Numero 8, 08 Maggio 2012. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

EditorialeEccoci con un nuovo numero di CaoStabile!In questo numero faremo qualche passo nel mondo deicalcolatori e continueremo il nostro viaggio nello spazio,questa volta diretti verso Saturno. Non solo, vedremo co-me il caos a volte nasconda qualcosa di ordinato e possaessere spiegato da una legge fisica, per finire ci occupere-mo di politica, un argomento tanto attuale e legato allateoria dei giochi!Non mancherà come al solito l’angolo per gli studenti,vedremo alcuni esempi di problemi che possono essererisolti in modo semplice con le equazioni (e quindi con ilcalcolatore!), la pausa caffè ed una recensione!

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Il Team CaoStabile

In questo numero:

Primi passi nella pro-grammazione

In viaggio verso Saturno

Dal caso alla legge fisica

Un po’ di politica

Chiedi alla Ga’:Problemi risolubili conle equazioni

Pausa caffè:Somma dei cubiSomma numeri dispariSomme consecutive

Recensioni:“Il teorema delpappagallo”

PRIMI PASSI NELLA PROGRAMMAZIONE

Nel primo numero di CaoStabile ab-biamo parlato di sistemi dinamici, introdu-cendo alcuni concetti di base. Come tiho già detto un sistema dinamico è unmodello matematico che descrive l’evo-luzione temporale di un sistema secondo

opportune equazioni matematiche.

Modelli matematici sono utilizzati ognigiorno per descrivere svariati fenomeni,dalle previsioni del tempo agli studi di ae-rodinamica per la progettazione di aero-plani e macchine di formula uno. In par-

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ticolare avrai spesso sentito parlare di si-mulazioni numeriche, ma cosa sono esat-tamente? La risposta è abbastanza sem-plice, una simulazione numerica altro nonè che un modello matematico che vieneutilizzato per descrivere un fenomeno rea-le, ma poiché i conti sono noiosi e com-plessi, sfruttiamo la potenza (e la stupidi-tà) di un calcolatore per l’esecuzione deicalcoli! Facile no? Certo la domanda sor-ge spontanea. . .e come faccio a dire alcomputer di fare i conti al posto mio? Ec-co qui la risposta è un poco più comples-sa, ed è quanto voglio cercare di spiegartiin questo articolo.

Lungi da me l’idea di essere esaurien-te in queste poche righe, quel che vo-glio fare, come al solito, è togliere il pri-mo strato e svelarti qualche possibilità, perapprofondire l’argomento ci sono i libri!

Partiamo dal principio, è abbastanzaprobabile che tu abbia a disposizione lostrumento: il calcolatore, il tuo computerè perfetto, è molto più potente dei calco-latori che ci hanno permesso nel non trop-po lontano 20 Luglio 1969 di raggiungerela Luna!

Una piccola nota storica: le prime cal-colatrici tascabili risalgono al 1970 e aquel tempo i computer avevano le di-mensioni di una stanza, per questo gliastronauti che andarono sulla Luna eranodotati di un potentissimo regolo calcola-tore per fare i calcoli necessari durante lamissione, ma questa è un’altra storia e neparleremo un’altra volta!

Probabilmente usare il computer pernavigare in Internet, mandare email eguardare le fotografie scattate durante levacanze è un’operazione naturale per te,i motivi sono essenzialmente due: primosei stato abituato sin da piccolo ad ave-re un computer in casa, secondo esisto-no sofisticati programmi che fanno il lavo-ro sporco e ti permettono di eseguire de-terminate operazioni con pochi click delmouse (prova ad accendere il mio vec-chio Commodore 64 e fare lo stesso. . .,ops! il mouse non esisteva ancora!).

Ora ti faccio una semplice domanda:sapresti scrivere un programma che fac-cia scrivere “Ciao!” al tuo computer? No,aprire un editor di testi e scriverlo non è larisposta giusta! Ecco quel che ti serve ècapire come fare ad interagire con il tuocomputer per fargli fare quel che vuoi tu!

Quello che ti serve è un linguaggio diprogrammazione, ed un programma chesia in grado di convertire il tuo programmain qualcosa che il computer sia in gradodi capire ed eseguire, sembra complica-to (ed in effetti in parte lo è), ma non è piùcomplicato che spiegare in tutti i dettagliquel che vuoi fare, il computer è veloce,ma è dotato di una scarsissima capacitàdi immaginazione!

