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Capa Lmite Captulo IV: Solucin exacta de la capa lmite

Ing. Csar A. Quispe Gonzles, M Sc. Pgina 55

CAPITULO IV SOLUCION EXACTA PARA LA CAPA LIMITE EN UNA PLACA PLANA

4.1 INTRODUCCION AL ANALISIS DE SIMILARIDAD

La solucin aproximada de Von Karman slo ofrece resultados aproximados para los parmetros de la capa lmite, los cuales dependern de la forma del perfil de velocidades elegido. De la Tabla 3.1 se observa que al cambiar el perfil de velocidades, se produce un cambio en las integrales que definen los espesores convencionales de energa y en la pendiente cuando se define la tensin de rozamiento sobre la superficie plana. A su vez, estos cambios influenciarn en las constantes que definen los parmetros de la capa lmite sobre una placa plana.

Entonces, si existen soluciones aproximadas, debe existir una solucin exacta para las condiciones planteadas al problema de la capa lmite sobre una placa plana delgada. Fue uno de los discpulos de Prandtl, H. Blasius quien resolvi el sistema de ecuaciones de la capa lmite, asumiendo que el perfil de velocidades en cualquier punto de la capa lmite sobre una superficie plana es similar al perfil de velocidad en cualquier otro lugar, es decir; existe una similaridad para el perfil de la velocidad en todo el dominio de la capa lmite, asumiendo una funcin especial para la coordenada adimensional .

El anlisis de similaridad se utiliza para investigar las condiciones en que las soluciones de un problema de contorno particular, tienen formas similares para diferentes valores de las variables independientes. Si la similitud existe, entonces mediante una seleccin adecuada de las variables dependientes e independientes, la solucin para todos los valores de la variable independiente cae dentro de una sola curva o funcin. Se debe indicar que el anlisis de similaridad es posible de aplicar cuando no existe una longitud caracterstica y ninguna de las variables depende del tiempo.

Ya que 0U es constante, entonces el campo exterior de velocidades no proporciona ninguna longitud caracterstica (como podra ser la distancia que caracteriza la gradiente de dicho campo). La placa plana tampoco tiene una longitud caracterstica, dado que su extensin se considera infinita, la viscosidad es una propiedad fsica del fluido sin longitud caracterstica, tampoco existe tiempo caracterstico ya que el problema es a flujo permanente, por lo que las condiciones para aplicar la similaridad estn dadas.

Un resultado muy importante de la bsqueda de soluciones similares, es que en los casos de que la similaridad exista, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se reducen a ecuaciones diferenciales ordinarias (lineales o no lineales), lo que representa una simplificacin matemtica considerable. Esta reduccin permite el uso de las tcnicas generalizadas desarrolladas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

4.2 SOLUCION ANALTICA DE BLASIUS PARA LA CAPA LIMITE EN UNA PLACA PLANA

Para encontrar la solucin exacta de la capa lmite sobre la placa plana sumergida en un flujo bidimensional incompresible y permanente, es necesario recordar las ecuaciones fundamentales de la capa lmite y las condiciones de frontera, las cuales son:

2

20

1u u p uu v

x y x y

+ = +

(4.1)

0py

=

(4.2)

0u vx y

+ =

(4.3)

En este caso, las condiciones de contorno o de frontera son: i) Cuando 0y = , entonces 0u v= = (principio de adherencia) (4.4) ii) Cuando y = , entonces 0u U= (como una aproximacin) (4.5)



iii) Cuando y = , entonces u U

= (solucin exacta) (4.6)

Blasius defini la variable que es una variable que relaciona la distancia desde la superficie y acotada a travs de la normal a la superficie y el espesor de la capa lmite en la seccin

analizada. Para un caso general, el espesor de la capa lmite puede ser escrito como:

C t =

donde C es una constante de proporcionalidad, es la viscosidad cinemtica y t el tiempo.

