Cap.I- Polinomios y Curvas de Bézier

5/7/2018 Cap.I- Polinomios y Curvas de Bézier - slidepdf.com

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Prof. Marco PalusznyProf. Marco Paluszny

Computación GráficaComputación Gráficay Geometría Aplicaday Geometría Aplicada



PolinomiosPolinomios p(t) = a0 + a1t + a2t

2 + . . . + antn

an { 0, grado (p(t) ) = n

Polinomios de

grado e n

base = 1, t, . . . , tn

EjemplosEjemplos

espacio vectorial

dim = n+1, P n

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Polinomios y basesPolinomios y bases

P 2, 1, t, t2 base

B0(t) = (1-t)2, B1(t) = 2t(1-t), B2(t) = t2

también es una base:1.- .(1-t)2 + .2t(1-t) + .t2 º 0

= 0

-2 + 2 = 0 - 2 + = 0

son linealmente independientes

= = = 0

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



2.- 1 = (1-t)2 + 2t(1-t) + t2

t = [ 2t(1-t) + 2t2 ]/2

t2 = t2

Por lo tanto p(t) = a+bt+ct2 se puede expresar de

la forma:

a.[B0(t)+B1(t)+B2(t)]+b.[1/2.B1(t)+B2(t)]+c.B2(t) =

a.B0(t)+b.B1(t)+c.B2(t)

B0(t), B1(t), B2(t) base de Bernstein de P 2.

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Polinomios de grado superiorPolinomios de grado superior� n = 3, P 3, a0 + a1t + a2t

2 + a3t3

base monomial: 1, t, t2, t3

base de Bernstein: B30(t)=(1-t)3, B31(t)=3(1-t)2t,B3

2(t) = 3(1-t)t2, B33(t) = t3

� n > 3, P n, a0 + a1t + . . . + antn

base monomial: 1, t, t2, t3, . . . , tn

base de Bernstein: Bni(t) , i= 0, . . . ,n

Bni(t) = ( )ti (1-t)n-in

i

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Curvas PolinomialesCurvas PolinomialesCurva en 2D:

t p(t) =

Curva polinomial en 2D:

x(t) = x0 + x1t + . . . + xntn

y(t) = y0 + y1t + . . . + ymtm

xn { 0, ym { 0

grado p(t) = max {n, m}

EjemplosEjemplos

x(t)

y(t)

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



t p(t) =

x(t), y(t), z(t) polinomios

grado p(t) = max de los grados de x(t), y(t), z(t)

Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3D

EjemplosEjemplos

x(t)

y(t)z(t)

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



BernsteinBernstein--Bézier: CónicasBézier: Cónicascurva polinomial en 2D, n = 2

p(t) = =

x2 { 0 ó y2 { 0

p(t) =

ó respecto a la base de Bernstein B0(t), B1(t), B2(t):

x(t)

y(t)

x0 + x1t + x2t2

y0 + y1t + y2t2

x0 x1 x2y0 y1 y2

.1 + .t + .t2

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



BernsteinBernstein--Bezier: CónicasBezier: Cónicas1 = B0(t) + B1(t) + B2(t)

t = B1(t) + B2(t)

t2 = B2(t)

y0 y0+ y1 y0 + y1 + y2

= b0.B0(t) + b1.B1(t) + b2.B2(t)

b0, b1, b2 = puntos de Bézier de b(t)

x0 x0+ x1 x0 + x1 + x2B0(t) + B1(t) + B2(t)

1

2

1

2

b(t)=

1

2

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Cónica de BézierCónica de Béziert b0 B0(t) + b1 B1(t) + b2 B2(t)

= b0 (1-t)2 + b1 2t(1-t) + b2 t2 = b(t)

curva de Bézier de grado 2 = cónica de Bézier t = 0 , b(0) = b0

t = 1 , b(1) = b2

b¶(0) = 2(b1-b0)

b¶(1) = 2(b2-b1)

Tópico 3. Rockwood & Chambers.

b0

b1

b2

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Cónica de BézierCónica de Bézierb0, b1, b2 polígono de Bézier, controla la cónica:

Tópico 3. Rockwood & Chambers.

b1

b2

b0

b1

b1

b(t)

b2= b2

b0=b0

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Cónicas de Bezier en 3DCónicas de Bezier en 3Dt b(t) = b0B0(t) + b1B1(t) + b2B2(t)

b0, b1, b2 � �3 generan un plano

b(t) yace en ese plano.

b0 b1

b2

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Cónicas de Bézier en 3DCónicas de Bézier en 3DMás aún:

1.- B0(t)+B

1(t)+B

2(t) = (1-t)2 + 2(1-t)t + t2

= ( )(1-t)2 t0 + ( )(1-t)1t1+( )(1-t)0t2

= [(1-t) +t]2 = 1

i.e. suma 1 para todo t.

