CARATTERIZZAZIONI DI SPAZI DI BANACH DUALI · 2010. 5. 26. · Tesi di Dottorato Dottorando: Stefano Rossi Relatore: prof. Sergio Doplicher Coordinatore del Dottorato: prof. Alberto

SapienzaUniversita di Roma

A.A. 2009-2010

CARATTERIZZAZIONI DI SPAZI DIBANACH DUALI

Tesi di Dottorato

Dottorando: Stefano Rossi Relatore: prof. Sergio Doplicher

Coordinatore del Dottorato: prof. Alberto Tesei

Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo

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Introduzione

Scopo principale della presente esposizione e quello di presentare con suf-ficiente autoconsistenza una serie di strumenti dell’Analisi Funzionale li-neare, necessari alla comprensione sicura dei risultati originali ottenuti nel-l’ambito della tesi di dottorato, dove, fra le altre cose, si e ricavata unacaratterizzazione degli spazi di Banach coniugati, che e particolarmente si-gnificativa nel caso separabile.Il teorema cui ci riferiamo si enuncia come segue:

Teorema Se X e uno spazio di Banach separabile, le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. X e uno spazio duale.

2. Esiste un sottospazio chiuso in norma M ⊂ X∗, che e determinante e norm-attaining.

Inoltre ogni sottospazio M ⊂ X∗ come in 2. e canonicamente un preduale di X.

La terminologia introdotta nell’enunciato sara naturalmente presentatain tutti i dettagli nei capitoli successivi, come anche i corollari e le applica-zioni del risultato annunciato. Qui preferiamo, invece, anticipare qualchecommento sulla strategia seguita e sugli strumenti dispiegati, in modo dagiustificare la presenza e l’ordine di presentazione degli argomenti suc-cessivi. Sebbene l’enunciato del nostro teorema introduca terminologiaappartenente alla sola teoria degli spazi di Banach, le idee coinvolte nellasua dimostrazione appartengono alla piu generale teoria degli spazi vetto-riali topologici localmente convessi. Tale circostanza non deve sorprenderepiu di tanto, perche, come e ben noto, uno strumento essenziale per lo stu-dio degli spazi normati completi e rappresentato dalle topologie deboli, chesono eminenti esempi di topologie localmente convesse. Ciononostante lateoria di tali strutture, quantunque motivata da esigenze di natura schiet-tamente pragmatica1, non trova spazio nei corsi istituzionali della laurea inMatematica. I primi due capitoli della tesi sono dedicati, pertanto, all’espo-sizione di quei contenuti generali della teoria che si rivelano indispensabili

1Un esempio su tutti e quello della teoria delle distribuzioni, [49].

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in ogni sviluppo successivo. Ci riferiamo alle generalizzazioni di alcunenozioni classiche in Analisi funzionale, che si estendono senza difficolta aicontesti non metrizzabili, pur di essere espresse attraverso una teoria dellaconvergenza piu duttile, com’e quella dei filtri o delle reti generalizzate.Tali nozioni talora sono considerate ostiche, a causa dell’elevata astrazionenecessaria a trattarle. Senza esprimere un nostro parere a tal riguardo, cilimitiamo piuttosto ad osservare che, non avedo potuto ignorare questedifficolta tecniche per risolvere il problema di nostro interesse, ci sembraopportuno fornirne una trattazione sufficientemente approfondita, che nonvuole essere, tuttavia, un trattato organico e completo della materia; nume-rosissimi sono infatti i testi che la espongono in tutti i suoi sviluppi e nonsarebbe certo consigliabile porsi a confronto con i riferimenti classici.La nostra trattazione, pertanto, non sara esaustiva, ma si concentrara sol-tanto sugli aspetti strettamente necessari a trattare con rigore il problemarisolto. Questo per dire che gli argomenti presentati non sono quelli chel’autore ritiene i piu interessanti ed indispensabili, quanto piuttosto quellidi cui non ha potuto fare a meno. Non figurano, quindi, nozioni di grandeinteresse, come i limiti induttivi di spazi localmente convessi o gli spazinucleari di Grothendieck2, tanto per citare due esempi particolarmente si-gnificativi per le applicazioni3.Fra gli argomenti generali che, invece, sono presentati con dovizia di parti-colari compare la teoria degli spazi in dualita, che e l’argomento principaledel terzo capitolo, dove viene fornita una dimostrazione del ben noto teo-rema di Mackey-Arens sulle topologie compatibili. Si tratta di un risultatonotevole ed elegante, che trova un impiego massiccio nella nostra strategiadimostrativa.Il quarto capitolo fornisce, infine, una trattazione esaustiva dei profondissi-mi lavori di R. C. James sulla compattezza debole. Molto nota e la caratteriz-zazione di James della riflessivita in termini di funzionali norm-attaining:uno spazio di Banach X e riflessivo se e solo se ogni ϕ ∈ X∗ raggiunge la suanorma sulla palla unita di X. Meno note sono, invece, le generalizzazionidi questo risultato, che rappresentano a tutt’oggi la piu soddisfacente ca-ratterizzazione degli insiemi debolmente compatti nel quadro degli spazilocalmente convessi completi. I nostri risultati, descritti con attenzione nelquinto e ultimo capitolo, sono proprio applicazioni dei teoremi generali diJames.L’appendice raccoglie infine tutta una serie di risultati, alcuni dei quali bennoti ed elementari, piu riposti e specialistici talaltri, che avrebbero rischiatodi appesantire eccessivamente la trattazione se presentati in media re.Nello sforzo di presentare la materia con autoconsistenza si e cercato di

