Estatica Os Corpos Rigidos Parte 4compl (1)

MECÂNICA PARA ENGENHEIROS

Profª: Acilayne Freitas de Aquino

FACULDADE SANTO AGOSTINHO- FSA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

Capítulo 4




-Centróides de Superfícies Planas -Cargas Pontuais Equivalentes a um

Sistema de Cargas Distribuídas

•Cargas Distribuídas Sobre Vigas

•Momento de Inércia

Cargas Distribuídas sobre Vigas

Estudamos até agora apenas forças aplicadas de forma pontual. Neste capítulo estudaremos situações de carregamentos Distribuídos.

Entre os vários exemplos comuns de cargas distribuídas podemos citar o carregamento de uma laje sobre uma viga, força das águas sobre as comportas de uma barragem etc. Em nosso curso só veremos aplicações sobre vigas.

Pré-requisitos:

Conceitos de centro geométrico de área (centróide) e sistemas equivalentes de força vistos em Física.

Profª: Acilayne Freitas

Centro de Gravidade e Centro de Massa


CENTRO DE GRAVIDADE

Vamos supor que o eixo L esteja na posição horizontal e imaginemos que ele possa girar livremente em torno de um ponto P, como se nesse ponto fosse colocada uma articulação.

Sistema de uma alavanca


CENTRO DE GRAVIDADE

Se colocarmos sobre L um objeto de peso w1 a uma distância d1, à direita de P, o peso do objeto fará girar L no sentido horário. Colocando um objeto de peso w2, a uma distância d2 à esquerda de P, o peso desse objeto fará L girar no sentido anti-horário. Colocando simultaneamente os dois objetos sobre L o equilíbrio ocorre quando

w1.d1 = w2.d2 (I)

Sistema de uma alavanca em equilíbrio



CENTRO DE GRAVIDADE

Agora, iremos coincidir L com o eixo dos x do sistema de coordenadas cartesianas. Se duas partículas de peso w1 e w2 estão localizadas nos pontos x1 e x2, respectivamente podemos reescrever a equação I como


w1.(x1 – P) = w2.(P - x2) ou w1.(x1 – P) + w2.(x2 - P) = 0



CENTRO DE GRAVIDADE


Supondo que n partículas de pesos w1, w2, …, wn estejam colocadas nos pontos x1, x2, …, xn, respectivamente, o sistema estará em equilíbrio ao redor de P quando

n

i

Pxiwi

1

0


CENTRO DE GRAVIDADE

Supondo que o ponto P esteja em uma posição teremos: x

n

i

Pxiwi

1

0

n

i

xxiwi

1

0

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

wi

xiwi

x

wixxiwi

xwixiwi

1

1

1 1

1 1

0

0


CENTRO DE GRAVIDADE

x

n

i

n

i

wi

ixwi

x

1

1

Denominamos de centro de gravidade o ponto de um determinado eixo de referência, de coordenada , onde a soma dos momentos de um sistema é nulo.


CENTRO DE MASSA

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

mi

ximi

x

mig

ximig

x

gmi

xigmi

x

1

1

1

1

1

1

.

Se a aceleração da gravidade for constante em todo o sistema, este ponto coincide com o centro de massa do corpo.

n

i

n

i

wi

xiwi

x

1

1


CENTRO DE MASSA

A última equação mostra a localização do centro de massa de um sistema na direção x. Analogamente poderíamos analisar as demais coordenadas y e z deste ponto, a partir das seguintes equações:


Centróides de Superfícies Planas

Suponha um sistema tridimensional constituído por regiões A1, A2, A3 e A4 em uma distancia L , cujo material possui densidade volumétrica (ρ) constante e volumes V1, V2, V3 e V4 a equação II poderá ser representada da seguinte maneira.

VmVolume

massa


n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

Ai

yiAi

y

Ai

xiAi

x

AiL

xiAiL

x

Vi

xiVi

x

mi

ximi

x

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

e

CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS COMPOSTAS E USUAIS


total

n

ii

total

n

ii

A

yA

y

A

xA

x

1

1


A última equação nos oferece as coordenadas “x e y“ do centro de massa projetadas na face que gerou o corpo. Estas são as coordenadas do centróide ou centro geométrico da referida face. Todo desenvolvimento feito até aqui foi baseado em somatória de partes discretas. Porém quando analisamos um corpo ou uma área real eles são compostos de infinitas partes e representam a integração destas partes. Desta maneira, deveremos utilizar na equação III o processo de integração ao invés de somatórios.

