Capitolo 6 Guide d’onda - giorgio.busoni.it · Capitolo 6 Guide d’onda 6.1 EqM per la guida d’onda Abbiamo visto che usando in maniera appropriata un’antenna lineare `e possi-bile

Capitolo 6

Guide d’onda

6.1 EqM per la guida d’onda

Abbiamo visto che usando in maniera appropriata un’antenna lineare e possi-bile ottenere una buona direzionalita nella emissione delle onde E.M.. Emis-sioni ancora piu direzionali potrebbero essere ottenute con configurazioni geo-metriche dell’antenna piu complicate o con sistemi composti da piu’ antennelineari opportunamente spaziate.

Viene da chiedersi se non sia possibile convogliare tutta l’energia E.M.emessa da una sorgente in un’unica direzione. Il problema che si vuole af-frontare, in particolare, e quello di una propagazione direzionale e confinatadi un’ onda E.M.. Il metodo piu utile per confinare i campi propagativi dell’onda e quello di realizzare una struttura guidante con pareti metalliche, untubo metallico: in tale modo, infatti, si sfrutta il fatto che i campi propa-gativi si attenuano entro un conduttore secondo una legge esponenziale deltipo:

| ~E(x)| = | ~E(x = 0)|e−x/δ (6.1)

dove x indica la profondita entro il materiale conduttore, ~E(x = 0) e il

campo elettrico dell’ onda all’ ingresso del materiale conduttore, ~E(x) e ilcampo elettrico dell’ onda alla profondita x e δ rappresenta lo spessore diconduttore dopo il quale il campo si e attenuato di un fattore e; tale spessoreviene indicato con il termine profondita di pelle ed il suo valore dipende siadalle caratteristiche del conduttore, ovvero dalla sua conduttivita σ, sia dallafrequenza dell’ onda e.m., secondo la relazione:

δ =

√

2ǫ0c2

σω(6.2)

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76 CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA

La profondita di pelle per un buon conduttore, quale e il rame, assume valoridi ∼ 6 · 10−10 m per frequenze di ∼ 5 · 1015 Hz, cioe nell’ ultravioletto,di ∼ 6 · 10−9 m per frequenze di ∼ 5 · 1013 Hz, cioe nell’ infrarosso, di∼ 7 ·10−7 m per frequenze di ∼ 3 ·1011 Hz, cioe nella regione delle microondee di ∼ 6 · 10−5 m per frequenze di ∼ 3 · 105 Hz, cioe nella regione delle ondelunghe.

Utilizzando una parete metallica per definire il volume entro il qualefar propagare le onde E.M. si ottiene l’ azione guidante voluta, dal momentoche una qualunque componente dell’ onda che si propaghi perpendicolar-mente alla superficie metallica si smorzera rapidamente entro di essa e lasola componente parallela all’ asse della guida sopravvivera, imponendo cosıdi fatto una direzione di propagazione. Un altro effetto della azione guidan-te di una struttura metallica consiste nel fatto che i campi che si trovanoall’ interno di essa rimangono ivi contenuti, assicurando il confinamento dell’energia associata all’ onda ed impedendo, altresı, che campi esterni venganoa interferire con quelli da trasmettere.

Tenendo conto che le dimensioni trasversali dei tubi metallici sonodell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda dell’onda E.M. che si vuoletrasmettere, per motivi pratici parleremo di tubi delle dimensioni di qualchecm, e di conseguenza di onde centimetriche. L’interesse ad avere sorgentiintense di onde E.M. con lunghezza d’onda dell’ordine del centimetro fu sti-molato soprattutto dalla richiesta di localizzare oggetti in movimento (aerei)a distanza, tramite riflessione di onde E.M. di lunghezza d’onda inferiore al-la dimensione dell’oggetto. Se si fossero utilizzate onde E.M. di lunghezzad’onda maggiore (decina di metri), l’intensita delle onde riflesse sarebbe statatrascurabile.

Studiamo quindi il problema della propagazione di un’onda E.M. inun tubo metallico rettilineo e di sezione costante, con pareti di spessoretrascurabile e conducibilita infinita. Vedremo poi come correggere per questeipotesi non fisiche. Supponiamo che all’interno del tubo sia contenuto unmezzo materiale isotropo non dispersivo, con costante dielettrica ǫ = ǫrǫ0,dove ǫr e la suscettivita elettrica relativa, e con permeabilita magnetica µ =µrµ0, dove µr e la suscettivita magnetica relativa. Utilizzeremo le EqMmacroscopiche in un mezzo materiale:

∇ · ~D = ρlibere (6.3)

∇ · ~B = 0 (6.4)

∇× ~E = −∂ ~B

∂t(6.5)

6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA 77

∇× ~H = ~jcond +∂ ~D

∂t(6.6)

in cui sono stati introdotti i vettori spostamento elettrico ~D e campo ma-

gnetico ~H per tenere conto degli effetti dovuti al mezzo materiale, lasciandoinalterata la struttura delle sorgenti (ρlibere e ~jcond). Nel caso semplice chetrattiamo porremo:

~D = ǫrǫ0~E = ǫ ~E (6.7)

~B = µrµ0~H = µ ~H (6.8)

~E = ρ ~j (6.9)

dove ρ e la resistivita specifica del mezzo materiale.Vogliamo studiare, in particolare, se e possibile propagare un’onda

E.M. lungo l’asse della guida senza perdite. Si vede subito che questa condi-zione fisica impone che il campo elettrico ~E che si propaga sia, in ogni istanteed in ogni punto del contorno, normale alla superficie, cioe:

~E × ~n = 0 (6.10)

Questa condizione assicura che non ci sono perdite di potenza per effettoJoule sulle pareti. Dalla (6.9) si vede che la condizione (6.10) ammette solo~j ortogonale in ogni punto alla superficie del contorno della guida, ipotizzataper ora come una pura superficie geometrica, di “spessore” nullo.

Supponiamo di propagare onde E.M. armoniche rispetto al tempo, chevariano cioe in ogni punto rispetto al tempo come eikct, dove k e il numerod’onda nel vuoto, cioe ω = kc. Consideriamo un sistema di assi cartesianiortogonali in cui l’asse z coincida con l’asse della guida e consideriamo unaconfigurazione dei campi ~E e ~B per t = 0 e z = 0 (cioe la sezione della guida

a z = 0), che chiameremo ~E0 e ~B0. Sara:

~E0(x, y) = E0x(x, y)~i + E0y(x, y)~j + E0z(x, y)~k (6.11)

e

~B0(x, y) = B0x(x, y)~i + B0y(x, y)~j + B0z(x, y)~k (6.12)

Questi vettori rappresentano i campi che entrano attraverso la prima facciadella struttura guidante e che si vogliono far propagare, senza perdite, lungola guida.


