45

3. ACŢIUNI. ECHILIBRUL CORPURILOR

3.1. ACŢIUNI

3.1.1. PRELIMINARII

Construcţiile şi elementele de construcţii sunt destinate anumitor scopuri între care şi acela de a prelua forţele ce iau naştere din diferite acţiuni. În Rezistenţa materialelor şi în teoria structurilor prin acţiune se înţelege orice cauză capabilă să producă efecte structurale mecanice în elementele şi structurile de construcţii. Conform reglementării tehnice “Cod de proiectare. Bazele proiectării structurilor în construcţii”, indicativ CR 0-2012, acţiunile (F) se manifestă ca forţe sau momente (cupluri de forţe) aplicate structurii (acţiuni directe), respectiv ca acceleraţii provocate de diverse surse (cutremure, etc.) sau deformaţii impuse cauzate de variaţii de temperatură, umiditate sau tasări diferenţiate, ori provocate de cutremure (acţiuni indirecte). În limbajul curent şi mai restrâns acţiunile se mai numesc şi încărcări sau sarcini.

Efectele acţiunilor (E) pe structură se exprimă în eforturi şi/sau tensiuni în elementele structurale, precum şi în deplasări liniare (translaţii) şi/sau unghiulare (rotaţii) pentru elementele structurale şi structura în ansamblu.

Definiţiile şi clasificările acţiunilor din codul CR 0-2012 sunt în acord cu Eurocodul 0, EN 1990: 2002, codurile americane ASCE 7-95, ASCE 7-98:2000 şi documentul ISO 2394/1993.

Acţiunile sunt în realitate extrem de variate: greutatea proprie a elementelor de construcţii, greutatea oamenilor, materialelor, maşinilor, aparatelor şi utilajelor, presiunea vântului, greutatea zăpezii, presiunea apei sau a altor lichide, temperatura, forţele de inerţie, cele provenite din cutremure, frecarea etc.

Din punct de vedere practic, evaluarea exactă a parametrilor prin care acţiunile intervin în calcule (intensităţi, amplitudini, frecvenţe etc.) este deseori dificilă.

Pentru proiectare se admit acţiuni (încărcări, sarcini) convenţionale, descrise de un model, care reprezintă schematizări ale realităţii, valorile lor reprezentative având la bază date experimentale. În general, acţiunile au un caracter aleator şi, de aceea, valorile convenţionale, indicate în norme (valori caracteristice şi valori de calcul sau de proiectare), au fost stabilite pe baza unor analize statistico-probabilistice.

La calculul structurilor de rezistenţă trebuie luate în considerare cele mai

46

defavorabile combinaţii posibile ale acţiunilor, combinaţii cunoscute sub numele de grupări de acţiuni. În standardele româneşti de profil sunt considerate grupări fundamentale şi grupări speciale de acţiuni.

3.1.2. CLASIFICAREA ACŢIUNILOR

Acţiunile se pot clasifica după mai multe criterii, care depind de condiţiile specifice fiecărui tip de element sau structură de rezistenţă.

1. După criteriul variaţiei lor în timp, conform CR 0-2012 există: a) Acţiuni permanente (G) – sunt acele acţiuni pentru care variaţia în timp

este nulă sau neglijabilă. Ele se aplică în mod continuu, cu o intensitate practic constantă pe toată durata existenţei construcţiei. În această categorie se includ acţiuni directe precum greutatea proprie a elementelor permanente ale construcţiei, a echipamentelor fixate pe construcţii, greutatea şi presiunea pământului, umpluturilor, muntelui la construcţii subterane (acţiune geotehnică), dar şi acţiuni indirecte datorate contracţiei betonului, tasărilor diferenţiate, precomprimării etc.

b) Acţiuni variabile (Q) – sunt acele acţiuni pentru care variaţia în timp a parametrilor ce le caracterizează nu este nici monotonă nici neglijabilă. Variază sensibil în raport cu timpul sau pot să lipsească total în anumite intervale de timp.

