Calvo - Metodo de Runge y Kulta

5/10/2018 Calvo - Metodo de Runge y Kulta

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ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS,QUIMICAS Y NATURALES DE ZARAGOZA

LOS METODOS DE RUNGE-KUTTAEN LA RESOLUCION NUMERICADE ECUACIONES DIFERENCIALES

DIS CURS 0 DE INGRESO LEIDO POR EL ACADEM ICO ELECTOIlmo. Sr. D. MANUEL CALVO PINILLAEN EL ACTO DE SU RECEPCION SOLEMNE

CELEBRADO EL DIA 10 DE M"ARZO DE 1998.y

DISCURSO DE CONfESTACION POR ELlimo. Sr. D. MARIANO GASCA GONZALEZ

ACADEMICO NUMERARIO

Z ARAGOZ A. .1998


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Deposito legal: Z. 516 - 1998imprime:

Sdad. Coop. de Artes GraflcasLlBRERIA GENERALPedro Cerbuna, 2350009 Zaragoza


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LOS METODOS DE RUNGE~KUTTAEN LA RESOLUCION NUMERICADE ECUACIONES DIFERENCIALESPOREL

limo. Sr. D. MANUEL CALVO PINILLA


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Excmo. Sr. PresidentsExcmos. e Ilmos. Sres.: AcademicosS fioras y Senores

Quisiera comenzar mi interveneion en este acto expresando mi mas pro-fundo agradecimiento a los miembros de esta Academia y de un modo espe-cial a aquellos que promovieron rni eleccion, poniendo de manifiesto la gransatisfaccion que he sentido al verme honrado con vuestra confianza.

Por otro lade y continuando con e1 capitulo de agradecimientos, quierorecordar en primer lugar a mis Profesores de Maternaticas en esta Facultad(algunos de los cuales pertenecen a est a Academia), cuyo ejemplo y dedi-cacion fueron el estimulo mas decisive para mi vocaci6n matematica. Enparticular, a mi maestro el Prof. D. Rafael Cid, el cual, al finalizar mis estu-dios de licenciatura, me inicio en la investigaci6n en el campo de 1a MecanicaCeleste dirigiendo mi tesis doctoral y guiando mis primeros trabajos en estetema y posteriormente durante toda mi vida profesional proporcionandomevaliosos consejos y sugerencias.

Seguidamente quiero agradecer a mi amigo y compafiero Mariano Gascano solo el que haya aceptado apadrinar mi ingreso en esta Academia, sinotarnbien su apoyo personal y profesional durante mas de dos decadas. Acasovalga la pena recordar que Mariano fue el primer Catedratico de AnalisisNumerico de nuestro pals y que alla por los aiios setenta, durante su estanciaen Bilbao, ya entre en contacto con el para reeabar sus orientaciones en dis-tintos problemas de Analisis Numerico y que desde entonces nuestra amistady colaboraci6n ha continuado ininterrumpidamente hasta este momento.

Asimismo he de reconocer que en mi quehacer investigador he side unapersona especialmente afortunada ya que durante toda mi carrera en lasUniversidades de La Laguna y Zaragoza he contado con unos colaboradoresexcepcionales: J.1. Montijano, S. Gonzalez, T. Grande, L. Randez, y un largoetc. han side y son el principal estimulo de mi actividad investigadora.

Tambien quiero hacer patente un especial agradecimiento a mi entornofamiliar por el constante apoyo y la comprensi6n que me han dispensado a1 0 largo de estos aiios, en particular a Maite, a Pilar y a Belen.

La adrnision en la Academia de Ciencias de Zaragoza representa en micaso un inmerecido honor y he de reconocer que la redaccion de este discurso

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ha sido debida principalmente a D. Nacere Hayek y a D. Horacio Marco,Presidentes de las Academias de Tenerife y Zaragoza respectivamente, queen los ultimos meses han sido los catalizadores que me han animado a suconclusion definitiva.

Asimismo, me siento orgulloso de ocupar en esta Academia el lugar queocupo D. Teodoro Rios Balaguer, prestigioso arquitecto zaragozano que nosolarnente es conocido por las obras de consolidacion que dirigio en la Basilicadel Pilar, sino por el diseiio y la restauracion de muchos otros edificios ennuestra ciudad y fuera de ella. Sirvan de ejemplo los colegios del SagradoCorazon, Escolapias y Teresianas de Zaragoza, asi como la Residencia Uni-versitaria de Jaca y las restauraciones de la Catedral de Tudela y la Iglesiade Santa Maria la Real de Sangiiesa.

En cuanto al tern a sobre el que voy a hablaros 10 he elegido porque con-fiuyen en el varias razones: Acaba de cumplirse un siglo de la introduccionpor parte de Runge [19] de los metodos de Runge-Kutta los cuales, debidoa su sencillez y eficiencia, han jugado un papel fundamental en la resolucionnumerica de ecuaciones diferenciales. Puede decirse sin temor a equivocarseque en, cualquier curso elemental de Calculo Numerico que incluya ecua-ciones diferenciales, aparece inevitablernente un celebre metoda de cuartoorden debido a Kutta, que se suele llamar "el metoda de Runge-Kutta". Porotro lado, a pesar de ser un tema clasico en el que desde hace afios todoparecia estar descubierto, las investigaciones han continuado y continuan enla actualidad no solo con el descubrimiento de nuevas formulas con mejorespropiedades de aproximacion y estabilidad que permiten mejorar el softwareexistente, sino tambien con el disefio de metodos Runge-Kutta especiales,adapt.ados a tipos particulares de problemas diferenciales, como pueden serlos asociados a fiujos ortogonales, hamiltonianos etc. Asimismo me prop or-ciona la oportunidad de referirme a algunas investigaciones llevadas a cabojunto a algunos de mis colaboradores en los ultimos afios.

Finalmente, unos breves comentarios sobre la presentacion del tema.Cualquier problema de matematica aplicada, y en particular la resolucionnumeric a de sistemas diferenciales, es susceptible de distintos enfoques segunel punta de vista que se adopte. Asi, para los cientificos e ingenieros unintegrador numerico cs una herrarnienta que le ayuda a analizar e interpre-tar el comportamiento de sus problemas. En consecuencia no suelen dedicarsu tiempo a analizar los detalles matematicos del integrador y 10 consider an

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mas bien como una receta que hay que usar adecuadamente, ayudandosede ciertas dosis de intuicion numerica. Otro punto de vista diferente es elde las personas relacionadas con las ciencias de 1 8 0 cornputacion. Para elIoslos aspectos algoritmicos 0 los relacionados con 1 8 0 arquitectura de los or-denadores son los mas importantes. Por ultimo, para los matematicos, losintegradores de sistemas diferenciales constituyen un elemento mas dentro desu mundo matematico, cuyas propiedades hay que estudiar usando no sololas herramientas teoricas adecuadas de Analisis, Algebra, Geometria, etc.,sino tambien la experimentacion numerica. En mi caso, he de confesar quepar mi formacion y dedicacion durante los iiltimos afios mi punta de vistaesta proximo a esta ultima linea. Sin embargo, puesto que buena parte dela audiencia no es exclusivamente matematica, he renunciado a dar una pre-sentacion rigurosa y he preferido hacer uso de la intuicion siempre que hasido posible.

1 Breves comentarios hist6ricos sobre las ecua-ciones diferenciales

Como es bien conocido, la aparicion de las ecuaciones diferenciales estahistoricamente ligada a 1 8 0 del calculo diferencial y suele asociarse a los nom-bres de Newton y Leibniz. Recordemos 8 0 1 respecto que Newton (16421727)en su tratado sobre el calculo diferencial de 1671 1, ya consider a varios ejern-plos de ecuaciones de primer orden. En particular, en (Problema II, SolutioCasus II, Ex. 1) considera el problema de valor inicial de primer orden con-sistente en calcular una funcion y ( x ) tal que

y' =1- 3x + y + x2 + X y, y ( O ) = 0,y 10 resuelve por desarrollo en serie usando un procedimiento iterativo, esdecir dada una aproximacion de Taylor Y a ( x ) ala solucion buscada, sustituyeesta en el segundo miembro de 1 8 0 ecuacion diferencial e integra el polinomioresult ante para obtener una nueva aproximacion mejorada de la anterior. Deesta manera, tras aplicar dos veces el proceso partiendo de Y a ( x ) = 0, llega

1Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitarum, edit. Londini, 1736

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a obtener la siguiente aproximacion de orden seis131< \ 15 16'I)=T - xx+ -x - -x + -x - -x &c, 3 6 30 45'

Sin embargo, los estudios mas relevantes de = ' J ewton en relacion con lasecuaciones diferenciales se encuentran en sus "Principia Mathematica", pu-blicados en 1687 y que fueron elaborados, al parecer, una veintcna de afiosantes. En estos estudios, Newton introdujo el modelo gravitatorio basadoen la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia para des-cribir el movimiento de los planet as del sistema solar, y par tanto planteolas ecuaciones diferenciales que han servido de base para todos los estudiosposteriores de Mecanica Celeste.

Por 10 que respecta a Leibniz (1646-1716), su relacion can las ecuacionesdifercnciales y en general con el calculo diferencial suele datarse unos afiosmas tarde que en el caso de Newton. Mas concretamente, tras su estancia. ellParis (1672-1676), entre en eontacto con las ideas del pre-calculo de Cavalieri,Pascal, Fermat, etc. y a raiz de esa cpoca se produjeron sus contribucionesmas dccisivas en cl ambito maternatico. Asi, hacia 1676, ya envio una carta IIHuygens 2 en la que aparecen las ecuaciones diferenciales obtcnidas al resolverel problema gcornetrico de las tangcntes inversas.

Como es bien sabido la controversia dialectics entre Newton y Leibniz fuemuy intensa en su epoca, ya que el primero acuso reiteradamente al segundode plagiar sus descubrimientos, aunque en realidad parece que Leibniz de-sarrollo independientemente sus ideas, si bien en ciertos aspectos del calculodifcrencial las ideas de ambos tuvieron puntos en comun.

En mi apreciacion personal, la figura de Leibniz ha quedado a menudooscurecid a par la brillantez de la de Newton, pero creo que la originalidadde sus soluciones y la vision futurista dada par Leibniz a muchos problemasjust.ificarian un rnejor conocimiento de su obra, particularmente en el ambitode la nratematica constructivist a, y por ella voy a permirrne dedicarle una.breve referencia.

