exercícios extras de trigonometria novo 1

EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA

1

EXERCÍCIOS EXTRAS ● MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS E1. Faça a conversão de: a) 270° para radianos; c) 37

o 30’ para radianos;

b) rad para graus; d) rad para graus

E2. Calcule, em radianos, a medida equivalente a: a) 240° c) 210

o e) 90° g) 30

o i) 20° k) 7

o 30’

b) 315° d) 45o f) 270° h) 300

o j) 22°30’ l) 40

o

E3. Determine, em graus, a medida equivalente a:

a) 5

rad d)

4

7rad g)

3

4 rad j) 3 rad

b) 6

5rad e)

3

2rad h)

9

5 rad k) 1,5 rad

c) 4

3rad f)

2

rad i)

6

11rad l) 0,7 rad

E4. (FESP-SP) A medida em radianos de um arco de 12

o é:

a) 15

b)

12

c)

8

d)

6

e)

10

E5. (Fuvest-SP) Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad? E6. (UnB-DF) Quanto mede em radianos um arco de 2°15’? (Sugestão: transforme 15’ em graus) E7. Calcule o comprimento do arco determinado por um ângulo central de 45° numa circunferência de raio

60 cm. (Adote = 3,14).

E8. (Vunesp) Uma curva de certa rodovia tem o formato de um arco de circunferência. Se, em tal curva, a rodovia muda sua direção 8°20’ em 31,4m, o raio dessa curva é: (Adote = 3,14.)

a) 192 m b) 200 m c) 208 m d) 216 m e) 224 m E9. (PUCCAMP-SP) Os pontos P, A e B pertencem a uma circunferência de centro O e raio 3 cm. O ângulo APB mede 20

o. O comprimento do menor arco determinado pelos pontos A e B é, em centímetros:

a) 18

b)

6

c)

9

2 d)

3

e)

3

2

E10. (PUC−SP) Na figura, = 1,5 rad, AC = 1,5 e o comprimento do arco AB é 3. Qual é a medida do arco

CD? a) 1,33 b) 4,50 c) 5,25 d) 6,50 e) 7,25


2

ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos são côngruos quando têm a mesma origem e a mesma extremidade.

Se um arco mede graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele por + K . 360°,

com k Z. Se a medida do arco é expressa em radianos, podemos escrever: + K . 2 .

DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO

Se um arco mede graus ou radianos, então um arco é chamado de determinação principal

de ou 1a determinação não-negativa de quando:

0° < 360° (0 < 2 );

é côngruo a .

E11. Determine em qual quadrante está a extremidade de cada um dos arcos abaixo:

a) 752° b) 1 190° c) – 2 535° d) 10

161rad e)

6

95rad f)

6

65

E12. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos dados abaixo:

a) = 6

+ k (k Z) c) = –

4

+ 2k (k Z)

b) = 3

2 + k

2

(k Z) d) =

8

+ k

4

(k Z)

E13. Calcule a determinação principal e escreva a expressão geral dos arcos côngruos para cada arco mostrado a seguir:

a) 1 910° c) – 2 580° e) 4

75rad

b) 2 925° d) 7

85rad f)

9

235rad

E14. (UNA-MG) Considere a afirmativa: “Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas diferem de um múltiplo de 2 rad ou

360°.” De acordo com a afirmativa, marque o par de ângulos que não são côngruos.

a) 30° e 750° c) 60o e ─ 300

o e) rad

5

e rad

5

12

b) 4

rad e

4

17rad d) rad

3

e rad

3

5

E15. (Fafig-PR) A menor determinação positiva do arco de 5

23rad é:

a) 3

5rad b) c) 3 d)

5

3rad e) 2

E16. (UFCE) Dois arcos trigonométricos são côngruos se, e somente se, tiverem a mesma extremidade.