Per mia deformazione professionale illinguaggio scelto è il C e il sistema ope-rativo GNU/Linux. Sei libero di provaread utilizzare il sistema operativo GNU/Linuxattraverso una delle sue numerose di-stribuzioni (Debian, Ubuntu, OpenSusee Fedora giusto per fare qualche no-me), si tratta di un sistema completa-mente libero e gratuito che ti incorag-gio vivamente a provare (se hai dub-bi o domande ti consiglio i forum italia-ni: http://ildn.net), ma puoi naturalmen-te scrivere dei programmi in C ed eseguir-li anche in ambiente Windows (vedi adesempio: http://www.codeblocks.org).

Ecco un programma che ti permette difar scrivere “Ciao!” al tuo computer:#include <stdio.h>

int main(){printf(“Ciao!\n”);return 0;

}

La prima riga è un’istruzione che ti per-mette di utilizzare alcune funzioni per dia-logare con il computer, scrivere qualcosasullo schermo o leggere dati dalla tastie-ra. Il main è la funzione principale, quel-la che viene eseguita per prima dal com-puter una volta che il programma viene

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compilato (tra poco ti dirò come!) e l’istru-zione printf è effettivamente quella che tipermette di far scrivere al computer sulloschermo (l’istruzione \n indica semplice-mente il carattere di a capo)! Non ti re-sta che aprire un editor di testo (per me ilmigliore resta sempre Emacs!) e copiareper bene il programma, o andare sul no-stro sito Internet e scaricarlo direttamente,e salvarlo ad esempio con il nome ciao.c.

Per poter eseguire il programma dovraiprima compilarlo, si tratta semplicementedi tradurlo in qualcosa che il tuo compu-ter sia in grado di eseguire, per questo apriun terminale e digitaregcc -o ciao ciao.c

otterrai un nuovo file chiamato ciao,questo file è un file eseguibile, che il tuocomputer è in grado di eseguire, prova adigitare./ciao

e vedrai che il tuo computer “magica-mente” scriverà quel che ormai ti aspet-ti, complimenti hai scritto il tuo primoprogramma!

Naturalmente puoi utilizzare quel che timette a disposizione il tuo programma, adesempio se utilizzi CodeBlocks troverai daqualche parte un tastino per compilaredirettamente il tutto ed eseguirlo!

Ma non avevamo parlato di model-li matematici? Certamente, quel che timanca è capire come far fare dei con-ti al calcolatore, ancora un attimo di pa-zienza! Tagliamo corto ed omettiamo par-te della verità (se sei interessato esistonosempre i manuali!), possiamo dividere i nu-meri in interi (di tipo int) e reali (di tipodouble). Supponiamo ora di voler risolve-re un’equazione di secondo grado, la for-mula la sai, ma come spiegarla al com-puter? Ecco il programma, i commenti lifacciamo dopo:#include <stdio.h>#include <math.h>

int main(){double a, b, c;

double rad_delta, x1, x2;

a = 1.2;b = 3.1;c = -0.5;

rad_delta = sqrt(b*b-4*a*c);if(rad_delta < 0)printf(“No soluzioni reali.\n”);

else {x1 = (-b+rad_delta)/(2.0*a);x2 = (-b-rad_delta)/(2.0*a);printf(“Le soluzioni sono:\n”);printf(“x1 = %le\n”, x1);printf(“x2 = %le\n”, x2);

}return 0;

}

ancora una volta copia il programmao scaricalo dal sito e passa alla compila-zione (chiamiamolo eq_sec_gr.c):gcc -o eq_sec_gr eq_sec_gr.c -lm

il “-lm” è fondamentale, dice al com-puter dove trovare la funzione “sqrt” cheserve per calcolare la radice quadrata diun numero!

Come vedi si tratta di spiegare al com-puter come fare quel che con molta pa-zienza saresti perfettamente in grado difare da solo con carta e penna, l’unicacosa che ha in più il computer rispetto ate è la velocità (e la precisione ad essersinceri!), immagina di dover compiere mi-lioni di calcoli con carta e penna, un er-rore errore di calcolo o di trascrizione èsempre dietro l’angolo, per non parlaredel tempo necessario. . .ecco in questi ca-si un computer è estremamente utile, madevi spiegargli esattamente cosa fare, lamente resta sempre la tua!