Gottfried Wilhelm Lcibniz nacio en Leipzig en 1646 en cl seno de unafamilia acadernica y ya desde nino fuc un avido devoradar de libros de las

21VIcthodllS; qua innuznerarum linearuTIl construction ex data ... Letter to Hiiygens, ill:G.1. GerdlJardt, Leibnitzcns math. Schriftcn, 1850, Band II, pp. 116-121

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mas variadas disciplinas. Todos sus biografos reconocen su gran memoria ysu capacidad de trabajo. Estuvo en la Universidad de Leipzig entre los 14 v22 afios, presentando a dicha edad su doctorado en Jurisprudencia titulado"Sobte CClSOS diffciles OIl Leyes" en cl cual proponia definir toeios los concept oslegales en funcion de un minirno numero de conceptos basicos y deducilasimismo las leycs de estes. Poco tiempo despues, present.o una discrtacionen Filosofia titulada "Ei arte de las Combinaciones" , en la que present a unacspecie de lenguaje universal que puede considerase en cierto modo comoprecursor del algebra de Boole, ya que asocia a cada concepto primitive uunurnoro primo y posteriormente los conceptos compuestos iran asociados ,]la Iactorixacion corrcspondicntc (p.e. si hombre f--'> 3 Y raciorial


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la maternatica pura con las ciencias aplicadas, de tal manera que, ecuacionesparticulares que han aparecido en el estudio de algunos modelos practicos,han dado la pauta para el desarrollo de teorias con los mas sofisticados re-cursos matematicos

Serfa inacabable hacer aqui una enumeracion somcra de import.antesmatematicos cuyas contribuciones han estado ligadas al desarrollo de lasecuaciones diferenciales y por tanto renunciaremos a dicho empefio. Sin em-bargo insistiremos en que en los ultimos afios muchos problemas planteadosen el ambito de ecuaciones diferenciales siguen siendo fuente de inspiracion denuevas teorias matematicas. Podemos recordar al respecto el famoso mode-1 0 de Lorenz [16], propuesto por este aut or en 1979 a raiz de sus estudiosnumericos de prediccion meteorologic a que, a pesar de su aparente simplici-dad, llevo a la introduccion de los llamados atractores extrafios, posterior-mente relacionados con las bifurcaciones y las cascadas de Feigenbaum.

Los estudios de ecuaciones diferenciales, debido a su amplitud y a suvaricdad t.ematica, fie sue len clasificar en ecuaciones diferenciales ordinarias(EDOs) y ccuaciones en derivadas parciales (EDPs). Mientras que en lasprimeras las funciones incognitas dependen de una sola variable independicn-te, en las segundas depende de varias variables. Las ecuaciones de Maxwell,Navier-Stokes, etc., son ejemplos de estas ultimas. Si bien hay aspectoscomunes a la resolucion numerica de ambos tipos de ecuaciories, en generalla metodologia es diferente y nosotros nos referiremos en los sucesivo a lasEDOs.

2 Los met.odos Runge-Kutta explicit osComo ya se ha comentado anteriorrnente, en el estudio de las ecuacioncsdiferenciales, la herramienta numerica ha jugado siempre un papel impor-tante, debido a que la mayor parte de las ecuaciones que aparecen en losproblemas practices no se pueden resolver exactamente y por tanto hay querecurrir a algun tipo de aproximacion para tenor idea del comportamientode sus soluciones. Sin embargo, durante el siglo pasado y buena parte deeste, la impotencia de los medias de calculo fue una barrera decisiva para lautilizacion de muchos mctodos numericos, Esta situacion empieza a cambial'a partir de los aiios cuarenta-cincuenta con 1 8 . aparicion de los ordenadorcs

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electr6nicos y se ha acelerado especialmente durante los iiltimos vcinte ariescon la disponibilidad de ordenadores personales que poseen una clcvada ve-locidad de calculo y una gran capacidad de almacenamiento de datos. Estasposibilidades han tenido un doble efecto en la matematica nurnerica par unaparte ha sido posible abordar la resoluci6n efectiva de problemas que debidoa su cornplejidad habian quedado anteriormente fuera de toda consideraci6ny por otra parte, ha sido necesario desarrollar el software nccesario para hacerfrente a estos problemas con la maxima efieieneia posible,

Los c6digos usuales para la resoluci6n numerica de problemas de valorinicial en EDOs presuponen que el sistema a integrar est a escrito en la formanormal, es decir, como sistema explicito de m ecuaciones diferenciales deprimer orden

v ' =f (t, y), y ( t o ) =Yo E lR '", (1 )y calculan sucesivamente aproximaciones ala solucion exact a y = y(t), en uneonjunto de puntos t o < t 1 < ... del intervalo de integraci6n Yo, Yl, Y2 , ....

La resolucion numerics procede inicialmente en cl modo paso a paso,es decir , supuesto que conocemos una aproxirnacion Y a la soluci6n en elpunto t, el metoda nurnerico nos proporciona una nueva aproximacion Yn+]en el punta tn+ 1. Mas adelante veremos que tambien se puede aproximar lasolucion entre pares de puntos consecutivos.En este contexto los metodos se suelen clasificar en dos grandes farnilias:los llamados metcdos de un paso y los metodos multipaso. En los primerosso usa cxclusivamente la informacion de la solucion en un punta para obteneruna aproximacion de la solucion en el punta siguiente. En los segundos seemplea la informacion calculada en varios puntos previos para avanzar laintegracion al punto siguiente. Hay que notar que desde el siglo pasadoha existido una dialectica permanente entre las ventajas e inconvenicntcsde los metodos multi paso frente a los rnetodos de un paso. Por un lado seargumenta que en los metodos multipaso el emplear la informacion disponiblcde varies puntos previos -sin costa adicional- para mcjorar la aproximacionfutura les proporciona una clara ventaja respecto a los de un paso. POI'otro lado se afirma que los metodos de un paso refiejan mas fielmente clcaracter instantaneo del fiujo de un sistema eliferencial de primer orden, yaque el comportamiento depende exclusivamento del cstado inicial. Adernaslos rnetodos de un paso son mas facilmcntc irnplementables que los multipaso.

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Los metodos lineales multipaso tiencn una larga tradicion en la rcsolucionnumcrica de ODEs y est.an ligados historicarnente a los nombres de Adamsy Dashforth (1883) y Moulton (1926), que propusieron varias familias demet.orlos que !levan su nombre y se siguen ernplcando en codigos actualcs.Asirnismo, tras las importantes contribucioncs de Dahlquist a partir de losafios sesenta [9] recopiladas posteriormente en los clasicos libros de Henrici[El] y Grigorieff [12], existe una completa teoria que analiza 01 compor-t.armeut.o de dichos metodos con paso fijo e incluso bast.antes aspectos delpaso variable. Hacia los aiios ochenta, en colaboracion con varies colegas deDepartamento se dcsarrollaron investigaciones sobre estos mctodos, pero noprotcnclcmos aqui comentarlas ya que nos llovarian fuera del objet.ivo de est.aconfcrcncia.

En cl marco de los metodos de un paso, el mas seneillo cs 8 1 llamaclode Euler xplicito 0 de las tangentes descrito por este aut.or en 1768,1 ellel cual la solucion numerica avanza de ( t , C , Y n ) --+ ( t n+ l = tn + h, Y n f - I )mediante la formula: Yn+l = Y + hf( tn, Yn). Desde un punto de vistageometrico, el metodo avanza la solucion numerica a 10 largo de In t.angentcal flu.io en el punto considcrado. Esta formula es bien simple de programary solo rcquiere una cvaluacion de la funcion f(t, y) en cada paso, pero suprincipal inconvenientc reside en que para lograr buenas aproximaciones esncccsario tornar pasos I I , mny pequeiios y por tanto la intcgracion avanza muylcntamcnte. En efocto, los errores locales, es decir, los introducidos en cadapaso, son del orden de 1 1 , 2 por 1 0 que cl metodo es de primer orden.

Una idea que podria utilizarse para mejorar la aproximacion sin perderel caracter unipaso podria ser usar la bien conocida f6rmula de Taylor delcalculo infinitesimal, en la cual se aproxima una funci6n alrededor de unpunto usando los valores de la funcion y de sus derivadas en e1 punto consid-erado. En particular, si se cumplen ciert.as condiciones suficientcs de dcriv-abilidad para la solucion de (1), podemos aproximar 101olucion de la ecuaciondiforencial en tn+l =tn + l i, a partir de los valorcs iniciales Y ( tn) = Yn Paraello ncccsitamos cvaluar las derivadas y' = f(t,y),y" = ft + f)/f etc., en clpunr.o ( t nYn) . Sin embargo, salvo en algunos problemas muy concretes en losquc: C C i posiblc calcular faci1mente las derivadas sucesivas de y' = L hay quecntrar en manipulaciones de la ecuacion difercncial que son particularment.e

:;fm tit l l t jon us C alcu lj In tegrali,;, Caput VlT, pp. 424

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cngorrosas en 8 1 caso de sistemas difcrcncialcs y la rcalidad es que el usuariol.ipico prefiere evit.ar complicaciones . y 10 que dcsca cs dar exclusivamcnt.o laecuacion difercncial + condiciones irucialcs . y rccibir de una rnancra clara lainformacion numerica 0 grafica que le int(:rcISC sobrc la solucion l'or tantolos rnctodos basados en la formula de Taylor no han tenido basta el mo-mente -salvo en algunos problemas concretes- dcmasiada difusion, aunquelas posibilidadcs de lo s actuales manipuladorcs algebraicos les abren nuevaspcrspccti vas futuras al rnenos para tipos particulares de sistemas difercn-ciales.

Otra alternative para obtener mctodos de un paso con orden mayor queuno, propuesta haec aproximadamente un siglo por Runge; [191, consist.e ('IIutilizar r eevaluaciones succsivas de la funci6n f(t, Y) (:11 punt.os adcl:lludu.c.;,pOl' ejernplo, estc autor observe que si forrnarnos succsivarncnt.e las cvalun-crones de funci6n:

gl = f(tn, Yn), g2=f(tn + h , Yn + (h/2) gl),la formula Yn+ I = Y n + hg2, ya tienc orden dos, es dceir que los errorcslocales son proporcionalcs a h3. Por tanto, usando Ia idea de Runge, condos ovaluaciones de funcion por paso, so pucdcn deducir formulas de segundoorden.