Para el caso de un flujo permanente, t es reemplazado por x U

, que es el tiempo necesario para que una partcula fluida del flujo externo viaje una distancia x . Para un caso general, la nueva variable es de la forma:

y = (4.7)

Como dentro de la capa lmite, existe un perfil de velocidades que es similar en cualquier seccin de la capa lmite; este perfil tendr que ser una funcin de la forma:

( )0

u yf fU

= =

(4.8)

En este punto, el flujo adems de ser incompresible ser potencial, por lo tanto existe una funcin ( ),x y const = que es la funcin de las lneas equipotenciales en el plano ( ),x y y las velocidades pueden definirse a travs de esta funcin como:

u vx y

= =

A la par de la funcin potencial , en el flujo potencial existe la funcin de corriente ( ),x y const = , que es la funcin de la lnea de corriente, lo que permite obtener las ecuaciones de

Cauchy-Riemann:

0

y

u udyx y = = =

(4.9)

vy x

= =

(4.10)

La validez de esta funcin de corriente queda demostrada al transformar la ecuacin de continuidad donde:

2 2

0u vx y x y x y

+

Transformando la Ec. (4.1) por medio de la funcin de corriente, se obtiene una ecuacin diferencial de tercer orden igual a:

2 2 3 30

02 3 30

1 Up Uy x y x y x y x y

= + = +

(4.11)

A una distancia lo suficientemente alejada de la superficie (cuando 0y ) se tiene:



( )u U p f Uy

= =

Pero 0p y = , por eso; este trmino tiende a cero tanto en funcin de presin como en funcin de velocidad.

De acuerdo a los conceptos anteriores la nueva variable tiene la forma y = y como

anteriormente fue demostrado que 0 0 0

1Rex

x xCx U x U U = = , y por

simplicidad se toma 1C = , por lo que en una primera aproximacin se podra hacer 0x U = , obtenindose luego:

0 0

0

U U xy d dy dy dx x U

= = = (4.12)

Sustituyendo en la ecuacin de corriente, definida por la Ec. (4.9) se obtiene:

00 0

y yx

udy u dU = =

Si la expresin anterior se divide entre 0 0U x U se obtiene:

( )00 00 0 0

0 00 0

y y yUu xudy d f d

U x Ux xU UU U

= = = (4.13)

Introduciendo el concepto de funcin de Blasius f , tal que ( )0

f f d

= , entonces:

0U x f = (4.14)

Una vez redefinida la funcin de corriente se recalculan las derivadas de la Ec. (4.11), obtenindose:

( ) ( ) ( )00 0 0' ' 'UU x f U x f U fy y x y

= = =

(4.15)

Recordando la Ec. (4.9) se puede obtener:

( ) ( )00

' '

uu U f f

y U = = =

(4.16)

Esto indica que la relacin de velocidad 0u U queda definida por la primera derivada de la funcin de Blasius ( )'f .

( ) ( )2

0 0' ''U f U fx y x y x x = = =

(4.17)

Derivando la Ec. (4.14) respecto a x se tiene:



( ) ( )0 01 '2U f U x f

x x x

= +

(4.18)

( ) ( ) ( )2

00 0 02 ' '' ''

UU f U f U fy y y y y x

= = = =

(4.19)

( ) ( ) ( )23 2

0 0 00 03 2 '' ''' '''

U U UU f U f fy y y y x x y x

= = = =

(4.20)

Sustituyendo estas derivadas en la Ec. (4.11) se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 00 0 0 0

1' '' ' '' '''

2U U UU f U f f U x f U f f

x x x x x

+ =

Reduciendo trminos y haciendo simplemente ( )n nf f = , la ecuacin anterior se transforma en:

( )2 2 2

2 20 0 00 0

1 1' '' '' ' '' ''' 0 2 ''' '' 0

2 2U U UU f f f f U f f f f f f

x x x x x

= + =

De donde se obtiene finalmente la ecuacin de Blasius para la capa lmite sobre una placa plana:

2 ''' '' 0f f f+ = (4.21)

La solucin de Blasius tiene la virtud de haber transformado una ecuacin diferencial en derivadas parciales no lineal de tercer orden, Ec. (4.11), en otra ecuacin diferencial ordinaria, de caractersticas anlogas pero de ms fcil solucin.