În categoria acţiunilor variabile intră: greutatea unor elemente de construcţie a căror poziţie poate să se modifice în decursul exploatării, încărcări utile pe planşeele clădirilor (greutatea utilajelor, mobilierului, oamenilor etc.), presiunea gazelor, lichidelor sau mediilor pulverulente, presiunea hidrostatică şi hidrodinamică, variaţii de temperatură tehnologice sau climatice, tasări ale terenului de fundare, acţiuni datorate convoaielor feroviare sau rutiere pe poduri sau viaducte, acţiuni datorate vântului, zăpezii, chiciurii, valurilor, acţiunea statică şi presiunea dinamică a gheţii etc.

c) Acţiuni accidentale (A) – sunt acţiuni de durată scurtă, dar de intensitate semnificativă, ce se exercită cu probabilitate redusă asupra structurii în timpul duratei sale de viaţă proiectate (apar foarte rar, eventual niciodată în viaţa construcţiei). În această categorie se consideră: impactul – care se manifestă prin acţiuni cu caracter de şoc datorate ciocnirii autovehiculelor de construcţie, a exploziilor, acţiuni datorate defectelor sau defectării utilajelor şi alterării bruşte a procesului tehnologic, acţiuni datorate ruperii unor elemente de rezistenţă, acţiuni datorate inundaţiilor catastrofale, alunecărilor de teren, incendiilor etc.

d) Acţiunea seismică (AE) - acţiune datorată mişcării terenului provocată de cutremure.

2. După natura răspunsului structural sau după modul de acţiune a

47

încărcărilor în timp acţiunile sunt clasificate în acţiuni statice şi acţiuni dinamice.

a. Acţiunile statice nu provoacă forţe de inerţie pe structură şi elementele sale structurale deoarece se aplică în mod lent, mărimea lor creşte de la zero până la valoarea maximă finală şi rămâne apoi constantă în timp (fig. 3.1).

b. Acţiunile dinamice provoacă forţe de inerţie semnificative pe structură şi elementele sale structurale, deoarece acestea se mişcă. În cazul cel mai Fig. 3.1 general intensitatea, direcţia, sensul şi punctul de aplicaţie al acestor acţiuni se modifică în timp. Dintre acestea se menţionează:

b1. acţiuni/încărcări dinamice ce se aplică cu viteză, acceleraţie sau prin şoc (cu variaţie bruscă de viteză);

b2. acţiuni/încărcări periodice, la care se modifică în timp intensitatea şi sensul, la rândul lor fiind cu ciclu invariabil (fig. 3.2 a) şi amortizate (fig. 3.2 b);

b3. acţiuni/încărcări dinamice cu variaţie întâmplătoare.

Fig. 3.2

Acţiunile dinamice sunt exprimate, în general, ca acţiuni statice echivalente aplicând coeficienţi dinamici de amplificare unei încărcări statice (acţiunea cvasistatică este definită în codul CR 0-2012 ca o acţiune dinamică reprezentată printr-o acţiune statică echivalentă).

3. După poziţia acţiunilor în timp 3.1. Acţiuni fixe, sunt acţiunile care îşi menţin acelaşi punct de aplicaţie şi,

în general, şi aceeaşi direcţie. 3.1.1. Acţiunile fixe statice îşi menţin invariabile şi intensitatea şi sensul. 3.1.2. Acţiunile fixe dinamice îşi modifică intensitatea şi sensul în timp. 3.2. Acţiunile mobile, sunt acţiunile care îşi modifică punctele de aplicaţie

în timp; în mod frecvent direcţia acestora rămâne invariabilă. 3.2.1. Acţiuni mobile statice, rămân invariabile în timp ca intensitate şi

sens.

48

3.2.2. Acţiuni mobile dinamice, îşi modifică intensitatea şi sensul în timp. Similar acestui criteriu, Codul CR 0-2012 clasifică acţiunile, după variaţia

lor spaţială, în acţiuni fixe, respectiv acţiuni libere. Acţiunea fixă are distribuţia şi poziţia fixe pe structură, iar acţiunea liberă

poate avea diverse distribuţii şi poziţii pe structură. 4. După criteriul originii lor, acţiunile sunt considerate directe şi

indirecte, aşa cum s-a arătat deja în paragraful Preliminarii. 5. Acţiunile directe, care se manifestă ca forţe sau cupluri, se pot clasifica

după locul de aplicare în: a. Forţe masice sau de volum, ca de exemplu: greutatea proprie, forţele de

inerţie, câmpurile magnetice etc. b. Forţe de suprafaţă, care acţionează pe conturul sau frontiera unui corp;

acestea pot fi active sau reactive (pasive). După modul de distribuţie, forţele de suprafaţă sunt: - forţe concentrate, care sunt aplicate pe o zonă foarte mică din suprafaţa

corpului şi care, practic, se pot considera aplicate într-un punct (fig. 3.3); acestea au ca unităţi de măsură newtonul (N) şi multiplii acestuia (daN, kN), respectiv Nm (Nmm), daNm (daNcm), kNm pentru cele de tip moment;