Otras formulas de mayor orden fueron propucstas t.ambien pm Runge: PI ISl1 trabajo de 1895 y por Heun y Kutt.a en trabajos post.eriorcs. En part.icula.est.a la bien conocida

donde gI= f (tn , v-) ,g2 = f(tn + h/2, Yn + (11/2) (gd),g3 = f(tn + h/2,Yn + (h/2) (g2)),g l( = f(tn + h . , Y n + 1 1 g3).

que es de cuart.o ordcn y que se conocc a mcnudo como "Ia formula de Runge-Kut.ta". Dc ella ya dijo Runge cnlD05: "Von den ncucrcn Verfahren haltcieh das folgcndc von Hcrrn Kutt.a angegebcnc fiir das bcste" y pareco quetenia razon, ya que por su simplicidad, su facilidad de prograrnacion y lossatisfactorios resultados numericos que proporciona, ha sido yes arnpliament

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usada estando incluida en la actualidad en muchos manipuladores algebraicos( MAPLE, MATLAB,Mathematica, etc).

Desde un punta de vista algo mas general un metodo de Runge-Kuttaexplfcito cs un rnctodo de un paso que avanza la solucion dcsde ( t n , Yn) a(tnt-l =t .; + h , Yn+d, usando una formula del tipo

(2 )donde las llamadas etapas gj , ... ,gs se calculan sucesivamente desde las ecua-ciones gl = f(tn, Yn),

gz = f ( tn + c2h, Yn + hO,21g1),g3 = f ( tn + C3h, Yn + ha31g1 + ha32g2) , (3 )gs = f(tn + e n h, Yn + haslg, + ... + has,s-lgs-d

El rnimero 5 de evaluaciones de funcion en el algoritmo anterior S8 llama"numero de etapas" y frecuentemente es considcrado como una medida delcosto computacional de la formula considerada. Los parametros reales b i yai) se llaman respectivamente pesos externos y pesos internos de la formulay los C;=ail + ... + ai,i-1

Tras Ia intrcduccion de los primeros metodos RK hacia finales del siglopasado por Runge y las posteriores contribuciones de Kutta y Heun a comien-zos del siglo actual, el desarrollo de nuevos rnetodos queda practicamenteparalizado. Hay que notar que, con los medios de calculo existentes en Inprimer a mitad del siglo, las formulas de cuarto ordcn implementadas conpaso fijo eran la base de los metodos de maxima precision. Sin embargoa rnedida que los cientlficos e ingenieros van disponiendo de orden adoreselectronicos se lanzan a realizar experimentos nurnericos mas complejos y seobserva que es necesario disponer de integradores mas potentes que los ex-istentes. Mostraremos esta situacion con un ejemplo sencillo: Sc trat.a delmodelo que describe el movimiento de un vehiculo espacial en el campo grav-itatorio creado por la Tierra y la Luna, que en Mecanica Celeste se llamaproblema restrigido de los tres cuerpos. Para simplificar vamos a suponerque let Luna describe una 6rbita circular plana alrededor de la Tierra y q\leel vehiculo se mueve en el plano Tierra-Luna. Tomando un sistema de co-ordenadas cart.esianas con origen en e1 c.d.m. de la Tierra y lit Luna, de tal

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manera que la Tierra aparezca fija en el punta (-1-'-,0) y la Luna en el punta(1 - II . = 1-'-',0) can I - ' - = = 0.012277, las coordenadas (x , y ) del vehfculo espacialvorifican las ecuaciones

II , I ( X + I - ' - ) ( X - f l , ' )x =x + 2y - / - L 6.3 - / - L 6.3 '1 2 " 2 I , Y YY =Y - x - / - L ~ - / - L -1\3 1\3Wj W2,donde: 6.1 = J ( X + / - L ) 2 + y2 y 6.2 = J ( X - / - L ' ) 2 + y 2 represent an lasdistancias del vehiculo espacial a la Tierra y Luna respectivamente.

Es bien conocido desde Poincare que este sistema posee diferentes familiesde orbitas periodicas, pero salvo casas excepcionales no se pueden expresarexplfcitamente mediante funciones elementales. En particular para las condi-ciones iniciales

x ( O ) = 0.094, x ' ( O ) = 0, y ( O ) = 0, y ' ( O ) = -2.00115851063,tenemos una 6rbita (de la Hamada familia de Arenstorf [1] ) de periodoT = 17.0652165601 .... En la Fig.1 se muestran las graficas de las trayectoriasobtenidas para diferentes metodos: El metoda de Euler (can paso fijo) , elclasico metoda RK de cuarto orden (tambien con paso fijo) y el metodoDOPRI54 [10] de orden cinco que selecciona automaticamente e1 paso.

Metoda: Euler (paso fijo) RK4 (paso fijo) DOPRI (paso var)Numero de Pasos 24.000 6.000 75

Puede observarse que e1metoda de Euler desde el inicio de la integraci6n,que esta proximo a una singularidad del sistema diferencial, se pier de com-plctamente y los resultados numericos son totalmente equivocados, el metodaRK sigue mas estrechamente a la solucion exacta, pero los errores son tarnbieninaccptables y finalmente el meta do DOPRI54 que es de orden cinco llega alfinal del periodo can err ores del orden de la milesima.

Estc sen cillo cxperimento nos ilustra acerca de las dificultades que pede-mos cncontrar en la integraci6n numeric a de ecuaciones diferenciales cuandose usan f6rmulas con paso fijo y si el orden de la formula es bajo: Si est amosrecorricndo una parte del intervalo de integracion en el cual la soluci6n variamuy rripidarnente (es decir hay derivadas grandes) convendra tomar pasos

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pcquefios para que los errores eometidos en eada paso no nos invaliclen losresultados que se obtengan en 81 resto de la integraci6n. Por cl contrario, siest.amos recorriendo un subint.ervalo de variacion lenta de la solucion, seraposible avanzar con pasos mas grandes, ya que los errores introciucidos serrinmenores que cl error maximo admisible. Un ejcmplo tipico de est.a situacionso prcscnta en la int.egraci6n del bien conocido problema. de los clos cuerposcon exccntricidades proximas a la unidad, es decir. con orbitas elipticas muvcxccntricas proximas a parabolicas. De acuerdo con la ley de las Areas ell lasproxirnidades del perigee, la vclocidad eS muy grande y por tanto los pasosdebcn ser pequefios y todo 1 0 eontrario ocurre en el apogeo.

3 Mctodos Runge-Kutta adaptativosBacia cl COlDlel1ZO de los anos sesenta sc Iue haciendo patcntc que un in-tegracior numerico de uso general no podia consistir cxclusivarnonto en unaformula (incluso de alta precision) Cinese aplica rcitcrudarncntc con un pasoIijo II . Y Tins va calculando sucesivarncntc aproximacioncs a la solucion de laCCllClCi{1l\ difercncial (lcJda en los puntos de una red uniforrne del intervale deilll.c:gT;I.(.i(lll io , to + h, to + 2h , . ... Experimentos numcricos como cl que: scaCilh;1. de rnostrar nos indican que para obtcner resultados fiables cs nccc-sario, a veces, t.omar pasos de integracion muy pcqucnos y csto conllcva dosdiiicult.adcs: POl' una parte el proceso cs muy lcnto .y por otra los errorcsde rcdondco -inevita.bles en todo calculo numcrico pueden contaminar ('1resultado de tal forma que este resulte totalmcnte inv.ilido. En resumen.un integrador numcrico que avanza la integracion con "velocidad" constantepucde no scr fiable para algunos problemas y scr ia mas logico que let velocidadde avarice de la solucion se fuera adaptando automaticamcnte a la nat.uralezade csta, de tal mancra que si en una parte del intervale de intcgracion hayalguna componente que varia rapidamentc los pasos scan pequciios y pOlcl contrario si la soluci6n varia lcntamonte los pasos scan largos. De est.arnancra surgieron los llamados rnetodos aclaptativos en los que, ademas deuna formula de avance de ia solucion, se debe incluir un algoritrno de se-leccion del paso. Respecto a estc ultimo aspect.o una posibilidad cvident.ces dejar dicha seleccion en manos del usuario para que la llcvc a cabo to-nicndo en cuenta su conocimicnto de la solucion, sin embargo ell la mayor

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parte de los casos el usuario no tiene la informaci6n necesaria para ella yademas en general prefiere no ocuparse de este aspccto que le sup one tenorque intervenir en el programa de ordenadar, par tanto de acuerdo can los re-querimientos practices, la investigaci6n se orient6 a buscar mccanisrnos queseleccionen automaticamente el paso y que sean asimismo fiables. Divcrsosestudios te6ricos muestran que la seleccci6n autornatica del paso se puodobasar en diferentes magnitudes, de todas ell as las mas us ad as est.an basadosen el error local y en el defecto de la solucion numerica. En cl contexte cl(~los metodos numericos el error local en un punto ( t n , Yn) es el error cornetidoal avanzar un paso desde dicho punta y obviamente dicho error dcpende dela longitud del paso, por tanto se trata de ajustar dicha longitud, de mancraque el error se mantenga inferior a una tolerancia de error prefijada pm elusuario. A la vista de esto se trata de idear procedirnientos que proporcionenuna buena estimaci6n del error local y que no requieran un cxcesivo cost.ecornputacional.

Los primeros estimadores del error local para rnetodos adapt.ativos sebasaron en la vieja idea de extrapolaci6n propuesta par Richardson [ 1 8 1en 1927. Puesto que el error local EL =EL(h; tn , Yn) al intcgrar can unmetoda de orden p y paso h desde el punta ( t T " Y n ) , es asint6ticamcnte equiv-alente a C(tn l Y n )h P+1 con una cierta funci6n C, es decir, EL(h ; t,!> Y n ) =C(tn , Y n )hP + 1 + O ( h P + 2 ) , se pueden dar dos pasos consecutivos de tarnafioh y simultaneamente uno de paso 2h y, comparando los dos resultados trasunas sencillas operaciones, estimar asint6ticamente el error local para dichopaso h, EL (h) . Este procedimiento es conceptualmente sencillo y ademas laexperiencia le confiere un alto graclo de fiabilidad, por 1 0 cual fne muy us-ado en los prirneros rnetodos adaptativos, en conjunci6n con varias formulasconocidas de ordenes cuatro . y cinco. El principal inconveniente del estimadorde cxtrapolacion radica en su elevado coste computacional, ya que cada dospasos consecutivos hay que dar un paso adicional doble que es cl que real-mente permite cstirnar cl error local y verificar si este se manticne pur dcbajode la tolerancia prefijada, 10 que supone en principia un cincucnta por cicnt.ode coste adicional respecto a una integraci6n a paso fijo. Adem as, si cl errorlocal es menor que la tolerancia cl paso se acepta y la integracion continuar.ican un nuevo paso, que dependera del tarnafio del error local frcntc a la t01-erancia, pero si el error local es mayor que la tolcrancia hay que rcajust.ar clpaso y volver a repetir el proceso can un nuevo paso mas pcqucfio, por tanto

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los pasos fallados suponen un notable coste extra. En los primeros codigos,par razones de sencillez, los aumentos 0 disminuciones de paso se reducianexclusivamente a multiplicar 0 dividir por dos el paso previamente usado yaque en tal caso para la reduccion se puede usar una parte de la informaciondel paso fallado, pero luego de ha visto que de esta manera se limita notable-mente la flexibilidad del codigo y se han propuesto variaciones mas ampliascompatibles con la seguridad del codigo.