Facciamo un ultimo esempio per chia-rire il concetto: come calcolare la som-ma dei primi 1000 numeri naturali? Sempli-ce dirai, devo solo spiegarlo al computer,ecco la risposta:#include <stdio.h>

int main()

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{int n, somma;

for(n=1,somma=0;n<=1000;++n)somma += n;

printf(“Somma =”);printf(“%d\n”, somma);return 0;

}

Semplice no? Certamente, ma quanteoperazioni inutili, esiste una formula moltosemplice per calcolare la somma dei primin numeri naturali:

somma(n) =n(n+ 1)

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te l’ho già detto, e te lo ripeto, il calcola-tore è veloce a fare i conti, ma la menteresti sempre tu!

Naturalmente questo è solo l’inizio, sesono riuscito a stimolare la tua curiosi-tà e a metterti un po’ di confusione intesta metà del mio scopo è riuscito, sepoi andrai a cercare maggiori informazio-ni su qualche manuale e inizierai a critica-re quanto ho scritto sarò riuscito nell’altrametà!

Nei prossimi numeri vedremo comescrivere un programma per calcolareeffettivamente l’evoluzione di un siste-ma dinamico, anche se gli ingredientifondamentali li hai e puoi già provarci!

Marco Sansottera

IN VIAGGIO VERSO SATURNO

Capitolo secondo.

In questo numero continuiamo il viag-gio verso Saturno iniziato in CaoStabile,Numero 6. Racconteremo la traiettoriache la navicella Cassini-Huygens ha per-corso per 7 anni nello spazio, tra i piane-ti del sistema solare, prima di giungere,finalmente, nelle vicinanze di Saturno.

Nel pianificare le missioni interplaneta-rie, gli scienziati possono contare su unatecnica chiamata “assistenza gravitazio-nale”. Questa tecnica consiste in unamanovra naturale della navicella spazia-le che permette di modificare la sua ve-locità sia nella direzione che nell’intensità.Questa manovra, in inglese, prende il no-me di flyby e avviene quando la navicellasi avvicina ad un pianeta o ad un satellitenaturale di un pianeta, e risente fortemen-te dell’attrazione gravitazionale di questo.In italiano, questo fenomeno prende an-che il nome di effetto fionda, perché ilpianeta agisce sulla navicella proprio co-me una fionda che lancia un oggetto fa-cendo aumentare la sua velocità. Co-me abbiamo già detto nel capitolo pre-cedente, i flybys sono uno degli elemen-

ti più importanti della dinamica di Cassini,sia nel viaggio dalla Terra a Saturno, sia nelsuo giro in orbita intorno a Saturno (che siripete da ben 8 anni).

Il flyby può essere facilmente spie-gato grazie a semplici modelli matema-tici, ma prima di introdurre le formuleche lo descrivono e lo spiegano, vedia-mo una descrizione qualitativa di questofenomeno.

Ripercorriamo ora il viaggio dalla Ter-ra a Saturno. La navicella ha effettuatomolti incontri ravvicinati con vari pianeti,in particolare due volte con Venere, unavolta con la Terra, una volta con Giove; inquesto modo, la navicella Cassini ha au-mentato la sua velocità e ha accumula-to sufficiente energia per arrivare fino aSaturno.

Ricordiamoci che un satellite artificia-le segue le stesse leggi dei corpi celesti eperciò si muove seguendo le tre leggi diKeplero (vedi CaoStabile, Numero 4). Lanavicella pertanto, dopo essere stata lan-ciata dalla Terra, inizia a ruotare intorno alSole su un’orbita ellittica (ovvero la traiet-toria è un’ellissi), dove il Sole occupa uno

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dei due fuochi. L’ellisse è caratterizzatada un semiasse maggiore che dà informa-zioni sulla distanza tra il satellite e il Solee inizialmente è simile a quello della Ter-ra. L’obiettivo è quello di modificare l’el-lissi e quindi il semiasse maggiore, in mo-do tale che alla fine la navicella Cassini-Huygens si trovi su un’ellissi con un semias-se simile a quello di Saturno, così da po-tersi avvicinare a Saturno e immettersi inorbita intorno al pianeta. Ciò può acca-dere grazie agli incontri ravvicinati dellanavicella con i pianeti, i quali riescono amodificare la direzione e la velocità dellanavicella facendo aumentare il semiassedelle ellissi.

