Capa Limite MF-II

Índice general

1. Capa límite laminar 3

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible . . . . . . . . . 61.2.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . 71.2.4. Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma . . . . . . 91.2.5. Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite . . 11

1.3. Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1. Succión/soplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Soluciones de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Capa límite térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1. Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corriente uniforme 191.5.2. Capa límite térmica sobre una cuña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Capa límite bidimensional compresible y estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1. Convección forzada. Temperatura de recuperación . . . . . . . . . . . . . 231.6.2. Convección forzada. Analogía de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.3. Convección libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.3.1. Número de Prandtl grande Pr � 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.3.2. Número de Prandtl pequeño Pr � 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.3.3. Número de Prandtl de orden unidad Pr ∼ 1 . . . . . . . . . . . 261.6.3.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.3.5. Placa plana vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Introducción a los movimientos turbulentos 28

2.1. Origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Escalas de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Valores medios. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3. Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.4. Ecuación de la energía cinética media y turbulenta . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Viscosidad turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1. Teoría del camino de mezcla de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2. Modelos de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Flujos turbulentos esbeltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Turbulencia libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.6.1. Estela (bidimensional) lejana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2. Chorro (bidimensional) lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Capítulo 1

Capa límite laminar

1.1. Introducción

En los movimientos a altos números de Reynolds los efectos viscosos son despreciables en laecuación de cantidad de movimiento. Del mismo modo, los efectos de conducción, en la ecuaciónde la energía, son despreciables si el producto del Reynolds por el Prandtl es grande. Las ecua-ciones resultantes son las ecuaciones de Euler. Esta simpli�cación lleva implícito el despreciar lostérminos de mayor orden en las derivadas de la velocidad y de la temperatura, de modo que alas ecuaciones de Euler no se le pueden imponer todas las condiciones de contorno.

Como consecuencia de lo anterior, las condiciones de contorno en el movimiento de un �uidoideal en presencia de una pared se reducen a decir que la velocidad es tangente a la pared (sino hay paso de masa a través de dicha pared) y no se puede imponer ninguna condición a latemperatura del �uido en contacto con la pared. Sin embargo, dentro de la aproximación de un�uido como medio continuo, se sabe que la velocidad de un �uido en contacto con una pared esigual a la velocidad de la pared, y que la temperatura del �uido debe coincidir con la temperaturade la pared (si a través de dicha pared no hay paso de masa, y en la super�cie no hay reacciónquímica ni evaporación ).

Figura 1.1: Capa límite adherida al per�l.

Para poder imponer todas las condicionesde contorno, es necesario que los términos vis-cosos y de conducción de calor sean tan impor-tantes como los convectivos. Sin embargo, sise utiliza la longitud característica ` del movi-miento, el número de Reynolds ρU`/µ es muygrande y estos términos serían despreciables.Es evidente, por tanto, que cerca de las pare-des (donde se deben imponer las condicionesde contorno) la velocidad U (y también la tem-peratura) sufre variaciones del orden de ellamisma en distancias δ � `. El orden de mag-

nitud de δ se determina de la condición de que los efectos viscosos (y los de conducción de calor)sean tan importantes como los convectivos en esta región delgada, ya que estos términos debencontar para poder imponer las condiciones de contorno. Esta zona, donde los efectos viscosos sonimportantes, se denomina capa límite.

El primero en indicar la existencia de una zona en la que los efectos viscosos son importantes,

3

CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 4

a pesar de que el Reynolds del movimiento sea alto, fue Prandtl en 19041. La idea de Prandtl deuna región donde los efectos viscosos son importantes, clari�có multitud de fenómenos que hastaentonces no habían obtenido explicación satisfactoria. En particular explicó el porqué la teoríade �uidos ideales (altos números de Reynolds) proporciona buenos resultados cuando se quieredeterminar la sustentación, o fuerza normal a la dirección de la corriente incidente, sobre unobstáculo, y sin embargo esta teoría es incapaz de determinar la resistencia (o componente de lafuerza en la dirección de la corriente incidente). También explicó el fenómeno del desprendimientode la capa límite en cuerpos romos (en general con gradientes adversos de presión), y comoconsecuencia, la existencia de una resistencia de forma, que no depende de la viscosidad pero escausada por ella.

Figura 1.2: Estela aguas abajo de un cilindro circular.

En los cuerpos fuselados la capa límite nose desprende más que en la parte �nal del cuer-po (como en el caso del per�l de la �gura 1.1),formando una estela muy delgada que puedetratarse como una super�cie de discontinuidadtangencial. En este caso, la resistencia es prác-ticamente toda ella debida a los esfuerzos vis-cosos en la pared. Sin embargo, en un cuerporomo (�gura 1.2), la capa límite se desprendegenerando una estela amplia, en este caso lafuerza de resistencia es del orden de la presióndinámica (ρU2) por el área frontal. Esta fuer-za, aunque originada por el desprendimiento

de la capa límite, y por lo tanto por la viscosidad, no depende de dicha viscosidad.

Figura 1.3: Per�l con capa límite desprendida.

En un cuerpo fuselado en la que la corrien-te no está su�cientemente alineada con su geo-metría, puede desprenderse la corriente comoen el caso de un cuerpo romo. Este es el ca-so del per�l de �gura 1.1 cuando el ángulo deataque es elevado (véase �gura 1.3).

En el movimiento de los �uidos alrededorde cuerpos o en presencia de paredes, si el nú-mero de Reynolds es muy alto, hay una capalímite, de espesor δ, en las proximidades de lapared y una región exterior donde los efectosviscosos y de conducción de calor son despre-

ciables. En esta región exterior, las ecuaciones se reducen a las de Euler a las que no se les puedenimponer todas las condiciones de contorno. La solución de Euler proporciona una velocidad tan-gente a la pared y que varía a lo largo de ella. Esta región exterior de Euler se denomina asíporque es la corriente que se ve en el exterior de la capa límite.

1Prandtl, L., �Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung�, Proc. III Intern. Math. Congress, Heidel-berg (1904).La traducción al español puede encontrarse en �Versión Crítica en Español del Trabajo de Ludwig Prandtl

sobre el Movimiento de Fluidos con Viscosidad muy Pequeña�, Ingeniería Aeronáutica y Astronáutica, Nº 328,Julio 1992, por M. Rodríguez y R. Martínez-Val.


1.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite

Para la obtención de las ecuaciones de la capa límite se va a considerar, por simplicidad, queel �ujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa límite es una región delgada entorno a la super�cie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadascurvilíneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa límite, basadas en una familia de curvasparalelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es ladistancia medida sobre la super�cie del cuerpo desde su borde de ataque o desde el punto deremanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. las coordenadas (x, y) no son cartesianas,excepto si la super�cie del cuerpo es plana, pero se comportan como tales a todos los efectos siy es pequeña frente al radio de curvatura < de la super�cie, que se supondrá del orden de lalongitud característica del cuerpo: < ∼ `.

En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del �uido, ` es la longitudcaracterística del cuerpo, δ es el espesor característico de la capa límite, vc el valor característicode la velocidad transversal a la capa y 4δp el orden de magnitud de las variaciones transversalesde presión. los valores de δ, vc y 4δp deben determinarse a partir de los balances entre losórdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidadlongitudinal debe variar a través de la capa límite desde cero en la super�cie del cuerpo a lavelocidad de deslizamiento ue (x) proporcionada por la solución exterior no viscosa de Euler. Lavelocidad de deslizamiento es del orden de la velocidad U de la corriente libre, de modo queu ∼ U en la capa límite. Las variaciones longitudinales de presión son 4`p ∼ ρU2, impuestaspor la solución exterior.

1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud

Analizando la ecuación de la continuidad

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.1)

se obtieneU

`∼ vc

δ⇒ vc ∼ U

δ

`� U, (1.2)

de modo que las velocidades transversales en la capa límite son muy pequeñas comparadas conlas longitudinales.

Las estimaciones de órdenes de magnitud en la ecuación de cantidad de movimiento según xpermite obtener la estimación del espesor δ de la capa límite

u∂u

∂x+ v

∂u

∂yU2

`∼ Uvc

δ

= −1

ρ

∂p

∂x4xpρ`

+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)ν U`2�ν U

δ2

. (1.3)

Con la estimación de la velocidad característica transversal vc dada en la ecuación (1.2), losdos términos convectivos de la ecuación (1.3) son del mismo orden y del orden de U2/`. A suvez, la difusión de cantidad de movimiento por efectos viscosos a lo largo de la capa límite esdespreciable frente a la difusión transversal a la misma, de modo que los términos viscosos son delorden de νU/δ2. Dado que en la capa límite los efectos viscosos deben ser tan importantes comoel que más, el orden de magnitud del espesor de la capa límite debe ser tal que U2/` ∼ νU/δ2,lo que proporciona

δ ∼√ν`

U∼ `√

ν

U`∼ `√

Re� `, (1.4)


que al ser el número de Reynolds de la corriente grande, el espesor resulta pequeño frente altamaño característico `.

Otro resultado que pone de mani�esto la ecuación (1.3) es que las variaciones longitudinalesde la presión impuestas sobre la capa límite por la solución exterior no viscosa (de Euler), en laque 4`p ∼ ρU2, hacen que el término −1

ρ∂p∂x sea tan importante como los términos convectivos.

Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del �uido tantoen la capa límite como fuera de ella.

Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capalímite, se analiza la ecuación de cantidad de movimiento según el eje y

u∂v

∂x+ v

∂v

∂yUvc`∼ v2

cδ

+O(U2

<

)U2

`

= −1

ρ

∂p

∂y4δpρδ

+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)ν vc`2�ν vc

δ2

, (1.5)

donde se ha incluido el orden de magnitud O(U2

<

)de los términos debidos a la curvatura del

cuerpo que pueden llegar a ser importantes en la ecuación, incluso en el caso de curvaturasmoderadas < ∼ `. Los dos primeros términos del primer miembro de (1.5) son del mismo ordenv2cδ ∼

U2

`δ` ∼

√νU3

`3, que a su vez es el mismo orden de magnitud que el término de difusión viscosa

transversal en esta misma ecuación ν vcδ2 ∼

√νU3

`3. Estos tres términos son despreciables frente

al término de la curvatura, del orden de U2

` , con lo que el término de presiones, tan importantecomo el que más, resulta

4δp ∼ ρU2 δ

`� ρU2 ∼ 4`p. (1.6)

Este resultado indica que la presión en la capa límite no varía transversalmente a la misma y es,por tanto, igual a la presión impuesta por la corriente exterior de Euler

p (x, y) = pe (x) , (1.7)

lo que simpli�ca considerablemente el problema a resolver, ya que la presión deja de ser unaincógnita en el estudio de la evolución de la capa límite.

