CAPITOLUL III

FUNCŢII CONTINUE

1. Funcţii de o variabilă reală

Funcţiile definite pe mulţimi abstracte , cu :X Y f X Y→ au în

general puţine proprietăţi şi din acest motiv, puţine aplicaţii în rezolvarea

unor probleme concrete. Proprietăţile generale şi operaţiile cu funcţii

depind în primul rând de structura algebrică a mulţimilor X şi Y.

În cazul , :R,X Y f X⊂ Y→ se numeşte funcţie reală de o

variabilă reală şi această funcţie este destul de generală; de aceea în liceu

s-au studiat funcţiile reale concrete de o variabilă reală, adică funcţii

pentru care legea de asociere a lui x∈X cu y∈Y este dată printr-o expresie

analitică precizată şi graficul lui f, Gf ={(x, y)∈R2| x∈X, y∈Y; y = f (x)} cu

X ×Y ⊂ R2 =R × R. Clasa funcţiilor de la R la R cuprinde următoarele

funcţii reale concrete: funcţii polinomiale, funcţii trigonometrice

directe, funcţii trigonometrice inverse, funcţia putere, funcţia

exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile etajate ş.a.

Vom nota cu “trig” una dintre funcţiile trigonometrice: sinus,

cosinus, tangentă, cotangentă şi cu “arctrig” una dintre funcţiile

trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă, arccotangentă.

Considerăm următoarea clasa de funcţii reale de o variabilă reală:

(III.1) E0 ( ){ }const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctrigRa

a a= ⋅

unde sunt incluse: funcţiile constante, funcţia identitate pe R şi pe X⊂ R,

funcţia exponenţială de baza a (a > 0; a ≠ 1); funcţia logaritmică de bază

158

a (a > 0; a ≠ 1); funcţia putere de exponent a (∀a∈R) funcţiile

trigonometrice directe şi funcţiile trigonometrice inverse.

Mulţimea R fiind un corp comutativ ordonat şi complet ne permite

să definim operaţii algebrice cu funcţii reale de o variabilă reală şi alte

proprietăţi.

159

⊆ Definiţia III.1. 1] O funcţie se numeşte

funcţie elementară dacă f poate fi obţintă din E

: cu , Rf X Y X Y→

0 aplicând de un număr

finit de ori cele patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea,

împărţirea, cât şi operaţia de compunere a două funcţii. Notăm cu E

mulţimea funcţiilor elementare.

2] Funcţiile f ∈ E0 se numesc funcţii elementare de bază.

Observaţii:

1. Exemple: 1° ( ): , cuR R Nnf f x x n f→ = ∈ ⇒ ∈ E

. ( ) ( )( ) ( )n ori

1 1 1 cu 1 ,R R R R Rdef

nf x x x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅ = ∀ ∈L1 44 2 4 43

2o ( ) ( ) [ ]: cu şiR R P P Rn nf f x x X f→ = ∈ ⇒ ∈ E

funcţia polinomială.

3o ( ) , 0nf x n x f= ≥ ⇒ ∈ E (funcţia radical de ordin n).

4o shsh , ch , th2 2 ch

x x x x x xdef

x

e e e e x e ex x x xx e e

− − −

−

− += = = =

+−

)

⊆

∈E

( 2 2ch sh 1x x− = funcţiile trigonometrice hiperbolice

2. Orice funcţie elementară poate fi dată printr-o formulă, adică printr-un

număr finit de simboluri matematice aplicate funcţiilor elementare de bază

din E0.

3. O funcţie elementară se notează şi prin: : cu , Rf X Y X Y→

“y = f(x) cu x ∈ X în loc de f : X → Y”

4. Dacă mulţimea de definiţie a lui f nu este precizată se subînţelege că ea

este mulţimea Df ={x ∈ R | f(x) ∈ R}, a punctelor x din R pentru care are

sens f(x) în R. Mulţimea Df se numeşte împropriu domeniu maxim de

definiţie al funcţiei f.

5. Dacă avem relaţia , atunci există o mulţime maximă

a.î. relaţia

2RX Xρ ⊂ × ⊂

A X⊆ RAρ ⊆ × este o funcţie f care se numeşte funcţia

naturală asociată relaţiei binare ρ. Când se spune “fie funcţia elementară

” este vorba de funcţia naturală asociată relaţiei binare ρ de la R

la R.

( )y f x=

Definiţia III.2. Fie , cu : , :Rf g f A g B R∈ →E → , atunci

definim:

( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ){ }

( ) ( )( )

0 0

0

: cu ;

: cu ;

III.2 : şi | 0 cu

;

R

R

R

f g A B f g x f x g x x A B

f g A B f g x f x g x x A Bf A B B t B g t Bg

f xf x x A Bg g x

⎧ ± ∩ → ± = ± ∀ ∈ ∩⎪

∩ → = ∀ ∈ ∩⎪⎪⎪ ∩ → = ∈ ≠ ⊆⎨⎪⎪⎛ ⎞⎪ = ∀ ∈ ∩⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

g g g

numite: suma algebrică, produsul şi câtul funcţiilor f şi g.