Debido al alto coste computacional del procedimiento de cxtrapolacion soabrio paso una nueva idea para dotar a los metcdos RK de una estimaci6ndel error local. La idea, que consiste en usar 1 0 que se llama un par encajadode formulas RK, es conceptualmente muy simple, ya que se trata de usarlas misrnas evaluaciones de funcion empleadas en un paso gi, i= 1,2, ... , s(3) para calcular dos aproximaciones a la solucion Y71+1, Yn+ l de distintosordenes (generalmente consecutivos) pongamos p y p + 1; en tal caso ladiferencia entre estas dos aproximaciones Y 71+ J - Yn } I, es una estimaci6nasintoticarnente correct a del error local de la formula de orden mas bajo. As!pues, las misrnas evaluaciones de funci6n gi (que suponen la mayor partedel costo computacional) se usan simultaneamente para obtener 1a solucionnurnerica y estimar su error. Basandose en esta idea, varios autores comoMerson (1957), Ceschino (1961), Zonneveld (1963), propusieron mctodos decuarto orden con ciertos estimadores del error local, que han sido utilizadosen distintos programas de usa general y se han empleado durante mas de dosdecadas. Sin embargo, la obtencion directa de pares de formulas de mayororden presentaba tales dificultades que 1a hacian practicamente inabordable.

El panorama empez6 a cambiar tras la aparicion de un memorable trabajode Butcher [3] en 1963, que ha supuesto no solamente la mayor contribuci6nal estudio te6rico de los metodos RK, sino que tambien ha tenido, como vcr-emos mas adelante, import.antes implicaciones practices. En dicho trabajo seintroducen unas series forrnales, posteriormente llamadas par Hairer y Wan-ner [ 1 3 1 Bv-series, cuyos terrninos estan en correspondencia biunivoca con losarboles de raiz de la teoria de grafos y por tanto puedcn generarse recur-rentemente, de tal manera que, las soluciones analitica y numerica, puedenexprcsarse en forma de B-series, 1 0 que permite analizar su orden de conver-gencia y el error local. Del estudio de Butcher [3] se deducen las ecuacionesindependientes que deben satisfacer los coeficientes de una formula, para quetenga un orden dado. Estas ecuaciones son no lineales y su mimero para un

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orden dado p es el que se recoge en la siguiente tablaOrden

Numero EcuacionesTabla 1: Numero de ecuaciones de condicion para alcanzar un orden dado

Como puede apreciarse el mimero de condiciones crece muy rapidamentccon e1 orden, y as! para obtener un par de formulas de ordenes 4-5, es nece-sario rnanejar 8+17=25 condiciones y elegir los parametres disponibles demancra que se satisfagan las ecuaciones de condicion. Adernas, como talesecuaciones son no lineales y resultan bastante complicadas, podemos hacernosuna idea de las dificultades que se presentan para obtener pares de ordenesmedic-altos. No obstante, introduciendo algunas relaciones entre los coefi-cientes (llamadas hipotesis simplificadoras), es posible reducir el numero decondiciones y hacerlas mas manejables y as! se han propuesto distintos pares,entre los cuales los mas conocidos son los de Fehlberg [11], varias farnilias deVerner [23]' Dormand & Prince [10], [17] y Calvo, Montijano & Randez [5].Cron6logicamente, los prim eros pares fueron debidos a Fehlberg y entre elIoscabe citar un par 4-5 que, popularizado por Shampine [21], [22], es bien cono-cido por los usuarios de muchas librerias como integrador para precisionesmedias. Asmismo hay que mencionar que un par de Fchlberg de ordenes 7-8es bien conocido (particularmente entre los astronomos) como integrador dealta precision. Por otra parte Verner es aut or de varias familias de formulasde distintos ordenes, que han ido acumulando sucesivamente mejoras a lasformulas de Fehlberg. Las formulas de Dormand & Prince [10] , [17] se en-cuentran entre las mas eficientes de la actualidad y buena prueba de ello esque sirven como punta de comparacion obligado a la hora cualquier nuevaformula que se proponga. En particular, el par propuesto por nosotros [5]en 1990, es una mejora del par 5-4 de Dormand &Prince y en la actualidadesta en fase de prueba para su incorporacion en la librerfa NAG.Como se ha comentado anteriormcntc la teoria de Butcher no solo fijalas condiciones para que una formula (0 par de formulas}' alcancen un ordendeterrninado, sino que nos proporciona expresioncs del error local en forma deseries asint6ticas en potencias del paso de integracion. Asi, para una formulade orden p el error local se puede escribir en la forma

EL(h) =hP+1 LCjDp+l,] + O(hP+2) (4)j

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donde los coeficientes ej dependen solo del metodo numerico y los Dp+1,j dela ccuaci6n diferencial-considerada y analogarnente para los tcrrninos de or-den p + 2 y siguientes. De acuerdo can csto, no solo interesa que una formulaposea el mayor orden posible, sino tambicn que los coeficientes del error de losterrninos de orden p + 1 (y si es posible tambien p + 2) scan 1 0 mas pequcfiosposiblc. En tal caso es claro que la minimizacion debe trasladarse exclu-sivamcnte a los coeficientes eJ, que depcnden exclusivamente del metodanumerico y no de la ecuaci6n diferencial. Los metodos de Fehlberg, Verner,Dormand &Prince y los nuestros, todos e110s fueron disefiados teniendo encuenta de una u otra forma, no s6lo el orden, sino tambien sus desarrollosasintoticos del error local de la formula de avance y del estimador. N at ural-mente este factor aiiadido (y otros que no vamos a cornentar aqui) suponenuna c:omplicaci6n adicional para la obtencion de formulas adaptativas de cal-idad, pero se ha visto que hay que tenerlas en cuenta para progresar en lamejora de la calidad de los metodos.

4 Los c6digos Runge-Kutta actualesCualquiera que haya pas ado por la experiencia de elaborar persona1mente ensu ordenador un programa para resolver algun problema de calculo nume-rico, sabc muy bien que, aunque el metodo usado sea el mas idoneo parala resolucion de su problema, una irnplementacion deficiente puede arruinartodas las buenas propiedades del metodo numerico. Esta norma generalno es una exccpcion en el ambito de la resolucion numerica de ecuacionesdiferenciales y por tanto la produccion de software RK de calidad no sepuede considcrar como una mera transcripcion de un metodo adaptativo,como los mencionados anteriorrncnte, al lenguaje de maquina.

Dentro de la gran variedad de c6digos RK que podemos encontrarnos enla actualidad, la mayor parte de e110s son realmente c6digos de uso particu-lar y solamente unos pocos pueden considerarse como codigos de usa general.Entcndemos por codigos de uso particular aquellos que han sido producidospor personas 0 gmpos de trabajo para resolver ciertos problemas diferencialesque sc presentan en 5U ambito de trabajo. Naturalmente tales c6digos no sue-len cstar rrmy documentados, ya que can frecuencia son usados por la mismapersona. que los ha producido y, en cualquier caso, su utilizacion se suele lirn-

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itar a un circulo restringido de usuarios con prop6sitos cornunes. Adernas, enestos c6digos solamente se calculan aquellas magnitudes de la soluei6n queinteresan a sus usuarios. Por el contrario los codigos de uso general, puestoque son de dominio publico, como minimo deben estar bien docurnentados.para faeilitar su uso y asimismo, deben incluir el mayor mimero de opcioncspara dar respuesta a la diversidad de problemas de los usuarios.

Aunque existen excelentes codigos de uso particular elaborados par in-vestigadores, dentro de sus arnbitos de aplicacion, en rni opinion est as noson demasiado frecuentes, ya que, a menudo, son producidos por no espe-cialistas y por tanto no reeogen las avances de la investigaci6n existente enel terna. Asi, es posible encontrar aun c6digos basados en una f6rmula IlK(tipicamente la de cuarto orden) actuando a paso fijo y sin ningun controlde error y estabilidad, con la pretensi6n de que pueda aplicarse a cualquierproblema. Esto es debido a que result a muy seneillo escribir un programa deeste tipo, pero hay que tener en cuenta que los "numeros" que sc obtenganpara ciertos problemas pueden tener escasa fiabilidad. De acuerdo con estasconsideraciones, pensamos que la mayoria de los e6digos de uso particularno dan, en general, una vision actualizada de los codigos RK y par cso noscentraremos en c6digos de uso general que estan producidos por especialistascan amplia experieneia numerica y que podemos encontrar en librerias deusa general.

Existen varias coleeeiones de codigos RK de uso general para la resolucionnumerica de problemas de valor inicial (no stiff) en EDOs ( una list.a de:"netlib" est a disponible en mail netlib @ornl.gob tecleando send index).Entre ellas podemos mcncionar las siguientes: RKSUITE debida a Brankin,Gladwell y Shampine [2] y que en sus versiones de F77 y F90 forma parte dela libreria NAG. En la libreria IMSL tenemos cl codigo DVERK producidopor Jackson, Hull y Enright y que utiliza un par 5--6 debido a Verner [23].En MAPLE (version 5.4) hay varias subrutinas disponibles: La RKf.15 , re-comendada para precision media, esta basada en un par 4-5 de Fehlberg yfue producida por Shampine haee ya bastantes afios. La DVERK78 que uti-liza un par 7-8 de Verner [23] que fue obtenido por este autor para sustituiral del mismo orden de Fehlberg y eliminar el problema de las cuadraturas enla estimacion del error local. IMSL tambien incluye otros codigos llarnados"clasicos" basados en formulas de orden mas bajo. En MATLAB, dentrodel "ODE SUITE", tenemos los codigos "ode 23' y "ode45", el primero esta

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bas ado en un par de 6rdenes 2-3 debido a Bogacki & Shampine y el se-gundo en el ya comentado par 4-5 de Dormand & Prince [10]. Puesto queen MATLAB las posibilidades graficas juegan un papel muy importantc, loscodigos estan provistos de interpolantes que evaluan la solucion en los punt osneeesarios para eonseguir graficas suficientemente lisas.

