Capítulo 1 Sistemas Monofásicos

7/24/2019 Captulo 1 Sistemas Monofsicos

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GENERACIN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES

Ing. Julio lvarez 12/09 1

GENERACION DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES

1.1 Funciones senoidales

Los sistemas actuales de generacin de energa elctrica, presentan una caractersticasenoidal, cuya forma genrica para una fuente de tensin es la se muestra en la figura 1.1.

Funcin senoidal

t

Tensin

Figura 1.1 Forma de onda senoidal

u(t) = Umsen t

Siendo: Um: Amplitud de la onda senoidalt : Argumento

: Frecuencia angular (Radianes / segundo)T : Perodo de oscilacin

Se define como frecuencia (f) a la cantidad de perodos por segundo sea:

Luego la frecuencia angular ser:

HertzsegundoporCiclos[Hz]T

1f

Um

T


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En el caso en que la funcin tenga un ngulo de fase la expresin es la siguiente:

u(t) =Umsen ( t + )

En esta funcin el fenmeno ocurre / radianes antes, lo cual indica que la mismaadelanta a u(t) = Umsen t, segn se muestra en la figura 1.2.

Funcin senoidal

t

Tensin

Figura 1.2 Funcin senoidal con ngulo de fase inicial

1.2 Induccin electromagntica

En todo conductor que se mueve a travs de un campo magntico, se induce una fuerzaelectromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 1.3 est dibujado un conductor enmovimiento a travs de un campo magntico, el cual se ha representado por sus dos polosmagnticos norte (N) y sur (S).

Figura 1.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magntico

f2T

2

T

Um

N

S

Lneas de campomagntico

Direccin delmovimiento del

conductor


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El sentido de dicha fuerza electromotriz, es tal que la corriente que genera, provoca uncampo magntico alrededor de dicho conductor, cuyo efecto es oponerse a la causa que lo cre.

En el esquema podemos observar que la fuerza electromotriz inducida, tiene sentidoentrante al plano del dibujo, lo que provoca una fuerza en el conductor que se opone al sentido del

movimiento.Dicho sentido se puede obtener de la siguiente forma prctica:

Se coloca la palma de la mano derecha en posicin tal que reciba el flujo originado

por el campo magntico, el pulgar deber tener el sentido del movimiento y el resto

de los dedos nos indica el sentido de la fuerza electromotriz inducida.

El valor de la fuerza electromotriz inducida generada es el siguiente:

Donde: B : Induccin magntica en [Tesla]l : Longitud del conductor bajo la accin del campo magntico [metros]v : Velocidad de desplazamiento del conductor [metros / segundo]d : Distancia recorrida por el conductor en un tiempo t [metros]

: Valor del flujo magntico [Weber] = B . d . l

1.3 Generador elemental de tensin alterna

En la figura 1.4, se ha dibujado un generador elemental de corriente alterna.

Figura 1.4 Generador elemental de corriente alterna

)tiempo

magnticoFlujo(

t

t

dlBvlBE

Eje degiro

Bobina de N espiras

Escobillas

Anillos rozantes

+ -

S N


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El mismo consta de un imn permanente electroimn, el cual produce un campomagntico constante, representado por su flujo ( ).

Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de N espiras, montada sobre uneje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de una mquina impulsora

(Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.).Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos al eje

(Aislados elctricamente entre si y del eje), lo cual permite a travs de unas escobillas carbones,la continuidad elctrica entre la parte mvil y la fija a la cual se debe llevar la corriente.

Si analizamos los fenmenos que ocurren en la bobina en cuestin a lo largo de un girocompleto observamos:

En la posicin del dibujo la bobina tiene su eje magntico coincidente con el ejemagntico del imn, por lo cual el flujo concatenado por la misma es mximo.

Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendo hasta hacersecero, despus de rotar un ngulo de 90 .

Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujo pero ensentido contrario.

Cuando completa un giro de 180 vuelven a estar los ejes magnticos en la mismadireccin con lo cual el flujo concatenado vuelve a ser mximo pero en sentidocontrario al inicial.

