Caminata aleatoria elstica multivariadaSuposicin 1. El conjunto
de factores econmicos estocsticos los cuales estn relacionados con
la estructura temporal de tasas de inters que sigue una caminata
aleatoria elstica conjunta.Suposicin 2. La tasa de inters libre de
riesgo instantnea se puede expresar como una combinacin lineal de
estos factores.De la suposicin 1, los factores subyacentes siguen
una caminata aleatoria conjunta multivariada[footnoteRef:1]: [1:
Aqu, es el proceso de Wiener estndar con:]
donde En notacin matricial este sistema lineal de ecuaciones se
convierte en:
donde
La tasa de inters a corto plazo esta expresada como una
combinacin lineal de los factores estocsticos subyacentes
(suposicin 2), por lo tanto:
donde Vector de factores estocsticos que caracterizan el sistema
econmico subyacente,Vector de pesos los cuales son constantes o en
funcin del tiempo.La solucin a tiene la forma[footnoteRef:2]: [2:
El sistema de ecuaciones determinstico correspondiente a (1.1)
es:Este es un sistema lineal, el cual tiene una solucin de la
formadonde es una funcin del tiempo y es la solucin a la ecuacin
matricial homogneacon condicin inicial y entones esta es la matriz
fundamental del sistema (1.4).La ecuacin matricial (1.4) ahora es:Y
por lo tanto la solucin a el sistema determinstico es :Ahora
consideremos el sistema de ecuaciones estocsticasLa cual tiene
solucin Aplicando el lema de Ito a El cual es el sistema
diferencial original (1.1). Por lo tanto, habremos mostrado que la
solucin a este sistema es ]
donde es la solucin matricial propuesta por Arnold y Karatzas
para: con En el caso especial donde B es una constante: y (1.3) se
convierte en
Para este caso especial[footnoteRef:3], el valor esperado y la
matriz de covarianza de y (donde y son puntos futuros en el tiempo)
se calculan de la siguiente forma[footnoteRef:4]: [3: Los clculos
se muestran para el caso especial debido a la notacin simplificada,
sin embargo, el caso ms general es un proceso similar.] [4: La
covarianza es calculada de la siguiente forma:Considerando: y
entonces: Tambin: y por lo tanto (1.7) se cumple.]
donde es la matriz de covarianza:
con elementos donde .
