CAPITOLO 15 - staticmy.zanichelli.it · In base alla definizione di accelerazione ^a vt= DD/ h, esprimiamo il secondo principio della dinamica nella forma F ma m t v D D == ... meCCaniCa

482

Recentemente negli Stati Uniti è arrivato sul mercato un veicolo a due ruote, con propulsione elettrica, un’ autonomia di oltre 300 km e con innovative caratteristiche di stabilità e sicurezza: infatti è in grado di restare in equilibrio da solo ai semafori e in caso di tamponamenti accidentali.

In che modo un veicolo a due ruote può mantenere l’equilibrio da fermo senza l’ausilio del guidatore?

CAPITOLO

15

LA QUANTITÀ DI MOTO E IL MOMENTO ANGOLARE1 LA QUANTITÀ DI MOTO

Placcare un giocatore di rugby che corre a 10 m/s è più difficile che bloccare il pallone passato da un compagno alla stessa velocità. Ma quanto è più difficile?

■ Se la massa del pallone è m = 0,45 kg, l’intensità della forza necessaria per fer-marlo in un intervallo di tempo ∆t = 0,2 s è F = m a, con a = |0 – v|/∆t, cioè

,0,45 kg s10 m/s

,5 N.F 220 2= =^ h

■ Per fermare un rugbista di 80 kg si deve applicare, per un intervallo di tempo di uguale durata, una forza mol-to più intensa:

, s10 m/s

000 N.kgF 80 0 2 4= =^ h

La forza che occorre per arrestare, in un tempo fissato, un oggetto in movimento è maggiore:

■ a parità di velocità, se l’oggetto ha massa maggiore;

■ a parità di massa, se l’oggetto è più veloce.

Per descrivere e misurare queste proprietà del moto è utile introdurre una nuova gran-dezza, la quantitˆ di moto.

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Leggi la risposta nelle Risorse digitali

IntelFreePress

483

La quantità di moto e iL momento angoLaremeCCaniCa 15

il vettore quantità di moto

Consideriamo un corpo di massa m che si muove con velocità v . Definiamo la sua quantità di moto p come il prodotto della massa per la velocità:

.p vm= [1]

■ La quantità di moto è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore velocità.

■ Il suo modulo si misura in kg · m/s ed è direttamente proporzionale alla massa e al modulo della velocità.

La quantità di moto totale di un sistema

La FIGURA 1 mostra due cabine di una funivia che si muovono con velocità opposte, cia-scuna con la propria quantità di moto. Addizionando i due vettori quantità di moto si ottiene la quantità di moto totale dell’insieme delle due cabine.

La quantità di moto totale ptot

di un sistema composto da n oggetti è il vettore somma delle quantità di moto , , ...,p p p

n1 2 dei singoli oggetti. Se m1, m2, …, mn sono le masse dei

componenti del sistema e , , ...,v v vn1 2 sono le corrispondenti velocità, si ha

... ... .p p p p m v m v m vntot n n1 2 1 1 2 2= + + + = + + [2]

PROBLEMA MODELLO 1

Una corsa al circop su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 73 PDF

p nelle Risorse digitali

2 L’IMPULSO DI UNA FORZA E LA VARIAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

La tennista che esegue il servizio colpisce la palla con più forza che può e l’accompagna con la racchetta. Accompagnare la palla significa prolungare il tempo di applicazione della forza.

Poiché la palla da tennis resta integra, e quindi mantiene invariata la sua massa, per far variare la sua quantità di moto bisogna aumentare la sua velocità, cioè accelerarla con una forza. Più la forza è intensa, maggiore è l’accelerazione prodotta e maggiore è la variazione della quantità di moto della palla.

La variazione della quantità di moto dipende anche dalla durata dell’azione: a parità di for-za, se il tempo di contatto è maggiore, la quantità di moto subisce una variazione maggiore.

La legge fondamentale della dinamica, m aF = , può essere riscritta in termini di varia-

zione della quantità di moto.

In questa nuova formulazione, chiamata teorema dell’impulso, si introduce una nuova grandezza, l’impulso di una forza.

AL VOLO

NON È SOLO QUESTIONE DI MASSA!

▶ È possibile che la quantità di moto di una pallina da ping-pong (che ha una massa di 2,7 g) sia maggiore di quella di un pallone da basket (di 600 g)? Fai un esempio.

quantità di moto (kg · m/s) velocità (m/s)

massa (kg)

FIGURA 1

Le due cabine hanno velocità opposte. La quantità di moto della cabina con passeggeri a bordo • maggiore, in modulo, di quella della cabina vuota. Perci˜, la quantità di moto totale delle due cabine • orientata verso destra.

Bik

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v-

v

484

15 La quantità di moto e iL momento angoLare

L’impulso di una forza costante

Se una forza costante F è applicata a un oggetto per un intervallo di tempo ∆t, l’impulso I della forza è definito come il prodotto del vettore F per ∆t:

.tI FD=[3]

L’unità di misura dell’impulso è il prodotto tra l’unità di forza, il newton (N), e l’unità di tempo, il secondo (s). Poiché 1 N = 1 kg · m/s2, si ha

1 N · s = 1 kg · ms2 · s = 1 kg · m/s.

L’unità di impulso coincide, quindi, con l’unità di quantità di moto.

L’impulso dato alla palla in un servizio di tennis può arrivare a 4 kg · m/s; l’impulso prodotto in un calcio di rigore può oltrepassare i 20 kg · m/s.

il teorema dell’impulso

Consideriamo un punto materiale di massa m con quantità di moto iniziale p m v1 1= . Su di esso agisce una forza costante F per un intervallo di tempo ∆t; come conseguenza, la sua quantità di moto diviene p m v

f f= . Il vettore p p pf i

D = - è la variazione della quantità di moto.

In base alla definizione di accelerazione /a v tD D=^ h, esprimiamo il secondo principio della dinamica nella forma

F m a mtvDD

= =

Moltiplichiamo ora per ∆t il primo e l’ultimo termine di questa uguaglianza:

.F t m vD D=

Se scriviamo vD come v vf i- , il prodotto m vD diviene

.m v m v v mv mv p p pf i f i f iD D= - = - = - =^ hAbbiamo così trovato il teorema dell’impulso, che è un nuovo modo di scrivere il se-condo principio della dinamica:

p F tD D= [4]

cioè

.p ID = [5]

impulso (N · s)

forza (N)

intervallo di tempo (s)

AL VOLO

FORZE DIVERSE, STESSO IMPULSO

▶ Una forza di 10 N agisce per 1,6 s. Quanto vale una seconda forza che produce lo stesso impulso se applicata per 4 s?

AL VOLO

IMPULSO E LAVORO: PER QUANTO TEMPO, PER QUALE DISTANZA?Una forza costante di intensità F agisce per un tempo ∆t su un oggetto inizialmente fermo, che si sposta di una distanza s. Pertanto, l’impulso della forza vale F ∆t e il lavoro da essa compiuto è F s.

▶ Quali sono, dopo il tempo ∆t, la quantità di moto e l’energia cinetica dell’oggetto?

▶ Quali sono queste stesse grandez-ze dopo un tempo doppio?

forza (N)

variazione della quantità di moto (kg · m/s)


485


La variazione della quantità di moto è uguale all’impulso della forza che agisce su un corpo.

L’impulso di una forza variabile

La formula I F tD= ha senso soltanto se, nell’intervallo ∆t, la forza F si mantiene co-stante. Se invece F è variabile (in direzione, verso o modulo), è necessario calcolare l’im-pulso in moltissimi (infiniti) intervalli di tempo, talmente brevi che la forza al loro in-terno possa considerarsi costante, e poi sommare vettorialmente tutti questi contributi.

Più semplice è il caso in cui la forza cambia soltanto il suo valore, ma rimane costante in direzione.

■ Se F è costante, il valore I = F ∆t dell’impulso è dato dall’area di un ret-tangolo di base ∆t e altezza F nel grafi-co forza-tempo.

■ Se F non è costante, si dimostra che il valore di I è dato dall’area tra l’asse dei tempi e il grafico della forza in fun-zione del tempo.

La dimostrazione è del tutto analoga a quelle della distanza percorsa in un moto vario (svolta nel capitolo «Le forze e i moti») e del lavoro di una forza variabile (schematizzata nel capitolo «Il lavoro e l’energia»). Grazie a questo modo di calcolare l’impulso, la for-mula [5] vale anche per forze variabili.

dall’impulso alla forza media

Lavorando con forza F variabile, spesso la grandezza realmente importante è il suo va-lore medio durante il tempo di applicazione ∆t.

Se la forza reale F ha direzione e verso costanti, la forza media Fm è un vettore che ha la stessa dire-zione e lo stesso verso di F e modulo Fm tale che Fm ∆t = I. In altri termini, Fm è l’altezza di un ret-tangolo di base ∆t che ha un’area uguale a quel-la racchiusa sotto il grafico forza-tempo (FIGURA 2). Se si conosce il tempo di applicazione ∆t, si può dunque usare la forza media Fm per esprimere il teorema dell’impulso nella seguente forma:

.p F tmD D= [6]

istante tt

FI = F Δt

Oin

ten

sità

de

lla

fo

rza

F

istante ttfti

I

O

inte

nsi

tà d

ell

a f

orz

a F

t

F

Fm Δt = I

Fm

tftiO

FIGURA 2

L’area sotto il grafico della forza media è uguale all’area sotto il grafico della forza reale.

486


Se la quantità di moto varia in un tempo lungo, la forza media è piccola

Come fa ad attutire l’urto un paracadutista che

atterra? Flette le gambe, perché in questo modo impiega più tempo ad annullare la quantità di moto acquistata durante la caduta.

La variazione pD della quantità di moto del pa-racadutista all’atterraggio è uguale, per la [6], all’impulso tFmD della forza d’urto che agisce su di lui dall’istante in cui tocca il suolo. A parità di

pD , quanto maggiore è la durata ∆t dell’impatto, tanto minore è la forza d’urto media Fm . L’ordine di grandezza della variazione di quantità di moto, all’atterraggio è 100 kg · m/s. Se l’impatto con il suolo, fino all’arresto, dura qualche secondo, la forza media subita dal paracadutista è dell’ordine di 100 N (circa uguale alla forza che serve per sol-levare uno zaino di 10 kg).

Se la quantità di moto varia in un tempo breve, la forza media è grande

Perché con un colpo di karate si riesce a spezzare un mattone? Perché si esercita una rande forza in un tempo molto piccolo. La mano del karateka acquisisce una grande quantità di moto, che subito dopo l’urto si azzera.

Come prima, la variazione della quantità di moto (dell’ordine di 10 kg · m/s) è uguale all’impulso della forza d’urto. Però, in questo caso, si desidera che la forza sia massima (dell’ordine di 1000 N) e quindi bisogna esercitarla in un tempo molto piccolo (centesi-mi di secondo): il colpo deve essere secco.

AL VOLO

AUTOMOBILI SICURE

▶ Gli airbag riducono la forza d’urto negli incidenti automobi-listici perché fanno diminuire più lenta-mente la quantità di moto del conducente e dei passeggeri. Allo stesso scopo, è preferibile che la carrozzeria di un’au-tomobile sia rigida o deformabile?

▶ Perché?

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H. G

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UNA PARTITA A FLIPPER

Durante una partita a f ipper, la biglia d’acciaio subisce repentini cambi di velocità dovuti agli urti sui respingi-tori. La pallina d’acciaio, di massa 80 g, si dirige con velocità di 0,70 m/s contro un respingitore che esercita sulla pallina la forza riportata nella f gura e diretta nella stesso verso della velocità.

▶ Calcola la velocità f nale della biglia dopo l’azione della forza.

▶ Fai una stima della forza media esercitata.