Chiediamoci se e possibile propagare lungo l’asse z le configurazioni(6.11) e (6.12) con una velocita di fase vf . Poniamo cioe per il numero d’onda che caratterizza la propagazione entro la guida:

α =ω

vf=

kc

vf(6.13)

Si precisa che vf e diverso da c, ovviamente, in quanto non siamo nel vuoto,ma sara anche diverso, come vedremo, da c/

√ǫrµr, cioe la velocita di propa-

gazione nel mezzo materiale infinito, non limitato dalle pareti conduttrici.I campi ~E e ~B saranno allora descritti, in ogni punto P interno alla

guida e ad ogni istante t, dalle equazioni:

~E(x, y, z, t) =[

E0x(x, y)~i + E0y(x, y)~j + E0z(x, y)~k]

ei(kct − αz)(6.14)

~B(x, y, z, t) =[

B0x(x, y)~i + B0y(x, y)~j + B0z(x, y)~k]

ei(kct − αz)(6.15)

Data la (6.14), la condizione (6.10) diventa:

~E0 × ~n = 0 (6.16)

Con le posizioni (6.14) e (6.15), le (6.5)– (6.6) in cui si ponga ~jcond = 0, e siutilizzino le (6.7), (6.8), diventano:

∂B0z

∂y+ iαB0y = iǫrµr

k

cE0x

−iαB0x − ∂B0z

∂x= iǫrµr

k

cE0y

∂B0y

∂x− ∂B0x

∂y= iǫrµr

k

cE0z (6.17)

∂E0z

∂y+ iαE0y = −ikcB0x

−iαE0x − ∂E0z

∂x= −ikcB0y

∂E0y

∂x− ∂E0x

∂y= −ikcB0z (6.18)

e le (6.3)–(6.4), in cui si ponga ρlibere = 0:


∂E0x

∂x+

∂E0y

∂y− iαE0z = 0

∂B0x

∂x+

∂B0y

∂y− iαB0z = 0 (6.19)

Di queste ultime possiamo non tenere conto poiche sono una conse-guenza delle (6.17) e (6.18). Risolvendo le prime due delle (6.17) e (6.18)rispetto a E0x, E0y, B0x, B0y, si ottiene:

E0x = − i

λ2

[

α∂E0z

∂x+ kc

∂B0z

∂y

]

E0y = − i

λ2

[

α∂E0z

∂y− kc

∂B0z

∂x

]

B0x =i

λ2

[

ǫrµrk

c

∂E0z

∂y− α

∂B0z

∂x

]

B0y = − i

λ2

[

ǫrµrk

c

∂E0z

∂x+ α

∂B0z

∂y

]

(6.20)

dove per semplicita si e posto:

λ2 = ǫrµrk2 − α2 (6.21)

supponendo λ2 6= 0.Sostituendo le (6.20) nell’ultima equazione delle (6.17) e (6.18), si ha

che queste risultano soddisfatte se:

∂2E0z

∂x2+

∂2E0z

∂y2+ λ2E0z = 0 (6.22)

∂2B0z

∂x2+

∂2B0z

∂y2+ λ2B0z = 0 (6.23)

Consideriamo ora la condizione al contorno (6.16). Con riferimento alla figura6.1, se indichiamo con ~τ il versore tangente al contorno della guida nel punto(x, y, 0) e con ~n il versore normale, si ha evidentemente ~n = ~k × ~τ .

Ricordando l’espressione del doppio prodotto esterno (A.5) avremo:

~E0 × ~n = ~E0 × (~k × ~τ ) = ( ~E0 · ~τ )~k − ( ~E0 · ~k)~τ


Figura 6.1:

e quindi dovremo avere, separatamente:

( ~E0 · ~k) = E0z = 0 sul contorno (6.24)

( ~E0 · ~τ ) = 0 sul contorno (6.25)

Indicando con dx/ds e dy/ds i coseni direttori della tangente al contorno s,la condizione (6.25) equivale a:

E0xdx

ds+ E0y

dy

ds= 0 (6.26)

Sostituendo nella (6.26) le prime due delle (6.20) in cui si sia posto E0z = 0,ricaviamo:

kc

(

∂B0z

∂x

dy

ds− ∂B0z

∂y

dx

ds

)

= 0 (6.27)

Ricordando che i coseni direttori della normale ~n al contorno s sono rispet-tivamente dx

dn= dy

dse dy

dn= −dx

ds, la condizione al contorno (6.26) diventa:

dB0z

dn= 0 sul contorno (6.28)

Da un punto di vista fisico il fatto che l’unica condizione iniziale (6.16) sitrasformi nelle due condizioni (6.24) e (6.28) corrisponde al fatto che il campoelettrico totale e costituito da due componenti, una di tipo “elettrostatico”ed una di tipo “indotto”.

Il problema della propagazione di onde E.M. entro un tubo cilindricoriempito con un mezzo dielettrico omogeneo e dunque ridotto all’integrazionedelle equazioni differenziali (6.22) e (6.23), con le rispettive condizioni alcontorno (6.24) e (6.28). Ricavate E0z e B0z, le (6.20) forniscono le altre

componenti di ~E e ~B e le condizioni al contorno risultano soddisfatte.


Fra le soluzioni del sistema considerato sono particolarmente impor-tanti quelle in cui e nulla la componente assiale B0z del campo magnetico,oppure quelle in cui e nulla la componente assiale E0z del campo elettrico.Le prime sono dette onde di tipo elettrico o trasversali magnetiche (T.M.);le seconde sono dette onde di tipo magnetico o trasversali elettriche (T.E.).Si fa notare che, secondo questa terminologia, le onde E.M. che si propaga-no nello spazio indefinito, privo di sorgenti, sarebbero trasversali elettriche e

magnetiche (T.E.M.).Per le onde di tipo elettrico il problema si riduce a determinare la

componente assiale E0z del campo elettrico soddisfacente alla (6.22) e allacondizione al contorno (6.24). Dopo cio, le altre componenti del camposaranno date da:

E0x = −iα

λ2

∂E0z

∂xE0y = −iα

λ2

∂E0z

∂y

B0x =i

λ2ǫrµr

k

c

∂E0z

∂yB0y = − i

λ2ǫrµr

k

c

∂E0z

∂x(6.29)

Le onde T.M. vengono generate da conduttori penetranti in una estremitadella guida in modo da simulare un dipolo elettrico oscillante parallelo all’asse z di propagazione.

Per le onde di tipo magnetico il problema si riduce, invece, a deter-minare la componente assiale B0z del campo magnetico soddisfacente alla(6.23) con la condizione al contorno (6.28). In tal caso le altre componentidel campo saranno date da:

E0x = −ikc

λ2

∂B0z

∂yE0y =

ikc

λ2

∂B0z

∂x

B0x = −iα

λ2

∂B0z

∂xB0y = −iα

λ2

∂B0z

∂y(6.30)

Le onde T.E. vengono generate facendo penetrare nella guida, attraversouna sua estremita, dei conduttori simulanti un dipolo magnetico oscillanteparallelo all’ asse z di propagazione.

I vari casi di onde T.M. e T.E. (piu l’ onda T.E.M., qualora esistente,cosa non vera nel caso particolare delle guide d’ onda) costituiscono un insie-me di campi completo per la descrizione di una perturbazione E.M. qualsiasientro una guida o una cavita.

Le equazioni (6.22) e (6.23) con le relative condizioni al contorno (6.24)e (6.28) sono una vecchia conoscenza della Fisica Matematica. Se consideria-mo una membrana elastica piana con l’orlo fisso (un tamburo) ed indichiamocon ~z(x, y) lo spostamento lungo la normale al piano di un punto qualsia-si della membrana, otterremo che la membrana vibrera secondo l’equazione


(6.22), con z al posto di E0z, e la condizione al contorno z = 0. Se volessimo,invece, studiare le vibrazioni di una membrana con il bordo libero, ma vin-colato a spostarsi solo perpendicolarmente al piano della membrana (i piattidi una batteria musicale), otterremmo l’equazione (6.23) con z al posto diB0z con la condizione al contorno (6.28).

