1

CAPITULO I

SUPERFICIES: TEORA Y PROBLEMAS

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

El presente trabajo empieza con presentar las tcnicas de la

Geometra Espacial en el campo de la Ingeniera y trabajaremos usando una

teora adecuada de fcil entendimientos para estudiantes que recin

empiezan a trabajar el calculo de varias variables de tal manera que sea

este curso amigable y de fcil comprensin y que en forma autodidacta el

alumno aprecie las bondades de todos los temas tratados, ya que el que sabe

identificar la superficie y ubicarlo en el espacio de tres dimensiones podr

bosquejar su grafica y dar solucin a los problemas que se les presente ya

sea de, funciones vectoriales, funciones vectoriales de varias variables de

mximos y mnimos, de integrales de lnea y de las aplicaciones de

integrales mltiples.

En este trabajo se describe en forma detallada la teora y ejercicios y

problemas e implementamos algunos graficadores en el especio de tres

dimensiones.

La matemtica actual y en especial el Clculo se caracteriza por la

importancia que le confiere a la Geometra Espacial y a las funciones de

varias variables, por considerar que tanto las operaciones numricas como

las lgicas en las funciones de varias variables usando la Geometra

Espacial representan procesos estrechamente ligados.

Aqu sugerimos algunas caractersticas deseables del estudiante:

Habilidad para encontrar similitudes y relaciones entre cosas

aparentemente distintas.

Facilidad para abstraer.

Tener pensamiento lgico y ordenado.

Que le guste aclarar las cosas hasta entenderlas perfectamente.

Profundizar en los temas que sean necesarios.

Perceverancia suficiente para trabajar en la resolucin de los problemas

que se le presenten hasta encontrar alguna solucin.

Habilidad para analizar y construir.

Capacidad para generalizar.

2

1. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO

Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, PXz, Pyz, que se

cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes elementos

geomtricos.

a) EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por letras X, Y, Z y se habla frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde:

El eje X es la recta determinada por la interseccin

de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta

determinada por la interseccin de los planos Pxy y

Pyz y El eje Z es la recta determinada por la

interseccin de los planos Pxz y Pyz.

La direccin positiva se indica por medio de una

flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos

determinan tres planos, llamados planos

coordenados.

b) PLANOS COORDENADOS.- El plano coordenado XY que denotaremos por Pxy, es determinado por las rectas: eje X y eje Y.

El plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz,

es determinado por las rectas: eje X y eje Z.

El plano coordenado YZ que denotaremos por Pyz,

es determinado por las rectas: eje Y y eje Z.

Los planos coordenados dividen al espacio

tridimensional en 8 sub-espacios llamados octantes.

Consideramos un punto p(x, y, z), cualquiera en el

espacio tridimensional, a travs de p(x, y, z) se

construye tres planos un plano perpendicular a cada

uno de los ejes coordenados.

Sean A(x, 0, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y,

0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0, 0, z)el

punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z

3

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos p1(x1, y1, z1)

y p2(x2, y2, z2) del espacio tridimensional est dado

por:

DEMOSTRACIN

Sea 1 2a p p un vector de origen p1 y extremo p2,

entonces:

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1, ,a p p p p x x y y z z por lo

tanto la longitud del vector a es:

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1, || ||d p p a x x y y z z

3. DIVISIN DE UN SEGMENTOSEGN RAZN DADA

TEOREMA.- Si los puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) son

extremos de un segmento dirigido; las coordenadas

de un punto p(x, y, z) que divide al segmento 1 2p p

en la Razn 1 2r p p pp es:

DEMOSTRACIN

Del grfico se tiene: 1 2// r Rp p pp tal que: 1 2p p r pp ,de donde

1 2p p r p p al despejar p se tiene: 1 21

1p p rp

r

, ahora reemplazamos

por sus coordenadas respectivas:

1 1 1 2 2 21

, , , , , ,1

x y z x y z r x y zr

1 2 1 2 1 2, , , ,1 1 1

x rx y ry z rzx y z

r r r

, por igualdad

se tiene:

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1,d p p x x y y z z

1 2 1 2 1 2, , , 11 1 1

x rx y ry z rzx y x r

r r r

1 2 1 2 1 2, , , 11 1 1

x rx y ry z rzx y z r

r r r

4

COROLARIO.- Si p(x, y, z) es el punto medio segmento 1 2p p entonces 1

2

1p p

rpp

.

Luego las coordenadas del punto medio son:

4. NGULOS DIRECTORES, COSENO DIRECTORES Y NMEROS

DIRECTORES

Consideremos el vector 1 2 3, ,a a a a en el espacio tridimensional y los

ngulos , y formados por los ejes de coordenadas positivos y el vector

1 2 3, ,a a a a ; es decir: ,i a , ,j a , ,k a . Si //a L (recta) donde 1 2 3, ,a a a a diremos que:

i) 1 2 3, ,a a a son los nmeros directores de la recta L.

ii) Los ngulos , y se llaman ngulos directores de la recta L, y

son formados por los rayos positivos de los ejes coordenadas y la recta,

respectivamente.

Los ngulos directores toman valores entre 0o y 180

0, es decir:

0 00 , , 180

iii) A los cosenos de los ngulos directores de la recta L, es decir: se denominan cosenos directores.

5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA

DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNTOS

Sea L una recta que pasa por los puntos

1 1 1 1, ,p x y z y 2 2 2 2, ,p x y z

Si 1 2 1 2, || ||d p p p p , y son los

ngulos directores de la recta L, entonces se

tiene:

2 1

1 2

cos,

x x

d p p

,

2 1

1 2

cos,

y y

d p p

,

2 1

1 2

cos,

z z

d p p

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z zx y z

5

6. RELACIN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UN RECTA

TEOREMA La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L igual

a 1, es decir: 2 2 2cos cos cos 1

Aplicando la parte 5 se tiene:

2 1cosx x

d

, 2 1cos

y y

d

, 2 1cos

z z

d

, de donde

2 2 2

2 1 2 1 2 1d x x y y z z , por lo tanto

2 2 2

2 1 2 1 2 12 2 2

2 2 2cos cos cos 1

x x y y z z

d d d

OBSERVACIN

Si 1 2 3, ,a a a a es un vector direccin de la recta L, donde: 2 2 2

1 2 3|| ||a a a a , entonces:

,i a 1.

cos|| || || ||

i a a

a a 1 || || cosa a

,j a 2.

cos|| || || ||

j a a

a a 2 || || cosa a

,k a 3.

cos|| || || ||

ak a

a a 3 || || cosa a

|| || cos ,|| || cos ,|| || cos || || cos ,cos ,cosa a a a a

LA RECTA

7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

Dado un punto 0 0 0 0, ,p x y z y un vector 1 2 3, ,a a a a no nulo, llamaremos

recta que pasa por 0 0 0 0, ,p x y z paralela al vector 1 2 3, ,a a a a al conjunto.

8. ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

Sea L la recta que pasa por el punto 0 0 0 0, ,p x y z

paralelo al vector 1 2 3, ,a a a a . Si , ,p x y z de R3

es un punto cualquiera de la recta L, entonces el

2 2 2cos cos cos 1

3 0/ ,L p R p p ta t R

6

vector 0p p es paralelo al vector a , es decir: 0 // Rp p a t tal que:

0 ap p t , de donde entonces 0p p ta , por lo tanto la recta L es dado por:

Ecuacin vectorial de la recta L.

OBSERVACIONES.

Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo una recta que pasa por ellos.

Consideramos la recta 0 /L p ta t R . Un punto p de R3 pertenece a la recta L si 0p p ta para algn t en R, es decir:

9. ECUACIN PARAMTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Consideremos la ecuacin vectorial de la recta L:

De la observacin anterior se tiene:

De donde, al reemplazar las coordenadas de P, P0 y de las componentes del

vector a se tiene: 0 0 0 1 2 3, , , , , ,x y z x y z t a a a , es decir:

Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L.

OBSERVACIN

Las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por el par de puntos

P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) esta dado por

0 /L p p ta t R

0p L p p ta para algn t real

0 /L P ta t R

0p L p p ta para algn t real

0 1

0 2

0 3

: , t R

x x a t

L y y a t

z z a t

1 2 1

1 2 1

1 2 1

: , t R

x x x x t

L y y y y t

z z z z t

7

10. ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA

Consideremos las ecuaciones paramtricas de la recta L:

Suponiendo que 1 2 30, 0, 0a a a , despejando el parmetro t de cada

ecuacin tenemos: 0 0 0

2 2 2

x x y y z zt

, de donde por igualdad:

0 0 0

1 2 3

:x x y y z z

La a a

Que se denomina simtrica de la recta L.

OBSERVACIN

1. Si a3 =0, la ecuacin simtrica de la recta L se describe en la forma

0 00

1 2

: x x y y

L z za a

2. Si 1 3 0a a . La ecuacin simtrica de la recta L se escribe en la forma

0 0: L x x z z

11. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES

Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se dan

comparando sus vectores direccionales

Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.

1 0 /L p ta t R Y 2 0 /L q b R La recta L1 y la recta L2 son paralelas (L1 // L2) si y solo si, sus vectores

direccionales son paralelos, es decir: 1 2// //L L a b

La Recta L1 y la recta L2 son ortogonales 1 2L L si y solo si sus vectores sus vectores direccionales son

ortogonales, es decir:

1 2L L a b

OBSERVACIOES

1. Si L1 y L2 son paralelas (L1 // L2), entonces L1 = L2 1 2L L

1 1

1 2

1 3

: , t R

x x a t

L y y a t

z z a t

8

2. Si L1 y L2 no son paralelas (L1 // L2), entonces 1 2L L (las rectas se

cruzan) 1 2L L consta de un solo punto.

12. NGULO ENTRE DOS RECTAS

Consideremos las ecuaciones de dos rectas

1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R Un ngulo entre las rectas L1 y L2 se define como el ngulo

formado por sus vectores direccionales a y b , es decir:

1 2, ,L L a b , y es dado por la formula .

cos , 0|| || || ||

a b

a b

13. DISTANCIA MNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE

CRUZAN)

Si 1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R son dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan), entonces a la distancia mnima entre L1 y L2 denotaremos

por d(L1,L2) y es definido como el segmento perpendicular comn entre ambas

rectas.

Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que

contienen a las rectas L1 y L2 respectivamente.

Si d es la distancia entre los planos P1 y P2 de donde N es normal al plano P2;

por lo tanto N es ortogonal a los vectores y a b entre N a x b .

