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TRIGONOMETRIA. : . ]

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MOÍlIRE ( t667 - 1754 |Abrahaú de MOI\TìE nasceu na França. por llìotivo de pcrscÉuicâo reÌi_

CIosa.âcabouexl londosrnâtngl i lc Í râ.ondn,1:rvearrhsl ,"r , r ' , ; i ; , ì ; " ; r"r . r r_quâJllo Oesenvolvja pe\quisâs cm MclcmáticiÌ .

. Muiro lntercs,Sdo irr Troria dcs pÍobâbil i . l rr lc.. f \4oivrc cprese lou r irobra Doìrtrüìa rÌcrs Pro bcLbilÍdades, de Ì z t B, urais ,ìc 5d fiiirf.-ïs èiüiienaojogos. Usou dados numeÌâdos, rlrnâs tentândo des"rlu'otu.i piãó"""o" e"rui"r umâ nolâção cspecil ìcâ l , tra a Teoriâ das probchil idades.Ìr_m uma ouÌrâ oDÌâ tiìÍnosâ. Miscelarìea AÍ.ralíflca, de 173O, Moivre de_se /olve-_unt I)rocesso an:rÌitjco p.lra a trigorÌometria. Dcstâcou_se Ììessc IrâD-âlno c loÌmulâ lcos 0 + j sen 01. .n\ 0 n I i \Fn n €. r l ì tc rclâl.tulrd c\ luÌrçòpsrriAonômel r icâ.ì com os núìn(ros coìnnlí-xô\

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TRIGONOMETRIA

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coNcElTos BAslcos

RESOLUçÃo DETRÁNGULOS OUAISAUER

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4 rnúHculo nerÂHeuloí,.,,Á,.íï l:1.j.:r!r6ïl:rls6lllÌ,rl*ttàd

TRANSFOBMAçOESTRIGONOMETRICAS

i EouAçóEs

i. Ji::19J.!llf.i'

7

l-

BÃ

BA

BC'

gBCr

Í

AiCl

BAr

E4!1oF! IRtGoNoMÉTRtCAS NO TRtÂNGULo

ACAB

b B+ACAB

-AC

AAB

= hipotenusa = a

ô=9q"= catêto oposto ao ângulo Ê= cateto adjacênte ao ângulo B= cateto adjacente ao ânguto ô= catêto oposto ao ângulo ô

^ s^*:^iT^11"^11!::_99-L9yt9

"9"d9 "..romamos arbitrariâmenrê os pontos A. A1. A2.Ar, _. e poresses pontos traçamos perpêndiculaíes ao lâdo BÃ que encontram o outro lado dõângulo nos pontos C. C,, C,. C3. ..., reópectivamente.

,,-.Oblemos.assim.ostriàngutosretângulosABC,AlBCl,ArBCr,.. . todossemêthantêsen-rrê sr: podemos. êntão. eslabelêcer as proporcões:

BA,BC:

E=BAz

O númêro k1, assim obtido, é châmado seno do ângulo agudo a e se indica por:

sên (Y = +:'

O númêro k2, assim obtidq é châmado co.$êng do ângulo agudo o e se indica poí:

"o" o = !4

BC

O número ka, assim obtidq é chamado tangent€ do ângulo agudo d e se jndica por:__- _ Ãe

^ ̂ ^O^.^l^fl:1"^-:1:._cos-a, tg o sã! chamâdos razôes trigonométíicas do ânguto aguooe nao oependem oos pontos A. 4.. 4r,... (só variam quando variar o ângulo).

RETANGULO

Observando o tíiângulo Íetângulo ABC (Â

10

Trioonometria noiânfub rutângulo

Atr

tT

ATrigonometÌia, palavra formada poÍtrês radicais gregos: lÍi (tíês), gonos (ângulos)e me.tron (medií), tem por obietivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um Ìriângulo

Ini6ialmente considerada uma extensão da Geometria, a Trigonometria apÍesenta vestí_gios de seu estudo entre os babilônios, que a utilizavam para resolver problemas prátìcos deAstronomia, navegação e agrimensura.

Pode-se dizerque ÍoiaAstronomia a grande impulsionadora da Trigonometria, pois foioastíônomo grego Hiparco (190 a.G - '125 a.C.)quem empregou pela primeiravez relações êntíeos lados e os ângulos de um tr iângulo retângulo

No século Vlll, importantes trabalhos hindus foram traduzidos para o árabe, o que possi-bilitou aos matemáticos árabes notáveis descobertas sobre a Trigonometria.

No século XV, Purback, matemático alemão nâscido na Baviera, constrói a,primêira tá-bua trigonométrica.

