14/05/15  

1  

Campionamento  e  distribuzioni  campionarie  

Approccio  indu8vo  

•  Ruolo  dell’inferenza  sta>s>ca  •  Procedure  inferenziali  di  uso  comune  (intervalli  di  confidenza  e  test  delle  ipotesi)  

•  Risulta>  e  decisioni  che  dipendono  dalla  limitatezza  delle  informazioni  u>lizzate  

•  Valutazione  della  plausibilità  dei  risulta>  di  un  processo  inferenziale  in  termini  probabilis>ci  

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2  

Approccio  indu8vo  (segue)  

•  Campionamento  –  Campioni  probabilis>ci  e  non  probabilis>ci  –  Estrazione  con  ripe>zione  (o  reimmissione)  –  Estrazione  senza  ripe>zione  (o  reimmissione)  =  estrazione  in  blocco  

–  Campione  casuale  semplice  

           a    b          c  d    

ef      gh  i    jk  l      m    n  

   o    p  q      rs    t    u  v    w  

           x      y            z  

 

Popolazione   Campione  

             b          c      

         g  i                  n  

   o            r          u  

                 y              

 

Campione  casuale  semplice  

•  n  =  dimensione  (ampiezza)  del  campione  •  Probabilità  di  inclusione:  1/N  per  ogni  osservazione  i    

(i=1,…,N)  •  Generazione  di  numeri  casuali  

⇒Xi = i-ma v.c. generatrice

Xi v.c. i.i.d.

⇒ xi = i-ma realizzazione campionaria

Popolazione:   X ~ f X i ,θ( )Campione  casuale  semplice:  

( )nXXXX ,,, 21 …=

nxxx ,,, 21 …⇓

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3  

Distribuzione  campionaria  

•  Obie8vo:  colmare  il  gap  tra….  -  Realtà  opera>va:  osservazione  di  un  solo  

campione  -  Esigenza  informa>va:  conoscenza  dell’universo  

campionario      •  Definizione:  –  Una  distribuzione  campionaria  fornisce  informazioni  sulla  

distribuzione  di  tu8  i  possibili  valori  di  una  sta>s>ca  tn  oXenu>  da  campioni  x  della  stessa  ampiezza  n  estra8  dalla  popolazione  X  

Distribuzione  campionaria  della  media  

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4  

Distribuzione  campionaria  della  media  

•  Distribuzione  delle  medie  campionarie  al  variare  del  campione  

•  Numero  di  campioni,  di  ampiezza  n,  estraibili  da  una  popolazione  di  numerosità  N:  Nn  

•   v.c.  media  campionaria:    –   realizzazioni  della  v.c.  media  campionaria  al  variare  di  X  

X =1n

Xii=1

n

∑

x = 1n

xii=1

n

∑

Costruzione  della  distribuzione  campionaria  della  media  

•  N=4  •  xi  osservate:  (18,  20,  22,  24)    

•  Costruzione  della  distribuzione  campionaria  della  media  per  campioni  casuali  di  ampiezza  n=2  

µX =xi

i=1

4

∑N

= 21( )

5

4

1

2

2 =−

=∑=

N

xi

Xi

X

µσ

σ X = 5 = 2,236

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5  

Costruzione  della  distribuzione  campionaria  della  media  (segue)  

Nn=16  campioni  di  dimensione  n  =  2  

1a 2a Osservazione Oss 18 20 22 24 18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Medie  Campionarie  

Campioni  (campionamento  con  reintroduzione)  

1a 2a Osservazione Oss 18 20 22 24 18 18,18 18,20 18,22 18,24 20 20,18 20,20 20,22 20,24 22 22,18 22,20 22,22 22,24 24 24,18 24,20 24,22 24,24

Costruzione  della  distribuzione  campionaria  della  media  (segue)  

Distribuzione  delle  Medie  Campionarie  

1a 2a Osservazione Oss 18 20 22 24 18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Medie  Campionarie  