2Un’ottima presentazione degli spazi nucleari e contenuta nel classico trattato di Pietsch[38].

3In teoria delle distribuzioni e nelle formulazioni rigorose della Meccanica quantistica,dove si rivelata feconda la nozione di spazio di Hilbert equipaggiato, cfr. [12].

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mantenere un certo grado di generalita nelle definizioni e nelle proposizio-ni relative; non figurano, pertanto, i classici teoremi relativi agli spazi diBanach, la cui teoria e in sostanza presupposta nota.

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Indice

Introduzione 5

1 Spazi vettoriali topologici 91.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Spazi localmente convessi 172.1 Seminorme e convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Spazi di Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Spazi bornologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Spazi barreled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 I teoremi di Nachbin-Shirota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Dualita 353.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Due risultati fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Topologie compatibili con una dualita: teorema di Mackey-

Arens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Spazi riflessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Caratterizzazioni della riflessivita secondo James 454.1 Il controesempio di James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Un controesempio al teorema di James . . . . . . . . . . . . 474.3 Il teorema di James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Subriflessivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Caratterizzazioni di spazi di Banach duali 655.1 La caratterizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.1 Il caso separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Unicita del preduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Filtri e convergenza 81

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8 INDICE

B Il teorema di Hahn-Banach 87

C Limiti di Banach 91

D Versioni geometriche del teorema di Hahn-Banach 95

E Teorema di Krein-Milman 97

F Compattificazione di Stone-Cech 99

G Il teorema di Eberlein-Smulian 101

H Il teorema di Krein-Smulian 105

Capitolo 1

Spazi vettoriali topologici

1.1 Generalita

Definizione 1.1.1. Uno spazio vettoriale topologico e una coppia (E,T), dove E euno spazio vettoriale e T e una topologia su E tale che:

1. + : E × E→ E e continua.

2. · : C × E→ E e continua.

dove E × E e C × E si intendono muniti della topologia prodotto.

Il lemma seguente esprime equivalentemente la continuita delle opera-zioni dello spazio vettoriale in termini del filtro degli intorni degli elementidello spazio vettoriale. La sua dimostrazione e un’immediata esplicitazionedelle definizioni, pertanto preferiamo ometterla.

Lemma 1.1.1. Una topologiaT su uno spazio vettoriale E e una topologia di spaziovettoriale topologico se e solo se valgono le seguenti condizioni:

1. Dati x, y ∈ E e W ∈ Nx+y, esistono U ∈ Nx, V ∈ Ny tali che U + V ⊂W.

2. Dati λ ∈ C, x ∈ E e W ∈ Nλx, esistono δ > 0 e U ∈ Nx tali che µU ⊂ Wper ogni µ ∈ C tale che |µ − λ| < δ.

Cosı come per i gruppi topologici, sussiste il seguente risultato:

Proposizione 1.1.1. Uno spazio vettoriale topologico e di Hausdorff se e solo se eseparato T1.

Dimostrazione. Supponiamo che (E,T) sia separato T1, in modo che 0 ⊂ Ee chiuso. Consideriamo l’applicazione Φ : E×E→ E data da Φ(x, y) = x− y.Se ∆ ⊂ E × E e la diagonale nel prodotto, abbiamo ∆ = Φ−1(0), cosicche ∆ echiuso e, quindi, E e uno spazio di Hausdorff.