■ DATI

Massa pallina m = 80 gVelocità iniziale pallina vi = 0,70 m/sIntervallo di tempo Δt = 2,0 ms

■ INCOGNITE

Velocità f nale pallina vf = ?Modulo della forza media F = ? (dal graf co)

PROBLEMA MODELLO 2

m = 0,36 kgm = 0,36 kgm = 0,36 kgm = 0,36 kg

487


3 LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTOEsaminiamo, dal punto di vista della quantità di moto, un esperimento di disintegrazio-ne, in cui un unico oggetto si separa in due frammenti.

■ Due carrelli di massa uguale, colle-gati da una molla, sono tenuti fermi da un filo.

■ Quando il filo viene tagliato, i due carrelli si allontanano con velocità uguali in modulo.

ANIMAZIONE

Conservazione della quantitˆ di moto

m = 0,36 kgm = 0,36 kg

v = 1,5 m/s v = 1,5 m/s

L’IDEA

Il problema si svolge in una dimensione, nella direzione della velocità. La forza che agisce sulla biglia non è co-stante, quindi per calcolare la velocità fnale, devo ricavare l’impulso dall’area del grafco forza-tempo.Lo stesso valore dell’impulso si può ottenere applicando una forza media costante nell’intervallo di tempo dato, rappresentata da uno «scalino» in un grafco forza-tempo.

LA SOLUZIONE

Determino l’impulso come area del triangolo nel grafico F-t.

■ L’area del triangolo nel grafico F-t, cioè l’impulso della pallina, vale base altezzaA 21

#= , pertanto l’impulso della pallina vale

[(3,0 1,0) 10 s] (200 N) 0,20 N sI 21 3

# # $= - =- .

Applico il teorema dell’impulso.Per il teorema dell’impulso, la variazione della quantità di moto è uguale all’impulso, cioè p p If i- = , dove pi ha verso opposto a pf perché cambia il segno della velocità.

Risolvo l’equazione nell’incognita vf.

Dopo l’azione della forza applicata dai respingitori del fipper, la velocità fnale della pallina ha verso opposto rispetto alla velocità iniziale ma lo stesso valore numerico; pertanto ( )v v m

If i- - = . Posso quindi ricavare vf:

0,080 kg2,0 10 N s

0,70 m/s 1,8 m/sv mI

v1

f i# $

= - = - =

-

.

Ricavo il modulo della forza media.Lo stesso valore dell’impulso si può ottenere applicando una forza costante Fm per lo stesso tempo di applicazio-ne, cioè

2,0 10 s2,0 10 N s

1,0 10 NFt

I3

12

m#

# $#

D= = =-

-

PER NON SBAGLIARE

■ Fai attenzione alle unità di misura. Nel grafico forza-tempo, il tempo è espresso in ms, cioè in unità di 10−3 s.

m = 0,25 kgm = 0,25 kg

m = 0,50 kgm = 0,50 kg

488


■ All’inizio ciascun carrello ha quantità di moto uguale a zero, perché è fermo.

■ Alla fine i due carrelli hanno quantità di moto dello stesso valore, uguale a (0,36 kg) ∙ (1,5 m/s) = 0,54 kg · m/s, ma dirette in versi opposti.

La quantità di moto totale dei due carrelli era zero all’inizio e rimane zero alla fine (som-ma di vettori opposti); quindi si conserva.

■ Ripetiamo l’esperimento con un carrello di massa doppia rispetto all’al-tro.

■ Il carrello di massa doppia si allon-tana con metà della velocità dell’altro.

■ All’inizio ciascun carrello ha quantità di moto uguale a zero, perché è fermo.

■ Alla fine i carrelli hanno quantità di moto dello stesso valore, (0,50 kg) ∙ (1,0 m/s) = 0,50 kg · m/s il primo e (0,25 kg) ∙ (2,0 m/s) = 0,50 kg · m/s il secondo, ma dirette in versi opposti.

La quantità di moto totale dei due carrelli era zero all’inizio e rimane zero alla fine; quin-di, anche in questo caso, si conserva.

Consideriamo ora i due carrelli come parti di un unico sistema. Nei due casi esaminati,

la quantità di moto di ciascun corpo cambia; invece, la quantità di moto totale del sistema non cambia, cioè si conserva.

La quantità di moto totale si conserva in assenza di forze esterne non bilanciate

Esperimenti come quelli appena descritti sono in accordo con la legge di conservazione

della quantitˆ di moto:

se la forza esterna risultante che agisce su un sistema è uguale a zero la quantità di moto totale del sistema si conserva.

Nel caso dei due carrelli la forza esterna risultante è uguale a zero, perché la forza-peso dei carrelli è bilanciata dalla reazione vincolare del tavolo. Le altre forze agenti sono la forza elastica della molla e la tensione del filo (finché non viene tagliato), che sono inter-

ne al sistema.

In termini di conservazione della quantità di moto si spiega il rinculo di un cannone dopo lo sparo.

m = 0,25 kg

m = 0,50 kg

v = 1,0 m/s v = 2,0 m/s

V2

m2 m1

p2 p1

V1

489


■ All’inizio sia il cannone sia il proiettile sono fermi e la quantità di moto totale del siste-ma è nulla.

■ Quando il proiettile viene sparato, e quindi acquista una quantità di moto p m v1 1 1= , il cannone acquista una quantità di moto p m v2 2 2= opposta; così, la quantità di moto totale è ancora nulla m v m v 01 1 2 2+ =^ h.

■ Dato che m1 v1 = m2 v2 e che la massa m2 del cannone è molto maggiore della massa m1

del proiettile, il modulo v2 della velocità di rinculo è molto minore del modulo v1 di quella del proiettile.

Un razzo acquista velocità in avanti perché «spa-ra» continuamente all’indietro, come raffiche di proiettili, le molecole dei suoi gas di scarico (FIGU-

RA 3). I gas non spingono il razzo per il fatto di pre-mere sul terreno o sull’aria atmosferica: la propul-sione a reazione è solo dovuta alla conservazione della quantità di moto totale del sistema razzo-gas e quindi è efficace anche nello spazio, attraverso il vuoto.

Come fa a conservarsi la quantità di moto del siste-ma razzo-gas, dal momento che su di esso agisce la forza-peso, non bilanciata? La quantità di moto totale non si conserva esattamente; tuttavia si con-serva approssimativamente, poiché la forza-peso è relativamente piccola rispetto alle intense forze interne che si sviluppano tra i gas e il razzo.

Il funzionamento di un motore a reazione (così come il rinculo di un cannone) può es-sere compreso in base al principio di azione e reazione: i gas di scarico vengono espulsi dal motore con una certa forza e il motore riceve dai gas, in risposta, una forza uguale e contraria che lo accelera. Le due spiegazioni sono equivalenti, poiché:

la conservazione della quantità di moto in un sistema non soggetto a forze esterne non bilanciate è una conseguenza dei principi della dinamica.

dimostrazione della conservazione della quantità di moto

Considera un sistema formato da due corpi A e B che interagiscono tra loro (FIGURA 4) e indica con:

■ p,A prima

la quantità di moto di A prima dell’interazione;

■ p,B prima

la quantità di moto di B prima dell’interazione;

■ p,A dopo

la quantità di moto di A dopo l’interazione;

■ p,B dopo

la quantità di moto di B dopo l’interazione;

■ FB A" la forza esercitata da B su A durante l’interazione;

■ FA B" la forza esercitata da A su B durante l’interazione;

■ ∆t la durata dell’interazione.

Dal terzo principio della dinamicaÉ

■ Il terzo principio della dinamica (azione e reazione) afferma che F FB A A B=-" "

. Se

NA

SA

, B

ill I

ng

alls

FIGURA 3

La quantità di moto acquistata dal razzo in un dato tempo è opposta a quella dei gas espulsi nello stesso tempo.

FB→AFA→B

A B

forze interne

sistema deicorpi A e B

FIGURA 4

In un sistema costituito da due biglie le forze di contatto sono forze interne.

490


moltiplichi i due membri di questa relazione per ∆t, allora

.F t F tB A A BD D=-" "

[7]

e dal teorema dell’impulso…

■ Per il teorema dell’impulso (equazione [4], che esprime il secondo principio della di-namica) l’impulso è uguale alla variazione della quantità di moto, per cui puoi scrivere:

,F t p p p, ,dopo primaB A A A AD D= = -"

.F t p p p, ,dopo primaA B B B BD D= = -"

deduci che la quantità di moto iniziale è uguale a quella finale

■ Sostituisci le due precedenti espressioni nella [7]:

.p p p p, , , ,dopo prima dopo primaA A B B- =- -` j■ Cambia di membro, infine, il secondo e il terzo termine:

.p p p p, , , ,dopo dopo prima primaA B A B+ = + [8]

L’equazione [8] dice che, per il sistema formato dai due corpi A e B, la somma delle quantità di moto iniziali è uguale alla somma delle quantità di moto finali. Pertanto, hai dimostrato che la quantità di moto totale del sistema si conserva.

Poiché nel corso della dimostrazione hai utilizzato solo il secondo e il terzo principio della dinamica, hai anche verificato che la conservazione della quantità di moto discen-de da tali principi.

PROBLEMA MODELLO 3

Una gita in barca p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 74 PDF


4 LA QUANTITÀ DI MOTO NEGLI URTIDue bocce che si urtano costituiscono un sistema soggetto a forze esterne non bilancia-te: prima dell’urto, la forza-peso e la resistenza dell’aria (non bilanciate) agiscono sulla boccia in volo; dopo l’urto entra in gioco l’attrito con la sabbia. Tuttavia, durante l’urto, tra le due bocce si generano forze molto intense che agiscono per un tempo molto breve. Rispetto a queste forze di interazione, che sono interne al sistema, nella durata dell’urto le forze esterne risultano trascurabili. Questa proprietà è comune a tutti i tipi di urto:

durante un urto i corpi che collidono si comportano come un sistema non soggetto a forze esterne e quindi la loro quantità di moto totale si conserva.

gli urti su una retta

L’urto più semplice si ha quando due corpi di masse m1 e m2 si muovono su una retta (per esempio, due carrelli su una rotaia diritta). In questo caso possiamo evitare di usare

Myi

mag

ine

/Sh

utt

ers

tock

491


le velocità vettoriali; al loro posto utilizziamo i valori

scalari delle velocità (con segno positivo o negativo) come abbiamo fatto per i moti rettilinei.

Indichiamo allora con v1 e v2 le velocità delle particel-le prima dell’urto, e con V1 e V2 le due velocità dopo l’urto (FIGURA 5); con questa notazione la conservazione della quantità di moto si esprime con la formula

.m v m v m V m V1 1 2 2 1 1 2 2+ = + [9]

Supponiamo di conoscere le masse dei corpi e le loro velocità iniziali v1 e v2. Così, dal punto di vista matematico, abbiamo due incognite (V1 e V2) legate da una sola equa-zione; quindi il problema non è determinato e, per la sua risoluzione, occorrono altre informazioni.

Il problema dell’urto lungo una retta risulta determinato nel caso di un urto elastico e in quello di un urto completamente anelastico.

L’urto elastico

I corpi che compiono un urto elastico si comportano come molle, che dopo la deforma-zione riprendono la loro forma senza dissipare energia.

Un urto si dice elastico se in esso si conserva, oltre alla quantità di moto, anche l’energia cinetica totale dei corpi che interagiscono.

Un esempio di urto elastico è descritto qui sotto.

■ Una pallina si avvicina, con velocità v, a un’altra pallina ferma che ha la stessa massa m.

■ Dopo l’urto la prima pallina si ferma e la seconda si muove con la stessa ve-locità v che aveva la prima.