Vom preciza în continuare unele funcţii particulare remarcabile

care se folosesc în studiul unor probleme teoretice şi în aplicaţii.

(F1) Fie A⊂ R, cu proprietatea că există

, prin definiţie f este funcţia constantă şi o

notăm f = c. Pentru c = 0, funcţia f este funcţia identic nulă pe A sau

funcţia nulă pe A, notată f =0.

: Rf A →

( )a.î. ,c f x c x∈ = ∀R A∈

160

(F2) Fie ( ); 0

: ,0 ; 0

R Rx xxf f x

x

⎧ ≠⎪→ = ⎨⎪ =⎩

y

x O y=-1

y=1

funcţia signum, notată sign ( )x f x= .

(F3) Fie f: R→R funcţie definită astfel: f(x) este cel mai mare

întreg n cu proprietatea n ≤ x, adică y

0 x -3 -2 -1 2 3 1

( ) { }sup |f x n n= ∈ ≤Z x numită funcţia

partea întreagă notată prin [ ⋅] sau [⋅]* sau E

sau * şi numarul [x] = f (x), x∈R se numeşte

partea întreagă a lui x. Funcţia

( ) [ ]: ,g g x x→ = −R R x se numeşte y

0 x

funcţia partea zecimală şi numărul

[ ],x x x− ∈R se numeşte partea zecimală a

lui x.

161

(F4) Fie

cu f(x) distanţa de la

x la cel mai apropiat

întreg, adică

:f →R R y

0 x

y= 12

(2, 0) (1, 0) ,0) ( 12 ,0) 1

2(-(-1,0)

{ }( ) inf ( , ) | | | ;f x d x n x n n x= = − ∈Z R∈ .

(F5) Funcţia f : R → {0, 1} dată prin se numeşte

funcţia lui Dirichlet.

1;( )

0;QR - Q

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩

(F6) Funcţia f : R → (-1, 1) cu ( )1

xf xx

=+

se numeşte funcţia lui

Hahn.

(F7) Funcţia f : R →R cu

1 ; dacă cu şi

( ) ( , ) 1; 10; dacă

*

*

Q

R - Q

px xq q

f x p q qx

⎧ ∈ =⎪⎪⎪= = ≥⎨⎪ ∈⎪⎪⎩

se

numeşte funcţia lui Riemann.

(F8) Fie A⊆ R o mulţime nevidă y=1

O

y

ϕA

y=0

A=[-1, 3] 3-1

y=0 şi f :R→{0, 1} definită prin:

1; A

( )0; AR -

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩

se numeşte funcţia caracteristică a mulţimii A notată prin ϕA sau cA sau

1A.

Funcţia caracteristică a mulţimii A = ⊂ R *+R y

162

O

se numeşte funcţia lui Heaviside y=1 y=0 notată cu H = *

+Rϕ .

x

(F9) Fie I ⊂ R interval şi f : I→ R. Prin definiţie, f este o funcţie

etajată sau în scară dacă există o partiţie finită ( ) 1,Ik k n=

a intervalului I şi

{λ1, λ2, ..., λn} ⊆R astfel încât I1

k

n

kk

f=

= λ ϕ∑ unde Ikϕ este funcţia

caracterisită a intervalului Ik, cu k =1, ...n.

Din definiţia

funcţiei etajate şi a

funcţiei caracteristice

a unei submulţimi ( ) ( )

( ) ( )

O

A ⊂ R se deduc

următoarele condiţii

de caracterizare

pentru funcţii etajate:

(i) f : I→ R este funcţie etajată (în scară)⇔ ∃ ( ) 1,Ik k n=

o partiţie

finită a lui I a.î. f este constantă pe fiecare interval Ik cu 1,k n= .

(ii) f : I→ R este funcţie etajată (în scară)⇔ exista o diviziune ∆ a

lui I a. î. f este constantă pe interiorul fiecărui interval parţial al diviziunii

∆.

Conceptul de funcţie etajată (în scară) poate fi generalizat astfel:

Fie X≠∅ o mulţime oarecare şi s: X → [0, ∞) se numeşte funcţie simplă

dacă s(X) ⊂ [0, ∞) este o mulţime finită, adică s are doar un număr finit de

valori pozitive; notăm s(X) = {α1, ..., αn} cu αk ∈ R+ pentru 1,k = n . În

aceste condiţii, avem A1

k

n

kk

s=

= α ϕ∑ unde Ak = {x∈X | s(x) = αk}şi este

funcţia caracteristică a lui A

Akϕ

k ( ). 1

X An

kk=

=U

(F10) I] Fie f : A → R cu A ⊆ R. Funcţia f este izometrică sau f

este o izometrie pe A, dacă:

(III.3) [ ] ( )( ), ( ) ( ) ( ) , , , Ad f x f y f x f y d x y x y x y= − = = − ∀ ∈

II] Dacă există λ > 0 a. î.

163

(III.4) ( ) ( ) , , Af x f y x y x y− ≤ λ − ∀ ∈

fucţia f satisface condiţia lui Lipschitz sau f este o funcţie λ -

lipschitziană.

III] O f funcţie λ - lipschitziană cu 0 < λ < 1 se numeşte contracţie

sau λ - contracţie.