Con objeto de dar una vision mas cereana de los diversos aspectos quehay que tener en cuenta para elaborar un codigo RK de uso general, vamosa comentar someramente algunos detalles del RKSUITE, producido recien-temente por Brankin, Gladwell y Shampine [2], que ademas de ser autoresde la maxima solvencia, han aprovechado su experiencia previa en c6digosanteriores.

En primer lugar, este c6digo implement a tres metodos adaptativos basa-dos en pares de ordenes 2-3, 4-5 Y 7-8; los dos prirneros son debidos aBogacki & Shampine y el ultimo es el bien conocido de Prince & Dormand.Todos ellos actuan como metodos adaptativos can paso variable avanzandocon la so1uci6n de mayor orden y estimando el error local y controlando lospasos de integracion, tal como se indico en el parrafo anterior. EI usuariopuede elegir cl metoda que estime mas idoneo de acuerdo con la precisi6n(y /0 estabilidad) de su problema. EI par 7-8 es el mas eficiente y se aeon-seja para alta precision, el par 4-5 para precisi6n media y el par 2-3 paraprecision baja 0 bien cuando se detect an problemas de estabilidad. Hay quenotar que esta practica de incluir varios metodos adaptativos de distintos6rdenes en un mismo paquete est a cada vez mas extendida, ya que permiteal usario disponer de una mayor flexibilidad y pOI' tanto adaptarse mejor alas necesidades de cada problema. Para ayudar a la eleccion de uno u otrometodo, la documentacion del c6digo proporciona indicaciones mas precisassobre el metodo a utilizar, de acuerdo con el error que se desee obtener.

El c6digo est.a dirigido a obtener aproximaciones a la solucion de PVIpara sistemas de N- ecuaciones diferenciales que se suponen dadas en laforma normal ( 1) en un conjunto de puntos prefijado dentro del intervalo deintegracion: a ::::;l < T2 > . , . Tq ::::;b , por tanto debemos pensar que tanto ycomo f son vectores de N - componentes.

Hay un primer aspecto importante de todo c6digo numerico, y en partic-ular de RKSUITE, que consiste en Ia forma practice de controlar los errores,Podernos imaginar que puede haber sistemas diferenciales cuyas variables de

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est.ado, las componentes Yl, ... ,Y N componentes del vector Y en el curso dela integracion son todas grandes (pongamos del orden 106), a aeaso todaspequefias (del orden 10-6), 0 bien estan mezcladas e incluso puedcn variarbastanto su tamaiio a 1 0 largo de la integraci6n. Par este motivo el exigir queel error absolute de cada una de las componentes se rnantenga por debajode una cantidad comun a todas (pm ejernplo 10-6) I puede resultar en unoscasos una exigencia inaceptable y on otros carente de sentido. Esto lleva ala necesidad de introducir un error relativo TOL cormin a todas las compo-nentes I por tanto, cuando se piensa en exigir una tolerancia TO L = 10-6,debemos entender que cste cs 81 error relativo en cada una de las cornponontosa bien que est.as tienen seis cifras significativos exactas. Par otro lado, y paradar mayor flexibilidad al c6digo, can vistas a controlar individualrncntc loserrores globales de cada una de las componentes, el codigo introduce un vee-tor de crrorcs absolutos T H RES [I], I = 1, ... , N. Asi pues, suponicndoen una intcgracion numerica definidos TO L y T H RE S [I], I =1, ... , N, laestirnacion del error EST[1 ] en el paso de( tn ,Yn) - - - - > ( tn+1 ,Yn+d, exigeque cada una de las componentes de la estimacion del error local satisfaga:IEST[1 j l < TOL* ( 1 1 Y n l l + I IYn+l l l ) /2+THRES[1j .

Como es habitual en la resoluci6n numerica de EDOs, los c6digos de RK-SUITE pueden funcionar en el modo "paso a paso" 0 en el modo intervalar.En el modo paso a paso el c6digo avanza la integraci6n desde el punta ac-tual t n hasta el siguiente de la red tn + h, de acuerdo can su seleccion depaso compatible can los requerimientos de error. En la modalidad intervalar,se dan los pasos necesarios para recorrer un intervalo prefijado, tipicamentc[T,,, Tn+l], es decir se sale de Tn Y se atcrriza tras uno 0 varios pasos en Tn+ 1.

Otros aspectos de importancia en los codigos de paso variable son losalgoritmos de cambia de paso, es decir La prevision del paso siguiente a unpaso aceptado 0de reducci6n tras uno fallado y la elecci6n del paso inicial. Enlos c6digos considerados se usa como estimador el llamado error por paso,es decir, La diferencia entre dos soluciones de ordenes consecutivos, y lasformulas de cambio de paso son las dcrivadas del comportamiento asintoticode este con factores de correccion, para minimizar el numero de pasos fallados.

Par 10 que respecta al paso inicial, siernpre existe la posibilidad de q1lepueda ser elegido par el usuario, sin embargo, para ello se requiere un ciert.oconocimiento del cornportamiento de la solucion y tal situacion no siernpreocurre. En RKSUITE, los autores han conseguido un algoritmo que, tras

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eiertas eva1uaeiones adicionales, seleeeiona automaticarnente el paso inicialen la escala del problema y compatible con el error local dado par d usuario,de tal manera que si el usuario pone el paso inicial nulo el codigo ya entiendeque debe apliear el algoritmo para su calculo autornatico.

El codigo incluye 1 3 posibilidad de estirnar cl error global produeidocan eualquiera de los tres metodos adaptativos, usando la extrapolacion deRichardson que se comentara mas adelanto. Entonces, suponiendo que en ladefinicion del problema se ha espeeifieado un eierto error global, en paralelocon la integracion numerica elegida, se va estimando el error global en eadauno de los pasos y se retiene en memoria el maximo error global de todos lospasos, asi como el del ultimo paso rea1izado. Tambien RKSUITE dispone deuna subrutina de interpolaci6n que perimte usar esta faei1idad en los paresde ordcnes 2-3 y 4-5, para todas a parte de las componentes de 1a solucionnumenca.

No varnos 3entrar en detalles de programacion, solamente mencionar quehay una serio de modules, par ejemplo hay uno de definicion que contiene In sdatos del problema numerico que no varian a 1 0 largo de la intcgraciori (ladefinicion de la funcion f de la ecuacion difcrcncial va apartc). Tambicn hayotro modulo que consiste en la aplicacion de un paso del mctodo adaptativoy luego estan, adem as del vector de trabajo, otros adicionales como los deintcrpolacion a de control del error global,

En el proeeso de integraci6n hay una serie de controles para detectar lasanornalias que se puedan producir y que los autores clasifican en dos tipos:Los llamados errores fatales que paran totalmente la integraci6n de tal man-era. que para continuar hay que reinicializar toda la integracion. Entre estesest.in, apartc de los de control de la prograrnacion, los dcbidos a pasos rnuypcqucfios, que practicarncnte paralizan el avarice de la integracion y t.arnbiensi e1control del error global ha sido violado. Hay otro grupo de errores, llama-dos no fatales, que continuan la integraci6n, pero advierten de circunstanciascspeciales. Entre elias fie encuentran las dificultades de estabilidad (hay unaprucba para estirnar si el problema resulta stiff y por tanto el metoda usadono cs cl mas adecuado) y cuando se pide la solucion en muchos puntas y talcircunstancia dcteriora la eficiencia del metoda adaptativo. En cstos casas elusuario puede consultar STAT para. conocer mas deta.llcs sobre las anornaliasdetectadas.

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5 Nuevas tendencias en los codigos Runge-Kutta generales

En el calculo numerico, y en particular en la resolucion numerica de EDOs ,cl desarrollo de nuevos metodos 0 la mejora de los existentes suele estar mo-tivado pOI' problemas concretos de interes practice y apoyado pOI' el analisisnumerico, que es el complemento imprescindible para investigar y analizarlos nuevos m6todos y sus propiedades, De acuerdo con esto, las necesidadesde calculo planteadas por los usuarios de EDOs, junto a las investigacionesrealizadas en el tema, detcrminan las tendencies de los futuros codigos RK

Verernos seguidamente algunas de las innovaciones que, en nuestra opinion;van a introducirse (0 se han introducido) en las nuevas generaciones decodigos RK.

En primer lugar se ha producido un importante esfuerzo investigadorpara obtener nuevas familias de metodos adaptativos que posean conjunta-mente las mejores propiedades de aproximacion numerica, estabilidad y costecomputacional, ya que es obvio que cualquier mejora del metoda adaptativousado, implica una mejora del codigo basado en este. Por tanto cabe pre-decir una sustitucion lenta y progresiva de muchas de las formulas actualespar otras mas eficaces. De hecho las formulas de Fehlberg y Verner que hanmarcado una generacion de codigos RK, poco a poco se van sustituyendo parotras de Dormand & Prince, Bogacki & Shampine etc.

Existe una crecientc preocupacion por los aspectos de robustez, fiabilidady eficacia de los nuevos codigos, Esto se detecta en el int.eres par disefiaralgoritmos cada vez mas perfeccionados para la estimacion del paso inicial,asi como para los carnbios y prcdicciones de paso. Igualmente exist en algo-ritmos cada vez mas sensibles para dctcctar cireunstancias especiales de laintegracion, como puede ser la stiffness que haee inadecuados a los rnetodosRK explicitos

Par otro lade, parecc aceptarse en la actualidad que todo integradornurnerico de uso general tenga la posibilidad de proporcionar 10 que se llama"salida densa" 1 es dccir que sea capaz de calcular una solucion continua en laparte que interese del intervalo de integracion. Recardemos al respecto quelos m6todos adaptativos solamente calculan aproximaciones a la solucionen los puntos de una red del intevalo de integracion que es generada au-

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tomaticamente por el propio rnetodo, a medida que la integraci6n avanzaY que la distancia entre dos puntos consecutivos de esta red no tiene queser necesariamente pequefia, ya que, por razones de eficiencia, la intcgracionavanza con los mayores pasos posiblcs compatibles con la tolerancia prefijadapor el usuario.