Ahora consideremos el vector unitario en la direccin de la normal N ;

y como , entonces|| ||

. .cos , de donde . || || cos ...(1)

|| || || || || ||

N N

N NN

N

NAC

N

AC ACAC AC

AC AC

Por otro lado en el tringulo rectngulo ABC se tiene:

|| || cosd AC (2)

de donde al comprar (1) y (2) se tiene: 1 2, | . |Nd L L AC

9

14. TEOREMA

Sean 1 0 /L p ta t R y 2 0 /L q b R dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan). La distancia mnima entre L1 y L2 esta dado por:

0 0

1 2

| . |,

|| ||

p q a x bd L L

a x b

15. TEOREMA

La distancia del punto P a la recta 1 0 /L p ta t R es dado por:

20 0

1 2

|| || || || .,

|| ||

p p a p p ad L L

a

16. PROYECCION ORTOGONAL SOBRE UN PUNTO

Consideremos una recta 1 0 /L p ta t R y un punto p, que no pertenece a la recta L.

Entonces la proyeccin ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la

recta L, al cual denotaremos PLproy de tal manera que el vector AP sea

ortogonal a la recta L.

Observando el grfico se tiene:

0 0

0

0

0 0

0

0

de donde

, es decir:

P P P P

a a

P P

a

P PP

L a

P A proy A P proy

A P proy

A proy p proy

10

PROBLEMAS DE RECTAS EN R3

1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(3,1,-2) y es perpendicular

y corta a la recta 1 2 1

:1 1 1

x y zL

SOLUCIN

Si 1, 2, 1 1,1,1 /L t t R La recta pedida que pasa por A(3,1,-2) es: 1 3,1, 2 , , /L a b c R Como 1 1,1,1 . , , 0 0L L a b c a b c

0a b c ...(1)

Sea 1p L L entonces 1p L p L de donde:

Si 11 , 2 , 1 , 3 ,1 , 2p L p t t t p L p a b c ,

entonces: 1 , 2 , 1 3 ,1 , 2t t t a b c de donde:

1 3

2 1

1 2

t a

t b

t c

5

1

a c

b a

Entonces 5 4c b a ...(2)

De (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c)= (2b,b,-3b) = b(2,1,-3)

Por lo tanto la recta pedida:

3,1, 2 2,1, 3 /L R

2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular a

cada una de las rectas 12 3 2

:2 1 5

x y zL

y 2

3 2 7 3:

1 2 3

x y zL

SOLUCION

Rectas L1 y L2 en su forma vectorial

1 2,3, 2 2, 1,5 /L t t R y 2 3,7 / 2,3 1,1,3 /L R

como

1

2

2, 1,5 , , 2, 1,5 , , 0

1,1,3 , , 1,1,3 , , 0

L L a b c a b c

L L a b c a b c

entonces

2 5 0

3 0

a b c

a b c

de donde

3

8

ac ,

8

ab ,

3, , , , 8,1,3

8 8 8

a a aa b c a

Por lo tanto 3, 3,4 8,1, 3 /L t t R

11

3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto M(-1,2,-3) es perpendicular

al vector 6, 2, 3a y se corta con la recta 11 1 3

:3 2 5

x y zL

SOLUCION

Escribiendo la recta L1 en su forma vectorial:

1 1, 1,3 3,2, 5 /L t t R Sea 1 1p L L p L P L :

Si 1 1 3 , 1 2 ,3 5p L p t t t para algn t R

Como 3 2,2 3, 5 6b MP P M t t t Adems

. 0 6, 2, 3 . 3 2,2 3, 5 6 0a b a b t t t

6 3 2 2 2 3 3 5 6 0t t t 0, 2, 3,6t b Por lo tanto:

1,2, 3 2, 3,6 /L t t R

4. Dados los puntos A(3,1,1) y B(3,-2,4). Hallar el punto C de la recta

1, 1,1 1,1,0 /L t t R tal que 0, 60AB AC

SOLUCIN

Sea 1 . 1 ,1C L C t t 0. || |||| || cos60AB AC AB AC , donde

0, 3,3 , 2, 2,0AB AC t t

|| || 9 9 3 2AB , 2

|| || 2 2 2 | 2 |AC t t

Como 0. || |||| || cos60AB AC AB AC , reemplazando:

16 3 3 2. 2 | 2 | | 2 | 2

2t t t t de donde 2 0t como 2t entonces

1 , 1 ,1C t t para 2t

5. Una recta pasa por el punto p(1,1,1) y es paralela al vector 1,2,3a , otra

recta pasa por el punto Q(2,1,0) y es paralela al vector 3,8,13b . Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de interseccin.

SOLUCION

Sean 1 1,1,1 1,2,3 /L t t R y 2 2,1,0 3,8,13 /L R

Las recatas L1y L2 se cortan si y solo si 0P tal que 0 1 2P L L como

0 1 2 0 1 0 2P L L P L P L

12

0 1 0Si 1 ,1 2 ,1 3P L P t t t

0 2 0 2 3 ,1 8 ,13P L P Como P0 es punto comn a L1y L2 entonces:

1 ,1 2 ,1 3 2 3 ,1 8 ,13t t t

1 2 3

1 2 1 8 resolviendo se tiene t 4, 1

1 3 13

t

t

t

Remplazando el punto de interseccin es P0(5,9,13)

6. Dadas las rectas 1 3,1,0 1,0,1 /L t t R y

2 1,1,1 2,1,0 /L R Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mnima, adems hallar

esta distancia

SOLUCION

Sea 1 23 ,1, ,A L A t t B L

1 2 ,1 ,1B , 2 2, ,1AB B A t t

. 0,a AB a AB 1,0,1 . 2 2, ,1t t

de donde 2 2 1 0t (1)

. 0 2,1,0 . 2 2, ,1 0b AB b AB t t

5 2 1 0t (2)

formando el sistema de (1) y (2) se tiene 2 2 1 0

5 2 4 0

t

t

resolviendo el sistema se tiene1

,2

t 1

como Q es punto equidistante de A y B entonces13 3 3

, ,2 4 2 4

A BQ Q

La distancia mnima 1 6

,2 4

d d A B

Dadas las tres rectas 1 1,1,2 1,2,0 /L t t R 2 2,2,0 1, 1,1 /L R 3 0,3, 2 5,0,2 /L r r R

13

7. Hallar la ecuacin de la recta que corte a estas tres rectas en M, N y P

respectivamente de tal manera que MN NP

SOLUCION

1 1,1,2 1,2,0 / 1 ,1 2 ,2M L t t R M t t

1 2,2,0 1, 1,1 / 2 ,2 ,N L R N

1 0,3, 2 5,0,2 / 5 ,3, 2 2P L r r R P r r

Como MN NP entonces se tiene

1, 2 1, 2

5 2,1 ,2 2 ,

MN N M t t

NP P N r r

de

donde 1, 2 1, 2t t = 5 2,1 ,2 2r r , por igualdad de vectores se tiene

1 5 2

2 1 1

2 2 2

t r

t

r

5 2 3 ...(1)

2 2 0 ...(2)

2 2 0 ...(3)

r t

t

r

de (2) y (3) se tiene ,t r ahora reemplazamos en la ecuacin (1).

3 3 3, , ,

2 2 2t r Luego

1 7 1 3 15, 2,2 , , , , ,3, 1

2 2 2 2 2M N P

Por lo tanto: 1

, 2,2 8,5, 1 /2

L t t R

8. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por p(19,0,0) y corta a las rectas

1 5,0, 1 1,1,1 /L t t R , y 2 1,2,2 2,1,0 /L r r R

SOLUCION

14

Sean 1 5,0, 1 1,1,1 / 5, , 1A L t t R A t t t

2 1,2,2 2,1,0 / 2 1, 2,2B L r r R B r r como los puntos P, A, B son colineales, entonces:

// m tal que de donde

que al reemplazar por sus coordenadas se tiene:

PA AB R PA mAB A P m B A

14, , 1 2 6, 2, 3

14 2 6 ...(1)

por igualdad de vectores se tiene: 2 ...(2)

1 3 ...(3)

3 1de la ecuacin (3) y (2) se tiene:

t t t m r t r t t

t mr mt m

t rm mt r

t mt m

mt

1, de la ecuacin(1)

1

1 2 6 14 reemplazando y se tiene:

15 28 4, ,

11 13 15

28 145 28 15luego 14, , 1 para , , ,

13 13 13 3

19.0.0 154,

mr

m m

m t mr m t r

m t r

a PA t t t t a

L t

28,15 / t R

9. Encuentre el punto de interseccin de las rectas:

1 1,7,17 1,2,3 /L t t R y 27

:4 1 5

x y zL

SOLUCION

2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

Escribiendo la ecuacin L en forma vectorial. 7,0,0 4,1,5 /

Sea p L L entonces p L p L .

Si p L 1 ,7 2 ,17 3 p L 7 4 , ,5

como p L L 1 ,7 2 ,17 3 7 4 , , 5

1 7 4

7 2

L R

p t t t p

t t t

t

t

entonces 4, 1 Luego: 3, 1,5

17 3 5

t p

t

10. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que intercepta en ngulo recto a las rectas

1 3,3,4 2,2,3 /L t t R , 2 1,6, 1 1,2,0 /L R

SOLUCION

15

1

2

Sean A 3 2 ,3 2 ,4 3

B 1 ,6 2 , 1

como A, B son puntos sobre la recta L

entonces el vector direccin de la recta L es

de donde se tiene:

L A t t t

L B

a AB B A

1 22 2 ,3 2 2 , 5 3 como L L , L entonces:a t t t

. 2,2,3 0

. 1,2,0 0

a

a

17 2 132

resolviendo el sistema se tiene t = -1, = -22 5 8

t

t

por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), 2, 1.2 ,a AB B A

entonces la recta pedida es:

1,1,1 2, 1,2 /L t t R

11. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p(7,-2,9) y es

perpendicular a las rectas

SOLUCION:

Los vectores direcciones de L1 y L2 (2, 2,3), (2,5, 2)a b respectivamente.