IV] O funcţie f : A → R este o funcţie local lipschitziană dacă

∀x∈A există V ∈V(x) astfel încât A V

f∩

să fie o funcţie lipschitziană.

V] O funcţie f : A → R pentru care există p∈(0,1) şi există M >0

astfel încât:

(III.5) ( ) ( ) M , , Apf x f y x y x y− ≤ − ∀ ∈

se spune că f satisface condiţia Hölder sau că f este funcţie p –

hölderiană.

Observaţii:

1. Orice funcţie izometrică este funcţie lipschitziană (λ = 1). Reciproca nu

este numaidecât adevărată. Exemplu: f(x) = sinx, x∈R este 1 –

lipschitziană, dar nu este izometrică, avem:

( )

sin sin sin cos 2 12 2 2

sin , cos 1R;

x y x y x yx y x

t t t t

− − − y− = ≤ ⋅

≤ ∀ ∈ ≤

= −

2. Orice funcţie lipschitziană este local lipschitziană. Reciproca nu este în

general adevărată.

Definiţia III.3. Fie f : A → R cu A ⊆ R.

1] Funcţia f este monoton crescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2,

avem 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x−

≥−

⇔ ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2, avem:

164

(III.6) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− − ≥ .

Funcţia f este monoton strict crescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠

x2, avem:

(III.6') 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x−

>−

.

2] Funcţia f este monoton descrescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu

x1 ≠ x2, avem 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x−

≤−

⇔ ∀x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2, avem:

(III.7) [ ]( )1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− − ≤ .

Funcţia f este monoton strict descrescătoare pe A, dacă ∀x1, x2 ∈ A, cu

x1 ≠ x2, avem:

(III.7') 1 2

1 2

( ) ( ) 0f x f xx x−

<−

.

3] Funcţia f este monotonă pe A dacă f este, fie monoton crescătoare, fie

monoton descrescătoare pe A.

Funcţia f este strict monotonă pe A dacă f este, fie monoton strict

crescătoare, fie monoton strict descrescătoare pe A.

Exemple: 1) f (x) = [x], x∈R este monoton crescătoare.

2) sin: R → R, cos: R → R nu sunt monotone dar admit restricţii sin|A cu

A = ,2 2π π⎡−⎢⎣ ⎦

⎤⎥ şi cos|A cu A = [ ]0,π care sunt strict monotone.

3) Funcţia Dirichlet nu este monotonă pe nici un interval I ⊆ R

nedegenerat.

Definiţia III.4. Fie I ⊂ R şi f: I → R. Funcţia f are proprietatea

Darboux pe I (notat P.D.) dacă ∀a, b∈ I cu a < b şi oricare ar fi λ cuprins

între f(a) şi f(b) există c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = λ.

165

Se va nota Da(I) mulţimea funcţiilor f: I → R care au proprietatea

Darboux pe I.

Observaţii:

1] Se pot da formulări echivalente ale acestei definiţii:

I. f: I → R are proprietatea Darboux ⇔ ∀a, b∈ I cu a < b,

mulţimea valorilor funcţiei f pe [a, b] adică mulţimea f([a, b]), conţine

toate numerele reale cuprinse între f(a) şi f(b).

II. f: I → R are proprietatea Darboux ⇔∀a, b∈ I cu a < b şi oricare

ar fi λ∈(0,1) există c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = (1- λ) f(a) + λ f(b).

III. 1] f: I → R are proprietatea Darboux ⇔∀a, b∈ I cu a < b şi

oricare ar fi λ cuprins între f(a) şi f(b), paralela la axa Ox care trece prin

punctul (0, λ) intersectează graficul lui f într-un punct (x, f(x)) cu x∈[a, b].

2] Fie I ⊂R interval, f: I → R o funcţie cu proprietatea: ∀a, b∈ I cu a < b

şi oricare ar fi λ cuprins între f(a) şi f(b) există c ∈I astfel încât f(c) = λ, nu

rezultă că f are proprietatea Darboux ci doar faptul că f(I) este interval.

3] Punctul c din definiţia lui f cu proprietatea Darboux nu este totdeauna

unic determinat; pot exista o infinitate de puncte c din (a, b) astfel încât

f(c) = λ.

Exemple: 1°. f(x) = sign x, x∈R nu are proprietatea Darboux.

2°. f nu are proprietatea Darboux. ;

( );

QR - Q

x xf x

x x∈⎧

= ⎨− ∈⎩

3°. ( ) sin ( ) cos

,R R

f x x f xx x

= =⎧ ⎧⎨ ⎨∈ ∈⎩ ⎩

x au proprietatea Darboux.

166

Teorema III.1. Fie I⊂ R interval, f: I → R o funcţie, atunci

următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(i) f are proprietatea lui Darboux;

(ii) ∀ J ⊆ I interval f(J) este interval;

(iii) ∀a, b∈ I cu a < b⇒ f([a, b]) este interval;

(iv) ∀A ⊆ I mulţime convexă ⇒ f(A) este convexă.

