CAPÍTULO IVVALOR TEMPORAL DEL DINERO

OA1. EL PAPEL DEL VALOR TEMPORAL DEL DINERO EN LAS FINANZAS

El valor temporal del dinero es uno de los conceptos más importantes en finanzas. El valor temporal se basa en la creencia de que un dólar hoy vale más que un dólar que se recibirá en alguna fecha futura. El dinero que la empresa posee hoy es más valioso que el dinero que tendrá en el futuro porque el dinero que tiene hoy puede invertirse y ganar rendimientos positivos. (El dinero tiene un valor temporal)Enfoques del valor temporal del dinero: - Valor futuro

- Valor presenteValor futuro y valor presente

Las decisiones y los valores financieros se evalúan usando técnicas de valor futuro o valor presente. Ambas técnicas conducen a las mismas decisiones, pero su enfoque es distinto.

* Técnicas de valor futuro: Miden por lo regular los flujos de efectivo al final de la vida de un proyecto.* Técnicas de valor presente: Miden los flujos de efectivo al inicio de la vida de un proyecto (tiempo cero).

Valor futuro: Es efectivo que se recibirá en una fecha futura específica.Valor presente: Es como efectivo que se tiene a la mano hoy.Flujos de efectivo: Salidas de efectivo y entradas de efectivo.

Línea de tiempo: Línea horizontal en la que el tiempo cero aparece en el extremo izquierdo y los periodos futuros se marcan de izquierda a derecha. Se usa para representar los flujos de efectivo relacionados con una inversión determinada.Puesto que el dinero tiene un valor temporal, todos los flujos de efectivo relacionados con una inversión, deben medirse en el mismo punto en el tiempo. Generalmente, ese punto está al final o al inicio de la vida de la inversión.Técnica del valor futuro: Utiliza la capitalización para calcular el valor futuro de cada flujo de efectivo al final de la vida de la inversión, y después suma estos valores para calcular el valor futuro de la inversión.Técnica del valor presente: Usa el descuento para calcular el valor presente de cada flujo de inversión en el tiempo cero, y después suma estos valores para calcular el valor que la inversión tiene el día de hoy.Aunque el valor futuro y el valor presente conducen a las mismas decisiones, los administradores financieros, que toman decisiones en tiempo cero, tienden a usar sobre todo las técnicas del valor presente.

Herramientas computacionales:

Para conocer los valores futuro y presente, se utilizan cálculos que requieren tiempo. Es posible simplificar la aplicación de las técnicas del valor temporal, mediante el uso de tablas financieras, calculadoras financieras manuales y hojas electrónicas de cálculo como ayudas computacionales. 

Tablas financieras: Las tablas financieras incluyen varios factores de interés del valor futuro y presente que simplifican los cálculos de valor temporal. Los valores presentados en estas tablas se desarrollan con facilidad mediante fórmulas, con diversos grados de redondeo. Las tablas se distribuyen comúnmente colocando la tasa de interés en columnas y el número de periodos en filas. 

Calculadoras financieras: Se usan para realizar cálculos del valor temporal. Generalmente incluyen numerosas rutinas financieras preprogramadas. Debido a la precisión mayor de una calculadora, es probable que existan ligeras diferencias entre los valores calculados usando tablas financieras y los obtenidos con una calculadora financiera.Hojas electrónicas de cálculo: Del mismo modo que las calculadoras financieras, las hojas electrónicas de cálculo tienen rutinas intess que simplifican los cálculos del valor temporal. Las hojas de cálculo son lo más parecido que tenemos a un idioma comercial universal. La capacidad para usar estas hojas electrónicas se ha convertido en una destreza necesaria para los administradores actuales. 

Patrones básicos del flujo de efectivo

El flujo de efectivo (entradas y salidas) de una empresa se describe por medio de su patrón general. Se define como un monto único, una anualidad o un ingreso mixto:

Monto único: un monto global que se posee actualmente o se espera en alguna fecha futura. (Ej.: $1,000 hoy y $650 que se recibirán al término de 10 años)

Anualidad: un ingreso de flujos de efectivo periódicos e iguales. (Ej.: Pagar o recibir $800 al final de cada uno de los 7 años siguientes)

Ingreso mixto: un ingreso de flujos de efectivo que no es una anualidad; un ingreso de flujos de efectivo periódicos y desiguales que no reflejan ningún patrón específico.