1 2

Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta pedida L= (7,-2,9)+t /

pero como L L ,L en tonces , entonces:

2 -2 3 ( 11,10,14)

2 5 -2

Por lo tanto: L= (7,-2,

b t R

c a b

i j k

c a b

9)+t( 11,10,14) / t R

12. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que intercepta en ngulo recto a las rectas

1 2L = (3,3,4)+t(2,2,3) / ,L = (1,6,-1)+ ( 1,2,0) /t R R

SOLUCION:

1

2

Sean A L (3 2 ,3 2 ,4 3 )

B L (1 ,6 3 2 , 1)

A t t t

B

Como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector direccin de la recta L es

16

1 2

de donde se tiene:

( 2 2 ,3 2 2 , 5 3 ) como L L ,L entonces:

.(2,2,3) 0 17 2 13 resolviendo el sistemas se tiene t= -1, 2,

2 5 8( 1,2,0) 0

a AB B A

a t t t

a t

ta

por lo tanto los puntos son A(1,1,1), B(3,2,-1), ( 2, 1,2).

Luego la ecuacion vectorial de la recta pedida es:

a AB B A

L= (1,1,1)+t( 2, 1,2) / t R

13. Determinar una recta tal que con las rectas

1 1(2,1,4) (1,1,0) / y (2 ,1 ,3 ) /L t t R L R determinan un triangulo de area 5u

2.

SOLUCION:

1 2 1 1

1

2

1 2

Sea p p p

Si p (2 ,1 ,4)

p (2 ,1 ,3 )

como p , entonces:

(2 ,1 ,4) (2 ,1 ,3 )

L L L L

L p t t

L p

L L

t t

2 2

de donde: 1 1 al resolver el sistema se tiene que: t= 1

4 3

t

t

por lo tanto el punto p es p(3,2,4), ahora tenemos en t cercano a p asi como t=2 entonces

el punto A de L2 es A(4,3,4),

1

2

1 2

ademas B (2 ,1 ,3 ) entonces se tiene:

a AB ( 2, 2, 1) por otra parte b AP ( 1, 1,0)

1ademas el area A= a b 5 de donde a b =10 entonces 2 49 0 de

2

donde se tiene: 1 5 2, 1 5 2 por

L B

B A P A

lo tanto las rectas pedidas son:

L= (4,3,4)+t(-1 5 2,-1 5 2,5 2) /

L= (4,3,4)+t(-1 5 2,-1 5 2, 5 2) /

t R

t R

14.Sea A(1,1,2) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones

paramtricas a: x=4-t, y y=5+3t,z=3+t, t R , encontrar un punto B en L, tal que

A-B y la recta sean perpendicular.

17

SOLUCION:

Sea L= (4,5,3)+t(-1,3,1) / t R

0 0

0 2

( 3, 4, 1)

..

|| ||

b

a

b P A A P

a bP B proy a

a

0

0

( 1,3,1).( 3, 4, 1).( 1,3,1)

11

10 10 30 10( 1,3,1) ( , , )

11 11 11 11

P B

P B

0 0

10 30 10 10 30 10( , , ) (4 ,5 ,3 )11 11 11 11 11 11

P B B P B

10 30 10( , , )11 11 11

B

15. Determinar los ngulos entre una recta L paralela al vector y los ejes

coordenadas.

SOLUCION:

0

1

Sea / , donde (1,1,1)

es la direccin de la recta L y

|| || 3 entonces:

1 1cos cos( )

|| || 3 3

L P ta t R a

a

aarc

a

2

3

1 1cos cos( )

|| || 3 3

1 1cos cos( )

|| || 3 3

aarc

a

aarc

a

16. Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo al plano XY) que une

las rectas

SOLUCION:

1

2

1 2

L = (1,2,0) t(1,2,1) /

L = (0,0,0) (1,1,1) /

Si A L (1 ,2 2 , ), B L ( , , )

t R

R

A t t t B

18

como // al plano XY entonces

Luego A(1 ,2 2 , ) y ( , , )

AB t

t t t B t t t

2 2

2

|| || 1 2 0 de donde ( ) 4 5

2'( ) 0 2 nmero critico

4 5

d AB t f t t t

tf t t

t t

|| || 1 0 0 1 1d AB d

17. Dadas las rectas .Hallar la ecuacin de la perpendicular comun.

SOLUCION:

Las rectas L1 y L2 no son paralelas, es decir L1// L2.

1 2 1 2

1 2

Ahora veremos si p p p

Si p (1 2 , 2 3 ,5 4 ), p ( 2,1 ,2 2 )

(1 2 , 2 3 ,5 4 ) ( 2,1 ,2 2 ) de donde

L L L L

L p t t t L p

t t t

3

21 2 215

2 3 12

5 4 2 213

2

t

t

t

t

por lo tanto las rectas L1 y L2 son rectas que se cruzan

2 3 4 10 4 2

0 1 2

L= (1, - 2,5) t(10, 4,2) / ; L'= (-2,1,-2) (10, 4, 2) /

i j k

a i j k

t R R

18. Determinar bajo que direccin debe ser lanzada rectilneamente una partcula

desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L (0,1 , ) / R para que lo

alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad 3 /V u seg

2 2

2

Sea B L (0,1 , ) para algn

R adems donde ( , ) para

2 . 3 , 2 3

( , ) 4 ( 1) ( 3) 2 3

de donde 2 1 0 1

B

e vt e d A B

t seg V u e

d A B

Luego B(0,0,1) entonces est dado por el vector ( 2, 2, 2)AB B A

( 2, 2, 2)AB

19

19. Determinara la ecuacin de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta

bajo un ngulo de 60 a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0),

B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-1,3,3).

SOLUCION

El punto medio del segmento AB es M(1,2,-1), y

observando el grafico este problema tiene dos soluciones.

La ecuacin de la recta L1 que pasa por R y S es:

1 ( 1,3,3) (0,0,0) /L t t R

Sea N el Punto de interseccin de L con L1 es decir:

1

1

2

Si N L ( 1 ,3,3) pasa algn . Definimos

( 2,1,4), como 60 ( , ) ( , ) entonce :

.cos 60 ; donde (1,0,0) y ( 2,1,4)

.

(1,0,0).( 2,1,4) 1 ( 2)cos60

2( 2) 1 16

N t t R

b MN N M t L L a b s

a ba b t

a b

t t

t

2

2 2

( 2) 17

17 17( 2) 17 4( 2) 2 ( ,1,4)

3 3

por lo tanto las soluciones son:

17 17(1,2, 1) ( ,1,4) / ; ' (1,2, 1) ( ,1,4) /

3 3

t

t t t b

L R L r r R

20. Dados los vrtices del tringulo A(3,-1,-1), B(1,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las

ecuaciones simtricas de la bisectriz del ngulo interno del vrtice B.

SOLUCION

Tomemos los vectores unitarios y u v en las direcciones de

y BA BC y respectivamente donde:

(2, 3,6), ( 6,12,4)

1 1(2, 3,6) y ( 3,6,2)

7 7|| || || ||

BA BC

BA BCu v

BA BC

1(2, 3,6)

7

entonces sea b u v el vector de la direccin de la directriz BD es decir:

20

1 1( 1,3,8) (1, 3, 8).

7 7b Luego los nmeros directores de la bisectriz BD son

1, 3, 8. Si B(1,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones simtricas son:

1 2 7:

1 3 8

x y zL

EL PLANO

DEFINICIN.-

Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3. Si existe un punto p0(x0,y0,z0) de R

3

y dos vectores no paralelos 1 2 3 ( , , ) a a a a

y 1 2 3 ( , , ) b b b b

de R3

de tal manera

que:

3 0 0 0 0( , , ) / ( , , ) ( , , ) , ,P P x y z R P x y z P x y z ta b t R

ECUACIN VECTORIAL DEL PLANO.-

Consideremos un plano P que pasa por el punto

p0(x0,y0,z0) y que es paralelo a los vectores paralelos

1 2 3 ( , , ) a a a a y 1 2 3 ( , , ) b b b b

.

Sea Pp entonces existen Rt , tal que:

0p p ta b ,de donde 0p p ta b

entonces:

0p p ta b , luego

0 / ,P p ta b t R

Que es la ecuacin vectorial del plano P.

OBSERVACION.-

1. De la ecuacin vectorial del plano 0 / ,P p ta b t R

se obtiene la

normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N a b .

21

2. Si N es una normal al plano 0 / ,P p ta b t R

y si 1 2,p p P

entonces N es ortogonal a 1 2 2 1p p p p .

3. Si N es la normal al plano 0 / ,P p ta b t R

y si 2 1p p es ortogonal

a N entonces p P .

4. Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuacin del

plano es 0: .( ) 0P N p p

Es la ecuacin del plano que pasa por p0 y cuya normal es N .

ECUACIONES PARAMTRICAS DEL PLANO.-

Consideremos el plano. 0 / ,P p ta b t R

Si p P entonces 0p p ta b

para ,t R , reemplazando por sus respectivas

componentes se tiene: 0 0 0 1 2 3 1 2 3(x,y,z) = (x ,y ,z )+t( , , ) ( , , ) a a a b b b

de donde por

igualdad se tiene:

22

0 1 1

0 2 2

0 3 3

P: t, ,

x x a t b

y y a t b R

z z a t b

Que son las ecuaciones paramtricas del plano P.

ECUACION GENERAL DEL PLANO.-

Sea P el plano que pasa por el punto 0 0 0 0(x ,y ,z )p

cuyo vector normal es:

N =(A,B,C). Si p P entonces: 0p p N

, de donde

0 . 0p p N entonces: 0.( ) 0N p p

. Ahora

reemplazando por sus componentes:

(A,B,C).(x-x0,y-y0,z-z0) = 0 entonces A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-Cz0) = 0, de donde P: Ax + By +Cz + D = 0.

Que es la ecuacin general P.

PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-

Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

donde 21 1 1 2 2 2( , , ) y ( , , )N A B C N A B C son sus normales, respectivamente, entonces:

i)El plano P1 es paralelo al plano P2 (P1// P2) si y solo si sus normales 1 2 y N N son

paralelas, es decir:

1 21 2// //P P N N

Si,

23

2121 que tal// NNRrNN , lo que quiere decir que los coeficientes de las

ecuaciones cartesianas de los planos deben ser proporcionales, o sea que debe

cumplirse:

rC

C

B

B

A

A

2

1

2

1

2

1

Si los planos P1 y P2 son paralelos puede ocurrir que: 21 21 PP P P es decir:

212121 // PPPPPP

ii) El plano P es ortogonal al plano 212 PPP si y solo si sus normales 21 y NN son ortogonales, es decir:

2121 NNPP

00. Si 2121212121 CCBBAANNNN , por lo tanto

021212121 CCBBAAPP

INTERSECCIN DE PLANOS.-

Consideremos los planos: P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Si el plano P1 no es paralelo al plano P2 (P1 // P2) entonces la interseccin de P1 y P2 nos

da una recta L. es decir:

1 2 1 2Si // L tal que P P P P L

24

ECUACIN BIPLANAR DE LA RECTA.-

A la ecuacin de una recta que es la interseccin de dos plano se denomina ecuacin

biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente:

0 D zC y B x A

0 D zC y B x A:

2222

1111L

La ecuacin biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramtrica y simtrica.

