Cap II - Escoamentos permanentes sob pressão

ISECMARINSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA E CINCIAS DO MAR

HIDRULICA II

2ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

PROF HERNANI ALMEIDANOVEMBRO DE 2008

ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________


CAPTULO 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO2.1 - TIPOS DE ESCOAMENTOS PERMANENTES. Num escoamento em regime permanente (quer sob presso, quer com superfcie livre) o caudal mantm-se constante ao longo de um tubo de fluxo, qualquer que seja a seco considerada. As instalaes funcionando sob presso so normalmente formadas por trechos de condutas (constitudas por tubos montados em srie) de eixo rectilneo, unidos por acessrios, como sejam transies bruscas ou suaves, curvas, cotovelos, vlvulas e derivaes, e, compreendem, eventualmente, mquinas hidrulicas. No caso do regime permanente, o escoamento nos trechos cilndricos (sem ligao ao exterior ao longo do percurso) uniforme e a perda de carga unitria constante. Os acidentes nos tubos vo traduzir-se por um acrscimo de turbulncia, se o escoamento j for turbulento (ou pelo desenvolvimento de turbulncia, se for laminar). O regime permanente em instalaes sob presso compreende assim: - escoamentos uniformes, nos trechos de condutas - cilndricas (sem ligao ao exterior ao longo do percurso); - escoamentos gradualmente variados nos trechos de condutas com variao gradual de seco (caso de condutas tronco-cnicas) ou de condutas com ligaes ao exterior, permitindo receber ou distribuir caudal ao longo do percurso (escoamentos permanentes gradualmente variados em que o caudal funo do percurso); - escoamentos rapidamente variados, junto de singularidades, onde a curvatura das linhas de corrente acentuada. 2.2 - PERDAS DE CARGA Temos dois tipos de perdas de carga: Perdas de carga distribudas ou contnuas ao longo do comprimento da tubulao e atrito das camadas do fluido Perdas de carga singulares (perturbaes bruscas no escoamento do fluido) nas vlvulas, aparelhos de registo, alargamentos bruscos, redues e curvas. 1 CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

Fig. 2.1 Perdas de carga: contnuas e singulares

Em (1) Em (2) Em (3) PERDAS SINGULARES Em (4) Em (5)

De (1) at (2 ) De (2) at (3) PERDAS DISTRIBUDAS De (3) at (4 ) De (4 ) at (5)

a) Perdas de Carga ContnuasA determinao das perdas de carga unitrias em escoamentos uniformes sob presso foi objecto do Captulo Leis de Resistncia aos Escoamentos. Nos escoamentos permanentes, desde que gradualmente variados, s existem perdas de carga contnuas, variando, porm, a perda de carga unitria ao longo do percurso.

a) Perdas de Carga Singulares As perdas de carga singulares avaliam-se por uma expresso do tipo:

H = K U 2g em que

2

(2.1)

U uma velocidade tomada como referncia K um coeficiente que depende da geometria da singularidade, do nmero de Reynolds e, em alguns casos (como nas ramificaes), de determinadas condies do escoamento. NOTAS: (i) O coeficiente K, para valores suficientemente elevados do nmero de Reynolds, tornase independente deste, situao que se considera nas aplicaes correntes, quando o escoamento turbulento. (ii) A determinao de K s pode fazer-se por via experimental. Em certos casos, a aplicao dos teoremas de Euler e de Bernoulli pode conduzir a esquemas tericos cuja resoluo final ainda exige investigao experimental. o caso clssico da perda de carga por alargamento brusco. 2

ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ ALARGAMENTOS E ESTREITAMENTOS

ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ Na passagem em aresta viva de uma conduta cilndrica para um reservatrio de grandes dimenses (caso particular da perda de Borda em que a velocidade nula no trecho de maior seco), perde-se toda a altura cintica (vindo K igual unidade)(2.2)

A perda de carga devida a um ALARGAMENTO BRUSCO calcula-se por:

(U 1 U 2) H=2g2

2

A1 U = 1 1 2g A2 2

2

H=

U

2

2g

(2.4)

ou

U1 H=K2g com K=

Tendo a linha de energia e a linha piezomtrica os andamentos representados na Fig. 2.3(2.3)

1 A1 A2

2

Fig 2.3 Passagem em aresta viva de uma conduta para um reservatrio

NOTAS: (i) A frmula (2.2) foi estabelecida por Borda (1733-1799) pelo que a perda de carga num alargamento brusco frequentemente designada por perda de carga de Borda. (ii) Tendo em conta a Eq. (2.2), demonstra-se facilmente que a linha piezomtrica sobe, quando a seco alarga bruscamente (subida localizada admitindo uma representao convencional da linha piezomtrica, isto , concentrao da perda de carga singular na seco da singularidade que a provoca Fig. 2.2). Com efeito, a referida condio tem lugar desde que se verifique a desigualdade

NOTAS: (i) Para ter em conta a repartio de velocidades na seco final da conduta, a perda de carga na passagem em aresta viva para um reservatrio calculada por

H =

U12g

2

(2.5)

U12g

2

(U 1 U 2) >2g

2

+

U22g

2

sendo o coeficiente de Coriolis (prximo da unidade no caso do escoamento uniforme turbulento). (ii) Se a passagem para o reservatrio feita por meio de transio, o coeficiente K diminui; variando, consoante a geometria, entre 1,00 e 0,50.

a qual verdadeira por ser U1 > U2

A perda de carga provocada por um ESTREITAMENTO BRUSCO devida quase exclusivamente expanso a jusante da seco contrada, pois a perda de carga at seco contrada muito pequena Fig. 2.4. A perda de carga singular calculada por: H=K

U22g

2

(2.6)

sendo U2 a velocidade no trecho de jusante e vindo o coeficiente K dado pela tabela seguinte:Fig 2.2 Alargamento brusco

A2 / A1 K

0,01 0,49

0,10 0,45

0,20 0,42

0,40 0,33

0,60 0,22

0,80 0,13

1,00 0,00

3CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

4


ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ Outras singularidades Para permitir a resoluo dos problemas mais frequentes apresentam-se, dados referentes a perdas de carga provocadas por:

Fig 2.4 Estreitamento brusco

Quando a relao A2/A1 diminui, o valor de K tende para 0,50 e, assim, na passagem, em aresta viva, de um reservatrio para uma conduta, tem-se a perda de carga dada por

- cotovelos e curvas,..- Fig. 2.7; - vlvulas de corredia (em funo da abertura) e diafragmas - Fig. 2.8; - condutas com um ramal a 90, de igual dimetro - Fig. 2.9.

H = 0,5

U

2

2g

Fig 2.5 Passagem em aresta viva de um reservatrio para uma conduta

NOTA (i) Quando h uma transio do reservatrio para a conduta, o coeficiente K torna-se inferior a 0,50. difcil, no entanto, obter transies para as quais K resulte inferior a 0,05.

Fig 2.7 Perdas de carga provocadas em (a) cotovelos e (b) e (c) por curvas circulares

Na Fig. 2.6 apresentam-se grficos que permitem calcular as perdas de carga devidas a alargamentos e estreitamentos tronco-cnicos.

Fig 2.8 Perdas de carga provocadas em (a) por vlvulas de corredia e (b) por diafragmas

Fig 2.6 Perdas de carga localizadas em a) alargamentos e b) estreitamentos


6


ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ (iii) ainda interessante analisar as perdas de carga nas situaes em que no h caudal num dos ramos. Essa anlise feita em seguida para o caso de ser D = D = D - Fig. 2.10. A perda de carga entre o ramo de onde provm o escoamento e o ramo para onde aquele se dirige , praticamente, igual altura cintica, quando h um desvio da corrente de 90 (escoamento de a para ou de para ) e inexistente quando no h desvio (escoamento de a para ) A perda de carga entre o ramo de onde provm o escoamento e o ramo sem escoamento : a) - no caso de escoamento de a para , igual a