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10 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI TOPOLOGICI

Nella dimostrazione del teorema precedente viene utilizzata soltanto lastruttura algebrica del gruppo additivo (E,+) dello spazio vettoriale topo-logico; sfruttando anche l’operazione del prodotto con gli scalari e possibiledimostrare il seguente risultato, per la cui dimostrazione rimandiamo a [53]o a [30].

Teorema 1.1.1. Uno spazio vettoriale topologico separato T0 e completamenteregolare.

Fissato un vettore x0 ∈ E la traslazione Φ(x) = x+x0 e un omeomorfismodi E in se, pertanto una base di intorni di x0 e data da U + x0 : U ∈ B, doveB e una base di intorni di 0.Prima di enunciare qualche proprieta degli intorni di 0, ricordiamo leseguenti definizioni di pretta natura algebrica:

Definizione 1.1.2. Un insiemeC ⊂ E si dice equilibrato (o bilanciato) seλC ⊂ Cper ogni λ ∈ C tale che |λ| ≤ 1.

Definizione 1.1.3. Un insiemeC ⊂ E si dice assorbente (o radiale) se, comunquedato x ∈ E, esiste r > 0 (dipendente da x) tale che x ∈ λC per ogni λ ∈ C tale che|λ| ≥ r.

Osservazione 1.1.1. Un insieme equilibrato C ⊂ E e assorbente se e solo se perogni x ∈ E esiste r > 0 tale che x ∈ rC.

Lemma 1.1.2. Ogni intorno di 0 ∈ E e un insieme assorbente.

Dimostrazione. Sia U ∈ N0 e sia x ∈ E. Siccome 0x = 0, esistono V ∈ Nx edr > 0 tali che λV ⊂ U per ogni λ ∈ C tale che |λ| < r da cui si ha V ⊂ 1

λU perogni λ di modulo minore di r, quindi x ∈ µU per ogni µ tale che µ > 1

r .

Lemma 1.1.3. In ogni spazio vettoriale topologico esiste una base di intorni di 0equilibrati.

Dimostrazione. Sia U ∈ N0. Occorre far vedere che esiste V ∈ N0 equilibratotale che V ⊂ U. A tal scopo, siccome 0 · 0 = 0, esistono W ∈ N0 e r > 0 taliche λW ⊂ U per ogni λ ∈ C tale che |λ| < r. V

⋃|λ|<r λV ha le proprieta

richieste.

Lemma 1.1.4. In ogni spazio vettoriale topologico esiste una base di intorni di 0chiusi.

Dimostrazione. Sia U ∈ N0: Occorre esibire un intorno chiuso di 0 V conte-nuto in U. Sia W ∈ N0 tale che W−W ⊂ U (un tale W esiste per la continuitadell’applicazione (x, y)→ x − y). Se mostriamo che W ⊂ U, avremo la con-clusione. Sia x ∈W; siccome x + W e un intorno di x, si ha che l’intersezioneW ∩ (x + W) e non vuota, cioe esistono w1,w2 ∈ W tali che w1 = x + w2, dacui x = w2 − w1 ∈W −W ⊂ U, cio che conclude la prova.

1.1. GENERALITA 11

I risultati seguenti sono espressioni della compatibilita della topologiacon le operazioni relativamente a sottospazi e a sottoinsiemi convessi.

Lemma 1.1.5. Sia F ⊂ E un sottospazio. Allora:

1. F ha interno vuoto se e proprio.

2. F e un sottospazio.

Dimostrazione. Supponiamo che F abbia interno non vuoto, cioe che esistanox ∈ V e U ∈ N0 tali che (x + U) ⊂ F. Se ora y ∈ E, esiste λ ∈ C tale chey ∈ λU, percio x + λy ∈ F, da cui λy ∈ F, cioe y ∈ F = E.La seconda affermazione e di facile verifica.

Prima di enunciare il prossimo risultato, ricordiamo la nozione di con-vessita per un insieme:

Definizione 1.1.4. Un insieme C ⊂ E si dice convesso se, per ogni coppia di puntix, y ∈ C si ha tx + (1 − t)y ∈ C per ogni t ∈ [0, 1].

Lemma 1.1.6. Sia C ⊂ un insieme convesso. Allora:

1. C e convesso.

2.

C e convesso.