A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cero cuandocompleta un giro de 270

Desde esta posicin la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentido inicial, hastahacerse mximo con el giro completo de la misma.

Si analizamos el flujo concatenado para una posicin cualquiera de la bobina en estudio, algirar un ngulo , tal como se observa en el grfico de la figura 1.5.

Figura 1.5 Flujo concatenado por una bobina

= sen (Flujo concatenado)

= t (Velocidad angular por tiempo)

= sen t

La bobina efecta f revoluciones por segundo, siendo f la frecuencia, y como cadarevolucin comprende 360, su velocidad angular en radianes ser:

= 2 f

S N


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De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:

Em= N e = Emcos t

Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de la bobina cuyavariacin en el tiempo es de caractersticas senoidales (debido al instante en el cual se efectu elanlisis en nuestro caso es cosenoidal).

Si se representan los valores instantneos del flujo concatenado por la bobina y la f.e.m.inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es mximo la f.e.m. inducida pasapor su valor mnimo y cuando es mnimo, la f.e.m. inducida es mxima. Esto nos indica que entreambos hay un desfasaje de 90, tal cual se observa en la figura 1.6.

Fuerza electromotriz

inducida

t

Flujo

magntico

Figura 1.6 Valores instantneos del flujo concatenadoy la fuerza electromotriz inducida

1.4 Corriente alterna

Representacin de funciones senoidales por vectores

y nmeros complejos

Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensin de las siguientes caractersticas:

u(t) = Umsen ( t + )

Tomemos ahora un par de ejes ortogonales ab, de acuerdo con la figura 1.7.

tcosN

dt

dNe


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Figura 1.7 Diagrama de vectores armnicos

Tracemos al origen y con un ngulo respecto de la horizontal, un vector que en la escalaadecuada represente la amplitud Umde la funcin.

Hagamos girar dicho vector, alrededor del origen de coordenadas y con una velocidadangular , en sentido antihorario. Al cabo de un tiempo t dicho vector habr llegado a la posicin

t + .Si tomamos la proyeccin de dicho vector sobre el eje vertical, la misma estar

representando a travs del tiempo el valor instantneo de la funcin considerada.Cualquier magnitud cuya variacin en el tiempo sea senoidal, puede ser representada

mediante este diagrama de Vectores armnicos.Si se considera el par de ejes sobre un planocomplejo, en el cual el eje de abscisas es el real y el eje de ordenadas el imaginario, el vectorcorresponder a un nmero complejo, cuyo mdulo es Umy su argumento es el ngulo , el cual sepuede escribir:

Um=Um ej = Um

En forma exponencial y polar respectivamente, siendo:

Al estar girando con velocidad angular , el vector estar representado por la funcin:

Um= Umej( t + ) = Umcos ( t + ) + j Umsen ( t + )

De aqu observamos, que si trabajamos con una funcin senoidal debemos tomar la parteimaginaria sea:

Um= Imag.[ Umej( t + )] = Umsen ( t + )

Si en cambio trabajamos con la funcin coseno, debemos tomar la parte real:

Um= Real [Umej( t + )] =Umcos ( t + )

1-j

Um

Um

Umsen

Umsen ( t + )

t

b

a


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Diagramas fasoriales

Si en lugar de utilizar los valores mximos amplitud de las funciones, utilizamos losvalores eficaces a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial.

El valor eficaz de una funcin peridica se define como la raz cuadrada del valor medio delcuadrado de la funcin. Si la funcin es de la siguiente caracterstica:

u(t) = Umsen ( t + ) su valor eficaz ser:

Para una funcin de caractersticas senoidales el valor eficaz de la funcin es:

Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ngulo de fase de cada cantidad fasorial enel plano de los nmeros complejos. Los ngulos se miden en el sentido antihorario y a partir del ejereal positivo, y las magnitudes a partir del origen de coordenadas.