Fig. 3.3 - forţe distribuite sau repartizate, ce acţionează pe o suprafaţă sau de-a

lungul unei linii; acestea sunt caracterizate de intensităţile sau densităţile lor, care pot fi interpretate ca forţe pe unitatea de suprafaţă, respectiv lungime. Intensităţile sau densităţile acestor forţe distribuite se definesc astfel:

- pentru forţele distribuite pe o suprafaţă Ω de pe frontiera unui corp (fig. 3.4 a)

Pp0

lim (3.1)

şi se măsoară în N/m2, daN/m2, kN/m2, N/mm2, N/cm2, daN/cm2; - pentru forţe distribuite de-a lungul unei linii s de pe frontiera unui corp

(fig. 3.4 b),

49

sQq

s

0

lim (3.2)

şi se măsoară în N/m (N/mm), daN/m (daN/cm), kN/m.

Fig. 3.4 După legea de variaţie a intensităţii, forţele distribuite pe o suprafaţă sau

pe o linie, mai frecvent întâlnite, sunt: - forţe de intensitate constantă sau uniform distribuite (fig. 3.5);

Fig. 3.5 - forţe liniar distribuite (triunghiular sau trapezoidal), ca de exemplu

presiunea hidrostatică, greutatea unor materiale fără coeziune în unele cazuri (fig. 3.6).

Fig. 3.6

50

- forţe distribuite după alte legi (parabolic, sinusoidal, etc.).

3.2. ECHILIBRUL CORPURILOR

Echilibrul mecanic este de două feluri: echilibrul static, care se referă la corpurile în repaus şi echilibrul dinamic sau echilibrul corpurilor în mişcare. În continuare se fac referiri numai la echilibrul static.

Condiţiile de echilibru ale unui corp se pot exprima vectorial, cu ajutorul lucrului mecanic virtual şi grafic.

3.2.1. EXPRIMAREA VECTORIALĂ A ECHILIBRULUI

Un corp liber se află în echilibru, dacă mulţimea tuturor forţelor şi cuplurilor ce-l acţionează formează un sistem echivalent cu zero, adică elementele torsorului de reducere în raport cu oricare punct din spaţiu sunt nule. Elementele sau componentele torsorului de reducere sunt rezultanta tuturor forţelor, R , şi momentul rezultant, M , şi deci

0;0 MR (3.3) Fie un sistem de referinţă cartezian Oxyz, având versorii axelor kji ,, ;

raportând corpul în echilibru şi forţele ce-l acţionează la acest sistem, ecuaţiile vectoriale (3.3) se scriu:

0;0 kMjMiMMkRjRiRR zyxzyx (3.4)

Cei doi vectori R şi M , care formează torsorul de reducere, sunt nuli numai dacă toate componentele lor pe axele sistemului de referinţă sunt zero; urmează că

bMMM

aRRR

zyx

zyx

0,0,0

0,0,0

(3.5)

S-au obţinut astfel şase ecuaţii scalare de echilibru. Proiecţiile rezultantei forţelor pe axele de coordonate se obţin făcând suma

proiecţiilor forţelor componente:

iiz

iiy

iix ZRYRXR 0,0,0 (3.6)

în care Xi, Yi, Zi sunt componentele pe axele de referinţă ale forţelor din sistem, iN (şirul numerelor naturale).

Componentele momentului rezultant pe axele de coordonate se obţin

51

sumând momentele forţelor din sistem în raport cu axele corespunzătoare şi proiecţiile cuplurilor pe aceste axe:

i j

xjiiiix CYzZyM 0

i j

yjiiiiy CZxXzM 0 (3.7)

i j

zjiiiiz CXyYxM 0

în care xi, yi, zi sunt coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor, iar Cxj, Cyj, Czj sunt proiecţiile momentelor cuplurilor pe axele de coordonate.

Dacă sistemul conţine forţe sau cupluri distribuite pe diferite subdomenii de pe suprafaţa sau din volumul corpului, acestea se pot înlocui echivalent cu forţe şi cupluri concentrate.