Demonstraţie: (i)⇒ (ii) Fie J ⊂ I interval; se consideră f(J) şi

∀y1, y2 ∈f(J) cu y1< y2, iar λ ∈ R cu y1<λ< y2 ⇒ există x1, x2 ∈J a. î. f(x1)=

=y1, f(x2)= y2 şi cum f are proprietatea Darboux există x0 cuprins între x1 şi

x2, cu f(x0)= λ. Cum J este interval x0∈J, deci λ = f(x0) ∈ f(J), deoarece

[y1, y2]⊆ f(J) care este interval.

(ii)⇒(iii) şi (iii)⇒(iv) sunt evidente; A ⊂ I convexă ⇔ A interval (definiţia

şi caracterizarea intevalului în R) (iv)⇒(i) Fie a, b∈I cu a < b şi λ cuprins

între f(a) şi f(b), atunci f(a), f(b)∈ f ([a, b]) şi după (iv) f ([a, b]) este

interval, deci λ∈ f ([a, b]) şi atunci există x0∈ [a, b] a. î. f(x0) = λ ⇒ f are

proprietatea lui Darboux.

Teorema III.2. Fie I ⊂ R şi f: I → R o funcţie injectivă cu

proprietatea Darboux, atunci f este strict monotonă.

167

3

Demonstraţie: Fie x1, x2, x3 ∈I cu x1 < x2 < x3 atunci J1 = f([x1, x2])

şi J2 = f([x2, x3]) sunt intervale. Cum f(x2) ∈ J1∩ J2 şi f este injectivă, avem

J1 ∩ J2 = {f (x2)} de unde rezultă: 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x< < sau

3 2( ) ( ) ( )1f x f x f x< < ⇒ f este strict monotonă pe I.

Consecinţa III.1. Fie I ⊂ R interval, f: I → R o funcţie cu

proprietatea Darboux, atunci f este strict monotonă ⇔ f este injectivă.

Demonstraţia rezultă direct din teorema precedentă.

Definiţia III.5. 1] O mulţime A ⊆ R se numeşte mulţime

simetrică în raport cu originea sau mulţime simetrică dacă ∀ x∈ A ⇒

-x∈ A echivalent cu A = - A.

2] Fie A ⊆ R o mulţime simetrică şi f: A → R. Funcţia f este funcţie pară

dacă: f (- x) = f(x), ∀x∈A. Funcţia f este funcţie impară dacă: f (- x) =

= - f(x), ∀x∈A..

Exemple: 1° Funcţiile trigonometrice cos şi ctg sunt pare, iar sin şi

tg sunt impare.

2° Funcţia Dirichlet este pară. Funcţia Hahn este impară.

Teorema III.3. Fie A, B ⊂ R cu A mulţime simetrică şi f :A → B

o funcţie impară bijectivă, atunci B este mulţime simetrică şi 1f − :B → A

este funcţie impară.

Demonstraţie: Fie B = 1f − (A) şi să arătăm că B este mulţime

simetrică, adică B = - B şi 1f − impară, adică 1f − (-y) = - 1f − (y), ∀y∈B.

Pentru ∀y∈B fixat, există x∈A a. î. f(x) = y şi deci: - y =- f(x)= f(-x)∈f(A) =

= f(A) = B şi 1f − (-y)= f [ 1f − (-x)] = - x = - 1f − (y).

Exemplu. Funcţiile arcsin şi arctg sunt impare deoarece sin şi tg

sunt impare (conform teoremei III.3).

Definiţia III.6. Fie A ⊂ R şi f :A →R. Funcţia f este periodică pe

A, dacă există T > 0 astfel încât: x + T ∈A şi f( x+ T) = f(x), ∀x∈A.

Numărul T se numeşte perioadă a funcţiei f; cel mai mic numar pozitiv

care este perioadă pentru f se numeşte perioadă minimă.

Exemple: 1° Funcţiile trigonomerice sin şi cos au perioada 2 π

(minimă).

2° Funcţie f(x) = [x] are perioadă minimă 1.

168

3° Funcţia Dirichlet are perioadă orice r∈ , dar nu are o perioadă

minimă.

*+Q

Definiţia III.7. 1] O funcţie f :A →R cu A ⊂ R este funcţie

mărginită pe A dacă mulţimea f(A) ⊂ R este mărginită. O funcţie care nu

este mărginită se numeşte funcţie nemărginită.

2] Dacă f este mărginită pe A, prin definiţie marginea superioară a mulţimii

f(A), sup f(A), se numeşte marginea superioară a funcţiei f pe A, notată

prin A

sup ( )x

f x∈

; marginea inferioară a mulţimii f(A), inf f(A), se numeşte

marginea inferioară a funcţiei f pe A, notată prin A

inf ( )x

f x∈

.

3] Funcţia f este majorată pe A, dacă mulţimea f(A) este majorată; funcţia

f minorată pe A dacă mulţimea f(A) este minorată.

Definiţia III.8. Fie A ⊆ R şi f: A → R.

1] Funcţia f îşi atinge maximul pe A, dacă multimea f(A) admite maxim,

adică există x0∈A a. î. f(x0) ≥ f(x), ∀x∈A. Funcţia f îşi atinge minimul pe

A, dacă multimea f(A) admite un minim, adică există x0∈A a. î. f(x0) ≤ f(x),

∀x∈A.