Para indicar que el vector que se est analizando es un fasor, se lo identifica: con la letraen negrita, colocndole una raya un punto sobre la letra.

U, U, U

Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:

u(t) = Umsen t y

i(t) = Im sen ( t - )

Vemos que la segunda atrasa un ngulo a la primera, por lo tanto su representacin

fasorial con sus valores eficaces U e I,para t = 0, es el dibujado en la figura 1.8.

Figura 1.8 Diagrama de fasores

T0

22mef )dtt(senU

T

1U

2

UU

mef

U

I


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Resistores

Al aplicar una tensin alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente que circula por elmismo ser de acuerdo a la ley de Ohm:

u(t) = Umsen t

Ambos valores estn en fase y su representacin instantnea y fasorial (Para t= 0), esdibujada en la siguiente figura 1.9.

Tensin

t

Corriente

Figura 1.9 Diagrama de valores instantneos y fasorialCorrespondiente a carga hmica pura

A los efectos de no trabajar con los valores instantneos de la corriente y la tensin, sedefine el valor eficaz de los mismos.

El valor eficaz de la corriente alterna es igual numricamente a la intensidad de unacorriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un perodo, libera en una resistencia

una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.

El calor producido en una resistencia por efecto Joule est dado por:

Pcc= I2ccR

En corriente alterna el valor instantneo de la potencia es:

pca= (Imsen t)2R = I2msen

2 t R

Como: sen2 t = (1 - cos 2 t) nos quedar:

pca= (R I2m/2) (1 - cos 2 t)

El grfico correspondiente se observa en la figura 1.10.

IR

U

tsenR

U

R

u(t)(t)

mRi

u R

iR+

-


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Potencia

t

Corriente

Figura 1.10 Valores instantneos de la potencia sobre un resistor

Se hace notar que la funcin potencia en corriente alterna es de frecuencia doble de lacorriente que circula. La potencia media se obtiene hallando el valor medio de la expresin de pcasea el rea bajo la curva de pcay dividindola por el perodo, siendo su valor:

Inductores

En un inductor ideal, por el cual circula una corriente de valor:

iL(t) = ILmsen t Aparecer en sus bornes una tensincuyo valor estar dado por:

Llamaremos a L = XL Reactancia inductiva [ ]

Um= ILmXL

2

I

2

II:eficazvalorsuSiendo

2II:aquDe

2IRRI

Luego2

IRp

m2

mef

2

m2cc

2

m2cc

2m

ca

)2t(senLItcosILu(t)

Henry)encinAutoinduc:(Ldt

diLu(t)

LmLm

LL

-

u

iL+


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Observamos que la tensin tiene un adelanto de 90, con respecto a la corriente, con loque sus diagramas de valores instantneos y fasorial (Para t = 0) son los dibujados en la figura1.11.

Tensin

t

Corriente

Figura 1.11 Diagrama de valores instantneos y fasorialcorrespondiente a carga inductiva pura

Las relaciones entre los valores eficaces est dado por:

U = XLIL

Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:

U= L ILej /2= j L IL e

j /2 = j

O sea que la multiplicacin por j hace girar el vector un ngulo de 90 en el sentidoantihorario, con lo que nos queda expresado matemticamente el desfasaje de 90 entre un fasor yel otro.

Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor,asociaremos j a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:

ZL = j XL[ ]

Capacitores

En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensin

u(t) = Umsen t

La corriente que circular por el mismo ser:

U

IL


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En este caso la corriente tiene un adelanto de 90 con respecto a la tensin, lo que seobserva en los diagramas de la figura 1.12

Lo cual se toma en cuenta en el clculo fasorial

Llamaremos a ZC = - j XC Impedancia capacitiva [ ]

Tensin

t

Corriente

Figura 1.12 Diagrama de valores instantneos y fasorial correspondiente acarga capacitiva pura

Xc

UI

][capacitivaReactanciaXcC

1:aLamaremos

)2t(senCUtcosUC(t)i

Faradios)en(CapacidadC

dt

duC(t)i

m

Cm

mmC

C

Xcj-

Ue

Xc

UI 2

j-

C

IC

U

C

-

u

iC+


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1.5 Agrupamiento de impedancias

Conexin en serie de resistor, inductor y capacitor

Figura 1.13 Agrupamiento de impedancias en serie

Conectando una impedancia a continuacin de la otra, efectuamos una conexin que sedenomina serie, segn se observa en la figura 3.13. Si a este agrupamiento le aplicamos una

tensin U,circular una corrienteI, que es la misma en cada elemento.