Con le stesse notazioni usate prima, la conservazione della quantità di moto e dell’ener-gia cinetica permette di scrivere il sistema:

m v m v m V m V

m v m v m mV V

1 1 2 2 1 1 2 2

21

1 12

21

2 22

21

1 12

21

2 22

+ = +

+ = +) [10]

che è determinato perché contiene due equazioni e due incognite. La sua risoluzione nel caso generale è mostrata all’interno del Problema Modello 4.

FIGURA 5

Urto tra due corpi che si muovono su una retta.

p1

p2 = 0

p2p1

= 0

AL VOLO

UN URTO SIMMETRICODue palline della stessa massa, che si muovono con velocità uguali in modulo e opposte in verso, compiono un urto elastico lungo una retta.

▶ Come sono le loro velocità dopo l’urto?

v1 v2

m1 m2

v1 v2

V1 V2

m1 m2

492


un urto elastico particolare: proiettile contro bersaglio fermo

Supponiamo che, prima dell’urto, il primo corpo (proiettile) sia in movimento e il se-condo (bersaglio) sia in quiete: in questo caso il sistema [10] si risolve facilmente. Ponia-mo, dunque, v2 = 0 e riscriviamo così le due equazioni:

.m v V m V

m v V m V

1 1 1 2 2

1 12 2

2 22

1

- =

- =

^^

hh*

Se nella seconda scomponiamo in fattori il binomio v V12

12

- , otteniamo:

.m v V m V

m v V v V m V

1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 22

- =

- + =

^^ ^

hh h*

Semplifichiamo ulteriormente il sistema riscrivendo invariata la prima equazione e di-videndo membro a membro la seconda per la prima:

.m v V m V

v V V

1 1 1 2 2

1 1 2

- =

+ =

^ h*Con semplici passaggi algebrici possiamo ricavare, a questo punto, la soluzione:

, .V m mm m

v V m mm

v2

11 2

1 21 2

1 2

11=

+

-=

+[11]

Utilizziamo ora la [11] per esaminare alcuni casi.

■ Il proiettile e il bersaglio hanno la stessa massa.

Per m1 = m2 = m otteniamo:

, .V V v01 2 1= =

v

m m m m

v

Questo risultato conferma ciò che abbiamo detto riguardo al caso delle due palline ap-pese al filo: la prima si ferma e la seconda si mette in movimento con velocità v.

■ La massa del bersaglio è tre volte maggiore di quella del proiettile.

Per m1 = m e m2 = 3 m otteniamo:

, .V v V v21

21

1 1 2 1=- =

3m

v

m m3m

vv1

2

1

22

Dopo l’urto il proiettile e il bersaglio si muovono con velocità uguali in modulo, ma op-poste in verso: il proiettile torna indietro e il bersaglio si mette in movimento in avanti.

■ La massa del bersaglio è tre volte minore di quella del proiettile.

Per m1 = 3 m e m2 = m la [11] diventa:

, .V v V v21

23

1 1 2 1= =

v

3mm 3m m

v32v

12

Dopo l’urto sia il proiettile sia il bersaglio si muovono in avanti e il secondo ha velocità tripla rispetto al primo.

493


URTO ELASTICO CON RIMBALZO

Due carrelli si muovono su un binario rettilineo e si urtano in modo elastico. Prima dell’urto uno di essi, che ha una massa di 2,0 kg, si muoveva verso destra con una velocità di 5,0 m/s, mentre il secondo, la cui massa è 1,0 kg, si spostava verso sinistra a 4,0 m/s.

▶ Quali sono le velocità dei due carrelli dopo l’urto?

■ DATI

m1 = 2,0 kgm2 = 1,0 kgv1 = 5,0 m/sv2 = −4,0 m/s

■ INCOGNITE

V1 = ?V2 = ?

L’IDEA

In questo fenomeno si conservano sia la quantità di moto totale (perché è un urto), sia l’energia cinetica totale (perché i carrelli si urtano in modo elastico).Scegliamo come positive le velocità rivolte verso destra e negative quelle verso sinistra: il valore della velocità ini-ziale del secondo carrello deve essere dunque preceduto dal segno –, cioè v2 = –4,0 m/s.

LA SOLUZIONE

Scrivo la condizione di conservazione della quantità di moto.Nell’urto si conserva la quantità di moto, quindi m v m v m V m V1 1 2 2 1 1 2 2+ = + .

Scrivo la condizione di conservazione dell’energia cinetica.Poiché l’urto è elastico, si conserva anche l’energia cinetica: m v m v m V m V2

121

21

21

1 12

2 22

1 12

2 22

+ = + .

Ottengo un sistema che risolvo per le incognite V1 e V2.Entrambe le equazioni precedenti devono essere verifcate; otteniamo quindi il sistema [10]:

m v m v m V m V

m v m v m V m V21

21

21

21

1 1 2 2 1 1 2 2

1 12

2 22

1 12

2 22

+ = +

+ = +*

che può essere scritto come:( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

m v V m V v

m v V m V v

m v V m V v

m v V v V m V v V v

1 1 1 2 2 2

1 12

12

2 22

22

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

&

- = -

- = -

- = -

- + = - +* * .

Dividendo membro a membro la seconda delle equazioni precedenti per la prima otteniamo:

v V V v1 1 2 2+ = + .

Isoliamo prima V2 e poi V1 nell’equazione precedente, e sostituiamo le espressioni trovate nell’equazione ( ) ( )m v V m V v1 1 1 2 2 2- = - . Ricaviamo le soluzioni generali:

( )

( )

V m mm v m m v

V m mm v m m v

2

21

1 2

2 2 1 2 1

21 2

1 1 2 1 2

=+

+ -

=+

+ -

Z

[

\

]]

]][12]

2,0 kg 1,0 kg2 1,0 kg ( 4,0 m/s) (2,0 kg 1,0 kg) (5,0 m/s)

3,0 kg3,0 kg m/s

1,0 sm

2,0 kg 1,0 kg2 2,0 kg (5,0 m/s) (1,0 kg 2,0 kg) ( 4,0 m/s)

3,0 kg24 kg m/s

8,0 sm

V

V

1

2

# # # $

# # # $

=+

- + -

=-

=-

=+

+ - -

= =

^^

hh

Z

[

\

]]

]]

PROBLEMA MODELLO 4

494


L’urto completamente anelastico

Un pattinatore si avvicina a una pattinatrice ferma e, dopo l’urto, i due pattinatori si allontanano insieme (FIGURA 6).

p1

p2 = 0

p

1

Quando due oggetti che collidono rimangono uniti dopo l’urto, si ha a che fare con un urto completamente anelastico. Il nome deriva dal fatto che in questo tipo di urto si perde la massima quantità di energia cinetica compatibile con la conservazione della quantità di moto. Si dice anelastico, in generale, un urto in cui l’energia cinetica non si conserva.

In un urto completamente anelastico la velocità finale, che è la stessa per entrambi i corpi, è determinata dalla sola conservazione della quantità di moto.

Infatti, se indichiamo con V la velocità finale dei due corpi, l’equazione [9] della conser-vazione della quantità di moto diventa

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) V.

Questa equazione ha una singola incognita, che possiamo isolare per ottenere la seguen-te soluzione:

.V m mm v m v

1 2

1 1 2 2=

+

+[13]

Se i due corpi hanno la stessa massa, cioè m1 = m2 = m, dalla [13] discende

.Vv v

21 2

=+

[14]

■ Per v1 = v e v2 = –v, la [14] dà

V = 0.

I due corpi restano fermi dopo l’urto.

FIGURA 6

L’urto del pattinatore con la pattinatrice è

completamente anelastico perché, avvenuto il contatto,

i due si muovono insieme.

v

m

2v

m m m

PER NON SBAGLIARE

■ Dopo l’urto, entrambi i carrelli rimbalzano all’indietro (lo indica il fatto che i valori delle loro velocità hanno cambiato segno): questa conclusione sarebbe rimasta la stessa se si fossero scelte come positive le velocità verso sinistra e negative quelle verso destra.

■ Il sistema [10] ammette anche la soluzione V1 = v1 e V2 = v2, che non è interessante perché descrive la situazione in cui entrambi i carrelli si muovono ancora alle loro velocità iniziali, quando l’urto non è ancora avvenuto.

495


■ Per v1 = v e v2 = 0:

.V v21

=

I due corpi, uniti, si muovono con una velocità uguale alla metà della velocità iniziale del primo.

■ Per v1 = 2 v e v2 = v:

.V v23

=

In questo caso entrambi i corpi erano inizialmente in movimento verso destra: dopo l’urto essi si muovono insieme, ancora verso destra, con una velocità di modulo ugua-le alla media dei moduli delle velocità iniziali.

PROBLEMA MODELLO 5

Il pendolo balistico p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 75 PDF


5 GLI URTI OBLIQUIL’urto tra due oggetti che si muovono liberamente nel piano o nello spazio è molto dif-ficile da studiare, perché dipende dalla forma dei due oggetti, dalle loro dimensioni e dal particolare modo in cui si urtano. Per questa ragione ci limitiamo a studiare il caso più semplice: una biglia di massa m che urta in modo elastico una seconda biglia della stessa massa, inizialmente ferma.

Indichiamo con:

■ v il vettore velocità della prima bi-glia prima dell’urto (la seconda biglia ha velocità nulla);

■ u e V i vettori velocità delle due bi-glie dopo l’urto. Essi, come dimostre-remo, sono perpendicolari.

Analizziamo l’urto in due stadi.

■ Prima imponiamo la conservazione della quantità di moto.

Poiché la velocità della seconda biglia prima dell’urto è uguale a zero, otteniamo

,mv mu mV= +

da cui, dividendo i due i membri per m,

v u V= +

La somma vettoriale delle velocità finali delle due biglie è dunque uguale alla velocità iniziale della prima (FIGURA 7).

v

m m 2m

12 v

v

m

2v

m

v

2m

v32

v

m m

V

u

B

D

A

FIGURA 7

La velocità iniziale v della prima biglia è la somma vettoriale delle velocità ue V delle due biglie dopo l’urto.

V

v

u

C

B

D

A

496


■ Poiché l’urto è elastico, imponiamo ora la conservazione dell’energia cinetica:

.mv mu mV21

21

212 2 2

= +

Da questa equazione, dividendo entrambi i membri per 21 m, troviamo

v2 = u2 + V2. [15]

La formula [15] stabilisce che, nel triangolo ABC della FIGURA 8, la somma dei quadrati di u e V è uguale al quadrato di v. Ciò significa, per il teorema di Pitagora, che ABC è un triangolo rettangolo con ipotenusa AC. Pertanto, il parallelogramma ABCD è un rettan-golo e l’angolo DABt è retto. Abbiamo quindi dimostrato che

dopo un urto in cui una biglia ne colpisce in modo elastico una seconda della stessa massa, inizialmente ferma, le due biglie hanno velocità perpendicolari tra loro.

PROBLEMA MODELLO 6

Una partita a biliardo p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 77 PDF


6 IL CENTRO DI MASSAI fuochi d’artificio sono proiettili che esplodono in volo, dividendosi in molti fram-menti che bruciano ed emettono luce. Sappiamo che, se l’attrito con l’aria è trascurabile, prima dell’esplosione questi proiettili percorrono una traiettoria parabolica. Però dopo l’esplosione, quando al posto di un singolo corpo si ha un sistema composto da molte parti, lo studio del moto si fa più complicato.

Per descrivere il moto d’insieme di un sistema di punti materiali, che chiamiamo «par-ticelle», si può definire un punto geometrico, detto centro di massa, che ha proprietà interessanti.

Caso di due particelle su una retta

Per iniziare, consideriamo due particelle di masse m1 e m2 che si muovono su una retta. A un certo istante, le due particelle si trovano rispettivamente nei punti di coordinate x1 e x2. Per definizione, l’ascissa xcm del centro di massa del sistema formato dalle due particelle (FIGURA 9) è data dalla formula:

m mm x m x

xcm1 2

1 1 2 2=

+

+

[16]

Se le due particelle hanno la stessa massa m, il centro di massa del sistema si trova nel punto di ascissa

,mm x x x x

x 2 2cm

1 2 1 2=

+

=+^ h

cioè nel punto medio tra le due particelle.