Del análisis de los órdenes de magnitud de las ecuaciones de continuidad y cantidad demovimiento se ha visto que el espesor característico de la capa límite y la velocidad característicatransversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capalímite, y que la presión, que ahora es un dato, varía únicamente a lo largo de la capa límite y noa través de ella.

1.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible

De acuerdo con las estimaciones de órdenes de magnitud realizadas, el sistema de ecuacionesque describe el movimiento de un líquido en la capa límite son la ecuación de la continuidad (1.1)junto con la ecuación de cantidad de movimiento

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpedx

+ ν∂2u

∂y2. (1.8)

Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coor-denada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobrela pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa. En cambio, las


ecuaciones de capa límite únicamente presentan derivadas primeras de la velocidad transversalv, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición de contorno v = 0 sobre lapared. Es de esperar que lejos de la pared, ya en la región exterior a la capa límite, la veloci-dad transversal v no tienda al valor correspondiente de la corriente exterior. Las condiciones decontorno se reducen a

en y = 0 : u = v = 0; en y →∞ : u = ue (x) . (1.9)

Además de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condición inicial,en el origen de la capa límite, que proporcione el per�l inicial de velocidades

en x = 0 : u = u0 (y) . (1.10)

Por último, la presión exterior pe (x) que actúa sobre la capa límite, está relacionada con lavelocidad de deslizamiento a través de la ecuación de cantidad de movimiento según la pared

ueduedx

= −1

ρ

dpedx

. (1.11)

1.2.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite

El problema de�nido por las ecuaciones (1.1) y (1.8) y las condiciones de contorno (1.9) y(1.10) es parabólico, a diferencia de las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elípticas.Este cambio se debe a que la presión ha dejado de ser una incógnita y a que la difusión viscosa alo largo de la capa límite se ha despreciado frente a la difusión transversal. En estas condicionesla coordenada longitudinal juega el papel de un pseudo tiempo, según el cual la informaciónúnicamente puede propagarse hacia valores crecientes de x.

Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de la capalímite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, ya que el problema puede resolverse comosi se tratase de un problema unidimensional de evolución. Existen situaciones de interés en lasque la evolución de la capa límite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a travésde la corriente exterior no viscosa y vuelven a in�uir sobre el �ujo de la capa límite aguas arribadel punto donde tales perturbaciones se originaron.2

Una propiedad de la capa límite es que sus soluciones no dependen del número de Reynolds.Esto se ve adimensionalizando las magnitudes en la forma

u =u

U, v =

v√Re

U, x =

x

`, y =

y√Re

`, p =

p

ρU2, (1.12)

de modo que las ecuaciones (1.1) y (1.8) toman la forma

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.13)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dpe

dx+∂2u

∂y2, (1.14)

con las condiciones de contorno siguientes

y = 0 : u = v = 0; y →∞ : u = ue (x) ; x = 0 : u = u0 (y) . (1.15)

2Dichos casos no pueden ser estudiados mediante las ecuaciones de la capa límite presentadas en la secciónanterior, y se hace necesario emplear teorías más avanzadas tales como la teoría de capa límite interactiva.


Puede verse que este problema no depende de la viscosidad del �uido, sino únicamente de de laforma del cuerpo en torno al cual se forma la capa límite, que se mani�esta indirectamente através de la velocidad de deslizamiento adimensional ue (x).

Las ecuaciones (1.1) y (1.8) pueden reducirse a una ecuación diferencial única mediante laintroducción de la función de corriente Ψ de modo que se satisface idénticamente la ecuación dela continuidad (u = ∂Ψ/∂y = Ψy, v = −∂Ψ/∂x = −Ψx) y la ecuación (1.8) toma la forma

ΨyΨxy −ΨxΨyy = −1

ρ

dpedx

+ νΨyyy. (1.16)

En términos de la función de corriente, las condiciones de contorno (1.9) y (1.10) se escribencomo

Ψ (x, 0) = Ψy (x, 0) = 0, Ψy (x,∞) = ue (x) , Ψy (0, y) = u0 (y) . (1.17)

La resolución de la ecuación (1.16) con las condiciones de contorno (1.17) proporciona las carac-terísticas más importantes de la solución: el per�l de velocidades u = Ψy (x, y), el coe�ciente derozamiento en la pared τp = µ (∂u/∂y)y=0 = µΨ (x, 0) y el espesor δ de la capa límite. Puestoque la región exterior se alcanza de un modo asintótico, existe una arbitrariedad intrínseca enla de�nición del espesor de la capa límite. Se puede eliminar esta arbitrariedad buscando unade�nición con un trasfondo físico. La de�nición más conocida y útil de las existentes es la delllamado espesor de desplazamiento δ∗. El espesor de desplazamiento se de�ne como la distanciaδ∗que habría que desplazar la pared sólida hacia el interior de la capa límite para que, supuestoque el �uido se mueva con la velocidad exterior, pase por la sección disponible el mismo gastoque pasa por la capa límite original, esto es

ˆ ∞0

ρudy =

ˆ ∞δ∗

ρuedy, (1.18)

o bien

δ∗ =

ˆ ∞0

(1− u

ue

)dy. (1.19)

Otra de�nición del espesor de la capa límite, de interés en ciertas aplicaciones, es el espesorde cantidad de movimiento δ∗∗. Se de�ne el espesor de cantidad de movimiento como la distanciaδ∗+δ∗∗que debe desplazarse la pared hacia el interior del �uido para que, supuesto que se muevecon la velocidad exterior ue, pase por la sección disponible un �ujo de cantidad de movimientoigual al que pasa por la capa límite original

ˆ ∞0

ρu2dy =

ˆ ∞δ∗+δ∗∗

ρu2edy. (1.20)

Teniendo en cuenta (1.19) de (1.20) se obtiene3

δ∗∗ =

ˆ ∞0

u

ue

(1− u

ue

)dy. (1.21)

3Es fácil demostrar que para una capa límite compresible, los espesores son

δ∗ =

ˆ ∞0

(1− ρu

ρeue

)dy, δ∗∗ =

ˆ ∞0

ρu

ρeue

(1− u

ue

)dy.


1.2.4. Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma

La solución del problema (1.1, 1.8, 1.9 y 1.10) determina la distribución de velocidad enla capa límite. Esta solución puede desarrollar una singularidad y dejar de existir aguas abajode un cierto punto, cuando el gradiente de presión que actúa sobre la capa límite es adverso(dpe/dx > 0). Esta singularidad se puede identi�car con la separación de la capa límite y,cuando ocurre, es esencial determinar su posición, pues de ella depende la estructura del �ujoexterior y la distribución de presión sobre el cuerpo. En las �guras 1.2 y 1.3 se muestran dos casosen los que la capa límite, incapaz de afrontar el gradiente de presiones adverso impuesto por lacorriente exterior, se separa de la super�cie del cuerpo y modi�ca sustancialmente la soluciónexterior no viscosa. El resultado, a primera vista paradójico, es que el cálculo del fallo de laaproximación de capa límite es el elemento más importante de la solución del problema obtenidocon esta aproximación.

Figura 1.4: Efecto del gradiente de presiones en la evolución de la capa límite.

El �ujo en la capa límite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que, o bienacelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dpe/dx < 0; due/dx > 0), o bien la frena(gradiente de presiones adverso: dpe/dx > 0; due/dx < 0). Particularizando la ecuación decantidad de movimiento (1.8) en la pared (y = 0) se tiene(

∂2u

∂y2

)y=0

=1

µ

dpedx

. (1.22)

Si el gradiente de presiones es nulo, el per�l de velocidades presenta un punto de in�exión enla pared como se muestra en la �gura 1.4 (b). En la �gura 1.4 (a) se observa que este punto dein�exión desaparece cuando el gradiente de presiones es favorable dpe/dx < 0. Si en cambio la

capa límite se encuentra con gradientes de presiones adversos (dpe/dx > 0), el signo de ∂2u∂y2 debe

cambiar entre la pared y el exterior de la capa límite, por lo que habrá al menos un punto dein�exión en el interior del �uido como se observa en las �guras 1.4 (c), (d) y (e). Esto hace a lacapa límite más susceptible de volverse inestable, porque un punto de in�exión de la velocidaddentro del �uido equivale a un valor extremo de la vorticidad (ω ' −∂u

∂y ) a una cierta distancia dela pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante una distancia su�ciente, se alcanza


un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, como se muestra en la �gura 1.4(d),

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= 0. (1.23)

El punto sobre la super�cie del cuerpo en el cual se alcanza (1.23) recibe el nombre de punto de

separación o desprendimiento de la capa límite, y es de gran relevancia para el estudio de �ujosa altos números de Reynolds. En la en la �gura 1.4 (e) la corriente ya está desprendida.

Conviene resaltar que la posición del punto de separación es independiente del número deReynolds (en tanto en cuanto la capa límite se mantenga laminar), y únicamente depende de laforma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones de capa límite mostradaanteriormente.

Cuando la capa límite se desprende (véase �guras 1.2 y 1.3), la diferencia de presiones entreaguas arriba y aguas abajo del cuerpo (en la zona desprendida) es del orden de ρU2, y la fuerzade resistencia del cuerpo es del orden de esta diferencia de presiones por el área frontal del cuerpoAF . Esta es la denominada resistencia de forma DF

DF ∼ ρU2AF . (1.24)

Esta resistencia de forma no depende de la viscosidad, pero sin embargo está originada porella, ya que la determinación del punto de separación depende de la viscosidad. Pero los efectosviscosos también tienen una contribución directa a la fuerza de resistencia ya que, al ser losefectos viscosos importantes en la capa límite, estos ejercerán un esfuerzo de fricción sobre lapared y por tanto proporcionan también una contribución a la resistencia, que denominaremosde fricción DV . Esta resistencia es del orden del esfuerzo en la pared τp por el área del cuerpomojada por el �uido Am.

El esfuerzo de fricción en la pared está dado por

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

, (1.25)

y cuyo orden de magnitud es

τp ∼ µU

δ∼ ρU2

√Re

, (1.26)

de modo que la fuerza de fricción es del orden

DV ∼ τpAm ∼ρU2Am√

Re. (1.27)

La relación entre la resistencia de forma y la de fricción es

DV

DF∼ AmAF

1√Re

. (1.28)

Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza de resistenciaejercida sobre un cuerpo romo (Am ∼ AF ) es mucho menor que la resistencia de forma.