El vector direccin a de la recta se determina en la forma siguiente:

1 2 1 2= , donde y a N N N N son las normales de los planos P1 y P2 respectivamente:

1 2 1 1 1

2 2 2

= (0,0,0)

i j k

a N N A B C

A B C

El punto 0 0, 0 0( , )p x y z

por donde pasa la recta se determina

resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos P1 y P2.

INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO.-

Consideremos la ecuacin general de un plano:

P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuacin vectorial de la recta

RttapL /0

si L y P no son paralelos entonces al intercectarse nos da un

punto Q, es decir:

QPL

Para calcular el punto Q de interseccin se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta

L y el plano P.

PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO PERPENDICULAR A UNA

RECTA.-

Consideremos la ecuacin general del plano P: Ax +

By + Cz + D = 0. donde N = (A,B,C) es la normal y

la ecuacin vectorial de la recta RtatpL /0 donde a es el vector direccin.

25

La recta L es paralela al plano P si solo si el vector direccin a es ortogonal

al vector normal N es decir: NaPL //

Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L est contenida en el

plano P que la interseccin es el , es decir:

PL PLL//P Si

La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector direccin a de L paralelo al

vector normal N de P, es decir: NaPL //

FAMILIA DE PLANOS.-

En forma similar que en la geometra analtica plana, en donde se consideraba una

familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la

ecuacin 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos

paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, es el

sistema de planos que pasan por la interseccin de dos planos dados, cuyas ecuaciones

se expresan:

P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 .(1)

P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuacin (1) estn sobre la recta de interseccin,

dichos puntos p(x,y,z) tambin satisfacen a la ecuacin:

K1(A1x + B1y + C1z + D1) + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 .(2)

donde K1 y K2 son nmeros reales cualesquiera excepto que sean ceros

simultneamente.

Si en la ecuacin (2) se tiene que 01 K , entonces a la ecuacin (2) se puede expresar

en la forma:

A1x + B1y + C1z + D1 + K2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 .(3)

A la ecuacin (3) se denomina la familia ce planos que pasan pors la interseccin de los

planos P1 y P2

26

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-

Consideremos la ecuacin general de un plano P: Ax + By +Cz + D = 0 y un punto

p1(x1,y1,z1) que no pertenece al plano P.

Consideremos un vector unitario N en la direccin del vector normal, es decir

2 2 2

0 1 0 1 0 1

1, 0 1

1, 0 1 1 0 1 0 1 02 2 2

1( , , )

como = ( , ) entonces . cos

En el triangulo rectangulo se tiene: ( ) cos

de (1) y (2) se tiene que:

1( ) . ( , , ).( , , )

(

N

N N

N

NA B C

N A B C

p p p p p p

d p P p p

d p P p p A B C x x y y z zA B C

A x

1 1 1 0 0 01 0 1 0 1 0

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1,2 2 2

( )) ( ) ( )

( )

Ax By Cz Ax By Czx B y y C z z

A B C A B C

Ax By Cz Dd p P

A B C

OBSERVACION.- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos

P1: Ax + By + Cz + D1 = 0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0

La distancia entre dichos planos esta dado por la formula.

1 2

1, 22 2 2

( )D D

d P PA B C

27

ANGULO ENTRE RECTAS Y PLANO.-

Consideremos la ecuacin vectorial de una recta 0 /L p ta t R

y la ecuacin

general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es ( , , )N A B C

Sea ( , ) angulo entre los vectores y . entonces:

.cos , ademas tiene = , entonces:

2

. .sen =sen( ) cos por lo tanto: sen =

2

Que es la expresion para calcular el angulo forma

a N a N

a N

a N

a N a N

a N a N

do por una recta y un plano

PROYECION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.-

La proyeccin ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By +Cz + D = 0 con

normal ( , , )N A B C es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por Pr

p

Poy , de tal

manera que el vector 0 1p p

es ortogonal al plano P. Para hallar el punto p0 trazamos por

el punto p una recta L ortogonal al plano P es decir: /L p tN t R

de donde

0L P p

28

PROYECCION ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.-

La proyeccin ortogonal de la recta 0 /L p ta t R

sobre el plano P: Ax + By + Cz

+ D = 0, es la recta L , el cual denotaremos por Pr

L

Poy que esta contenida en el plano P

y que pasa por dos puntos de P que son las proyecciones ortogonales de dos puntos de L

sobre el plano P.

DISTANCIA MINIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA

CONTENIDA EN EL PLANO.-

La distancia mnima entre una recta

0 /L p ta t R y un plano 0

( ) 0N p Q ,

donde la recta L no esta contenida en el plano P y

adems L es paralela a P es dado por la formula.

0 0

0 0

.( , )

N

Q p Nd L P comp Q p

N

ANGULO ENTRE DOS PLANOS.-

Consideremos las ecuaciones generales de dos planos P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

cuya normal es

21 1 1 2 2 2 2 2 2 2( , , ) y : 0 cuya normal es ( , , )N A B C P A x B y C z D N A B C .

El angula formado por los planos P1 y P2 es igual

al ngulo entre sus vectores normales 1 2 y N N

respectivamente y es dado por la expresin

siguiente:

1 2

1 2

. cos =

N N

N N

29

PROBLEMAS DE PLANO EN R3

1. Hallar la ecuacin vectorial de la recta L, dado por la interseccin de los planos

P1: 3x + y 2z = 5 ; P2: x + 2y + z + 5 = 0.

SOLUCIN:

Calculando el vector direccin a de la recta L.

3 1 -2 (5, 5,5) 5(1, 1,1)

1 2 1

i j k

a

ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones.

3x + y - 2z = 5 5x +5 y = -5 entonces , simplificando

2 5 0 0x y z x y

ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = -

1, z = -3 entonces p0(0,-1,3).

Luego la ecuacin de la recta L en forma vectoriales: (0, 1, 3) (1, 1,1) /L t t R

2. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la interseccin de los planos 2x y z + 8

= 0, x + 6y 2z 7 =0 y por el punto (1,-2,2)

SOLUCIN: Aplicando el concepto de familia de planos se tiene:

P: 2x y z + 8 +k( x + 6y 2z 7) =0

como (1,-2,2)

5P 2 2 2 8 (1 12 4 7) 0

11k k

P: 2x y z + 8 +5/11 ( x + 6y 2z 7) =0

: 27 19 21 53 0P x y z

30

3. Hallar el punto de interseccin de la recta 2 4

:3 1 2

x y zL

y el plano

: 2 3 11 0P x y z

SOLUCIN:

Escribiendo la recta L en forma vectorial. ( 2,0,4) (3, 1,2) /L t t R

como L//P p tal que p . Si p entonces p

como entonces p(-2+3t,-t,4+2t) para algun .

ademas 2( 2 3 ) 3( ) (4 2 ) 11 0 3

Luego: p(-11,3,-2)

L P L P L p P

p P t R

p P t t t t

4. Demostrar que la recta ( 2,1, 5) (3, 4,4) /L t t R es paralelo al plano

: 4 3 6 5 0P x y z

SOLUCIN:

Para demostrar que la recta L es paralela al plano P debe cumplirse que el vector

direccin a de la recta es perpendicular al vector normal N del plano. Es decir:

Luego como a.N= 0 entonces a N. Por lo tanto la recta L es paralela al plano P.

5. Encontrar una ecuacin del plano que pasa por los puntos de A(1,0,-1) y B(2,1,3) y

que adems es perpendicular al plano 02/),,( 31 zyxRzyxP

SOLUCIN:

31

entonces , )4,1,1(BA, :que tienese ademas P, //PcomP 1121 NABNcomoABPN

N 1 1 4 5(1, 1,0)

1 1 -1

i j k

de donde tenemos que: N= 5(1, 1,0)

0 0 0Luego P: N.(( , , ) ( , , )) 0 de donde P: x-y=1x y z x y z

6. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la interseccin de los planos 2x y +3z = 2

y 4x+ 3y z = 1y es perpendicular al plano 3x 4y 2z = 9

SOLUCIN:

Sea P la familia de planos que pasan por la interseccin de los planos

2x y +3z = 2 y 4x+ 3y z = 1

P: 2x y +3z 2 + (4x + 3y z -1) = 0

P: (4 + 2)x + (3 1)y + (3 )z 2 = 0, donde su normal es:

N (4 2.3 1.3 ) y sea P: 3x-4y-2z=9 cuya normal es:

N (3, 4, 2) como P N N N .N 0P

(3,-4,-2).(4 + 2,3 1.3) = =, de donde 12 + 6 - 12 + 4 6 + 2 = 0 entonces = -2

P : 6 7 -5 0x y z

7. Hallar el ngulo que forma la recta con el plano

SOLUCIN:

Sea =(L,P) donde (1,1,2) vector direccion de la recta (2, 1,1)a N el vector

normal del plano P. Ahora aplicamos la relacin para calcular el ngulo .

32

. (1,1,2).(2, 1,1) 2 1 2 1sen =

6 26 6

1de donde: sen = entonces =60

2

a N

a N

8. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p0(3,1,-2) y hace ngulos iguales

con las rectas 1 2 3(1,4,2) (1,1,1) / : , :L t t R L ejeOX L ejeOY

SOLUCIN:

El plano pedido es: P: 0.( ) 0N p p

, de donde ( , , )N A B C y p0(3,1,-2) el punto por

donde pasa el plano.

La condicin del problema es:

1 2 3 1 2( , ) ( , ) ( , ), donde para ( , ) ( , ), se tiene:L P L P L P L P L P

2 3

. .sen = , donde (1,1,1), (1,0,0), ( , , )

efectuando operaciones se tiene que: ( 3 1) 0 .....(1)

para ( , ) ( , ), se tiene:

. .sen = , donde (1,0,0), (0,1,1

N a N ba b N A B C

N a N b

A B C

L P L P

N b N cb c

N b N c

), ( , , )

efectuando operaciones se tiene: A=B .....(2)

N A B C

ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: ( 3 2)C B

como ( , , ) ( , , ( 3 2) ) (1,1, 3 2) B 0N A B C B B B B

Por lo tanto P: (1,1, 3 2) .(x-3,y-1,z+2) = 0

P:x+y+( 3 2) 2 3 8 0z

33

9. Sea ( , , ) y ( , , )a b c N A B C vectores no nulos de R3 tal que N si p0(x0, y0,

z0) es un punto del plano = Ax + By + Cz + D = 0. Demostrar que

0 /L p t t R esta contenida en .