La inclusion de la mencionada salida densa en el software de ODEs est"l.motivada entre otras por las siguientes razones:

1. Dar una representaci6n grafica de la soluci6n nurnenca para 1 0 cualpuede ser necesario calcularla cn muchos puntos del intervale de intc-graci6n.

2. Estimar el defecto de la solucion numerica aproximada Yh(t) respecto dela ecuaci6n diferenciall5(t) =y~(t) - f(Yh(t)) que, como han mostradoalgunos investigadorcs (Enright, Higham, etc ), pucde servir para de-ducir estimaciones de los errores local Y global.

:3. Localizar singularidades en la solucion de la ecuaci6n diferencial 0 enalguna de sus derivadas.

4. Localizar puntos especiales de soluciones como pueden ser sus cortescon una hipersuperficie secci6n (secciones de Poincare) para el calculode 6rbitas peri6dicas.

5. Integraci6n numerica de ecuaciones difercnciales con argumcntos rctar-dados, p.c, y'(t) = f(y(t) , y( t - r ) ) , dondc r = r ( t ) > 0 cs cl rctardo,en las cuales para el calculo de f hay que evaluar la soluci6n en puntospasados que no son, necesariamente, puntos previos de la red.

Una posibilidad trivial para que un metoda RK adaptativa calcule lasolucion en puntos canocidos a priori, es ir modificando adecuadamente lospasas de integraci6n para "aterrizar" justamente en dichos puntos, pero comoya observaron Shampine Y otros, est a forma de proceder no solo haee muyineficaz al metodo, sino que ademas puede introducir errores acumuladosimportantes en la integracion nurnerica. De acuerdo con esto, pronto sevia claro que 1 0 mas convcnicnte es dejar que el integrador avarice con suspasas naturales y recurrir, cuando sea nccesario, a algun tipo de interpo1aci6nentre puntos de la red. Asi, los prirneros interpolantes usados eran del tipo

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Hermite 0 Hermite-Birkhoff sobre dos 0 mas punt os consecutivos de la red.Con esta forma de proceder se ve facilmente que, si se quiere que el errorde interpolaci6n no domine al error propio del metodo, es necesario, parametodos de orden ;:: 4, usar mas de dos puntos consecutivos de la red, 10que hace perder la deseab1e propiedad urii-paso del metodo. Por tanto,hacia comienzos de los ochenta, algunos autores como Horn y Shampine,cornenzaron a estudiar formulas adaptativas que tenian la posibilidad deproducir aproximaciones polinomicas continuas entre puntas consecutivos de1a red, sin necesidad de evaluaciones adicionales de funcion, 0 bien con unnumero minimo de evaluaciones adicionales de la forma

nYh( tn + Oh) =s + L bj(8)gj,

j=!aE[O,l],

donde b j ( a ) son funciones polin6micas escalares de e que hacen el papel delos pesos externos de la formula RK para cada a E [0 ,1]. En particular,Horn (1983) observe que para un par de Fehlberg de ordcnes 4-5 era posi-ble construir una extension continua de orden cuatro y Shampine vi6 que,aiiadiendo una evaluacion adicional al par 5-4 de Dormand & Prince, eraposible construir una extension continua de orden cinco. En est a direccionhan apuntado bast antes investigaciones sabre los metodos continuos de laultima decada: Tomando como base un metoda adaptativo discreto de efi-ciencia probada, aiiadir nuevas evaluaciones de funcion en puntos apropiadospara obtener, cuando as] se requiera, una solucion continua entre pares depuntas consecutivos de la red. Shampine, Dorrnand & Prince y nosotrosmismos hemos propuesto [6] diversas extensiones del bien conocido par 5-4de Dormand & Prince. En particular, tras experimentos numericos realiza-dos por distintos autores, nuestra extension es consider ada par el mementocomo la mejor entre las de la formula considerada y solamente requiere dosevaluaciones adicionales de funcion par paso. Para el par 8-7 de Dorrnand &Prince, varias extensiones continuas de orden sictc han sido propuest.as contres evaluaciones adicionales de funci6n.

POl' otra parte, otros investigadores como Owren, Zennaro y Verner, hanabordado la construccion de metodos adaptativos continuos desde un puntade vista. global, es decir, determinando simultaneamente el metodo continuoy cl estimador del error local sobre un conjunto minimo de etapas. En talscntido se han dado condiciones algebraicas sobre los coeficientes del metoda

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que garantizan la existencia de formulas RK continuas y se ha determinado(hast a cierto orden) elnumero minirno de etapas necesarias para la com pat-ibilidad de estas ecuaciones. En la tabla siguiente se da el numero minimode etapas necesarias para tener una formula discreta y continua hasta ordenseis

Orden 1 2 3 4 5 6RK Discreta 1 2 3 4 6 7RK Continua 1 2 4 6 8 11

Tabla 2: Numero minima de et apas para alcanzar un orden dadoSe observa que la diferencia entre las etapas del caso discreto y continuo

crece muy rapidarnente con el orden, 10 cual nos lleva a pensar que paraformulas de orden alto el coste adicional es notable. Adernas, la construccioncxplicita de tales formulas con error local pequefio, es cxtremadamente com-plicada, por 10 cual, si bien las ideas de Owren y Zennaro son atractivas,el problema global es complicado y hasta el momento no se han obtenidometodos globales can claras ventajas respecto a los anteriores, por consign-iente, aun no son de utilidad practica.

Otro aspecto importante en el que se esperan innovaciones importantesesta basado en el hecho de que todo usuario de software de ODEs, adernasde una solucion aproximada de su problema csta intcresado en disponer dela maxima informacion sabre los errores en dicha solucion. Tambien es claroque un metodo numerico no nos puedc proporcionar en general el valor exactode dicho error, ya que ello implicaria la posibilidad de conocer la soluci6nexacta de todo problema diferencial y esto es una utopia inalcanzable. Sinembargo cualquier informaci6n sobre el tarnafio 0 comportamiento del errorpuede resultar muy valiosa para cl usuario. Notemos al respecto que losmetodos adaptativos comcntados anteriormente proceden de manera. que loserr ores locales, es decir, los errores introducidos en cada paso, se mantienenpar debajo de la tolerancia prefijada par el usuario, pero en el curso de laintegracion nurnerica hay que contar can la propagaci6n de dichos errores,que depende de los comportamientos de estabilidad de la propia ecuaciondiferencial y del metoda numerico, por tanto ya se intuye que los estudiosgenerales en est a direcci6n son complicados. No obstante 1 0 anterior, todoslos investigadores reconocen unanimernente que los progresos en este sentidoson fundamentales para mejorar la seguridad y robustez del software.

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Stetter hace aproximadamente dos decadas introdujo la Hamada "pro-porcionalidad a la to1erancia" como media de controlar el error global. Unmetodo numerico posee dicha propiedad si, para cada tolerancia TO L (pequefia},los errores globales conseguidos en la integracion numerica can dicha toler an-cia en cada punto t de la red son, aproximadamente, de la forma C(tn) TOL,donde C(t) es una funcion que puede depender del meta do usado y tambiendel problema diferencia1 integrado, pero es independiente de TOL. Esto im-plica que, para TOL pequenas, el error global en cada punta es una Iuncionaproximadamente lineal de 1a tolerancia y por tanto, si se hacen dos inte-graciones con tolerancias distintas, pongamos TOL y TOL/lO los digitos dela solucion nurnerica que sean comunes a las dos integraciones pueden con-siderarse como exactos. Esta practica de hacer dos integracioncs con TO Ldist.intas y comparar resultados ya habia sido usada empiricamente duranternucho t.iempo, para asegurar los resultados numericos cuando no se conocemuy bien la fiabilidad de estes y el concepto de proporcionalidad a la toler-ancia de Stetter Ie ha dado rea1mente carta de existencia.

Naturalmente surgio la cuestion de si un metoda numerico adaptativoo su extension continua), en el que se incluye una tecnica de cambio de

paso, es capaz de producir soluciones numericas con dicha proporcionalidada la to1erancia. Esto fue estudiado inicia1mente por Stetter y mas tarde porHigham y nosotros mismos [8], identificando los metodos adaptativos y lastecnicas de cambio de paso que implican Ia proporcionalidad a la toleranciay puede decirse que el nuevo software propuesto en la actualidad goza engeneral de esta importante propiedad. Hay que notar que en esta linea En-right, Higham y otros han propuesto nuevas tecnicas de cambio de paso parapares de metcdos encajados 0 continuos, basadas en el defecto de la solucionnurnerica y que garantizan una proporcionalidad a 1a to1erancia mas estrictaque la antcriormente comentada, pero como e1defecto de la solucion nurnericacs costoso de calcu1ar con precision, no han tenido todavia un interes practicegencralizado.

Como acabamos de comentar, en los metodos adaptativos que verifican1a proporcionalidad a la tolerancia, tras concluir dos integraciones completasdel mismo problema con dos TOL distintas, podemos deducir Una estimaciondel error global. Otra posibilidad, acaso mas conveniente, seria diseiiar al-goritmos que asociados a un metoda adaptativo nos propocionen, junto a1a solucion numerica, una estirnacion del error local en la rnisma a rnedida

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que la integraci6n avanza. Esta idea ha estado par supuesto en Ia mente demuchos investigadores yse han propuesto varias tecnicas para la estimaci6ndel error global simultanea can la soluci6n. El principal inconveniente es sualto costo computacional, asi como la complicaci6n adicional que conlleva suinclusi6n en el software existente, par ella, salvo algunas excepciones (GERKRKSUITE), no se ha incluido hasta el momento esta opci6n. Sin embargo,las crecientes exigencias de calidad nos hacen pensar que en el futuro softwaretal opci6n debera ser incluida, par eso comentaremos algunas de las tecnicasmas prometedoras al respecto (hay que notar que en 1986, Skeel ya recopil6trece tecnicas para estimar el error global).