En el caso particular de un cuerpo aerodinámico en el que la corriente está adherida (véase�gura 1.1), la resistencia es prácticamente debida a la viscosidad. Si se compara la resistencia,por unidad de longitud, del per�l de la �gura 1.1, que es del orden de

DP ∼ρU2c√Re

, (1.29)


con la resistencia, también por unidad de longitud, del cilindro de la �gura 1.2, del orden de

DC ∼ ρU2R, (1.30)

es necesario que la cuerda c del per�l sea√Re veces el radio R del cilindro.

1.2.5. Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite

Como se ha visto anteriormente, cuando el gradiente de presiones es adverso, la capa límitese puede separar de la super�cie del cuerpo, alterando signi�cativamente la solución exterior ycon ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy e�caz de evitar, o al menosretrasar, el desprendimiento de la capa límite consiste en succionar a través de la pared la capalímite más próxima a ella, en la cual las velocidades son bajas y, por tanto, más sensible a losgradientes de presión adversos.

Figura 1.5: Canal convergente divergente. En la foto

superior se muestra el chorro desprendido. En la foto in-

termedia hay una succión en la pared superior. En la foto

inferior hay succión en ambas paredes.

Si en la pared hay una velocidad normal vsdistinta de cero (debida a la succión o al so-plado) la ecuación de cantidad de movimiento(1.8) particularizada en la pared (y = 0) tomala forma

µ

(∂2u

∂y2

)y=0

=dpedx

+ ρvs

(∂u

∂y

)y=0

. (1.31)

En la ecuación (1.31) puede observarse que lavelocidad vs hace el mismo papel que un gra-diente adverso de presiones si es positiva (so-plado), mientras que si es negativa (succión)hace el papel de un gradiente favorable. Así,si se tiene un gradiente adverso de presionesy una velocidad de succión adecuada, puedeconseguirse que la capa límite no se despren-da..

En la �gura 1.5 (debida a Prandtl) semuestra un canal convergente divergente. Lacorriente se desprende en forma de chorro acausa del gradiente adverso de presiones en laparte divergente, como puede observarse en lafoto superior de la �gura. Cuando se introdu-ce una succión en una de las paredes (foto in-termedia) la corriente queda adherida a ella yse desprende de la otra. Cuando la succión serealiza en ambas paredes, la corriente se que-da adherida y sólo se desprende aguas abajocuando desaparece la succión.


1.3. Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius

El ejemplo más sencillo de capa límite laminar es el correspondiente a la capa que se formasobre una placa plana semiin�nita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme de valorU . Al igual que se ha venido haciendo en los apartados anteriores, se va a suponer que la densidady la viscosidad del �uido son constantes.

La solución correspondiente a las ecuaciones de Euler, que determinan la corriente exterior

es trivial ya que el �ujo ideal no resulta afectado por la presencia de la placa, de modo que lasolución es

u = U, v = 0, p = p∞. (1.32)

Figura 1.6: Flujo incompresible alrededor de una placa

plana a ángulo de ataque nulo y a un Reynolds de 104.

Este resultado concuerda bastante biencon lo observado en la realidad. en la �gura1.6 se muestra el �ujo alrededor de una placaplana de longitud �nita y a un número de Rey-nolds elevado. Las líneas de corriente casi no sede�ectan a su paso por la placa. Tan sólo muycerca de la placa aparece una zona afectadaque resulta ser muy delgada en comparacióncon la longitud de la placa: Estas zonas sonlas capas límites que se forman sobre ambascaras de la placa.

El movimiento dentro de estas capas lími-tes viene descrito por la ecuación (1.16) perosin gradiente de presiones, ya que la presiónexterior es pe = p∞, de modo que la ecuaciónqueda

ΨyΨxy −ΨxΨyy = νΨyyy, (1.33)

con las condiciones de contorno

x = 0 : Ψy = U ; y = 0 : Ψ = Ψy = 0; y →∞ : Ψy = U. (1.34)

El problema planteado no admite solución analítica, pero puede simpli�carse considerable-mente viendo que la ecuación y condiciones de contorno admiten solución de semejanza. Enefecto, la ecuación (1.33) y las condiciones (1.34) pueden reescribirse en la forma

∂ (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

∂2 (Ψ/√ν)

∂x∂ (y/√ν)− ∂ (Ψ/

√ν)

∂x

∂2 (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

2 =∂3 (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

3 , (1.35)

x = 0 :∂ (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

= U ;y√ν

= 0 :Ψ√ν

=∂ (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

= 0;y√ν→∞ :

∂ (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

= U,

(1.36)de modo que la solución es de la forma

Ψ√ν

= F

(x,

y√ν, U

), (1.37)

y el análisis dimensional proporciona

Ψ√2νUx

= f

(y

√U

2νx

), (1.38)


donde el factor numérico 2 se ha introducido por conveniencia. Llamando

η = y

√U

2νx, (1.39)

la solución es de la forma

Ψ =√

2νUx f (η) ; u = U f′(η) ; v =

√νU

2x

(ηf′ − f

). (1.40)

Sustituyendo el valor de Ψ, dado en (1.38), en función de η, dado en (1.39), en la ecuación(1.34) se obtiene la ecuación diferencial

d3f

dη3+ f

d2f

dη2= 0, f (0) = f

′(0) = 0, f

′(∞) = 1. (1.41)

Figura 1.7: Solución de semejanza de Blasius para la capa límite sobre una placa plana semiin�nita alineada

con una corriente uniforme.

La solución de este problema diferencial no lineal, que ha de obtenerse numéricamente, resultaser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno aparece parámetroalguno. La solución de este problema fue dada por Blasius en 19084 . En la �gura 1.7 se muestrala solución de (1.41) donde puede observarse que el valor de f

′′(0) = 0,4696 y que el valor de

limη→∞

[η − f (η)] = 1,217. Estos valores se utilizarán a continuación.

Conocida la solución, se puede determinar el espesor de desplazamiento

δ∗ (x) =

ˆ ∞0

(1− u

U

)dy =

√2νx

U

ˆ ∞0

(1− f ′

)dη =

√2νx

U[η − f ]η→∞ =

1,721 x√Rex

, (1.42)

4Paul Richard Heinrich Blasius (1883 � 1970). �THE BOUNDARY LAYERS IN FLUIDS WITH LITTLEFRICTION�, NACA-TM-1256 (1950), traducción inglesa de �Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung�,Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 56, Heft 1, 1908.


donde Rex = Ux/ν. El esfuerzo de fricción que el �uido ejerce sobre la placa, que en este casoes el único responsable de la fuerza sobre el cuerpo, se obtiene de

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= µU

√U

2νxf′′

(0) =0,4696√

2µU

√U

νx=

0,332ρU2

√Rex

, (1.43)

que puede expresarse en forma del coe�ciente de fricción local

cf =τp

12ρU

2=

0,664√Rex

. (1.44)

El lector puede mostrar que el espesor de cantidad de movimiento es

δ∗∗ =0,664x√Rex

. (1.45)

En el caso en que la placa plana sea de longitud �nita L, los resultados obtenidos siguensiendo válidos para x < L.

1.3.1. Succión/soplado

La capa límite de una placa plana con succión o soplado sigue siendo autosemejante si lavelocidad de succión/soplado es de la forma

vy=0 = v∗ωU

√ν

Ux, (1.46)

donde v∗ω es el parámetro adimensional de succión/soplado constante. En estas condiciones,la ecuación a resolver sigue siendo la ecuación (1.41), donde hay que cambiar la condición decontorno f (0) = 0 por la condición f (0) = −

√2v∗ω, ya que en este caso la velocidad (v)y=0 =√

νU2x

(η dfdη − f

)η=0

= −√

νU2x f (0).

Figura 1.8: Solución de semejanza de las ecuaciones de

la capa límite sobre una placa plana, a través de la cual se

aplica una succión/soplado de la forma vy=0 = v∗ωU√

νUx

.

A diferencia de la solución de Blasius queestá libre de parámetros, en el caso de suc-ción/soplado hay un parámetro libre v∗ω. En la�gura (1.8) se muestran varias soluciones ob-tenidas para diferentes valores de este paráme-tro. Para valores negativos de v∗ω, que corres-ponden a la succión y es equivalente a un gra-diente favorable de presiones, se puede ver quela capa límite se vuelve más delgada. Apar-te de hacer que ésta se vuelva más robustafrente al fenómeno de separación, el estrecha-miento tiene el efecto, a veces no deseable, deaumentar el esfuerzo de fricción en la pared(τp = µ (du/dy)y=0) por ser mayor el gradien-te de velocidad. En el extremo opuesto, paravalores positivos de v∗ω, equivalente a un gra-diente adverso de presión, que corresponden alsoplado, se puede ver en la �gura (1.8) que la

capa límite se vuelve más gruesa y aparece un punto de in�exión en el per�l de velocidades


longitudinales u, lo que hace que la capa límite sea menos robusta frente a la transición a laturbulencia. Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción enla pared disminuyen. Si el soplado es lo su�cientemente intenso, es posible llegar a anular el valorde τp, lo que provoca la separación de la capa límite. Esto sucede para el valor crítico v∗ω = 0,619.

1.4. Soluciones de Falkner-Skan

Figura 1.9: Con�guración de una cuña y su corriente

exterior.

Para determinadas soluciones de velocida-des de deslizamiento ue (x), y por tanto de pre-siones exteriores pe (x), es posible seguir en-contrando soluciones de semejanza de las ecua-ciones de la capa límite. Estas soluciones, des-cubiertas por Falkner y Skan en 1931, y poste-riormente calculadas numéricamente por Har-tree en 1937, representan las capas límites quese forman sobre cuñas como la representadaen la �gura 1.9. El �ujo potencial alrededorde una cuña de ángulo πβ da lugar a una dis-tribución de velocidades de deslizamiento a lolargo de la pared de la forma

ue (x) = Axm, (1.47)

donde el exponente m y el ángulo β de la cuña están relacionados mediante la expresión

β =2m

m+ 1. (1.48)

Figura 1.10: Con�guracio-nes límites correspondientes

a una placa plana y a un

punto de remanso.

Cuando m = 0 es β = 0 y el ángulo de la cuña es nulo y de laecuación (1.47) se obtiene ue (x) = A = constante, que es la corrienteexterior a una placa plana. Cuandom = 1 se tiene β = 1 y el ángulo dela cuña es π y la velocidad exterior es ue (x) = Ax , que corresponde ala corriente en el entorno de un punto de remanso (véase �gura 1.10).