OA2. MONTOS ÚNICOS

Aunque el valor futuro es más atractivo aparentemente, el valor presente es más útil en la toma de decisiones financieras.Valor futuro de un monto únicoValor futuro: es el valor en una fecha futura específica de un monto actual colocado en depósito el día de hoy y que gana un interés a una tasa específica. Depende de la tasa de interés ganada y del periodo en que un monto específico permanece en depósito. Se calcula aplicando un interés compuesto durante un periodo específico.

Concepto de valor futuro

Interés compuesto: Monto del interés ganado en un depósito específico que se ha vuelto parte del principal al final de un periodo específico.

Principal: Monto de dinero sobre el que se pagan intereses. La capitalización anual es el tipo más común.El valor futuro de un monto presente se calcula aplicando un interés compuesto durante un periodo específico. Ecuación para calcular el valor futuro

FVn = valor futuro al final de periodo n

PV= principal inicial o valor presente

i = tasa de interés anual pagada (en las calculadoras financieras generalmente se usa I para representar esta tasa)n = número de periodos (generalmente años) que el dinero se mantiene en depósito.

La ecuación general para el valor futuro al final del periodo n es:

FVn = PV X (1+i)n

Uso de herramientas computacionales para calcular el valor futuro

Factor de interés del valor futuro: Este factor es el multiplicador que se usa para calcular, a una tasa de interés específica, el valor futuro de un monto presente dentro de un tiempo establecido. El factor de interés del valor futuro para un principal inicial de $1 compuesto a i por ciento durante n periodos se conoce como FVIFi,n.

Factor de interés del valor futuro = FVIFi,n = (1+i)n

Si usamos FVIFi,n como el factor adecuado, podemos reformular la ecuación general del valor futuro de la manera siguiente:FVn = PV X (FVIFi,n)

Esta expresión indica que para calcular el valor futuro al final del periodo n de un depósito inicial, simplemente debemos multiplicar el depósito inicial, PV, por el factor de interés del valor futuro adecuado.

Valor presente de un monto único

El valor presente es el valor actual en dólares de un monto futuro; es decir, la cantidad de dinero que debería de invertirse hoy a una tasa de interés determinada, durante un periodo específico, para igualar el monto futuro. El valor presente depende principalmente de las oportunidades de inversión que existen en el momento en que se recibirá el monto.

Concepto de valor presente

El proceso para calcular los valores presentes se conoce como descuento de flujos de efectivo. Intenta responder la siguiente pregunta: si puedo ganar i por ciento sobre mi dinero, ¿Cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar ahora por la oportunidad de recibir FVn dólares en n periodos a partir de hoy? Este proceso es en realidad lo contrario a la capitalización de intereses. En vez de calcular el valor futuro de dólares actuales invertidos a una tasa específica, el descuento determina el valor presente de un monto futuro, asumiendo una oportunidad de ganar cierto rendimiento sobre el dinero. Esta tasa de rendimiento anual recibe diversos nombres, como tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital y costo de oportunidad.

Ecuación para calcular el valor presente

El valor presente, PV, de cierto monto futuro, FVn, que se recibirá en n periodos a partir de ahora, asumiendo un costo de oportunidad de i, se calcula de la siguiente manera:

PV = FVn / (1+i)n = FVn X ( 1 / (1 + i)n)

Uso de herramientas computacionales para calcular el valor presente:

El cálculo del valor presente se simplifica usando un factor de interés del valor presente. Este factor es el multiplicador que se usa para calcular, a una tasa de descuento específica, el valor presente de una cantidad que se recibirá en un periodo futuro. El factor de interés del valor presente para el valor presente de un dólar descontado a i por ciento durante n periodos se conoce como PVIFi,n.

Factor de interés del valor presente = PVIFi,n = 1 / (1 + i)n

Si PVIFi,n representa el factor adecuado, podemos reformular la ecuación general para calcular el valor presente de la siguiente manera:

PV = FVn X (PVIFi,n)

Esta expresión indica que para calcular el valor presente de un monto que se recibirá en un periodo futuro, n, simplemente debemos multiplicar el monto futuro, FVn, por el factor de interés del valor presente adecuado.Comparación de valor presente y valor futuro

Observaciones importantes sobre los valores presentes:

Primero, la expresión para el factor de interés del valor presente para i por ciento y n periodos, 1/(1+i)n, es la expresión contraria a la del factor de interés del valor futuro para i por ciento y n periodos, (1+i)n.Segundo, debido a la relación entre los factores de interés del valor presente y los factores de interés del valor futuro, podemos encontrar los factores de interés del valor presente en una tabla de factores de interés del valor futuro y viceversa.