3.2.1.1. Sisteme de forţe particulare În practică, asupra corpurilor acţionează destul de frecvent sisteme de forţe

particulare, pentru care ecuaţiile (3.6) şi (3.7) capătă forme mai simple. a) Forţe concurente. Considerând punctul de concurenţă originea

sistemului de referinţă, se constată uşor că relaţiile (3.7) sunt identic satisfăcute şi rămân numai ecuaţiile (3.6).

b) Forţe paralele cu o direcţie. Alegând sistemul de referinţă astfel încât axele x-x şi y-y să se afle într-un plan normal pe direcţia forţelor şii axa z-z având aceeaşi direcţie cu forţele, deci Xi = 0, Yi = 0, ecuaţiile (3.6) şi (3.7) devin:

0,0,0 i

iiyi

iixi

iz ZxMZyMZR (3.8)

c) Forţe şi cupluri coplanare. Alegând sistemul de referinţă astfel încât planul xOy să coincidă cu planul forţelor şi cuplurilor, rezultă Zi = 0, Cxj = 0, Cyj = 0 şi, de asemenea, coordonatele zi ale punctelor de aplicaţie ale forţelor sunt nule; din sistemele (3.6) şi (3.7) rămân ecuaţiile:

i jzjiiiiz

iiy

iix

CXyYxM

YRXR

0

,0,0 (3.9)

d) Forţe concurente coplanare. Ecuaţia a treia din (3.9) este identic satisfăcută, astfel că ecuaţiile de echilibru sunt:

0,0 yx RR (3.10) e) Forţe paralele şi cupluri coplanare. Se consideră, de exemplu, axa x-x

normală pe direcţia forţelor; planul forţelor fiind xOy, componentele Xi sunt nule şi sistemul (3.9) devine:

52

j

zji

iizi

iy CYxMYR 0,0 (3.11)

În cazuri şi mai particulare cuplurile Czj pot lipsi, iar dacă forţele sunt coliniare, rămâne numai prima ecuaţie (3.11).

Corpul fixat prin legături se supune aceloraşi ecuaţii de echilibru. Suprimând legăturile şi înlocuindu-le cu forţele corespunzătoare corpul devine liber. În ecuaţiile de echilibru intră atât forţele active, cât şi cele din legături.

3.2.1.2. Determinarea forţelor din legături Sistemul de forţe ce acţionează un corp se compune din forţe active şi

forţe pasive sau reactive (reacţiuni). Dacă numărul de legături simple care asigură fixarea corpului este minim (sistem static determinat), forţele din reazeme (reacţiunile) se determină numai cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru.

În cazul mai multor corpuri legate între ele, ecuaţiile de echilibru se referă la fiecare corp luat separat, cu forţele ce-l acţionează. Forţele de legătură dintre corpuri sunt egale şi de sensuri opuse.

Aplicaţie. Se consideră o bară simplu rezemată, acţionată de un sistem de forţe coplanare P1, P2,..., Pn, normale pe axa barei (fig. 3.7). Reazemul simplu din B este înclinat cu unghiul α faţă de orizontală. Axa barei, reazemele şi forţele sunt situate în acelaşi plan. Se cere să se determine reacţiunile din reazemele A şi B.

Fig. 3.7

Se suprimă legăturile din A şi B şi, în loc, se introduc reacţiunile, transformând sistemul într-un corp liber (fig. 3.7 b). Ca ecuaţii de echilibru distincte se pot scrie două ecuaţii de proiecţii, pe orizontală şi pe verticală, şi o ecuaţie de moment în raport cu oricare punct din planul forţelor. Din punct de vedere practic, este mai indicat să se scrie două ecuaţii de momente în raport cu reazemele A şi B, în fiecare ecuaţie intrând câte o necunoscută (RB şi respectiv RVA) şi o ecuaţie de

53

proiecţii pe axa barei. Cu ajutorul ecuaţiei de proiecţie pe normala la axa barei, care este o combinaţie liniară a celor două ecuaţii de momente, se verifică dacă reacţiunile RVA şi RB s-au calculat corect. Procesul descris se aplică exemplului considerat.

a. Ecuaţie de momente în raport cu punctul A: 0cos2211 lRaPaPaPaP Bnnii ;

b. Ecuaţie de momente în raport cu punctul B: 02211 lRbPbPbPbP VAnnii ;

c. Ecuaţie de proiecţii pe axa barei: 0sin BHA RR .