18          19        20          21        22          23        24  0    

0,1    

0,2    

0,3    

x

P( X = xi )

1/16  

2/16  

3/16  

4/16  

3/16  

2/16  

1/16  

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6  

Costruzione  della  distribuzione  campionaria  della  media  (segue)  

E(X )=µX = xiP X = xi( )i=1

7

∑ = 21=µX

Var(X )= σ X2 = xi − E X( )#

$%&2P X = xi( )

i=1

7

∑ = 2,5 = 52=σ X2

n

Sqm(X )= σ X = σ X2 = 2,5 = 1,581= 2,236

2=σ X

n

Valore  aXeso,  varianza  e  scarto  quadra>co  medio  della  v.c.  media  campionaria    

1.  Campionamento  con  reimmissione  

•  qualunque  sia  f(X,θ):  

-  n>30  à    

-  f(X,θ)  ~  N(μX,σ2X)  à    

Distribuzione  campionaria  della  media    

E(X )=µX =µX Var(X )= σ X2 =

σ X2

n

X ~ N µX ,σ X2

n

"

#$$

%

&''

Z = X −µXσ X n

~ N 0,1( )X ~ N µX =µX ,σ X

2 =σ X2

n

"

#$$

%

&''

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7  

2.  Campionamento  senza  reimmissione  •  qualunque  sia  f(X,θ):  

 -  n  <  0,05  �  N  &  n  >  30  à  

               à  

-  n  >  0,05  �  N    &  n  >  30  à    

             à    

CaraXeris>che  della  distribuzione  campionaria  della  media  (segue)  

E(X )=µX =µX Var(X )= σ X2 =

σ X2

nN − nN −1

Z = X −µXσ X n

~ N 0,1( )

X ~ N µX ,σ X2( )

X ~ N µX ,σ X2( )

Z = X −µXσ X

nN − nN −1

~ N 0,1( )

Distribuzione  campionaria  della  media:  esempio  

Il   peso   dei   telefoni   cellulari   (modello   k2)   prodo8   dalla  “Betaphone”   ha   una   distribuzione   normale   con   media  175  grammi  e  varianza  16.  Si  determini  la  probabilità  che  10   telefoni   Betaphone   k2   estra8   casualmente   abbiano  una  peso  medio  compreso  tra  173  e  176  grammi.      

P 173≤ X ≤176( ) = P 173−1754 10

≤X −µσ n

≤176−1754 10

#

$%%

&

'((=

= P −1,58 ≤ X −µσ n

≤ 0,79#

$%%

&

'((= 0,78542− 1−0,94295( ) = 0,72819

X ~ N µX = 175,σ X2 = 16( ) X ~ N µX = 175,σ X

2 =1610

"

#$

%

&'

n = 10

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8  

Possiamo   applicare   il   Teorema   del   limite  centrale:    Anche   se   la   popolazione     non   è   normale,   la  media   campionaria   della   popolazione   sarà  approssima>vamente   normale   purché  l’ampiezza   del   campione   sia   abbastanza  grande.  

                                                                           

Distribuzione  campionaria  della  media  nel  caso  in  cui  la  Popolazione  NON  è  Normale  

Teorema  del  Limite  centrale  (TLC)  •  n  v.c.  Xi  i.i.d.  •  E(Xi)  =  μ;  Var(Xi)  =  σ2  <  +∞  •  la  v.c.  Sn=ΣiXi  è  tale  che:  E(Sn)=nμ;    Var(Sn)=nσ2  

•  la  v.c.                                      è  tale  che:  

 •  S>ma  di  μ  quando  non  si  conosce  f(X)    

X =1n

Xii=1

n

∑ E X( ) =µ Var X( ) = σ2

n

Z = X −µσ n

d# →# N 0,1( ) per n→∞

Z = Sn −µσ n

d# →# N 0,1( ) per n→∞

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9  

Teorema  del  Limite  Centrale  

n↑  Al  crescere  della  dimensione  del  campione…    

la  distribuzione  campionaria  diventa  quasi  normale  indipendentemente  dalla  distribuzione  della  popolazione  

x

Distribuzione  campionaria  della  media  nel  caso  in  cui  la  Popolazione  NON  è  Normale  