Dimostrazione. Siano x, y ∈ C. Sia t ∈ (0, 1); mostriamo che tx + (1 − t)y ∈ C.Se U e un intorno di tx + (1 − t)y, esistono Vt e Wt intorni di tx e (1 − t)yrispettivamente, tali che Vt + Wt ⊂ U. Definiamo V = 1

t Vt e W = 11−t Wt,

in modo che V e W sono intorni di x e y rispettivamente. Allora V ∩ C eW ∩ C sono intersezioni non vuote, cosicche (grazie alla convessita di C)(Vt + Wt)∩C e non vuota; a fortiori U∩C e non vuoto, cioe tx + (1− t)y ∈ C.

Siano ora x, y ∈

C, in modo che esiste U ∈ N0 tale che (x+U) ⊂ C e (y+U) ⊂ C.Se t ∈ [0, 1], si ha

tx + (1− t)y + U = tx + (1− t)y + tU + (1− t)U = t(x + U) + (1− t)(y + U) ⊂ C

da cui tx + (1 − t)y ∈

C.

Concludiamo questa sezione con un utile risultato di generazione ditopologie di spazio vettoriale topologico, al quale premettiamo la seguente:

Definizione 1.1.5. Sia E uno spazio vettoriale. Una base B di filtro in E si diceadditiva se per ogni U ∈ B, esiste V ∈ B tale che V + V ⊂ U.

Teorema 1.1.2. Sia E uno spazio vettoriale. Sia B una base di filtro additivacostituita da insiemi equilibrati ed assorbenti. Allora esiste un’unica topologia Tdi spazio vettoriale topologico su E tale che B sia una base di intorni di 0 ∈ E.


Dimostrazione. Sia T la collezione dei sottoinsiemi A ⊂ E tali che per ognix ∈ A esiste U ∈ B tale che (x + U) ⊂ A. Si verifica molto facilmente che T euna topologia. L’unica verifica non ovvia e che T e chiusa per intersezionifinite: Siano A,B ∈ B e sia x ∈ A ∩ B. Allora esistono U,V ∈ B tali che(x + U) ⊂ A e (x + V) ⊂ B. Siccome B e base di un iltro, esiste W ∈ B tale cheW ⊂ U ∩ V, sicche (x + W) ⊂ A ∩ B, da cui A ∩ B ∈ T.Vogliamo verificare che B e una base di intorni di 0 ∈ E per la topologia T.Per prima cosa verifichiamo che ogni U ∈ B e un intorno di 0 nella topologiaT. A tal scopo definiamo l’insieme

A = x : x + V ⊂ U per qualche V ∈ B

Evidentemente A ⊂ U. Se mostriamo che A e aperto, abbiamo la conclusio-ne. Sia x ∈ A, in modo che esiste V ∈ B tale che (x + V) ⊂ U. Siccome B eadditiva, esiste W ∈ B tale che W + W ⊂ V. L’ultima inclusione implica che(x + W) ⊂ A, poiche si ha (x + W) + W ⊂ (x + U) ⊂ V.Infine, se A e un aperto contenente 0, esiste U ∈ B tale che (0 + U) = U ⊂ A.Cio mostra che B e una base di intorni dello zero.Veniamo alla continuita delle operazioni, cominciando dalla somma. Sianox, y ∈ E e U un T-intorno di x + y. Sia V ∈ B tale che (x + y + V) ⊂ U. SiaW ∈ B tale che W + W ⊂ V. Evidentemente Ux = x + W e Uy = y + Wsono intorni di x e y rispettivamente ed inoltre Ux + Uy ⊂ U, cio mostra lacontinuita della somma.La continuita del prodotto con gli scalari e leggermente piu delicata. Siaλ ∈ C, x ∈ E e λx + U un intorno di λx, U ∈ B. Allora esistono V ∈ B taleche V + V + V + V ⊂ U e W ⊂ B tale che λW ⊂ V, W ⊂ V (semplice verificache richiede di usare l’additivita della base di filtro mathcalB e il fatto chegli insiemi di B sono equilibrati).Siccome V e assorbente, esiste ε > 0 tale che µx ∈ V per ogni µ ∈ C tale che|µ| < ε. Se ora µ ∈ C e tale che |λ − µ| < ε, si ha µ(x + W) ⊂ λx + U (facileverifica), che e la parafrasi della continuita del prodotto.L’unicita di T, infine, e ovvia, poiche B e una base di intorni.