Qual das medidas abaixo é de um arco côngruo ao arco trigonométrico de 7

rad?

a) 7

22rad c) rad

7

8 e) rad

7

13

b) 7

6rad d) rad

7

29


3

● SENO E COSSENO NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA y 1 −1 ≤ sen( ) ≤ 1 −1 ≤ cos( ) ≤ 1

● VARIAÇÃO DO VARIAÇÃO DO SINAL DO SINAL DO

sen( ) SENO COSSENO −1 1 0 x

cos( ) + + − +

− − − +

−1 VALORES NOTÁVEIS DO SENO

sen(0o) = sen(0 rad) = 0 sen(135

o) = sen( rad) = sen(270

o) = sen( rad) = − 1

sen(30o) = sen( rad) = sen(150

o) = sen( rad) = sen(300

o) = sen( rad) = −


o) = sen( rad) = 0 sen(315

o) = sen( rad) = −


o) = sen( rad) = − sen(330

o) = sen( rad) = −

sen(90o) = sen( rad) = 1 sen(225

o) = sen( rad) = − sen(360

o) = sen( 2 rad) = 0


o) = sen( rad) = −

E17. Resolva as equações abaixo no intervalo 0 ≤ x < 2 .

a) sen ( x ) = c) sen ( x ) = −

b) cos ( x ) = d) cos ( x ) = −

E18. Resolva as equações mostradas a seguir, tendo para conjunto Universo o intervalo [ 0; 2 [

a) sen ( x ) = c) sen ( x ) =

b) cos ( x ) = − d) cos ( x ) = −

●FÓRMULAS DE REDUÇÃO AO 1

o QUADRANTE

Do 2o para o 1

o quadrante Do 3

o para o 1

o quadrante Do 4

o para o 1

o quadrante

Seja um arco do 2o quadrante Seja um arco do 3

o quadrante Seja um arco do 4

o quadrante

sen ( ) = sen ( 180o − ) sen ( ) = − sen ( – 180

o ) sen ( ) = − sen ( 360

o – )

ou ou ou sen ( ) = sen ( rad − ) sen ( ) = − sen ( – rad ) sen ( ) = − sen( 2 rad – ) cos ( ) = − cos ( 180

o − ) cos ( ) = − cos ( − 180

o ) cos ( ) = cos ( 360

o – )

ou ou ou cos ( ) = − cos ( rad – ) cos ( ) = − cos ( − rad ) cos ( ) = cos ( 2 rad – )


4

E19. Calcule o valor de cada uma das expressões mostradas a seguir: a) sen ( 225

o ) d) sen ( −1 560

o )

b) sen ( 300o ) e) sen ( )

c) sen ( 1 590o ) f) sen ( )

E20. Calcule o valor de cada uma das expressões mostradas a seguir:

a) cos ( 210o ) d) cos ( )

b) cos ( 300o ) e) cos ( )

c) cos ( 1 305o ) f) cos ( − )

E21. Sendo sen( ) = com < < , calcule o valor de cos( ).

E22. Sendo cos( ) = e < 2 , calcule o valor de sen ( ).

E23. Sendo sen( − x ) = com < x < 2 , calcule o valor de cos ( x ).

E24. Determine:

a) sen( x ), sabendo que cos ( x ) = − com < x < .

b) cos( ), sabendo que sen ( ) = − e que é um arco do 3o quadrante.

c) cos( x ), sabendo que sen (− x ) = − e que x é um arco do 2o quadrante.

E25. (FURRN) As sentenças sen ( x ) = a e cos ( x ) = 2 são verdadeiras para todo x real, se, e somente se: a) a = − 5 b a = − 5 ou a = − 1 c) a ≠ 5 ou a ≠ 1 d) a = 5 ou a = − 1 e) a = 1 E26. (F.ÍBERO-AMERICANA-SP) Os valores de m para que se tenha simultaneamente sem (x) = m – 1 e

cos ( x ) = m são:

a) 0 ou d) ou

b) 1 ou e) ou

c) ou

E27. Resolva na variável x a equação x

2 – 2x + cos

2 ( ) = 0

E28. (FUVEST−SP) Quais são as raízes da equação do 2

o grau:

x2 sen ( ) – 2x cos ( ) – sen ( ) = 0, onde 0 < <

a) e c) cos ( ) + 1 e cos ( ) – 1 e) e

b) e d) e


5

E29. (AT−2011) Determine o valor de k na equação 3x2 – x + k – 2 = 0, sabendo que sen( ) e cos( ) são

as raízes dessa equação. E30. (AT−2011) Determine o valor de k na equação 4x

2 – 2x −2kx + k = 0, sabendo que sen ( ) e cos ( )

são as raízes dessa equação.

E31. (PUC-RJ) Sabe-se que é a medida em graus de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo.