Din aceste ecuaţii se obţin reacţiunile:

n

iiiHA

n

iiiB

n

iiiVA aP

ltgRaP

lRbP

lR

111;;

cos1;1

Verificare. Ecuaţia de proiecţii pe normala la axa barei se scrie:

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

BVA

n

iiBVA

PlPl

baPl

aPl

bPl

RRPRR

11111

1

1111

cos0cos

deci această ultimă ecuaţie de echilibru este satisfăcută, ceea ce indică faptul că reacţiunile RVA şi RB s-au calculat corect.

Prin particularizare se obţin reacţiunile la o grindă cu reazemul simplu vertical, adică pentru α = 0:

.0;1;111

HA

n

iiiVBB

n

iiiVA RaP

lRRbP

lR

3.2.2. DEPLASĂRI VIRTUALE (facultativ) 3.2.2.1. Consideraţii generale Se consideră un sistem oarecare de puncte materiale, în particular, puncte

ale unor corpuri aflate în mişcare sau în repaus. Acest sistem se poate deplasa din poziţia reală dată, într-o poziţie învecinată, arbitrară, foarte apropiată de cea reală. O astfel de deplasare, situată în vecinătatea celei reale, se numeşte deplasare elementară sau infinitezimală; această deplasare nu este impusă de legile mişcării şi poartă denumirea de deplasare virtuală.

Dacă deplasările virtuale se realizează astfel încât se păstrează intacte legăturile sistemului se numesc deplasări virtuale compatibile cu legăturile.

54

Dimpotrivă, dacă aceste deplasări fac ca una sau mai multe legături să nu mai fie posibile poartă denumirea de deplasări virtuale incompatibile cu legăturile. Prin suprimarea legăturilor ce se opun, deplasările virtuale incompatibile devin compatibile cu legăturile rămase.

Pentru ca un sistem să poată avea deplasări compatibile cu legăturile, trebuie să aibă grade de libertate. Astfel, un punct material poate avea până la trei grade de libertate, iar un corp rigid până la şase grade de libertate.

La un sistem având mai multe grade de libertate, în număr finit, numărul deplasărilor distincte, compatibile cu legăturile, este egal cu numărul gradelor de libertate. În cazul unui sistem cu un singur grad de libertate, poziţia sa după deplasare este determinată de un singur parametru. Deplasările permise de gradele de libertate se numesc deplasări cinematice. Sistemele care au grade de libertate vor fi numite sisteme cinematice, lanţuri cinematice sau mecanisme.

Fie un sistem cinematic acţionat de un grup de forţe în echilibru; acest sistem nu are deplasări reale, dar se pot imagina deplasări independente de acţiunea forţelor, deplasări virtuale compatibile cu legăturile existente în sistem. Astfel de situaţii se folosesc în mod curent în analiza structurilor.

3.2.2.2. Analogia dintre lucru mecanic elementar real şi lucru mecanic virtual

Forţele se consideră vectori legaţi, iar prin deplasarea punctului de aplicaţie a unei forţe, se produce un lucru mecanic a cărui valoare este dată de produsul scalar dintre vectorii forţă şi deplasare. Dacă deplasările sau forţele sunt infinitezimale (elementare), lucrul mecanic se numeşte elementar. În continuare se va considera cazul deplasărilor elementare. Lucrul mecanic elementar produs de forţa F , al cărei punct de aplicaţie are deplasarea ds , este:

dsFdsFdsFL ,cos (3.12) Deci lucrul mecanic are valoarea produsului dintre mărimea forţei şi proiecţia deplasării pe direcţia forţei sau, altfel spus, a produsului dintre deplasare şi proiecţia forţei pe direcţia deplasării; el este nul când deplasarea este normală pe suportul forţei (fig. 3.8).

În locul deplasării reale a punctului de aplicaţie al forţei Fig. 3.8 se presupune o deplasare virtuală. Această deplasare este de asemenea elementară (infinitezimală) şi, pentru a o deosebi de deplasarea reală, se notează s , iar lucrul mecanic virtual corespunzător cu L . Lucrul mecanic virtual dat de forţa reală F prin deplasarea virtuală s se scrie:

55

sFsFsFL ,cos (3.13) Urmează că lucrul mecanic elementar real şi lucrul mecanic virtual au

aceeaşi exprimare formală şi, pentru calculul lor, se folosesc regulile de operare cu mărimi infinitezimale.

3.2.2.3. Acţiuni şi deplasări generalizate Pentru a folosi un limbaj mai simplu şi o exprimare mai concisă a lucrului

mecanic virtual, se introduc noţiunile de acţiune sau forţă generalizată şi deplasare generalizată. Se analizează cazurile mai frecvent întâlnite în rezistenţa materialelor şi teoria structurilor.