2] Elementul f(x0) se numeşte maximul global şi se notează A

max ( )x

f x∈

sau

max f(x), respectiv f(x0) se numeşte minimul global şi se notează

Amin ( )x

f x∈

sau min f(x).

3] Punctul x0∈A se numeşte punct de maxim global, respectiv de minim

global şi maximul, minimul lui f în x0 se numesc extreme globale ale lui f

pe A.

Observaţii:

1. Funcţia f: A → R este mărginită ⇔ |f | este mărginită ⇔ |f | este

majorată (|f | ≥ 0 pe A). 169

2. Fie f: A → R, f atinge marginea superioară, respectiv f atinge

marginea inferioară, dacă sup f(A)∈ f(A), respectiv inf f(A) ∈ f(A).

3. Orice funcţie f: A → R care are un număr finit de valori este o funcţie

mărginită.

Definiţia III.9. Fie A ⊆ R şi f: A → R.

1] Punctul x0∈A este punct de maxim local pentru f, dacă există V∈V(x0)

a. î. f(x0) ≥ f(x), ∀ x∈A ∩ V – { x0}. Punctul x0∈A este punct de minim

local pentru f, dacă există V∈V(x0) a. î. f(x0) ≤ f(x), ∀ x∈(V – { x0}) ∩ A.

2] Punctele de maxim local şi minim local se numesc puncte de extrem

local ale lui f.

3] Avem: x0 punct de maxim local în sens strict def

⇔ ∃V∈V(x0) a. î.

f(x0) > f(x), ∀ x∈A ∩ V – { x0} şi respectiv x0 este punct de minim local

în sens strict ⇔ ∃V∈V(x0) a. î. f(x0) < f(x), ∀ x∈A ∩V – {x0}. În aceste

cazuri x0 este punct de extrem local în sens strict al lui f.

Observaţie:

Un punct de maxim global, respectiv de minim global este şi punct de

maxim local, respectiv punct de minim local. Reciproca, în general, nu este

adevărată.

Exemple: 1°. sin : R → R este mărginită: |sin x| ≤ 1, ∀x∈R.

Punctele 22

kπ+ π sunt puncte de maxim absolut şi punctele 3 2

2kπ

+ π

sunt puncte de minim absolut.

2°. Funcţia tg nu este marginită şi nu are puncte de extrem local; pentru

f(x) = tg x, avem A

inf ( )x

f x∈

= - ∞ şi A

sup ( )x

f x∈

= + ∞ unde A = ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⊂ R.

170

3°. Funcţia lui Dirichlet este mărginită, dar nu admite puncte de extrem

local, fiecare x0∈Q este este punct de maxim global şi fiecare x0∈R - Q

este punct de minim local.

4°. Funcţia lui Hahn, ( )1

xf xx

=+

, x∈R şi f(R) = (-1, 1) este mărginită, nu

are extreme locale şi nu-şi atinge marginile pe R.

5°. Orice funcţie monotonă f: A → R este mărginită dacă A este

submulţime mărginită a lui R care îşi conţine marginile.

Teorema III.4. Fie A ⊂ R şi f: A → R o funcţie, următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

(i) f este mărginită;

(ii) există α, β ∈R a. î. α ≤ f(x)≤ β, ∀x∈A;

(iii) ∃M > 0 a. î. | f(x)| ≤ M, ∀x∈A;

(iv) A

sup ( )x

f x∈

< + ∞.

Demonstraţia este directă folosind definiţiile precedente care se

aplică mulţimii f(A)⊂ R.

Teorema III.5. Fie A ⊂ R şi f, g: A → R două funcţii mărginite,

atunci f ± g, fg sunt funcţii mărginite.

Demonstraţie: Funcţiile f şi g fiind mărginite după (iii) din

teorema precedentă există M1, M2 > 0 a. î. | f(x)| ≤ M1 şi | g(x)| ≤ M2. ∀x∈A

şi atunci | f(x) ± g(x)| ≤ M1 + M2, ∀x∈A ⇒ f ± g mărginită.

La fel | f(x) g(x)| = | f(x) | ⋅ |g(x)| ≤ M1 ⋅ M2, ∀x∈A ⇒ fg este

mărginită.

Teorema III.6. Fie A ⊂ R o mulţime mărginită şi f: A → R o

funcţie lipschtziană, atunci f este mărginită.

171

Demonstraţie: Mulţime A ⊂ R mărginită ⇔ ∃ M >0 a. î. |x| ≤ M,

∀x∈A şi f funcţie lipschitziană, deci există λ >0 a. î. | f(x) - g(x)| ≤ λ | x- y|,

∀x, y∈A. Fixăm x0∈A şi avem:

| f(x) | ≤ | f(x) - f(x0)| + | f(x0)| ≤ λ | x- x0| + | f(x0)| ≤ λ|x| + λ | x0| + | f(x0)| ≤

≤ 2λM + | f(x0)|, ∀x∈A ⇒ A

sup ( )x

f x∈

≤2λM + | f(x0)| < + ∞ ⇒ f este

mărginită pe A.