Las cadas de tensin en cada elemento estn dadas por:

UR= R I

UL = j XLI

UC= - j XC

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la tensin aplicada ser igual a la suma fasorialde las tensiones parciales. Luego:

U= UR+ UL+ UC y reemplazando nos queda:

U= RI+ j XLI- j XCI = I (R + j XL- j XC) = I[R + j (XL- XC)]

El trmino R + j (XL- XC) es la impedancia equivalente entre los terminales A - B

Z= R + j (XL- XC) ZUI

Esta impedancia equivalente tiene un mdulo dado por:

)R

XX(tgArc

:porodeterminadngulouny)X-(XRZ

CL

2

CL

2

j XL

- j XC

R

U

I

+

-

UR UL

UC


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La representacin vectorial de la impedancia se puede observar en el grfico de la figura1.14.

Figura 1.14 Diagrama vectorial de impedancias

Resonancia serie

La impedancia de un circuito serie est dada por la siguiente expresin:

Cf2

1jLf2jRZ

En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la frecuencia

aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cual nos lleva a quepartiendo de un circuito con caractersticas capacitivas, al aumentar la frecuencia pasa a tenercaractersticas inductivas.

Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuito presenta lascaractersticas de una resistencia para la fuente que lo alimenta.

Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que le podemos variar lafrecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumple que XL= XC, o sea que:

Cf2

1Lf2

RR

Siendo fR la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremos de

resonancia, y cuyo valor ser:

L.C

1

2

1fR

En la figura 1.15 vemos lo aqu analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al de lasreactancias cuando el circuito se hace resonante.

En este caso siendo la corriente nica, las cadas de tensin en las reactancias sernmenores que en la resistencia, por lo tanto no aparecern tensiones mayores que los de la fuente,o sea:

UR= R. I= UFUENTE UL = j XLI UC = - j XCI UL+ UC= 0

En la figura 1.16 se observan las tensiones sobre los elementos componentes de circuito.

j

j XL

- j XC

R

Z

De acuerdo a los valores deXL XC, la impedanciaresultante tendrcaractersticas hmico -inductivas u hmico capacitivas. En el grfico seha representado unaimpedancia en la queprepondera la reactanciainductiva


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Valor de la impedancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R,XL,Xc,Z

Figura 1.15 Valor de las impedancia en funcin de la frecuenciapara R XL y XCen resonancia

Tensiones en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

Tensiones[V]

Figura 1.16 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R XL y XCen resonancia

RZ

XL

XC

(XL - XC)

fR

fR

URUL

UC


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En la figura 1.17, se analiza el caso en que la resistencia es menor que las reactanciascuando el circuito es resonante, y en la figura 1.18 las tensiones que aparecen sobre loselementos.

Valor de la impedancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R,XL,Xc,Z

Figura 1.17 Valor de las impedancia en funcin de la frecuenciapara R XL y XCen resonancia

Variacin de la tensin en los e lementos con la frecuencia

Frecuencia [Hz]

Tensin

[V]

Figura 1.18 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R XL y XCen resonancia

En este caso aparecen sobre tensiones sobre los elementos reactivos, pudiendo ser

mayor en la reactancia inductiva o capacitiva de acuerdo al valor que tome la frecuencia

Z

R

XL

XC

(XL- XC)

fR

UL

fR

UR

UC


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1.5.2 Conexin en paralelo de resistor, inductor y capacitor

En este tipo de conexin todos los elementos reciben la misma tensin segn se observaen la figura 1.19.