V

v

u

C

B

D

A

FIGURA 8

Il triangolo ABC è rettangolo in B.

Ge

off

rey

Ku

che

ra/S

hu

tte

rsto

ck

0

m1

x1xcm x

x2

m2

FIGURA 9

Il centro di massa è in una posizione compresa tra le

ascisse delle due particelle.

ascissa del centrodi massa (m)

massa 1 (kg)

posizione 1 (m)

posizione 2 (m)

massa 2 (kg)

497


Invece, se le particelle hanno masse diverse, il centro di massa è più vicino a quella di massa maggiore.

Caso generale

Nel caso in cui vi siano n particelle di masse m1, m2, …, mn, che occupano le posizioni x1, x2, …, xn, la formula [16] si generalizza come

x m m mm x m x m x

cmn

n n

1 2

1 1 2 2

f

f=

+ + +

+ + +[17]

Se poi le particelle si muovono nel piano, oltre alla coordinata x del centro di massa oc-corre fornire anche la su coordinata y che, in analogia con la formula [17], risulta

y m m mm y m y m y

cmn

n n

1 2

1 1 2 2

f

f=

+ + +

+ + +[18]

Per un moto nello spazio si introduce anche la coordinata zcm del centro di massa, che è data da una formula analoga alla [17] o alla [18], con il simbolo z al posto di x o di y.

il centro di massa di un sistema non soggetto a forze esterne

Esaminiamo ora il moto della chiave inglese mostrata nella figura sotto, un corpo rigido che compie contemporaneamente, con attrito trascurabile, una traslazione e una rota-zione su un tavolo orizzontale.

La forza totale che agisce sulla chiave è uguale a zero, perché la sua forza-peso e la rea-zione vincolare del tavolo sono uguali e opposte.

Il movimento della chiave inglese è piuttosto complesso, ma il bollo chiaro mostra che esiste un punto (il centro di massa, che coincide con il baricentro) che con buona ap-prossimazione si sposta di moto rettilineo uniforme. Questo è proprio il moto di un punto materiale su cui agisce una forza totale nulla.

L’esperimento mostra una delle proprietà fondamentali del centro di massa:

se la forza esterna risultante su un sistema è nulla, e quindi la quantità di moto del sistema si conserva, il suo centro di massa compie un moto rettilineo uniforme.

Questa affermazione può essere dimostrata matematicamente, partendo dai principi della dinamica, e vale anche in presenza di urti.

La FIGURA 10 mostra due punti materiali che si urtano. Il primo (in colore rosso) ha una massa di 2,0 kg e all’inizio si muove verso destra alla velocità di 5,0 m/s; il secondo (in blu) ha una massa di 1,0 kg e all’inizio si muove verso sinistra con una velocità di –4,0 m/s. Dopo l’urto entrambi i punti materiali cambiano il verso del proprio moto: il primo con una velocità di –1,0 m/s, il secondo con una velocità di 8,0 m/s.

AL VOLO

IL CENTRO DI MASSA DI UNA SQUADRA DI CALCIO

▶ Al termine di una partita di calcio la squadra in svantag-gio lancia l’attacco fi-nale. Tutti i giocatori, tranne il portiere che resta fermo, avan-zano con la stessa velocità v verso la porta avversaria. La velocità del centro di massa della squadra ha modulo maggiore, minore o uguale a quello di v ?

▶ Che cosa cambia se anche il portiere corre in avanti con velocità v ?

ANIMAZIONE

Il centro di massa

R. M

eg

na/F

ou

nd

am

en

tal P

ho

tog

rap

hs

FIGURA 10

Le velocità di due punti materiali che si urtano lungo una retta.

prima dell’urto

dopo l’urto

5,0 m/s –4,0 m/s

–1,0 m/s 8,0 m/s

498


t = 23 s

t = 22 s

t = 21 s

t = 0 s

t = 11 s

t = 12 s

t = 13 s

x = 0

Nella FIGURA 11 lo stesso urto è fotografato in istanti diversi, a intervalli di 1 s. Come istan-te t = 0 s è stato scelto quello dell’impatto; così, gli istanti di tempo negativi precedono l’urto e quelli positivi lo seguono.

A ogni istante è stata calcolata la posizione del centro di massa del sistema, che è indica-to con il simbolo , ; come si vede, per tutta la durata del fenomeno il centro di massa si muove verso destra con velocità costante.

Sempre partendo dai principi della dinamica, si dimostra che la velocità vcm con cui si muove il centro di massa è data dalla formula

,v mp

cmtot

tot=

[19]

in cui mtot è la massa complessiva del sistema e ptot

è la quantità di moto totale.

il moto del centro di massa è determinato dalla forza esterna risultante

Se su un sistema agisce una forza esterna risultante diversa da zero (e quindi la sua quantità di moto totale non si conserva), il moto del suo centro di massa non è rettilineo uniforme, ma può essere dedotto dalla seguente legge:

il centro di massa di un sistema si muove come un punto materiale che possiede tutta la massa del sistema ed è sottoposto a una forza uguale alla forza esterna risul-tante che agisce sul sistema.

■ Per esempio, il moto di un tuffatore che si lancia da un trampolino con una certa velocità iniziale è molto compli-cato da descrivere.

■ Ma il suo centro di massa percorre una parabola, come se fosse un punto materiale di uguale velocità iniziale soggetto alla forza-peso del tuffatore.

FIGURA 11

Il centro di massa del sistema (indicato con , ) si

muove a velocità costante prima e dopo l’urto.

Te

mp

Sp

ort

/Co

rbis

499


Quello che abbiamo appena enunciato non è altro che il teorema dell’impulso, applicato non a un punto materiale, ma a un corpo esteso o a un sistema di particelle: infatti le forze interne, uguali e opposte a due a due, non cambiano la quantità di moto totale. Così, soltanto la forza esterna risultante Ftot causa la variazione di p

tot:

.p F ttot totD D=

Notiamo infine, a proposito dell’esempio del tuffatore, che il centro di massa si trova talvolta fuori dalla sua figura. Infatti:

il centro di massa è un punto geometrico che non deve necessariamente coincidere con uno dei punti fisici del sistema a cui si riferisce.

PROBLEMA MODELLO 7

Carrello contro carrellop su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 78 PDF


7 IL MOMENTO ANGOLARETra il moto rettilineo e i moti circolari o rotatori vi è una certa analogia.

■ Un dischetto da hockey colpito dal-la mazza scivola a lungo sul ghiaccio in linea retta e, se non ci fossero attriti (e la pista fosse sconfinata), lo farebbe in-definitamente con velocità v costante, in accordo con la legge di conservazio-ne della quantità di moto, o con il pri-mo principio della dinamica.

■ Anche un satellite, in orbita circola-re intorno alla Terra, si muove senza rallentare. Però il satellite cambia con-tinuamente direzione e quindi la sua quantità di moto non si conserva. Esso tende tuttavia a mantenere invariato il suo moto orbitale e ciò suggerisce che esista un’altra legge di conservazione.

Per descrivere il moto circolare di un punto materiale e i moti di rotazione di un sistema di punti o di un corpo rigido, si introduce una nuova grandezza fisica, il momento an-

golare L calcolato rispetto a un punto fisso O. Come vedremo nel prossimo paragrafo, la conservazione di questo vettore spiega come mai il satellite resti in orbita senza ral-lentare né cadere sulla Terra.

momento angolare di un punto materiale

Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove con velocità v e che, a un certo istante, si trova in un punto P; indichiamo con p la quantità di moto del punto

AL VOLO

SALTO ALLA FOSBURY

▶ In un salto in alto di 2 m il centro di massa dell’atleta sale assai meno di 2 m. Un motivo è che l’asticella viene superata in stile Fosbury, arcuando la schiena: con quale vantaggio?

Ivic

a D

rusa

ny/

Sh

utt

ers

tock

v

isan

tilli

/Sh

utt

ers

tock

500


materiale p m v=^ h e con r il vettore che congiunge O con P, cioè il vettore posizione di P rispetto al punto O (FIGURA 12). Vale la seguente definizione:

Il momento angolare di un punto materiale è uguale al prodotto vettoriale tra il suo vettore posizione r e la sua quantità di moto p :

L r p#= [20]

Per la definizione di prodotto vettoriale, il momento an-golare ha:

■ direzione perpendicolare al piano che contiene r e p ;

■ verso dato dalla regola della mano destra, r con rivolto come il pollice e p che segue le altre dita (FIGURA 13): il verso di L esce dal palmo della mano;

■ modulo L espresso dalla relazione:

sen ,L r p r p r p i= = == = [21]

in cui θ è l’angolo compreso tra il vettore r e il vettore p (FIGURA 14).

Le dimensioni fisiche del momento angolare sono [m l2 t–1]: quindi, nel Sistema Interna-zionale esso si misura in kg · m2/s.

il momento angolare nel moto circolare

Consideriamo un punto materiale in moto circolare e determiniamo il suo momento angolare sceglien-do come punto O il centro della traiettoria circolare.

In questo caso il calcolo del modulo L del momento angolare è particolarmente semplice, poiché l’ango-lo θ è retto (FIGURA 15). Si ha, infatti, sen 90° = 1, per cui la [21] diventa

L = r p sen θ = r p = r m v. [22]

Nel lancio del martello, prima che l’atleta lasci la presa, la sfera com-pie un moto circolare di raggio cir-ca uguale a 2 m (variabile a secon-da della lunghezza delle braccia del lanciatore), durante il quale può raggiungere una velocità di 30 m/s. Poiché la sfera ha una massa di 7 kg, il suo momento angolare misura (2 m) (7 kg) (30 m/s) ≈ 400 kg · m2/s.

P

O

p

m

r

FIGURA 12

I vettori r e p che servono a definire il momento

angolare L .

momento angolare (kg · m2/s)

vettore posizione (m)

quantità di moto (kg · m/s)

rp LFIGURA 13

Regola della mano destra per il verso del momento

angolare L .

p

r

L

θ

O

FIGURA 14

Il vettore L ha modulo L r p sen i= ; nel caso

qui rappresentato è perpendicolare al foglio in

verso uscente (simbolo 9).

v

r

O

m

θ = 90¡

FIGURA 15

Nel moto circolare il vettore r è perpendicolare al

vettore v , e quindi anche a p m v= .

Ge

tty

Imag

es

501


LA CANOA NELLA CORRENTE

Due persone di 60 e 70 kg sono a bordo di una canoa di 45 kg che è trasportata dalla corrente del f ume da destra a sinistra. In un tratto lineare l’imbarcazione raggiunge la velocità di 6,0 m/s. Come si vede nella f gura, la canoa pro-cede lungo la retta y=2,0 m.

▶ Calcola il valore del momento angolare dell’imbarca-

zione rispetto a O(0; 0), X(4,0 m; 0 m) e Y(0 m; 2,0 m)

nel momento in cui la canoa si trova in A(4,0 m; 2,0 m).

▶ Se la corrente scorresse in verso opposto cosa cambie-

rebbe?

■ DATI

Massa dei navigatori e della canoa, m1 = 60 kg, m2 = 70 kg, m3 = 45 kg,Velocità del sistema v = 6,0 m/s diretta verso sinistra

■ INCOGNITE

Momento angolare rispetto a O, X e Y: LO, LX, LY?

L’IDEA

Applico la def nizione del momento angolare ai tre casi richiesti, valutando caso per caso il valore dell’angolo compreso tra il vettore posizione e il vettore quantità di moto.