SOLUCIN:

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

como . 0 0 ademas

/ ( , , ) ( , , ) / por demostrar que

L : 0

Sea p L p( , , )

como ( ) ( ) ( ) 0

N N Aa Bb Cc

L p t t R x y z t a b c t R

Ax By Cz d

x ta y tb z tc

p A x ta B y tb C z tc D

0 0 0

0

( ) 0Ax By Cz D t Aa Bb Cc

0= 0 + t( ) 0 0, entonces luego LAa Bb Cc t p

10. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto A83,4,1) y es ortogonal a los

planos P1: x-y = 4, P2: x+y = 6

SOLUCIN:

1 21

22

1 2

1 2

Sea P : 4 de donde (1, 1,0) (1, 1,0) :

P : 6 de donde (1,0,1)

P: .( ) 0 es el plano pedido como P P ,P

entonces , // de donde la normal de P es:

x y N N

x y N

N p A

N N P N

1 2

1 -1 0 ( 1, 1,1)

1 0 1

i j k

N N N

como P: .( ) 0N p A , al reemplazar se tiene. P: (-1,-1,1).(x-3,y-4,z-1) = 0

: 6P x y z

34

11. Si P es un plano tal que:

P eje x = (a,0,0)/a 0,a R , P eje y = (0,b,0)/b 0,a R . Demostrar que P

tiene la ecuacin: P: 1

x y z

a b c

SOLUCION:

Sea a AB ( , ,0)

b = AC = - ( ,0, )

N = a b = -a b 0 =(bc,ac,ab)

-a 0 c

B A a b

C A a c

i j k

La ecuacion del plano es: P: N.(p - A) = 0, reemplazando se tiene:

P: (bc,ac,ab).(x-a,y,z) = 0 P: bcx +acy + abz = abc

P: 1 x y z

a b c

12. Si A,B,C y D son todos no nulos. Demustrese que el tetraedro formado por los

planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen igual a

31

6

DV

ABC

SOLUCION:

Sean P, Q, R, los puntos de interseccin del plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejes

coordinados respectivamente, es decir: ( ,0,0), Q(0,- ,0) y R(0,0, )

B

D D DP

A C

El volumen del tetraedro OPQRS es:

1 de donde se tiene:

6

= ( ,0,0), = (0,- ,0) y (0,0, )B

V OPOQOR

D D DOP OQ OR

A C

3 3 3

0 0

1 D 1 1 1 0 - =

6 B 6 6 6

D 0 0 -

C

D

A

D D DV V

ABC ABC ABC

35

13. Un plano pasa por el punto A(3,1,-1), es perpendicular al plano 2x 2y + z = -4, y

un intercepto Z es igual a -3, hallase su ecuacin.

SOLUCION:

Sea P1: 2x 2y + z = -4, de donde 1(2, 2,1)N y P el plano por calcular. Luego como

1 1 //P P N P y como intercepto Z con P es -3 entonces B(0,0,3) es un punto del

plano P y adems

1, // de donde ( 3, 1, 2) como , // entonces la normal es dado porA B P AB P AB N AB P N

1

N 2 -2 3 ( 11,10,14)

2 5 -2

i j k

N AB

: N.( 3, 1, 1) 0, de donde P: ( 5, 1,8).( 3, 1, 1) 0, por lo tanto:P x y z x y z

P: 5x + y - 8z - 24 = 0

14. Hallar la ecuacin de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen

y tiene una normal que hace ngulos de 60 con los semi ejes positivos OX y OY.

SOLUCION:

Sea P el plano buscado, cuya normal es cos ,cos ,cosN

2 2 2 2como = =60 cos cos cos 1 cos =2

1 1 2 1( , , ) (1,1, 2) 2 2 2 2

N

La ecuacin del plano es: P: x + y 2z + D = 0

1

2

0 0 0como (0, ) 2 =2 de donde D =4 D = 4 D = -4

1 1 2

Si D = 4 entonces P : x + y 2z + 4 = 0

D =-4 entonces P : x + y 2z - 4 = 0

Dd P

36

15. Hallar la ecuacin del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto

(2,2,2) y que haga un ngulo de 60 con el plano 3 2 3 2 0x y z

SOLUCION:

La ecuacin del plano pedido es d la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es

perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La normal del plano P es:

N ( , , )A B O

1 1

11

1

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

Si P : 3 2 3 2 0, de donde N ( 3,2, 3)

N .NEl angulo formado por P y P es =60 que es dado por: cos =

N N

3 2 1 3 2cos 60 de donde 2 3 2

24 4

4( ) 3 4 4 3 4 3

x y z

A B A BA B A B

A B A B

A B A B AB A B

...(1)

como (2,2,2) P 2A+2B+D = 0 ...(2)

de (1) y (2) se tiene D = (8 3 2) ...(3)

reemplazando (

B

1) y (3) en P: Ax + By + D = 0

P: 4 3 x + By - (8 3 2) 0, 0 : 4 3x + y - 8 3 2 0B B B P

16. La recta 1 (5 , ,0) /L t t t R se refleja en el plano : 2x y z . Hallar la

ecuacin de la recta reflejada

SOLUCION

2 1 2 1 2

2 1 2

2

2 1 1

3

Se observa que p p p

Si p p (5 , ,0) para algun

adems p : 2(5 ) 0 1 0 3

de donde p (2,3,0) tambin p (5,0,0)

como : 2 1 0,de donde (2, 1,1)

entonces //

L L

L t t t R

t t t

L

x y z N

N N L

3

3 3

(5,0,0) (2, 1,1) /L R

A L A L A

37

3

1 1 1 1

1 2 1 2 2

5 2 , , para algn , adems A entonces

32(5 2 ) 1 0 entonces , de donde:

2

3 3 3 3 3 3(2, , ) (2, , ) 2 2(3, , ) (6, 3,3)

2 2 2 2 2 2

( 3,3,0)

A L A R

A AP Bp p B Ap

p p p p Bp p

2 2 2(3,0,3) como // y B Bp L p L

entonces (2,3,0) (3,0,3) /L r r R

17. Dado el plano 4 5

: 2 3 8 y la recta : , 1.4 3

x zP x y z L y

Hallar la

ecuacin de la recta que pasa por el punto (0, 2, -1) paralela al plano dado y corta la

recta L.

A la ecuacin de la recta 4 5

: , 1,4 3

x zL y

escribiremos en forma vectorial

( 4, 4,5) (4,0,3) / .L t t R

Sea L1 la recta por determinara, es decir: 1 (0,2, 1) ( , , ) /L r a b c r R como

1 1 1 corta a L L p L L p L p L

1Si ( ,2 , 1 ) ( 4 4 , 1,5 3 )

de donde por igualdad ( ,2 , 1 ) ( 4 4 , 1,5 3 ) entonces.

p L p ra rb rc p L p t t

ra rb rc t t

4 4

4 43

1 2 ...(1)

5 3 16 3

ta

rt ra

rb br

b rct

cr

1como : 2 3 8 de donde (1, 2,3) como // entonces

donde ( , , ) Si . 0 0 2 3 0 ...(2)

4 - 4 6 18 9reemplazando (1) en (2) se tiene. 0 4

12 3de donde: , ,

P x y z N L P

a N a a b c a N a N a b c

t tt

r r r

a b cr r

6 3

como ( , , ) (4, 1, 2)a a b cr r

1 (0,2, 1) (4, 1, 2) /L R

38

18. El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y mayor en

dos unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano y los tres planos

coordenados es 15u3, hallar la ecuacin del plano.

SOLUCION:

Los puntos por donde pasa el plano son: (0,0,a), (0,a-1,0),(a-3,0,0) y la ecuacin del

plano es:

: .( , , ) donde ( , , )

(0,0, ) ( , , ).(0,0, )

(0, 1,0) ( , , ).(0, 1,0)

( 1) ( 3,0,0)

N x y z d N A B C

a A B C a d aC d

a A B C a d

B a d a

33

3

( , , ).(3 ,0,0) ( 3) . de donde

1, , adems se tiene que: donde 15

3 1 6

115 ( 3)( 1) 90 6 de donde , ,

6 3 5 6. .

3 1

1 1 1como : .( , , ) : ( ).( , ,

3 5 6

A B C a d A a d

d d d dA B C V V u

a a a ABC

d d d dV a a a a A B C

d d d

a a a

N x y z d d x y z

) d

: 13 5 6

x y z

19. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la recta

3x = 2y = z y paralela al plano x + y z = 0

1

1

1

Sean : (1, 1,1) ( , , ) / la recta buscada : 3 2

1 1entonces: ( , ,1)

1 1 1 3 23 2

1 1( , , )( , ,1) 0 2 3 6 0 ...(1)

3 2

como el plano P: 0, de donde (1,1, 1) p

L a b c R L x y z

x y zL b

L L a b c a b c

x y z N

or ser // ( , , ) 0

(1,1, 1).( , , ) 0 entonces 0 ...(2)

2 3 0 9ahora resolvemos el siguiente sistema:

0 8

P L N a b c

a b c a b c

a b a c

a b c b c

39

( , , ) (9 , 8 , ) (9, 8,1) por lo tanto (1, 1,1) (9, 8,1) /a b c c c c c L R

lo que es igual a expresar de la forma: 1 1 1

:9 8 1

x y zL

20. Sean 1 2:3 1 y 3 1,x y z x y z dos planos. Hallar las ecuaciones

paramtricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q(1,1,1) sobre cada

plano.