Porém o primêìro tratado feito de maneira sistemáticâ sobre a Trigonometria toi escrilopelo matemático alemâo Johann lVüllet também chamado Regiomontanus, denominado Tra-tado dos Triângulos. Sabe-se que Regiomontânus Íoi discípulo de Purback.

Atualmente, a Trigonometria não se l imita apenas a estudar os tr iân9ulos. Sua aplicaçãose estende aoutros campos da Matemátìca, como a Análise, e a outros campos da atividadehumânâ, como a Eletricidade, a Ìúecânicâ, â Acústica, a lVúsica, â Topografia, a EngenhariaCivi l etc.

Considere o ângulo,r, de vértice B,

INTRODU

RAZOES TRIGONOMETRICAS DE UM ANGU LO AGUDO

indicado na f igura.

rz

Consìderando'se o que vimos no ìtem anterior, vem:

For extensãq lêmos:

Vejamos alguns exemplos.

'19 exemplo: No triângulo íetângulo dado, calcular sên B, cos Ê o tg Ê.

tt

Feso/ução: sen B

cos B

tgB=

c=3

=s_senB=m

=f -co"e={

! - toe=1

_ .rtõ-10

- 3"tõ,-10

29 ex€mplo: Uma pessoa êstádistantê80 m da bâsede um prédìo e vê o ponto mais altodo prédio sob um ângulo de 16o em íelação à horizontal. Qual é a altura doprédio? Dado: tg 16o = 0,28.

Besoluçâo:

cateto oposto ao ângulo de 16ocateto adjacente ao ângulo de 16o

a.,-116,

tq16'=: '0,28 = i^ - x = 22,40íí \" óu ìtu

rqesposta. A altuÍa d o prêdio é = 22,40 m

80=

""n Ê = 4 = *."hifffj:,"ïÊ - "une = *

cosg=4=BC

- toÊ=!

-cosô=9cateto adiâcente a B

hipolênusa

cateto oDosto a Bcateú adjacente a B

sen u

q

ABBCAC-BC

@=AC

catêto oposto a Ôhipotenusa -

sen ô

+ cosc --

- cateto oposto a c_cateto adjacênte a c

=toÔ=f

cateto adiacente a Chipotenusa

1l

F

39 exêmplo: Um aviâo levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15o coma horizontâ|. A que altura estará e quâl a distánciâ percorrida quândo oassarpelaveíticalque passa por uma igrêjâ situada a 2 km do ponto de Dartida?Dâdos: sên 15o = 0,26 e tS 15o = 0,27.

Resolução:

Cálculo da altura x em rêlação ao solo:

lg 15o

x = 540m

Cálculo da distância

= 2 ood '

sen 15o = ì! - 0,26

2 000

Percorridà y:

- 540

2000m

FesposÍa. A alturâ é de 540 m

. . 540Y=026

y = 2076,9m

e â distância pêrcorrida é de 2 076.9 m.

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

I

a)

Em cada casq calcule sen d, cos a e tg d.

B

3 Umd torre \enicatde ai turâ I2 metroe e vir la\ob um ángulo de 10" por uma pe\sod que 5eencontm a uma disráocia \ dâ .ua base e cuiosolho. e.Éo no mesmo plano ho' izonratderrrbâse Determinar a dìsiância x_Dado: rg 30" = 0,58

6,

a" 4-I

4 Doi' observadores A e B vèem um baláo. re-p€ctrvamentq sob ânsulos visuah de 20. e ,10.'conforme indica a t ieum. Sabendo que a dis-r ;ncia enrre A e B e de 200 m, cãtcute h.Dados: tg 20. = 0,364 e tg 40. = 0,839.

2 Calcule x e y no triângulo ala figurâ.Dados: cos 40o = 0,76 e sen 40. = 0,64.

íÁ, .âì

; ; I : r i ;a i i . . ! . ì

: t : i ; i t : ! l :ãt . . - . .çH..Ú..r

r . r 11. . . { r . . r . !- aa+- l r . . r r {s. l

"'_"Ie"'o ;:l:i;il;:;i:il= lU m e r . r . r .à! . i . . . . . i

B l:!fM:!::Ìi1!:t

5 Um euarda noreçrâ1. po.rado numa lotre d.20mno topodeumacolinade500m de altura,\ê o inrcio de um incèndio numa direção queÍorma com a horizontal um ángüìo de 17". Aquedi'r;ncia aproümada da coìina es_á o fogo'Dado: rg 17' = 0,30.

ó o perimeüo do rriàngulo i'ósceles da fi8uÍa ê

isuala64mecosd = : .

a)Calculeaeb.b) Determine a área do triângulo.

7 Calcule o perímelro do triâlgqloABC da figura, sabendo que BC

"o.o=J.