Distribuzione  Popolazione  

Distribuzione  Campionaria  (diventa  normale  quando  n  cresce)  

Tendenza  Centrale  

Variabilità  

X

X

Campione  più  grande  Campione  più  

piccolo  

Proprietà  della  media  campionaria:  

µµx =

nσσx =

xµ

µ

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10  

Quanto  deve  essere  grande  il  campione?  

•  Per  la  maggior  parte  delle  distribuzioni,  n  >  25    produce  una  distribuzione  della  media  campionaria  approssima>vamente  normale  

•  Per  popolazioni  con  distribuzione  normale,  la  distribuzione  della  media  campionaria  è  sempre  una  distribuzione  normale,  indipendentemente  dalla  dimensione  campionaria  n  

Intervalli  di  AcceXazione  •  Obbie8vo:    determinare  un  intervallo  entro  il  quale  verosimilmente  

cadono  i  valori  delle  medie  campionarie,  per  una  data  media  e  varianza  della  popolazione  

–  Dal  teorema  del  limite  centrale,  sappiamo  che  la  distribuzione  di  X  è  approssima>vamente  normale  se  n  è  abbastanza  grande,  con  media  μX  e  scarto  quadra>co  medio    

–  Sia  zα/2  il  valore  di  Z  che  lascia  nella  coda  destra  della  distribuzione  normale  standard  l’area  α/2  (ossia,  l’intervallo  da  -­‐  zα/2  a  +zα/2  racchiude  una  probabilità  1  –  α)  

–  Allora  

         è  l’intervallo  che  include  X  con  probabilità  1  –  α  

σ X =σ X

n

X/2σzµ α±

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11  

Distribuzioni  campionarie  di  uso  frequente  

1.  Campionamento  con  reimmissione  

•  qualunque  sia  f(X,θ):  

-  n>25  à    

-  f(X,θ)  ≈  N(μX,σ2X)  à    

Distribuzione  campionaria  della  media    

E(X )=µX =µX Var(X )= σ X2 =

σ X2

n

X ~ N µX ,σ X2

n

"

#$$

%

&''

Z = X −µXσ X n

≈ N 0,1( )X ~ N µX =µX ,σ X

2 =σ X2

n

"

#$$

%

&''

14/05/15  

12  

2.  Campionamento  senza  reimmissione  •  qualunque  sia  f(X,θ):  

 -  n  <  0,05  �  N  &  n  >  25  à  

               à  

-  n  >  0,05  �  N    &  n  >  25  à    

             à    

Distribuzione  campionaria  della  media    (segue)  

E(X )=µX =µX Var(X )= σ X2 =

σ X2

nN − nN −1

Z = X −µXσ X n

~ N 0,1( )

X ~ N µX ,σ X2( )

X ~ N µX ,σ X2( )

Z = X −µXσ X

nN − nN −1

~ N 0,1( )

Distribuzione  campionaria  della  proporzione  di  successi  

•  CaraXeri  dicotomici  •  π  =  proporzione  di  successi  nella  popolazione  •  p  =  proporzione  di  successi  nel  campione  •  p*  =  proporzione  di  successi  s>mata  in  corrispondenza  del  campione  osservato  

•  Obie8vo:  definire  la  distribuzione  campionaria  di  p  

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Teorema  di  De  Moivre-­‐Laplace  (TDML)  •  Presenta  una  formalizzazione  più  rigorosa  del  TLC  •  n  v.c.  Xi~Ber(π)  indipenden>    •  v.c.  somma:  Sn=X1+X2+….+Xn    

•  la  v.c.  Z~N(0,1)  si  può  vedere  come  distribuzione  limite  di  altre  distribuzioni  (Poisson,  chi  quadrato,  t  di  Student,  etc.)  

