MÉTODOS ELÉCTRICOS

INGENIERÍA EN GEOCIENCIAS CIENCIAS DE LA TIERRA

CVE.:4523 GPO.: C 16:00-17:00 HRS AULA: U11

Equipo: C OULOMBS

ORTÍZ ROSALES CINDY L. OSORIO VALLEJO NOHEMI OSORIO ORTIZ ADRIANA M.

PACHECO AVIÑA IVAN RIVAS MALDONADO GILBERTO E.

CASTILLO FLORES ADHEMAR

ING. MARTINEZ FLORES MIGUEL

E L CAMPO ELECTRICO

1.1 LEY DE COULOMB

La ley de Coulomb puede expresarse como:

La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas. Se nombra en reconocimiento del físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que la enunció en 1785 y forma la base de la electroestática.

Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que

determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste

en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra

tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de

torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en

un punto de la barra.

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario.

La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las

cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas

o positivas.

En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a

continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada.

Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de

las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un

factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza

era proporcional al producto de las cargas:

y

En consecuencia:

Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción

disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al

cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En

consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

Asociando ambas relaciones:

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la

relación anterior en una igualdad:

Variación de la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales en función de la

distancia.

Enunciado de la Ley:

La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando

no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se

realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que

es llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos

cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se

expresa como:

Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se

atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

Donde es un vector unitario, siendo su dirección desde las cargas que produce

la fuerza hacia la carga que la experimenta.

Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o

q2, según sean estas positivas o negativas.

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe

hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera

de la forma , entonces .

1.2 CAMPO ELECTRICO (E)

La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del

mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra

carga q situada a una distancia r es.

La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las

cargas son de signo contrario.

Concepto de campo

Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las

propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que

solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del

punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a

poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la

ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.

Cada punto P del espacio que rodea a

la carga Q tiene una nueva propiedad,

que se denomina campo

eléctrico E que describiremos

mediante una magnitud vectorial, que

se define como la fuerza sobre la

unidad de carga positiva

imaginariamente situada en el punto

P.

La unidad de medida del campo en el S.I. de Unidades es el N/C

En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una

carga Q positiva y negativa respectivamente.

Energía potencial

La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se

puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y

el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que

denominamos energía potencial.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector

desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.

dW=F·dl=F·dl·cosθ=F·dr.

Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q en la

dirección radial.

Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del

centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la

posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga

fija Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía

total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la

trayectoria.

Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una

propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos

potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva

imaginariamente situada en P, V=Ep/q. El potencial es una magnitud escalar.

La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).

Relaciones entre fuerzas y campos

Una carga en el seno de un campo

eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al

campo cuyo módulo es F=qE, cuya dirección es la

misma, pero el sentido puede ser el mismo o el

contrario dependiendo de que la carga sea positiva o

negativa.

Relaciones entre campo y diferencia de potencial

La relación entre campo eléctrico y el potencial es.

En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el

área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante

VA-VB=E·d que es el área del rectángulo sombreado.

El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado

se cumple

Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el

operador gradiente.

Trabajo realizado por el campo eléctrico

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve

desde una posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial

es VB es

El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se

mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el

potencial es más bajo. Siq>0 y VA>VB entonces W>0.

El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se

mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el

que el potencial es más alto.

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro

lugar A en el que el potencial más alto.

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro

lugar B en el que el potencial más bajo.

Campo eléctrico y potencial de una carga puntual

El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga

viene representado por un vector de

módulo

dirección radial

sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa

El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale

Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son

tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.

En la figura, se representan las líneas de fuerza de una carga puntual, que son

líneas rectas que pasan por la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas

concéntricas.

Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas

Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma

vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas.

Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.

El módulo del campo eléctrico

producido por cada una de las

cargas es

Y las componentes del campo total

son

Como el campo es tangente a las líneas

de fuerza, la ecuación de las líneas de

fuerza es

Tal como se muestra en la figura.