Desde luego siempre podemos recurrir ala clasica extrapolaci6n de Richard-son [18], que ademas puede usarse en conjunci6n con cualquier meta do adap-tativo, para clio en paralclo con 1aseeuencia de pa80S generada pOI el rnetodose lleva cabo una integraci6n con pasos mitad, 1 0 cual cia lugar ados 801\1-ciones numericas Yn e Y n, respectivamcnte en cada punta tn de la red inicial,Entonces, como demostr6 Henrici, bajo cicrtas condiciones sobre la variacionde pasos, la expresi6n (Yn - Yn ) /(2P - 1), donde p es el orden del metoda, esuna estimaci6n asint6ticamente correcta del error global en la soluci6n Yn .Los experimentos nurnericos can extrapolacion indican que cs una tecnicamuy fiable, pero tiene el inconveniente de su alto costa computacional.

Otra tccnica interesante fue propuesta par Zadunaisky hacia 1964 en elcontexto de la integraci6n numerics de problemas de Mecanica Celeste yposteriormente se ha extendido a EOOs arbitrarias e incluso la idea basica hasido usada en cl contexte de otros problemas de Analisis Numerico. Se tratade eonstruir artificialmcnte un problema diferencial "proximo" al que se est aresolviendo cuya solucion cxacta sea eonocida. Entonces cabe esperar que, sise aplica el mismo metoda numerico a los dos problemas (pOI continuidad),los crrores de ambos sean similares y como los del problema proximo sonconocidos podemos hacer asi una estimacion de los del problema dado. Masconcretamente, si estamos integrando el problema difercncial ( 1), y t.enernosuna soluei6n numerica continua Y h ( t ) ( p.e. obtcnida con cualquier metodaque posea salida densa), dicha solucion numeric a sera solucion exacta de unproblema perturbado de ( 1) y~( t ) = f ( Y h ( t ) ) + 6 ( t ) , y,,( to ) = Yo donde 6 ( t )es e1defecto de Yh ( t ) , que cabe esperar sea pequefio. Entonccs cste segundoproblema es pr6ximo al problema original y par tanto los errorcs globales enla integracion numerica de ambos cabe esperar que sean similares.

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Hay que notar que la construcci6n del problema proximo requiere unasolucion numerica continua Y h ( t ) de este y par tanto depende de la ex-tension continua a del interpolante del metoda adaptativo consider ado. Enlas primeras aplicaciones de la teoria de Zadunaisky se usaron intcrpolantcstipo Hermite 0 Hermite-Birkhoff, basados en la informacion de la solucionnumcrica en varios puntas consecutivos de 1a red, pero como se ha indi-cado anteriormente tales interpolantes aunque tienen un costa computa-cional minima no resultan adecuados porque destruyen el caracter unipasodel metoda y los experiment os numericos indican que no son muy fiables.En vista de ello parece nccesario usar una extension continua del tipo delas mencionadas en la salida dcnsa que tienen en general un mayor costecomputacional, pero son mas fiables

El esquema de Zadunaisky ha sido fundamentado te6ricamente par Stet-ter y colaboradores y ha sido objeto de bast antes experimentos numericos.Se lia vista que, en algunos casas, la estimacion calculada del error es muyprecisa, pero que en otros los resultados son decepcionantes. En mi apre-ciacion personal sera necesario un mayor refinamiento de esta tecnica antesde que pueda usarse en codigos de tipo general.

Mencionarernos par ultimo la teoria Hamada por Skeel "solucion de lacorrecci6n", que es posiblemente la que goza de una mayor consideraci6n enla actualidad. Para su aplicacion hay que partir de nuevo de una extensioncontinua Y h ( t ) de la soluci6n discreta producida par un metoda adaptativodiscreto. Entonces el error global a "correccion" de dicha soluci6n apr ox-imada, dado par g ( t ) = y( t) - Y h ( t ) , es soluci6n del problema difcrcncialg( t) = F( t , g ( t ) ) = f ( Y I J t ) + c(t)) - y~(t), g ( to ) = 0, y par tanto, su res-olucion numerica, dara un valor aproximado de c(t) y de la correcci6n. Setrata pues de avanzar en paralelo la solucion numeric a Y h ( t ) y la correcci6ne : ( t ) , pero a diferencia de la tecnica de Zadunaisky, la ecuaci6n de la cor-reccion puede resolverse con otro metoda distinto del usado en el problemaoriginal. Ademas, para que la estimaci6n sea mas segura, los errores corneti-dos en Is. resolucion numerica de la ecuaci6n de la correcci6n deben ser maspequefios que los de la resoluci6n de la ecuaci6n original, 1 0 que obliga abuscar formulas para e : ( t ) que sean de orden superior a las de Y h ( t ) . Dor-rnand y sus colaboradores han observado que, debido a la forma especial dela ccuacion diferencial de dt), es posible disefiar pares de metodos adap-tativos cspcciales que resuelven la ecuacion de la correccion can uno 0 dos

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6rdenes mas que la soluci6n de Y r. y con un costa computacional bastanteajustado. En este sentido S8 han propuesto met.odos de distintos ordenes ynuestro grupo de trabajo [7] ha realizado experiment os numericos con resul-tados positivos, pero estas investigaciones aiin no han calado en los actualesc6digos RK generales.

6 Met.odos de Runge-Kutta implicitosLos metodos RK considerados en los parrafos anteriores se llaman explicitosporque el avance de un paso se lleva a cabo rcalizando exclusivamente (apartede operaciones elementales) un cierto nurncro de cvaluaciones de la funci6nf(t, y) de la ecuacion diferencial en argument os conocidos. Debido a estasimplicidad, asi como el caracter unipaso, los rnetodos RK cxplicitos han sidocandidatos naturales para la resolucion numerica de ecuacionos difercnciales.

Sin embargo existen algunos problemas diferenciales llamados "stiff", queademas aparecen bast ante en la practica, cuya resoluci6n mediante formulasexplicitas resulta practicamente imposible. Aunque esta fuera de nuestroprop6sito el explicar la naturaleza de los problemas stiff y analizar las di-ficultades que experiment an los c6digos RK explicitos con tales problemas(ver por ejemplo [14]) daremos algunas ideas someras sobre tales problemas.Un problema se llama "stiff' cuando existe alguna variedad en el espaciofasico ampliado ( t, y) fucrternente estable, es decir tal que el flujo fuera de lavariedad tiende rapidamcntc hacia est.a. En el caso unidimensional, podernosconsiderar el prototipo de ecuacion lineal y' = A (Y - < . p ( t ) ) + < . p ' ( t ) , donde ifes una funci6n de variacion lenta y A una constante negativa muy grande.En este problema todas las soluciones tienden rapidamente hacia la variedady = < . p ( t) , que e8 adernas una soluci6n particular del problema considerado.Si un problema stiff (p.e. el anterior can ). = -106 ) se int.egra can uncodigo IlK explicito, se observa que para prcservar 1 8 estabilidad el c6digotorna pasos muy pequeiios y la integraci6n practicarnentc no avanza.

Esta dificultad ha llevado a 1 8 0 consideraci6n de f6rmulas implicit as cuyaspropiedades de estabilidad son muy superiores a las cxplicitas, como p.e.el mctodo implicito de Euler, en el cual la soluci6n numerica Yn+ I de laecuaci6n diferencial en cl punto tn+1 = t - . + h en funcion de 8U valor en elpunto precedente (tn) Yn), esta dada pOI': Yl =Yo + hf(tL Yd. Por tanto

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en cada paso de intcgracion tenemos que resolver un sistema algebraico paracalcular la nueva soluci6n Yn+ 1

Un metodo de RK general de 5 ctapas es un algoritmo de la forma (2)donde las otapas gl, ... ,g, vcrifican las ecuaciones implicit as

g, = f(tn + c.h, s; + hLa,jgj)1=1

siendo b " a'J los pesos externos e internos respectivamcnte y c, los nodos de I nformula considerada. En particular, si 5=1,all =L (:1=1,b 1 =1 tcncmosel anterior metoda implicito de Euler. Es claro que si aii = 0 para todo . 7 2:ila formula es explfcita, pero en otro caso las ecuaciones de las etapas sonimplicitas.

Tales metodos surgieron inicialrnentc como generalizacion te6riea de losmctodos cxphcitos y Kuntzmann y Butcher, hacia principios de los sesenta,propusieron f6rmulas de s etapas y orden 25 en las euales los nodos son losceres de los polinomios ortoganales de Legendre en el intervalo [0,1] Y lospesos externos los de la formula de cuadratura gaussiana asociada. Estomostraba una relaei6n entre formulas de cuadratura y cicrt.as farnilias demctodos RK implicit os que fue explotada sistcmaticamcnte por ButchcryEhlc [ I I ] , para deducir familias implicit as de los tipos Radau y Lobar.to, ellIns cuales los pesos externos b , y los nodos Ci tienen los valores de las cor-rcspondicntes formulas de cuadratura y los coeficientes aq se detcrrninanveri ficaudo adecuadas condiciones adicionales.

El principal inconveniente de las formulas implicitas radica en la res-oluci6n de las ecuaciones de las ctapas. Si bien se pueden dar condicionesteoricas que garantizan la existencia de una unica solucion, las dificult.adcsvicne a la hora de calcularla de modo efectivo, ya que hay que usar mctodositcrativos que aseguren no solo la . convcrgencia, sino tambien que la velocidadde convcrgencia sea la mayor posible. Se ha visto que para los problemas stiffIn iteracion funcional, que es Ia mas scncilla de aplicar, no es en general con-vcrgcntc salvo para pasos muy pequenos y hay que recurrir a rnetodos tipoNowton y q uasi-N ewton en los cuales entran en jucgo los . i acobianos, queson costosos de calcular, asi como las Iactorizaciones de los sistemas linealescorrespondicntcs.

En resumen, existcn metodos RK implicitos que poseen buenas propiedadcsdl~ l~stabilidad, pero su efectividad dcpcnde osencialmente de 13 resolucion de

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las ecuaciones algebraicas implicitas de las etapas, por tanto ha habido unimportante esfuerzo investigador en los ultirnos afios para encontrar metodosimplicitos (como son SIRK, DIRK y otros ) can buenas propicdades de esta-bilidad y tales que la resoluci6n de las ecuaciones algebraicas no sea demasi-ado costosa.

Posteriormente, una extensa lista de investigadores ente los que se cuen-tan Hairer , Wanner, Norsett, Crouzeix, Butcher, y nuestro grupo de tra-bajo, hernos analizado las propiedades de estabilidad de distintas familias demetodos irnplicitos con vistas a su utilidad para la resolucion de 108 men-cionados problemas stiff, pero esta es una larga historia cuyo ultimo capituloaiin no se puede dar por concluido.