4.3 METDICA DE LA SOLUCION NUMRICA

Blasius resolvi las ecuaciones de la capa lmite utilizando una expansin en series para la regin en la que la coordenada adimensional 0 y una solucin asinttica para .

En efecto, Blasius propuso una serie de Taylor con coeficientes indeterminados para definir la funcin ( )f , la cual se expresa como:

( ) 2 331 20 1! 2! 3! !mma aa af a

m = + + + + +

(4.22)

Luego, las 3 primeras derivadas de esta funcin sern:

( ) ( )( )12 3 43 54

1 2' ..2! 3! 4! 1 !mma a aaf a a

m = + + + + + +

(4.23)

( ) ( )2 3 254

2 3'' .2! 3! 2 !mma aaf a a

m = + + + + +

(4.24)

( ) ( )2 3 35 6

3 4''' .2! 3! 3 !mma a af a a

m = + + + + +

(4.25)

Las condiciones de frontera que se aplican para obtener la solucin exacta de la capa lmite laminar sobre una placa plana, son las siguientes:



i) Cuando 0 = , entonces ( ) 0f = y ( )' 0f = (4.26) ii) Cuando , entonces ( ) 1f (4.27)

Luego, al aplicar la primera condicin de frontera a las Ecs. (4.22) y (4.23) se deduce que:

0 1 0a a= =

Sustituyendo las expresiones halladas para , ''f f y '''f , teniendo en cuenta los valores nulos de 0a y 1a (lo cual se obtiene al aplicar las condiciones de frontera para ( ) 0f = y ( )' 0f = ) se obtiene:

2 2 3 4 2 35 3 52 4 43 4 2 32 ''' '' 2 02! 2! 3! 4! 2! 3!

a a aa a af f f a a a a + = + + + + + + + + + + + =

Agrupando por potencias del mismo orden se llega a:

222 3 45 2 3 2 3 6 3 72 2 4 2 4

3 4

253 4 2 5 3 4 2 5 8 2 6 3 5 3 5 2 6 94

2 2 22 ''' '' 2 22! 2! 2! 3! 3! 2!2! 3! 4! 4!

2 22!3! 2!3! 4! 5! 5! 2!4! 2!4! 3!3! 5! 6! 6!

a a a a a a a aa a a a af f f a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a aa

+ = + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

6

72 7 4 5 3 6 4 5 3 6 2 7 10

282 8 4 6 3 7 5 4 6 3 7 2 8 11

22!5! 2!5! 3!4! 3!4! 6! 7! 7!

2 02!6! 2!6! 3!5! 3!5! 4!4! 7! 8! 8!

a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a

+

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + + =

22 32 3 2 3 62

3 4 522 ''' '' 2 2 0

2! 2! 3! 3!a a a a aaf f f a a a + = + + + + + + + =

(4.28)

Ya que segn las condiciones lmite planteadas, no puede asumir toda la gama de valores comprendidos en el intervalo [ )0, , para satisfacer en cualquier caso la Ec. (4.28) los coeficientes de cada una de las potencias de excepto aquellos coeficientes que tienen como regla de formacin

2 3ma + , lo que conduce a:

23 4 5 2

36 7 8 22

49 10 11 23

512 13 14 24

615 16 17 25

0, 0, 2110, 0,2

3750, 0,2

278970, 0,2

38171370, 0,2

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

= = =

= = =

= = =

= = == = =

(4.29)

El coeficiente 2a es el menor coeficiente que no es igual a cero y de la Ec. (4.24) se tiene: ( ) 2"f a = , donde 2a ser determinado posteriormente a partir de la condicin de frontera en el



infinito. Adems, de lo expresado en la Ec. (4.29) todas las constantes ia en el desarrollo de la serie para ( )f pueden expresarse como una funcin de 2a , reescribindose como:

( ) ( )12 3 4

2 5 8 11 2 322 2 2 22 3

11 375 1.