A

A

A

A

dA

dAy

ydA

dAx

x e


Para melhor compreender

y

A1

A3

A4

A2

x

•C.G

•C.G

•C.G

•C.G

x1

y1

A1

A3

A4

A2

x •C.G

y

x

y

x2

x4

x3

y2

y4

y3

Superfície Plana

A

A

A

A

dA

dAy

ydA

dAx

x e


Coordenadas do Centróide de áreas elementares determinadas com base nas equações anterior.

EXERCÍCIOS

Exercício Resolvido

Determine as coordenadas do centróide dos perfis ilustrados abaixo

01 02

Solução 01

Todas as medidas são em relação a O.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Solução 02

Todas as medidas são em relação a O.

EXERCÍCIOS

Solução 02

Carga Distribuída sobre Vigas

CARGAS PONTUAIS EQUIVALENTES A UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS

Relembrando o que já foi visto anteriormente, dizemos que dois sistemas de forças são equivalentes quando satisfazem simultaneamente dois quesitos: •Mesma força resultante •Para qualquer pólo adotado eles devem produzir um momento resultante equivalente. No caso de um sistema submetido a um carregamento distribuído, temos que este é equivalente a um sistema de carga pontual aplicada no centróide da área do perfil do carregamento cuja intensidade é numericamente igual referida área.

Carga Distribuída sobre Vigas

CARGAS PONTUAIS EQUIVALENTES A UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS

Sistema de cargas distribuídas

Sistema de carga pontual equivalente

Exercício Resolvido 03

Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga ilustrada.

Solução: O módulo da força resultante é numericamente igual a área do perfil do carregamento distribuído, ou seja, a área do trapézio.

EXERCÍCIOS



Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga ilustrada.

Solução: O módulo da força resultante é numericamente igual a área do perfil do carregamento distribuído, ou seja, a área do trapézio.

A força resultante localiza-se no centróide da área do perfil do carregamento distribuído.

EXERCÍCIOS

Centróides de Superfícies Planas EXERCÍCIOS



Ainda de acordo com a questão anterior, determine as reações nos apoios.

Solução: Determinado o sistema equivalente de carga pontual para o sistema equivalente de carga distribuída determinamos as reações nos apoios da mesma forma que resolvemos nas aulas anteriores.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Exercício Proposto 01

Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga ilustrada e as reações no apoio A.

MOMENTO DE INÉRCIA

DE FIGURAS PLANAS





MOMENTO DE INÉRCIA DEFINIÇÃO

Momento de Inércia ou Momento de 2ª ordem é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo. Normalmente representamos pelas letras I e J.



Seja uma figura plana qualquer, posicionada em relação a um par de eixos de referência. Define-se:

daxdI

daydI

y

x

2

2

onde da e um elemento de área da figura , x é a distância do elemento de área ao eixo y e y é a distância do elemento de área ao eixo x.



Unidades empregadas : m4, cm4, pol4, etc. Será adotada a unidade de m4

Assim a resistência que a figura oferece ao giro em torno do eixo x é representada por e em torno do eixo y e representada por

dayI x

2

daxI y

2


OBTENÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMUNS

33

3

0

3

0

22 bhI

zhdzhzdszI y

b

b

y

33

3

0

3

0

22 hbI

ybdybydsyI z

h

h

z


Momento de Inércia

Considerações: -Apesar de ser usado um par de eixos de referência (X e Y), o cálculo do Momento de Inércia (Ieixo) é feito em relação a cada um deles separadamente, Podendo os eixos serem quaisquer ou baricêntricos (G).

-À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da figura plana, o resultado do momento de inércia, em relação ao eixo de referência, aumenta.


TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS TEOREMA DE STEINER

2AdII


Aplicação do Teorema

Momento de Inércia das figuras básicas

Momento de Inércia das figuras básicas

Exercício

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