De acuerdo con (1.47), el gradiente de presiones está dado por

1

ρ

dpedx

= −ueduedx

= −mu2ex, (1.49)

de modo que es favorable cuando m > 0 y adverso cuando m < 0.El gradiente de presiones es favorable cuando 0 ≤ m ≤ ∞ lo que im-plica 0 ≤ β ≤ 2. Cuando −∞ ≤ β ≤ 0 se tiene −1 ≤ m ≤ 0 y elgradiente de presiones es adverso pero, como se verá más adelante,no existe solución cuando β = −0,1988 que corresponde al desprendi-

miento (m = −0,09043).Utilizando el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa límite sobre una

cuña admite solución de semejanza en términos de las variables

η = y

√ue (x)

(2− β) νx, Ψ =

√(2− β) νxue (x) f (η) . (1.50)


Las componentes de la velocidad son

u = ue (x) f (η) ; v =

√νue (x)

(2− β)x

[(1− β) η

df

dη− f (η)

], (1.51)

donde la expresión de Ψ (dada en (1.50)) y la de v (dada en (1.51)) coinciden con los respectivosvalores de la solución de Blasius, dados en (1.40), cuando β = 0.

Sustituyendo las variables (1.50), junto con (1.49) en la ecuación (1.16) se obtiene el siguienteproblema para la función f (η)

d3f

dη3+ f

d2f

dη2+ β

[1−

(df

dη

)2]

= 0, f (0) = f′(0) = 0, f

′(∞) = 1. (1.52)

Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa límite sobre unaplaca plana, y de hecho se reduce a él en el caso β = 0. Al igual que sucede con la ecuaciónde Blasius, la solución de (1.52) ha de obtenerse numéricamente, aunque en este caso habrá quecalcular toda una familia de soluciones en función del parámetro β.

Una vez conocida la función f (η), se puede determinar el esfuerzo en la pared y los distintosespesores de la capa límite. El esfuerzo en la pared es

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= ρu2e (x) f′′

(0, β)

√m+ 1

2Rex, (1.53)

donde Rex = xue(x)ν es el número de Reynolds basado en la distancia x a lo largo de la pared y

en la velocidad exterior ue (x) dada en (1.47). El coe�ciente de fricción es

cf (x) =τp

12ρu

2e (x)

=

√2 (m+ 1)

Rexf′′

(0, β) =2f′′

(0, β)√(2− β)Rex

. (1.54)

El espesor de desplazamiento está dado por

δ∗ = x

√2− βRex

{limη→∞

[η − f (η)]

}, (1.55)

y el de cantidad de movimiento por

δ∗∗ = x

√2− βRex

f′′

(0, β)− β limη→∞

[η − f (η)]

1 + β

. (1.56)

Como puede observarse en las ecuaciones (1.54), (1.55) y (1.56) además de conocer la soluciónf (η), son necesarios los valores de f

′′(0, β) y de lim

η→∞[η − f (η)] para poder determinar el coe-

�ciente de fricción y los espesores de la capa límite. En la Tabla 1.1 se dan los valores de estasmagnitudes en función de β.

En la �gura 1.11 se recogen varios per�les de velocidad (f′(η, β) para diferentes valores de

β. Tal como se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre elcomportamiento de la capa límite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientesde presión favorables, hacen que la capa límite se vuelva más delgada y dan lugar a per�les develocidades carentes de punto de in�exión. En cambio, valores negativos de β, que se correspondencon gradientes de presión adversos, hacen que el per�l de velocidades longitudinales u presente unpunto de in�exión, lo cual hace a la capa límite más susceptible a volverse inestable. Finalmente,para el valor especial de β = −0,198 el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de lapared.


Figura 1.11: Per�les de velocidad de Falkner-Skan en función de β.

1.5. Capa límite térmica

β f′′

(0, β) limη→∞

[η − f (η)]

-0.198 0 2.3587

-0.15 0.2166 1.6467

-0.05 0.4004 1.3125

0 0.4696 1.2169

0.05 0.5312 1.1418

0.1 0.5871 1.0803

0.2 0.6868 0.9840

0.4 0.8545 0.8527

0.6 0.9959 0.7641

0.8 1.1203 0.6988

1 1.2326 0.6481

1.25 1.3603 0.5980

1.5 1.4772 0.5582

1.75 1.5857 0.5253

2 1.6872 0.4978

Cuadro 1.1: Valores de las constantes

determinadas de la solución.

Considerando el �ujo bidimensional e incompresible, co-mo hasta ahora, la ecuación de la energía es

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= k

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)+ Φv, (1.57)

donde c es el calor especí�co del líquido, k su conductividadtérmica y Φv la disipación viscosa.

En un movimiento a altos números de Reynolds, se havisto que los efectos viscosos son despreciables en la mayorparte del campo �uido, excepto en una capa delgada cercanaa la pared (capa límite) donde los efectos viscosos y convec-tivos son del mismo orden, para poder imponer la condiciónde contorno de velocidad nula relativa a la pared . En el casode la ecuación de la energía sucede algo similar con la tempe-ratura: hay que imponer la condición de que la temperaturade la pared y del �uido coinciden, y esto no es posible si nocuentan la conductividad térmica. Los efectos de conducciónquedan relegados a una capa delgada denominada capa lí-mite térmica de espesor δT � ` si el producto del númerode Reynolds por el de Prandtl es grande frente a la unidad.Para la obtención del orden de magnitud de la capa límite


térmica, se estima el orden de cada uno de los términos de la ecuación (1.57)

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)ρcU∆T

`∼ ρcvc∆T

δ

= k

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)k∆T`2� k∆T

δ2T

+ Φv

µ(Uδ )2, (1.58)

donde los dos términos convectivos son del mismo orden como consecuencia de (1.2). El términomás importante de la disipación viscosa es µ (∂u/∂y)2, de ahí el orden de magnitud µ (U/δ)2 dela ecuación (1.58). Si se compara el término más importante de la conducción k∆T/δ2T con eltérmino convectivo ρcU∆T/`, el orden de magnitud de δT es

δT`∼

√k

ρcU`∼

√k

µc

µ

ρU`∼ 1√

RePr, (1.59)

donde Pr = µc/k es el número de Prandtl. Al producto Pe = RePr se le denomina número dePeclet. El orden de magnitud de la disipación viscosa comparado con el término de conducción(o el convectivo, ya que ambos son del mismo orden) es

µU2/δ2

k∆T/δ2T∼ µc

k

U2

c∆T

(δTδ

)2

∼ U2

c∆T. (1.60)

El cociente U2/c∆T es, para los líquidos, un número muy pequeño frente a la unidad5. La relaciónentre el espesor de la capa límite térmica y la viscosa es

δTδ∼ 1√

Pr, (1.61)

de modo que si el número de Prandtl es de orden unidad, como ocurre en el caso de los gases, losespesores de ambas capas son del mismo orden. Cuando el número de Prandtl es muy grande,lo que ocurre en líquidos en los que la viscosidad cinemática, ν = µ/ρ, es mucho mayor que ladifusitividad térmica, α = k/ρc, la relación (1.61) indica que el espesor de la capa térmica esmucho menos que el de la viscosa. Lo que ocurre físicamente es que al ser ν � α, la capacidaddel �uido para transportar cantidad de movimiento es mucho mayor que para transportar calor,por lo que los efectos viscosos asociados a la presencia de la pared penetran en el �uido unadistancia mucho mayor que los térmicos, asociados también a la presencia de la pared. Dado queδT � δ, la velocidad en la capa límite térmica no es del orden de U , sino que es del orden deUy/δ ∼ UδT /δ y en ese caso la estimación de δT dada en (1.59) no es correcta, ya que el términoconvectivo sería del orden de ρU (δT /δ) c∆T/` y el de conducción del orden de k∆T/δ2T , y surelación, que debe ser de orden unidad, proporciona

ρUcδ3Tk`δ

∼ 1, ⇒(δT`

)3

∼ Re−3/2Pr−1, δTδ∼ Pr−1/3. (1.62)

En el caso contrario, cuando el número de Prandtl sea mucho menor que la unidad, lo quecorresponde al caso de metales líquidos, se obtiene el resultado opuesto. En este caso, Pr � 1, alser δT � δ, la capa límite térmica está prácticamente toda ella en la región no viscosa, de modoque la velocidad puede aproximarse por ue.

5Con una diferencia de temperaturas de 10 K, el denominador es del orden de 104 (m/s)2, mientras que lasvelocidades en los líquidos son del orden del m/s, de modo que este número es del orden de 10−3 ó 10−4.


El �ujo de calor en la pared dado por qp = −k (∂T/∂y)y=0, es del orden qp ∼ k∆T/δT , de

modo que el número de Nusselt Nu = qp`/k∆T ∼ `/δT ∼√RePr salvo en el caso en que δT � δ

, para el que se obtiene Nu ∼ Re1/2Pr1/3.Resumiendo lo anterior, la ecuación de la energía en la capa límite térmica se reduce a

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= k

∂2T

∂y2, (1.63)

a integrar con las condiciones de contorno

T = Tp en y = 0; T = Te en y →∞; T = Ti (y) en x = 0. (1.64)

La condición de contorno en y = 0 se sustituye por ∂T/∂y = 0, si la pared está aislada térmica-mente.

1.5.1. Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corrienteuniforme

Si se considera el problema de Blasius en el que la corriente uniforme U está a la temperaturaT∞ y la placa a la temperatura Tp, sigue existiendo solución de semejanza y la ecuación de laenergía (1.63) puede escribirse en la forma

d2θ

dη2+ Pr f (η)

dθ

dη= 0, (1.65)

donde

θ =T − T∞Tp − T∞

, (1.66)

y tanto η como f (η) son las dadas en (1.39) y (1.38) respectivamente. Las condiciones de contornopara la ecuación (1.65) son θ (0) = 1 y θ (∞) = 0. La solución al problema planteado es debidaa Pohlhausen (1921)

θ =

´∞η

{exp

(−Pr

´ η0 fdη

)}dη´∞

0

{exp

(−Pr

´ η0 fdη

)}dη, (1.67)

con (dθ

dη

)η=0

= −{[ˆ ∞

0exp

(−Pr

ˆ η

0fdη

)]dη

}−1, (1.68)

que permite determinar el �ujo de calor en la placa, que está dado por

qp = −k(dT

dy

)y=0

= −k (Tp − T∞)

√U

2νx

(dθ

dη

)η=0

, (1.69)

que en forma adimensional es

Nu =qp x

k (Tp − T∞)= −

√1

2Rex

(dθ

dη

)η=0

, (1.70)

donde Nu es el número de Nusselt y Rex = Ux/ν.En la Tabla 1.2 se dan los valores de − (dθ/dη)η=0 en función del número de Prandtl, y que

son necesarios para determinar el número de Nusselt. En el rango de valores de 0,1 ≤ Pr ≤ 10000el número de Nusselt puede aproximarse por la relación

Nu = 0,332Re1/2x Pr1/3. (1.71)


Figura 1.12: Distribuciones de temperatura adimensional para distintos valores del número de Prandtl.

