Capítulo 14

Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.

Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos. En los capítulos anteriores se ha analizado el caso en que los fluidos viajan por el interior de ductos. Existen, sin embargo, muchos casos en los que los fluidos o viajan por el exterior de los tubos o tienen que desplazarse por ductos o equipos que están obstruidos por retenes , mamparas, empaques , tuberías, tal como sucede en los cambiadores de calor, las torres empacadas, las torres de platos, etc. Un caso muy común en el que los objetos sumergidos fluyen entre un fluido son los barcos, aviones, submarinos, cohetes, etc. En esos casos, los objetos que se interponen al paso de los fluidos provocan pérdidas de fricción y se comportan como objetos sumergidos dentro de un fluido.

Ley de Stokes

La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes1 tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes.

En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas.

Supongamos que dejamos caer una esfera de acero

dentro de un recipiente que contiene aceite. La esfera

comenzará a caer, pero será frenada en su caída por las

fuerzas de fricción y flotación.

1 Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de 1903) fue un

matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las

ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue

secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra

Fuerza de flotación+Fuerza fricción = Fuerza gravitacional.

FD=fuerza de fricción, FB = fuerza de flotación, Fg = fuerza de

la gravedad.

Las fuerzas de flotación son fuerzas hacia arriba, ascendentes

FB = fuerza de flotación =𝑉𝑓𝑃𝑒𝑓 𝑒𝑛 𝑚3 𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚3 en donde Pef es el peso

específico del fluido.

Las fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo y es igual a

Fg = fuerza de la gravedad=𝑉𝑠𝑃𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑚3 𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚3 , en donde PeS es el

peso específico de la esfera sólida.

Las fuerzas de fricción se ejercen empujando el sólido hacia arriba

∑𝐹

𝑀= 𝐶𝐷

𝑢2

2𝑔𝑐=

∆𝑃

𝜌 ; ∆𝑃 = 𝐶𝐷

𝑢2

2𝑔𝑐𝜌 , pero ∆𝑃 =

𝐹

𝐴 por lo tanto

FD=fuerza de fricción=𝐶𝐷𝑢2

2𝑔𝑐𝜌𝑓𝐴 𝑒𝑛 𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗ , en donde CD es un coeficiente de fricción

similar al que se utiliza en el flujo a través de tuberías.

Por lo tanto:

𝑉𝑓𝑃𝑒𝑓 + 𝐶𝐷

𝑢2

2𝑔𝑐𝜌𝑓𝐴 = 𝑉𝑠𝑃𝑒𝑠

Pero Vf =Vs o sea el volumen de la esfera=4

3𝜋𝑅3=

𝜋

6𝐷3

A es el área proyectada de la esfera donde se ejerce la fuerza de fricción.

A =𝜋

4𝐷2

Entonces:

𝜋

6𝐷3𝑃𝑒𝑓 + 𝐶𝐷

𝑢2

2𝑔𝑐𝜌𝑓

𝜋

4𝐷2 =

𝜋

6𝐷3𝑃𝑒𝑠

𝐶𝐷𝑢2

2𝑔𝑐𝜌𝑓

𝜋

4𝐷2=

𝜋

6𝐷3(𝑃𝑒𝑠 − 𝑃𝑒𝑓)

𝐶𝐷𝑢2𝜌𝑓=4

3𝐷 (𝑃𝑒𝑠 − 𝑃𝑒𝑓)𝑔𝑐

Al caer la esfera su velocidad aumenta hasta que las fuerzas de aceleración y de

retardo sean iguales. Cuando se alcanza ese punto la velocidad de la esfera permanecerá

constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad

terminal.

𝑢 = √4𝑔𝑐(𝑃𝑒𝑠 − 𝑃𝑒𝑓)

3𝐶𝐷𝜌𝑓

Experimentalmente se ha observado que si

Re < 0.3 entonces 𝐶𝐷 =24

𝑅𝑒=

24𝜇𝑓

𝐷 𝑢 𝜌𝑓 por lo que:

𝑢 = √4𝐷𝑔𝐷𝑢𝜌𝑓(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)

3 × 24𝜇𝑓𝜌𝑓

𝑢 = √𝑔𝐷2𝑢(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)

18𝜇𝑓

𝑢 =𝑔𝐷2(𝜌𝑠−𝜌𝑓)

18𝜇𝑓 Conocida como la ecuación de Stokes.