10. Fie două forţe F1 şi F2 egale, coliniare şi opuse, aplicate în punctele A şi B; se presupun deplasări virtuale care fac ca aceste puncte să ajungă în A' şi B', proiecţiile deplasărilor lor pe direcţiile forţelor fiind δs1 şi respectiv δs2 (fig. 3.9 a).

Lucrul mecanic virtual corespunzător are forma: sFssFsFsFL 212211 (3.14)

Cele două forţe, luate împreună, formează o acţiune generalizată, iar deplasarea relativă a punctelor lor de aplicaţie pe dreapta suport, δs1-δs2 = δs, se numeşte deplasare generalizată.

Fig. 3.9

20. Se consideră un cuplu de forţe (F1, F2), paralele, opuse şi de acelaşi

modul F1=F2; se dă o deplasare virtuală acestui cuplu, constând dintr-o rotire în planul său în jurul centrului O, cu unghiul δθ (fig. 3.9 b). Lucrul mecanic virtual corespunzător este:

2122112211 rrFrFrFsFsFL (3.15)

56

MdFL (3.16) în care, prin M = Fd s-a notat modulul momentului cuplului, care este invariant în raport cu oricare punct din planul cuplului.

În acest caz momentul cuplului este acţiunea generalizată, iar rotirea δθ este deplasarea generalizată.

30. Într-un plan oarecare se consideră două cupluri având momentele egale în modul şi sensul de rotire opus, M1 = -M2 = M; se dau deplasări virtuale celor două cupluri în raport cu centrele O1 şi O2 cu unghiurile δθ1 şi respectiv δθ2 (fig. 3.10). Conform celor arătate la cazul precedent, lucrul mecanic virtual se scrie:

212211 MMML (3.17) Braţele celor două cupluri se află pe două

drepte ale căror direcţii fac între ele unghiul ψ. În urma deplasărilor virtuale considerate, unghiul ψ îşi modifică mărimea cu cantitatea δψ = δθ1+δθ2. Deci lucrul mecanic virtual al celor două cupluri se poate pune sub forma:

ML (3.18) Cele două cupluri formează în acest caz

acţiunea generalizată, iar variaţia unghiului dintre două direcţii legate rigid de cupluri reprezintă deplasarea Fig. 3.10 generalizată.

Un exemplu frecvent întâlnit de acţiuni generalizate îl constituie eforturile dintr-o secţiune a unei bare solicitate.

Deplasarea relativă, liniară sau unghiulară, pe direcţia unei acţiuni generalizate constituie o deplasare generalizată. Dacă acţiunile generalizate se notează cu F, iar deplasările virtuale generalizate cu δs, lucrul mecanic virtual este

sFL (3.19) Sub o formă şi mai cuprinzătoare, acţiunile generalizate şi deplasările

virtuale generalizate pot fi considerate ca vectori; în acest caz lucrul mecanic virtual ia forma:

sFL (3.20) fiecare termen al sumei fiind un produs scalar. Pentru un corp rigid liber, acţionat de forţe şi cupluri, relaţia (3.20) se poate scrie sub forma: MrRL în care R este rezultanta forţelor ce acţionează corpul, r deplasarea punctului de aplicaţie al rezultantei, M este vectorul moment rezultant, iar vectorul rotire.

57

3.2.2.4. Condiţii de echilibru prin lucru mecanic virtual Pentru exprimarea echilibrului unui sistem material (corp sau sistem de

corpuri) cu ajutorul lucrului mecanic virtual, se foloseşte varianta principiului deplasărilor virtuale, care se enunţă după cum urmează:

Condiţia necesară şi suficientă, ca un sistem material să fie în echilibru, este ca lucrul mecanic al tuturor forţelor care acţionează sistemul să fie nul pentru orice deplasare virtuală, infinitezimală, compatibilă cu legăturile; reciproc, dacă lucrul mecanic al tuturor forţelor care acţionează un sistem material este egal cu zero pentru orice deplasare virtuală, infinitezimală, sistemul considerat se află în echilibru.

În consecinţă se poate scrie: 00 MrRL (3.22)

Deoarece r şi sunt deplasări arbitrare nenule, pentru ca ecuaţia (3.22) să fie satisfăcută, se impun condiţiile:

0;0 MR (3.23) regăsindu-se astfel ecuaţiile vectoriale de echilibru.

