Tema 04 Cuerpos Rigidos

1 I.T.I. : MECANICA IDepartamento: INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES

TEMA N 4: ESTTICA CUERPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZA/MOMENTO

I.T.I 1: MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

IndicePunto 4.1 Introduccin.Punto 4.2 Momentos y sus caractersticas.4.2.1 Teorema de Varignon.Punto 4.3 Representacin vectorial de un momento.4.3.1 Momento de una Fuerza respecto a un punto.4.3.2 Momento de una Fuerza respecto a un eje.Punto 4.4 Pares.Punto 4.5 Descomposicin de una Fuerza en una Fuerza y un Momento.Punto 4.6 Simplificacin de un sistema de Fuerzas: Resultantes.4.6.1 Sistemas de Fuerzas coplanarias.4.6.2 Sistemas de Fuerzas no coplanarias.4.6.3 Sistemas de Fuerzas cualesquiera.


4.1 IntroduccinEn captulos anteriores vimos que la fuerza resultante R de un sistema de dos o ms fuerzas concurrentes era una fuerza nica que produca sobre un cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original.

Si R era nula el sistema de fuerzas estaba equilibrado y el cuerpo sobre el que se ejerca estaba en equilibrio.

En el caso de un cuerpo tridimensional con forma y tamao definidos, la idealizacin del punto ya no es vlida ya que las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes.

Para estos sistemas, la condicin R = 0 es condicin necesaria pero no suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe cumplirse una 2 restriccin relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotacin del cuerpo (Concepto de Momento).


4.2 Momentos y sus caractersticasEl momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.Ejemplo:El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del eje AA. La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.Punto O: Centro del momento.d: Brazo del momento.Recta AA: Eje del momento.


El momento tiene mdulo, direccin y sentido y se suma de acuerdo con la regla de adicin del paralelogramo.Magnitud VectorialMdulo: Producto del mdulo de la F por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje AA.

Sentido del momento:Se indica mediante una flecha curva en torno al punto. Por definicin:- Rotacin antihoraria: momento positivo- Rotacin horaria: momento negativoUnidades: N . m


PROBLEMA EJEMPLO 4.1




El momento M de la resultante R de un sistema de fuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto.Los mdulos de los momentos respecto al punto O de la resultante R y de las fuerzas A y B son:.4.2.1 Principio de los momentos:Teorema de VarignonEn la figura se ve que:Por lo que:








4.3 Representacin vectorial de un MomentoVectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a un punto O, ser:Donde r es el vector de posicin de O a A de la recta soporte de F. As:MO = r x F = (r F sen a) ea : es el ngulo que forman los dos vectores (r y F)e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F.(r . sen a) : distancia d del centro del momento O a la recta soporte de F


En la figura siguiente podemos ver que la distancia d es independiente de la posicin de A sobre la recta soporte:As pues, podemos escribir la ecuacin vectorial del momento como:MO = r x F = (r F sen a) e = F d e = MO eLa direccin y sentido del vector unitario e estn determinados por la regla de la mano derecha (los dedos de la mano derecha se curvan de manera de llevar el sentido positivo de r sobre el sentido positivo de F y el pulgar seala el sentido de MO


4.3.1 Momento de una fuerza respecto a un puntor = rA/B = rA - rB = (xA xB) i + (yA yB) j + (zA zB) kEl vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F (A) se puede expresar as:MO = r x FLa ecuacin vectorial de clculo del momento de una fuerza respecto a un punto:Es aplicable tanto al caso bidimensional como al tridimensional.


Consideremos 1 el momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:r = rx i + ry jF = Fx i + Fy j* MO es perpendicular al plano xy (segn eje z)* MO positivo (sentido antihorario)* MO negativo (sentido horario)

Caso bidimensional






El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F con orientacin espacial se determinar as:r = rx i + ry j+ rz k

F = Fx i + Fy j + Fz kM= Mx i + My j + Mz k = MO e = (ry Fz rz Fy) i + (rz Fx rx Fz) j + (rx Fy ry Fx) k =Donde:Caso tridimensional


Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.


El Teorema de Varignon no est limitado a dos fuerzas concurrentes sino que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.

peropor tanto

As pues,

Ecuacin que indica que el momento de la resultante de un nmero cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas individuales.