2 2 5! 2 8! 2 11! 2 2 3 !

m mmm

C aa a a afm

+

+ = + + + +

(4.30)

Donde los primeros seis valores para mC en la serie de Blasius sern:

0 1C = 1 1C = 2 11C = 3 375C = 5 27897C = 6 3817137C =

Esta funcin, representa la solucin de la ecuacin diferencial ordinaria obtenida por Blasius y que est expresada en la Ec. (4.21) y que satisface las condiciones de frontera expresadas.

La condicin lmite dada en la Ec. (4.27) se utiliza para encontrar el valor de la constante 2a en la funcin ( )f expresada en la Ec. (4.30). En efecto, al derivar la Ec. (4.30) se tiene:

( )2 3 4

4 7 102 2 22 2 3

11 375' 1

2 4! 2 7! 2 10!a a af a = = + + +

(4.31)

El valor para 2a puede ser obtenido por una serie asinttica o por una integracin numrica. Al tomar una cantidad apreciable de trminos de la funcin de Blasius se tienen series convergentes de valores de 2a , de donde se obtiene:

2 0.33205734a = (4.32)

y con este valor de 2a , pueden calcularse posteriormente las funciones ( ) ( ) ( ), ' , ''f f f para distintos valores de .

Posteriormente y sobre la base del trabajo de Blasius, Howarth obtuvo una solucin ms exacta por resolucin numrica. La solucin numrica de la ecuacin de Blasius se muestra en la Tabla 4.1, en la cual tambin se muestra en forma remarcada, los valores para en la frontera de la capa lmite.

J. Steinheuer public una revisin sistemtica de las soluciones a la ecuacin de Blasius. Particularmente, esto proporciona una discusin sobre el carcter de las soluciones para el rango de la integracin donde 0 < bajo una serie de condiciones de frontera. Resulta que existen tres tipos de soluciones que se diferencian unos de otros por su comportamiento asinttico cuando .

Una parte de la capa lmite laminar sobre una placa plana, las soluciones que pueden ser objeto de una interpretacin fsica significativa, incluyen un flujo laminar entre dos lneas de corriente paralelas, lo cual es un caso especial que corresponde a la mitad de un chorro bidimensional, el flujo laminar con succin o inyeccin en un ngulo recto, as como la capa lmite formada sobre una superficie que tiene un movimiento paralelo a la corriente, tanto en la misma direccin como en la direccin opuesta.

Se debe indicar que los valores resaltados y que corresponden a ( )' 0.99f = fue obtenido por interpolacin lineal en donde 4.92 = y estos valores interpolados no generan errores sustanciales por lo que pueden ser utilizados en problemas tcnicos La integracin numrica seala un valor ms exacto e igual a ( ) ( ) ( )4.96; 3.2025; ' 0.99; " 0 0.33206f f f = = = = .



Tabla 4.1 - Solucin numrica de Howarth para la ecuacin de Blasius.

0 0 0 0.33206 4.2 2.49806 0.96696 0.050520.2 0.00664 0.06641 0.33199 4.4 2.69238 0.97587 0.038970.4 0.02656 0.13277 0.33147 4.6 2.88826 0.98260 0.029480.6 0.05974 0.19894 0.33008 4.8 3.08534 0.98779 0.021870.8 0.10611 0.26471 0.32739 4.92 3.20169 0.99000 0.018371.0 0.16557 0.32979 0.32301 5.0 3.28329 0.99155 0.01591

