CALCULO III

APELLIDOS Y NOMBRESPRESENTO

ARANDA GARAY, LUZ VERYsi

PADILLA CANTURIN, INGRIDsi

PIMENTEL HERRADA, SHAROL MISHELsi

SANTIAGO ZOTO, EDIT GUISELAsi

ESPINOZA JAIMES, BITERMANsolo 1

FALCON MARTEL, JAIRsi

CABELLO YACOLCA, EDGAR RONALsi

ROMERO MARTIN, ERENEOsi

ALBORNOZ ROMERO, FRANKLINsi

PONCIANO RIVERA, FREDYsi

PONCIANO RIVERA, ANDYsi

APOLINARIO CRUZ, DANNERsi

AVILA ALVAREZ, GERSONsi

LOPEZ CRISOSTOMO, JHOAOsolo 1

SALCEDO TAMARA, FREUDsi

JUIPA MACHADO, URSULAsi

RAMOS HUARAC, KATHERINE YESSENIAsi

SANTIAGO DOMINGUEZ, TONY CRISTHIANNO

CONDEZO VILLODAS, ERICKsi

BENAVENTE SALAS, NOE ANTONIONO

MORI ALBORNOZ, MICHELLEsi

VALDIVIA CIERTO, MIRTHA ELIZAsi

AGUIRRE LUJAN, CESAR DAVIDsi

GERONIMO ZAVALA, MARISOLSOLO 1

MALPARTIDA ROJAS, FRAN solo 1

GALEANO ORBEZO, CARMENsi

PEREZ BAEZ, MELINAsi

RAMIREZ ABAL, GERALDINEsi

CENTENO DURAND, ANGHELOsi

ALTAMIRANO PIAN, THALIAsi

ACOSTA CUELLO, LUISsi

ARRATEA AGUIRRE, GEORGEsi

URCIA ZELAYA, WILLIAMSNO

VALLES UBALDO, JUNIORsi

FERNANDEZ RIOS, JHELIXsi

CASTILLO JAIMES, FRANCISCOsi

PEREZ MARTEL, JUAN PABLOsi

GARCIA SALAS, MICHELYsi

INGA AUPA, ALBERTONO

HUAMAN JURADO, ROLANDO JHONATANNO

GOMEZ CASTRO, SERGIO ANTONIONO

KIMOE VENTURA, LEONARDO WALTERNO

SOLSOL AGUILAR, EDUAR MARLINSI

PEA FERNANDEZ, ROBERSI

CARDENAS GOMEZ, PIERONO

SOTO ALBORNOZ, ABELNO

REYES CREDO, YERRYSI

ASCENCIO MAGARIO, CRISTHIANSI

2014 0

PRIMERA TAREA ACADEMICA ACADMICA 2014-0PREGUNTA 2: La Posicin del movimiento de una partcula en el espacio en cualquier instante t est dada por la Funcin Vectorial.

a) Determine la Rapidez de la partcula en el instante t=2.b) Si la partcula toca al plano XY en el momento t=0, halle otro instante en que la partcula toca nuevamente al plano XY.c) Halle el espacio recorrido por la partcula desde t=0 hasta t = .SolucinDerivando la ecuacin tenemos:a)

Luego del problema, la Rapidez de la partcula en el instante t = 2 es:

b) La partcula toca al plano XY cuando z = 0, esto es:Partiendo de la ecuacin

Z = (t-2)(t) = 0 => t = 2 v t = 0 Entonces se dice que, en el instante en que la partcula toca nuevamente al plano XY es = 2.

c) El espacio recorrido por la partcula desde t = 0 hasta t = 2 es: (I)AResolviendo A: = (II) Integracin por partesU = tgV = sec Reemplazando (III) en (II)

]]2

0

Reemplazando en (I)

PREGUNTA 3: halar la longitud de Arco de (t) = de to = 0 hasta t1 = 1SolucinSea: (t) = S = i) Calculando: ||(t)||dt (t) = Por sustitucin trigonomtrica 2ttg = 2ttg

||(t)|| = ii) calculando: s Dnde: S = S = = = =

Luego: = ?Integracin por partes = - Haciendo:V = sec dv = sec.tg dv = v = tg

= - = - => = - = 2 = + ln|| = ln||

= ln|

=ln| - ln|1|) =

PREGUNTA 4: Si f: I es una funcin vectorial, definido por

a) Parametrizar por longitud de arco

Solucin:

=

=

S = = .dt

.

.t =S

t = f(S) = (.cos( ) ,.sen( ), .( ))

b) Calcular la curvatura k(t) en cualquier punto t de su trayectoria.

K(t)=?T =

T =

=

= =

EXAMEN DE MEDIO CURSO 2014-0PREGUNTA 1: Sea con unitario y ortogonal a tal que , donde a) Parametrizar la curva descrita por mediante el parmetro longitud de arcob) Hallar la curvatura y torsin de la curvac) Identificar la curva descrita por Solucin: Por datos tenemos que es unitario y es unitario y entonces,Z

YX

Entonces reemplazando tenemos: = (1;0;0) + (rcost)(0;1;0) + (rsent)(0;0;1) = (1;0;0) + (0;rcost;0) + (0;0;rsent) = (1;rcost;rsent)Ahora nos piden:a) Parametrizar la curva descrita por f(t) mediante el parmetro longitud de arcoSea longitud de arco S, entonces tendremos por determinar: = donde t = (s)Ahora la longitud de arco S ser:s= ..Ecuacin general = (1;rcost;rsent), derivando la funcin tenemos (0; -rsint; rcost), obteniendo su mdulo: = = r, reemplazando en la ecuacin general:

S = S = rt/0t S = rtt = (s) = = (1; rcos(); rsen()), por lo tanto:= (1; rcos(); rsen())

b) Hallar la curvatura y torsin de la curva:Para la curvatura:

K(t)= donde: = (0; -rsint; rcost) = (0; -rcost; -rsent) t)t) + ; 0; 0) ; 0; 0) ; 0; 0) r2, ahora= (0; -rsint; rcost) r = r3 , reemplazando en la formula de curvatura

K(t)= K(t)= Para la torsin: (t) = = ; 0; 0) r2= r4 : (0; rsint, -rcost), entonces reemplazando tenemos: (t) = 0

(t) = c) Identificar la curva descrita por

= (1;rcost;rsent), donde: x = 1

y = rcost y2 = r2cos2t (+) z =rsent z2 = r2sen2t y2 +z2 = y2 +z2 = (xr)2

PREGUNTA 3: Encontrar la curvatura (k), radio de curvatura () y el centro de circunferencia de una curvatura(c) de:

La curva definida por Solucin:Haciendo un pequeo artificio:Nuestra funcin quedara as: ( a) Derivando la funcin:

Quedar de la siguiente manera:

Hallando la segunda derivada:

Hallando la curvatura(K):

Hallando el modulo: = Como ya conocemos la primera derivada podemos hallar el mdulo de la siguiente manera: =

=

Reemplazando en la ecuacin de la curvatura:

Como conocemos k podemos hallar el radio curvatura:

b) Hallamos el radio de curvatura:

Reemplazamos la siguiente formula:

c) Para hallar el centro de curvatura de la circunferencia vamos a dar a T un valor que va ser 0.

Reemplazamos tanto en la primera y segunda derivada:

Hallando el producto croos:

El vector normal principal tiene la direccin del vector:

Por lo tanto la normal ser :N = (0, 0,0)

d) Formula del centro de curvatura:

=

Reemplazando la frmula:

TERCERA TAREA ACADEMICA 2014-0PREGUNTA 2: dada la funcin hallar las derivadas parciales mixtas:a) b) Solucina) ?= yzexyz+ze-ysen(xz)= zexyz+xyz2exyz-ze-ysen(xz)=xyzexyz+exyz+2xyzexyz+x2y2z2exyz-e-ysen(xz)-xze-ycos(xz)exyz(3xyz+x2y2z2+1)-e-y(sen(xz)+xzcos(xz)b) ?(Fzxy =fxyz=fyzx=..)por propiedadFxyz( x;y;z) = e xyz(3xyz+x2y2z2+1) e-y(sen(xz)+xzcos(xz)PREGUNTA 3B: Para la funcin la ecuacion de laplace es: + + = 0, probar que la funcin satisface la ecuacin dada.Solucin

Por simetra podemos realizar lo siguiente:

Realizamos la suma + + = + ( ) + ()Efectivamente la suma nos da como resultado 0De esta manera podemos comprobar que la funcin satisface la ecuacin.EJERCICIO 4: Calcular la derivada direccional de la funcin: en el punto (1,1,1) y en la direccin del vector y analizar si la derivada hallada es la mxima derivada direccin de la funcin en el punto.

Solucin

Entonces:

Sacando unitario de :

Reemplazando:

La derivada direccional mxima y mnima es: 1. Mx 2. Mn Entonces: Mx

Mn

Si es la mxima derivada direccional.

EXAMEN DE FIN DE CURSO 2014-0PREGUNTA 1: Encontrar el volumen del solido dentro del cilindro Solucin

ADEMS:

UNIVERSIDAD DE HUNUCOFACULTAD DE INGENIERAE.A.P DE INGENIERA CIVILUNIVERSIDAD DE HUNUCO

EJERCICIO 2: CALCULAR ,Si R es la regin limitada por la grfica de la ecuacin:

Solucin

Luego la regin de interseccin en el plano polar est dada por

PREGUNTA 3:

Para esto calculamos el lmite por lminas

y

0x

POR HOSPITAL

PREGUNTA 4: Demostrar que la Derivada de la funcin: u = f (x,y,z) en la direccin de su gradiente es igual al mdulo de este.Solucin

EXAMEN SUSTITUTORIO 2014-0

PREGUNTA 1: Estudie si la ecuacin define implcitamente a X como funcin diferenciable de la forma en un entorno del punto P (1, 1,1). Si as ocurre. Calclese y en el punto P.Solucin

)+C PREGUNTA 2: Estudie la integral impropia

DONDE D ((X,Y) XSolucinYSabemos que:X

0 entoces Y=a 00

V=

PREGUNTA 4: demuestre que la funcin de cobb drauglas para la produccin (p=blk) cumple con la ecuacinSolucinPPrimer Paso: derivamos la funcin P con respecto a L ()-1KSegundo paso: derivamos la funcin P con respecto a K ()K-1

-1K +KK-1 -1+1K + K-1+1 -K + K -K + K + (+)p

PRIMERA TAREA ACADEMICA 2015 0 PREGUNTA 2: Demostrar que SolucinConsiderando y ; se tiene que:

- - - - - s=; entonces - - - - - Reemplazamos en :

- - - - -De los conceptos de torsin y curvatura tenemos que:

Reemplazando por :

Ahora en:

Entonces en - - - - -De

Como :

PREGUNTA 3: Probar que N = - kT + BSolucinSabiendo que: - - - - -Necesitamos hallar y ; del concepto de torsin y curvatura tenemos:- - - - - - - - - - Reemplazando en :

Ahora tenemos:

- - - - - Del concepto de Longitud de Arco:

- - - - - Reemplazando :

- - - - - Reemplazando en :

Ahora en

Derivamos:

2014 0