1.2 Completezza

Nella teoria degli spazi metrici e, piu in particolare, nello studio degli spazinormati la nozione di completezza e fondamentale, perche molti fra i princi-pali risultati dell’Analisi Funzionale (come il teorema di Banach-Steinhaused i teoremi della mappa aperta, grafico chiuso) sono validi solo sotto que-sta ipotesi. La nozione di completezza, come e ben noto, richiede che ognisuccessione di Cauchy sia convergente. A prima vista la definizione di suc-cessione di Cauchy sembra avere un carattere fondamentalmente metrico;tuttavia se (E,T) e uno spazio vettoriale topologico, la compatibilita delleoperazioni permette di introdurre una struttura uniforme (cfr. [22]), grazie

1.2. COMPLETEZZA 13

alla quale molte nozioni relative agli spazi metrici (successioni di Cauchy,funzioni uniformemente contuinue) possono essere opportunamente gene-ralizzate. Per lo studio degli spazi vettoriali topologici non e necessarioconoscere la teoria degli spazi uniformi nella sua piu piena generalita, cosıcome e presentata nel classico trattato di J.L. Kelley [22], in quanto la presen-tazione e notevolmente semplificata dalla struttura algebrica dello spaziosupporto E. Segnaliamo, comunque, che molte idee che andremo espo-nendo si ritrovano piu o meno inalterate nella teoria generale dei gruppitopologici.Passiamo alle definizioni preannunciate.

Definizione 1.2.1. Sia E uno spazio vettoriale topologico. Una successione xn ⊂

E si dice di Cauchy se per ogni intorno U ∈ N0 esiste un intero NU tale chexm − xn ∈ U per ogni m,n ≥ NU.

Ogni successione convergente e di Cauchy, come mostra un’immediataapplicazione delle definizioni. In generale il viceversa non e vero (nemmenonel caso degli spazi normati), pertanto la seguente definizione e di interesse.

Definizione 1.2.2 (Spazi sequenzialmente completi). Uno spazio vettorialetopologico E si dice sequenzialmente completo se ogni successione di Cauchy inE converge ad un elemento di E.

Alcuni autori usano l’aggettivo semi-completo in luogo di sequenzial-mente completo; qui preferiremo il secondo, perche meglio richiama ilcontenuto della definizione corrispondente.

La nozione di completezza teste introdotta non e propriamente la gene-ralizzazione della nozione gia nota, poiche, in generale, le successioni nonsono uno strumento sufficientemente valido per esperire le proprieta di unatopologia, salvo il caso in cui sia soddisfatto il primo assioma di numera-bilita (in tal caso la topologia di spazio vettoriale topologico e metrizzailecon una distanza che e invariante per traslazioni, cfr. [45]).La nozione piu adatta, invece, e quella di filtro di Cauchy nel senso dellaseguente:

Definizione 1.2.3 (Filtro di Cauchy). Un filtro F su uno spazio vettorialetopologico E si dice di Cauchy se per ogni U ∈ N0 esiste B ∈ F tale che B−B ⊂ U.

Di nuovo, ogni filtro convergente e di Cauchy. Se F converge a x ∈ E,allora Nx F . Ora, dato U ∈ N0, esiste V ∈ N0 tale che V − V ⊂ U. SiaB = x + V. Abbiamo B ∈ F (perche x + V e un intorno di x) e B − B ⊂ U.Con la nozione di filtro di Cauchy e possibile dare la piu generale definizionedi completezza.

Definizione 1.2.4 (Insiemi completi). Un sottoinsieme A ⊂ E di uno spaziovettoriale topologico si dice completo se ogni filtro di Cauchy di A converge ad unelemento di A; E e completo se e completo come sottoinsieme di se stesso.


Una nozione di completezza intermedia fra quella appena data e lacompletezza sequenziale e la quasi-completezza, per la quale e richiestapreliminarmente la seguente:

Definizione 1.2.5 (Insiemi limitati). Un insieme B ⊂ E si dice limitato se eassorbito da ogni intorno di 0 ∈ E, cioe se dato U ∈ N0 esiste λ > 0 tale cheB ⊂ λU.

Negli spazi normati gli insiemi limitati giocano un ruolo importante,perche in qualche senso permettono di ricostruire la topologia (mutuatadalla norma) dello spazio. Nella teoria generale, invece, il legame e menoprofondo, con l’eccezione dei cosiddetti spazi bornologici, che presenteremonel capitolo successivo.Tornando alle questioni di completezza, sussiste la seguente:

Definizione 1.2.6 (Spazi quasi-completi). Uno spazio vettoriale topologico E icui insimi chiusi e limitati sono completi si dice quasi-completo.