LA SOLUZIONE

Per ciascuno dei tre punti O, X, Y:

■ Calcolo distanza della barca rispetto al punto scelto per determinare il vettore posizione.

■ Determino l’angolo compreso fra r e p .

■ Calcolo il valore del momento angolare.

La massa totale del sistema formato dalla canoa e dai due navigatori è: m = m1 + m2 + m3 = 175 kg.

PROBLEMA MODELLO 8

il momento angolare di un sistema

Il momento angolare L di un sistema composto da n punti materiali è dato dalla som-ma vettoriale dei singoli momenti angolari , , ... ,L L Ln1 2 tutti calcolati rispetto allo stesso punto O:

... .L L L Ln1 2= + + + [23]

In base alla [23] si definisce anche il momento angolare di un corpo rigido, che può essere considerato come un insieme di un numero n molto grande (tendente all’infini-to) di particelle arbitrariamente piccole (infinitesime), ciascuna con un suo momento angolare.

AL VOLO

E LA VELOCITÀ ANGOLARE?Relativamente al moto circolare, ricorda o ricerca la relazione tra modu-lo v della velocità, velocità angolare ω e raggio r della circon-ferenza. Poi mostra che la formula [22] si può esprimere come

L = m r2 ω.

502


8 CONSERVAZIONE E VARIAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Per i moti circolari e rotatori, il momento angolare L rappresenta l’analogo di ciò che la quantità di moto p rappresenta per i moti rettilinei. In un moto rettilineo, p si conserva se la forza risultante è nulla; in un moto circolare o rotatorio, per L vale una legge di conservazione simile:

il momento angolare di un sistema di punti materiali si conserva nel tempo se il momento totale delle forze esterne che agiscono su di esso è nullo.

Per il terzo principio della dinamica, le forze interne a un sistema sono, a due a due, uguali e opposte. I loro effetti, pertanto, si annullano ed esse non hanno alcuna influenza sul momento angolare totale: solamente il momento tota-le delle forze esterne può modificare il momento angolare.

Se gli attriti sono trascurabili, una ruota di bicicletta mes-sa in rotazione continua a girare attorno al proprio asse. Sulla ruota agisce la forza-peso F p , applicata al baricentro, che coincide con il centro di rotazione O; il momento M

della forza F p rispetto a O è nullo, poiché il braccio di tale forza è nullo.

RICORDA

Per definizione, il momento M di una forza F rispetto a un punto O è il prodotto vettoriale

rM F#= , dove r è il vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto a O.

FpFFFFFFppppppppppppppppp

O

distanza nulla tra O e Fp

Caso 1: Calcolo del momento angolare rispetto al punto O (0,0).

■ Se l’imbarcazione si trova nel punto A (4,0 m; 2,0 m), la distanza dall’origine O vale:

( ) ( ) (4,0 m) (2,0 m) 4,5 mAO x x y y 2 2A O A O

2 2= - + - = + = .

■ L’angolo compreso fra r e p vale: arcsin( 4,5 m2,0 m

) 26 cj = = .

■ Il momento angolare ha intensità:

sin (4,5 m) (175 kg) (6,0 m/s) 4,5 m2,0 m

2,1 10 kg m /sL AOmv 3 2O # # # # $j= = =

e verso entrante nel foglio per la regola della mano destra.

Caso 2: Calcolo del momento angolare rispetto al punto X (4,0 m ; 0).

■ Se l’imbarcazione si trova nel punto A (4,0 m; 2,0 m), la distanza da X vale: AX =2,0 m.

■ L’angolo compreso fra r e p vale 90°.

■ Il momento angolare ha intensità

.sin (2,0 m) (175 kg) (6,0 m/s) 1 2,1 10 kg m /sL AX mv 3 2X # # # # $j= = = E verso entrante nel foglio per la

regola della mano destra.

Caso 3: Calcolo del momento angolare rispetto al punto Y (0; 2,0 m).

■ Se l’imbarcazione si trova nel punto A (4,0 m; 2,0 m), la distanza da Y vale: AY =4,0 m

■ L’angolo compreso fra r e p vale 0°.

■ Il momento angolare ha intensità: sin (2,0 m) (175 kg) (6,0 m/s) 0 0 kg m /sAYL mv 2Y # # # $j= = = . Poi-

ché il vettore posizione è parallelo al vettore velocità in questo terzo caso il momento angolare ha valore zero.

■ Se la corrente scorresse in verso opposto, cioè da sinistra verso destra, si invertirebbe il verso del vettore momen-to angolare.

FFFFFFFFFFFFFFFFF

O

503


Il momento della forza rispetto al centro di rotazione è nullo anche per un satellite su cui

agisce la forza di gravità F esercitata dalla Terra (figura 16).

esempi di conservazione del momento angolare

In un sistema binario di stelle, le forze presenti

sono forze interne (le forze di reciproca attrazio-

ne gravitazionale). Le forze esterne (forze gravi-

tazionali di altre stelle, molto lontane) sono tra-

scurabili e quindi è trascurabile il loro momento

totale rispetto al centro di rotazione del sistema.

Di conseguenza, mentre le due stelle cadono a

spirale l’una sull’altra, il loro momento angolare

totale si conserva.

Il momento angolare è un vettore e quindi, quando si

conserva, non rimane invariato solo il suo modulo, ma

restano costanti anche la sua direzione e il suo verso.

Così, se gli attriti sono trascurabili, una ruota non solo

tende a girare sempre con la stessa velocità angolare,

ma anche nello stesso piano: ciò significa che il vet-

tore momento angolare, che ha la direzione dell’asse

di rotazione della ruota, si mantiene invariato. Questa

proprietà entra in gioco quando si va in bicicletta: la

conservazione del momento angolare, infatti, tende a

far girare le ruote sempre nello stesso piano e quindi

aiuta a mantenere l’equilibrio (figura 17).

Perché l’equilibrio in bicicletta è più stabile se si procede ad alta velocità? Se la velocità

di rotazione delle ruote aumenta, aumenta anche il modulo di L : quanto maggiore è L ,

tanto più difficile è modificarne sia il valore sia la direzione.

Il giroscopio è uno strumento concettualmente simile

a una trottola o a una ruota di bicicletta. Una volta po-

sto in rotazione, per la conservazione del momento

angolare esso tende a mantenere sempre lo stesso asse

di rotazione rispetto a un sistema di riferimento iner-

ziale. Grazie a questa proprietà è utilizzato per la rea-

lizzazione di strumenti di controllo della navigazione

marina e aerea: la girobussola, per esempio, indica in

ogni istante il Nord vero (non quello magnetico, indi-

cato dalla bussola ad ago magnetico), proprio grazie a

un giroscopio posto al suo interno.

Come fa il conducente di un Segway a stare in equili-

brio senza difficoltà su due ruote affiancate? Il veicolo

è dotato di almeno tre giroscopi elettronici (uno per

ogni asse cartesiano dello spazio tridimensionale) che

controllano la sua orientazione spaziale; una serie di

processori interroga 100 volte al secondo i giroscopi e

invia ai motori elettrici delle ruote le istruzioni di mo-

vimento che servono a mantenere l’equilibrio.

F

distanza nulla tra O e retta

che contiene F

O

FFFFFFFFF

distanza

FFFFFFFFFFFFF

OOOOOOOOOOOOOOOOOO

figura 16

Rispetto al centro della Terra O, il momento della

forza di gravità F sul satellite è nullo perché il

braccio di F è nullo.

NA

SA

/To

d S

tro

hm

aye

r (G

SF

C)/

Dan

a B

err

y (C

han

dra

X-R

ay

Ob

serv

ato

ry)

L

L

Ge

tty

Imag

es

figura 17

La conservazione di Lfavorisce l’equilibrio della bicicletta.

Joh

nn

y Lye

/Sh

utt

ers

tock

Ge

tty

Imag

es

504


La legge di variazione del momento angolare

Se, per un intervallo di tempo ∆t, su un sistema agiscono forze che hanno un momento totale costante M rispetto a un punto O, la variazione del momento angolare del siste-ma è data dall’equazione:

.L M tD D= [24]

Se giriamo un timone con una forza F di modulo co-stante, sempre perpendicolare alla maniglia e applica-ta a distanza r dal centro (FIGURA 18), il momento della forza rispetto al centro è costante e ha modulo M = r F. Nel caso in cui il timone sia inizialmente fermo, dopo un tempo ∆t il momento angolare da esso acquistato ha modulo L = M ∆t = r F ∆t.

La legge espressa dalla [24] è l’analogo, per le rota-zioni, del teorema dell’impulso che vale per i moti di traslazione. Essa stabilisce che il momento angolare Ldi un sistema si conserva (cioè si ha L 0D = ) quando il momento delle forze esterne applicate al sistema è nullo; altrimenti, la variazione di L è uguale al pro-dotto tMD .

La tabella qui sotto riassume e mette a confronto le proprietà della quantità di moto e del momento angolare di un sistema.

SI CONSERVA SE… VARIA SECONDOL’EQUAZIONE…

Quantità di moto p

la forza esterna risultante n1 2 ...F F F F= + + + che agisce sul sistema è uguale a zero.

p F tD D=

( p 0D = se F 0= )

Momento angolare L r p#=

il momento totale n n1 1 2 2M r F r F r F# # #f= + +

delle forze esterne che agiscono sul sistema è ugua-le a zero.

L M tD D=

( L 0D = se M 0= )

dimostrazione della legge di variazione del momento angolare

Considera un punto materiale di massa m che si muove sotto l’effetto di una forza F , cioè con ac-celerazione /a F m= ; fissa un punto O (che è anche l’origine delle posizioni) rispetto al quale calcolare i momenti.

A un certo istante t la posizione del punto materiale rispetto a O è data dal vettore r e la sua velocità è v . Dopo un intervallo di tempo ∆t infinitamente piccolo, la nuova posizione del punto materiale è descritta dal vettore 'r r rD= + e la sua nuova ve-locità è 'v v vD= + (FIGURA 19).

momento della forza (N · m)

variazione del momento angolare (kg · m2/s) intervallo di tempo (s)

r

F

FIGURA 18

La forza F produce un momento M che in un tempo tD fa variare il

momento angolare del timone di tL MD D= .

O

r

r' = r + Δrv

v' = v + Δv

FIGURA 19

In un intervallo di tempo ∆t infinitamente piccolo,

il vettore posizione re la velocità v di un

punto materiale variano di quantità rD e vD

infinitesime.

505


Dalle equazioni della cinematica…

■ Dalla cinematica del punto materiale sai che le due quantità rD e vD sono date dalle formule

,r v tD D= .v a tD D= [25]

Visto che ∆t è infinitamente piccolo, lo sono anche rD e vD .

e dalla definizione di momento angolare…

■ Ricorda che il momento angolare L è il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r e la quantità di moto m v e calcola la variazione LD :

.

r vm r v m r r v v r v

m r v r v r v r v r v

m r v r v

mL L L # # #

# # # # #

# #

#D D D

D D D D

D D

= - = = + + - =

= + + + - =

= +

-l l l ^ ^^^

h hh

h6 @

Nell’ultimo passaggio si tralascia il termine r v#D D , che è trascurabile, poiché è il prodotto di due quantità molto piccole.

ottieni la relazione tra variazione del momento angolare e momento della forza.

■ Ora sostituisci le formule [25] nell’ultima espressione trovata e svolgi i calcoli (tenendo presente che il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo):

.

L m t v v r a t r m a t

r F t M t

0# # #

#

D D D D

D D

= + = +

= =

^ ^h hHai ricavato, così, la formula [24] nel caso di un punto materiale. Essa vale, tuttavia, anche per i corpi rigidi e per i sistemi di più corpi.

Se M varia nel tempo, per applicare la [24] bisogna considerare un intervallo ∆t infini-tamente piccolo (durante il quale M è approssimativamente costante); se M è costante, invece, questa equazione vale per intervalli di tempo di qualsiasi durata.