Teorema III.7. Fie A ⊂ R şi f, g: A → R două funcţii atunci au

loc afirmaţiile:

(i) dacă f ≤ g pe A ⇒ A A

A A

1 sup ( ) sup ( )

2 inf ( ) inf ( )x x

x x

f x g x

f x g∈ ∈

∈ ∈

⎧ ≤⎪⎨

≤⎪⎩

o

o x

Ax

(ii) ( )

[ ]

[ ]A A A A A

A A AA

A A A

A

3 inf ( ) sup ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( )

4 inf ( ) sup ( ) inf ( ) ( ) inf ( ) inf ( )

III.8 5 sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) dacă 0, 0

16 sup

x x x x x

x x xx

x x x

x

f x g x f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g

f x g x f x g x f g

f

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈∈

∈ ∈ ∈

∈

+ ≤ + ≤ +

+ ≥ + ≥ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅ ≥ ≥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

o

o

o

o

x∈

AA

A AA

1 dacă inf ( ) 0 şi ( ) 0,( ) inf ( )

1 17 inf dacă sup ( ) 0 şi ( ) 0,( ) sup ( )

xx

x xx

f x f x x Ax f x

f x f x x Af x f x

∈∈

∈ ∈∈

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪

= > ≠⎪⎪⎪⎪ = > ≠⎪⎩

o

∈

∈

Demonstraţiile relaţiilor 1° - 7 ° sunt directe aplicând definiţiile şi

teoremele deja demonstrate.

Definiţia III.10. Fie A ⊂ R mulţime arbitrară şi funcţia f: A → R.

Numărul A

sup ( )x

f x∈

∈ R ∪ {+ ∞} se numeşte norma uniformă a funcţiei

f notată prin:

172

(III.9.)A

sup ( )not not

ux

f x f f∞

∈= = .

Teorema III.8. Fie A⊂R mulţime oarecare şi f, g: A→ R funcţii,

atunci au loc următoarele proprietăţi ale normei uniforme:

I. 0 ( ) 0,f f x x∞= ⇔ = ∀ ∈A, adică f = 0 (funcţia nulă);

II. M ( ) M, f f x x∞≤ ⇔ ≤ ∀ ∈A;

III. f∞< +∞⇔ f mărginită pe A;

IV. dacă R, f f f∞ ∞ ∞

∀λ∈ λ = λ < +∞ ;

V. f g f g∞ ∞

+ ≤ +∞

.

Demonstraţiile pentru afirmaţiile I, II şi IV sunt evidente; III

rezultă din II. Pentru a dovedi V, considerăm:

( )( ) ( ) ( ) ,f g x f x g x f g x∞ ∞

+ ≤ + ≤ + ∀ ∈A, deci:

( )( )A

supx

f g f g x f∞ ∞

∈+ = + ≤ + g

∞.

Definiţia III.11. O funcţie f: R → R se numeşte:

- aditivă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ;

- subaditivă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y+ ≤ + ∀ ∈ ;

- omogenă dacă ( ) ( ),f x f xλ = λ ∀λ∈R şi ∀x∈R;

- liniară dacă f este aditivă şi omogenă;

- multiplicativă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y⋅ = ⋅ ∀ ∈ ;

- submultiplicativă dacă ( ) ( ) ( ); , Rf x y f x f y x y⋅ ≤ ⋅ ∀ ∈ ;

- afină dacă există I ⊆ R interval şi f: I → R pentru care există a, b∈R a. î.

. ( ) ,f x ax b x I= + ∀ ∈

- convexă (concavă), şi f: I → R dacă 1 2,x x I∀ ∈ şi λ∈(0, 1):

173

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ λ λ λ− + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ respectiv

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ λ λ λ− + ≥ − +⎡ ⎤⎣ ⎦

Exemple: 1° f: R → R cu ( )( ) *Rf x ax a= ∈ este funcţie liniară.

2° f: R → R cu ( )1

xf x

x=

+ este subaditivă.

3° f: R → R cu ( )f x ax b= + afină este aditivă ⇔ b = 0 şi este omogenă

⇔ b = 0 ⇔ f este funcţie liniară pentru b = 0.

4° Funcţiile modul, signum, identitate pe R sunt funcţii multiplicative.

5° Funcţia modul şi funcţiile etajate sunt afine pe porţiuni pe R.

6° este strict convexă pe R( ) 3,f x x x= ∈R + şi strict concavă pe R - .

Teorema III.9. O funcţie f: R → R este funcţie liniară, dacă şi

numai dacă există c ∈ R a. î. f(x) = cx, ∀x∈R.

Demonstraţie: Avem f(x) = f(x⋅ 1) = x f(1), ∀x∈R şi c = f(1), deci

f(x) = cx, ∀x∈R .

Teorema III.10. Orice funcţie aditivă f: R → R este Q – omogenă.

Demonstraţia se face prin inducţie ([41] pag. 126; [30]).

Consecinţa III.2. O funcţie f: R → R aditivă şi monotonă este

funcţie liniară.

Demonstraţia în bibliografie ([41] pag. 126; [30]).

Teorema III.11. Fie I ⊂ R şi f: I → R o funcţie, atunci următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

(i) f este funcţie afină;

(ii) f – f(0) este restricţia la I a unei funcţii liniare;

(iii) f[(1- λ)x + y] = (1- λ) f(x) + λ f(x) ; ∀x, y∈I şi ∀λ∈[0, 1].