Pr −(dθdη

)η=0

Pr −(dθdη

)η=0

0.001 0.0245 1 0.4696

0.01 0.0730 10 1.0297

0.03 0.1195 100 2.2231

0.1 0.1981 1000 4.7899

0.3 0.3037 10000 10.320

Cuadro 1.2: Valores de (dθ/dη)η=0 en función del nú-

mero de Prandtl.

En la �gura 1.12 se muestra la distribuciónde temperaturas en función de η, para diferen-tes valores del número de Prandtl.

1.5.2. Capa límite térmica sobre una cuña

En el caso de las soluciones de semejanza de Falkner-Skan, también existe solución de seme-janza para la ecuación de la energía, que sigue siendo la misma dada en (1.65) y con las mismascondiciones de contorno, pero para este caso el número de Nusselt está dado por

Nu = G (Pr, β)

√2xue (x)

(2− β) ν, (1.72)

siendo

G (Pr, β) =

{[ˆ ∞0

exp

(−Pr

ˆ η

0fdη

)]dη

}−1, (1.73)

que también puede escribirse en la forma

Nu =qp x

k (Tp − T∞)= −

√Rex

2− β

(dθ

dη

)η=0

. (1.74)


Cuadro 1.3: Valores de − (dθ/dη)η=0 en función de β y del número de Prandtl.

Recuérdese que η y f (η, β) están de�nidas en (1.50) y que Rex es aquí Rex = xue (x) /ν.En la Tabla 1.3 se muestran los valores de (dθ/dθ)η=0 en función de β y del número de

Prandtl, que determinan el número de Nusselt (1.74).

1.6. Capa límite bidimensional compresible y estacionaria

Los órdenes de magnitud estimados para las ecuaciones del �ujo incompresible en la capalímite, siguen siendo válidos para el caso compresible, sin embargo se van a incluir los términoscorrespondientes a las fuerzas másicas ~fm que son importantes cuando se quiere estudiar laconvección libre. Las ecuaciones son

∂ (ρu)

∂x+∂ (ρv)

∂y= 0, (1.75)

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −∂p

∂x+ ρfmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

), (1.76)

0 = −∂p∂y

+ ρfmy, (1.77)

ρu∂h0∂x

+ ρv∂h0∂y

=∂

∂y

(k∂T

∂y

)+

∂

∂y

(µu∂u

∂y

)+ ρufmx, (1.78)

donde h0 = h + 12

(u2 + v2

)≈ h + 1

2u2 es la entalpía de remanso y h = cpT la entalpía. Las

componentes de las fuerzas másicas según los ejes x e y son fmx y fmy respectivamente.Si se descompone la presión en dos sumandos p = ph+pm, uno ph debido al campo hidrostático

(∇ph = ρ∞ ~fm), que corresponde al campo de presiones de un medio en reposo con densidad ρ∞constante, y la otra pm asociada al movimiento, la ecuación (1.76) puede reescribirse en la forma

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −∂pm

∂x+ (ρ− ρ∞) fmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

), (1.79)

mientras que la ecuación (1.77) se reduce a

0 = −∂pm∂y

+ (ρ− ρ∞) fmy. (1.80)


En esta última ecuación, el incremento transversal de pm es: ∆ypm ∼ (ρ− ρ∞) fmyδ; mientrasque de (1.79) se obtiene: ∆xpm ∼ (ρ− ρ∞) fmx`

6. La relación entre ambos incrementos de presiónes ∆ypm/∆xpm ∼ δ/` � 1 y en primera aproximación la ecuación (1.80) se reduce a decir quela presión pm no varía con y, de modo que pm = pme (x). La ecuación (1.79) toma la forma �nal

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −dpme

dx+ (ρ− ρ∞) fmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

). (1.81)

Las condiciones de contorno para integrar las ecuaciones (1.75), (1.78) y (1.81) son

En y = 0 : u = 0; v = 0 (o v = vs si hay succion/soplado); h0 = hp (o∂T

∂y= 0 si pared aislada),

(1.82)En y →∞ : u = ue (x) ; h0 = h0e, (1.83)

En x = 0 : u = ui (y) ; h0 = hoi, (1.84)

donde vs es la velocidad de succión o soplado y hp es la entalpía a la temperatura de la pared.La velocidad ue y la entalpía de remanso h0e en la corriente exterior satisfacen las ecuaciones

ρeueduedx

= −dpmedx

+ (ρe − ρ∞) fmx, (1.85)

ρeuedh0edx

= ρeuefmx. (1.86)

La importancia relativa de las fuerzas de �otabilidad (ρe − ρ∞) fmx frente a los de inercia enla ecuación (1.81) viene dada por el número adimensional

(ρ− ρ∞) fmx`

ρ∞u2e∼ [(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`

3

ν2

(ν

ue`

)2

∼ Gr

Re2, (1.87)

donde Gr = [(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`3/ν2 es el número de Grashof.7 Las fuerzas de �otabilidad son

despreciables y la convección se denomina forzada cuando Gr/Re2 � 1, y en este caso las fuerzasmásicas no juegan ningún papel. Por el contrario, cuando ue �

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞ las fuerzas

de �otabilidad son dominantes y son las responsables del movimiento del �uido. En este casola velocidad en la capa límite no es del orden ue, sino que es del orden de

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞.

Para que exista capa límite es necesario que el Reynolds basado en la longitud característica `sea alto, pero dado que la velocidad característica no es ue sino que es

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞, el

número de Reynolds es

`√

(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞ν

∼√

[(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`3

ν2∼√Gr, (1.88)

y el espesor de la capa límite es δ/` ∼ Gr −1/4. Cuando esto ocurre la convección se denominalibre o natural.

6El término de presiones es del orden citado si la convección natural es importante. En ese caso la velocidadcaracterística sería tal que ρu2

c ∼ (ρ− ρ∞) fmx` y el espesor de la capa límite viscosa es del orden de

δ

`∼ 1√

Re∼√√√√√ µ

ρ`

√∣∣∣ ρ−ρ∞ρ ∣∣∣ fmx` � 1.

7La de�nición clásica del número de Grashof es

Gr =β∆T fm`

3

ν2,

donde se ha sustituido [(ρ− ρ∞) /ρ∞] = −β∆T , siendo β el coe�ciente de expansión térmica.


1.6.1. Convección forzada. Temperatura de recuperación

Como se ha visto, en la convección forzada los efectos de las fuerzas másicas son despreciables.La ecuación (1.78) de la energía puede eliminarse el trabajo de las fuerzas másicas y escribirseen la forma

ρu∂h0∂x

+ ρv∂h0∂y

=∂

∂y

(µ∂h0∂y

)+

1− PrPr

∂

∂y

[µ∂

∂y

(h0 −

1

2u2)]

, (1.89)

donde Pr = µcp/k es el número de Prandtl. Cuando el número de Prandtl es igual a la unidad,la ecuación (1.89) anterior toma la forma simpli�cada

ρu∂h0∂x

+ ρv∂h0∂y

=∂

∂y

(µ∂h0∂y

). (1.90)

Cuando la pared está aislada térmicamente, la condición de �ujo de calor nulo en la pared setraduce en (∂h0/∂y)y=0 = 0, ya que [u (∂u/∂y)]y=0 = 0 por ser u (x, 0) = 0. La solución de (1.90)con las condiciones (∂h0/∂y)y=0 = 0 y (h0)y→∞ = h0e es h0 = h0e. Esto signi�ca que la entalpíaa la temperatura de la pared coincide con la entalpía de remanso de la corriente exterior, quetraducido a temperaturas es

Tp = T0e = Te

(1 +

γ − 1

2M2e

), (1.91)

donde Te (x) es la temperatura y Me (x) el número de Mach de la corriente exterior.Debido a que el número de Prandtl es un poco menor que la unidad, la ecuación (1.89) indica

que la temperatura de la pared va a ser un poco menor que la de remanso exterior

Tp = Te

(1 + <γ − 1

2M2e

), (1.92)

donde < es el factor de recuperación, función del número de Prandtl, que es menor que la unidadpero próximo a uno. El factor de recuperación es una medida del incremento de temperatura dela pared con respecto a la temperatura de la corriente exterior debido al término dinámico, yaque (1.92) puede también escribirse en la forma Tp − Te = <

(u2e/2cp

).

El factor de recuperación para una capa límite laminar sin gradiente de presiones varíaaproximadamente como < ≈

√Pr y apenas varía con el número de Mach (véase Shapiro, 1954,

p 1056). Cuando la capa límite es turbulenta el factor de recuperación puede aproximarse por< ≈ 1− 66 (1− Pr) cf , donde cf es el coe�ciente de fricción (véase Shapiro, 1954, p 1099).

1.6.2. Convección forzada. Analogía de Reynolds

En la capa límite de una placa plana la corriente exterior es uniforme, de modo que ue esconstante, lo mismo que la presión y la temperatura. Por lo tanto dpe/dx = 0 y h0e también esconstante. Si la placa está a temperatura constante Tp (hp = cpTp) y si el número de Prandtl esla unidad, la ecuación (1.90) de la energía puede escribirse en la forma

ρu∂θ

∂x+ ρv

∂θ

∂y=

∂

∂y

(µ∂θ

∂y

), (1.93)

donde

θ =h0 − hph0e − hp

. (1.94)


Las condiciones de contorno para la ecuación (1.93) son

θ = 0 en y = 0; θ = 1 en y →∞. (1.95)

La ecuación de cantidad de movimiento (1.76) sin gradiente de presiones y utilizando lavariable χ = u/ue, toma la forma

ρu∂χ

∂x+ ρv

∂χ

∂y=

∂

∂y

(µ∂χ

∂y

), (1.96)

que debe integrarse con las condiciones

χ = 0 en y = 0; χ = 1 en y →∞. (1.97)

Como puede verse, la ecuación (1.93) y las condiciones de contorno (1.95) para θ son idénticasa la ecuación (1.96) y a las condiciones de contorno (1.97) para χ . Como consecuencia lassoluciones deben ser θ (x, y) ≡ χ (x, y).8

El �ujo de calor en la placa está dado por

qp = −k(∂T

∂y

)y=0

= − kcp

(h0e − hp)(∂θ

∂y

)y=0

, (1.98)

mientras que el esfuerzo en la pared es

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= µue

(∂χ

∂y

)y=0

=1

2cfρeu

2e, (1.99)

donde cf es el coe�ciente de fricción.De la ecuación (1.98) se obtiene(

∂θ

∂y

)y=0

=cpqp

k (hp − h0e),

y de la ecuación (1.99) se tiene (∂χ

∂y

)y=0

=1

2cfρeueµ

,

y de la igualdad de ambas derivadas se deduce

1

2cf =

qpρeue (hp − h0e)

= St, (1.100)

donde St es el número de Stanton y donde se ha hecho uso de la igualdad Pr = µcp/k = 1.La analogía de Reynolds indica que el número de Stanton es igual a la mitad del coe�ciente defricción.9

El �ujo de calor en la pared toma la forma

qp =1

2cfρeue

(hp − he −

1

2u2e

). (1.101)

8También sería necesario que θi (y) ≡ χi (y).9Obsérvese que si la energía cienética es muy pequeña comparada con la térmica, el número de Stanton puede

escribirse como

St =qp

ρeue (hp − h0e)=

qp`

k (Tp − Te)k

µcp

µ

ρeue`=

Nu

PrRe,

de modo que el número de Nusselt es el producto del número de Stanton, por el Reynolds y por el Prandtl.