Naturalmente uno spazio completo e quasi completo. Meno ovvio e cheuno spazio quasi completo sia sequenzialmente completo.Prima di verificare tale asserto, introduciamo una definizione importante:

Definizione 1.2.7 (Insiemi totalmente limitati). Un insieme B ⊂ E si dicetotalmente limitato se per ogni U ∈ N0 esistono x1, x2, . . . , xn ∈ E tali che

B ⊂n⋃

j=1

(x j + U)

.

Sussiste il seguente prevedibile risultato:

Lemma 1.2.1. Ogni insieme totalmente limitato e limitato.

Dimostrazione. Sia B ⊂ E totalmente limitato. Sia U un intorno di 0 che pos-siamo supporre equilibrato. Per totale limitatezza esistono x1, x2, . . . , xn ∈ Etali che B ⊂ ∪n

j=1(x j + U). Siccome U e assorbente, esistono λ j > 0 tali chex j ∈ λ jU. Se λ = max j=1,2,...,n1, λ j, si ha B ⊂ λU, poiche U e equilibrato.

Le successioni di Cauchy sono insiemi limitati, infatti:

Lemma 1.2.2. Una successione di Cauchy e un insieme totalmente limitato.

Dimostrazione. Sia xn ⊂ E una successione di Cauchy. Se U e un intornodi 0, allora xm − xn ∈ U per ogni m,n ≥ N (dipendente da U). Cio significache xn ⊂ ∪

Nj=1(x j + U).

Veniamo alla proposizione preannunciata.

1.2. COMPLETEZZA 15

Proposizione 1.2.1. Uno spazio vettoriale topologico E quasi-completo e sequen-zialmente completo.

Dimostrazione. Sia A = xn ⊂ E una successione di Cauchy e sia B ⊂ E lachiusura di A. B e limitato quale chiusura di un insieme limitato (facileverifica). Sia F il filtro associato alla successione relativamente a B (vederel’appendice). Evidentemente F e un filtro di Cauchy, dunque convergentead un elemento x ∈ E. Cio significa che la successione xn converge adx.

Come per gli spazi normati vale il seguente risultato di completamento:

Teorema 1.2.1. Sia E uno spazio vettoriale topologico. Allora esiste una cop-pia (i, E), dove E e uno spazio vettoriale topologico completo e i : E → E eun’applicazione lineare tale che:

1. E ed i(E) (con la topologia relativa) sono linearmente omeomorfi attraverso i.

2. i(E) e denso in E.

La coppia (i,E) e unica nel senso che se ( j,F) e un’altra coppia con le proprieta dicui sopra, esiste un omeomorfismo lineare Φ : F→ E.Infine, se E e uno spazio di Hausdorff, E puo assumersi di Hausdorff.

Per la dimostrazione rimandiamo a [49]. Qui ci limitiamo ad osservareche essa ricalca, salvo qualche dettaglio tecnico, quella per gli spazi metrici.

Negli spazi completi sussiste la seguente caratterizzazione dei compatti:

Teorema 1.2.2. Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff completo.Dato un sottoinsieme K ⊂ E, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. K e compatto.

2. K e chiuso e totalmente limitato.

Dimostrazione. Se K ⊂ E e compatto, K e chiuso perche E e di Hausdorff.Sia V ∈ N0, in modo che x + V : x ∈ K e un ricoprimento aperto diK. Per compattezza esiste un sottoricoprimento finito, quindi esistonox1, x2, . . . , xn ∈ K tali che K ⊂

⋃nj=1(x j + V), cioe K e totalmente limitato.

Viceversa, sia K un insieme chiuso e totalmente limitato. Proveremo lacompattezza di K, mostrando che ogni ultrafiltro in K e convergente. SiaF un ultrafiltro in K. Vogliamo far vedere che F e di Cauchy. A tal scoposia V ∈ N0, in modo che K ⊂

⋃nj=1(x j + V) per opportuni x1, x2, . . . , xn ∈ E,

grazie alla totale limitatezza. Facciamo vedere che esiste j ∈ 1, 2, . . . ,n taleche (x j + V) ∈ F . Siccome F e un ultrafiltro (filtro massimale), basta farvedere che esiste j ∈ 1, 2, . . . ,n tale che (x j + V)

⋂M e non vuoto per ogni

M ∈ F . Se cosı non fosse, per ogni j = 1, 2, . . . ,n esisterebbe M j ∈ F tale


che (x j + V)⋂

M j e vuota. Ora M j ⊂ K, sicche⋂n

j=1 M j e vuota contro ladefinizione di filtro.Sia ora U ∈ N0 e V un intorno di 0 tale che V − V ⊂ U. Grazie alleconsiderazione precedenti esiste x0 ∈ E tale che M = (x0 +V) ∈ F e M−M =V − V ⊂ U, cosicche F e un filtro di Cauchy. Siccome E e completo esiste(unico) x ∈ E tale che F converge a x ∈ K, poiche K e chiuso.