Se sen ( ) = , cos ( ) = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine sua área.

● EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen ( x ) = k ou cos ( x ) = k − 1 ≤ k ≤ 1

E32. Resolva a equação sen2 (x) = , para 0 ≤ x < 2 .

E33. Resolva a equação cos2 ( x) = , para 0 ≤ x < 2 .

QUESTÃO DESAFIO

E34. Calcule a soma das raízes da equação sen4( x ) =

E35. (MACKENZIE-SP) O menor valor positivo de x, para o qual 9–cos(x)

= é:

a) b) c) d) e)

E36. (CESCEA−SP) A soma das raízes da equação 1 – 4 cos

2(x) = 0, compreendidas entre 0 e é:

a) b) c) d) e)

E37. (CESGRANRIO) O número de raízes da equação cos(x) + sen(x) = 0 no intervalo [ ;3 ] é: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 E38. Resolva a equação sen(3x) = 1, para 0 ≤ x < 2 . E39. Resolva as equações abaixo, no intervalo 0 ≤ x < 2 : a) 2cos(x)sen(x) – sen(x) = 0 b) cos(x) sen(x) – cos(x) + sen(x) – 1 = 0 c) 2sen(x)cos(x) – cos(x) = 0

E40. (AT−2011) Encontre as soluções da equação sen(x) cos(x) = sen(x) no intervalo 0 ≤ x < 2 .

E41. (AT-2011) Determine o conjunto solução de cada uma das equações abaixo no intervalo 0 ≤ x < 2 :

a) sen(x) = sen( )

b) cos(x) = cos( )

c) cos(x) = cos( )

● EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA FORMA POLINOMIAL

E42. Resolva no intervalo 0 ≤ x < 2 as equações: a) 2sen

2 (x) – sen(x) – 1 = 0 c) 8sen

6 (x) – 7sen

3(x) – 1 = 0

b) 2cos3 (x) −7cos

2 (x) + 3cos(x) = 0 d) 2sen

2(x) + sen(x) – 1 = 0

E43. (AT-2011) Resolva a equação 2cos2 (x) + 5 cos(x) − 3 = 0 no intervalo 0 ≤ x < 2 .

E44. (FAAP-SP) Determine x, 0 ≤ x < 2 , tal que 4.sen

4(x) – 11.sen

2(x) = 6 = 0

E45. (FUVEST-SP) O número de raízes da equação sen

4(x) + cos

4(x) = 1 para 0 ≤ x < 2 , é:

a) 1 c) 3 e) infinito b) 2 d) 4


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●INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM SENO E COSSENO

E46. Resolva as inequações abaixo, tendo para conjunto Universo o intervalo [0;2 [

a) sen(x) ≥ c) sen(x) <

b) cos(x) < d) cos(x) ≠

E47. Resolva os sistemas abaixo no intervalo 0 ≤ x < 2 :

sen(x) < sen(x) > −

a) b)

cos(x) ≥ cos(x) ≥

E48. Resolva a inequação para 0 ≤ x < 2 .

E49. (CESCEM−SP) Se 0 ≤ a < 2 e, para todo x, x , tem-se que x2

+ x + sen(a ) − > 0, então:

a) < a < c) 0 ≤ a < ou < a < 2 e) 0 ≤ a < ou ≤ a <

b) < a < d) < a <

E50. Resolva, para 0 ≤ x < 2 , a inequação 2 sen

2(x) – sen(x) < 0

E51. Resolva, para 0 ≤ x < 2 , a inequação 2 sen

2(x) + 5 cos(x) – 4 > 0

E52. (FGV−SP) A solução da inequação cos2 (x) > cos(x) no intervalo [0, ] é:

a) 0 ≤ x < ou < x ≤ c) 0 < x < ou < x < e) n.d.a.

b) 0 < x ≤ ou ≤ x < d) < x <

E53. (MACK−SP) Para 0 ≤ x < 2 , o conjunto solução de [ sen(x) + cos(x) ]

2 > 1 é:

a) { x / 0 < x < } d) { x / < x < 2 }

b) { x / 0 < x < ou < x < } e)

c) { x / < x < ou < x < 2 }

E54. (UNIFOR−CE) As soluções de sen(x) – cos(x) ≥ 0, no intervalo [ 0; ], são tais que:

a) ≤ x ≤ d) 0 ≤ x ≤

b) ≤ x ≤ e) x = 0 ou x =

c) ≤ x ≤

E55. (MACKENZIE−SP) A solução da inequação no intervalo [0;2 ] é dada por x real,

tal que:

a) 0 ≤ x ≤ c) ≤ x < e) 0 < x < ou < x <

b) < x < ou < x < d) ≤ x ≤


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● TANGENTE DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO t y Chamaremos de eixo das tangentes, o eixo t da figura T ao lado, perpendicular ao eixo das abscissas no ponto de intersecção do círculo com o eixo das abscissas.