Figura 1.19 Impedancias conectadas en paraleloLas corrientes que circularn por cada elemento tendrn los siguientes valores:

La corriente total est dada por la suma fasorial de las corrientes en cada elemento:

I = IR + IL + IC Que reemplazando sus valores nos queda:

I= U(G - j BL+ j BC)

Siendo la admitancia del circuito:

Y= G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)

I= U. Y

C

C

L

LRXj-

Xj

R

UI

UI

UI

)Xj

1

Xj

1

R

1(

Xj-XjR

CLCL

UUUU

I

[Siemens]capacitivaiaSusceptancBjXj-

1

[Siemens]inductivaiaSusceptancBj-Xj

1

[Siemens]iaConductancG

R

1:llamamosSi

C

C

L

L

IR IL IC

U

I

+

-

R - j XCj XL


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Su representacin grfica es la de la figura 1.20.

-

Figura 1.20 Diagrama vectorial de admitancias

Resonancia paralelo

En forma anloga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:

Lf2

1jCf2jGY Las partes reactivas se igualan para una frecuencia

L.C

1

2

1fR

Por lo tanto se puede realizar el mismo anlisis que para el circuito serie, trabajando conlas admitancias, tal cual se observa en las figuras 1.21.

G

)B(BtgArc

)B(BGY:Donde

LC

2

LC

2

j

j BC

- j BL

G

Y


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Valor de la admitancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

G,BL,Bc,

Figura 1.21 Valor de la admitancia en funcin de la frecuencia

Ejercicio N 1: Para el circuito de la figura hallar el valor de la corriente, las tensiones y dibujar elfasorial correspondiente.

XL= L = 2 . 50. 50. 10-3= 15,71

XC= 1/ C = 106/2 . 50. 150 = 21,22

Z= R + j XL - j XC= 10 + j 15,71 - j 21,22 = 10 - j 5,51 = 11,42 - 28,85

[V]31,15-408,758,8519,2690-21,12IXj-

[V]148,85302,5758,8519,269015,71IXj

[V]58,85192,658,8519,2610R

[A]58,8519,2628,85-11,42

30220

CCD

LBC

AB

U

U

IU

Z

UI

50 mH

150 F

10

U= 220 30 [V]50 Hz

I

+

-

A B C

D

Y

BL

BC (BCBL)

G

fR


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Ejercicio N 2: Para el circuito de la figura hallar el valor de las corrientes y tensiones y dibujar elfasorial correspondiente

XL = L = 2 50. 50. 10-3= 15,7

XC = 1/ C = 106/2 500 = 6,37

ZRC= 5 - j 6,37 = 8,1 - 51,87 YRC= 1/ZRC= 0,123 51,87 S

ZRL= 5 + j 15,7 = 16,48 72,33 YRL= 1/ZRL= 0,061 - 72,33 S

YBC=YRC +YRL= 0,076 + j 0,097 + 0,019 - j 0,058 = 0,095 + j 0,039

YBC= 0,103 22,32 S ZBC= 1/YBC= 9,71 - 22,32

Z= 10 0 + 9,7 - 22,32 = 10 + 8,98 - j 3,69 = 18,98 - j 3,69

Z= 19,34 - 11

I = U/Z =220 90 / 19,34 - 11 = 11,38 101 A

UBC= I. ZBC= 11,38 101 . 9,71 - 22,32 = 110,5 78,68 V

A

B

C

DUAB

UBC

UCD

UAD

30

58,85

I

IRL IRC

U= 220 90 [V]50 Hz

I

+

-

5

500 F50 mH

5

10A B

C


20/20



IRL= UBC .YRL= 110,5 78,68. 0,061 - 72,33 = 6,74 6,35 A

IRC= UBC. YRC= 110,5 78,68. 0,123 51,87 = 13,59 130,55 A

UAB= 10 0. 11,38 101 = 113,8 101 V

I

IRL

IRC

UAB

UBC U

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