8 O triângulo isósceles ABC teÍn área A = 36ÌÍn I

e dois ângrdos de medjda d paÍa os qllais

"oro=J.JA

Calcüle:a) o comprimento da base BC.b) o comprimerto h da aÌtura relativa a eslâ

UMA TABELA DE VALORES MUITO IMPORÏANTE

a) Num tr iângulo eqüiláteroConsidere o l Í iângulo eqüilátero da Í igura.

. A medida dê cada ângulo intêrno é 60'.

. A medida da alLuÍa em Íunçâo do lado Í é:

. lvB

HIlz

No triânOulo rêtângulo ACH (Ê = 90"), temos:

sen 30" = +/l5

cos 3oo = +ts3o" =#

2

cos 300

sen 600

cos 600

tg 60" =

r3

_1

t\B_2

u2=t

.13t21z

'1z

- ̀

\'5

sen 600

cos 600

tg 600 = \g

13

b) Num triângulo retângulo isóscelesSejâ o triângulo isósceles da figura.

. Os catetos têm a mêsma mêdìda f.

. Cada ângulo mêde 45o.

. A hipoÌênusâ mede | \2.

t

sen 450

cos 450

=tE

I=78

,t2T

!22

+ sên 45o

+ cos 45o

t945" = 1

,tt

''lz-T

Das considerâçóês antêrìores, temos a seguinte labêla de valorês:

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

: : ì . . r i f ì

,.*'jtl

'1 '122

rg2

Í -T 1z

i ' i ;". Ìg '1

Uma escada apoiada em uma paÍede, num ponto distânte 4 m do solq forma com essa par€deum ânsulo d€ 60o . Qual é o comprimento daescada em m?

2 Considere o triângulo da fisura.

14

DadoAB = 4\|q calcuìe a medida de AC e AH.

3 CDvesì - sP) A lat i rude de um ponÌo P da su-p€rfície da Ïbrrâ é o ângulo que a reta OP foÍma com o plano do equador (O é o centro daTerrâ). No dia 2l de maÍço, os raios solaÍes sãoparalelosao plano do equador. Calcule o coÍ,prim€nto da sombra projetada, no dia 21 demarço ao meio dia, por um prédio de 30 metÍosde altura, localizado a 30' de latiiude

Um obseÍvâdor vê um prédìo mediante umângulo vìsuaÌ d. Afasrando-se 2 metros doponto onde está, o observadoÍ vê o prédioÌÌediânte um ângulo visuâl B.Dâdos: a = 45. e t-sB = { , a"t . . . in" uâltura do prédio.

I NÌÌm exercício de tiro, o aho se encontm nunüÌparede cuja base está situada a 82 m doatimdor.Sabendo que o atiÍadoÍ vê o alvo sob umângulo de 12' em reÌaçâo à horizontal, calculea que distância do chão está o alvo.Dado: tg 12' - 0,21.

2 Numtriângulo retângulq a hipotenusamede3a e os catetos mealem 2aú e a. calcule:a) a tangente do ângulo oposto ao menoÍ

b) o seno do ângulo oposto ao maior cateto,

3 A paÌtir de üm pontq obser!?-se o topo de rìmprédio sob um ângulo de 30'. Caminhando23 m em dir€ção ao prédio, atingimos outroponto, de onde se vê o topo do pÌédio s€gundoum ângulo de 60'.

5 (Fuvest - SP) Catcule x indicado na figurâ.

s.)€aap-SP) Calculeaáreadotriângulo ABC,de altura h = y'lcm, se a : 30o et3 = 45"

c

ó (Faap - SP)A soma dos compÍimentos das ba-ses de umtEpéziorctângulo vaÌe 30m. A ba-se maior mede o dobro da menor. Calcule âaltÌrra do tEpézio, sabendo que seu ânguloagudo mede 30'.

7 (vunesp) Duas circunferências de raios r e Rtangenciam as retas suportcs dos Ìados dotriângulo ABC respeúivamente nos pontosXr, Xr, Xr e Yr, Yr, Yr, conform€ a figurâ.Os ânguìos internos do triângulo ABC nosvértices A e B medem 30 gmus. Calcule a dis-.tância entre os pontos Xr eYr em funçâo dereR.

N

a

\

-soiãres

DespÍezando a altum do observador, calculqem metros, a altura do prédio.

i4)-lm móvel parte de A e sesue numa diÍeçãoque forma com a rcta AC um ângnlo d€ 30' .Sabe-se que o rhóvel caminha com uma velo-cidade constante de 50 km/h. Det€rmine a quedisúnciaomóvelseencontxadaretaAc após3 holas de percurso.

t,