A tangente do arco ( ≠ + k ) é a medida do

segmento AT, que se obtém pela intersecção do O A x prolongamento do raio com o eixo das tangentes.

E56. Determinar o sinal de cada um dos produtos: a) tg(15

o ). tg( 210

o ). tg( 350

o )

b) tg2 (150

o ) . tg

3 ( rad)

E57. Prove que tg ( ) = , para cos( ) 0

E58. Calcule os valores de sen( ) e cos( ), sabendo que < < e tg( ) =

E59. Demonstre cada uma das relações abaixo: tg ( ) = − tg( 180

o − ) tg(

) = tg( – 180

o) tg( ) = − tg (360

o − )

E60. (FUVEST−SP) Se tg(x) = e < x < , então o valor de cos(x) – sen(x) é:

a) b) − c) − d) e) −

E61. (ITA−SP) O valor da expressão x = quando cos ( = − e tg( é:

a) b) − c) d) e) n.d.a.

E62. Resolva as equações para 0 ≤ x < 2 :

a) tg(x) = − c) tg(x) = −

b) tg(x) = 1 d) tg(x) = 0

E63. (ITA−SP) Resolva a equação para 0 ≤ x < 2 : + = 3.

E64. Resolva a equação , tendo para conjunto Universo o intervalo 0 ≤ x < 2 . E65. (CESGRANRIO) O número de raízes da equação tg(x) = 4 no intervalo [0,2 [ é: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0

E66. (PUC−RJ) A soma das raízes da equação no intervalo [0,2 [ é:

a) b) d) d) e)


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E67. (ITA−SP) A expressão trigonométrica para x ] 0; [ ,

x ≠ , é igual a:

a) sen(2x) b) cos(2x) c) 1 d) 0 e) sec(x) ●INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM TANGENTE E68. Resolva as inequações abaixo tendo para conjunto universo o intervalo [0; 2 [:

a) tg(x) > 1 c) tg(x) ≤ −

b) tg(x) < d) tg(x) < 0

E69. Encontre o conjunto solução da inequação , tendo para conjunto universo o intervalo 0 ≤ x ≤ .

E70. (MACKENZIE−SP) Se 0 ≤ ≤ e, para todo x real, tem-se que x2 + x + tg( ) > , então:

a) 0 < < b) < < c) < < d) = e) não existe nessas condições.

● SECANTE, CO−SECANTE E CO−TANGENTE DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO

Cotangente de um arco : cotg( ) = =

Secante de um arco : sec ( ) = Co-secante de um arco : cossec ( ) =

E71. Calcule: a) cotg(60

o ) b) cossec(45

o ) c) sec(30

o) d) sec(90

o )

E72. Considerando o intervalo 0 ≤ x < 2 , resolva as equações abaixo:

a) sec(x) = 2 b) cossec(x) =

E73. Tendo como conjunto universo o intervalo 0 ≤ x < 2 , resolva as inequações a seguir:

a) sec(x) ≥ 2 b) cosssec(x) < 2

E74. Mostre que a expressão que calcula o perímetro do triângulo abaixo é , sendo

um arco do 1o quadrante.