De ella se ve que:

𝜇𝑓 =𝑔𝐷2(𝜌𝑠−𝜌𝑓)

18 𝑢 Esta ecuación sirve para obtener la viscosidad mediante cierto tipo de

viscosímetros.

Ejemplo 1. ¿Cuál será la viscosidad de un fluido que tiene una densidad de 1100 kg /m3 si se deja caer una esfera de acero de 1 cm de diámetro cuya densidad es de 7800 kg /m3.? La velocidad terminar que se midió fue de 8 cm /s. 1.- Planteamiento. 1.1.- Ley de Stokes.

𝜇𝑓 =𝑔𝐷2(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)

18 𝑢

2.- Cálculos. 2.1. Número de Reynolds.

𝑅𝑒 =𝐷𝑃×𝑢×𝜌

𝜇=

0.01×0.08×1100

𝜇

Si el Re <0.3 se puede emplear la ley de Stokes.

2.2.- Viscosidad suponiendo Re bajo.

𝜇 =(7800 − 1100)9.81 (0.01)2

18 × 0.08= 4.56

𝑘𝑔

𝑚𝑠= 4560 𝑐𝑝𝑠.

2.3.- Comprobación del Reynolds.

𝑅𝑒 =𝐷𝑃×𝑢×𝜌

𝜇=

0.01×0.08×1100

4.56= 0.193

Este Reynolds es menor de 0.3 por lo tanto el resultado de la viscosidad es correcto.

3.-R.- La viscosidad es de 4560 cps.

FACTORES DE FRICCION ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS.

Cuando un fluido fluye alrededor de un objeto, para evaluar la fuerza cinética FK

es

necesario (al igual que en el flujo a través de tuberías) definir un coeficiente de transferencia de cantidad de movimiento o factor de fricción "f" según:

𝐹𝑘 = 𝑓𝐾𝐴

En general para este tipo de sistemas el área característica se toma como la proyección del sólido sumergido sobre un plano perpendicular a la velocidad del fluido. Así, para una esfera

𝐴 =𝜋𝐷2

4

La energía cinética característica por unidad de volumen se toma como 𝑲 =𝟏

𝟐𝝆𝒖∞

𝟐 donde u∞

es la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto, medida

lejos de éste de manera que su presencia no altere su valor. Nuevamente "f" deberá ser evaluado experimentalmente.

ARRASTRE SOBRE UNA ESFERA SUMERGIDA. Suponiendo que un fluido newtoniano de ρ y μ constantes fluye alrededor de una esfera lisa acercándose con una velocidad u

∞,

La definición de FK

quedará:

𝐹𝐾 = 𝑓𝐷𝜋𝐷2

4

1

2𝜌𝑢∞

2

Esta ecuación define al factor de fricción o de arrastre para esferas sumergidas "f

D".= CD

Nuevamente con el propósito de evaluar experimentalmente "fD" se hace

necesario saber de qué parámetros depende. Al igual que para flujo en conductos esta información se obtiene de los balances microscópicos adimensionales que gobiernan al sistema. Como "f

D" es adimensional dependerá de las distribuciones

adimensionales de u*

y p*

:

𝑓𝐷 = 𝑓𝐷(𝑅𝑒)

Donde ρDu∞/μ=Re La rugosidad relativa no aparece pues se supone que la esfera es lisa. En la figura se muestra la correlación experimental de "f

D" vs Re:

Para la zona de flujo reptante (Re<1) se observa una dependencia lineal de "fD" o

C D (coeficiente de arrastre, drag coefficient) con el Re y la ecuación correspondiente es:

𝑓𝐷 =24

𝑅𝑒

Si se reemplaza esta ecuación en la definición de "fD" se obtendrá la ecuación de