Si sapeva quindi che ambedue le equazioni ammettevano soluzioni nonnulle soltanto per valori discreti del parametro λ2, detti autovalori, dipendentidalla forma del contorno s della sezione del tubo. Le soluzioni corrispondentiad un dato autovalore si chiamano autofunzioni. Si puo dimostrare che λ2 eun numero reale e positivo; dalla (6.21), ricordando la (6.13), si ha:

α2 =k2c2

v2f

= ǫr µr k2 − λ2 (6.31)

da cui risulta che v2f e reale. Pero, affinche in corrispondenza dell’autovalore

λ2 si abbia un’onda non smorzata, deve essere α, e quindi anche vf , reale.Cio richiede che sia ǫr µr k2 − λ2 ≥ 0, e quindi:

k ≥ λ√ǫr µr

(6.32)

la quale mostra che esiste un valore minimo di k, cioe della frequenza ν =kc/(2π), al di sotto della quale nessuna propagazione e piu possibile nellaguida. Se λ2

0 e il piu piccolo degli autovalori della (6.22) o (6.23), nel tubosi possono propagare soltanto onde di frequenza ν superiore, o tutto al piueguale, alla frequenza νc, che diremo critica, espressa dalla relazione:

νc =λ0c

2π√

ǫr µr(6.33)

Ogni modo di propagazione, identificato da un autovalore λ, avra poi unafrequenza di taglio, definita da una relazione analoga alla (6.33) ove a λ0

si sostituisca il corrispondente valore di λ, al di sotto della quale il modonon puo propagarsi nel tubo senza smorzarsi, in quanto α diventa complesso.L’andamento di α, ovvero della corrispondente quantita normalizzata all’unita per ν → ∞, in funzione della frequenza e indicato qualitativamentenella figura 6.2, ove sono rappresentati solamente i primi cinque generici modidi propagazione e le relative frequenze di taglio sono indicate con νi (i=0,..., 4). Si puo riconoscere che per ogni frequenza assegnata, maggiore dellafrequenza critica, c’e solo un numero finito di modi che si possono propagare,indicati in figura dai punti sulle rette verticali di equazione ν = cost disegnateper due generici valori di ν diversi da νi.


Figura 6.2:

Dalla (6.31), per vf reale, si ricava ancora:

vf =kc√

ǫr µrk2 − λ2=

c√ǫr µr

1√

1 − λ2

ǫr µrk2

>c√

ǫr µr

(6.34)

dalla quale risulta che variando k dal valore λ/√

ǫr µr ad ∞, la vf , sempredecrescendo, varia da +∞ al valore c/

√ǫr µr. Ora c/

√ǫr µr e la velocita di

propagazione in un mezzo dielettrico identico a quello contenuto nel tubo eche riempia tutto lo spazio. Ne segue che la velocita di propagazione delleonde nel tubo e superiore a quella delle onde libere (non guidate) in undielettrico identico a quello contenuto nel tubo stesso e che riempia tutto lospazio. In particolare, se il dielettrico nel tubo e il vuoto, allora detta velocitasupera la velocita della luce nel vuoto. Questo risultato non contraddice lateoria della relativita poiche si tratta di velocita di propagazione della fase,che e una grandezza geometrica, mentre nella teoria della relativita si intendela velocita di propagazione di un segnale fisico, quindi di una velocita digruppo.

Fissato un autovalore di λ, ad ogni valore di k corrisponde un valoredi α, e quindi un valore della velocita di propagazione di fase vf dato dalla(6.34). D’altra parte e impossibile realizzare fisicamente un generatore con kesattamente definito, ma sara piu realistico parlare di un intervallo (k, k+dk),in corrispondenza al quale avremo un intervallo di valori di α, (α, α+dα), chesi puo scrivere anche come (α, α+ dα

dkdk). Consideriamo ora la sovrapposizione

delle onde appartenenti al piccolo intervallo (k, k + dk). Questo insieme dionde e detto gruppo di onde, e la quantita vg, definita dalla relazione:

vg = cdk

dα(6.35)


e detta velocita di gruppo. Ora risulta:

dk

dα=

α

ǫr µrk(6.36)

e quindi:

vg =cα

ǫr µrk=

c√ǫr µr

√

1 − λ2

ǫr µrk2<

c√ǫr µr

≤ c (6.37)

che mostra che la velocita di gruppo e minore della velocita della luce. Si hainoltre che vf e vg sono legate dalla relazione:

vg vf =c2

ǫr µr(6.38)

6.2 Esempi di propagazione in guide d’onda

con contorno definito

6.2.1 Guida d’onda a sezione rettangolare

Il caso piu semplice che si puo presentare e quello di una guida d’onda asezione rettangolare i cui lati indichiamo con a e b. Assumeremo uno deivertici del rettangolo sezione come origine degli assi, con gli assi x e y direttirispettivamente secondo i lati di lunghezza a e b, come indicato in figura 6.3.Le equazioni (6.22) e (6.23) sono dello stesso tipo di quella risolta per la pro-

Figura 6.3:

pagazione di onde libere in coordinate cartesiane (vedi paragrafo 4.2.1 ), anzipiu semplici in quanto in due dimensioni (x, y) e con l’unica differenza che

6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO85

abbiamo indicato con λ2 (anziche con ω2/c2) la costante reale. Procedendoesattamente allo stesso modo col criterio della separazione delle variabili epassando direttamente all’espressione con funzioni trigonometriche, si trovafacilmente che, per onde di tipo elettrico (B0z=0) la soluzione sara:

E0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy) (6.39)

con A, B, C, D costanti per ora arbitrarie, con dimensione di un campoelettrico, e con

p2 + q2 = λ2 (6.40)

Rispetto alle onde libere le cose cambiano ora. Mentre nel caso della(4.13) non c’erano condizioni al contorno da rispettare, e quindi tutti i va-lori di ω erano permessi, il soddisfacimento della (6.24) sul contorno cambiaradicalmente la situazione. Dobbiamo avere:

per x = 0 ed x = a, y arbitrarioE0z = 0

per y = 0 ed y = b, x arbitrario(6.41)

ne segue che deve essere A = 0, C = 0, ed inoltre pa = mπ, qb = nπ, da cuip = mπ/a, q = nπ/b, con m, n numeri interi. Si ha dunque:

E0z = C1 sinmπ

ax sin

nπ

by (6.42)

con C1 costante (complessa) arbitraria con dimensione di un campo elettrico.Ricordando la (6.40) si deducono per λ2 gli autovalori:

λ2mn = π2

(

m2

a2+

n2

b2

)

(6.43)

In figura 6.4 e riportato, in vista tridimensionale, l’insieme degli autovaloriλ2

mn per m=0, ... 10 e n=0, ... 10, avendo supposto a = 10 unita’, b = 5unita’.