Vediamo nel dettaglio questi incontri.La navicella Cassini-Huygens è stata lan-ciata dalla Terra il 15 ottobre 1997; il 26aprile 1998 avviene il primo incontro conVenere ad una distanza dal pianeta di287 km, e il 24 giugno 1999 avviene unsecondo incontro con Venere ad una di-stanza di 600 km. Il 18 Agosto del 1999Cassini-Huygens si avvicina alla Terra adun’altezza di 1171 km. Un’ora e venti mi-nuti prima di questo avvicinamento, la na-vicella passa anche vicino alla Luna resti-tuendoci molte immagini del nostro satel-lite naturale. Proseguendo il suo viaggio, il30 dicembre 2000, la navicella è arrivatanel punto più vicino a Giove, cioè 9, 7 mi-lioni di chilometri e in quel punto essa ac-cumula l’ultima spinta necessaria per arri-vare fino a Saturno. Nei mesi precedentie successivi l’incontro con Giove, Cassini-Huygens ha acquisito molti dati e molteimmagini su Giove, fornendoci importan-ti informazioni sul pianeta più grande delnostro sistema solare. Finalmente il primoluglio 2004, la navicella incontra Saturno.A questo punto, vengono azionati dei mo-tori per 96 minuti che permettono alla na-vicella di iniziare il suo viaggio intorno a Sa-turno e iniziare a percorrere delle orbite el-littiche intorno a questo pianeta. Da ades-so in poi, Cassini-Huygens si muove ancoraseguendo le leggi di Keplero, ma percor-rendo delle ellissi in cui uno dei fuochi è

Saturno e non più il Sole.

Figura 1. La traiettoria di Cassini-Huygens dalla Terra aSaturno (immagine NASA).

Nella Figura 1 possiamo visualizzare la tra-iettoria di Cassini-Huygens; il tratto in ver-de rappresenta la prima parte del viag-gio dal lancio dalla Terra al primo incontrocon Venere; successivamente la navicellainizia a percorrere un’ellisse più schiaccia-ta, raffigurata in arancione, fino a quandoincontra nuovamente Venere; poi la tra-iettoria in blu mostra i successivi incontricon Terra e Giove fino all’arrivo a Saturno;possiamo notare che la navicella percor-re dei tratti di ellissi che hanno sempre unodei due fuochi nel Sole. È importante ri-cordare che, mentre la navicella viaggia,anche i pianeti proseguono nel loro viag-gio intorno al Sole (moto di rivoluzione deipianeti), perciò bisogna assicurarsi che nelmomento in cui Cassini-Huygens attraver-sa l’orbita del pianeta, il pianeta si troviproprio in quel punto dell’orbita. Per que-sto devono essere eseguiti accurati calcoliper far verificare l’incontro tra il pianeta ela navicella.

Figura 2. La traiettoria di Cassini in orbita intorno aSaturno (immagine NASA).

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Dal 2004 ad oggi, Cassini continua ad or-bitare intorno Saturno e continua ad effet-tuare manovre di flyby per cambiare dire-zione e dirigersi verso nuovi satelliti. Ricor-diamo che Saturno è simile ad un sistemasolare: esistono decine di satelliti natura-li (finora ne sono stati scoperti più di 60)che ruotano intorno a Saturno seguendole leggi di Keplero. Orbitando intorno aSaturno, la navicella effettua numerosi in-contri ravvicinati con i vari satelliti cosic-ché la sua orbita viene modificata e puòavvicinarsi ogni volta ad un nuovo satel-lite per esplorarlo e acquisire nuove infor-mazioni. Il satellite più grande di Saturnoè Titano, e questo rappresenta un vero eproprio motore nel viaggio di Cassini intor-no a Saturno. Nella Figura 2 vediamo latraiettoria (molto disordinata ma ben pre-

cisa!) della navicella Cassini dopo esse-re entrata nell’orbita di Saturno. Vedia-mo che la navicella percorre diverse ellis-si che si modificano continuamente, mahanno tutte in comune un fuoco che cor-risponde a Saturno, che si trova al centrodella figura. Gli incontri con Titano, ma ingenerale con i vari satelliti, rappresentanoun momento critico per questa missione acausa della loro importanza dovuta alladuplice funzione che hanno, ovvero diri-gere la navicella e effettuare esperimentiscientifici.

Nei prossimi capitoli, analizzeremo latecnica del flyby con un po’ più di formuledi matematica e di fisica, vedendo che, infondo, anche un fenomeno tanto compli-cato e affascinante può essere spiegatoin maniera semplice.

Sara Di Ruzza

DAL CASO ALLA LEGGE FISICA

In natura un gran numero di fenome-ni paiono comportarsi in modo casuale. Ilfumo che esce da un camino, l’oscillazio-ne della fiamma di un fiammifero acceso,la fila di persone che aspetta di trovare unposto per sedersi al bar. . .