9 IL MOMENTO D’INERZIANel moto di traslazione la resistenza che un corpo oppone a qualunque variazione della propria velocità, cioè l’inerzia del corpo, è misurata dalla massa. Per le rotazioni si defi-nisce un analogo della massa, chiamato momento d’inerzia, che misura la tendenza di un corpo o di un sistema a mantenere il proprio stato di moto rotazionale.

Come vedremo, il momento d’inerzia dipende dalla massa, ma anche da come la massa è distribuita intorno all’asse di rotazione.

■ Far ruotare il manubrio è relativa-mente facile se le masse sono vicine.

■ Se le stesse masse sono più distanti, far ruotare il manubrio è più difficile.

IN LABORATORIO

Momento d’inerzia e accelerazione angolare

506


momento angolare di un corpo rigido e momento d’inerzia

Vogliamo calcolare il momento angolare di un corpo rigido: iniziamo con un caso par-ticolare.

■ Un corpo rigido molto semplice è composto da tre particelle di masse m1, m2 e m3, collegate rigidamente al cen-tro di rotazione O mediante tre sbar-rette di massa trascurabile.

■ Le lunghezze delle aste sono r1, r2, r3

e il corpo rigido ruota attorno a O con velocità angolare ω. Indichiamo con

, ,v v v1 2 3 i vettori velocità delle tre parti-celle.

Il momento angolare totale L del corpo rigido rispetto a O è uguale, per la [23], alla somma dei momenti , , ,L L L1 2 3 delle tre particelle. Questi hanno tutti la stessa direzione (perpendicolare al foglio del libro) e lo stesso verso (uscente dal foglio). Quindi il mo-dulo di L è semplicemente la somma dei tre moduli L1, L2 e L3.

Poiché i vettori posizione sono perpendicolari alle velocità (e alle quantità di moto) delle particelle, si ha L1 = m1 v1 r1 ecc.; pertanto,

L = L1 + L2 + L3 = m1 v1 r1 + m2 v2 r2 + m3 v3 r3.

Semplifichiamo questa espressione usando la velocità angolare ω e scrivendo, per esem-pio, v1 = ω r1; allora il primo addendo diventa m1 v1 r1 = m1 (ω r1) r1 = m1

2r1 ω.

Ripetendo la stessa operazione per v2 e v3, otteniamo

.L m r m r m r m r m r m r1 12

2 22

3 32

1 12

2 22

3 32~ ~ ~ ~= + + = + +^ h

La quantità che compare tra parentesi nell’ultima espressione costituisce il momento

d’inerzia I del corpo rigido. Il modulo del momento angolare diviene, dunque:

L I ~= [26]

Dalla definizione, l’unità di misura del momento d’inerzia è il kg · m2.

Il momento d’inerzia di un corpo rigido formato da n masse puntiformi è dato da

... .I m r m r m rn n1 12

2 22 2

= + + + [27]

Un solido, normalmente, non è costituito di masse puntiformi separate: in esso la massa è distribuita con continuità. Si può sempre immaginare, tuttavia, di suddividere il soli-

m1m2

m3

OO

v2

v3

v1

r1

r2

r3

ω

RICORDA

Nel S.I. gli angoli vengono misurati in radianti. La misura in radianti di un angolo a è il numero puro che si ottiene dal rappor-to tra la lunghezza dell’arco l e la lun-ghezza del raggio r.

momento d’inerzia (kg · m2)

modulo del momento angolare (kg · m2/s)

velocità angolare (rad/s)

507


do in n parti (fIgurA 20). Se n è sufficientemente grande, ciascuna delle parti è abbastanza piccola da poter essere considerata puntiforme.

Per calcolare il momento d’inerzia di un solido è necessario far crescere n all’infinito; in questo caso le masse m1, m2… diventano infinitamente piccole. Inoltre, quando il corpo rigido è tridimensionale (anziché planare come quello formato da tre sole masse) i valori r1, r2… sono le distanze delle singole masse dall’asse di rotazione (e non da un singolo punto O).

La tabella seguente mostra i valori dei momenti d’inerzia calcolati, sulla base della defi-nizione [27], per diversi corpi rigidi di forma comune.

momenTi di ineRziA di ALCUni CoRpi Rigidi

r

Guscio cilindrico, rispetto all’asse I = mr 2 l

r

Guscio cilindrico, rispetto a un diametro passante per il centro

2 2I mr ml21

121

= +

r

Cilindro pieno, rispetto all’asse

2I mr21

=l

r

Cilindro pieno, rispetto a un diametro passante per il centro

2 2I mr ml41

121

= +

r Sfera piena, rispet-to a un diametro

2I mr52

=

l

Asta sottile, rispetto a una retta perpendicolare pas-sante per il suo centro

2I ml121

=

relazione tra momento d’inerzia e velocità angolare

A parità di massa totale il momento d’inerzia aumenta al crescere delle dimensioni del corpo e diminuisce se il corpo si contrae.

■ Un ragazzo che regge due manubri da palestra con le braccia aperte siede su uno sgabello che può girare attorno a un asse e ruota con una certa velocità angolare.

■ Quando stringe le braccia, il suo momento angolare I ω si conserva (se gli attriti sono trascurabili). Visto che I diminuisce, la velocità angolare ω au-menta.

In questo esempio, il momento angolare si conserva perché il momento totale delle

fIgurA 20

Un cubo può essere idealmente suddiviso in un gran numero di cubetti, ciascuno dei quali può essere trattato come una massa puntiforme.

508


forze esterne rispetto a qualsiasi punto è nullo. In assenza di attriti, una volta messo in rotazione lo sgabello, le uniche forze esterne che agiscono sul ragazzo sono la sua for-za-peso e la reazione vincolare dello sgabello, che si annullano.

Questo fenomeno è molto sfruttato negli sport:

■ i pattinatori aumentano la propria velocità di rotazione attorno all’asse ver-ticale avvicinando le braccia al corpo.

■ I tuffatori riescono a ruotare velo-cemente attorno a un asse orizzontale raggruppando il corpo il più possibile.

L’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione

Usando il momento d’inerzia possiamo esprimere in maniera semplice l’energia cine-tica di un corpo rigido in rotazione. Torniamo infatti al corpo rigido composto di tre particelle: se esso ruota con velocità angolare ω, la sua energia cinetica è

.

K m v m v m v m r m r m r

m r m r m r

21

21

21

21

21

1 12

2 22

3 32

1 12 2

2 22 2

3 32 2

1 12

2 22

3 32 2

~ ~ ~

~

= + + = + + =

= + +

^^

hh

Nell’ultimo passaggio, la quantità che si trova tra parentesi è il momento d’inerzia del corpo rigido. Qualunque sia il numero di punti che formano il corpo, possiamo ripetere il calcolo nella stessa maniera e otteniamo sempre il risultato:

.K I21 2~=

[28]

La dinamica rotazionale di un corpo rigido

Un corpo rigido che ruota attorno a un asse con velocità angolare ω ha un momento angolare di modulo L = I ω, diretto lungo l’asse di rotazione. Se il corpo viene accelerato fino a una velocità angolare ω', il modulo del suo momento angolare diventa L' = I ω'.

La variazione del momento angolare del corpo (che riguarda solo il modulo del vettore Le non la sua direzione, visto che il corpo continua a ruotare intorno allo stesso asse) vale

∆L = L' – L = I ω' – I ω = I (ω' – ω) = I ∆ω.

Die

go

Barb

ieri

/Sh

utt

ers

tock

marc

ello

fari

na/S

hu

tte

rsto

ckenergia cinetica di rotazione (J) velocità angolare (rad/s)


509


Dalla [24] possiamo allora scrivere

∆L = I ∆ω = M ∆t.

Se dividiamo per ∆t gli ultimi due termini di questa formula, otteniamo

.M It~DD

= [29]

Il rapporto ∆ω/∆t esprime la rapidità con cui varia la velocità angolare del corpo ed è chiamato accelerazione angolare α:

ta

~DD

=

[30]

Usando l’accelerazione angolare, la formula [29] può essere riscritta come:

M I a= [31]

Questa formula, che descrive la rotazione di un corpo rigido, è analoga alla legge F = m a che vale per un moto di traslazione. La tabella seguente riassume le corrispondenze e le analogie tra le grandezze dei moti di traslazione e quelle dei moti di rotazione.

MOTI DI TRASLAZIONE DI UN PUNTO MATERIALE

MOTI DI ROTAZIONE DI UN CORPO RIGIDO

massa m momento di inerzia I

velocità v velocità angolare ω

accelerazione a accelerazione angolare α

forza F momento della forza M

quantità di moto p mv= momento angolare L = I ω

legge F ma= legge M Ia=

energia cinetica K mv21

traslazione2

= energia cinetica K I21

rotazione2~=

accelerazione angolare (rad/s2)


variazione della velocità angolare (rad/s)

momento della forza (N · m) accelerazione angolare (rad/s2)


IL CILINDRO CHE SCIVOLA E IL CILINDRO CHE ROTOLA

Due cilindri di vetro (1 e 2) uguali sono mantenuti fermi all’estremità più alta (h = 4,0 m) di un piano inclinato di 45°. Una volta lasciati liberi, il cilindro 2 rotola senza strisciare in una regione dove è presente attri-to e il cilindro 1 percorre una regione del piano inclinato senza attrito, come si vede nella fgura.

▶ Quale cilindro arriva prima in fondo alla discesa?

▶ Qual • la loro velocitˆ in fondo alla discesa?

Considera la massa dei cilindri concentrata in un punto, il loro centro di massa.

PROBLEMA MODELLO 9

510


PROBLEMA MODELLO 10

Una carrucola reale p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 81 PDF


■ DATI

Angolo di inclinazione α = 45°Altezza del piano inclinato h = 4,0 m

■ INCOGNITE

Velocità fnale del cilindro 1 e del cilindro 2.v1 = ?v2 = ?

L’IDEA

Per studiare le traslazioni di un corpo rigido analizziamo il moto del suo centro di massa. In questo modo, è come se studiassimo il moto di un punto materiale.In presenza di attrito il cilindro 2 rotola senza strisciare; questo vuol dire che, come si vede nella fgura, il punto M di contatto tra il cilindro e il piano ha velo-cità nulla. La fgura mostra che, nel rotolamento, la velocità angolare è legata alla velocità del centro di massa dalla relazione vcm = ωr. Il cilindro 1 scivola senza ruotare poiché non è presente l’attrito, responsabile del rotolamento.

In entrambi i casi si può applicare la conservazione dell’energia meccanica al centro di massa. Alla fne del pia-no inclinato, cioè in fondo alla discesa, entrambi i cilindri, pur avendo la stessa energia cinetica, hanno velocità diverse. Questa diferenza di velocità è dovuta al fatto che nel caso del rotolamento una parte dell’energia cine-tica è spesa per ruotare intorno al centro di massa. Quindi possiamo concludere che il cilindro che rotola arri-verà dopo.

LA SOLUZIONE

Per ciascuno dei due cilindri:

■ Scrivo le equazioni per la conservazione dell’energia meccanica del centro di massa.

■ Risolvo le due equazioni nelle incognite v1 e v2.

Applico ai due cilindri la conservazione dell’energia meccanica scegliendo come istante iniziale quello con il ci-lindro in cima al piano inclinato e come istante fnale quello con il cilindro in fondo della discesa.

Caso 1: cilindro 1 che scivola senza attrito.

Ei= Ef cioè vmgh m0 0 21 2

1+ = + , quindi 2 (9,8 m/s ) (4,0 m) 8,9 m/sv gh2 21 # #= = = .