Dalle (6.29) e scrivendo λ2C′

1 al posto di C1, abbiamo in conclusionele seguenti soluzioni di tipo elettrico (T.M.):

E0x = −iC′

1αmnmπ

acos

mπ

ax sin

nπ

by

E0y = −iC′

1αmnnπ

bsin

mπ

ax cos

nπ

by

E0z = C′

1λ2mn sin

mπ

ax sin

nπ

by

B0x = iC′

1ǫr µrk

c

nπ

bsin

mπ

ax cos

nπ

by

B0y = −iC′

1ǫr µrk

c

mπ

acos

mπ

ax sin

nπ

by

B0z = 0 (6.44)


Figura 6.4:

ove, in virtu della (6.31) e:

α2mn = ǫr µrk

2 − λ2mn, αmn =

√

ǫr µrk2 − λ2mn (6.45)

Dalle prime due delle (6.44) si riconosce che e soddisfatta la condizione alcontorno (6.25) sulle componenti tangenziali del campo elettrico. La presenzadell’ unita immaginaria nella espressione di alcune componenti sta ad indicareuna differenza di fase spaziale (o temporale) di π/2 tra tali componenti edE0z.

Considerando le espressioni (6.44) delle componenti dei campi dell’onda T.M. si possono fare alcune osservazioni. Si puo notare innanzi tuttoche per m = 0 e n = 0 anche E0z = 0 e tutte le componenti trasversali siannullano, ovvero che i valori piu’ piccoli di m e n per un’ onda T.M. devonoessere entrambi maggiori di zero.

Una seconda osservazione riguarda l’ orientazione relativa dei vettori~E e ~B, ovvero dei vettori ~E0 e ~B0. Come e facile verificare, il prodottoscalare ~E · ~B = ~E0 · ~B0 = 0, cosa che indica come entro la guida sia possibilepropagare, lungo l’ asse della stessa e senza perdite, un campo incidente convettore induzione magnetica perpendicolare sia alla direzione di propagazioneche al vettore campo elettrico, mentre quest’ ultimo non e piu perpendicolarealla direzione di propagazione. Entro la guida i vettori: vettore d’ onda α~k,


~E e ~B non formano piu una terna destrorsa, come, invece avviene sia nellospazio libero che in un mezzo materiale infinito.

Con semplici calcoli e anche immediato verificare che per i campi dell’onda T.M. non vale piu una semplice relazione tra i moduli dei vettori, quale| ~E| = c| ~B| nel caso dello spazio vuoto o | ~E| = c/

√ǫrµr| ~B| nel caso di un

mezzo materiale.Per terminare queste considerazioni sulle componenti dei campi di un’

onda T.M., se si considera l’ espressione del vettore di Poynting entro la guidasi ottiene:

~S = ǫc2 ~E × ~B = ǫc2 ~E0 × ~B0 e2i(kct−αz) (6.46)

~E0 × ~B0 = ~i

(

iC ,21 λ2

mnǫrµrk

c

mπ

asin

mπ

ax cos

mπ

ax sin2 nπ

by

)

+

+ ~j

(

iC ,21 λ2

mnǫrµrk

c

nπ

bsin2 mπ

ax sin

nπ

by cos

nπ

by

)

+

− ~k C ,21 αmnǫrµr

k

c[

(

mπ

a

)2

cos2mπ

ax sin2 nπ

by +

(

nπ

b

)2

sin2 mπ

ax cos2nπ

by

]

Le componenti trasversali del vettore di Poynting sono immaginarie pure enon danno contributo al flusso di energia mediato sul tempo; la componenteassiale di ~S, invece, fornisce il valor medio della densita di flusso di potenzalungo la guida. Le componenti trasversali, inoltre, si annullano sul bordo, invirtu delle condizioni al contorno, assicurando il confinamento dell’ energiaall’ interno della guida.

In figura 6.5 sono riportate le dipendenze delle tre componenti di~E0 e delle due non nulle di ~B0 da x e y separatamente: le tre curve siriferiscono a m=1, 2, 3 e n=1, 2, 3 rispettivamente e fanno riferimento avalori delle dimensioni dei lati del rettangolo sezione a = 10 unita’, b = 5unita’. Come e gia stato osservato, le componenti trasversali soddisfano lacondizione sulla componente tangenziale del campo elettico sul bordo dellasezione della guida.

In figura 6.6 sono riportati i grafici bidimensionali delle tre componentidi ~E0 per m=1, n=1, nell’ipotesi a=10 unita e b=5 unita.

In figura 6.7 e riportato l’ andamento sulla sezione della guida dellacomponente longitudinale del vettore di Poynting per m=1 e n=1, m=1 en=2 e per m=2 e n=1 nell’ipotesi a=10 unita e b=5 unita. Si puo osservare


come la distribuzione dell’ energia sulla sezione non sia uniforme, ma tendaa presentare dei massimi locali, la cui posizione dipende dai valori di m e n:i modi T.M. che si propagano nella guida distribuiscono, cioe, la loro energiain modo da occupare spazialmente in maniera diversa la guida.

In figura 6.8 e riportato l’ andamento sulla sezione della guida delle trecomponenti del vettore di Poynting per m=1 e n=1, nell’ipotesi a=10 unitae b=5 unita. Si puo osservare come il flusso di energia secondo le direzionitrasversali x e y risulti essere in parte positivo ed in parte negativo, in modotale che il suo valore netto sulla sezione, puntuale o mediato sul tempo,risulta nullo. Come gia accennato, le componenti trasversali del vettore diPoynting non contribuiscono al flusso netto di energia E.M. nella guida: alpiu, nel caso di un modo o di una combinazione lineare di modi con campilongitudinali complessi si puo avere un flusso di energia medio trasversale.Tuttavia, siccome si tratta di un flusso circolatorio, esso costituisce in realtasolo energia immagazzinata (si vedano piu oltre le cavita risonanti) e non hain pratica una grande importanza.


Figura 6.5:


Figura 6.6:


Figura 6.7:


Figura 6.8:


Per avere soluzioni di tipo magnetico (T.E.), dobbiamo porre E0z = 0e possiamo sempre scrivere B0z, in analogia alla (6.39), come:

B0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy) (6.47)

sempre con la condizione (6.40). La condizione al contorno (6.28) si traducein:

∂B0z

∂x= 0 per x = 0 ed x = a, y arbitrario

∂B0z

∂y= 0 per y = 0 ed y = b, x arbitrario

(6.48)

Sara quindi B = 0, D = 0, p = mπ/a, q = nπ/b, e quindi, dalle (6.30) siotterranno le seguenti soluzioni di tipo magnetico:

E0x = iC′

2kcnπ

bcos

mπ

ax sin

nπ

by

E0y = −iC′

2kcmπ

asin

mπ

ax cos

nπ

by

E0z = 0

B0x = iC′

2αmnmπ

asin

mπ

ax cos

nπ

by

B0y = iC′

2αmnnπ

bcos

mπ

ax sin

nπ

by

B0z = C′

2λ2mn cos

mπ

ax cos

nπ

by (6.49)

dove C′

2 e al solito un fattore costante complesso arbitrario, e gli autovaloriλ2

mn di λ2 sono definiti ancora dalla (6.43) e (6.45).Nel caso delle onde T.E. si puo osservare che i piu piccoli valori di m e

n accettabili sono (0,1) o (1,0) a seconda di quale dei due lati del rettangolosia maggiore. Si possono poi ripetere considerazioni analoghe a quelle fatteper le onda di tipo elettrico per quanto riguarda l’ orientazione dei vettori α~k,~E e ~B, la relazione tra i moduli dei vettori ~E e ~B, l’ espressione del vettore diPoynting entro la guida. Tali osservazioni saranno, poi, valide anche per un’onda qualunque entro la guida, espressa nella base dell’ insieme delle ondeT.M. e T.E..