Chiudiamo questo paragrafo con un risultato che mostra che la nozionedi completezza introdotta si riduce a quella nota nel caso in cui 0 ha unabase numerabile di intorni (caso metrizzabile)

Teorema 1.2.3. Sia E uno spazio vettoriale topologico con una base numerabile diintorni di 0. Se E e sequenzialmente completo, allora E e completo.

Dimostrazione. Sia Un una base numerabile di intorni dello zero e F unfiltro di Cauchy. Fissato n ∈N, sia Mn ∈ F tale che Mn−Mn ⊂ Un. PoniamoFn = ∩n

j=1M j. Siccome F e un filtro, gli Fn sono insiemi non vuoti, pertantosia xn ∈ Fn. Per costruzione la successione xn e di Cauchy, pertanto esistex ∈ E tale che xn → x. Mostriamo che il filtro F converge a x e cioe cheNx F . A tal scopo occorre e basta provare che (x + Un) ∈ F per ogniintero n. Fissato un tale n, sia k un intero tale che Uk + Uk ⊂ Un e sia h > ktale che x j ∈ xk + U (un tale h esiste, che la successione degli xn converge ax). Siccome xh ∈Mk, abbiamo Mk ⊂ Uk + xh ⊂ Uk + Uk + x ⊂ Un + x, cio checonclude la prova.

Capitolo 2

Spazi localmente convessi

La definizione di spazio vettoriale topologico e sufficientemente generaleda prevedere nel novero dei suoi esempi spazi piuttosto patologici. Adesempio, non e difficile esibire spazi vettoriali topologici con duale (topo-logico) banale, cioe ridotto al solo funzionale identicamente nullo1.Spazi con duali poco ricchi sono di scarsa utilita e, soprattutto, lo studiodelle loro proprieta non puo essere affrontato con profitto con tecniche didualita. La classe dei cosiddetti spazi localmente convessi, invece, e tantoampia da includere tutti gli esempi provenienti dell’Analisi classica (spazidi funzioni e di distribuzioni), quanto miratamente restrittiva da escluderele patologie cui abbiamo accennato.

2.1 Seminorme e convessi

Cominciamo richiamando la ben nota definizione di seminorma su unospazio vettoriale:

Definizione 2.1.1 (seminorma). Sia E uno spazio vettoriale. Una funzionep : E→ R si dice una seminorma se soddisfa le proprieta seguenti:

1. p(x) ≥ 0 per ogni x ∈ E.

2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) per ogni x, y ∈ E.

3. p(λx) = |λ|p(x) per ogni x ∈ E e per ogni λ ∈ C.

1Un esempio tipico e dato dallo spazio vettoriale M([0, 1]) delle (classi di) funzionif : [0, 1]→ Rmisurabili secondo Lebesgue finite quasi ovunque, munito della distanza

d( f , g) =

∫[0,1]

| f − g|1 + | f − g|

dµLeb

La nozione di convergenza introdotta da d e quella in misura. Si verifica che M([0, 1]) ecompleto e che il suo duale topologico e ridotto al funzionale nullo, cfr [40].

17

18 CAPITOLO 2. SPAZI LOCALMENTE CONVESSI

Si riconosce immediatamente che gli insiemi U = x ∈ E : p(x) < 1,V = x ∈ E : p(x) ≤ 1 sono convessi ed equilibrati, se p e una seminorma;inoltre sono assorbenti. Il risultato che segue inverte la corrispondenzaappena descritta, associando ad un convesso equilibrato ed assorbente unaseminorma opportuna.

Proposizione 2.1.1 (Funzionale di Minkowski). Sia U ⊂ E un insieme assor-bente, convesso ed equilibrato. Allora la funzione data da

pU(x) = infr > 0 : x ∈ rU

e una seminorma. Inoltre U ⊂ x ∈ E : pU(x) ≤ 1.