M( ) ●

O R


9

● IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS E75. Prove que cada uma das igualdades a seguir, é identidade no respectivo conjunto universo U.

a) em U = { x / sen(x) ≠ 0 e cos(x) ≠ 0 }

b) em U = { x / sen(x) . cos(x) ≠ 0 }

c) em U = { x / sen(x) ≠ 0 }

d) em U = { x / sen(x) ≠ 0 }

E76. Encontre o valor de , sabendo que a igualdade –

é uma

identidade em U = { x / sen(x) ≠ 0}

E77. (CESCEM−SP) Se sen( ) ≠ 1, a expressão é idêntica a:

a) c) e) nenhuma das respostas anteriores.

b) d)

E78. (FGV−SP) A expressão , para sen(x) ≠ 0, é idêntica a:

a) c) e)

b) d)

E79. (PUC−SP) A expressão –

– , com cos(x) ≠ 0 e sen(x) ≠ 0, é identicamente igual a:

a) c) e)

b) d) E80. Demonstre as duas identidades abaixo:

a) para cos(x) 0 b) para sen(x) 0 Obs.: É interessante que você memorize as duas últimas identidades, pois de agora em diante, serão usadas frequentemente.

E81. (CESCEA−SP) O conjunto solução da equação , no intervalo fechado [− ; ] é:

a) { , − } c) { − , } e) n. d. a.

b) { , } d) { − , }

E82. (CESCEA−SP) As raízes da equação do 2o grau são:

a) c) e) b) d)

E83. (UFRS) A expressão vale: a) 0 c) −1 e) − 5 b) 1 d) 5


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● EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

E84. Resolva as equações a seguir tendo para conjunto universo o conjunto dos números reais.

a) c)

b) d)

E85. (OSEC−SP) As soluções da equação 1 – sen(x) + cos2

(x) = 0 são:

a) x = 2k , com k inteiro. c) x = , com inteiro. e) n.d.a.

b) x = + 2k , com k inteiro. d) x = , com inteiro.

E86. (U.F. SÃO CARLOS) A solução de é:

a) , para todo inteiro. c) para todo inteiro. e) não admite

b) para todo inteiro. d) para todo inteiro. solução.

E87. (U.F. OURO PRETO−MG) As soluções gerais da equação = são:

a) x = ( , inteiro. d) x = , inteiro.

b) x = , inteiro. e) x = , inteiro.

c) x = , inteiro.

E88. Resolva as inequações a seguir tendo para conjunto universo o conjunto dos números reais.

a) c)

b) d)

E89. (FEI−SP) Resolva em a inequação

E90. (UNB−DF) Resolva em a inequação ●FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS PARA O SENO E COSSENO

cos(a + b) = cos(a) . cos(b) − sen(a) . sen(b) cos(a – b) = cos(a) . cos(b) + sen(a) . sen(b) sen(a + b) = sen(a) . cos(b) + sen(b) . cos(a) sen(a – b) = sen(a) . cos(b) – sen(b) . cos(a) E91. Calcule: a) cos( 75

o ) b) sen(15

o)

E92. Resolva, em , as seguintes equações:

a) sen( x − ) + cos( x − ) =

b) sen( x + ) + sen(x − ) =


11

E93. Calcule o valor da expressão A = sen(3x) . cos(x) – sen(x) . cos(3x) para x =

E94. (UFPE) Indique o valor da constante A na identidade: cos( ) + . sen( ) = A cos( – 60o )

E95. (E.E. Mauá−SP) Mostrar que a expresão F = é independente de z (z ≠ k ),

e calcular o seu valor numérico para x = e y =

E96. Sendo x um arco cuja extremidade final pertence ao 1o quadrante e sen(x) = , então o valor da

expressão cos(x + ) é:

a) c) –

e)

b) d)

E97. (UNIMEP−SP) Sabendo-se que a + b = , então o valor de sen(a).cos(b) + sen(b). cos(a) é:

a) c) e) nenhuma das anteriores

b) 1 d)

● FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS PARA A TANGENTE

= =

E98. Calcule: a) tg(75

o ) b) tg(15

o)

E99. Calcule o valor da tangente do ângulo mostrado no triângulo abaixo.

C

3

A ● D 2 4 E100. (Cesgranrio) No retângulo ABCD, tem-se: AB= 5, BC = 3 e CM = MN = NB. Determine o valor da tangente do ângulo MÂN. D C M N A B


12

E101. Seja e as medidas dos ângulos internos de um triângulo não-retângulo. Mostre que tg(

= − tg( )

E102. (ITA−SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x – y) = e tg(x) . tg(y) = 1. Calcule o módulo do número S = tg(x) + tg(y).