174

Demonstraţie: (i)⇒ (ii) f este afină deci ∃ a, b∈R a. î. f(x) = ax+b;

∀x∈I ⇒ f(x) + f(0) = ax, ∀x∈I adică f - f(0) este restricţia la I a unei funcţii

liniare: x→ax cu x∈R.

(ii)⇒ (iii) este evidentă.

(iii)⇒(i) Fie a, b∈I fixaţi cu a < b şi să demonstrăm că are loc

egalitatea: (III.10) ( )( ) ( )( ) ( ) ,f b f af x f a x a xb a−

= + −−

∀ ∈I.

I. Dacă x∈[a, b], avem x = (1 - λ)a + λb cu λ = x ab a−−

şi din (ii)

rezultă: f(x) = f(a) (1- λ) + f(b)λ = f(a) + [f(b) - f(a)] λ ⇒ (III.10),

∀x∈[a, b].

II. Dacă x∈ I - [a, b] şi presupunem x > b, avem b∈[a, x], deci

aplicând (III.10) pentru b = x şi x = b rezultă:

(( ) ( )( ) ( ) f x f a )f b f a b ax a−

= + −−

⇒ (III.10) şi deci f este funcţie afină.

Consecinţa III.3. Au loc următoarele afirmaţii pentru f: R→R:

(α) f este funcţie afină ⇔ f – f(0) este funcţie liniară;

(β) dacă f este aditivă şi multiplicativă ⇒ f = 0 sau f = 1R;

(γ) f este izomorfism de la R la R ⇔ f = 1R.

Definiţia III.12. Fie A ⊆ R o mulţime arbitrară. Funcţia f: A → A

are x0∈ A punct fix dacă f(x0) = x0.

Observaţii:

1. O funcţie f poate să nu aibă puncte fixe, poate avea un singur punct fix,

poate avea un număr finit de puncte fixe, poate avea o infinitate de pumcte

fixe.

2. Fie A ⊆ R şi f: A → A; f are cel puţin un punct fix, dacă şi numai dacă

graficul lui f intersectează prima bisectoare. 175

3.Exemple: 1° Funcţiile sin şi cos au fiecare un singur punct fix.

2°. Funcţiile tg şi ctg au fiecare câte o infinitate de puncte fixe.

3° 2( )f x ax bx c= + + cu x∈R, a ≠ 0 şi a, b∈ R are cel puţin un punct fix,

dacă şi numai dacă, . ( )21 4b a− ≥ c

Teorema III.12. (Teorema lui Knaster) Fie A ⊆ R o mulţime cu

proprietatea că orice submulţime a lui A are margini care aparţin lui A şi

f: A → A o funcţie monotonă, atunci există x0∈ A a. î. f(x0) = x0.

Demonstraţie: Presupunem f monoton crescătoare şi fie a = minA,

b = maxA şi B = {x∈A| f(x) ≥ x}. Cum f(a) ∈ A, avem f(a) ≥a, deci a∈B şi

B ≠ ∅. Fie c = sup B, deoarece c ≥ x, ∀x∈B şi f monoton crescătoare,

rezultă f(c) ≥ f(x), ∀x∈B, deci f(c) ≥ x ∀x∈B şi atunci f(c) ≥ sup B = c. În

aceste condiţii din f(x) ≥ c ⇒ f[f(c)] ≥ f(c) şi f(c) ∈B, deci f(c) ≤ c. În

consecinţă, avem f(c) = c şi x0 = c = sup B.

Consecinta III.4. Fie f : [a, b] → [a, b] o funcţie monotonă, atunci

există x0∈[a, b] a. î. f(x0) = x0.

Definiţia III.13. Fie P∈R[X] un polinom de grad n, P =

= ( )0

0n

kk n

k

a X a=

≠∑ .

1] Funcţia p: R→ R cu p(x) = se numeşte funcţie polinomială

asociată polinomului P ∈ R[X].

0

nk

kk

a x=∑

2] Un element x0∈R se numeşte rădăcină sau soluţie a lui P dacă P(x0)=0

şi rădăcina de ordin p dacă există P1∈ R[X] a. î. P(x) = (x - x0)p⋅ P1(x),

∀x∈R şi P1(x0) ≠ 0.

176

3] Elementul x0∈R se numeşte număr algebric, dacă x0 este rădăcina unui

polinom cu coeficienţi întregi de grad nenul şi număr transcendent dacă

nu este algebric.

Teorema III.13. Fie P, Q∈R[X] cu Q ≠ 0 (polinomul nul), atunci

au loc următoarele afirmaţii ([17], [30], [41]):

(i) Există C, R∈R[X] a. î. P = C⋅Q + R şi grad R < grad Q;

(ii) Fie a∈R, atunci există C∈R[X] unic şi există r∈R unic a. î.

P = (X - a) C + r.

(iii) Elementul a∈R este rădăcină a lui P, dacă şi numai dacă, P se

divide exact la X - a.

(iv) Fie P∈R[X], elementul a + ib∈C este o rădăcină a lui P, dacă

şi numai dacă, a - ib este rădăcină a lui P.