Caso 2: cilindro 2 che rotola senza strisciare (con attrito). In questo caso l’espressione dell’energia cinetica diventa K mv I2

121

f cm2 2~= + e quindi l’equazione di conser-

vazione dell’energia meccanica Ei= Ef assume la forma mgh mv I0 0 21

21

cm2 2~+ = + + . Sappiamo che r

vcm~ =

e che il momento d’inerzia rispetto all’asse di un cilindro pieno vale I mr21 2

= ; pertanto

mgh mv mr rv

mv21

21

21

43

cmcm

cm2 2

22

$ $= + =a k e 34

(9,8 m/s ) (4,0 m) 7,2 m/sv gh34 2

2 # #= = = .

PER NON SBAGLIARE

Quando un corpo rigido rotola, la sua energia cinetica è costituita da quella dovuta alla traslazione e da quella do-vuta alla rotazione. Se dimentichi il contributo della rotazione, è come se trattassi il caso semplice 1 senza attrito.

511


511

LE NUOVE TECNOLOGIE

il volano: come sfruttare il moto di rotazione per imma-gazzinare energiaUn volano è una «batteria meccanica»: immagazzina energia come una batteria ma, a differenza di una batteria, che accumula energia chimica, esso accumula energia cinetica di rotazione.

I volani sono dischi o, preferibil-mente, gusci cilindrici di grande massa, che ruotano liberamente at-torno al proprio asse. Il perché della loro forma è facile da spiegare: in un guscio cilindrico la massa è concen-trata lungo il bordo, il più possibile lontano dall’asse di rotazione, e ciò rende massimo (a parità di massa) il momento d’inerzia.

Una volta messo in rotazione, un corpo rigido con grande momento d’inerzia oppone un’elevata resisten-za alle variazioni del proprio stato di moto; quindi continua a girare a lungo con la stessa velocità angolare e con la stessa energia cinetica.

Qual è l’interesse tecnologico di un oggetto così elementare? L’impiego delle batterie a volano è promettente, soprattutto, nel campo delle energie rinnovabili. Il solare e l’eolico potrebbero infatti diventare fonti energetiche di primaria importanza, se solo si riuscisse a superare il problema della loro discontinuità (l’irraggiamento solare dura solo dall’alba al tramonto e il vento non soffia sempre), cioè se si trovasse un modo efficace per immagazzinare energia su vasta scala. Le batterie chimiche non sono la soluzione, perché sono costose e ingombranti, contengono sostanze inqui-nanti e si deteriorano in breve tempo.

Una batteria a volano è sem-plice concettualmente, ma non altrettanto semplice da re-alizzare. Il problema principa-le è l’eliminazione degli attriti che, come mostra lo schema a fianco, è tipicamente risolto mediante l’uso di:

▶ sospensioni magnetiche (analoghe ai sistemi utiliz-zati per i treni a levitazio-ne magnetica), grazie alle quali il volano ruota senza contatto con supporti mec-canici;

▶ una camera a vuoto che rac-chiude il sistema e lo libera dalla resistenza dell’aria.

Il sistema comprende un moto-generatore. Il momento della forza esercitata da que-sto dispositivo incrementa o riduce, a seconda del suo verso, la velocità angolare del volano; quando il volano rallenta, il moto-generatore converte l’energia cinetica di rotazione in energia elettrica.

Co

rbis

asse di rotazione sospensionimagnetichesuperiori

connessionielettriche

involucro

sospensionimagneticheinferiori

moto -generatore

volano

pompada vuoto

AL VOLO

UN VOLANO IN OGNI CASA?Una casa è alimen-tata da pannelli fotovoltaici. Durante il giorno l’energia prodotta in eccesso carica una batteria a volano, che restitui-sce l’energia quando il Sole non c’è, dal tramonto all’alba. Il volano ha una massa di 340 kg e un raggio di 0,33 m e, quando è «carico», compie 18 000 giri al minuto.

▶ Qual è il momento d’inerzia del volano (un guscio cilindrico) e qual è l’energia da esso accumulata?

[37 kg · m2; 66 MJ]

▶ Se questa energia viene rilasciata con una potenza media di 1,0 kW, quante ore impiega il volano a fermarsi?

[18 h]

▶ In media, la potenza elettrica consumata in una casa è infe-riore a un kilowatt (verificalo dalla tua bolletta!): l’energia del volano è suffi-ciente a garantire autonomia elettrica alla casa?

1

512


GIRA E RIGIRA In questo esperimento analizzerai la rotazione di una piattaforma utilizzando il tuo smartphone.

Cosa ti occorre

▶ Uno smartphone con una app per misurare le velocità angolari.

▶ Un giradischi (o una piattaforma rotante).

▶ Supporti per fissare lo smartphone sulla piattaforma.

▶ Righello o cordella metrica.

Le app

All’interno dello smartphone ci sono tre giroscopi (sensori elettronici miniaturizzati) attraverso i quali si rilevano i movimenti di rotazione attorno ai tre assi tridimensionali X, Y e Z.

Utilizzando una app come quella in figura, registrere-mo la velocità angolare di rotazione di una piattaforma su cui è appoggiato lo smartphone.

Procedimento

1 Colloca lo smartphone direttamente sul piatto del giradischi o della piattaforma, come nella figura sotto. Per evitare che scivoli via, lo puoi inserire in una custodia fissata alla piattaforma con nastro biadesivo.

2 Apri sullo smartphone la app per la misura delle velocità angolari.

3 Lancia l’acquisizione dei dati, quindi metti in moto il giradischi (per esempio a 45 o 78 giri/min) o fai partire manualmente la rotazione della piattaforma.

4 Al termine, chiudi l’acquisizione dei dati.

5 Osserva i grafici ottenuti.

Analisi dei dati

Le figure seguenti riportano due esempi di grafici della velocità angolare attorno all’as-se Z in funzione del tempo. Nel primo esempio il giradischi ruotava a 45 giri/min e lo smartphone era collocato sul piatto, come nella figura precedente; poi il motore è stato spento e il giradischi si è fermato rapidamente.

Nel secondo caso, lo smartphone era posto su una piattaforma libera, non motorizzata; è stata messa in rotazione manualmente, poi lasciata libera di ruotare per inerzia, ral-lentando lentamente.

Individua anche nel tuo grafico le stesse fasi.

Nel caso del giradischi: la velocità angolare letta nel grafico che lo smartphone ha rag-giunto prima di iniziare il rallentamento corrisponde a quella nominale? Fai un controllo.

Nel caso di una piattaforma libera: se ripeti l’esperimento facendo ruotare la piattafor-ma in senso opposto al precedente cosa ti aspetti che succeda? Verifica sperimental-mente la tua ipotesi.

Z

Heading

Roll Pitch

X Y

010

ESPERIMENTI CON LO SMARTPHONE

(3,627, –1,065)

Z (

rad

/s)

0 5 10t (s)

0

–5

–1

1

–3

(5,91, –7,302)

Z (

rad

/s)

0 10 20 30t (s)

0

–15

–10

–5

513

I COnCettI e le leggI La quantità di moto e iL momento angoLare

quantità di moto

■ p mv= è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore velocità.

■ In un sistema isolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva.

impulso di una forzaI F tD= è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore forza.

teorema dell’impulso p F t ID D= = : la variazione della quantità di moto totale di un corpo è uguale all’impulso della forza che agisce

su di esso.

urti su una retta

■ Durante un urto i due corpi che collidono si comportano come un sistema isolato e, quindi, la loro quantità di moto totale si conserva: m v m v m V m V1 1 2 2 1 1 2 2+ = +

■ Se l’urto è elastico, oltre alla quantità di moto totale si conserva anche l’energia cinetica.

■ Se l’urto è completamente anelastico, si conserva solo la quantità di moto totale, i corpi che si urtano restano attaccati

e la loro velocità finale è V m mm v m v

1 2

1 1 2 2=

+

+.

urti obliquiDopo un urto in cui una biglia ne colpisce in modo elastico una seconda della stessa massa, inizialmente ferma, le due biglie hanno velocità perpendicolari tra loro.

Centro di massa

■ L’ascissa del centro di massa di un sistema formato da n particelle puntiformi è ......

x m m mm x m x m x

cmn

n n

1 2

1 1 2 2=

+ +

+ + +.

■ Il centro di massa di un sistema fisico isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

■ Il centro di massa di un sistema fisico non isolato si muove come un punto materiale che possieda tutta la massa del sistema e che sia soggetto alla stessa forza esterna risultante a cui è sottoposto il sistema.

momento angolare di una particellaL r p#= è un vettore perpendicolare al piano che contiene r e p e il suo verso è dato dalla regola della mano destra.

momento angolare di un corpo rigido

■ L I~= , dove ...I m r m r m rn n1 12

2 22 2

= + + + è il momento di inerzia e ω è la velocità angolare.

■ La variazione del momento angolare L M t$D D= si riscontra quando sul sistema agisce un momento torcente M

per un certo intervallo di tempo tD .

energia cinetica di rotazione

K I21 2~= : la sua espressione è analoga a quella dell’energia cinetica di traslazione K = 1/2mv2 se si scambia la

massa m col momento d’inerzia I e la velocità v con la velocità angolare ω.

dinamica rotazionale di un corpo rigido

M It

I~

aD

D= = : è l’analogo rotazionale della seconda legge della dinamica F = ma.

Mappa InterattIva

514

ESERCIZI

15

1 LA QUANTITÀ DI MOTO

DOMANDE

APPLICA I CONCETTI Due masse m1 e m2 viaggiano lungo l’asse x a velocità v1 e v2 . Quanto deve valere il rapporto m1 / m2 perché esse abbiano la stessa quanti-tà di moto?

È possibile che la quantità di moto abbia verso opposto alla velocità?

Un’auto guida verso nord con una velocità data. Al ritor-no guida verso sud con la stessa velocità. La quantità di moto è la stessa e perché?

APPLICA I CONCETTI Stai palleggiando con una palla da basket, e la sua velocità in modulo è la stessa sia quan-do scende sia quando risale dal pavimento. La variazio-ne della quantità di moto è zero quando la palla colpisce il pavimento? Se no, quali sono la sua direzione e il suo verso? Fai un disegno.

IN FORMA DI GRAFICO Una palla di gomma di 10 g cade da un tavolo e rimbalza a terra. Usa un foglio di cal-colo per completare la tabella e riportare in un grafco i risultati: nell’asse x la quantità di moto e nell’asse y l’e-nergia cinetica. Quale curva ottieni?

ALTEZZA (m)

VELOCITÀ (m/s)

ASSE xQUANTITÀ DI MOTO (kg m/s)

ASSE yENERGIA CINETICA

½ mv2

1,1 0 00,8 −2,43 −0,02430,6 −3,12 −0,03120,2 −4,20 0,0880 −4,650,1 4,43 0,04430,3 3,96 0,0780,6 3,130,9 1,98

PROBLEMI

PROBLEMA MODELLO 1

Una corsa al circo p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 73 PDF


1

2

3

4

5

Una palla da calcio di massa 1,0 kg viaggia alla velocità di 99 km/h.

▶ Quanto vale la sua quantità di moto?

[28 kg ∙ m/s]

PER NON SBAGLIARE

■ LA QUANTITË DI MOTO é UN VETTORE

Quando scrivi l’equazione per la conservazione della quantità di moto negli urti su una retta, ricordati che il verso delle velocità dei singoli oggetti può essere indicato con il segno + o il segno −. Per esempio, nel caso di due carrelli in moto uno verso l’altro, puoi fssare come positivo il verso a destra, così la velocità del carrello in moto verso sinistra ha segno negativo.

Uno sciatore d’acqua (massa complessiva 80 kg) è trai-nato da un motoscafo (massa complessiva 550 kg) alla velocità di 36 km/h.

▶ Quanto valgono le quantità di moto dello sciatore e del motoscafo?