4.3.2 Momento de una fuerza respecto a un ejeEl momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado fsico en mecnica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener: 1 Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje. 2 Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M perpendicular a este:MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB enDonde: enx, eny y enz son las componentes cartesianas (cosenos directores) del vector unitario en.






4.4 ParesDos fuerzas de igual mdulo, paralelas, no colineales y de sentidos opuestos forman un par. As, la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier direccin, por lo que un par tender solamente a hacer girar el cuerpo al que est aplicado.El momento de un par es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen el par.El mdulo del momento de un par respecto a un punto de su plano es igual al mdulo de una de las fuerzas por la distancia que las separa.


ParesLa suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto cualquiera O es:y como:Vector de posicin que va entre dos puntos A y B cualesquiera.Vector unitario perpendicular al plano del par, cuyo sentido se obtiene con la regla de la mano derechaPor la ecuacin anterior vemos que el momento de un par no depende de la situacin de O por lo que el momento de un par es un vector libre.


ParesLas caractersticas de un par, que rigen su efecto exterior sobre los cuerpos rgidos, son: El mdulo del momento del par El sentido del par (sentido de rotacin) La direccin o pendiente del plano del par (definida por la normal al plano n)Se pueden efectuar diversas transformaciones del par sin que varen sus efectos exteriores sobre un cuerpo: Un par puede trasladarse a una posicin paralela en su plano o a cualquier plano paralelo. Un par puede hacerse girar en su plano. El mdulo de las dos fuerzas del par y las distancia que las separa se pueden variar mientras se mantenga constante el producto F.d


ParesUn sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para dar un par resultante nico. Como el momento de un par es un vector libre colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas, descomponemos cada par segn sus componentes rectangulares y sumamos las componentes correspondientes.Un nmero cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente para dar un par resultante.






4.5 Descomposicin de una fuerza en una fuerza y un parEn muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una fuerza paralela y un par (figura).Recprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se pueden combinar dando una fuerza nica en el plano en cuestin.As pues, el nico efecto exterior de combinar un par con una fuerza es desplazar a una posicin paralela la recta soporte de la fuerza.






4.6 Simplificacin de un sistema de fuerzas: ResultantesDos sistemas de fuerzas se dice que son equivalentes si producen el mismo efecto exterior al aplicarlos a un cuerpo rgido.

La resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera es el sistema equivalente ms sencillo al cual puede reducirse el sistema dado.

Esta resultante, en funcin de que sistema se trate, puede ser: Una fuerza nica. Un par. Una fuerza y un par.


4.6.1 Sistemas de fuerzas coplanariasSu resultante puede determinarse mediante las componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier pareja conveniente de direcciones perpendiculares.


La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a un punto arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:Luego:La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a O se puede especificar tambin determinando la interseccin de la recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.


Caso particular de un sistema de fuerzas coplanarias paralelas:En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanarias sea nula pero no lo sea el momento, la resultante es un par cuyo vector es perpendicular al plano de las fuerzasPor tanto, la resultante de un sistema de fuerzas coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.






4.6.2 Sistemas de fuerzas no coplanariasSi todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la fuerza resultante tiene por mdulo su suma algebraica y la recta soporte de la resultante se determina mediante el principio de los momentos:La interseccin con el plano xy de la recta soporte de la fuerza resultante se localiza as:


En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas paralelas sea nula pero no lo sean los momentos, la resultante sera un par cuyo vector estara en un plano perpendicular a las fuerzas.Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas paralelas no coplanarias podr ser o una fuerza R o un par C.




4.6.3 Sistemas de fuerzas cualesquieraLa resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera (figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) : Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con mdulo, direccin y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original. Un sistema de pares no coplanarios.


Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los dos sistemas se pueden descomponer en componentes segn los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)La resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un fuerza R que pasa por el origen y la resultante del sistema de pares no coplanarios es un par C.Casos particulares: R = 0 C = 0 R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza ms un par.


Casos especiales:Par C perpendicular a la fuerza resultante R

El sistema ser equivalente a una fuerza nica R cuya recta soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una direccin y sentido que haga que el momento de R respecto a O sea igual al momento de C.


Casos especiales:


Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es positivo (hoja anterior). Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es negativo (figura siguiente). La accin del torsor puede describirse como un empuje (o traccin) ms una torsin en torno a un eje paralelo al empuje (o traccin).






PROBLEMA EJEMPLO 4.19 bis



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