În particular, se consideră cazul unui corp rigid, având un număr de legături simple egal cu numărul minim necesar pentru fixare. Acest corp se află în echilibru sub acţiunea forţelor date şi a celor din legături. Suprimând legăturile şi înlocuindu-le cu forţele corespunzătoare, corpul devine liber; având şase grade de libertate, se pot considera tot atâtea deplasări virtuale distincte. Pentru fiecare deplasare virtuală se scrie condiţia de lucru mecanic virtual nul, din care se deduc forţele de legătură.

Practic, se suprimă pe rând câte o legătură, acordând corpului, de fiecare dată, un grad de libertate. Pentru fiecare grad de libertate se dă o deplasare virtuală compatibilă cu legăturile. Prin exprimarea condiţiei de lucru mecanic virtual nul, forţele din legăturile rămase nu produc lucru mecanic, astfel încât se obţin şase ecuaţii, având fiecare câte o singură necunoscută.

În cazul problemei plane, numărul minim de legături simple pentru fixare se reduce la trei. Scriind condiţia de lucru mecanic virtual nul pentru fiecare din cele trei deplasări virtuale distincte, corespunzător numărului gradelor de libertate, se obţin forţele din legături.

Aplicaţie. Se consideră grinda simplu rezemată (fig. 3.11 a), acţionată de

forţele P1, P2 şi P3. Forţele active date şi reacţiunile se află în acelaşi plan cu axa grinzii. Forţele P1 şi P2 sunt înclinate faţă de axa grinzii cu unghiurile α1 şi respectiv α2, iar forţa P3 este normală pe axă. Se foloseşte principiul deplasărilor virtuale

58

pentru determinarea reacţiunilor din A şi B. Se suprimă pe rând cele trei legături simple şi se obţine de fiecare dată un

sistem cu un grad de libertate. Determinarea reacţiunii RHA. Pentru a determina reacţiunea orizontală din

A, se suprimă legătura corespunzătoare şi sistemul devine un mecanism cu un grad de libertate, având posibilitatea de translaţie pe orizontală. Se dă o deplasare virtuală, compatibilă cu legăturile rămase (fig. 3.11 b); fiind vorba de o translaţie în lungul axei, toate punctele barei au aceleaşi deplasări δu = δuA. Forţele înclinate se descompun fiecare în două componente: una pe direcţia deplasării, care produce lucru mecanic şi alta perpendiculară pe direcţia deplasării, al cărei lucru mecanic este zero. Condiţia ca lucrul mecanic virtual să fie nul, (δL = 0), conduce la ecuaţia:

0coscos 2211 AAAHA uPuPuR din care rezultă: 2211 coscos PPRHA .

Fig. 3.11

Determinarea reacţiunii RVA. Se suprimă legătura din A, care împiedică deplasarea pe verticală, introducându-se în loc reacţiunea RVA. Se dă sistemului cu un grad de libertate o deplasare virtuală, compatibilă cu legăturile rămase (fig. 3.11 c). Produc lucru mecanic numai componentele verticale ale forţelor. Condiţia de lucru mecanic virtual nul (δL = 0) se scrie:

0sinsin 33222111 vPvPvPvR AVA Deplasările δvA, δv1, δv2, δv3 sunt proporţionale între ele, depinzând de un

acelaşi parametru, care poate fi, de exemplu, δvA:

59

3

3

2

2

1

1

bv

bv

bv

lvA

Înlocuind δv1, δv2 şi δv3 în funcţie de δvA, ecuaţia de lucru mecanic devine:

0sinsin 33

222

111 AAAAVA v

lb

Pvl

bPv

lb

PvR ,

de unde se deduce

33222111 sinsin1 bPbPbPl

RVA .

Determinarea reacţiunii RB. Se suprimă reazemul simplu din capătul B, înlocuindu-l cu RB şi se dă sistemului cu un grad de libertate o deplasare virtuală, compatibilă cu legăturile rămase (fig.3.11 d). Condiţia de lucru mecanic virtual nul (δL = 0) se scrie:

0sinsin 33222111 vPvPvPvR BB Dacă se alege ca parametru al gradului de libertate deplasarea δvB şi se ţine

cont de relaţiile dintre δv1, δv2, δv3 şi δvB,

3

3

2

2

1

1

av

av

av

lvB

se obţine,

0sinsin 33

222

111 BBBBB v

la

Pvl

aPv

la

PvR ,

de unde rezultă:

33222111 sinsin1 aPaPaPl

RB .