[ 8,0 × 102 kg ∙ m/s; 5,5 × 103 kg ∙m/s ]

Due auto di massa 1500 kg stanno viaggiando alla veloci-tà di120 km/h in due direzioni tra di loro perpendicolari.

▶ Rappresenta grafcamente la situazione descritta.

▶ Calcola il valore della quantità di moto di ciascuna auto.

▶ Le due quantità di moto sono uguali?

▶ Quanto vale la quantità di moto totale delle due auto?

[5,00 × 104 kg ∙ m/s; 7,07 × 104 kg ∙ m/s]

La quantità di moto totale delle due auto dell’esercizio precedente, che procedono sempre in direzioni tra di loro perpendicolari, vale ora 8,9 × 104 kg∙m/s.

▶ Calcola il valore della velocità di ognuna delle due auto.

[1,5 × 102 km/h]

Un’auto (m = 1,2 t) e un camion (M = 30 t) stanno proce-dendo sulla stessa strada alla velocità di 50 km/h. Quan-do arrivano a un incrocio stradale l’auto svolta verso nord-ovest mentre il camion continua a procedere lungo la direzione nord.

O O

SS

NN

EE

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10★ ★ ★

LA QUANTITÀ DI MOTO E IL MOMENTO ANGOLARE

ESERCIZILa quantità di moto e iL momento angoLaremeCCaniCa

515

▶ Disegna i vettori quantità di moto dell’auto e del ca-mion e la loro somma, prima e dopo l’incrocio.

▶ Calcola la quantità di moto totale, prima e dopo l’in-crocio.

[4,3 × 105 kg ∙ m/s; 4,3 × 105 kg ∙ m/s]

Una palla da biliardo (m = 200 g, vi = 5,0 cm/s) urta un’altra palla da biliardo identica inizialmente ferma. Dopo l’urto queste formano un angolo di 30° e 60° ri-spetto alla direzione del moto iniziale e hanno velocità fnali di 4,3 cm/s e 2,6 cm/s rispettivamente.

vi = 5,0 cm/s

vf = 2,6 cm/s

vf = 4,3 cm/s

▶ Disegna i vettori quantità di moto prima e dopo l’urto.

▶ Disegna il vettore quantità di moto del sistema prima e dopo l’urto.

▶ Calcola il modulo della quantità di moto del sistema prima e dopo l’urto.

[1,0 × 10−2 kg ∙ m/s]

PROBLEMI IN PIÙ

p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 74 PDF


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2 L’IMPULSO DI UNA FORZA E LA VARIAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

DOMANDE

APPLICA I CONCETTI Quando salti giù da un muretto ti viene spontaneo fettere leggermente le ginocchia quan-do tocchi terra. Perché?

COSA SUCCEDE SE Considera con attenzione la for-mula [4]. Cosa succede alla quantità di moto se la somma delle forze che agiscono è nulla?

APPLICA I CONCETTI Un bambino lancia una pallina di gomma su una fnestra, e questa rimbalza senza rompe-re il vetro. Se avesse lanciato una pallina d’acciaio della stessa massa e con la stessa velocità avrebbe rotto il ve-tro? Perché?

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Un meteorite viaggia alla velocità di 27 km/s e passa nel-le vicinanze di una stella. La sua traiettoria è riportata nella fgura e la sua velocità alla fne della curva è ancora 27 km/s. Sul meteorite ha agito una forza?

meteorite vi

stella

vf = vi

IN FORMA DI GRAFICO Quale dei quattro grafci mo-strati nella fgura descrive meglio l’impulso della forza di una mazza da baseball che colpisce la palla?

0 10 20 30 40 50 t 0 10 20 30 40 50 t

F F

0 10 20 30 40 50 t 0 10 20 30 40 50 t

F F

c d

a b

PROBLEMI

PROBLEMA MODELLO 2

Una partita a flipper p a pag. 486

Una forza costante di 50 N agisce per 30 s.

▶ Quanto vale l’impulso di questa forza?

[1,5 × 103 N ∙ s ]

Una persona di 64 kg si tufa in piscina. Nel momento in cui entra in acqua la sua velocità è di 7,7 m/s e viene fer-mata dall’acqua in 1,8 s.

▶ Quali sono l’intensità, la direzione e il verso della forza media esercitata dall’acqua?

[2,7 × 102 N, verso l’alto]

Disegna e determina numericamente la forza media rela-

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ESERCIZI La quantità di moto e iL momento angoLare

516

Nei crash-test si verifca la sicurezza degli autoveicoli. In un’auto è posto un manichino di 80 kg che (con l’auto) procede alla velocità di 55,0 km/h quando questa urta un muro. A seguito dell’urto il manichino torna indietro a una velocità di 5,0 km/h. Senza airbag, l’urto del manichi-no contro il volante ha una durata di 0,20 s; grazie all’air-bag, la variazione di quantità di moto del manichino av-viene in un intervallo di tempo maggiore, pari a 2,5 s.

▶ Quanto vale la forza media a cui sarebbe sottoposto il manichino senza airbag?

▶ Quanto vale la forza media sul manichino grazie all’in-tervento dell’airbag?

[6,7 × 103 N; 5,3 × 102 N]

PROBLEMI IN PIÙ

p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 74 PDF


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2725

tiva a ciascuno dei tre grafci forza-tempo, nell’intervallo di tempo ∆t = 4 s.

0

0

-1

1

-

1

2222

3

0

-11

0

11

2

211 3 4

1

1

22

33

0 20

2

111 3

1

222

3

–1

2

222 3 4Tempo (s)

0

0

–1–

0

10 21 32 3 4

Tempo (s)

22 3 4Tempo (s)

Fo

rza

(N

)F

orz

a (

N)

Fo

rza

(N

)

c

a b

[1,5 N; −0,5 N; 0,6 N]

Un bambino lancia un’automobile giocattolo di massa 250 g contro un guardrail della pista giocattolo per far-le compiere la curva rappresentata nella fgura. Prima dell’impatto la velocità è 2,0 m/s, dopo diventa un quarto di quella iniziale.

Vi

Vf

▶ Disegna la quantità di moto iniziale, quella fnale e la variazione ∆p .

▶ Calcola l’impulso della forza.

[0,52 kg ∙ m/s ]

Una palla di massa 1,5 kg, inizialmente ferma, è sotto-posta a una forza di direzione e verso costanti, ma di in-tensità variabile nel tempo, secondo il grafco che segue.

00

1,0

1,0

2,0

2,0

3,0

3,0

5,0

5,0

4,0

4,0

6,0

6,0

7,0 8,0 t (s)

F (N)

▶ Calcola la velocità della palla negli istanti di tempo t=3,0 s e t=4,0 s .

[10 m/s, 12 m/s]

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Una tennista cerca di mettere a segno un bel colpo sul «lungo linea» ma una folata di vento forte sofa per 20 ms in direzione perpendicolare, con una forza pari 0,12 N. A causa del vento la pallina (m = 60 g) devia la sua tra-iettoria di 5,0 cm. Come si vede nella fgura, x = 20 m, y = 5 cm e la palla esce di pochissimo sulla sinistra.

y = 5 cm

x = 20 m

θ

▶ Qual è la velocità che la tennista imprime alla palla?

Suggerimento: ricorda che ( )tan xy

i = , cioè ( )tan pp

ii

D=

[16 m/s]

3 LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

DOMANDE

Se sposti un libro che si trova sul tavolo rimani fer-mo. Non avresti dovuto acquistare una velocità pari a mv

persona

libro=

p, per la conservazione della quantità di

moto?

L’immagine più nitida e dettagliata della stella ipergigan-te “Eta Carinae” è stata catturata dalla Advanced Camera for Surveys di Hubble, il telescopio spaziale della NASA, in luce visibile e ultravioletta. La fgura mostra l’esplosio-ne della stella che produce due lobi simmetrici. È possibile

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ESERCIZILa quantità di moto e iL momento angoLaremeCCaniCa

517

580 m/s. Immediatamente dopo essere stato attraversato dal proiettile, il cappello ha velocità di 5,0 m/s.

▶ Calcola la quantità di moto totale del sistema formato da proiettile e cappello prima dell’urto.

▶ Calcola la quantità di moto totale del cappello dopo che è stato attraversato dal proiettile.

▶ Considera che, nel momento dell’urto, la quantità di moto totale del sistema si conserva e ricava la quantità di moto fnale del proiettile.

▶ Calcola la velocità fnale del proiettile.

▶ Calcola l’energia cinetica totale prima e dopo l’urto.

[2,9 kg ∙ m/s; 1,0 kg ∙ m/s; 1,9 kg ∙ m/s; 3,8 × 102 m/s; 8,4 × 102 J; 3,6 × 102 J]

Al gioco delle bocce, un giocatore colpisce la boccia dell’avversario con la propria. Nella fgura sono ripor-tati i valori delle grandezze note. Le bocce hanno tutte la stessa massa m.

α = 60¡

β = ?

v1 = vi/2

vi

v2

▶ Quanto vale l’angolo β formato dalla traiettoria della boccia inizialmente ferma con la direzione della boc-cia incidente?

Suggerimento: Fissa un sistema di riferimento con l’asse x nella direzione della boccia incidente e l’asse y perpendicolare; poi ap-plica la conservazione della quantità di moto sull’asse x e sull’asse y

[30°]

Un carrello di massa 12 kg si muove su una rotaia alla velocità di 1,5 m/s. Tre pietre del peso di 2,0 kg, 3,0 kg e 4,0 kg cadono verticalmente sul carrello una dopo l’altra.

Vi

▶ Calcola la velocità del carrello dopo la caduta di cia-scuna pietra.

[1,3 m/s; 1,1 m/s; 0,86 m/s]

Nella prima metà del 1900 si pensava che il neutrone de-cadesse in un protone e un elettrone (mp = 1836 ∙ me). In

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un’esplosione in cui si produce un solo lobo (cioè tutta la materia va in una sola direzione)?

PROBLEMI

PROBLEMA MODELLO 3

Una gita in barca p su amaldinpiu.zanichelli.it a pag. 74 PDF


PER NON SBAGLIARE

■ CI SONO FORZE ESTERNE?

Prima di applicare la legge di conservazione della quantità di moto, controlla che la somma delle forze esterne che agiscono sul sistema sia nulla. Per esem-pio, se due carrelli sono collegati da una molla, la forza elastica è interna al sistema, e la forza esterna vale zero perché la forza-peso dei carrelli è contro-bilanciata dalla forza di reazione vincolare del pia-no di appoggio. Anche nei casi di un proiettile che urta contro una lastra metallica o che attraversa un blocco di legno, se non sono esplicitamente dichia-rate forze esterne, la quantità di moto totale si con-serva (ma non l’energia meccanica).

Elena e Camilla, inizialmente ferme una di fronte all’altra in una pista di pattinaggio su ghiaccio, si spingono e co-minciano a muoversi nella stessa direzione, ma in versi opposti. Elena, che ha una massa di 54 kg, si muove ver-so sinistra alla velocità di 4,0 m/s, Camilla si muove verso destra alla velocità di 4,5 m/s.

▶ Qual è la massa di Camilla?

[48 kg]

Una ragazza si tufa da una barca ferma di massa 100 kg. La quantità di moto della ragazza quando si tufa è di 150 kg ∙ m/s.

▶ Calcola la velocità acquistata dalla barca.

[1,50 m/s]

In una scena di flm western due pistoleri si afrontano. Uno dei due fa volare via il cappello dalla testa dell’altro con un colpo di pistola. Il proiettile ha una massa di 5,0 g e colpisce il cappello, di massa 200 g, con una velocità di

J. M

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CAPITOLO 15 - staticmy.zanichelli.it · In base alla definizione di accelerazione ^a vt= DD/ h, esprimiamo il secondo principio della dinamica nella forma F ma m t v D D == ... meCCaniCa