El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales

debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es

SUPERPOSICIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS

La descripción de la influencia de una carga aislada en términos de campos puede

generalizarse al caso de un sistema formado por dos o más cargas y extenderse

posteriormente al estudio de un cuerpo cargado. La experiencia demuestra que las

influencias de las cargas aisladas que constituyen el sistema son aditivas, es

decir, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un

punto cualquiera del espacio que rodea dos cargas Q1 y Q2 será la suma vectorial

de las intensidades E1 y E2 debidas a cada una de las cargas individualmente

consideradas.

Este principio de superposición se refleja en el mapa de líneas de fuerza

correspondiente. Tanto si las cargas son de igual signo como si son de signos

opuestos, la distorsión de las líneas de fuerza, respecto de la forma radial que

tendrían si las cargas estuvieran solitarias, es máxima en la zona central, es decir,

en la región más cercana a ambas.

Si las cargas tienen la misma magnitud, el mapa resulta simétrico respecto de la

línea media que separa ambas cargas. En caso contrario, la influencia en el

espacio, que será predominante para una de ellas, da lugar a una distribución

asimétrica de líneas de fuerza.

1.3 MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN

CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Cuando una partícula de carga q y masa m se sitúa en un campo eléctrico E. la

fuerza eléctrica ejercida sobre la carga es q E . Si ésta es la única fuerza ejercida

sobre la partícula, debe ser la fuerza neta y, por ende, debe causar que la

partícula se acelere. En este caso la segunda ley de \newton aplicada a la

partícula produce

Por tanto, la aceleración de la partícula es

Si E es uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección), entonces la

aceleración es constante. Si la partícula tiene una carga positiva, la aceleración

está en la dirección del campo eléctrico. Si la partícula tiene carga negativa,

entonces la aceleración es en la dirección opuesta del campo eléctrico.

El campo eléctrico en la región entre 2 placas metálicas planas con cargas

opuestas es casi uniforme (Fig. 6.1). Suponga que un electrón de carga —c se

proyecta horizontalmente dentro de este campo a una velocidad inicia! v\. Puesto

que- el campo eléctrico E en la figura 6.1 está en la dirección y positiva, la

aceleración fiel electrón es en la dirección y negativa. Es decir:

Ya que la aceleración es constante, se pueden aplicar las ecuaciones de la

cinemática en dos dimensiones con V xi = V i y V yi . Después de que el electrón

ha estado en el campo eléctrico durante un tiempo t, las componentes de su

velocidad son

V x = V i = constante

Un electrón se lanza horizontalmente en un campo eléctrico uniforme producido

por dos placas cargadas . El electrón experimenta una aceleración descendente

(opuesta a E) y su movimiento es parabólico mientras está entre las placas.

ECUACION 6.5

ECUACION 6.6

Al sustituir el valor t = x/ V i , de la ecuación 6.5, en la ecuación 6.6, se ve que y es

proporcional a x². Por tanto, la trayectoria es una parábola. Después de que el

electrón abandona el campo continúa moviéndose en una línea recta en la

dirección de v en la figura 6.1, obedeciendo la primera ley de Newton, a una

rapidez v > v t . Observe que se ha ignorado la fuerza gravitacional que actúa

sobre el electrón.

Esta es una buena aproximación cuando se trabaja con partículas atómicas. Para

un campo eléctrico de 10 4 N/C, la relación entre la magnitud de la fuerza

eléctrica e.E y la magnitud de la fuerza gravitacional mg es del orden de 10 14

para un electrón y del orden de 10 11 para un protón.

L EY DE GAUSS Y FLUJO ELECTRICO

2.1 FLUJO ELECTRICO

¿Qué es el flujo de campo eléctrico?

El matemático y físico alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855) estableció una relación entre el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada y la carga almacenada en su interior.

El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio (N·m2/C).

Esta definición comprende dos conceptos importantes:

Por un lado, el número de líneas de fuerza, que como ya estudiamos anteriormente es siempre proporcional al módulo de la intensidad del campo eléctrico.