7 Metodos de Runge-Kutta para ecuacronesespeciales

Los metodos considerados en las secciones anteriores presuponen sistemasdiferenciales de primer orden cscritos en forma normal y' = f(t, y), ya que,salvo en el casu de ecuaciones implicitas, todas las demas se pueden es-cribir facilmente en la forma normal. Par este motivo los rnetodos numericosdiseriados para sistemas normales de primer orden son los mas titiles por suamplia aplicabilidad.

Otro cnfoque mas particular consiste en considerar sistemas diferencialesde tip os especiales y diseriar metodos adecuados para cada uno de est ostipos. En tal caso sc podria aprovechar la restricci6n en la clase de proble-mas diferenciales para rnejorar los integradores en algunos aspectos intere-santcs de la clase considcrada, Estas ideas han estado desde hace bastantesafios en la mente de muchos investigadorcs y existe una variada propuestade rrietodos RK especiales, adaptados aclases particulares de problemas deinteres practico. Comentaremos breve mente algunos de los tipos mas cono-cidos.

Existen bastantes sistemas diferenciales que, en su forrnulacion natural,apareccn como un sistema diferencial de segundo orden v " = f(t, y, y').Pensemos, par ejernplo, en las ecuaciones de la Mecanica Clasica en las cualeslas aceleraciones (tfpicamente las derivadas segundas v " ) , son proporcionales

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a las fuerzas f(t , y, yl). Incluso en much os casos estas fuerzas no dependende las velocidades y los' sistemas toman la forma s " =f(t, y), que se llamaecuacion especial de segundo orden. La integracion numerica de estes sis-temas diferenciales se puede hacer introduciendo las velocidades v = s ' Y es-cribiendo e1 sistema dado en la forma normal equivalents y' =V, v' = f(t , y),a la cual son aplicables los metodos standard. Sin embargo podria con-siderarse la resolucion directa del sistema de segundo orden sin pasar a letforma modificada. Esta posibilidad ya Iue considerada pOI' Nystrom hacia1925 proponiendo formulas en las cuales la solucion nurnerica avanza desde(to,yo,y~) ---+ (to + h,Yl,y'l)' con un algoritmo de la forma

sYl =Yo + hy~ + h2L6ii,

i=l

sy~=y~+ hLbSi,

i=ldonde fl1 f2, ... fs se calculan recurrentemente pOI'

f1 = f(to, Yo)f2 = f(to + hC2, Yo + hC2Y~ + h2a21fl)f; l = f(to + hC3,Yo + hC;lY~ + h2(a31fl + O


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El estudio del orden de las formulas RKN sufrio un impulso notable a raizde la publicacion del ya mencionado tr abajo de Butcher. Fueron Haircr &Wanner los que adaptaron la teorfa de Butcher a las ecuaciones de segundoorden introduciendo unos arboles especiales y las correspondientcs series for-males (Ilarnadas de Nystrom), que perrniten analizar de un modo sistematicoel ordcn de las f6rmulas RKI\'.

La implernentacion efcctiva de formulas RKN con paso variable ha se-guide las paut.as marcadas por las f6rmula RK, es decir, so han construidometodos adaptativos en los cuales se estima el error local por difcrcncia entredos solucioncs de distintos ordenes, y dicha estimaci6n del error es usada paracontrolar e1error local a 1 0 largo de la int.egraci6n y para ia provision y cambiode pa.so. ASl hay, entre otras, familias de metodos adaptat.ivos TI.KN de variosordcncs debidas a Fchlbcrg, Filippi & Graff, Sharp & Fine y Dorrnand, El-Mikkawy & Prince que en cl caso de estos ultimos llcgan a alcanzar ordendoer. Algunas de cstas han sido implcment.adas en codigos disponibles envarias librerias.

Entre las ecuaciones especiales cuya intcgracion numcrica ha side ohjet.ode una investigaci6n mas cxhaustiva en los ultimos a110S estrin sin duda algunalas que apareccn en los sistema hamiltonianos. Estos SIstemas sc present.anen la mcdelizacion de los mas variados fen6menos de la Fisica y vicncn dadospar un sistema de ocuacioncs difereneiales de la forma

dp(U

DH(p, q)u q dqd t 8H(p, q)u pclonde q y p son los N-dimensional vcctorcs de las coordenadas y mementosgonerulizados respectivamente y H es una funci6n cscalar de las coordenurlasy mementos que se llama funcion hamiltoniana. La dimension N se llamanumero de grades de libertad y el 2N dimensional especio de coordcnadasy rnomentos se llama espacio fasico. La funei6n hamiltoniana a V C C C O i dc-pcudc cxplicitamente del tiempo, pew para simplificar la presentacion noincluiremos aqui tal dependencia.

En muchas aplicaciones de Mecanica Ia funcion hamiltoniana represent a18 cnergia del sistema y tiene la forma H = T(p) + V (q), donde T es l a oenergfa cinetica expresada como una forma cuadratica definida positiva que.en SIl forma mas simple es diagonal T(p) =(1/2)pTp. Los hamiltonianosdel t ipo anterior so Haman separables.

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La caracteristica mas importante de las soluciones de sistema hamiltoni-anos es que producen un flujo hamiltoniano simplectico. Es dccir la trans-formacion que pasa de los momentos y coordenadas en un instante, pong-amos t =0, a otro instante cualquicra t es una transformacion canonico simplcctica. No vamos a entr ar aqui en detalles sobre transformacioncscanonicas, ya que son bien conocidas por muchos colegas de la casa y enparticular por los relacionados con la Mecanica Celeste. Baste dccir que unflujo simplectico tiene algunas propiedades muy especiales. En dimensionN = 1, es decir espacio de fases plano, un flujo es simplectico si y solo siconserva las areas, 10 que implica que 1a imagen de una figura plana se vadcfonnando pew conser va el area, En particular, esto imp ide la existcnciade ciclos lirnites en el plano fasico. En dimension superior se conserva bsuma de las areas de las proyecciones sobre los planes coorderiados ( P i , (]i)de una superficie bidimensional y est a propiedad implica la inexistencia deequilibrios asintoticamentc est.ables, es decir, equilibrios a los cuales tiendenlas soluciones proxirnas,

De acuerdo con 1 0 anterior parecc natural requerir que los integradorcsde sistemas harniltonianos avancen la soluci6n numerica con transforma-ciones canonicas con objeto de respetar el caracter sirnplcctico del fiujo. Losmetodos numericos que poseen dicha propiedad se llaman sirnplccticos y sudesarrollo ha teniclo lugar desde los afios ochenta, debido, no solo a investi-gadores de analisis numerico, sino tarnbien a fisicos con intercscs cornputa-cionales. Existo una importante linea de investigacion, que se inicio can Ft;ngy SUi" colaboradores, en la cual los metodos sirnplecticos son producidos porfuncinncs generatrices dependicntcs del paso de intcgracion como parametroPucsto que las funciones goneratrices pueden SCI' de diferentes tipos esto Betraduce en los correspondientes metodos simplecticos. El principal incon-vcnicnto de cstas formulas e:s que la Iuncion generatriz, dada en potenciasdel paso dc intcgr acion, hay que aproximarla sucesivamente hast.a un ciertoorden Y BU calculo dcpende de la funcion harniltoniana a integral', por tantocada problema a intcgrar requiere un t.ratarnicnto diferenciado para construirsu funcion gencratriz.

Dcsde otro punto de vista, nuestro colcga de la Univcrsidad de Valladolidol Prof. Sam Serna [ 2 0 ] abordo, junto a sus colaboradorcs, un detallado es-tudio e l l ! los metodos RK simplecticos que tiene como punto de part.ida unimport.ante articulo suyo de 1988, en el cual se dan las condiciones sobre los

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coeficientes de un rnetodo RK para que sea simplectico. Estas condiciones ex-presadas mediante ecuaciones algebraicas sencillas permiten verificar inmedi-atamente si el rnetodo es simplectico. La primer a consecuencia practica deeste trabajo es que todo metodo simplectico para funciones hamiltonianas ar-bitrarias es implicito. En particular las formulas de Gauss-Legendre de ordenmaximal son simplecticas, Estas formulas son al menos te6ricament.e buc-nas candidatas para la integraei6n simplectica, pero al ser implicitas hay queresolver efieientemente las ecuaciones de las etapas para conseguir metodosutiles desde el punto de vista computacional. Este problema rnotivo la tesisdoctoral de nuestra colaboradora Maria Pilar Laburta en la cual se proponendistintos algoritmos para deducir valores iniciales, que pcrrnitan resolver lasecuaciones no lineales con el minimo mirnero de iteracioncs y se haee una am-plia experimentaci6n numeric a para optimizar los integradorcs simplccticosde Gauss-Legendre de dos y tres etapas.

Si bien la integraei6n simplectica general requiere metodos RK implicitos,el grupo del Prof. Sanz Serna observ6 que para harniltonianos scparablcs eraposible encontrar metodos RK simplecticos de tipo explicito, usando distin-tas Iorrnulas para las eoordenadas y para los momentos. Tales metodos scHaman "particionados" y cxiste un am plio catalogo de distintos ordenes, quese han usado para aplicacioncs eoneretas. Tarnbien, como los sistemas hamil-tonianos separables se pueden redueir a sistemas de segundo orden, la inves-tigaci6n se ha extendido a la obtenci6n de f6rmula RKN simplecticos, Enparticular, Mari Paz Calvo de Valladolid ha obtenido formulas de Nystrom devarios 6rdenes y ha analizado su comportamiento en distintos experimentosnumericos.

A pesar de este vigoroso desarrollo de formulas simplecticas, la elabo-raci6n de un software de calidad tropieza con varios inconvenientes: Por unlado el ya mencionado de que en el easo de sistemas hamiltonianos generaleslas formulas son implicitas y su implementacion se compliea bastante. Por01.1'0 que aplicacion de formulas sirnplecticas con paso variable destruye e1caracter simplectico global del fiujo y se pierde el principal objeto de talesmetodos, por tanto dcben ser aplicados can paso fijo y esto puede ser noconveniente en ciertos problemas. En nucstra opinion estos inconvenientcshan frenado bastante el desarrollo de software de uso general.

Finalmente, meneionar que los estudios teoricos acerca de integradoressirnplecticos han producido resultados colateralcs muy interesantes, p.e. el

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analisis regresivo del error permite considerar la soluci6n numcnca comoso1uci6n exact.a de un problema hamiltoniano perturbado, 10 que permitcconectar con las teorlas de perturbacioncs y aplicar p.e. la teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser.

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