E ovvio che, tanto per le soluzioni T.E. quanto per le soluzioni T.M.,per avere le componenti del campo E.M. dappertutto nella guida occor-re moltiplicare ciascuna delle (6.44) e (6.49) per il fattore di propagazioneei(kct−αmnz). Dovendo αmn essere reale, affinche l’onda non sia smorzata, dal-la (6.45) si deduce che la guida non puo trasmettere tutte le frequenze. Perogni onda, caratterizzata dalla coppia di numeri interi m e n, vi e dunque unvalore minimo di k, compatibile con una propagazione senza smorzamento;questo valore minimo definisce per ogni tipo di onda la frequenza di rottura,al di sotto della quale non vi puo piu essere propagazione. Supposto a > b,


la piu piccola delle frequenze di rottura, o frequenza critica νc, corrispondeal valore:

kmin =λ10√ǫrµr

=π

a√

ǫrµr

(m = 1, n = 0) (6.50)

per cui, ricordando che ν = kc2π

,

νc =c

2a√

ǫrµr(6.51)

Esaminando le (6.44) e (6.49), si vede che per ν di poco superiore a νc, avremoonde di tipo (6.47), cioe T.E., non di tipo T.M., che sono identicamenteeguali a zero. Cioe le onde di frequenza di poco superiore a quella criticache si propagano nel tubo sono di tipo T.E.. Affinche nel tubo a sezionerettangolare si propaghino anche onde di tipo T.M. e necessario che k superiil minimo autovalore corrispondente alla (6.22) con valori dei campi nonidenticamente nulli, e cioe:

k ≥ λ11√ǫrµr

=π√ǫrµr

√

1

a2+

1

b2(6.52)

e quindi

ν ≥ c

2√

ǫrµr

√

1

a2+

1

b2(6.53)

Si osserva infine che, assegnato un valore di k maggiore del valore minimo(6.50), si possono propagare nel tubo un numero finito di onde di tipo elettricoe di tipo magnetico e precisamente tutte le onde corrispondenti agli autovaloriλmn di λ per cui e verificata la (6.32).

6.2.2 Guida d’onda a sezione circolare

Consideriamo ora una guida d’onda costituita da un cilindro circolare diraggio a e, assumendo come asse z l’asse del cilindro, riferiamo i campi ~Ee ~B interni ad esso ad un sistema di coordinate cilindriche r, ϕ, z, comeindicato in figura 6.9. Come nel caso precedente, assumeremo che i campi~E e ~B dipendano dal tempo t e dalla coordinata z per mezzo del termine dipropagazione ei(kct−αz). Nel piano (r, ϕ) esprimeremo invece i campi mediantele componenti Er, Eϕ, Br, Bϕ. Le (6.14) e (6.15) saranno quindi riscrittecome:

~E(r, ϕ, z, t) =[

E0r(r, ϕ)~ir + E0ϕ(r, ϕ)~iϕ + E0z(r, ϕ)~k]

ei(kct − αz)(6.54)


Figura 6.9:

~B(r, ϕ, z, t) =[

B0r(r, ϕ)~ir + B0ϕ(r, ϕ)~iϕ + B0z(r, ϕ)~k]

ei(kct − αz)(6.55)

Con un po’ di facile ginnastica matematica si ottengono le equazioni:

E0r = − i

λ2

[

α∂E0z

∂r+ kc

1

r

∂B0z

∂ϕ

]

E0ϕ = − i

λ2

[

α1

r

∂E0z

∂ϕ− kc

∂B0z

∂r

]

B0r =i

λ2

[

ǫrµrk

c

1

r

∂E0z

∂ϕ− α

∂B0z

∂r

]

B0ϕ = − i

λ2

[

ǫrµrk

c

∂E0z

∂r+ α

1

r

∂B0z

∂ϕ

]

(6.56)

analoghe alle (6.20) e in cui e sempre λ2 = ǫrµrk2 − α2. Si ricavano ancora,

ricordando l’espressione del laplaciano trasverso (cioe nelle coordinate x e y)in coordinate polari ∇2f = ∂2f/∂x2 + ∂2f/∂y2 = ∂2f/∂r2 + 1/r ∂f/∂r +1/r2 ∂2f/∂ϕ2, le equazioni:

∂2E0z

∂r2+

1

r

∂E0z

∂r+

1

r2

∂2E0z

∂ϕ2+ λ2E0z = 0 (6.57)

∂2B0z

∂r2+

1

r

∂B0z

∂r+

1

r2

∂2B0z

∂ϕ2+ λ2B0z = 0 (6.58)

analoghe alle (6.22) e (6.23). Le condizioni al contorno che vanno associaterispettivamente alle (6.57) e (6.58) sono:

E0z = 0 per r = a (6.59)


∂B0z

∂r= 0 per r = a (6.60)

Potremo considerare onde di tipo magnetico (E0z = 0) o di tipo elettrico(B0z = 0) ponendo eguale a zero i primi o rispettivamente i secondi membrinelle parentesi delle (6.56). Le equazioni (6.57) e (6.58) erano state gia trovate(con la complicazione di un termine aggiuntivo con ∂2

∂z2 ) nel paragrafo 4.2.2relativo alla propagazione di onde libere in coordinate cilindriche e si eragia visto il metodo della separazione delle variabili per ottenere due integraliparticolari e quindi l’integrale generale dalla combinazione lineare dei dueintegrali particolari. Piu precisamente, esprimendo E0z o B0z come prodottidelle due funzioni R(r) e Φ(ϕ), le (6.57) e (6.58) vengono soddisfatte dalleequazioni:

d2R

dr2+

1

r

dR

dr+

(

λ2 − n2

r2

)

R = 0 (6.61)

d2Φ

dϕ2+ n2Φ = 0 (6.62)

con n numero intero. Si era gia visto che la (6.61) e l’equazione differen-ziale di Bessel di ordine n, di argomento λr, che ammette come soluzionila funzione di Bessel Jn(λr) e la funzione di Neumann Nn(λr) (cfr. Ap-pendice F). Avevamo gia visto che Nn(λr) non e regolare per r = 0, chee per altro una coordinata possibile per la propagazione nella guida (l’assedel cilindro). Le soluzioni accettabili per le (6.57) e (6.58) saranno quindidel tipo Jn(λr) (An cos nϕ + Bn sin nϕ) con An e Bn costanti arbitrarie.Consideriamo onde di tipo elettrico:

E0z = E0 Jn(λr) (An cos nϕ + Bn sin nϕ) (6.63)

con la condizione al contorno (6.59). Essa richiede che:

Jn(λa) = 0 (6.64)

e se indichiamo con ξn1, ξn2, ξn3, ..., ξnj, gli zeri positivi (non nulli) dellafunzione Jn(λr) (cfr. la figura F.1), disposti in ordine crescente, la condizione(6.64) e soddisfatta ponendo:

λ = λ(e)nj =

ξnj

a(n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...) (6.65)

che fornisce gli autovalori λ(e)nj del parametro λ per le onde di tipo elettrico.