Por otro, la superficie que atraviesan dichas líneas de fuerza. Cada superficie plana se puede representar por medio de un vector S→ que se caracteriza porque:

S→ es siempre perpendicular a dicha superficie.

El módulo de S→ equivale al área de la superficie.

Para calcular el flujo eléctrico consideraremos varios casos:

Campo eléctrico uniforme o Superficie plana perpendicular al campo eléctrico. o Superficie plana no perpendicular al campo eléctrico.

Campo eléctrico no uniforme o Superficie cualquiera abierta. o Superficie cualquiera cerrada.

FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA PERPENDICULAR

Si nos atenemos a la definición de flujo eléctrico, cuando disponemos de un campo eléctrico uniforme E→ y una superficie S→, el flujo eléctrico (ΦE) se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

ΦE=E→·S→

Si consideramos que la superficie es perpendicular al campo eléctrico (es decir, S y E forman un ángulo de 0º entre ellos), aplicando la definición de producto escalar obtenemos que:

ΦE=E→·S→=E·S·cos 0 =E·S

El flujo eléctrico que atraviesa una superficie plana perpendicular a un campo eléctrico uniforme, viene determinado por la siguiente expresión:

ΦE=E·S

FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA NO PERPENDICULAR

En este caso, el ángulo (α) que forman el vector E→ y el vector S→ no es 0, por tanto el flujo eléctrico dependerá de dicho ángulo:

ΦE=E→·S→=E·S·cos α

El flujo eléctrico (ΦE) que atraviesa una superficie plana S→ no perpendicular a un campo eléctrico uniforme E→, viene determinado por la siguiente expresión:

ΦE=E·S·cos α

FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE ABIERTA.

Lo más común es que los campos eléctricos no sean uniformes y las superficies no sean planas. En este caso, para calcular el flujo eléctrico es necesario dividir la superficie en pequeñas superficies elementales (dS→), cuyo carácter infinitesimal nos permita considerar que E→ en cada una de esas superficies elementales es constante. De esta forma, podemos definir el flujo que atraviesa cada superficie elemental de la siguiente forma:

dΦ=E→·dS→

Una vez conocido el flujo que atraviesa cada superficie elemental, el flujo total que atraviesa toda la superficie será la suma de todos esos diferenciales de flujo.

El flujo eléctrico que atraviesa una superficie no plana y creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

ΦE=∫SE→·dS→

FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE CERRADA.

Basándonos en el flujo de campo eléctricos no uniformes que atraviesan superficies abiertas, es posible deducir que si disponemos de una superficie cualquiera cerrada, el flujo en dicha superficie se puede obtener como la suma de los flujos de cada una de las superficies abiertas que constituyen dicha superficie.

El flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

ΦE=∮SE→·dS→

En clase definimos la cantidad de flujo como la cantidad de energía que penetra

una superficie por unidad de tiempo.

Y el flujo eléctrico como el número de

líneas de campo que pasa por una

superficie determinada.

Una imagen representando el flujo

eléctrico.

Un flujo eléctrico uniforme

atraviesa un área, las líneas de fuerza

en la figura señalan que el campo es

uniforme.

Cuando el área de superficie se gira deja de ser perpendicular el campo

eléctrico, el flujo se reduce, hay un menor número de líneas de campo a través de

ella. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el

área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de

la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define

mediante el producto escalar.

EJEMPLOS

Una lámina plana tiene forma rectangular, con lados cuya longitud es de 0.400 m y 0.600 m. Se introduce la lámina en un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 N/C y cuya dirección forma un ángulo de 20o con respecto al plano de la lámina (ver figura). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina. Datos: E = 75 N/C Base = 0.6 m Altura = 0.4 m Calcular la magnitud del flujo eléctrico. ΦE = EA Senθ ΦE = 75 (0.6 x 0.4) Sen (20) ΦE = 6.16 Nm2/ C

Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico total vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. Datos: E = 52 N/C Base = 6m Altura = 6m Calcular el flujo eléctrico total. ΦE= EA ΦE = 52 (6x6) ΦE = 1872 Nm2/C

2.2 LA LEY DE GAUSS

Puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una

jaula de Faraday (Un volumen V sin carga eléctrica rodeado por una superficie

conductora cerrada S). El potencial φ en el interior del conductor cumple la

ecuación de Laplace: ∇2φ = 0 ∀r∈V Dado que el conductor está en equilibrio en su

superficie no hay corrientes, de modo que el potencial en su superficie es

constante:φ|S=φ0.