Alcuni dei fenomeni che sembrano es-sere governati dal caso lo sono veramen-te (come la fila di persone), altri sono “gui-dati” da leggi ben definite, ma talmentecomplesse e dipendenti da un tale nume-ro di variabili da non poter essere espres-se o risolte senza approssimazioni. In alcu-ni casi invece é possibile sfruttare la dina-mica casuale del fenomeno per estrarneuna legge che lo governa. Uno dei primiesempi, o per lo meno uno degli esempipiù famosi é il moto browniano.

Il moto browniano é il moto disordinatodi piccole particelle (per intenderci: conpiccole intendo aventi diametro nell’ordi-ne del micrometro, ossia 10−6 metri) pre-senti nei fluidi. Con un po’ di impegnopotreste riuscire ad osservare tale moto

facendo cadere dei granelli minuscoli (adesempio le particelle più piccole di pe-pe macinato) in un bicchiere o una baci-nella d’acqua, ed osservandoli con unalente di ingrandimento (o meglio ancoracon un microscopio). Dovreste riuscire avedere come, di tanto in tanto, questecambiano direzione, senza alcun motivoevidente (come potrebbe ad esempio es-sere l’urto tra due di esse).

La prima osservazione di questo com-portamento risale al 1785, ma ma venneconsiderata come fatto di poco conto fi-na alla “riscoperta” nel 1827 per merito diRobert Brown. Studiando il moto di par-ticelle di polline immerse nell’acqua Bro-wn osservò come queste si muovevano inmodo disordinato, cambiando continua-mente direzione. La prima ipotesi fu chequeste particelle fossero “vive”, o per lomeno dotate di un sistema di locomozio-ne proprio. Per verificare tale teoria ripetél’esperimento con particelle di materiale

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inorganico. Il fenomeno era ancora pre-sente: l’ipotesi che fosse dovuto ad unaqualche “forza vitale” non era quindi piùaccettabile, ma Brown non seppe trarrealtre conclusioni.

Esempio di colloide: particelle lipidiche del latte sospesein acqua.

L’era moderna del moto brownianoebbe inizio con Albert Einstein. Questi, ini-zialmente inconsapevole della gran mo-le di osservazioni sul fenomeno, stava cer-cando fenomeni a conferma della naturaatomica della materia.

Consideriamo il caso più semplice: unaparticella immersa nel fluido risente so-lamente della forza “casuale” (il terminepreferito in linguaggio scientifico é stoca-stica) e di una forza viscosa (che dipen-de dalla velocità della particella), inoltresupponiamo il moto in una sola direzione.Indicando con ξ(t) la forza stocastica cheagisce al tempo t possiamo scrivere la leg-ge di Newton che determina il moto dellaparticella:

a(t) = − γmv(t) +

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mξ(t).

In questa formula m é la massa della par-ticella e γ é il coefficiente di attrito visco-so (pensate alla differenza nel lasciar ca-dere qualcosa in un bicchiere d’acqua odi olio. . . ). Non facciamo richieste tropporestrittive sulla variabile stocastica ξ, masemplicemente che:

• il suo valore medio sia zero;

• la forza che agisce in ogni momen-to non dipenda dalla forza che haagito negli istanti precedenti.

Indicando con 〈·〉ξ il valore medio su dif-ferenti successione di variabili ξ, le duecondizioni si scrivono:

1. 〈ξ(t)〉ξ = 0;

2. 〈ξ(t)ξ(t′)〉ξ = gδ(t− t′).

Nella seconda condizione g é l’intensitàdella forza stocastica e δ(t− t′) é una fun-zione che vale 1 se t = t′ e zero altrimenti.In fig. 1 sono mostrate tre differenti traiet-torie di una particella soggetta ad unaforza stocastica. Come si può osservare laparticella oscilla avanti e indietro intornoall’asse x=0 (cioé ha spostamento nullo).

Esempio di tre traiettorie indipendenti (corrispondenti aitre differenti colori) della particella.

Trascurando la matematica necessa-ria alla risoluzione delle equazioni del mo-to, che inizia a diventare complessa, otte-niamo un risultato interessante per quantoriguarda la distanza (quadratica) mediapercorsa da una particella:⟨

(x(t)− x0)2⟩ξ=

g

γ2t,

dove x0 é la posizione all’istante inizia-le. Potrebbe apparivi strano il fatto chesi prenda il quadrato di x(t) − x0, ma sene prendete la radice quadrata é esatta-mente quello che fate quando calcolatela distanza tra due punti A e B nel pianocartesiano:

d(A,B) =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2.