1.6.3. Convección libre

Al estudiar el equilibrio mecánico de un �uido en un campo gravitatorio, si la distribuciónde temperaturas no satisface determinadas condiciones, el equilibrio mecánico no es posible yaparecen corrientes en el �uido que tienden a mezclarlo, uniformizando la temperatura al au-mentar considerablemente la transferencia de calor. Esta situación, gobernada por las fuerzas de�otabilidad se denomina convección libre o natural. Cuando los efectos viscosos y de conducciónde calor quedan concentrados en capas delgadas (capa límite viscosa y térmica respectivamente),en el exterior de la capa viscosa la velocidad es prácticamente nula y la presión uniforme. Puestoque la presión se conserva igual a la exterior a través de la capa, los incrementos de presión sonnulos o muy pequeños frente a la propia presión. En estas condiciones, la diferencia de densidadeses proporcional a la diferencia de temperaturas, de modo que

ρ− ρ∞ρ∞

= −β (T − T∞) , (1.102)

donde β es el coe�ciente de expansión térmica, que para un gas perfecto es β = 1/T .El espesor de la capa límite térmica se estima de la ecuación (1.78) haciendo que el término

convectivo sea del mismo orden que el de conducción

ρuccp∆T

`∼ k∆T

δ2T, (1.103)

de modo que (δT`

)2

∼ k

µcp

ν

uc`∼ 1

Pr

1

Re. (1.104)

1.6.3.1. Número de Prandtl grande Pr � 1

Si el número de Prandtl es grande, la capa donde los efectos térmicos son apreciables espequeña frente a la capa viscosa, pero los efectos de �otabilidad son sólo importantes en estacapa, ya que en ella se producen los cambios de temperatura. De acuerdo con la ecuación decantidad de movimiento (1.81) el término de �otabilidad debe ser del orden del viscoso evaluadoen dicha capa térmica, esto es

β∆T fmx ∼νucδ2T

, (1.105)

lo que proporciona el valor característico de la velocidad

uc ∼ β∆T fmxδ2Tν, (1.106)

y sustituyendo el valor de δT dado en (1.104) se obtiene

uc ∼√β∆T fmx`

Pr. (1.107)

Sustituyendo el valor uc de (1.107) en (1.104) se obtiene el espesor de la capa límite térmica enla forma

δT`∼(

1

PrGr

)1/4

, (1.108)


donde el número de Grashof es Gr =(β∆T fm`

3)/ν2. El espesor de la capa límite viscosa es del

orden de 1/√Re, que con el valor de uc dado en (1.107), toma la forma

δ

`∼(Pr

Gr

)1/4

� δT`. (1.109)

Nótese que muy cerca de la pared, a distancias del orden de δT las fuerzas de inercia, del ordende ρu2c/` ∼ β∆T fmx/Pr, son despreciables frente a las de �otabilidad, del orden de β∆T fmx.

El �ujo de calor en la pared es

qp ∼ k∆T

δT∼ k∆T

`

`

δT∼ k∆T

`(PrGr)1/4 , (1.110)

de modo que el número de Nusselt es

Nu ∼ qp`

∆T∼ (PrGr)1/4 ∼ Ra1/4, (1.111)

donde Ra = PrGr es el numero de Rayleigh.

1.6.3.2. Número de Prandtl pequeño Pr � 1

Cuando el número de Prandtl es Pr � 1, la capa térmica es grande frente a la viscosa,de modo que la �otabilidad está actuando fuera de la capa viscosa. En este caso, el términoconvectivo y de �otabilidad son del mismo orden, de modo que

uc ∼√β∆T fm`, (1.112)

siendo el espesor de la capa viscosa δ/` ∼ (1/Gr)1/4 y el de la capa límite térmica del orden

δT /` ∼(

1/√Pr)

(1/Gr)1/4 � δ/`.

El �ujo de calor en la pared está dado por

qp ∼ k∆T

δT∼ k∆T

`

`

δT∼ k∆T

`Pr 1/2Gr 1/4, (1.113)

y el Nusselts es

Nu ∼ qp`

∆T∼ Pr 1/2Gr 1/4. (1.114)

1.6.3.3. Número de Prandtl de orden unidad Pr ∼ 1

Cuando el Prandtl es de orden unidad, la capa límite viscosa y térmica tienen espesorescomparables. En la ecuación de cantidad de movimiento los términos convectivo, �otabilidad yviscoso son del mismo orden, de modo que la velocidad característica es uc ∼

√β∆T fmx` y los

espesores son δ/` ∼ δT /` ∼ Gr −1/4. El �ujo de calor en la pared es qp ∼ k (∆T/`)Gr 1/4 y elnúmero de Nusselt es Nu ∼ Gr 1/4.

1.6.3.4. Ecuaciones

Las ecuaciones que gobiernan la capa bidimensional de convección libre de un �uido en tornoa un obstáculo , a temperatura diferente de la del medio, y en ausencia de convección forzadase obtienen a partir de la de continuidad (1.75), cantidad de movimiento (1.81) y de la energía(1.78). En esta última ecuación la disipación viscosa comparada con la conducción es del orden


de Pr u2c/cp∆T , que para números de Prandtl grandes se traduce en fmx`/ (cp/β) ∼ 10−4 � 1(para gases y mucho menor para líquidos) y para números de Prandtl pequeños o de ordenunidad es del orden de Pr fmx`/ (cp/β) � 1. Como consecuencia de ello, la disipación viscosaes despreciable. El trabajo de las fuerzas másicas comparado con la conducción es del orden defmx`/cp∆T que, para ` ∼ 1 m y ∆T ∼ 10 K, el cociente anterior es del orden de 10−3, quetambién es un número pequeño frente a la unidad y el trabajo de las fuerzas másicas también esdespreciable. La comparación entre la energía cinética y térmica por unidad de masa es del ordende u2c/cp∆T que, de acuerdo con lo expresado anteriormente, es muy pequeño y en la ecuaciónde la energía se puede suponer h0 ≈ h = cpT y, en el caso de los líquidos, el trabajo mecánicode la presión u (dpm/dx)también es despreciable. Si a todo lo anterior añadimos ∆T/T∞ � 1,la densidad de los gases se puede considerar constante, de modo que las ecuaciones se reducen a

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.115)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpmedx− β (T − T∞) fmx + ν

∂2u

∂y2, (1.116)

u∂ (T − T∞)

∂x+ v

∂ (T − T∞)

∂y= α

∂2T

∂y2, (1.117)

donde α = k/ρcp es la difusitividad térmica.

1.6.3.5. Placa plana vertical

En el caso de una placa plana vertical semi-in�nita dpme/dx = 0, y si la temperatura de laplaca varía de la forma

Tp (x)− T∞ = Axn,

existe solución de semejanza10 con las variables de semejanza

Ψ =[ν2gβAxn+3

]1/4f (η) ,

η = y

[gβAxn−1

ν2

]1/4,

θ (η) =T (x, y)− T∞Tp (x)− T∞

,

donde Ψ es la función de corriente. Con estas variables, las ecuaciones (1.115), (1.116) y (1.117)se reducen a

d3f

dη3+ (n+ 3) f

d2f

dη2− n+ 1

2

(df

dη

)2

+ θ = 0, (1.118)

1

Pr

d2θ

dη2+n+ 3

4fdθ

dη− nθ df

dη= 0, (1.119)

ecuaciones que hay que integrar con las condiciones de contorno

f (0) = f′(0) = 0 ; θ (0) = 1, (1.120)

f (∞) = 0 ; θ (∞) = 0. (1.121)

10También existe solución de semejanza cuando la temperatura de la placa es de la forma Tp (x)−T∞ = Aemx.

Capítulo 2

Introducción a los movimientosturbulentos

2.1. Origen de la turbulencia

En �ujos que originalmente son laminares, la turbulencia aparece a causa de inestabilidadesa altos números de Reynolds. El �ujo laminar en un tubo se hace turbulento cuando el númerode Reynolds (basado en la velocidad media y el diámetro del tubo) alcanza un valor próximo a2000. La capa límite laminar en una placa sin gradiente de presiones se hace turbulenta cuandoel número de Reynolds Uδ∗/ν ≈ 600, siendo δ∗el espesor de desplazamiento y U la velocidad dela corriente exterior a la capa límite.

Matemáticamente los detalles de la transición de �ujo laminar a turbulento no son bastantebien entendidos. Gran parte de la teoría de inestabilidad del �ujo laminar es teoría linealizada,válida para pequeñas perturbaciones, lejos de los altos niveles de �uctuación de un �ujo turbu-lento. Además, casi toda la teoría de �ujos turbulentos es teoría asintótica, bastante aproximadaa muy altos números de Reynolds, pero no lo es tanto y es incompleta a números de Reynoldsno tan altos.

Los experimentos muestran que la transición se inicia, normalmente, por un mecanismo pri-mario de inestabilidad que en casos sencillos es bidimensional. La inestabilidad primaria producemovimientos secundarios que generalmente son tridimensionales y ellos mismos se hacen inesta-bles. Una secuencia de esta naturaleza genera intensas perturbaciones tridimensionales y locali-zadas (los denominados �spots� turbulentos). Estos spots crecen rápidamente, mezclándose unoscon otros, formando un �ujo turbulento desarrollado. En otros casos la turbulencia se originapor inestabilidades que generan torbellinos los cuales se hacen, a su vez, también inestables.

Los �ujos turbulentos siempre aparecen a altos números de Reynolds, son tridimensionalescon altos niveles de �uctuación con torbellinos de amplios rangos de tamaño y frecuencia; ysiempre son disipativos. La turbulencia necesita un continuo aporte de energía.