Stokes. Para Re >1 comienza a producirse el fenómeno de la separación de la capa límite detrás de la esfera, desplazándose el punto de separación tanto más hacia delante cuanto mayor sea el Re. A medida que esto sucede la fuerza que actúa sobre la esfera se vuelve aproximadamente proporcional al cuadrado de u

∞entonces "f

D" tiende a ser

constante (de acuerdo con su definición). -Esto ocurre para valores de Re:

103 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 2 × 105

En esta región f

D ≅ 0.44 y la separación de la capa límite ocurre para θ≅ π/2. En

esta zona se dice que se cumple la ley de Newton.

Cuando Re>2x105

se produce una brusca disminución de "fD" que se corresponde

con la transición de capa límite laminar a turbulenta con la consiguiente disminución del arrastre. A partir de la correlación de "f

D" es posible calcular la velocidad límite de caída de

una partícula o el diámetro de una partícula que cae con velocidad límite conocida. La primera evaluación es de suma importancia cuando se hacen cálculos de sedimentación, clasificación, fluidización, transporte neumático, etc. Teniendo en cuenta que si la esfera cae con velocidad límite las fuerzas que actúan sobre ella están equilibradas: Peso =Fs +Fk Reemplazando y utilizando la definición de "f

D":

𝜋𝐷3

6(𝜌𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜)𝑔 = 𝑓𝐷

𝜋𝐷2

4

1

2𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑢𝑇

2

Despejando la velocidad terminal:

𝑢𝑇 = √4𝐷𝑔(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)

3𝜌𝑓𝑓𝐷

Para calcular "fD, también llamado coeficiente de arrastre 𝐶𝐷 es necesario usar

Un método iterativo pues para utilizar la correlación de "fD" vs Re es necesario

conocer la velocidad. Nótese que utilizando "f

D" hemos ampliado la zona de cálculo de fuerzas de

arrastre desde Re<1 (flujo reptante) a cualquier valor de Re. Ejemplo 2. ¿Cuál es la fuerza que ejercería el aire sobre una esfera de 10 m de diámetro si se desplaza a una velocidad de 30 m /s a 30 ° C y 1 atm? 1.- Traducción. 2.- Planteamiento. 2.1.- Fuerza.

𝐹 = 𝐶𝐷

𝑢2𝑆𝜌

2𝑔𝑐

3.- Cálculos.

3.1.- Propiedades del aire.

Viscosidad = 0.018 cps, densidad = 1.167 kg /m3

3.2.- Reynolds del aire.

𝑅𝑒 =30×10×1.167

0.018×10−3 = 1.945 × 107Del gráfico fD o CD= 0.2

3.3.-Fuerza.

𝐹 = 0.2(30)2 × 1.167 × 0.785 × (10)2

2 × 9.81= 840.45𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

4.- Resultado. La fuerza ejercida es de 840 kg.

ARRASTRE SOBRE PARTICULAS NO-ESFERICAS SUMERGIDAS.

Es posible extender la metodología anterior a partículas no esféricas utilizando un "diámetro equivalente" que se define como el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula en cuestión. Así, si V

p es el volumen de la partícula, el diámetro equivalente D

e queda definido

como:

𝑉𝑝 =𝜋𝐷𝑒

3

6

𝐷𝑒 = √6𝑉𝑝𝜋

3

Como ya sabemos que el arrastre no sólo depende del área de contacto fluido-sólido, sino que también es función de la forma del sólido, esta deberá ser contemplada de alguna manera. Para ello se define un "coeficiente de forma" o "esfericidad" ψ:

𝛹 =𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎

-Dado que a igual volumen la superficie de una esfera es la mínima, ψ será menor que 1 y cuanto más esférica sea la partícula se aproximará más a la unidad. Utilizando la definición de diámetro equivalente la superficie de una esfera de igual

volumen que la partícula será igual a 𝝅𝑫𝒆𝟐. Luego llamando A

P a la superficie de la

partícula:

𝛹 =𝜋𝐷𝑒

2

4𝐴𝑝=

𝜋

4𝐴𝑝[6𝑉𝑝𝜋

]

23= 4.87

𝑉𝑝

23

𝐴𝑝

-No siempre se cuenta con los valores de área y volumen de las partículas, por lo que es común asimilar la forma de la partícula problema a una geometría simple para efectuar los cálculos. En la figura se representa la correlación de "f

D" vs Re para partículas esféricas y

no esféricas. Es necesario ser muy cuidadoso con la elección de la forma de las partículas ya que no debe olvidarse la fuerte dependencia del arrastre con ella. Ejemplo 3. Obtenga la esfericidad de un cilindro de altura 1cm y 1 cm de diámetro. 1.- Cálculos. 1.1.- Volumen del cilindro.

𝑉 =𝜋

4𝐷2𝐻 = 0.785(1)(1) = 0.785 𝑐𝑚3

1.2.- Área del cilindro.

𝐴 = 𝜋𝐷𝐻 + 2 ×𝜋

4𝐷2 = 3.14 + 1.57 = 4.71 𝑐𝑚2

1.3.- Área de una esfera con superficie igual a la del cilindro.

0.785=𝜋

6𝐷3

𝐷 = 1.143 𝑐𝑚

Área de la esfera =4𝜋𝑅2 = 𝜋𝐷2 = 𝜋(1.143)2 = 4.104𝑐𝑚2

1.4.- Esfericidad.

Ψ=4.104

4.71= 0.871

2.- Resultado. La esfericidad es de 0.871. Ejemplo 4. El agua de un río fluye alrededor de los pilotes cilíndricos de un puente. Los pilotes miden 0.4 m de diámetro y están sumergidos 3 m en el agua. Calcule la fuerza que ejerce la corriente sobre cada pilote cuando fluye a la velocidad de 3 m/s y a 15 °C. 1.- Traducción. 2.- Planteamiento. 2.1.- Fuerza.

𝐹 = 𝐶𝐷

𝑆𝑢2

2𝑔𝑐𝜌

3.- Cálculos. 3.1. Reynolds. A 15 ° C la densidad del agua es de aproximadamente 1000 kg / m3 Y la viscosidad de 1x 10-3 kg / m s. Por lo tanto el Reynols es Re= 1.2 x 106. 3.2.- Coeficiente de arrastre. De la gráfica para cilindro el CD es de 0.33

3.3.- Fuerza. S = 3X0.4 = 1.2 m2.

𝐹 = 𝐶𝐷𝑆𝑢2

2𝑔𝑐𝜌=

0.33×1.2×(3)2

2×9.81× 1000 = 181.65𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

4.- Resultado. Se ejerce una fuerza de 181.65 kilogramos fuerza sobre cada pilote. Otra fuente de error que puede aparecer en cálculos de sedimentación es que rara vez una partícula sedimenta sola, en la mayoría de los casos existen numerosas partículas que conducen a interferencia mutua en sus movimientos. Por ello, es necesario introducir factores de corrección que no serán discutidos en este curso.

La gráfica tiene el problema de que si no se sabe el valor de la velocidad (u) se debe

hacer tanteos. Por ello, se suelen emplear otras gráficas que eviten eso.

Uno de los métodos aconsejables es el empleo de gráficas que utilizan los números de

Arquímedes, Reynolds y Lyaschenko.

Número de Arquímedes.

𝑨𝒓 =(𝝆𝒔 − 𝝆𝒇)𝒈 𝑫𝒑

𝟑

𝝁𝒇𝟐

Número de Reynolds.

𝑹𝒆 =𝒖 𝝆𝒇𝑫𝒑

𝝁𝒇

Número de Lyaschenko.

𝑳𝒚 =𝒖𝟑𝝆𝒇

𝟐

𝝁𝒇(𝝆𝒔 − 𝝆𝒇)𝒈

Grafica

Ejemplo 5.