La distanza percorsa é quindi descritta dauna legge oraria “non usuale”, ossia non é

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descritta da uno dei moti che usualmen-te si studiando (moto rettilineo uniforme ouniformemente accelerato), ma

rqm(t) ∝√t

ossia la distanza (il pedice qm significaquadratica media) percorsa cresce conla radice quadrata del tempo! In fig. 2é mostrata la distanza quadratica me-dia percorsa da un numero elevato diparticelle (tre delle quali hanno le traiet-torie di fig. 1) confrontata con

√t. Si

può osservare l’ottimo accordo tra le duecurve.

In blu la distanza quadratica media percorsa rqm(t) nelmoto browniano, in rosso la curva r(t) =

√t.

Questo risultato, in accordo con idati sperimentali, viene generalmenteespresso nella forma⟨

r(t)2⟩ξ= 2Dt,

dove D é una quantità detta diffusività, ela sua espressione é

D =kBT

6πµr

kB essendo la costante di Boltzmann, T latemperatura, r il raggio della particella insospensione e µ la viscosità del fluido.

Quanto mostrato sinora per una soladirezione vale anche nel caso di motobrowniano in più dimensioni: senza ad-dentrarci in ulteriori discussioni, che por-terebbero a risultati identici a quanto giàdiscusso, in fig. 4 vi presento alcune tra-iettorie stocastiche: in modo analogo alcaso monodimensionale dopo qualcheistante lo spostamento quadratico medioé proporzionale a

√t, come mostrato in

fig. 5.

Differenti traiettorie percorse da particelle con motobrowniano.

Differenza tra lo spostamento quadratico medio rqm(t)nel moto browniano in due dimensioni (in blu), e in lacurva r(t) ∝

√t (in rosso).

Questo risultato ci mostra come utiliz-zando una descrizione con un contributo“casuale” possiamo arrivare a previsioni inperfetto accordo con gli esperimenti.

Michele Brambilla

UN PO’ DI POLITICA

Il Consiglio di Sicurezza delle NazioniUnite è composto da 5 membri perma-

nenti (Cina, Francia, Russia, Regno Unito eStati Uniti) e da 10 membri non permanen-

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ti che rimangono in carica per un periododi 2 anni (al momento Colombia, Germa-nia, India, Portogallo e Sudafrica, in cari-ca fino a fine 2012, e Azerbaijan, Guate-mala, Marocco, Pakistan e Togo, in caricafino a fine 2013). Perchè vengano appro-vate decisioni non sostanziali è necessariauna maggioranza di 9 membri su 15, men-tre per decisioni sostanziali è ancora ne-cessaria la stessa maggioranza, ma conin più la condizione che tra i favorevoli visiano tutti i 5 membri permanenti; si di-ce quindi che essi hanno diritto di veto, inquanto un solo “no” di uno di loro impe-direbbe al provvedimento di passare, an-che se vi fosse il consenso di tutti gli altrimembri del Consiglio. Come rappresen-tiamo la situazione di voto per decisioninon sostanziali attraverso un modello ma-tematico? La risposta è molto semplice:attraverso un gioco di maggioranza pesa-ta! Un gioco di maggioranza pesata è de-scritto come [q;w1, . . . , wn], dove w1, . . . , wnsono i pesi dei giocatori in N = {1, . . . , n}e q è la quota di maggioranza necessariaperchè un provvedimento possa passare.Nel nostro modello supponiamo che siasufficiente raggiungere q e non sorpassar-lo, ma bisogna fare attenzione che moltaletteratura utilizza una notazione differen-te. Diciamo che una coalizione S ⊆ N digiocatori è vincente se la somma dei sin-goli pesi raggiunge o supera q, quindi se∑

i∈S wi ≥ q, ovvero se l’insieme di gioca-tori considerati può fare passare un prov-vedimento. Indichiamo con W l’insiemedelle coalizioni vincenti. In caso contra-rio diremo che la coalizione è perdente.Quindi, in caso di decisioni non sostanzialiè sufficiente rappresentare il tutto attraver-so il seguente gioco di maggioranza pe-sata: [9; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], do-ve ogni membro del consiglio ha peso 1 e9 membri sono sufficienti per raggiungerela quota di maggioranza, ovvero bastanoa far passare una decisione. Ma come cela caviamo nel caso di decisioni sostan-ziali? La situazione è un poco più compli-cata, ma non molto. È abbastanza ovvio