(ivv) Fie P∈R[X] cu grad P = n (n∈ N*) şi a∈R, atunci are loc

formula lui Taylor pentru polinoame:

( ) ( )P( ) P( ) P ( ) ... P ( ),1! !

Rn

nx ax ax a x x xn−− ′= + + + ∀ ∈ .

Definiţia III.14. Se numeşte funcţie raţională cu coeficienţi în R,

câtul a două polinoame cu coficenţi în R, adică există P, Q∈R[X] a. î.

R = PQ

. Dacă P şi Q nu au rădăcini comune, avem P( )R( )Q( )

xxx

= ,

∀x∈R-ZQ unde ZQ este mulţimea rădăcinilor (zerourilor) lui Q. Dacă P şi

Q au o rădăcină comună x = a, atunci R = PQ

se identifică cu 1

1

PQ

unde, P1,

Q1∈R[X] şi P = (X - a) P1, Q = (X - a)Q1.

177

Teorema III.14. ([41] pag. 130 - 132)

Fie R = PQ

cu P, Q ∈R[X] o funcţie raţională cu R: DR ⊆ R→R,

atunci au loc afirmaţiile:

1] R este funcţie pară, dacă şi numai dacă, există o funcţie

raţională R1 a. î. R(x) = R1(x2), ∀x∈DR. R este funcţie impară, dacă şi

numai dacă, există o funcţie raţională R2 a. î. R(x) = xR2(x2), ∀x∈DR.

2] Fie x0∈R fixat, R este o funcţie pară în raport cu x0, dacă şi

numai dacă, există R1 funcţie raţionlă a. î. R(x) = R1[(x - x0)2], ∀x∈DR. R

este funcţie impară în raport cu x0, dacă şi numai dacă, există R2 funcţie

raţională a. î. R(x) = (x - x0)R2[(x - x0)2], ∀x∈DR.

3] Fie R = PQ

funcţie raţională cu grad P < grad Q.

I] Dacă Q are numai rădăcini reale distincte, adică:

Q = ( )( ) ( ) ( )1 2 .... , 1,Rn jc x x x x x x x j n− − − ∈ = atunci R admite o

descompunere unică în fracţii simple de forma:

(III.11) ( )1 2

1 2

AA AP( ) ... A , 1,Q( )

Rnj

n

x j nx x x x x x x

= + + + ∈ =− − −

.

II] Dacă Q are rădăcini reale distincte şi multiple, adică:

Q = ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 .... , , 1,R Nk

k i ic x x x x x x x i kα α α ∗− − − ∈ α ∈ = atunci R

admite o descompunere unică în fracţii simple de forma:

(III.12) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

1 21

11 1

1 21

A AP( ) ... ...Q( )

L... k

k kkk k

Axx xx x x x

L Lx xx x x x

αα α −

αα α −

⎧x

= + + +⎪ −− −⎪⎨⎪+ + + +⎪ −− −⎩

+ +

.

III] Dacă Q are rădăcini complexe simple şi multiple, adică:

178

( ) ( ) ( )12 2 21 1 1 .... , , , , 4 0R Nk

k k k i i i i i i iQ a x b x c a x b x c a b c b a cα α ∗= + + + + ∈ α ∈ − <

atunci R admite o descompunere unică în fracţii simple de forma:

( )

( )( )

1 1

1

1 122

1 1 11 1 1

1 122

A BA BP( ) ...Q( )

(III.13)L ML M... ... A ,B ,...,L ,M ; 1,k k

k i i i i kk k kk k k

xxxx a x b x ca x b x c

xx ia x b x ca x b x c

α αα

α αα

+⎧ += + + +⎪ + ++ +⎪⎪

⎨ ++⎪ + + +⎪ + ++ +⎪⎩= α

IV] Dacă Q are rădăcini reale şi rădăcini complexe simple şi multiple,

atunci R admite o descompunere în fracţii simple unică de forma (III.12)

plus de forma (III.13).

4] Fie R o funcţie raţională oarecare cu P( )R( )Q( )

xxx

= , P, Q ∈R[X].

Funcţia R admite descompunere unică într-un număr finit de fracţii

simple de forma:

( ) ( )2

20

A L M(III.14)A ; ; unde , , , A, L,M , , 4 0R Nn xx a b cx x ax bx c

α α b ac+∈ α∈ − <

− + +

Exemple: 1° 3 2

1 1( ) ;1 1 1 3

A Lx MR x A L Mx x x x

+ ⎛ ⎞= = + = − = =⎜ ⎟+ + − + ⎝ ⎠23

3 2

1 1 1 1 21 3 1 3 1

xx x x x

−= ⋅ + ⋅

+ + − +.

1 1 2 21 2 1 24 2 2

2 2

1 1( ) ;1 22 1 2 1 2 2

21 2 1 2( )

2 2 2 1 2 2 2 1

L x M L x MR x L L M Mx x x x x

x xR xx x x x

⎧ + + −⎛ ⎞= = + = − = = =⎪ ⎜ ⎟+ − + + + ⎝ ⎠⎪⎨

− +⎪ = − +⎪ − + + +⎩

o

1

179