OA3. ANUALIDADES

Una anualidad es un conjunto de flujos de efectivo periódicos e iguales durante un periodo específico. Generalmente estos flujos de efectivo son anuales, pero pueden ocurrir en diferentes intervalos, como mensuales (renta, pagos del automóvil). Los flujos de efectivo de una anualidad pueden ser entradas (los $3,000 dólares recibidos al final de cada uno de los próximos 20 años) o salidas (los $1,000 dólares invertidos al final de cada uno de los próximos 5 años)Tipos de anualidades

Existen dos tipos básicos de anualidades:

Anualidad ordinaria: el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo.

Anualidad anticipada: el flujo de efectivo ocurre al inicio de cada periodo.

En general, tanto el valor futuro como el valor presente de una anualidad anticipada son siempre mayores que el valor futuro y el valor presente, respectivamente, de una anualidad ordinaria idéntica. 

En finanzas se usan con más frecuencia las anualidades ordinarias.

Cálculo del valor futuro de una anualidad ordinaria

Fórmula para calcular el factor de interés del valor futuro para una anualidad ordinaria cuando los intereses se componen anualmente a i por ciento durante n periodos, FVIFAi,n, es

FVIFAi,n = n∑t=1 (1+i)t-1

Este factor es el multiplicador que se usa para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria, a una tasa de interés específica, durante cierto periodo.

Al usar FVAn para el valor futuro de una anualidad de n años, PMT para el monto a depositar anualmente al final de cada año, y FVIFAi,n para el factor de interés del valor futuro adecuado para una anualidad ordinaria de un dólar compuesta a i por ciento durante n años, podemos expresar la relación entre estas variables alternativas comoFVAn = PMT X (FVIFAi,n)

Cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria

El método para calcular el valor presente de una anualidad ordinaria es similar al método que se acaba de analizar. Existen los métodos largo y corto para realizar este cálculo. 

Uso de herramientas computacionales para calcular el valor presente de una anualidad ordinariaLa fórmula para calcular el factor de interés del valor presente para una anualidad ordinaria con flujos de efectivo descontados a i por ciento durante n periodos, PVIFAi,n, es

PVIFAi,n = n∑t=1 1/(1+i)t

Este factor es el multiplicador que se usa para calcular el valor presente para una anualidad ordinaria a una tasa de descuento determinada durante un periodo específico.

Si PVAn es igual al valor presente de una anualidad ordinaria de n años, PMT es igual al monto que se recibirá anualmente al final de cada año y PVIFAi,n representa el factor de interés del valor presente adecuado para una anualidad ordinaria de un dólar descontado a i por ciento durante n años, podemos expresar la relación entre estas variables como

PVAn = PMT X (PVIFAi,n)

Cálculo del valor presente de una perpetuidad

Perpetuidad: Una anualidad con una vida infinita, es decir, una anualidad que nunca termina proporcionando a su tenedor un flujo de efectivo al final de cada año. (Ej.: el derecho a recibir $500 al final de cada año para siempre).El factor de interés del valor presente para una perpetuidad descontada a la tasa i es

PVIFAi,∞ = 1/i

Como muestra la ecuación, el factor adecuado, PVIFAi,∞, se obtiene simplemente dividiendo 1 entre la tasa de descuento, i (establecida como decimal).

OA4. INGRESOS MIXTOS

Existen dos tipos básicos de ingresos de flujos de efectivo: la anualidad y el ingreso mixto. En tanto que una anualidad es un patrón de flujos de efectivo periódicos e iguales, un ingreso mixto es un conjunto de flujos de efectivo periódicos y desiguales que no reflejan ningún patrón en particular.

Valor futuro de un ingreso mixto

Es fácil determinar el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo. Determinamos el valor futuro de cada flujo de efectivo en la fecha futura especificada y después sumamos todos los valores individuales para calcular el valor futuro total.

Valor presente de un ingreso mixto

Calcular el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo es similar a calcular el valor futuro de un ingreso mixto. Determinamos el valor presente de cada monto futuro y después sumamos todos los valores presentes individuales para obtener el valor presente total.

OA5. CAPITALIZACIÓN DE INTERESES CON UNA FRECUENCIA MAYOR QUE LA ANUAL

Por lo regular, el interés se capitaliza más de una vez al año. Las instituciones de ahorro capitalizan los intereses de manera semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria o incluso continua.