•  Zn  può  essere  approssimato  da  Z  purchè:  –  le  n  v.c.  siano  i.d.  e  n>25  –  le  n  v.c.  siano  indipenden>  e  nπ>5  

                                                                         

Zn =Sn − nπnπ( 1−π )

d# →# N 0,1( ) per n→∞

Distribuzione  campionaria  della  proporzione  di  successi  (segue)  

•  v.c.  proporzione  di  successi:  

•  nπ  (1  –  π)  >  9                    

p = 1n

Xii

n

∑ Xi ~ Binr 1,π( ) E Xi( ) = π Var Xi( ) =π 1−π( )n

p ~ N π;π 1−π( )n

#

$

%%

&

'

((

Z = p*−π

π 1−π( )n

≈ N 0;1( )

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14  

Distribuzione  campionaria  della  proporzione  di  successi:  esempio  

Nella   giornata   di   ieri   il   programma   in   onda   in   prima  serata   sulla   rete   X   ha   registrato   uno   share   del   40%.   Si  determini  la  probabilità  che,  estraendo  con  ripe>zione  un  campione   di   1000   telespeXatori,   almeno   il   38%   di   essi  abbia  guardato  il  programma  in  oggeXo.    

P p ≥ 0,38( ) = P Z ≥ 0,38−0,400,0024

#

$%%

&

'((= P Z ≥ −1,29( ) = 0,90147

X ~ Binr 1,π = 0,40( ) p ~ N π = 0,40,π 1−π( )1000

= 0,0024#

$

%%

&

'

((

n = 1000 π = 0,40 nπ 1−π( ) = 240 > 9

Distribuzione  campionaria  della  varianza  

•  σ2X  =  varianza  della  popolazione  •  Varianza  campionaria  

•  Varianza  di  X  per  il  campione  osservato  

•  Obie8vo:  definire  la  distribuzione  campionaria  di  S2  

S2 = 1n−1

Xi − X( )∑2

s2 = 1n−1

xi − x( )∑2

14/05/15  

15  

Distribuzione  campionaria  della  varianza  (segue)  

•  Si  dimostra  che,  se  X  ~  N(μX,σ2X)  

•  da  cui:    n−1( )S2σ X2

~ χ2n−1( )

En−1( )S2σ X2

#

$

%%

&

'

((= n−1; VAR

n−1( )S2σ X2

#

$

%%

&

'

((= 2 n−1( )

En−1( )S2σ X2

#

$

%%

&

'

((= n−1⇒ E S2( ) = n−1n σ X

2 ≠ σ X2

Variabile  casuale  Chi-­‐quadro  ( )2~ rX χ

χ r( )2 = Zi

2

i=1

r

∑

r v.c. Zi ~ N 0,1( ) indipendenti

r  =  gradi  di  libertà    (n.   di   osservazioni   indipenden>   del  campione   meno   il   numero   k   di   parametri  della  popolazione  che  devono  essere  s>ma>  per  mezzo  delle  osservazioni  campionarie)  

( )( ) rXVAR

rXE22 ==

==

σ

µχ r( )

2 ~ N r,2r( ) per r ≥ 30

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Distribuzione  campionaria  della  varianza  (esempio)  

Sia   X   il   tempo   di   percorrenza   di   una   intera   corsa   dell’autobus  “CQ”.   Si   suppone   che   X   abbia   una   distribuzione   normale   con  media  incognita  e  varianza  16.  Si  determini  la  probabilità  che  la  devianza   campionaria   nS2   in   un   campione   di   13   corse  dell’autobus  risul>  superiore  a  6,304  σ2X.        

nS 2 σ 2 ~ χ n−1( )

P nS 2 ≥ 6,304σ 2( ) = P nS 2 σ 2 ≥ 6,304( ) == P χ 2n−1( ) ≥ 6,304( ) = P χ 212( ) ≥ 6,304( ) = 0,90

X ~ N µX = ?,σ X2 =16( ) n =13