Del grafico se observa que la recta l pasa por los puntos Ay B que son las proyecciones

del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los puntos A y B

Para el punto A trazamos la recta L1, es decir: 1 (1,1,1) (3,1, 1) /L t t R

1 1 1 1 1

1

2

2

como A L entonces A L A . Si A (1 3 ,1 ,1 )

2para algn , demas A 3(1 3 ) 1 1 1 ,

11

5 9 13de donde el punto A( , , ). Para el punto B trazamos la recta L , es

11 11 11

decir: (1,1

L A t t t

t R t t t t

L

2 2 2 2

2

2

,1) (1, 1,3) / como B L B L B

B L (1 ,1 ,1 3 ) para algn

2adems B 1 1 3(1 3 ) 1

11

9 13 5de donde el punto B( , , )

11 11 11

4 (1,1, 2) por lo tanto la recta L

11

t t R

Si B t t t t R

t t t t

Sea a AB B A

pedida es:

5 9 13( , , ) (1,1, 2) / cuyas ecuaciones paramtricas son:11 11 11

L R

5

11

9: ,

11

132

11

x

L y R

z

40

SUPERFICIES CUDRATICAS

1. INTRODUCCION

Superficies la ecuacin E(x,y) = 0 nos representa un lugar geomtrico en el plano

XY, la ecuacin E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuacin

rectangular en tres variables representaremos por:

Tambin se conoce que todo plano se representa analticamente por una nica

ecuacin lineal de la forma:

De una manera ms general, veremos se existe una representacin analtica de una

figura geomtrica, al cual denominaremos superficie, tal representacin consistir de

una nica ecuacin rectangular de la forma:

Por Ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la

superficie esfrica de radio r con centro en el origen se representa analticamente por

la ecuacin:

2. DEFINICIN 1. Definir una superficie, consiste en, caracterizarla por medio de una propiedad

comn a todos sus puntos. ( es decir expresarlo como un lugar geomtrico) o por su

ley de generacin.

Las superficies as definidas solo son estudiadas va analtica, expresadas por la

ecuacin: z f x y , o F x,y,z 0 a la cual satisfacen las coordenadas de cada punto punto situado en esta superficie y no satisfacen las coordenadas de

ningn otro punto situado fuera de ella a esta ecuacin se denomina ECUACION

DE UNA SUPERFICIE, la naturaleza de esta ecuacin depende de la forma y

posicin de la superficie as como del sistema en el que se trabaja. En conclusin

una superficie se representa por una sola ecuacin de tres variables. A continuacin

presentamos algunas definiciones de Superficie:

DEFINICIN: 2.- Supongamos un punto X cuyas coordenadas x , y , z sean

funciones de dos parmetros u , v :

x x u v y y u v z z u v , , , , , (ecuaciones paramtricas de Superficie) Representando por la misma letra X al vector OX cuyas componentes son las

coordenadas x , y , z , las tres ecuaciones paramtricas se pueden condensar en una

ecuacin vectorial nica:

X X u v x u v i y u v j z u v k , , , ,

(ecuacin vectorial de Superficie)

, , 0P x y z

: 0P Ax By Cz D

( , , ) 0 (1)F x y z

2 2 2 2x y z r

41

DEFINICIN: 3.- Sea A n un espacio afn de dimensin n; tomamos un origen O y

la estructura vectorial V correspondiente. Se llama cudrica al conjunto de puntos x An tales que:

X X k 2 0 donde es una forma cuadrtica no nula de V , una

forma lineal y k K siempre que

La ecuacin F(x,y,z) = 0 contiene tres variables, sin embargo la ecuacin de una

superficie pueden contener solamente una o dos variables.

Por ejemplo la ecuacin x = k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.

De igual manera la ecuacin x

2 +y

2 = 4 considerada en el espacio representa un

cilindro circular recto.

Toda ecuacin de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una

superficie, por ejemplo la ecuacin x2 +y

2+z

2+9 = 0, no representa ningn lugar

geomtrico, adems la ecuacin x2+y

2+z

2 = 0 tiene una sola solucin real que es:

x = y = z = 0, cuyo lugar geomtrico esta constituido por un solo punto, el origen.

3. SUPERFICIES CUADRTICAS

LUGARES GEOMTRICOS EN EL ESPACIO.-

El estudio de un lugar geomtrico en el espacio corresponde, al igual que en el

plano de dos fases distintas:

i ) Mediante la definicin del lugar geomtrico el cual se deduce de sus ecuaciones o

ecuacin.

ii ) Por el estudio de las propiedades algebraicas de stas no solo la forma del lugar

geomtricos, sino tambin sus propiedades geomtricas.

El estudio de la geometra espacial de acuerdo al ltimo anlisis se reduce al

estudio de una superficie; lo que podemos expresarlo de la siguiente manera:

a ) Dada una superficie definida geomtricamente; determinar su ecuacin.

b ) Dada una ecuacin, determinar la superficie que representa.

PRIMER PROBLEMA FUNDAMENTAL

Este problema podemos resolverlo de la misma manera que en plano, por dos

mtodos: el directo y el indirecto.

42

LUGAR GEOMTRICO:

Lamamos un lugar geomtrico al conjunto de puntos del espacio que gozan de

una misma propiedad expresada por la definicin del lugar. Para demostrar que un lugar

geomtrico es una lnea alabeada o superficie hay que probar:

1 Que todo punto del espacio que goza de la propiedad del lugar est sobre la lnea o

superficie.

2 Recprocamente, todo punto situado sobre la lnea o superficie considerada goza de

la propiedad del lugar.

La ecuacin o ecuaciones existentes entre las coordenadas de los puntos de la

lnea o superficie en cuestin se llaman la ecuacin o ecuaciones del lugar. Para obtener

un lugar pueden aplicarse dos mtodos generales: el directo y el indirecto.

El mtodo directo, cuando puede aplicarse, basta representar por variables x , y,

z las coordenadas de un punto del lugar y traducir en seguida en forma algebraica, por

medio de una o dos ecuaciones, la propiedad de que gozan todos los puntos del lugar.

El mtodo indirecto ( o de los parmetros ), que el ms generalmente

empleado, se consideran las superficies como lugares de lneas o generatrices obtenidas

por interseccin de dos superficies variables que dependen de uno o ms parmetros y

que se mueven con arreglo a leyes determinadas que condicionan estos parmetros

cuando hay ms de uno.

Ejemplos:

1.- Determinar la ecuacin del lugar geomtrico de los planos cuya distancia al

origen es igual al cudruple de las abscisas respectivas.

Solucin

Usando el mtodo directo:

Sea P x y z, , un punto que satisface las condiciones dadas: OP x4

Pero: OP x y z 2 2 2 luego se tiene: 4 2 2 2x x y z

de donde: 15 02 2 2x y z ecuacin del lugar geomtrico

correspondiente.

2.- Determinar la ecuacin de la superficie generada por la familia de curvas:

x y k z y k x 2 0 2, , siendo k un parmetro variable.

Solucin

Usando el mtodo indirecto:

de: x y k z kx y

z

2 0

2 en

y k x

x y x

z2

2

y z x x y2 2 2 0 es la ecuacin de la superficie pedida.

3.- Determinar la ecuacin de la superficie generada por la recta que pasa por el

punto P 3 0 0, , y se apoya en la circunferencia de ecuacin: y z

x

2 2 1

0

Solucin

Usando el mtodo indirecto:

43

Como la directriz es una lnea recta P x y z D1 1 1 1, , la ecuacin de

la generatriz G es: x

x

y

y

z

z

3

31 1 1 . Adems

P D x z x1 12

1

2

11 0 ; ... (1)

x y

yy

y

x

3

3

3

31luego 1 ............................................................(2)

x z

zz

z

x

3

3

3

311 luego .........................................................(3)

Ahora (3) y (2) en (1) obtenemos: 9 9 3 02 22

y z x

SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL:

La determinacin de la superficie representativa de una ecuacin dada se procesa

mediante el estudio sistemtico de la misma, al cual se denomina: DISCUSIN DE LA

ECUACIN.

Para la discusin, caracterizacin y construccin de la superficie representativa

de una ecuacin, de manera anloga a como se hace en geometra plana se adoptar el

siguiente procedimiento para construir la grfica de una superficie consideremos la

siguiente discusin, mediante los pasos siguientes: 1) Interseccin con los ejes coordenados. 2) Trazas sobre los planos coordenados. 3) Simetras con respecto a los planos coordenados, ejes coordinados y el origen. 4) Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados. 5) Extensin de la superficie. 6) Construccin de la superficie.

Consideremos la ecuacin de una superficie.

Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construccin de la grfica de

dicha superficie.

1. Determinacin de las intersecciones con los ejes coordenados: Para obtener la interseccin de una superficie con determinado eje se anulan, en la

ecuacin de la superficie, las variables, las variables no correspondientes al eje

considerado, obteniendo as, la coordenada del mismo nombre de su eje:

x F x y z

y F x y z

z F x y z

: , ,

: , ,

: , ,

en hacer z = y = 0

en hacer x = z = 0

en hacer x = y = 0

0

0

0

Si en F x y z, , 0 se verifica x y z 0 , la superficie pasa por el origen. Esto sucede cuando no contiene trminos independientes.

( , , ) 0F x y z

44

2. Determinacin de las trazas sobre los planos coordenados:

La traza de la superficie F x y z, , 0 sobre el plano XY , por ejemplo en la interseccin con el plano: Z = 0 .

Haciendo, Z = 0 en F x y z, , 0 se obtendr f x y, 0 ; que define en el plano XY, una curva que es la traza buscada.

Podemos concluir que, para obtener la ecuacin de la traza de una superficie con uno

de los planos coordenados, bastar anular en la ecuacin de la superficie

F x y z, , 0 la variable no correspondiente a los ejes del plano coordenado considerado. Esto es:

i ) Traza sobre el plano XY :

en F x y z, , 0 , hacer Z = 0 , y se obtiene: f x y

z

,

0

0

ii ) Traza sobre el plano XZ :

en F x y z, , 0 , hacer Y = 0 , y se obtiene: f x z

y

,

0

0

iii ) i ) Traza sobre el plano YZ :

en F x y z, , 0 , hacer X = 0 , y se obtiene: f y z

x

,

0

0

Las trazas de una superficie sobre los planos coordenados se denominan:

TRAZAS PRINCIPALES.