Ponendo α(e)nj =

√

ǫrµrk2 − λ(e)2nj e tenendo conto delle (6.56) in cui sia

stato posto B0z = 0, si ottengono le relazioni esplicite di E0r, E0ϕ, B0r, B0ϕ:


E0r = −iE0

α(e)nj

λ(e)nj

J ′

n(λ(e)nj r) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ)

E0φ = −iE01

λ(e)2nj

α(e)nj

rJn(λ

(e)nj r) (−Ansin nϕ + Bncos nϕ) n

E0z = E0 Jn(λ(e)nj r) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ)

B0r = E0iǫrµr

λ(e)2nj

k

rcJn(λ

(e)nj r) (−Ansin nϕ + Bncos nϕ) n

B0φ = E0−iǫrµr

λ(e)nj

k

cJ ′

n(λ(e)nj r) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ) (6.66)

Si puo’ verificare che la condizione al contorno per il campo elettrico tan-genziale e’ soddisfatta, in quanto E0r = E0ϕ = 0 per r = a. Come si puo

facilmente verificare, anche in questo caso il prodotto scalare del vettore ~E0

col vettore ~B0 e nullo, mentre ~E0, ~B0 e αnj~k non formano piu una terna

destrorsa. E poi, nuovamente vero che non esiste piu una semplice relazionetra i moduli dei vettori ~E0 e ~B0 e che il flusso di energia netto e dato dallasola componente longitudinale del vettore di Poynting.

In figura 6.10 e riportato l’andamento in funzione della coordinataradiale e di quella angolare di E0z, nonche il grafico bidimensionale di E0z

nel caso in cui si considera J1(λr) con λ = ξ11/a, con una dimensione radialea pari a 10 unita.

Nel caso di onde di tipo magnetico avremo:

B0z = B0 Jn(λr) (A′

n cos nϕ + B′

n sin nϕ) (6.67)

con la condizione al contorno (6.60), la quale richiede che sia:

J ′

n(λa) = 0 (6.68)

Se indichiamo ora con ηn1, ηn2, ηn3, ..., ηnj , ... gli zeri positivi non nulli,disposti in ordine crescente, della J ′

n(λr) (cfr. la figura F.2), gli autovalori diλ, per le onde di tipo magnetico, saranno

λ = λ(m)nj =

ηnj

a(n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...) (6.69)

con i corrispondenti valori α(m)nj =

√

ǫrµrk2 − λ(m)2nj . Sostituendo ta-

li espressioni nella (6.56) in cui sia stato posto E0z = 0, si ottengono leespressioni esplicite di E0r, E0ϕ, B0r, B0ϕ, non riportate esplicitamente perbrevita.


Figura 6.10:

6.3. CAVO COASSIALE 99

Tanto nel caso di onde T.M. che T.E. esiste dunque una successionedoppiamente infinita di autovalori del parametro λ, ciascuno caratterizzatoda due numeri interi, per i quali si ha propagazione lungo la guida. Per leonde T.M. il piu piccolo autovalore di λ e λe

01 = ξ01a

≃ 2.4a

e quindi

ν(e)min =

1.2 c

πa√

ǫrµr(6.70)

Per le onde T.E., se indichiamo con η0 il piu piccolo degli zeri ηnj della (6.68),si ha:

ν(m)min =

η0 c

2πa√

ǫrµr(6.71)

Ma qui, contrariamente a quello che avviene per gli zeri ξnj delle Jn(λr), ilpiu piccolo degli zeri delle J ′

n(λr) non e η01 bensı η11 ≃ 1.841, come si puodimostrare da alcune relazioni di ricorrenza delle J ′

n(λr) e Jn(λr) (cfr. lafigura F.2), per cui risulta η11 < ξ01. Ne segue che mentre per le onde T.M.,quella di piu bassa frequenza che si puo propagare nel tubo e la T.M.01,per le onde T.E. sara la T.E.11, e la prima a propagarsi al di sopra dellafrequenza critica sara la T.E.11, diversamente dal caso della guida a sezionerettangolare ove il primo modo di propagazione e’ di tipo T.E.01 o T.E.10.

6.3 Cavo coassiale

Col nome di cavo coassiale si intende un tubo limitato da due cilindri metallicicircolari e coassiali che serve a guidare un’onda E.M. che si propaga nellospazio anulare tra i due cilindri.

Indicheremo con a il raggio del cilindro esterno, con b il raggio diquello interno e riferiremo al solito i campi interni alla guida a coordinatecilindriche r, ϕ, z, con z asse della guida.

Analogamente al caso precedente, il problema si riduce ancora a de-terminare la soluzione delle (6.61) e (6.62) con le rispettive condizioni alcontorno:

E0z = 0 per r = a, r = b (6.72)

e

∂B0z

∂r= 0 per r = a, r = b (6.73)

Ma qui l’asse z non e piu compreso nel dominio di propagazione dell’onda equindi non e piu necessario imporre la condizione che la funzione R(r) definita


dall’equazione differenziale (6.61) sia regolare per r = 0, ma solamente perb ≤ r ≤ a. In questo caso le soluzioni sono le funzioni di Bessel Jn(λr) edi Neumann Nn(λr) di ordine n. Possiamo percio prendere come soluzionedella (6.61) una combinazione lineare a coefficienti costanti delle suddettefunzioni, ponendo:

R(λr) = C Jn(λr) + D Nn(λr) (6.74)

Per le onde di tipo T.M. avremo allora:

E0z = E0 [C Jn(λr) + D Nn(λr)] (An cos nϕ + Bn sin nϕ) (6.75)

con la condizione (6.72). Ne segue che deve essere:

C Jn(λa) + D Nn(λa) = 0

C Jn(λb) + D Nn(λb) = 0

(6.76)

Queste equazioni, lineari omogenee in C e D, sono compatibili soltantoquando il loro determinante e nullo, cioe:

Jn(λa) Nn(λb) − Jn(λb) Nn(λa) = 0 (6.77)

I valori accettabili per λ, cioe gli autovalori di λ, sono le radici dell’equazionetrascendente (6.77), che disposte in ordine crescente indicheremo con βn1,βn2, βn3, ..., βnj . Avremo allora:

C

D= − Nn(βnja)

Jn(βnja)= − Nn(βnjb)

Jn(βnjb)(6.78)

e potremo assumere:

E0z = E0 β2nj [Nn(βnja) Jn(βnjr) − Jn(βnja) Nn(βnjr)]

(Anj cos nϕ + Bnj sin nϕ) (6.79)

con Anj , Bnj costanti arbitrarie. Sostituendo nelle (6.56), in cui si sia posto

B0z = 0, si ottengono le altre componenti di ~E0 e ~B0 che definiscono il mododi propagazione. Si puo’ verificare che anche in questo caso le componentitangenziali del campo elettrico si annullano sulle pareti metalliche del cavo.

Per le onde di tipo T.E. avremo analogamente:

B0z = B0 [C ′ Jn(λr) + D′ Nn(λr)]

(An cos nϕ + Bn sin nϕ) (6.80)

con la condizione al contorno (6.73).