H H

= 0,26 U 2g = 0,51 U 2g2

2

- no caso de escoamento de para , igual a

H H

- no caso de escoamento de a para , igual a

U H H = 0,89 2 g

2

Fig 2.9 Perdas de carga singulares numa conduta com um ramal. Definio (a). Coeficientes para ramal com igual dimetro, sem arredondamentos (b)

NOTAS: Em relao Fig. 2.9 (b), tem interesse acrescentar algumas consideraes: (i). Ela respeita a uma conduta com um ramal a 90, de dimetro igual ao da conduta e com ligao em aresta viva; em GARDEL 1970, dispe-se de indicaes anlogas s da Fig. 2.9 (b) para outros valores da relao entre o dimetro do ramal e da conduta, do ngulo do ramal com a conduta e da relao entre o raio do arredondamento e o dimetro da conduta. Os trs ramos so designados por , e , correspondendo ao ramal. Para uma dada geometria, os coeficientes de perda de carga entre dois ramos quaisquer so funo do modo do escoamento e da repartio de caudais, como se pode observar na Fig. 2.9 (ii) interessante observar que, por exemplo, para o modo 2 - escoamento de a e de f3 para - pode existir uma perda de carga negativa entre e ; este facto, que corresponde a ser positivo o coeficiente K definido na Fig. 2.9, verifica-se quandoFig. 2.10 Perdas de carga localizadas numa conduta com ramal de igual dimetro, com lquido em repouso num dos ramos

2.3 - SADA DE CONDUTAS PARA A ATMOSFERA a) Sada Livre Quando uma conduta cilndrica d sada livrepara a atmosfera, considera-se usualmente que a linha piezomtrica passa pelo centro de gravidade da seco de sada (na vizinhana da seco de sada existe um escoamento rapidamente variado e a corrente lquida deixa de ocupar toda a seco transversal).Nalguns

o mdulo da relao q, entre o caudal em e o caudal em , inferior a cerca de 0,3.

casos, interessa determinar com mais rigor a posio da linha piezomtrica junto

da sada.Admite-se ento que a linha piezomtrica rectilnea partindo de uma altura y na seco de sada (Fig. 2.11)


8


ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ A equao (2.7) tambm aplicvel a caudais para bocais de sada dependendo o coeficiente C da configurao do respectivo bocal. Para um bocal cnico, convergente a 7, C= 0,96, tomando-se como rea de referncia a da seco de sada.

Fig. 2.11 Linha piezomtrica na sada livre de uma conduta para a atmosfera

Experincias realizadas, com condutas com sada completamente livre para a atmosfera (formando jacto) permitiram definir a relao y/D em funo do nmero de Froude calculado por

2.4 - CLCULO DE INSTALAES A considerao (i) das leis de resistncia dos escoamentos uniformes, (ii) dos coeficientes K das perdas de carga singulares, (iii) das condies de sada para a atmosfera e (iv) das caractersticas das bombas e turbinas, permite a determinao dos caudais escoados em instalaes de condutas sob presso (ou, inversamente, o dimensionamento das instalaes para assegurar o transporte de caudais prefixados). EXEMPLO Considere-se o caso muito simples de se pretender determinar o caudal escoado quando dois reservatrios com gua esto ligados por uma conduta, de dado material, seco constante e de comprimento L, na qual se inserem vrias singularidades (se a conduta fosse constituda por vrios trechos com seces diferentes, a situao seria anloga) - Fig. 2.12. A diferena de cotas entre os dois reservatrios igual soma da perda de carga contnua e das perdas de carga singulares

F

r

=

U gD

Pares de valores de Fr e de y/D esto indicados na tabela seguinte Fr y/D 1 0,74 2 0,57 3 0,50 5 0,45 7 0,42