2.2. Escalas de la turbulencia

Los torbellinos de tamaño más grande en un movimiento turbulento escalan con el tamañotransversal del �ujo. Con los tamaños y velocidades típicas de estos torbellinos el número deReynolds es muy alto y los efectos disipativos de la viscosidad no cuentan. Solamente en escalasmuy pequeñas y velocidades también pequeñas, generadas a causa de la no linealidad de lasecuaciones, los efectos viscosos pueden ser importantes para disipar la energía asociada a los

28

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS MOVIMIENTOS TURBULENTOS 29

torbelinos grandes.Los torbellinos más grandes están caracterizados por la velocidad ∆U y la longitud L tal

que el número de Reynolds (∆U)L/ν � 1. La frecuencia de estos torbellinos es fL ∼ ∆U/L.La energía, por unidad de masa y tiempo, asociada a estos torbellinos y que ha de disiparse esε ∼ (∆U)3 /L.

La energía se trans�ere a escalones intermedios de velocidad característica v` y tamaño ca-racterístico `, tales que `v`/ν � 1, además

v3``

∼(∆U)3

L→ v` ∼ ∆U

(`

L

)1/3

� ∆U,

y

f` ∼v``

∼∆U

L

(L

`

)2/3

∼ fL

(L

`

)2/3

� fL.

En la escala de Kolmogorov de velocidad vη y tamaño característico η, es donde se disipa laenergía, de modo que ηvη/ν ∼ 1. Además

vη ∼ ∆U( ηL

)1/3; fη ∼ fL

(L

η

)2/3

y, por lo tanto,ηvην

∼L∆U

ν

( vη∆U

)( ηL

)∼ Re

( ηL

)4/3∼ 1,

de modo queL

η∼ Re3/4; vη ∼ ∆U ×Re−1/4; fη ∼ fL ×Re1/2.

Si se quiere mallar un volumen de dimensión característica L y capturar la disipación viscosa,hay que hacer una malla de tamaño característico η (y con algo de resolución η/3). Por lo tantoel número de celdas será tal que

número de celdas ∼(L

η/3

)3

∼ 27

(L

η

)3

∼ 27×Re9/4.

Para un número de Reynolds del orden de 104 se obtiene un número de celdas del orden de 1010

(diez mil millones de celdas) y con Re ∼ 105 son necesarias del orden de varios billones de celdas.

2.3. Valores medios. Ecuaciones de Reynolds

En un movimiento turbulento, una magnitud �uida cualquiera ϕ (~x, t) se escribe en la forma:ϕ (~x, t) = Φ (~x, t) + ϕ′ (~x, t), donde Φ (~x, t) es el valor medio de ϕ (~x, t) y ϕ′ (~x, t) su �uctuación.Por de�nición ϕ′ = 0. El valor medio se de�ne como

Φ = ϕ =1

T

ˆ t+T/2

t−T/2ϕdt.

La energía cinética es

1

2vivi =

1

2(Vi + v′i)(Vi + v′i) =

1

2ViVi +

1

2v′iv′i = K + k,


donde K = 12ViVi es la energía cinética media y k = 1

2v′iv′i la energía cinética de las �uctuaciones

turbulentas.

La intensidad de la turbulencia es:√v′iv′i =√

2k; mientras que el nivel de turbulencia es:√v′iv′i√

ViVi=√

kK .

Para escribir la ecuaciones de Reynolds del movimiento de un �uido incompresible suponemos

vi = Vi + v′i ; p = P + p′ ; T = T + T ′.

2.3.1. Ecuación de la continuidad

La ecuación de la continuidad para los valores instantáneos, para un �uido incompresibe, es

∂vi∂xi

= 0,

y tomando valores medios se tiene

∂vi∂xi

=∂(Vi + v′i)

∂xi=∂Vi∂xi

= 0,

de modo que la ecuación de la continuidad es la misma para los valores medios que para losvalores instantáneos.

∂Vi∂xi

= 0. (2.1)

2.3.2. Ecuación de la cantidad de movimiento

Promediando la ecuación de cantidad de movimiento se obtiene

ρ∂Vi∂t

+ ρ∂ (ViVj)

∂xj= − ∂P

∂xi+

∂

∂xj

(µ∂Vi∂xj− ρv′iv′j

), (2.2)

donde el término v′iv′j proviene del promedio

vivj = (Vi + v′i)(Vj + v′j

)= ViVj + v′iv

′j .

A las cantidades −ρv′iv′j , que modi�can los esfuerzos viscosos µ∂Vi/∂xj , se les denominaesfuerzos aparentes de Reynolds y aparecen como nuevas incógnitas en las ecuaciones para de-terminar las magnitudes medias.

2.3.3. Ecuación de la energía

La ecuación de la energía, despreciando la disipación viscosa, toma la forma

ρc∂T

∂t+ ρc

∂(ViT

)∂xi

=∂

∂xi

(k∂T

∂xi− ρcT ′v′i

), (2.3)

donde el término T ′v′i proviene de promediar

viT = (Vi + v′i)(T + T ′

)= ViT + v′iT

′.

A la las cantidades −ρcT ′v′i se les denomina �ujo de calor aparente de Reynolds. Tambiénaparecen como nuevas incógnitas para la determinación del �ujo medio.


2.3.4. Ecuación de la energía cinética media y turbulenta

Para el caso estacionario, la ecuación (2.2) puede escribirse en la forma

ρVj∂Vi∂xj

=∂τij∂xj

, (2.4)

siendo τij = −Pδij + 2µSij − ρv′iv′j y con Sij = 1

2

(∂Vi∂xj

+∂Vj∂xi

). La ecuación para la energía

cinética media se obtiene multiplicando (2.4) por Vi, resultando

ρVi∂K

∂xi= Vi

∂τij∂xj

=∂ (Viτij)

∂xj− τij

∂Vi∂xj

,

pero

τij∂Vi∂xj

= τijSij = 2µSijSij − ρv′iv′jSij = Φv − ρv′iv′jSij ,

de modo que la ecuación para la energía cinética del movimiento medio queda

ρVi∂K

∂xi=∂ (Viτij)

∂xj+ ρv′iv

′jSij − Φv. (2.5)

La ecuación de la energía cinética turbulenta se obtiene promediando la ecuación de la energíacinética instantánea y restándole la energía cinética del movimiento medio (2.5). Se obtiene

ρVi∂k

∂xi=

∂

∂xi

(−p′v′i −

1

2v′iv′jv′j + 2µv′js

′ij

)− ρv′iv′jSij − 2µs′ijs

′ij , (2.6)

siendo s′ij = 12

(∂v′i∂xj

+∂v′j∂xi

).

En las ecuaciones (2.5 y 2.6) puede observarse el traspaso de energía desde la corriente media

−(−ρv′iv′jSij

)a los torbellinos de las escalas intermedias +

(−ρv′iv′jSij

). Esta energía es del

orden de ρε.

2.4. Viscosidad turbulenta

Para determinar las incógnitas que aparecen en las ecuaciones promediadas de Reynolds, sesupone que los esfuerzos aparentes de Reynolds son de la misma forma que los esfuerzos viscosos,pero con una viscosidad turbulenta νT , que hay que determinar; esto es

−v′iv′j = νTSij . (2.7)

Para la evaluación del �ujo de calor turbulento se tiene

−T ′v′i = αT∂T

∂xi, (2.8)

donde αT es la difusitividad térmica turbulenta. El número de Prandtl turbulento, PrT = αT /νT ,se toma con frecuencia igual a la unidad, de modo que αT ≈ νT . Tanto νT como αT tienendimensiones de velocidad por longitud, de modo que se trata de de�nir la velocidad y longitudapropiadas al movimiento turbulento, para obtener el valor de νT

νT = C × [V ]× [L] . (2.9)

La teoría del camino de mezcla de Prandtl es uno de los primeros intentos de la determinaciónde la viscosidad turbulenta,


2.4.1. Teoría del camino de mezcla de Prandtl

La teoría del camino de mezcla de Prandtl supone que la �uctuación ϕ′ de una magnitudmedia Φ está dada por

ϕ′ (y) ∼ Φ (y1)− Φ (y2) ∼ −∆y

(dΦ

dy

)y2

,

siendo ϕ = Φ + ϕ′, de esta forma se tiene

u′ ∼ −∆ydU

dy;√u′ 2 = `1

∣∣∣∣dUdy∣∣∣∣ ,

y en consecuencia

−u′v′ = −√u′ 2`2

dU

dy= `2

∣∣∣∣dUdy∣∣∣∣ dUdy ,

de modo que

−u′v′ = νTdU

dy,

siendo

νT = `2∣∣∣∣dUdy

∣∣∣∣ .La longitud ` depende del problema. Para �ujos cercanos a una pared suele ser la distancia a

la pared; para corrientes libres es el diámetro del chorro o la estela, etc. La hipótesis de semejanzade Kármàn proporciona una estimación de la longitud ` en la forma

` = κ

∣∣∣∣ dU/dyd2U/dy2

∣∣∣∣ ,donde κ ≈ 0,4.

2.4.2. Modelos de turbulencia

Los modelos de turbulencia utilizados en la práctica son los modelos algebraicos, en los quela viscosidad turbulenta se modeliza mediante ecuaciones algebraicas, por lo que no es necesariointegrar ninguna ecuación adicional. Están basados en la teoría de mezcla de Prandtl, pero muchomás elaborado. Uno de los más utilizado es el de Baldwing-Lomax.

Los modelos de una ecuación se caracterizan porque la velocidad típica es√k, la velocidad

asociada a la energía cinética turbulenta. En este caso νT = `√k, y la longitud ` se toma análoga

a la de los modelos algebraicos.. Estos modelos se denominan de una ecuación porque es necesariointegrar una ecuación diferencial adicional, la que proporciona k, que es una versión simpli�cadade la (2.6).

En los modelos de dos ecuaciones, el más popular es el denominado modelo k − ε. En estemodelo la velocidad es

√k y la longitud es k3/2/ε, de modo que

νT = Ck2

ε.

Estos modelos se caracterizan porque es necesario integrar dos ecuaciones diferenciales más, unapara la energía cinética turbulenta, k, y otra para la disipación, ε.

Los modelos anteriores suponen, en cada punto e instante, un valor único de νT , lo que presu-pone la no existencia de direcciones privilegiadas, lo que es válido para la viscosidad molecular,


pero no siempre lo es en los movimientos turbulentos. Como consecuencia de esto se empiezan autilizar otros tipos de modelos que de�nen un valor diferente de νT para cada esfuerzo.