Capitalización semestral

La capitalización semestral de los intereses incluye dos periodos de capitalización al año. En vez de la tasa de interés establecida que se paga una vez al año, la mitad de la tasa de interés establecida se paga dos veces al año. (Capitalización semestral: capitalización de los intereses sobre dos periodos al año).

Capitalización trimestral

La capitalización trimestral del interés incluye cuatro periodos de capitalización al año. Una cuarta parte de la tasa de interés establecida se paga cuatro veces al año. (Capitalización trimestral: capitalización del interés sobre cuatro periodos al año)

Ecuación general para la capitalización con una frecuencia mayor que la anual

La fórmula del factor de interés para la capitalización anual se puede replantear para usarla cuando la capitalización ocurre con mayor frecuencia. Si m es igual al número de veces al año en que se compone el interés, la fórmula del factor de interés para la capitalización anual se replantea de la siguiente manera:

FVIFi,n = (1 + i/m)mXn

La ecuación básica para el valor futuro puede reformularse de la manera siguiente

FVn = PV X (1 + i/m)mXn

Capitalización continua

En un caso extremo, el interés puede componerse continuamente. La capitalización continua implica una capitalización a intervalos de microsegundos, es decir, el periodo más pequeño que se pueda imaginar. (Capitalización continua: Capitalización del interés en un número infinito de veces al año a intervalos de microsegundos)Por medio del cálculo, sabemos que a medida que m se aproxima al infinito, la ecuación del factor de interés se convierteFVIFi,n (capitalización continua) = ei X n

Donde e es la función exponencial, que tiene un valor de 2.7183. Por lo tanto, el valor futuro para la capitalización continua es 

FVn (capitalización continua) = PV X (ei X n)

Tasa de interés anual nominal y efectiva

Para colocar las tasas de interés en una base común, con el fin de permitir comparaciones, distinguimos entre tasas anuales nominal y efectiva.

Tasa nominal anual, o establecida: tasa de interés contractual anual que cobra un prestamista o promete pagar un prestatario.Tasa efectiva anual (TEA), o verdadera: tasa de interés anual pagada o ganada realmente. 

La tasa efectiva anual refleja los efectos de la frecuencia de la capitalización, en tanto que la tasa nominal anual no lo hace.

TEA = (1 + i/m)m – 1

Puntos importantes:

Primero: Las tasas anuales nominal y efectiva son equivalentes para la capitalización anual.Segundo: La tasa efectiva anual aumenta al aumentar la frecuencia de la capitalización, hasta un límite que se presenta con la capitalización continua.

Tasa de porcentaje anual (APR, por sus siglas en inglés, annual percentage rate): Tasa nominal anual de interés, que se obtiene multiplicando la tasa periódica por el número de periodos en un año, y que debe informarse a los consumidores de tarjetas de crédito y préstamos como resultado de las “leyes de veracidad en préstamos”.Rendimiento porcentual anual (APY, por sus siglas en inglés, annual percentage yield): Tasa efectiva anual de interés que los bancos deben revelar a los consumidores sobre sus productos de ahorro como resultado de las “leyes de veracidad en los ahorros”.

Cotizar las tasas de interés de préstamos a su tasa nominal anual (la APR) más baja y las tasas de interés de ahorros a la tasa efectiva anual (el APY) más alta ofrece dos ventajas: tiende a estandarizar la revelación a los consumidores y permite a las instituciones financieras cotizar las tasas de interés más atractivas: tasa de préstamos bajas y tasas de ahorro altas.

OA6. APLICACIONES ESPECIALES DEL VALOR TEMPORAL DETERMINACIÓN DE LOS DEPÓSITOS NECESARIOS PARA ACUMULAR UNA SUMA FUTURA

PMT = FVAn / FVIFAi,n

Solo debemos sustituir los valores conocidos de FVAn y FVIFAi,n, en el lado derecho de la ecuación para obtener el depósito anual requerido.