1.2 0.23795 0.39378 0.31659 5.2 3.48189 0.99425 0.011341.4 0.32298 0.45627 0.30787 5.4 3.68094 0.99616 0.007931.6 0.42032 0.51676 0.29667 5.6 3.88031 0.99748 0.005431.8 0.52952 0.57477 0.28293 5.8 4.07990 0.99838 0.003652.0 0.65003 0.62977 0.26675 6.0 4.27964 0.99898 0.00240

2.2 0.78120 0.68132 0.24835 6.2 4.47948 0.99937 0.001562.4 0.92230 0.72899 0.22809 6.4 4.67938 0.99961 0.000982.6 1.07252 0.77246 0.20646 6.6 4.87931 0.99977 0.000612.8 1.23099 0.81152 0.18401 6.8 5.07928 0.99987 0.000373.0 1.39682 0.84605 0.16136 7.0 5.27926 0.99992 0.00022

3.2 1.56911 0.87609 0.13913 7.2 5.47925 0.99996 0.000133.4 1.74696 0.90177 0.11788 7.4 5.67924 0.99998 0.000073.6 1.92954 0.92333 0.09809 7.6 5.87924 0.99999 0.000043.8 2.11605 0.94112 0.08013 7.8 6.07923 1.00000 0.000024.0 2.30576 0.95552 0.06424 8.0 6.27923 1.00000 0.00001

0Uyx

= f0

'

ufU

= ''f 0Uyx

= f0

'

ufU

= ''f

4.4 PERFIL DE VELOCIDADES EN LA CAPA LMITE FLUIDODINMICA

La variacin de la componente longitudinal de la velocidad en la capa lmite se halla mediante la Ec. (4.16) y que se encuentra calculada en la Tabla 4.1, para valores de 0 8 . Entonces:

( )0

'

u fU

= (4.33)

( ) 0, Ux y yx

=

( )0

'

u fU

=

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Figura 4.1 Perfil de velocidad en la capa lmite sobre una placa plana, segn Blasius.



La Fig. 4.1 muestra la grfica de la de 'f respecto a la ordenada ( ) 0, ( )x y y U x = . Se puede observar que el perfil de velocidad sobre la placa plana posee una pequea curvatura en las cercanas de la pared y posteriormente se vuelve ms abrupta a fin de alcanzar el valor asinttico. En la pared misma la curva tiene un punto de inflexin, dado que para 0y = , 2 2 0.u dy =

La distribucin de velocidad transversal adimensional la cual puede obtenerse de la Ec. (4.18), de donde:

( )01 '2

Uv f f

x x

= =

(4.34)

Debe indicarse que en el borde externo de la capa lmite, es decir, cuando , esta componente es diferente de cero, lo cual se comprueba al sustituir los valores hallados en la Tabla 4.1, obtenindose:

0 00

0.8604V V UU x

= = (4.35)

Esto significa que en el borde externo existe un flujo hacia el exterior, lo cual se debe a que el incremento de la espesura de la capa lmite causa un desplazamiento del fluido desde la pared cuando el flujo fluye a lo largo de ella. En el presente caso, no hay separacin de la capa lmite ya que la gradiente de presin es igual a cero. La distribucin de la velocidad transversal se muestra en la Fig. 4.2.

0 1 ( ) 0, Ux y y

x

=

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

8 7 6 5 4 3 2

0.8604

0

0

UvU x

Figura 4.2 - Distribucin de la componente de la velocidad transversal sobre una placa plana

4.5 ESPESORES CONVENCIONALES DE LA CAPA LIMITE

Por la definicin dada en el captulo inicial, el espesor de la capa lmite dinmica es aquella que cumple la condicin 00.99u U= y dado que en la Ec. (4.16) se defini:

( )0

' 0.99u fU

= =

Entonces, de la Tabla 4.1 obtenida de la integracin numrica se observa que para ( )' 0.99f = le corresponde un valor de 4.96 = . En la Ec. (4.12) fue definida la expresin para

como:



20

0 0

4.96Rexy

U x x xyx U U x

=

= = = = (4.36)

Los dems espesores se calculan utilizando las definiciones dadas, por ejemplo, para el espesor de desplazamiento se tiene:

( ) ( )* 00 0 0 00 0 0

1 1 1 'u u y x xdy d f d fU U U U

= = = =

Los valores de y ( )f para el espesor definido de la capa lmite, se toman de la Tabla 4.1, lo que da:

( )* *0 0

4.92 3.20169 1.721 1.721Rex

x x x

U U = = = (4.37)

La definicin de prdida de cantidad de movimiento es un tanto similar a la definicin del espesor de desplazamiento. Sin embargo, el espesor de prdida de cantidad de movimiento est definido como la medida de la prdida de cantidad de movimiento en la capa lmite, comparado con la prdida similar en el flujo potencial. Luego:

( ) ( )**0 0 0 00 0 0

1 1 ' 1 'u u u y xdy d f f dU U U U

= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )** **0' " " 0 0.664 0.664 Ree e e xx x x xf f f f f

U U U = = = =

4.6 TENSIN DE ROZAMIENTO EN LA SUPERFICIE DE LA PLACA PLANA

La tensin de rozamiento en la superficie est definida por la expresin:

0 0w

y y

u u

y y

= =

= =

La gradiente de velocidad a travs de la funcin de Blasius ( )f lo que permite obtener:

( )00 '' 0w UU fx

=

Al efectuar algunas transformaciones algebraicas se puede obtener:

( ) ( )2

200 0 02

0 0

'' 0 '' 0w wUU U f U f

U x U x

= =

Al sustituir el valor de ( )'' 0 0.332f = hallado por integracin numrica en la Tabla 4.1 se tiene:

22 00

0

0.332 0.332Rew x

UUU x

= = (4.38)

El coeficiente de friccin local puede ser deducido a partir de la expresin anterior como:



20

0.3322 Re

f w

x

c

U

= =

(4.39)

Para obtener la fuerza de arrastre o resistencia por ambos lados de la placa plana debido a la viscosidad del fluido se usa la expresin:

( )2 3 20 0 00 0

2 '' 0 1.328 1.328Re

L

DL

dx LX F b U f b U L b UU x = = = = (4.40)

Luego, el coeficiente de friccin general para la placa ser:

( ) ( )20

2 20 0

0.5 1.3280.5 1.3282 2 Re ReD

f fL L

b U LFC CU A U b L

= = = (4.41)

La dependencia de fC respecto al nmero de Reynolds expresada en la Ec. (4.41) es ms dbil de la que se tiene en movimiento de flujos con pequeos nmeros de Reynolds, en los cuales el transporte de la cantidad de movimiento se debe a la difusin viscos. Por el contrario, es mucho ms significativa de lo que se tiene en flujos turbulentos, a grandes nmeros de Reynolds, ya que en los flujos turbulentos es mayor la influencia de los procesos convectivos, por lo que la fuerza de arrastre o resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad y fc permanece constante en forma aproximada.

PROBLEMA 4.1.- Una placa plana de longitud 0.6mL = y profundidad 0.5mb = se sumerge paralelamente en un flujo de aire, el cual tiene velocidad 10 m sU

= . La presin del aire es

510 Pap

= y la temperatura 293 KT

= . Calcular mediante la solucin exacta de Blasius, los parmetros de la capa lmite a una distancia 0.3 mx = del borde de entrada, as como la fuerza de rozamiento actuante en ambos lados de la placa.

Solucin.- El rgimen del flujo ser:

55

10 0.6Re 3.31 101.51 10

U L

= = =

Entonces, el flujo es laminar en toda la longitud de la placa plana y el nmero de Reynolds para 0.3 mx = del borde de entrada ser:

.