2.- B0(t) = (1-t)2u 0, B1(t) = 2t(1-t) u 0,

B2(t) = t2u 0, t � [0,1]

20

21

22

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Cónicas de Bézier en 3DCónicas de Bézier en 3D

Entonces b(t) = combinación convexa de b0, b1, b2,

para cualquier t � [0,1].

El segmento de cónica b(t), t � [0,1] yace en el

triángulo de vértices b0, b1, b2.

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Curvas de Bézier de grado 3Curvas de Bézier de grado 3

n = 3, b0, b1, b2 , b3, cúbica de Bézier

b(t) = b0B30(t) + b1B

31(t) + b2B

32(t) + b3B

33(t)

B3i(t) = ( )ti (1-t)n-i, i= 0,1,2,3

7 B3i(t) | 1, t

B3i(t) u 0, t � [0,1]

3

i=0

3i

b0

b1

b2

b3

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Curvas de Bézier de grado 3Curvas de Bézier de grado 3

b0

b1

b3

b2

E.M.R/R.ME.M.R/R.M

Los bi, pueden no ser coplanares.

b(t) yace en la cá psula convexa de b0, b1, b2 , b3.



Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado nb0, b1, . . . ,bn , n+1 puntos de control

Bni(t) = ( )ti (1-t)n-i,i= 0,. . .,n , polinomios de Bernstein

b(t) =7

biBn

i(t) , curva de Bézier b(0) = b0, b(1) = bn

b¶(0) = n(b1- b0), b¶(1) = n(bn-bn-1)

n

i

n

i=0

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado nToda curva polinomial

x(t) = x0 + x1t +«+ xntn

se puede escribir como

una curva de Bézier.

EjerciciosEjercicios

b1

b n -1

bn

b¶(1) b0

b¶(0)

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



b(t) = 7 bnBni(t)

� tangente en t=0 a la recta que pasa por b0 y b1.

� tangente en t=1 a la recta que pasa por bn-1

y bn

.

n

i=0

b1

b0 bn

Dependencia de los puntos deDependencia de los puntos decontrolcontrol

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Dependencia de los puntos deDependencia de los puntos decontrolcontrol

n = 4

Si b3 b3 y los demás se mantienen iguales

b(t) = 7 biBi = (b3 - b3) + 7 biBi

b(t) = (t) (b3 - b3) + b(t)

(t) � [0,1]; cambio b3 por b3 estira b(t) en la

dirección b3 - b3

b1

= b1

b2= b2

b3

b4= b4

E.M.R/R.ME.M.R/R.M

b3



Puntos de controlPuntos de controlEn general, bk bk , bi = bi, i {k

b(t) = 7 biBi b(t) = 7 biBi = Bk (t) (bk - bk ) + b(t)

La situación en que se mueva más de un punto:

n

i=1

En general:

el polígono de control

arrastra la curva

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Puntos de controlPuntos de controlSi b0, b1, b1

se mantienen

colineales

b(t) se mantiene tangente

a b1- b0, i.e. es tangente

a b(t) en t=0

b1

b1

b0

E.M.R/R.ME.M.R/R.M



Fin de NotasFin de Notas



PolinomiosPolinomiosEjemplo:Ejemplo:

n = 2, polinomios cuadr áticos

a + bt +ct2

1, t, t2 es una base de P 2:

y son linealmente independientes:

.1 + .t + .t2 = 0 p = = = 0

y cualquier p(t)� P 2, se expresa:

p(t) = a.1 + b.t + c.t2

ContinuarContinuarE.M.R/R.ME.M.R/R.M



Curvas PolinomialesCurvas PolinomialesEjemplos:Ejemplos:

y

x

t2

t3p(t) =

Haga click para otro ejemplo

p(t) =

y

x

t2

t3 - t




Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3Dt

t t2

t3

[ Boehm: On cubics: a survey.

Computer Graphics and Image

Proccessing 19 pag. 201-226 (1982) ]

cúbica alabeada

Ejemplo:Ejemplo:

t=0

t=1




Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3DProyeccionesProyecciones

Ejemplo:Ejemplo:

t2

t3x(t)

y(t) =

y

x

x(t)y(t) = tt2

y

x




EjercicioEjercicio::

Escriba una curva polinomial de grado tres

como una cúbica de Bézier.

Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado n

NotaNota::

Observe que esto es válido para curvas en el plano o en 3D.


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