Se para jusante da seco de sada da conduta houver uma soleira que acompanhe inferiormente a lmina lquida, tm-se os valores seguintes.Fr y/D 1 0,82 2 0,66 3 0,60 5 0,56 7 0,54

b) Sada Controlada por Vlvulas ou Orifcios Se o escoamento na seco de sada de uma conduta para a atmosfera for controlado por uma vlvula, o caudal escoado obtm-se pela expressoQ = C A 2g H(2.7)

z1

z 2 = J L + (K 1 +

K2 +

K3 +

U K )2g4

2

em que K1, K2, K3 e K4 dependem da geometria das singularidades. Sendo: H carga imediatamente a montante da vlvula; A rea de uma seco de referncia; C coeficiente de vazo (dependente do grau de abertura e da seco de referncia adoptada)Fig 2.12 - Conduta com singularidades entre dois reservatrios

A tabela seguinte d os valores de coeficiente de vazo para vlvulas na posio de abertura total, sendo A a rea da seco de entrada. Vlvula C Corredia 0,95 Esfrica 1,00 De borboleta 0,95 a 0,60 Cnica 0,85

Se se adoptar como lei de resistncia a de Gauckler-Manning, a perda de carga unitria vem dada pela expresso


10


ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ Igualando as duas expresses obtemos

Q J = 2 K A R3

2

L

e

=

KD f

no qual K, A e R so conhecidos, por o serem a natureza e a seco da conduta, tendo-se ento

Assim, pode-se organizar tabelas, nas quais so registados os comprimentos fictcios a serem adicionados tubulao e que provocam a mesma perda de carga ocasionada pelas peas de igual dimetro que substituem (ver tabela anexa Perdas de carga localizadas em metros de canalizao). As perdas totais (perdas contnuas mais as perdas singulares), entrando em conta com os comprimentos equivalentes, sero calculadas pela frmula

Q z = z 2 K A R3 1 2

2

L + (K 1 +

K2 +

K3 +

Q K )2g A2 4

2

=

Q

2

e determinando-se o caudal por

z z1

2

=

f

(L

real

+

D

L) Ue

2

2g

Q=

z z1

2

2.5 - COMPRIMENTO EQUIVALENTE Outro processo para a determinao das perdas singulares o do comprimento equivalente (Le) - comprimento fictcio de uma tubulao de seco constante que produzir uma perda igual perda singular da singularidade. O mtodo consiste em adicionarmos ao comprimento real da tubulao, somente para efeitos de clculo, comprimentos de tubos, com o mesmo dimetro da conduta em estudo, capazes de provocar as mesmas perdas de carga ocasionadas pelas peas que substituem. A tubulao adquire, ento, certo comprimento fictcio e a perda de carga total calculada por uma das frmulas indicadas para a determinao das perdas de carga contnuas. Assim qualquer pea pode ser substituda por um comprimento fictcio que daria a seguinte perda de carga

H =

f U D 2g

2

L

e

(Darcy-Weisbach)

A mesma pea, como ponto singular, ocasionaria igual perda de carga dada por

H = K

U

2

2g11

12CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO


ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ 2.6 CONDUTAS COM CONSUMO UNIFORME DE PERCURSO As condutas de abastecimento de domstico de gua distribuem a gua por meio de numerosas derivaes, sendo comum admitir-se que o caudal consumido uniformemente ao longo de determinados trechos. Seja uma conduta, de comprimento L, com caudais Q0 e Q1, nos extremos de montante e de jusante, respectivamente (Fig. 2.14). O caudal (total) de percurso P = Q0-Q1 e o consumo uniforme na unidade de Q Q1 . percurso p = 0 L

(

)

Numa seco de abcissa x, contada a partir de montante, o caudal Q = Q0 px e a perda de carga unitria, correspondendo do movimento uniforme, dada por