5 55

10 0.3Re 3.31 10 1.987 101.51 10x

U x

= = = =

Para la solucin exacta de Blasius, el espesor de la capa lmite es:

5

0.34.92 4.92 0.00331m =3.31 mmRe 1.987 10x

x = = =

El espesor de desplazamiento fue calculado anteriormente y es igual a:

* *

5

0.31.721 1.721 0.00116 1.16 mmRe 1.987 10x

x = = = =

La tensin de rozamiento en la pared ser:



2 5 220

5

10 100.332 0.332 0.0886 N m287 293Re 1.987 10

w w

x

U = = =

El coeficiente de friccin local en el punto analizado ser:

5

0.332 0.332 0.000742 2Re 1.987 10

f f

x

c c= = =

Para la fuerza de rozamiento actuante en toda la placa se hace:

52 20 5

10 0.61.328 1.328 0.5 10 0.082N287 293Re 3.31 10

DL

LX F b U= = = =

El coeficiente general o medio de friccin para la placa ser:

5

1.328 1.328 0.0023Re 3.31 10

fL

C = = =

PROBLEMA 4.2.- Una placa plana de longitud 0.75mL = y ancho 0.5b m= se sumerge en un flujo de agua a una temperatura 293KT = , densidad 2998.3kg m = , viscosidad 6 21.004 10 m s =

y una velocidad 0 0.25 m sU = , Calcular los parmetros de la capa lmite en el borde de fuga de la placa.

Solucin.- Se investiga el tipo de rgimen del flujo mediante el nmero de Reynolds:

506

0.25 0.75Re 1.867 101.004 10

U L

= = =

Entonces, el flujo es laminar sobre toda la placa.

El espesor de la capa lmite es:

5

0.754.92 4.92 0.00854m =8.54 mmRe 1.867 10x

x = = =

El espesor de desplazamiento ser:

* *

5

0.751.721 1.721 0.00299 2.99 mmRe 1.867 10x

x = = = =

La tensin de rozamiento en la pared ser:

2 220

5

0.250.332 0.332 998.3 0.0479 N mRe 1.867 10

w w

x

U = = =

El coeficiente de friccin local en el punto analizado ser:

5

0.332 0.332 0.000772 2Re 1.867 10

f f

x

c c= = =

Para la fuerza de rozamiento actuante en toda la placa se hace:



2 20 5

0.751.328 1.328 0.5 998.3 0.25 0.072 NRe 1.867 10

DL

LX F b U= = = =

El coeficiente general o medio de friccin para la placa ser:

5

1.328 1.328 0.00307Re 1.867 10

fL

C = = =

PROBLEMA 4.3.- Se tiene una placa plana de longitud 1.5 mL = y profundidad 0.8 mb = , que est sumergida en un flujo de aire, el cual fluye con velocidad 5 m sU

= , temperatura 293KT = y

presin 101.3 kPap = . Determinar para la distancia 0.2 mx = del borde de ataque de la placa, la distancia perpendicular a la placa en donde la velocidad es el 60% del valor de la velocidad del flujo libre.

Solucin.- Como la velocidad dentro de la capa lmite es el 60% del flujo libre, entonces utilizando la relacin de velocidades dada por la expresin:

( ) ( )00 0

0.6' ' 0.6Uu f f

U U = = =

Para este valor, de la Tabla 4.1 se obtiene por interpolacin:

( ) ( )1.892 0.5848 '' 0.2755f f = = =

Por lo tanto, al aplicar la ecuacin:

50

0

1.51 10 0.21.892 0.00147 m y=1.47 mm5

U xy yx U

= = = =

De la ecuacin para la velocidad transversal se tiene:

( ) ( )5

01 1 1.51 10 5' 1.892 0.6 0.5848 0.0053 m s

2 2 0.2U

v f fx x

= = = =

Para la gradiente de velocidad se tiene:

( )2

-1002 5

5'' 5 0.2755 1772.4 s

1.51 10 0.2Uu uU f

y y x y

= = = =

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