3.- SIMETRA

La simetra de una Superficie se considera en relacin a los planos coordenados, a

los ejes coordenados y al origen.

i ) Simetra en relacin a los planos coordenados:

Si la ecuacin de una superficie algebraica slo tiene potencias pares de una de las

variables, esa superficie es simtrica en relacin al plano correspondiente a las

otras dos variables. Esto es con respecto a los planos:

XY debe cumplirse; F x y z F x y z, , , , XZ debe cumplirse; F x y z F x y z, , , , YZ debe cumplirse; F x y z F x y z, , , ,

ii ) Simetra en relacin con los ejes coordenados:

Si la ecuacin de una superficie algebraica contiene potencias pares de dos

variables e impares de la tercera variable, esa superficie es simtrica en relacin a

los ejes correspondiente a la tercera variables. Esto es con respecto a los ejes:

X debe cumplirse : F x y z F x y z, , , , Y debe cumplirse : F x y z F x y z, , , , Z debe cumplirse : F x y z F x y z, , , ,

iii ) Simetra en el origen:

Una superficie es simtrica en relacin al origen cuando su ecuacin algebraica

solo contiene trminos de grado par y de grado impar en relacin a las variables.

En la primera hiptesis la superficie es simtrica en relacin a los ejes

coordenados, a los planos coordenados y al origen, en la segunda, solo al origen.

45

4.- Seccin y extensin:

Las secciones planas se pueden obtener cortando la superficie por una serie de

planos paralelos a los planos coordenados; por ejemplo los planos paralelos al

plano XY, se obtienen de la ecuacin Z = k ; k es una constante arbitraria.

Si

F x y zF x y k

z k, ,

, ,

0

0 .................................. ( * )

( * ) representa las ecuaciones de la curva de interseccin del plano con las

superficies, donde a cada valor de k le corresponde una curva.

El campo de variacin de k en (*) representa una curva real y define la extensin

de la superficie en relacin a los ejes coordenados, Sea aclara este asunto con el

siguiente ejemplo:

Ejemplo: 1.- Discutir la siguiente ecuacin : x y z2 2 4 ; Grafique.

Solucin

1 ) Intersecciones con los ejes: con F x y z x y z, , : 2 2 4 0

x F x y z

y F x y z

z F x y z

: , ,

: , ,

: , ,

en hacer z = y = 0 x = z

en hacer x = z = 0 y = z

en hacer x = y = 0 z = -4

0

0

0

2 ) Trazas: i ) Traza sobre el plano XY :

en F x y z, , 0 , hacer Z = 0 , y se obtiene: x y

z

2 2 4

0

Circunferencia

de: r = 2

ii ) Traza sobre el plano XZ :

en 0,, zyxF , hacer Y = 0 , y se obtiene: x z

y

2 4

0 Parbola V(0,-4) = (x ,z)

iii ) Traza sobre el plano YZ :

en F x y z, , 0 , hacer X = 0 , y se obtiene: y z

x

2 4

0 Parbola

de vrtice V(0,-4) = (y ,z)

3 ) Simetra:

La superficie es simtrica en relacin a los planos ( XZ ) y ( YZ ) y en relacin

al eje Z

4 ) Seccin y extensin: Para Z = k ; se tiene: x y k2 2 4 ( crculos de radio

crecientes para k 0 y decrecientes para - 4 k 0 ).

Si k = - 4 su radio es igual cero; las secciones paralelos al plano XY son

imaginarios para k - 4 ; la superficie no existe abajo del plano Z = - 4.

- Para y = k se tiene : x z k22

4 son parbolas de vrtices

v x z k, , 0 4 2 k R . Las parbolas son reales, luego la superficie se extiende indefinidamente

a lo largo del eje X.

5 ) Esbozo de la imagen geomtrica. GRAFICA : Con los elementos proporcionados

por la discusin anterior, se puede hacer un esbozo de la superficie:

46

Seccion : Y Z

Seccion : X Z

Seccion : X Y

EJE Z

EJE Y

EJE X

Llamaremos superficies cuadrticas a toda ecuacin de segundo grado en las

variables x,y,z que tiene la forma: 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L donde A, B, C, D, E, F,

G, H, K son constantes , y por lo menos una es diferente de cero.

Ejemplo 2.- Discutir y hacer la grfica de la superficie cuya ecuacin es 2 2 2 1x y z

Solucin

A) Intersecciones con los ejes coordenados.

a. Con el eje X, se hace y = z= 0, de donde 2 1x entonces 1x , de donde los puntos

son: (1,0,0) , (-1,0,0)

b. Con el eje Y, se hace x = z= 0, de donde 2 1y entonces 1y , de donde los puntos

son: (0,1,0) , (0,-1,0)

c. Con el eje Z, se hace x = y= 0, de donde 2 1z entonces no existe interseccin con el eje Z

B) Las trazas sobre los planos coordenados.

a. La traza con el plano XY: se hace z = 0; 2 2 1x y es una circunferencia

b. La traza con el plano XZ: se hace y = 0; 2 2 1x z es una hiprbola

c. La traza con el plano YZ: se hace x = 0; 2 2 1y z es una hiprbola

C) Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

La superficie es simtrica al origen, a los ejes

coordenados y a los planos coordenados, puesto que

la ecuacin no cambia al aplicar el criterio

establecido.

D) Las secciones transversales o paralelas a los planos coordenados:

Consideramos las secciones paralelas al plano XY;

sea z = k entonces 2 2 21x y k es una familia

de circunferencias.

E) Extensin: 2 2 1z x y , 2 2 1x y

47

4. DISCUCIN DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRTICAS

Una superficie muy comn es la dada por una ecuacin de la forma

0222 GzFyExDzCyBxA

que denominamos superficie cudratica o simplemente cudrica. Veremos la

discusin de las cudricas de aquellas cuyo centro est en el origen de

coordenadas y cuyos ejes siguen la direccin de los ejes coordenados. Las

seis cudricas fundamentales son:

i) Elipsoide

ii) Hiperboloide de una hoja

iii) Hiperboloide de dos hojas

iv) Paraboloide Elptico

v) Paraboloide Hiperblico

vi) Cono

La manera ms sencilla de representar el grfico de una cudrica es

hallar sus intersecciones con los ejes y determinar las secciones producidas

por cada uno de los planos coordenados o planos paralelos a los coordenados

1) ELIPSOIDE.- Es el lugar de todos los puntos p(x,y,z) de 3R que

satisfacen a la ecuacin de la forma: 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c ,

0a , 0b , 0c , a b , a c b c .

Graficando el elipsoide se tiene:

a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0,y z x a , 1 2,0,0 , ,0,0A a A a

- Con el eje Y, se hace 0,x z y b , 1 20, ,0 , 0, ,0B b B b

- Con el eje X, se hace 0,x y z c , 1 20,0, , 0,0,C c C c b) Las Trazas sobre los planos coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0 2 2

2 21

x y

a b , es una elipse en el plano XY

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2 2

2 21

x z

a c , es una elipse en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2 2

2 21

y z

b c , es una elipse en el plano YZ

c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.

Sea 2 2 2

2 2 2: 1

x y zE

a b c , entonces

- Con respecto al origen ; s , , , ,a b c x y z

- Con respecto al eje X ; s , , , ,a b c x y z

- Con respecto al eje Y ; s , , , ,a b c x y z

- Con respecto al eje Z ; s , , , ,a b c x y z

- Con respecto al plano XY ; s , , , ,a b c x y z

48

- Con respecto al plano XZ ; s , , , ,a b c x y z

- Con respecto al plano YZ ; s , , , ,a b c x y z d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.

Los planos z = k, corta la superficie en la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c , que es una familia

de elipses donde c k c .

e) Extensin de la superficie de 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c se tiene

2 2

2 2| | 1

x yz c

a b

de donde 2 2

2 21

x y

a b

2) Esfera.- La superficie es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z)

en el espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia

constante se llama radio y el punto fijo centro.

Si la ecuacin del elipsoide 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c se tiene a = b = c 0, el

elipsoide se transforma en 2 2 2 2x y z R , que es la ecuacin de la esfera

de radio R y centro en el origen de las coordenadas.

Graficando la esfera se tiene:

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

- Con el eje X, se hace, 0y z , x R , 1 ,0,0A R , 2 ,0,0A R

- Con el eje Y, se hace, 0x z , y R , 1 0, ,0B R , 2 0, ,0B R

- Con el eje Z, se hace, 0x y , z R , 1 0,0,C R , 2 0,0,C R b) Las trazas sobre los planos coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0. 2 2 2x y R , es una circunferencia del plano XY

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2 2 2x z R , es una circunferencia en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2 2 2y z R , es una circunferencia en el plano YZ

c) Simtricas respecto al origen, ejes y planos coordenados.

La ecuacin de la esfera 2 2 2 2x y z R es simtrica respecto al origen, a los ejes

y planos coordenados.

d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.

49

Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir,

Z = K se tiene 2 2 2 2x y R k , R k R , que es una familia de

circunferencia.

TEOREMA.- La ecuacin de la superficie esfrica con centro en el punto

c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es: 2 2 2 2x h y k z l R

Demostracin

Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera,

luego por definicin de esfera se tiene:

3, , / ( , )E P x y z R d p c R

2 2 2( ) ( )x h y k z l R de donde:

2 2 2 2x h y k z l R

OBSERVACIN.- La ecuacin 2 2 2 2x h y k z l R se

conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin

de la esfera, si desarrollamos la ecuacin de la esfera se tiene: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 0x y z hx ky lz h k l R , de donde se tiene:

3)

PARABOLOIDE ELPTICO.- Es el lugar geomtrico de todos los

puntos p(x,y,z) de R3 que satisfacen la

ecuacin de la forma 2 2

2 2

x yz

a b , de donde 0, 0,a b a b

Graficando el paraboloide elptico tenemos:

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

- Con el eje X, se hace, 0y z , 0x , (0,0,0)A

- Con el eje Y, se hace, 0x z , 0y , (0,0,0)B

- Con el eje Z, se hace, 0x y , 0z , (0,0,0)C

b) Las trazas sobre los planos coordenados - La traza sobre el plano XY, se hace z = 0

2 2

2 20

x y

a b que representa un punto

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2

2

xz

a que representa a una parbola en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2

2

yz

b que representa a una parbola en el plano YZ

c) Simetras respecto al origen, ejes y planos coordenados.

- Con respecto al origen puesto que , ,x y z P

2 2 2 0x y z Ax By Cz D

50

- Con respecto al eje X, puesto que , ,x y z P

- Con respecto al eje Y, puesto que , ,x y z P

- Con respecto al eje Z, puesto que , ,x y z P

- Con respecto al plano XY, puesto que , ,x y z P

- Con respecto al plano XZ, puesto que , ,x y z P

- Con respecto al plano YZ, puesto que , ,x y z P d) Secciones paralelas a los planos coordenados.

Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene z = k

que corta en la superficie en la curva

2 2

2 2

x yk

a b que es de la familia de elipses

e) Extensiones de la superficie: 2 2

2 2

x yz

a b es definido 2( , )x y R

OTRAS VARIANTES

4) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA.- Es el lugar geomtrico de todos

los puntos P(x,y,z) de R3 que

satisfacen a la ecuacin 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c , donde 0a , 0b , 0c .

Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene.

a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z , x a , 1 ,0,0A a 2 ,0,0A a

- Con el eje Y, se hace 0x z , y b , 1 20, ,0 , 0, ,0B b B b

- Con el eje Z, se hace 0x y , 2 2z c ,

51

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde

2 2

2 21

x y

a b , es elipse

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde

2 2

2 21

x z

a c , es hiprbola

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde

2 2

2 21

y z

b c , es hiprbola

c) Simetras - Con respecto al origen es simtrica.

- Con respecto a los ejes coordenados es simtrica

- Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenados Los planos z = k corta a la superficie en la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c , que es una familia

de elipses y los planos y = k corta a

la superficie en la curva 2 2 2 2 2

2 2 2 21

x z k b k

a c c b

,

b k b , que es una familia de hiprbola.

OTRAS VARIANTES

5) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS.- Es el lugar geomtrico de

todos los puntos P

(x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c , donde a 0, b

0, c 0.

Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:

a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z , x a , 1 ,0,0A a 2 ,0,0A a

- Con el eje Y, se hace 0x z , 2 ,y b

- Con el eje Z, se hace 0x y , 2 ,z c

52

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde

2 2

2 21

x y

a b , es hiprbola

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde

2 2

2 21

x z

a c , es hiprbola

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde

2 2

2 21,

y z

b c

c) Simetras - Con respecto al origen existe simetra.

- Con respecto a los ejes coordenados, existe simetra

- Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenados

Los planos z = k, corta a la superficie, dando la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c que es una

familia de hiprbolas.

Los planos y = k, corta a la superficie, dando la curva

2 2 2

2 2 21

x z k

a c c que es una

familia de hiprbolas.

Los planos x = k, corta la superficie dando la curva

2 2 2 2

2 2 2

y z k a

b c a

donde K > a

k < -a, que es una familia de elipses.

53

OTRAS VARIANTES

6) HIPERBOLOIDE PARABOLICO.- Es el lugar geomtrico de todos los

puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:

2 2

2 2

y x z

b a c , donde a y b

son positivos y c 0.

Graficando el hiperboloide parablico para el caso c > 0.

a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z , 0 0,0,0x A

- Con el eje Y, se hace 0x z , 0, B(0,0,0)y

- Con el eje Z, se hace 0x y , 0, C(0,0,0)z

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; , b b

y x y xa a

, rectas.

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0;

22

2

cz x

a , parbola.

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0;

22

2

cz y

b , parbola.

c) Simetras

- Con respecto al origen

- Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z en los dems eje

- Con respecto a los planos coordenados , ,xy xz yzP P P

d) Secciones paralelas a los planos coordenados

- Al plano XY, se hace z = k;

2 2

2 2

y x k

b a c , familia de hiprbolas.

- Al plano XZ, se hace y = k;

2 2

2 2

x z k

a c b , familia de parbola.

54

- Al plano YZ, se hace x = k;

2 2

2 2

y z k

b c a , familia de parbola.

OTRAS VARIANTES

7) EL CONO ELPTICO O CIRCULAR.- Es el lugar geomtrico de todos

los puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen

la ecuacin: 2 2 2

2 2 2

x y z

a b c , a 0, b 0, c 0.

Graficando el cono elptico.

a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z , 0 0,0,0x A

- Con el eje Y, se hace 0x z , 0, B(0,0,0)y

- Con el eje Z, se hace 0x y , 0, C(0,0,0)z

b) Las trazas sobre los ejes coordenados. - La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; x = y = 0 p(0,0,0).

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; a

x zc

dos rectas.

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; b

y zc

dos rectas.

55

c) Simetras - Con respecto al origen existe.

- Con respecto a los ejes coordenados, existe

- Con respecto a los planos coordenados existe

d) Secciones paralelas a los planos coordenados

- Al plano XY, se hace z = k;

2 2 2

2 2 2

x y k

a b c , familia de elipses.

- Al plano XZ, se hace y = k;

2 2 2

2 2 2

z x k

c a b , familia de hiprbolas.

Al plano YZ, se hace x = k;

2 2 2

2 2 2

z y k

c b a , familia de hiprbolas.

OTRAS VARIANTES

5. SUPERFICIES CILNDRICAS Llamaremos superficies cilndrica a la superficie que es generada por una recta que

se mueve a lo largo de una curva plana dad, de tal manera que siempre se mantenga

paralela a una recta fija dad que no est en el plano de dicha curva.

La recta mvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie

cilndrica.

Si la generatriz de una superficie cilndrica es perpendicular al plano de la directriz;

la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.

56

0 ' ':

x y y z zG

a b c

6. DETERMINACIN DE LA ECUACINDE UNA SUPERFICIE CILNDRICA

Consideramos la directriz en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos

el plano YZ, entonces la ecuacin de la directriz

es: F(y,z) 0

: 0

Dx

Si p(x, y, z) es un punto cualquiera de la

superficie, cuya generatriz tiene por nmeros

directores [a, b, c] y si p(0, y, z) es el punto de

interseccin de la directriz que pasa por el punto

p(x,y,z) entonces el punto p(0,y,z) satisface a la

ecuacin de la directriz

(1)

Y la ecuacin de la Generatriz es dado por:

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar x, y, z se tiene la ecuacin de la superficie

cilndrica.

7. SUPERFICIE CNICA Llamaremos superficie cnica a la superficie que es generada por una recta que se

mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por un punto

fijo que no est contenido en el plano de la curva fija dada.

La recta mvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se

llama vrtice de la superficie cnica.

El vrtice divide a la superficie cnica en dos porciones cada una de los cuales se

llama hoja o rama de la superficie cnica

F(y', z') 0:

' 0D

x

57

F(y', z') 0:

' 0D

x

0 0 0

0 0 0

:' ' '

x x y y z zG

x x y y z z

8. DETERMINACIN DE LA ECUACIN DE LA SUPERFICIE CNICA Consideremos la ecuacin de la directriz en uno

de los planos coordenados, por ejemplo en el

plano YZ, cuya ecuacin esF(y,z) 0

: 0

Dx

y el

vrtice 0 0 0( , , )V x y z .

Como P(x,y,z) pertenece a la directriz, por lo

tanto lo satisface, es decir:

... (1)

La ecuacin de la generatriz que pasa por V y p es dado por:

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parmetros x, y, z se obtiene la

ecuacin de la superficie cnica.

9. SUPERFICIES DE REVOLUCIN Llamaremos Superficie de revolucin a la superficie que es generada por la rotacin

de una curva plana de una recta fija contenida en el plano de esa curva.

La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolucin eje de la

superficie.

Por el punto p(x, y, z) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolucin, la

interseccin de la superficie con el plano es una circunferencia.

Si c es el punto de interseccin del plano con la recta L y Q es el punto de

interseccin con la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que es la ecuacin

de la superficie de revolucin.

Si la superficie de revolucin es obtenida por la rotacin de una curva que est en

uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su

ecuacin se determina mediante el siguiente cuadro:

58

Ecuacin de la Generatriz Eje de Revolucin Ecuacin de la superficie

z = f(y); x = 0 Eje Y 22 2 ( )x z f y

x = f(y); z = 0 Eje Y 22 2 ( )x z f y

z = f(x); y = 0 Eje X 22 2 ( )y z f y

y = f(x); z = 0 Eje X 22 2 ( )y z f y

y = f(z); x = 0 Eje Z 22 2 ( )x y f y

x = f(z); y = 0 Eje Z 22 2 ( )x y f y

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la superficie de revolucin engendrada al girar la

curva dada alrededor del eje sealado.

E : 2yx en el plano y z al rededor del eje y.

Solucin

Sabemos que: 2yx es una curva en el plano yx cuyas ecuaciones son:

0,0, zyxf ............................................(1) tambin que si una curva rota alrededor del eje y entonces la funcin

generatriz tiene la forma: 222 yfzx ....................(2) Adems SzyxP ,, y que el paralelo que pasa por P corta a la generatriz G en un punto del plano: x y es zyxP ,, y su centro es C que pertenece al eje x ( ver figura ) . Por ser radios del mismo paralelo se tiene que:

PCCP pero 22 zyCP por la ecuacin (2) y tambin

22 zyyyPC ................................................(3)

Adems PP estn en el mismo plano entonces:

xx .......................................................................(4)

Como GP (generatriz que tiene la forma de la ecuacin (1)

0;0, zyxf ................................. (5) Por eliminacin de parmetros zyx ,, entre la ecuaciones 1,2,3,4,5

Obtenemos: 0, 22

zyxf

Luego reemplazamos en la curva dada: 2yx se tiene:

2

22

22222

4

42

xzy

zyxzyx

El cual representa un cono

10. TRASLACIN DE EJES La Traslacin de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la

traslacin en el plano cartesiano; si O(x0, y0, z0) es un punto en el sistema

cartesiano OXYZ, entonces en el punto O(x0, y0, z0) construiremos el nuevo

sistema oxyz de tal manera que los rayos positivos de los nuevos ejes sean

59

paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en

la forma:

Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, se tiene por

coordenadas a (x, y, z) es decir p(x, y, z) y el sistema OXYZ tiene por

coordenadas a (x, y, z) es decir p(x, y, z). La relacin entre estas coordenadas

esta dada por:

0

0

0

x x x

y y y

z z z

11. ROTACIN DE LOS EJES EN UNO DE LOS PLANOS COORDENADOS Veremos la rotacin de los ejes de los planos coordenados mantenindose el otro

fijo y el mismo origen.

Suponiendo que efectuamos una transformacin de coordenadas del plano XY en

otro sistema XY en donde se mantiene fijo el origen y los ejes X e Y son

obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ngulos como se ilustra en la figura.

Esta transformacin en el plano XY es:

Cada punto p tendr dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al

sistema original otras en coordenadas (x, y) con respecto al nuevo sistema.

60

cos cos

cos cos

x OP OPsen sen

y OPsen OPsen

Ahora determinaremos la relacin (x,y) y(x, y), para esto tracemos las rectas OP,

AP y BP (ver figura)

Se observa que x OA , y AP , x OB , y BP

Luego el triangulo OAP se tiene: cosx OP , y OPsen , donde