6.3. CAVO COASSIALE 101

Sara pertanto:

C ′ J ′

n(λa) + D′ N ′

n(λa) = 0

C ′ J ′

n(λb) + D′ N ′

n(λb) = 0

(6.81)

da cui segue

J ′

n(λa) N ′

n(λb) − J ′

n(λb) N ′

n(λa) = 0 (6.82)

che e l’equazione trascendente che determina gli autovalori del parametroλ, che, disposti in ordine crescente, indicheremo con γn1, γn2, γn3, ..., γnj.Avremo ora:

C ′

D′= − N ′

n(γnja)

J ′

n(γnja)= − N ′

n(γnjb)

J ′

n(γnjb)(6.83)

e pertanto potremo assumere:

B0z = B0 γ2nj [N ′

n(γnja) Jn(γnjr) − J ′

n(γnja) Nn(γnjr)](

A′

nj cos nϕ + B′

nj sin nϕ)

(6.84)

con A′

nj , B′

nj costanti arbitrarie. Sostituendo nelle (6.56), in cui si sia posto

E0z = 0, si ottengono le altre componenti di ~E0 e ~B0 e si puo’ verificareche le componenti tangenziali del campo elettrico si annullano sulle paretimetalliche del cavo.

Concludendo, anche per i cavi coassiali vi e per ogni intero n (n =0,1,2,3,...) una successione di infiniti autovalori del parametro λ. Inoltre adogni valore di n e di j corrisponde un valore minimo di k per il quale lapropagazione del tipo di onda considerata e possibile. Si puo osservare che,a parita di raggio esterno a, le frequenze critiche corrispondenti ai modi dioscillazione di un cavo coassiale costituiscono un insieme piu denso di quellodella guida d’onda a sezione circolare e quindi il cavo coassiale e piu adattoalla trasmissione di segnali analizzabili in serie di Fourier.

Una particolarita del cavo coassiale e che, a differenza di quanto suc-cede in una guida d’ onda, in esso il modo TEM e non solo possibile maanche dominante: tale modo e privo di frequenza di taglio, perche per essoil numero d’ onda αnj e sempre reale e coincide con il valore caratteristico

del mezzo indefinito. Per tale modo vale anche la relazione | ~E| = c/n| ~B| e,

come ovvio, i vettori ~E, ~B e αnj~k formano una terna destrorsa.

Per completezza possiamo osservare che il modo TEM non puo’ sus-sistere in una guida formata da un solo conduttore perche, possedendo sola-mente componenti dei campi trasversali alla direzione di propagazione, peressi devono valere le equazioni di Maxwell:

∇t × ~E0TEM = 0, ∇t · ~E0TEM = 0, (6.85)


dove ∇t indica l’ operatore vettoriale ∇ ove si considerino le sole compo-nenti trasversali. Questo vuole dire che ~E0TEM e soluzione di un problemaelettrostatico bidimensionale, per cui oltre alle gia menzionate relazioni sulnumero d’ onda e sui moduli del vettori, siccome la superficie del cilindrometallico della guida deve essere equipotenziale, il campo elettrico all’ inter-no e identicamente nullo. Non e dunque possibile sostenere il modo TEMcon una struttura costituita da un unico conduttore, ma e necessario averedue o piu superfici cilindriche distinte, come per il cavo coassiale e la lineadi trasmissione a fili paralleli.

6.4 Attenuazione lungo una guida d’onda rea-

le

Finora abbiamo trattato il problema della propagazione di onde E.M. coninteressanti conseguenze, ma con ipotesi non fisiche, in particolare una: chelo spessore del conduttore fosse eguale a zero. Chiediamoci quale sia l’effettodi pareti metalliche di spessore finito, costituite da buoni conduttori metallici(con ρ piccola, ma non nulla).

Il valore grande ma limitato della conducibilita’ σ del metallo fa si’ chela profondita’ di pelle dello stesso, δ, sia diversa da zero, benche’ piccola, eche, come conseguenza, il campo elettrico dell’ onda penetrando nella paretemetta in movimento gli elettroni di conduzione, liberi di muoversi con relativafacilita’, dissipando per effetto Joule una parte della energia e.m. dell’ onda.

Nel caso delle guide d’onda ideali trattato fino ad ora E0z si annullasulla superficie, senza penetrare in essa. In realta, si puo dimostrare che, seσ e grande, la costante di propagazione α conterra dei piccoli termini addi-zionali, reali ed immaginari. Indicando, cioe, con α0 anziche α, la costantedi propagazione nel caso della guida ideale trattata in precedenza, sara:

α = α0 + ζλ + iβλ (6.86)

dove ζλ e una correzione ininfluente, che diventa importante solo alla frequen-za di taglio del modo considerato, dove α = 0, e βλ puo essere consideratocome la costante di attenuazione della potenza trasmessa nella guida:

P (z) = P (0) e−2βλz (6.87)

ζλ e βλ dipendono dal particolare modo considerato. Si puo dimostrare cheβλ e data dalla formula:

βλ =

√

ǫr

µr

1

σδλ

C

2∆

(ν/νλ)1/2

(

1 − ν2

ν2

λ

)

[

ξλ + ηλ (ν/νλ)2]

(6.88)

6.5. CAVITA RISONANTI 103

dove νλ e la frequenza critica del modo considerato, corrispondente all’auto-valore λ, C e la lunghezza del contorno della guida, ∆ la sezione della guida,σ la conducibilita e δλ la profondita di pelle alla frequenza critica considera-ta, ξλ e ηλ numeri puri dell’ordine di grandezza dell’unita. Si fa notare cheηλ per i modi T.M. e nulla.

Il calcolo dei parametri adimensionali ξλ e ηλ nella (6.88) puo esse-re effettuato senza complicazioni di principio. Ad esempio, per la guidarettangolare ed il modo TE01, i valori sono ξ01 = a/(a+b) e η01 = 2b/(a+b).

Il comportamento di βλ in funzione di ν/νλ e rappresentato in figura6.11. L’attenuazione minima si ha per una frequenza superiore a quella

Figura 6.11:

critica. Per i modi T.E. i valori relativi di ξλ e ηλ dipendono dal contornodella guida e da λ, e quindi non e possibile fare considerazioni generali sullafrequenza alla quale si ha l’attenuazione minima. Per i modi T.M., invece, ilminimo si ha sempre per νmin =

√3 νλ. Ad alte frequenze l’attenuazione

varia come ν1/2. Come ordine di grandezza, in una guida con pareti dirame βλ corrisponde ad una lunghezza di attenuazione dell’ordine di qualchecentinaio di metri (200–400 m) nella regione di frequenza delle microonde.Va osservato che l’ approssimazione nella quale viene valutato il parametroβλ come rappresentato nella figura (6.11) non e’ piu’ valida per frequenzemolto prossime al valore di taglio, ove βλ tende ad infinito sia per modi T.M.che per modi T.E., cosa fisicamente impossibile.

6.5 Cavita risonanti

Affrontiamo ora il problema di studiare la risonanza di onde E.M. nel casotridimensionale. In altre parole chiediamoci se e possibile immagazzinare


l’energia E.M. in un volume delimitato da una superficie chiusa metallicaconduttrice. La risposta e affermativa e consideriamo per semplicita il casoideale gia affrontato con le guide d’onda, e cioe spessore dei conduttori nulloe conducibilita infinita. E immediato constatare che anche in questo caso lacondizione al contorno affinche non ci sia dissipazione di energia per effettoJoule e che in ogni punto della superficie chiusa sia soddisfatta la condizione(6.16).

Consideriamo una guida d’onda di sezione rettangolare chiusa da duepiani perpendicolari all’asse z, posti nell’origine e ad una distanza d.