3.2.3. EXPRIMAREA GRAFICĂ A ECHILIBRULUI UNUI CORP

(facultativ) Se discută numai echilibrul corpului acţionat de un sistem de forţe

coplanare. Echilibrul unui grup de forţe situate într-un plan se analizează grafic

cu ajutorul poligonului de forţe şi a poligonului funicular. Se reaminteşte că poligonul forţelor, în general, permite determinarea

mărimii, direcţiei şi sensului rezultantei unui sistem de forţe coplanare, iar funicularul precizează dreapta suport a acestei rezultante, ce trece prin punctul de intersecţie al primei şi ultimei laturi a poligonului funicular şi este paralelă cu direcţia rezultantei din poligonul forţelor.

Condiţia ca rezultanta forţelor să se anuleze se realizează grafic dacă

60

poligonul forţelor se închide, iar condiţia de moment rezultant nul al tuturor forţelor şi cuplurilor, în raport cu oricare punct din plan, este echivalentă grafic cu închiderea poligonului funicular.

Plecând de la aceste considerente, în cazul unui corp în echilibru, care are un număr minim de legături pentru fixarea în plan, se pot determina reacţiunile folosind cele două construcţii grafice: poligonul forţelor şi poligonul funicular (funicularul).

Se exemplifică această cale pe o bară simplu rezemată, acţionată de un grup de forţe oarecare 321 ,, PPP şi 4P (fig. 3.12).

Fig.3.12

Începând din punctul A1 se construieşte poligonul forţelor active A1A2A3A4A5 şi rezultanta acestora RAA 51 . Reacţiunile din rezemele 0 şi 5, deocamdată necunoscute, reprezintă prima şi respectiv ultima forţă din poligon, care vor trebui să-l închidă; 0R îşi are extremitatea în A1, iar 5R originea în A5. Cu polul O1 şi distanţa polară H se construieşte poligonul polar, cu ajutorul căruia se trasează poligonul funicular. Latura funicularului, paralelă cu O1A1 din poligonul polar, se va sprijini pe 0R şi 1P ; întrucât 0R nu este cunoscut, dar se ştie că trece prin articulaţia 0, latura funicularului paralelă la O1A1 se duce prin punctul de articulaţie. Latura funicularului, paralelă la O1A5 din poligonul funicular, se sprijină

61

pe suportul forţei 4P şi al reacţiunii 5R . Suportul reacţiunii 5R este normal pe

suprafaţa de rezemare şi este întâlnit de paralela la O1A5 în punctul 5 . În continuare se poate proceda în două moduri.

a. Se determină suportul rezultantei forţelor active, care este paralel cu R din poligonul forţelor şi trece prin punctul de intersecţie al laturilor 10 şi 54 din poligonul funicular. Rezultanta R şi reacţiunile 0R şi 5R trebuie să-şi facă echilibru, dar trei forţe care se află în echilibru trebuie să fie concurente. Suportul rezultantei R şi al reacţiunii 5R se intersectează în Q; prin urmare 0Q este

dreapta suport a reacţiunii 0R . Rezultanta R , cu punctul de aplicaţie în Q, se

descompune în două componente: '0R pe direcţia Q0 şi '

5R pe direcţia Q5.

Reacţiunea 0R , cu punctul de aplicaţie în articulaţie, va fi '0R , iar reacţiunea 5R

este egală cu '5R .

b. Deoarece prima latură a poligonului funicular sprijină pe suportul reacţiunii 0R , trebuie să treacă prin 0 , iar ultima latură, care sprijină pe 5R ,

trebuie să treacă prin 5 . Totodată poligonul funicular trebuie să se închidă, deci prima şi ultima latură a funicularului trebuie să coincidă şi să treacă prin punctele 0 şi 5 . Dreapta 05 se numeşte linie de închidere a poligonului funicular. În poligonul polar se duce din O1 o rază paralelă la linia de închidere a funicularului. O paralelă la direcţia reacţiunii 5R , prin punctul A5 din poligonul forţelor, se intersectează cu raza polară paralelă la linia de închidere a funicularului în punctul A0, care determină cele două reacţiuni: 505 RAA şi 010 RAA .

Notă: Un fir sau cablu suspendat la capete şi acţionat de forţe concentrate se deformează după funicular; dacă încărcarea este distibuită deformarea este asemenea cu curba funicular.