Un tanque esférico de 6 m de diámetro está colocado en una fábrica. Si la temperatura, la

presión y la velocidad del aire son de 20°C, 1 atm y 150 km/h, respectivamente. ¿Cuál

será la fuerza total que el viento ejerce sobre la esfera?

1.- Traducción.

2.- Planteamiento.

2.1 Fuerza

𝐹𝐷 = 𝐶𝐷

𝑢2𝑆𝜌

2𝑔𝑐

3. Cálculos.

3.1 Reynolds

A 20 °C , μ=0.0185 cps; ρ= 1.207 kg / m3

𝑅𝑒 =6 × 150000 × 1.207

3600 × 0.0185 × 10−3= 16 311 150

3.2 Coeficiente de arrastre

De la gráfica para cilindros (apéndice XLVIII):

CD = 0.33

3.3 Fuerza

𝑆 = 𝐷2𝜋

4= 28.26 𝑚2

𝐹 =0.15 × 28.26

2 × 9.81(150000

3600)2

× 1.207 = 452.7𝑘𝑔⃗⃗ ⃗ 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎.

4.- Resultado. La fuerza que se ejercerá sobre la esfera es de 452.7 kilogramos fuerza.

Ejemplo 6.

Se tienen partículas de arena de 2mm de diámetro y una densidad de 2200 kg /m3. Si se

sopla aire sobre ellas a 20 ° C y una atmósfera ¿Cuál será la velocidad a la cual se

empezarán a arrastrar las partículas?

1.- Discusión.

Este problema se resuelve a base de tanteos usando las gráficas del Reynols contra el

factor de arrastre. También puede resolverse a través de las gráficas de Arquímedes

contra Reynolds.

2.- Cálculos.

2.1.- Datos de las propiedades del aire

Viscosidad = 0.018 cps, densidad = 1.207 kg /m3

2.2.-Número de Arquímedes.

𝐴𝑟 =𝐷𝑝3𝑔 (𝜌𝑠 − 𝜌)

𝜇2=

(0.002)3(2200 − 1.207) × 9.81

(0.018 × 10−3)2= 5.32 × 105

2.3.-Número de Reynolds.

De la gráfica Re =1000

1000 =0.002 × 𝑢 × 1.207

0.018 × 10−3

𝑢 = 7.45𝑚

𝑠

3.- Resultado.

Las partículas de arena comenzaran a moverse cuando la velocidad del aire supere los

7.45 m/s.

Ejercicios sugeridos de autoevaluación

1.- Calcule la velocidad terminal de unas partículas esféricas de café de 400 micras de

diámetro, que caen a través de aire a 150 °C. La densidad de las partículas es de 1030 kg

/m3.

R.-la velocidad terminal será de 1.32 m /s.

2.-Calcule la fuerza ejercida por el viento sobre una columna de destilación de 50 pies de

alto y 8 pies de diámetro cuando la velocidad del viento es de 40 mph. La temperatura del

aire es de 20 ° C y está a la presión de una atmósfera.

R.- La fuerza ejercida es de 141.7 kg fuerza.

3.- Una chimenea de 30 m de alto y 1.5 m de diámetro está sometida a un viento de 100

km /h. Calcule la fuerza que ejerce el viento sobre la chimenea si la temperatura es de 20

° C y la presión barométrica de 750 mm de Hg.

R.- El aire ejerce una fuerza de 695.55 kg sobre la chimenea.

4.- Se dejan caer esferas de vidrio con una densidad de 2.62 g /cm3 a través de

tetracloruro de carbono con las siguientes propiedades: densidad 1590 kg /m3, viscosidad

de 0.958 cups. ¿Qué diámetro deberían tener las esferas para obtener una velocidad

terminal de 0.65 m /s.?

R.- Las esferas deberían tener un diámetro de 0.022 m.

5.- Un cable eléctrico de alta tensión de 2.5 cm de diámetro está sometido a la acción del

viento, cuya velocidad llega a ser de hasta 80 km/h a 20 ° C. Determine la fuerza que se

ejercería sobre 200 m de cable.

R.- la fuerza sería de 182 kg.