osservare che i membri permanenti sono“più importanti”, quindi avranno un pesomaggiore nel gioco, mentre gli altri hannoun ruolo meno rilevante. Il corrisponden-te gioco di maggioranza pesata è quindidato da [39; 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],dove abbiamo dato peso 7 ai membri per-manenti e peso 1 a tutti gli altri. Poteteadesso verificare che se tutti e 5 i mem-bri permanenti più altri 4 votano a favo-re, il provvedimento verrà approvato dalConsiglio, mentre se uno solo dei membripermanenti è contrario, tutti gli altri insie-me potranno raggiungere al più la quotadi 38, che non è sufficiente per prendereuna decisione!

A quale scopo rappresentare in questomodo un organo come il Conisiglio di Sicu-rezza delle Nazioni Unite? Alcuni ricerca-tori che lavorano con la Teoria dei Giochitentano da anni di lavorare con questo ti-po di modelli, con il solo scopo di analiz-zare come il potere viene diviso all’inter-no di organi decisionali quali parlamentie assemblee. Nel caso di un parlamen-to, ad esempio, possiamo assumere che ipartiti siano i giocatori e che il peso a lo-ro attribuito sia dato dal numero di seggiche vengono assegnati ad ognuno di es-si in seguito ad una consultazione eletto-rale. Ovviamente alcuni partiti, unendosi,potranno ottenere la maggioranza neces-saria a permettere il passaggio di una leg-ge, formando quindi una coalizione vin-cente, altre alleanze invece non potrannoriuscire in questo scopo. Sono stati definitialcuni indici proprio per valutare il potereattribuito ai singoli giocatori, ma prima divederne un esempio ricordiamo che nontutte le situazioni decisionali possono esse-re rappresentate come gioco di maggio-ranza pesata; noi, per comodità, ci siammessi in un caso molto semplice, che pe-rò viene spesso utilizzato perchè comun-que ben si adatta a descrivere una granquantità di esempi.

Consideriamo un potere totale unita-rio e vediamo come questo viene suddi-viso tra i vari giocatori. Gli indici di pote-

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re attribuiscono ad ogni giocatore i unaquantità ψi ≥ 0 con

∑i∈N ψi = 1 (siamo nel

caso non banale nel quale nessun gioca-tore può ottenere la maggioranza da so-lo). L’indice di potere più famoso tra i variesistenti e quello che applicheremo nelleprossime righe è da attribuire a Shapley eShubik ed è dato dalla formula seguente

φi =∑

S⊆N,S∈W,S\{i}/∈W

(|S| − 1)!(n− |S|)!n!

dove k! rappresenta il fattoriale del nu-mero naturale k e |S| la cardinalità dellacoalizione S. Applicando questa definizio-ne al Consiglio di Sicurezza delle Nazioni

Unite nel caso di decisioni non sostanzia-li otteniamo che ogni giocatore ha pote-re uguale a 1/15, ovvero il potere unitarioviene equamente diviso tra i 15 stati mem-bri; questo è ovvio in quanto i giocatori so-no simmetrici (non diamo una definizioneformale, ma lasciamo al lettore il significa-to intuitivo del termine). Nel caso di de-cisioni sostanziali, invece, otteniamo cheogni membro permanente ha un poteredi 421/2145, mentre ogni membro non per-manente di 4/2145. In questo caso i gio-catori non sono tutti simmetrici tra di loro ein particolare i giocatori di veto hanno unpotere più di 100 volte superiore a quellodei membri non permanenti!

Michela Chessa

CHIEDI ALLA GA’RUBRICA DI AIUTO AGLI STUDENTI

- PROBLEMI RISOLUBILI CON LEEQUAZIONI -

In questa rubrica mi sono sempre ritrova-ta a scrivere consigli che ho utilizzato nel-le mie spiegazioni: l’argomento di oggiè stato oggetto dell’ultima verifica di se-conda. In questo articolo intendo risol-vere due semplici problemi che facevanoparte del testo del compito in classe, cer-cando di spiegare il metodo da utilizza-re. Purtroppo non ho ottenuto grandi risul-tati, ma devo dire che spesso gli studentisi arrendono prima ancora di cominciare:mettere insieme la geometria e l’algebrarappresenta un ostacolo insormontabile.Devo anche aggiungere, peró, che dopoaver visto la correzione piú di un alunno haammesso che non erano poi cosí difficili.Problema 1: L’area di un rombo misura 400cm2 e una diagonale è il doppio dell’al-tra. Calcola le due diagonali. Il primopassaggio consiste nello scegliere l’inco-gnita da utilizzare: indicheremo con x unodegli elementi del problema e ricavere-mo gli altri utilizzando questo elemento.Dato che una diagonale è il doppio del-