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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXTRAS

E1. a) 2

3rad c)

24

5 rad E2.a)

3

4rad c)

6

7rad e)

2

rad g)

6

rad i)

9

rad k)

24

rad

b) 120o

d) 11o 15’ b)

4

7rad d)

4

rad f)

2

3rad h)

3

5rad j)

8

rad l)

9

2rad

E4. a E5. 6o E6.

80

rad E7. 47,1 cm E8. d E9. e E10. c

E11. a) 1o b) 2

o c) 4

o d) 1

o e) 4

o f) 3

o

E12.

a) b) E13. a) Determinação principal =110

o

110o + 360

o.k, k

b) Determinação principal = 45

o

45o + 360

o. k, k

c) Determinação principal = 300

o

300o + 360

o. k, k

d) Determinação principal = rad

rad + 2k , k

e) Determinação principal = rad

rad + 2k , k

c) d)

f) Determinação principal = rad

rad + 2k , k

E14. e E15. d E16. d

E17. E18. E19. E20.

a) S = { ; } a) S = { ; } a) − d) − a) − d)

b) S = { ; } b) S = { − ; } b) − e) − b) e) −

c) S = { ; } c) S = { ; } c) − f) c) − f)

d) S = { ; } d) S = { ; }


14

E21. cos ( ) = − c) S = { x / 0 ≤ x < ou < x < 2 }

E22. sen ( ) = − d) S = { x / 0 ≤ x < 2 com x ≠ e x ≠ }

E23. cos ( x ) = E47.

E24. a) S = { x / 0 ≤ x < ou ≤ x < 2 }

a) sen( x ) = c) cos ( x ) = − b) S = { x / 0 ≤ x < ou < x < 2 }

b) cos ( ) = − E48. S = { x / < x < ou < x < }

E25. e E26. a E49. d

E26. a E50. S = { x / 0 ≤ x < ou < x < }

E27. S = { 1 + sen ( ), 1 – sem ( ) } E51. S = { x / 0 ≤ x < ou < x < 2 }

E28. b E52. a E53. b E54. a E55. e

E29. K = E30. E56.

E31. 96 cm2

a) negativo b) negativo

E32. S = { , , , } E58. sen( ) = − e cos( ) = −

E33. S = { , , , } E60. e E61. e

E34. 4 E35. c E36. b E37. a E62.

E38. S = { , , } a) S = { , } b) S = { , } c) S = { , }

E39. d) S = { 0, }

a) S = { 0, , , } c) S = { , , , } E63. S =

b) S = { , } E64. S = { 0, , , } E65. a E66. b E67. c

E40. S = { 0, , , } E68.

E41. a) S = { x / ≤ x < ou ≤ x < }

a) S = { ou } b) S = { x / 0 ≤ x < ou < x < ou < x < 2 }

b) S = { ou } c) S = { x / < x ≤ ou < x ≤ }

c) S= { , , , } d) S = { x / < x < ou < x < 2 }

E42.

a) S = { , , } E69. S = {x / ≤ x ≤ ou < x ≤ } E70. b

b) S = { , , , } E71. a) b) c) d)

c) S = { , , } E72.

d) S = { , , , } a) S = { ou }

E43. S = { , , , } b) S = { ou }

E44. S = { , , , } E73.

E45. d a) S = { x / ≤ x < ou < x ≤ }

E46. b) S = { x / < x < ou < x < 2 }

a) S = { x / ≤ x ≤ } E76. k = 2 E77. d E78. d E79. a

b) S = { x / < x < } E81. c E82. c E83. c


15

E84.

a) S = { x / x = + 2k ou x = + 2k , k } c) S = {x / x = + , }

b) S = {x / x = + 2k ou x = + 2k , k } d) S = {x / x = + , }

E85. b 86.d 87. b E88.

a) S = { x / + 2 < x < + 2 , }

b) S = { x / + 2 ≤ x < + 2 ou + 2 ≤ x < + 2 , com } ou

S = { x / + ≤ x < + , }

c) S = { x / + < x < + , }

d) S = { x / < x + , }

E89. S = { x / + < x < + , }

E90. S = { x / + 2 < x < + 2 e x ≠ + 2 , }

E91. a) b)

E92.

a) S = { x / x = + k . 2 , k } b) S = { x / x = + k . 2 ou x = + k. 2 , k }

E93. A = E94. A = 2 E95. F = − E96. c E97. c

E98. a) b) E99. E100. E102. 4


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