Q J = 2 K A R3 L

2

=

KL

Q 2 A R3 1

2

2

=

Q

2

Assim, a perda de carga contnua no comprimento L, calcula-se por H = J dx = 0 0

(Q 0 p x) dx2

Ou

H = 2 H = Q L + 0

Q + p x L 2 2 0 0

2

2 p Q x dx 0

pL2

3

32

2 pQ

L0

2 = L Q0 + 2 2

pL2

2

3

p LQ 0

Fig 2.13 - Perdas de carga localizadas em metros de canalizao

2 H = L Q + 0 H = L 2

p L ( ) Q QQ 32 0 1 2

0

pL3

+Q

Q1 = L 0

pL2

2

3

+ pL + Q

(

1

)Q 1


14

ISECMAR HIDRULICA II _____________________________________________________________________ 2 H = L Q + 1


pL2

2

3

2 2 2 + p L Q = L Q + 0,3 p L + p L Q 1 1 1

que aproximadamente igual a

H = L

(Q1 + 0,55 p L)

2

= L

(Q1 + 0,55 P)

2

Fig 2.15

ResoluoO caudal equivalente na conduta BC : Qe=Q2+0,55P=0,10+0,55x0,06=0,133 m3s-1, correspondendo-lhe a perda de carga unitria equivalente: (Aplicando SCIMEMI)

Fig 2.14 Definio de caudal equivalente

Qe=35 D22,625 Je0,535 Je0,535 =

Q 35 x De

2 , 625

0,133 Je= 35x0,302,625

1,8692

= 0,011

Pode-se procurar - Fig. 2.14- o caudal constante (caudal equivalente, Qe) que provoca a mesma perda de carga (total), com perda de carga unitria (equivalente) constante, Je,H = JeL = Q L2 e

A cota da linha de energia em B HB=20+0,011x400=24,4 m pelo que a perda de carga unitria ao longo de AB

J1=

30 24,4 = 0,028 200

Tal caudal equivalente , pois, dado por

obtendo-se, pelo recurso lei de resistncia, o caudal de

Q = Q + 0,55 Pe 1

Q1=35 D12,625xJ10,535 = 35x0,302,625x0,0280,535 = 0,220 m3s-1Assim, o caudal

A expresso anterior permite concluir que numa conduta com servio exclusivamente de percurso (caudal Q1 a jusante nulo e, portanto, Q0 = P) a perda de carga de cerca de um tero da perda de carga correspondente ao escoamento do caudal de montante ao longo da conduta, pois

bombado para D

Q3 = Q1 (Q2 + P) = 0,220 (0,10 + 0,06) = 0,060 m3s-1

H = L

p L2

2

3

1 = L P = L 3 32

Q

2 0

APLICAO Uma instalao compreende dois reservatrios A e D e um sistema de condutas de ferro fundido novo, com sada livre para a atmosfera C (Fig. 2.15). Na conduta BD e a jusante de B est intercalada uma bomba que funciona com o rendimento, suposto constante, de 0,75. Determinar o caudal bombado para D, quando a conduta BC deixa sair livremente para a atmosfera, em C, o caudal de 0,10 m3s-1 e tem um consumo de percurso de 0,06 m3s-1. Considerar nulas as perdas de carga singulares.

Ooooo00000ooooO

15

16CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

CAP 2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO

2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO2.1. A tubulao da figura de ao e tem diametro D=200 mm. Determinar a vazo transportada sendo f=0,024.

2.2. De um lago artificial, parte uma tubulao com 800 m de comprimento e 300 mm de dimetro para alimentar um reservatrio com 60 l s-1 Qual a diferena de nveis entre os NA do lago e do reservatrio? Quanto representam as perdas locais em percentagem das perdas de carga contnuas?