l’altra, conviene indicare con x la dia-gonale minore, in modo che l’altra dia-gonale possa essere scritta come 2x (miraccomando, non x2!!). Il secondo pas-saggio consiste nell’impostare un’equa-zione: l’unico dato numerico che abbia-mo è l’area, quindi siamo obbligati a usa-re quella. Ma qual è la formula per l’a-rea del rombo? diagonalemaggioreper-diagonaleminoredivisodue, direttamentedalle scuole elementari. Ma quanto mi-surano le diagonali del nostro rombo? x e2x. Otteniamo quindi

x · 2x2

= 400

Ora si risolve l’equazione di secondo gra-do e si ottengono due soluzioni x=+20 (laprima diagonale) e x=-20, che non è ac-cettabile perché negativa, infine l’altradiagonale misura 40 cm.Problema 2: Uno dei cateti di un triangolorettangolo misura 15 cm e l’ipotenusa su-pera l’altro cateto di 5 cm. Trova perime-tro e area del triangolo. Il metodo da uti-lizzare è lo stesso proposto per il problemaprecedente: cominciamo con lo sceglie-

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re x. Indico con x il cateto di cui non si co-nosce la misura, cosí posso indicare conx+5 l’ipotenusa. A questo punto posso im-postare un’equazione di secondo gradoutilizzando il teorema di Pitagora:

(x+ 5)2 = x2 + 152

da cui si ottiene x=20 (il cateto) e da cuisi ricava la misura dell’ipotenusa, 25. Vilascio il perimetro e l’area per compito.

Gabriella Pina

PAUSA CAFFÈRUBRICA DI ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

- SOMMA DEI CUBI -

Sapresti trovare una formula che ti per-metta di calcolare la somma dei primi Nnumeri naturali (1, 2, . . . , N)? Suggeri-

mento: prova a cercare un legame coni quadrati!

Naturalmente esistono diversi modi pertrovare questa relazione, e dimostrarla,quale sia il migliore è questione di gusti!

Marco Sansottera

- SOMMA NUMERI DISPARI -Sapresti dire quanto vale la somma dei

primi N numeri dispari? Naturalmente con

carta e penna non ti sarà difficile intuirlo,ma sapresti anche dimostrarlo?

Marco Sansottera

- SOMME CONSECUTIVE -Nicomaco ha dimostrato che se conside-riamo i numeri dispari consecutivi, il primo(1) non è altro che il cubo di 1, la somma

dei due numeri successivi è il cubo di 2(3 + 5 = 8), la somma dei tre numeri suc-cessivi è il cubo di 3 (7 + 9 + 11 = 27), etc..Sapresti dimostrarlo anche tu?

Marco Sansottera

RECENSIONISCELTI DA NOI

- “IL TEOREMA DEL PAPPAGALLO” -

Devo ammettere di aver impiegato quat-tro mesi e forse piú a leggere questo libro:è vero che il tempo da dedicare alla lettu-ra è sempre poco, ma è anche vero chenon si tratta, a mio avviso, di un roman-

zo leggero da portare sotto l’ombrellone.“Il teorema del pappagallo”, uscito nellelibrerie piú di dieci anni fa, è stato moltoapprezzato dal pubblico per l’esposizio-ne chiara dei vari argomenti matematiciche vi compaionono e quasi per lo stes-so motivo è stato anche molto criticato.

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In effetti, la vicenda a sfondo giallo chefa da pretesto per le varie spiegazioni ri-sulta prevedibile, poco convincente e inessa rimangono dei punti irrisolti (le circo-stanze che hanno portato alla nascita deigemelli, ad esempio), ma il romanzo pre-senta comunque degli spunti piacevoli einteressanti: la matematica riportata risul-ta davvero accessibile e durante tutta la

lettura è impossibile non provare un grandesiderio di visitare i luoghi descritti, Parigiinnanzitutto. La cittá è grande protagoni-sta di questo romanzo e i luoghi citati so-no sempre significativi: tra questi la Pyra-mide du Louvre, la Bibliothèque Nationa-le, l’Institut du Monde Arabe e la Salle Pidel Palais de la Découverte.

Gabriella Pina

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