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Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos

Luis Mesquita Pág. 25

��

Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido.

Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de

forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e

produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força

em relação a um ponto e a um eixo.

Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num

corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário.

Forças exteriores – representam a acção de outros corpos sobre o corpo

rígido em análise.

Forças interiores – mantêm unidas as diferentes partículas que

constituem o corpo rígido.

Vector deslizante – é a representação de uma força aplicada num corpo

rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é

relevante, mas sim a sua linha de acção.



��

O produto externo de dois vectores ��

e ��

é definido como sendo o

vector ��

que satisfaz o seguinte:

A linha de acção do vector ��

é perpendicular ao plano que contém os

vectores ��

e ��

.

A intensidade de ��

é dada pelo produto das intensidade dos vectores ��

e ��

e pelo seno do angulo formado pelos mesmos.

��

×= ( )θ��=

O sentido de ��

é obtido pela regra da mão direita

Propriedades:

Não comutativa, distributiva e não associativa

��

×−=××≠×

��

×+×=+× ��

��

××≠××



��

O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a

mesma direcção. Para todas as combinações, temos:

Definindo o vector ��

produto externo de dois vectores ��

e ��

, em função

das coordenadas cartesianas fica:

usando a propriedade distributiva:

Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a

2ª colunas.

�

�

��

��

��

�

��

�=



��

Considere a força ��

, definida pela intensidade, direcção e sentido, que

actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende

também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido

pelo vector ��

, o momento da força ��

em relação ao ponto O será obtido pelo

produto externo de ��

e ��

.

��

��×=

��

�� =Θ=

� � !��"��#��$��%��& �'( ��)��*

“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças

concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao

mesmo ponto O”.

�

��

��

�

�

��

��

�

( ) �� ×++×+×=× ��



�(� ��

�

�

�

��

�� +

�� ,

� �

� ,

� +

�

� ��

�

O momento ��

, em relação ao ponto O, produzido pela força ��

, de

componentes Fx, Fy e Fz aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser

apresentado da seguinte forma:

��

��++=

em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento ��

.

Mx = y Fz - z Fy

My = zFx - x Fz

Mz = x Fy - y Fx







�'� ��

O produto interno ou escalar de dois vectores ��

e ��

é definido como

sendo o produto das intensidade de ��

e ��

pelo coseno do ângulo formado

pelos mesmos.

E = ��

. ��

( escalar ) �� Θ= ��

��

Propriedades: Comutativo e Distributivo.

Aplicações: Determinação do ângulo formado entre vectores,

determinação da projecção de um vector sobre um eixo.

�)� �� & ��

O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do

produto interno do vector ��

pelo vector produto externo de ��

e ��

.

E = ��

. (��

X ��

) ( escalar )

Cálculo prático de E : � � ��

�

�

�

Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores.



�-� ��

O momento de uma força ��

em relação a um eixo OL é definido como

sendo a projecção do momento ��

sobre Ol, isto é, será o produto misto do

versor λ pelo vector posição ��

e pela força ��

.

=��

λ . ��

= λ . ( )�� ×

Sendo λx, λy e λz os co-senos directores do ponto de aplicação da força

��

, x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força

��

., podemos exprimir ��

na forma de determinante:

Significado físico: o momento ��

de ��

em relação ao eixo OL mede a

tendência da força ��

produzir no corpo rígido um movimento de rotação em

torno do eixo fixo OL.







�.� ��/��$��

Duas forças ��

e -��

, com a mesma intensidade, linhas de acção

paralelas e sentidos opostos formam um binário.

O momento produzido pelo binário será:

Com uma intensidade igual a:

��0� 1��$�� 2��

Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação,

sempre no mesmo sentido.



�� 3� ��%��41��$��

Qualquer força ��

aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser

substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O.



Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A.



�� %��41��$��

Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido

a um sistema Força/Binário.

�= ��

�� ×== ��

�

�

��

�� 3� �� 2��

Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo

sistema força/binário:

� �= ��

e �� = �

��

Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de

rotação igual segundo os três eixos.



��

No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser

reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de

intensidade não nulas (caso geral).

O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois

vectores ��

e ��

segundo a direcção de ��

, e M2 contido num plano

ortogonal a ��

.

O vector ��

e ��

podem ser substituídos por uma única força ��

, mas

noutra linha de acção.

O sistema original reduz-se a:

Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um

TORSOR.

A razão �

�� = é designado por passo do torsor.



A projecção de �

��

segundo a linha de acção de ��

é:

M1=�

��

�

��

�

� �

�

��

�

��

�

�

��

==

O eixo torsor fica definido por

�

��

= ��

×+





Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos

momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm. A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em

z=152mm. Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: a)- a força resultante b) a passo do torsor c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz



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