Con la simulación directa de las ecuaciones no sería necesaria ninguna hipótesis sobre laturbulencia, pero eso implica llegar a tamaños como los de la escala de Kolmogorov, impracticabletodavía en aplicaciones industriales. Los modelos denominados �Large Eddy Simulation� (LES),representan un estado intermedio entre la simulación directa y los modelos clásicos de turbulencia.Se resuelve exactamente hasta las escalas más pequeñas que es posible numéricamente, que sonlas más afectadas por las condiciones de contorno, y se hacen hipótesis sobre las escalas menores.

2.5. Flujos turbulentos esbeltos

Consideremos el caso bidimensional estacionario de un líquido para el �ujo medio en el que lasvariables �uidas son U (x, y), V (x, y)) y P (x, y). Si el �ujo es esbelto supondremos que la longitudcaracterística, L, en la dirección del eje x es muy grande frente a la longitud característica, δ, enla dirección del eje y. La ecuación de la continuidad toma la forma

∂U

∂x+∂V

∂y= 0;

U

L∼V

δ; V ∼ U

δ

L� U.

La ecuación de cantidad de movimiento según el eje x es

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y︸︷︷︸+∂

∂x

(u′2)

︸︷︷︸+∂

∂y

(u′v′

)︸︷︷︸ = −1

ρ∂P∂x+ ν

∂2U

∂x2︸︷︷︸+ ν∂2U

∂y2︸︷︷︸U2

Lu′ 2

Lu′ 2

δνUL2

νUδ2

dado que δ � L, la ecuación anterior se reduce a

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y+

∂

∂y

(u′v′

)= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

∂2U

∂y2, (2.10)

donde u′v′ ∼ U2 (δ/L)� U2.La ecuación de cantidad de movimiento según y queda

U∂V

∂x+ V

∂V

∂y︸︷︷︸+∂

∂x

(u′v′

)︸︷︷︸+

∂

∂y

(v′2)

︸︷︷︸ = −1ρ∂P∂y + ν

∂2V

∂x2︸︷︷︸+ ν∂2V

∂y2︸︷︷︸V 2

δu′2

Lu′ 2

δνVL2

νVδ2

reduciéndose a

−1

ρ

∂

∂y

(P + ρv′2

)= U

∂V

∂x+ V

∂V

∂y− ν ∂

2V

∂y2∼V 2

δ. (2.11)

De (2.11) se tiene ∆δ

(P + ρv′2

)∼ ρV 2 y de (2.10) se tiene ∆LP ∼ ρU2, de modo que

∆δ

(P + ρv′2

)∆LP

∼(V

U

)2

∼(δ

L

)2

� 1,

lo que nos permite sustituir la ecuación de cantidad de movimiento según y por

∂

∂y

(P + ρv′2

)≈ 0; P + ρv′2 = Pe(x);

∂P

∂x=dPedx− ρ∂v

′2

∂x,


que llevado a (2.10) toma la forma

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y+

∂

∂y

(u′v′

)= −1

ρ

dPedx

+ ν∂2U

∂y2, (2.12)

ya que∂v′2

∂x� ∂

∂y

(u′v′

).

Dentro de la aproximación de �ujos esbeltos, podemos considerar la turbulencia libre, que semuestra a continuación y la capa límite turbulenta, que se mostrará más adelante.

2.6. Turbulencia libre

En la turbulencia libre, la presión exterior es constante, de modo que dPe/dx ≈ 0. Además hayausencia de paredes, por lo que el término viscoso ν

(∂2U/∂y2

)� ∂

(−u′v′

)/∂y. Las ecuaciones

de continuidad y cantidad de movimiento toman la forma

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; U

∂U

∂x+ V

∂U

∂y=

∂

∂y

(−u′v′

).

2.6.1. Estela (bidimensional) lejana

En la estela de un cuerpo simétrico, la velocidad media di�ere de la corriente uniformeexterior a la estela, U∞, en una cantidad U muy pequeña frente a U∞. Además las velocidadesde �uctuación turbulenta son también del orden de U . Resumiendo se tiene

U = U∞ + U ; U � U∞ ; u′v′ ∼ U2.

De la ecuación de la continuidad se estima el orden de magnitud de la velocidad transversal

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; V ∼ U

δ (x)

x.

Conocido el orden de magnitud de V , se obtiene el orden de magnitud de cada uno de los términosde la ecuación de cantidad de movimiento

U∞∂U

∂x︸︷︷︸U∞Ux

+ U∂U

∂x+ V

∂U

∂y︸︷︷︸U2

x

=∂

∂y

(−u′v′

)︸︷︷︸,

U2

δ(x)

dado que U/U∞ � 1, la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a

U∞∂U

∂x=

∂

∂y

(−u′v′

), (2.13)

y para que ambos términos sean comparables, es necesario que

δ (x)

x∼ U

U∞. (2.14)

Multiplicando (2.13) por dy e integrando a través de la estela se tiene

d

dx

ˆ +∞

−∞Udy =

ˆ +∞

−∞d(−u′v′

)= 0,


ya que −u′v′ → 0 en y → ±∞. De acuerdo con la ecuación anterior se deduce que´ +∞−∞ Udy es

una constante, que se escribe como

ˆ +∞

−∞Udy = − D

ρU∞= −I. (2.15)

De las relaciones (2.14) y (2.15) se deducen las escalas de δ (x) y de U (x, 0)

δ (x) ∼√

Ix

U∞; U (x, 0) ∼

√IU∞x

. (2.16)

De acuerdo con las escalas anteriores, se buscan soluciones autosemejantes en la forma

U (x, y) = −us (x) f (η) , (2.17)

−u′v′ = u2s (x) g (η) , (2.18)

donde us (x), η y δ (x) están dados por

δ (x) = a

√Ix

U∞; us (x) = b

√IU∞x

; η =y

δ (x), (2.19)

con a y b constantes que hay que determinar. Sustituyendo los valores de U (x, y) y de −u′v′,dados en (2.17) y en (2.18) junto con (2.19), la ecuación (2.13) se reduce a

f + ηdf

dη=

2b

a

dg

dη. (2.20)

En la ecuación (2.20) hay dos incógnitas: la velocidad adimensional f (η) y el esfuerzo aparentede Reynolds (también adimensional) g (η), por lo que es necesario un modelo de turbulencia.Utilizando la viscosidad turbulenta νT = usδ/RT , donde RT es una constante, los esfuerzos deReynolds se pueden escribir como

−u′v′ = −νT∂U

∂y= −νTus

δ

df

dη= u2sg (η) ; g (η) = − νT

usδ

df

dη= − 1

RT

df

dη.

de modo que la ecuación (2.20) se reduce a

f + ηdf

dη+d2f

dη2= 0,

donde el factor que multiplica a la derivada segunda 2b/aRT se elige igual a la unidad. Lascondiciones de contorno para la ecuación anterior son

f (∞) = f (−∞) = 0,

y la solución es

f = exp

(−η

2

2

).

La condición (2.15) proporciona

ˆ +∞

−∞Udy = −I ⇒

ˆ +∞

−∞fdη =

√2π,


pero esta integral es, a su vez ˆ +∞

−∞fdη =

I

usδ=

1

ab.

Las relaciones

ab =1√2π

y2b

aRT= 1,

determinan a y b ya que RT ≈ 12,5 es un valor experimental.. El resultado es a = 0,25 y b = 1,58.En la estela de un cilindro circular los valores experimentales muestran que U = −usf (η)

para x > 80 diámetros y −u′v′ = u2sg (η) para x > 200 diámetros.

2.6.2. Chorro (bidimensional) lejano

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; U

∂U

∂x+ V

∂U

∂y=

∂

∂y

(−u′v′

);

ˆ ∞−∞

U2dy =M

ρ= m,

ya que

ˆ ∞−∞

(U∂U

∂x+ V

∂U

∂y

)dy ≡

ˆ ∞−∞

[∂U2

∂x+∂ (UV )

∂y

]dy =

d

dx

ˆ ∞−∞

U2dy =

ˆ ∞−∞

d(−u′v′

)= 0.

De las ecuaciones se tiene

V ∼ Uδ

x;

U2

x∼u′ 2

δ⇒

√u′ 2

U∼√δ

x; U2δ ∼ m.

Con δ ∼ x se tiene Umax ∼√m/x. Utilizando la función de corriente

U =∂ψ

∂y; V = −∂ψ

∂x,

buscamos soluciones de semejanza de la forma

δ = ax ; ψ = b√mxF (η) ;

(−u′v′

)=m

xG (η) ; η =

y

δ.

Por lo tanto

U =∂ψ

∂y=b

a

√m

x

dF

dη; V = −∂ψ

∂x= b

√m

x

(−1

2F + η

dF

dη

);

∂U

∂x= − b

ax

√m

x

(1

2

dF

dη+ η

d2F

dη2

);∂U

∂y=

b

a2x

√m

x

d2F

dη2;

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y= − b2m

2a2x2

[(dF

dη

)2

+ Fd2F

dη2

]= − b2m

2a2x2d

dη

(FdF

dη

);

∂

∂y

(−u′v′

)=

m

ax2dG

dη

b2

2a

d

dη

(FdF

dη

)= −dG

dη

Modelo de turbulencia

−u′v′ = νT∂U

∂y; νT =

us (x) δ (x)

RT; us (x) = U (x, 0) =

b

a

(dF

dη

)η=0

√m

x,


−u′v′ = νT∂U

∂y=b2F ′ (0)m

a2RTx

d2F

dη2=m

xG (η) ; G (η) =

b2F ′ (0)

a2RT

d2F

dη2,

d

dη

(FdF

dη+d2F

dη2

)= 0 con

2F ′ (0)

aRT= 1 y con F (0) = F ′′ (0) = 0 y F ′ (∞) = 0.

Integrando una vez se tiene

FdF

dη+d2F

dη2= 0,

llegándose a

F (η) =√

2tanh(η/√

2)

; F ′ (η) = sech2(η/√

2)

=4(

e η/√2 + e−η/

√2)2 .

Dado que F ′ (0) = 1 se tiene a = 2/RT ≈ 0,078 (RT ≈ 25,7). Por otro lado se tiene

ˆ ∞−∞

U2dy = m ⇒ˆ ∞−∞

(dF

dη

)2

dη =a

b2,

pero, dado que F ′ (η) es conocida, se tiene

ˆ ∞−∞

(dF

dη

)2

dη =4√

2

3=

a

b2⇒ b ≈ 0,203.

En resumen se tiene

δ (x) ≈ 0,078x ; us (x) = U (x, 0) ≈ 2,60

√m

x; ψ ≈ 0,203

√mxF (η) ; η =

y

δ (x).

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