de números complejos. Convergencia. Condiciones de existencia de límite.Sucesiones de funciones de variable compleja. Series de números complejos. Sumaparcial. Resto. Convergencia Absoluta. La serie Geométrica. Series de funciones devariable compleja. Criterios de convergencia. Convergencia puntual. Prolongaciónanalítica. Serie de Taylor. Desarrollo de una función analítica en serie de Taylor. Serie deLaurent. Desarrollo de funciones en Serie de Laurent. Parte principal. Definición deresiduo.

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1.6. El Teorema del ResiduoResiduos en los polos de una función. Definiciones. Aplicación al cálculo de integrales.Teorema de los residuos de las funciones de variable compleja. Cálculo de residuos.Residuos en polos múltiples. Aplicación al cálculo de integrales impropias de funciones de

variable real. Cálculo de integrales definidas cuyo integrando contiene funcionestrigonométricas.

Unidad 2: ANALISIS DE FOURIER

2.1. La Serie de Fourier Periodicidad de las señales de variable continua. Período y frecuencias fundamentales.Familias de funciones periódicas. Funciones ortogonales y ortonormales. Desarrollo defunciones en serie de Fourier. Determinación de los coeficientes. Funciones de periododistinto de 2π. Expresión compleja de la serie de Fourier. Condiciones de convergencia deDirichlet. Serie generalizada de Fourier. Desarrollos típicos de funciones: FuncionesCirculares, Rectangular, Triangular, Diente de Sierra. Desarrollo de funciones pares e

impares. Fenómeno de Gibbs. Aproximación de funciones. Error cuadrático. Minimizacióndel error.Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales. Aplicación de la serie de Fourier para laresolución de problemas de contorno.

2.2. Integral y Transformada de Fourier Concepto de cálculo operacional. Operadores: definición, ejemplos. Espectro de frecuenciade una función periódica. Funciones no periódicas: Integral de Fourier. Núcleo de laIntegral: La transformada de Fourier. Espectro continuo. Condiciones de existencia de latransformada. Integral de Fourier de una función real. Transformadas seno y coseno de

Fourier. Propiedad de escalamiento. Propiedades de desplazamiento en tiempo y enfrecuencia. Cálculo de Integrales de Fourier. La función Seno integral. Integral de Fourier de un pulso rectangular aislado: La función signo de x. Densidad de energía de la señal:Relación de Parseval. Propiedad de Convolucion. Propiedad de Modulación.

3.1. La Transformada de LaplaceTransformada bilateral y unilateral. Condiciones de existencia de la transformada.Propiedades. Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace. Transformada de laderivada de una función. Transformada de la integral. Propiedades de desplazamiento entiempo y en frecuencia. Transformadas de las funciones elementales. Transformada de lafunción impulso. Transformada de la Función Escalón. Calculo de las transformadas por derivadas de otras conocidas. Tablas de transformadas de Laplace.

3.2. Transformada InversaObtención de la función primitiva por cálculo directo. Calculo de primitivas por descomposición en fracciones simples. Teoremas del valor inicial y del valor final.Resolución de ecuaciones diferenciales e integro diferenciales con coeficientes constantespor medio de la Transformada de Laplace. Procedimientos generales para obtener lafunción primitiva. Teorema de Heaviside. Teorema de Riemann-Mellin. Método deResiduos.

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Unidad 4: METODOS NUMERICOS4.1. Introducción al cálculo numérico - Teoría de error Introducción a los métodos numéricos. Tipos de errores. Representación de números enuna máquina. Error absoluto y relativo. Redondeo simétrico y truncado. Estimación de

cotas de error. Propagación de errores con las operaciones.

4.2. Cálculo de raíces de ecuacionesRaíces o ceros de una función. Repaso de Teorema de Bolzano y Rolle. Identificación deun intervalo que contenga la raíz. Selección del método y la precisión. Radio y orden deconvergencia. Criterios de detención del proceso iterativo. Método de bisección. Métodoiterativo de punto fijo. Método de la cuerda o Regula - Falsi. Método de Newton - Raphson.Ventajas y desventajas de cada uno. Acotación de raíces de ecuaciones polinómicas:Regla de Laguerre - Thibault. Regla de Descartes. Ejemplos de aplicación.

4.3. Interpolación y aproximación de funcionesInterpolación. Teorema de Lagrange. Método de Lagrange. Diferencias finitas. Método de

Newton - Gregory progresivo y regresivo. Conveniencia del uso de cada uno. Interpolaciónpolinomial a trozos. (Splines cúbicas) Ajuste de curvas por Mínimos Cuadrados. Casodiscreto y caso continuo. Polinomios de Legendre. Ejemplos de aplicación.

4.4. Diferenciación e Integración NuméricaAproximación numérica de la derivada por diferencias progresivas, regresivas y centrales.Integración numérica: Método de Trapecios. Estimación del error. Método de Simpson.Estimación del error.

4.5. Resolución numérica de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Problemas de valor inicial. TEOREMAde existencia y unicidad de solución de problemas de valor inicial. Condición de Lipschitz.