Amortización de préstamos

Amortización de préstamos: determinación de los pagos iguales y periódicos del préstamo que son necesarios para proporcionar a un prestamista un rendimiento de intereses específico y reembolsar el principal del préstamo en un periodo determinado. El proceso de la amortización del préstamo implica calcular los pagos futuros, durante el plazo del préstamo, cuyo valor presente a la tasa de interés del préstamo equivale al monto del principal inicial prestado.Los prestamistas usan un programa de amortización de préstamos para determinar los montos de estos pagos y la distribución de cada pago al interés y principal. (Programa de amortización: programa de pagos iguales para reembolsar un préstamo. Muestra la distribución de cada pago del préstamo al interés y principal).En el caso de las hipotecas, estas tablas se usan para calcular los pagos mensuales iguales necesarios para amortizar o reembolsar la hipoteca a una tasa de interés especifica durante un periodo de 15 a 30 años.  Amortizar un préstamo implica realmente crear una anualidad de un monto presente.PMT = PVAn / PVIFAi,n

Después de hacer esto, sólo debemos sustituir los valores conocidos en el lado derecho de la ecuación para calcular el pago anual requerido.

Cálculo de tasas de interés o crecimiento

Con frecuencia, es necesario calcular el interés anual compuesto o tasa de crecimiento (es decir, la tasa anual de cambio de los valores) de una serie de flujos de efectivo. Como ejemplos tenemos el cálculo de la tasa de interés de un préstamo, la tasa de crecimiento de las ventas y la tasa de crecimiento de las ganancias. Para hacer esto, usamos los factores de interés del valor futuro o del valor presente.

La situación más sencilla es aquella en la que una persona desea calcular la tasa de interés o crecimiento de una serie de flujos de efectivo. Otro tipo de problema de tasa de interés implica calcular la tasa de interés relacionada con una anualidad o un préstamo de pagos iguales.

Cálculo de un número desconocido de periodos

En ocasiones, es necesario calcular el número de periodos que se requiere para generar un monto dado de flujo de efectivo a partir de un monto inicial. El caso más sencillo es cuando una persona desea determinar el número de

periodos, n, que se requerirán para que un depósito inicial, PV, crezca a un monto futuro especifico, FVn, dada una tasa de interés establecida, i. Otro tipo de problema del número de periodos es calcular el número de periodos relacionados con una anualidad. En ocasiones, deseamos calcular la vida desconocida, n, de una anualidad, PMT, que tiene la intención de lograr un objetivo específico, como reembolsar un préstamo de un mono determinado, PVAn, con una tasa de interés establecida, i.

 Periodo de Recuperación de la inversión (PRI): Mide en cuanto tiempo se recuperará el total de la inversión a valor presente, es decir, nos revela la fecha en la cual se cubre la inversión inicial en años, meses y días, para calcularlo se utiliza la siguiente Fórmula:PRI = a + (b – c)                   dDonde:a = Año inmediato anterior en que se recupera la inversión.b = Inversión Inicialc = Flujo de Efectivo Acumulado del año inmediato anterior en el que se recupera la inversión.d = Flujo de efectivo del año en el que se recupera la inversión.

¿En qué consiste el PRI? Es un instrumento que permite medir el plazo de tiempo que se requiere para que los flujos netos de efectivo de una inversión recuperen su costo o inversión inicial.El período de recuperación de la inversión, PRI, es el tercer criterio más usado para evaluar un proyecto y tiene por objeto medir en cuánto tiempo (años, meses o días) se recupera el total de la inversión a valor presente

El valor actual neto, también conocido como valor actualizado neto (en inglés net present value), cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual  neto del proyecto.El valor actual neto es muy importante para la valoración de inversiones en activos fijos, a pesar de sus limitaciones en considerar circunstancias imprevistas o excepcionales de mercado. Si su valor es mayor a cero, el proyecto es rentable, considerándose el valor mínimo de rendimiento para la inversión.Una empresa suele comparar diferentes alternativas para comprobar si un proyecto le conviene o no. Normalmente la alternativa con el VAN más alto suele ser la mejor para la entidad; pero no siempre tiene que ser así. Hay ocasiones en las que una empresa elige un proyecto con un VAN más bajo debido a diversas razones como podrían ser la imagen que le aportará a la empresa, por motivos estratégicos u otros motivos que en ese momento interesen a dicha entidad.

La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión es el promedio

geométrico de los rendimientos futuros esperados de dicha inversión, y que implica por cierto el supuesto

de una oportunidad para "reinvertir". En términos simples, diversos autores la conceptualizan como

la tasa de descuento con la que el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero.1 2

La TIR puede utilizarse como indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor

rentabilidad;3 4 así, se utiliza como uno de los criterios para decidir sobre la aceptación o rechazo de un

proyecto de inversión.5 Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de

oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidadutilizado para

comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo). Si la tasa de rendimiento del proyecto -

expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.

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