Come si e visto nel caso della guida d’ onda rettangolare, le compo-nenti dei campi risultano essere stazionarie nelle dimensioni trasversali dellaguida. Pensando di estendere la trattazione fatta in quel caso anche allaterza dimensione, per ottenere onde stazionarie, e dunque confinamento, an-che lungo l’asse z, si deve ipotizzare che nella cavita’ si abbiano dei campilongitudinali del tipo:

Ez = E0z(x, y) [F sin rz + G cos rz] (6.89)

Bz = B0z(x, y) [F sin rz + G cos rz] (6.90)

(6.91)

nel caso di onde T.M. e T.E. rispettivamente, con E0z(x, y) dato dalla (6.39)e B0z(x, y) dato dalla (6.47), e relazioni analoghe per le altre componenti deicampi, in completa analogia con la trattazione delle guide d’ onda a sezionerettangolare. E’ immediato verificare, allora, che r deve essere eguale a o π/dcon o numero intero e F e G devono essere posti eguali a zero rispettivamenteper onde T.M. e onde T.E., per evitare perdite ohmiche sulle pareti metallicheposte in z = 0 e z = d. Gli autovalori relativi alle soluzioni (degeneri, comenoto) (6.91) saranno dati da:

λ2mno = π2

(

m2

a2+

n2

b2+

o2

d2

)

(6.92)

corrispondenti alle frequenze:

νmno =c

2√

ǫrµr

(

m2

a2+

n2

b2+

o2

d2

)1/2

(6.93)

ed alle autofunzioni, nel caso di onde T.M.:

Ex = −i Cmno αmno cosmπ

ax sin

nπ

by sin

oπ

dz

Ey = −i Cmno αmno sinmπ

ax cos

nπ

by sin

oπ

dz


Ez = Cmno λ2mno sin

mπ

ax sin

nπ

by cos

oπ

dz

Bx = i Cmno ǫr µr sinmπ

ax cos

nπ

by sin

oπ

dz

By = −i Cmno ǫr µr cosmπ

ax sin

nπ

by sin

oπ

dz (6.94)

ovvero, nel caso di onde T.E.:

Ex = i C ′

mno kc cosmπ

ax sin

nπ

by sin

oπ

dz

Ey = −i C ′

mno kc sinmπ

ax cos

nπ

by sin

oπ

dz

Bx = i C ′

mno αmno sinmπ

ax cos

nπ

by sin

oπ

dz

By = i C ′

mno αmno cosmπ

ax sin

nπ

by sin

oπ

dz

Bz = C ′

mno λ2mno sin

mπ

ax sin

nπ

by sin

oπ

dz (6.95)

ove la soluzione completa sara’ data dal prodotto delle componenti (6.94) o(6.95) per il fattore temporale e−iωt.

Notiamo due aspetti delle soluzioni trovate. Se paragoniamo la (6.93)con la (4.15), notiamo che, mentre le onde libere possono avere qualsiasivalore di ω, quelle risonanti in una scatola chiusa da pareti metalliche possonoavere soltanto valori discreti della frequenza, dipendenti dai tre interi m, n,o. Ancora, ricordando la (6.37) si puo considerare l’onda stazionaria in unascatola come l’onda propagantesi in una guida con k esattamente uguale aλmn/

√ǫrµr, e quindi vg = 0, con l’ulteriore condizione, per le componenti

trasversali, di avere un nodo per z = 0 e z = d.

E evidente dalle (6.94) che la condizione al contorno relativa allecomponenti tangenziali del campo elettrico (6.25) e soddisfatta in quantosulle pareti terminali, in z = 0 e z = d, le componenti E0x e E0y si annullano,mentre la componente E0z, essendo perpendicolare a tali pareti, si attenua nelmetallo in base alla profondita di pelle δ del materiale specifico, idealmentenulla. Si e ottenuta, adesso, una completa simmetrizzazione delle espressionidelle componenti dei campi, come logico dal momento che in questo caso nonvi e piu una direzione privilegiata, quella di propagazione.

Un ragionamento analogo vale anche per cavita’ risonanti a sezionecircolare, ottenute chiudendo una guida d’ onda circolare con due piani me-tallici perpendicolari all’ asse del cilindro e posti a distanza d uno rispettoall’ altro. Le espressioni delle componenti dei campi potranno essere ottenuteda quelle della corrispondente guida d’ onda moltiplicandole per un terminecosoπ

dz o cosoπ

dz in modo da ottenere la condizione di stazionarieta’ voluta


anche lungo l’ asse del cilindro, cioe’, per le componenti longitudinali deicampi si avra’ esplicitamente:

Ez = E0 Jn(λnj)[An cos nϕ + Bn sin nϕ] cosoπ

dz (6.96)

Bz = B0 Jn(λnj)[An cos nϕ + Bn sin nϕ] sinoπ

dz (6.97)

(6.98)

per onde T.M. e T.E. rispettivamente, con l’ opportuno significato dellacostante λnj in ciascun caso. I corrispondenti autovalori avranno espressione:

λ2mno =

√

(

τnj

a

)2

+(

oπ

d

)2

(6.99)

dove τnj indica lo zero della corrispondente funzione di Bessel di prima specie(onde T.M.) o della sua derivata prima (onde T.E.) ed a indica il raggio dellasezione circolare della cavita’ cilindrica.

Come per il caso delle guide d’onda, una cavita reale, con spessore fini-to e conducibilita σ non infinita, non si comportera come la schematizzazionedescritta. L’effetto che ci si puo aspettare e che le frequenze di risonanza νmno

definite dalla (6.93) non siano esattamente definite, ma abbiano un certo al-largamento, dovuto alla dissipazione dell’energia E.M. per effetto Joule sullepareti.

Per caratterizzare una cavita risonante si definisce il fattore di merito

o fattore Q, definito come:

Q = 2πenergia immagazzinata nell′interno della cavita′

energia persa per ciclo=

= ωenergia immagazzinata nell′interno della cavita′

energia persa per secondo(6.100)

Dal teorema della conservazione dell’energia, indicata con U , e dalla defini-zione di Q si ricava che:

dU

dt= −ωU

Q(6.101)

da cui

U(t) = U(0) e−ωtQ (6.102)

cioe se si immagazzina al tempo t = 0 l’energia U(0) nella cavita, essa de-cade esponenzialmente con una costante inversamente proporzionale a Q.


La (6.102) significa che le oscillazioni del campo elettrico nella cavita sonosmorzate con la legge:

E(t) = E0 e−ωt2Q e−iωt (6.103)

in cui si e tenuto conto che U ∝ E2.Ricordando la trattazione svolta per il dipolo oscillante smorzato (pa-

ragrafo 5.3) si trova in maniera del tutto analoga che la curva di risonanzadi una cavita e una Lorentziana del tipo:

| E(ω) |2 = cost · 1

(ω − ω0)2 + (ω0/2Q)2(6.104)

Il parametro ω0/2Q determina, come e noto, la larghezza della Lorentziana,e quindi una cavita sara tanto piu efficace quanto piu Q e grande. Percavita con pareti di rame si arriva a valori di Q di 104. Usando materialisuperconduttori (σ → ∞) si puo arrivare a valori di Q 2–3 ordini di grandezzasuperiori.

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Capitolo 6 Guide d’onda - giorgio.busoni.it · Capitolo 6 Guide d’onda 6.1 EqM per la guida d’onda Abbiamo visto che usando in maniera appropriata un’antenna lineare `e possi-bile