2.3. No trecho (1) (5) de uma tubulao existe uma vlvula de gaveta (2), uma vlvula tipo globo (3), e um cotovelo (4), sendo a tubulao de ao de dimetro 2 polegadas. Determine a perda de carga entre (1) e (5) sabendo que a vazo de 2 l/s e que o comprimento da tubulao entre (1) e (5) de 30 m. ( = 10-6 m2 s-1)

2.4. Calcular a perda carga no subramal que abastece um chuveiro de uma instalao predial Verificar qual a percentagem das perdas locais em relao perda de carga contnua

2.5. Entre duas seces, A e B, de uma tubulao de ferro fundido (C=100) com D = 63 mm, foram instalados 9 cotovelos e uma vlvula de reteno pesada. De A para B, escoam-se 30,24 m3/h de gua. Sendo de 5,5 kgf/cm2 a presso em A, qual ser a presso em B, sabendo que as seces em causa esto afastadas de 170,00 m? 2.6. Calcular a vazo de gua num conduto de ferro fundido, sendo dados D = 10 cm, =0,7x10-6 m2 s-1 e sabendo-se que dois manmetros instalados a uma distncia de 10 m indicam, respectivamente, 1,5 e 1,45 kgf/cm2 . O peso especfico da gua de 1000 kgf/cm3. 2.7. Uma tubulao horizontal muda bruscamente de 450 mm de dimetro para 300 mm. Manmetros instalados antes e depois deste acidente registam 1,8 kgf/cm2 e 1,4 kgf/cm2, respectivamente. Qual a vazo? 2.8. Determinar a seco do obturador B, com sada livre para a atmosfera, cota de 20,00, sem contraco, colocado no extremo de jusante da conduta de beto (K=80 m1/3s-1) de modo a assegurar o escoamento de 0,8 m3s-1. Considerar nulas as perdas de carga singulares com excepo da da entrada, em aresta viva.

2.9. Dois reservatrios A e B esto ligados por uma conduta de fibrocimento, com um ponto alto em C , Determinar os dimetros dos trechos AC e CB para o caudal escoado ser de 60 ls-1, com a condio de o trecho AC ter o menor dimetro que assegure em C a altura piezomtrica mnima de 2,0 m. Desprezar as perdas de carga singulares.

2 ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO2.10 Pretende-se elevar o caudal de 4 l s-1 de um reservatrio A para um reservatrio B, por uma conduta elevatria com 250 m de comprimento e 150 mm de dimetro. O lquido a elevar um leo com densidade de 0,9 e viscosidade cinemtica igual a = 3 x 10-4 m2s-1. A potncia da bomba de 2,2 kW e o rendimento de 0,70. O reservatrio B, de grandes dimenses, fechado e contm ar sob presso, situando-se a superfcie do leo cota 8 m. Calcule a presso do ar no reservatrio B. 2. 11 Uma bomba impulsiona gua de um reservatoria A para outro B, atravs de uma conduta de beto liso e novo com 1000 m comprimento e 0,60 m de diametro ( ver figura). A equao caracteristica da bomba exprime-se por Ht = 23 - 20Q2 (S.I.). Desprezando as perdas de carga singulares, determinar o caudal na conduta. 2.12 Dois reservatrios A e C com as respectivas superfcies livres apresentando uma diferena de cotas de 20 m esto ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituda por dois trechos: trecho AB, com um comprimento l1 = 1000 m e dimetro D1, e trecho BC, com um comprimento l2 = 1000 m e dimetro D2 tal que D2 = 1,1D1. Determine os dimetros D1 e D2 de modo que o caudal escoado seja 200 ls-1. Para o efeito utilize a frmula de Manning-Strickler (K = 95 m1/3s-1).

2. 13 A figura mostra uma bomba hidrulica que alimenta dois esguichos iguais, com gua proveniente de dois, reservatrios de grandes dimenses mantidas s cotas h1 = 2m e h2 = 1m. Calcular o rendimento e a altura manomtrica da bomba, sabendo-se que a potncia dissipada na tubulao de 116 Kgf. m/s e que na bomba so dissipadas 120 cal em 20 min.Dado: 1Kcal/s =427 Kgf . m / s

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