En virtud del teorema de unicidad del potencial el potencial que cumple tales

condiciones es único y puede verse que la solución es trivialmente: φ = φ0 ∀r ∈ R.

Por lo tanto E = −∇φ = 0

De modo que el campo eléctrico en el interior es nulo.

◦ Evitar el ruido molesto de las interferencias entre el teléfono móvil y su altavoz.

◦ Dejar sin señal: (teléfonos móviles, módems, etc.)

◦ Evitar interferencias entre altavoces y una frecuencia de radio.

J AULA DE FARADAY

Una jaula de Faraday es una caja metálica que protege de los campos eléctricos

estáticos. Debe su nombre al físico Michael Faraday, que construyó una en 1836.

Se emplean para proteger de descargas eléctricas, ya que en su interior el campo

eléctrico es nulo.

El funcionamiento de la jaula de Faraday se basa en las propiedades de un

conductor en equilibrio electrostático. Cuando la caja metálica se coloca en

presencia de un campo eléctrico externo, las cargas positivas se quedan en las

posiciones de la red; los electrones, sin embargo, que en un metal son libres,

empiezan a moverse puesto que sobre ellos actúa una fuerza dada por:

𝐹 = 𝑒𝐸𝑒𝑥𝑡

Donde e es la carga del electrón. Como la carga del electrón es negativa, los

electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y, aunque la carga

total del conductor es cero, uno de los lados de la caja (en el que se acumulan los

electrones) se queda con un exceso de carga negativa, mientras que el otro lado

queda con un defecto de electrones (carga positiva). Este desplazamiento de las

cargas hace que en el interior de la caja se cree un campo eléctrico de sentido

contrario al campo externo, representado en azul.

El campo eléctrico resultante en el interior del conductor es por tanto nulo.

Como en el interior de la caja no hay campo, ninguna carga puede atravesarla; por

ello se emplea para proteger dispositivos de cargas eléctricas. El fenómeno se

denomina apantallamiento eléctrico.

PRACTICA 1 Introducción:

Tomando como base la jaula de Faraday, pero orientado más hacia los campos

eléctricos y magnéticos que utilizan los celulares, probaremos entonces que la

jaula de Faraday y la teoría que maneja es cierta con ésta práctica.

Materiales:

Tela de malla

Estaño

Cautín

Celulares

Metodología:

1. Se crea una pequeña jaula, que en nuestro caso fue una especie de caja,

con la ayuda del cautín y el estaño para poder unir los lados de la caja. (Ver

Fig 1 y 2)

2. Una vez ensamblada, se coloca un celular dentro, y se busca la manera de

que este bien cerrada dicha caja, que no queden lados abiertos, y que la

tapa toque muy bien los lados de la caja para un mejor resultado, y así

evitando agujeros que hagan pasar los campos.

3. Se hace una llamada desde otro celular, y si estamos haciendo bien el

sellado de nuestra caja, tal como en nuestra practica se hizo, no entra la

llamada (Ver Fig 3) debido a que el campo electromagnético en el interior

de nuestra jaula es nulo y ésta anula los efectos de campos externos.

4. Para comprobar que era cierto, y no solo casualidad, decidimos abrir la caja

y realizar otra llamada, y ésta vez si entró. (Ver Fig 4)

Fig 1 Fig 2

Fig 3

Fig 4

Conclusión:

Es cierto lo que se dice de la jaula, aunque no podemos ver los campos con los

que el celular trabaja, podemos darnos cuenta que si no entra la llamada

obviamente la jaula es la que hace este efecto, dado que si abrimos la jaula, o la

cerramos de una manera errónea, la llamada entrará normalmente.