Resolución numérica de problemas de valor inicial. Error de truncamiento local. Métodosde paso simple y de paso múltiple. Método de Euler. Interpretación geométrica. Método deTaylor. Métodos de Runge - Kutta de segundo orden y de cuarto orden. Métodos predictor

– corrector. Fórmulas implícitas y explícitas. Método de Adams - Bashforth - Moulton.Método de Milne - Simpson. Cuándo aplicar cada uno. Sistemas de ecuacionesdiferenciales de primer orden. Métodos de Euler y Runge - Kutta. Ecuaciones diferencialesde orden superior. Reducción a sistemas de primer orden. Ejemplos de aplicación.Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Método de diferencias finitas. Ejemplos.

Métodos computacionales: Introducción al uso de la computación numérica y simbólicaaplicada a la transformación de curvas del plano xy de Argand al plano uv de Argand, alcálculo diferencial e integral en funciones de variable compleja, al análisis de Fourier, alcalculo operacional la resolución de ecuaciones diferenciales por transformada deLaplace. Programación de algoritmos para la resolución numérica de ecuacionesalgebraicas y diferenciales, optimización de los problemas mediante la elección delalgoritmo correcto.

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METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA

Las clases son teórico - prácticas incentivando la participación activa de los alumnos yorientadas a la comprensión de los diferentes temas de la asignatura en forma integradora,no sólo como herramientas aisladas de cálculo e incentivando el calculo computacional

como un complemento permanente de la asignatura provocando un acercamiento con larealidad ingenieril. Para eso se dispone de un Laboratorio equipado con el softwareadecuado para el correcto desarrollo de la clase practicas, así también el alumno cuentacon una serie de actividades en las que debe adquirir la capacidad de identificar el nivel dedificultad de la misma para decidir el uso o no de la herramienta computacional. Se trata dearticular en todo momento la asignatura con otras de la especialidad.

Prerrequisitos:

Para cursar: Cursadas: Análisis Matemático II

Aprobadas: Análisis Matemático IÁlgebra y Geometría Analítica

Para Rendir: Aprobada: Análisis Matemático II

Bibliografía

Unidades 1, 2 y 3:• Hauser A Arthur “Variable Compleja”. Fondo Educativo Interamericano, 1973.• Spiegel Murray “Variable Compleja”, Mc Graw Hill, 1990.• Churchil R. V “Teoría de Funciones de Variable Compleja”, Mc. Graw Hill, 1990 • Derrick William “Variable Compleja con Aplicaciones”, Grupo Editorial Iberoamericano,

1989.• Wunsch David “Variable Compleja con Aplicaciones”, Addison Wesley, 1997.• Volkvyskii L.I., Lunts G.L., Aramanovich I.G. “A collection of Problems on Complex

Analysis”, Dover, 1991.• Balanzat Manuel, “Matemática Avanzada para la Física”, EUDEBA, 1977.• Spiegel Murray, “Transformada de Laplace”, Mc. Graw Hill, 1995

• Hsu P. Hwei “Análisis de Fourier”, Grupo Editorial Iberoamericana Addison Wesley,1987.

• Kaplan Wilfred “Calculo Avanzado”, C.E.C.S.A, 1990.• Levinson Redheffer “Curso de Variable Compleja”, Editorial reverte, 1990 • Tranter C. J,“Transformadas de la Física Matemática” UTEHA, 1964.• Spiegel Murray, “Ecuaciones Diferenciales Aplicadas”, Mc Graw Hill, 1990.• Krasnov M. L., Kiselov A.I., Makarenko G.I. “Funciones de Variable Compleja, Calculo

Operacional y Teoría de la Estabilidad”, Ed Reverte 1976.

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Unidad 4:

• John Mathews - Kurtis Fink. ‘’Metodos Numericos con MATLAB’’, Prentice Hall 1999• Nakamura. ‘’Analisis Numerico y Visualizacion Grafica con MATLAB’’ , Prentice Hall.

1997 • Chapra / Raymond / Canale. ‘’Metodos Numericos para ingenieros’’. Mc Graw Hill.• Kincaid D. – Cheney / Editorial, ‘’Analisis Numerico’’, Addison Wesley • Schoichiro Nacamura , ‘’Metodos numericos aplicados con software’’, Prentice Hall • Scheid, Di Constanzo, ‘’Metodos Numericos Serie Schaum’’ Mc Graw Hill • Akai Terence J.,’’ Metodos numericos aplicados a la ingenieria’’ Ed. Limusa, 1999• Burden - Faires., ‘’Analisis Numerico’’ Editorial Iberoamérica.• F. García Merayo - A. Nevot Luna. ‘’Analisis Numerico’’ Editorial Paraninfo.• Kreyszig. ‘’Matemática avanzadas para ingeniería’’, Ed. Limusa.• J. Lous Pipes, ‘’Matematica aplicada para ingenieros y fisicos’’.• Peter V. O’ Neill, ‘’Matematica avanzada para ingenieria’’ • Torres Czitron,’’ Metodos para la solucion de problemas con computadora’’, Editorial:

Representaciones y Servicios de Ingeniería México• Ecuaciones diferenciales para ingenieros, cientificos y estudiantes Lambe y Tranter

Editorial: Uteha• Ralston y Wilf ‘’Mathematical methods for digital computers Vol. I y II’’ , Wiley & Sons• Wendell E. Grove ‘’Brief numerical methods’’, Prentice Hall, inc

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