Dimostrazione. Siccome U e assorbente, pU e ben definita ed e positivamenteomogenea. Mostriamo che pU e subadditiva. Siano x, y ∈ E. Dato ε > 0esistono r, s > 0 tali che x ∈ rU, x ∈ sU e r < pU(x) + ε, s < pU(y) + ε.Siccome U e convesso ( x

r e ys ∈ U), abbiamo che x+y

r+s = rr+s

xr + s

r+sys ∈ U,

percio pU( x+yr+s ) ≤ 1, cioe pU(x + y) ≤ r + s < pU(x) + pU(y) + 2ε. Siccome ε e

arbitrario, se ne conclude che pU(x + y) ≤ pU(x) + pU(y), come volevamo.Resta da provare che pU e omogenea. Cio e un’immediata conseguenza delfatto che U e equilibrato.

Finora non abbiano supposto assegnata alcuna topologia su E, sebbeneil caso degli spazi vettoriali topologici sia il quadro dove collocare le os-servazioni preliminari che stiamo presentando, con lo scopo di definire glispazi localmente convessi. Da adesso in poi, pertanto, supporremo che Esia uno spazio vettoriale topologico. Sussiste il seguente semplice risultato,la cui dimostrazione costituisce un’ovvia verifica.

Lemma 2.1.1. Sia p una seminorma su E. Le seguenti affermazioni sono equiva-lenti:

1. p e continua in 0.

2. p e continua.

3. Esiste una seminorma continua q tale che p ≤ q.

Osserviamo che la verifica del precedente richiede di constatare cheogni semimorma p verifica la disuguaglianza |p(x)−p(y)| ≤ p(x− y) per ognix, y ∈ E in conseguenza della subadditivita.Passiamo a dare la definizione di spazio localmente convesso:

Definizione 2.1.2 (Spazi localmente convessi). Uno spazio vettoriale topologicoE si dice localmente convesso se possiede una base di intorni di 0 convessi.

2.1. SEMINORME E CONVESSI 19

Salvo avviso contrario, considereremo soltanto spazi di Hausdorff, per-tanto l’espressione “localmente convesso“ sottointendera sempre “di Hau-sdorff“.Un’immediata applicazione del teorema di Hanh-Banach mostra che il dua-le topologico di uno spazio localmente convesso e sempre sufficientementericco da separare i punti dello stesso. A tal scopo premettiamo un utilelemma, che trova sovente applicazioni concrete2.

Lemma 2.1.2. Sia E uno spazio localmente convesso. Una forma lineareϕ : E→ Ce continua se e solo se esiste un intorno U convesso ed equilibrato di 0 ∈ E tale che|ϕ(x)| ≤ pU(x) per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. Se U e un intorno convesso ed equilibrato di 0, pU e unafunzione continua, percio |ϕ(x)| ≤ pU(x) per ogni x ∈ E implica che ϕ econtinua. Viceversa se ϕ e continua, U x ∈ E : |ϕ(x)| ≤ 1 e un intornoconvesso ed equilibrato di 0 ed e immediato riconoscere che |ϕ| ≤ pU.

Una caratterizzazione piu generale della continuita di forme lineari e,invece, la seguente, che vale anche in contesti non localmente convessi:

Proposizione 2.1.2. Sia E uno spazio vettoriale topologico e ϕ : E → C unaforma lineare. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. ϕ e continua.

2. Kerϕ ⊂ E e un sottospazio chiuso.

Dimostrazione. Siccome Kerϕ = ϕ−1(0), la condizione 1. implica immedia-tamente la 2., poiche 0 ⊂ C e chiuso. Dimostriamo, quindi, l’implicazione2. ⇒ 1. Se ϕ non e continua, esiste una rete xi tale che xi → 0 |ϕ(xi)| ≥ δper qualche δ > 0. Sia x0 ∈ E tale che ϕ(x0) = 1 (un tale x0 esiste,a meno diconsiderare una forma lineare identicamente nulla). Si ha la decomposizio-ne in somma diretta (algebrica) E = Kerϕ⊕Cx0, da cui xi = yi +ϕ(xi)x0, conyi ∈ Kerϕ per ogni i. Consideriamo la rete yi

ϕ(xi) ⊂ Kerϕ. Siccome si ha

yi

ϕ(xi)=

xi

ϕ(xi)− x0 per ogni i

riesce yiϕ(xi)→ −x0 < Kerϕ, cioe Kerϕ non e chiuso.

Qui sotto il risultato sull’abbondanza di forme lineari continue per glispazi localmente convessi:

Proposizione 2.1.3. Sia E uno spazio localmente convesso e x ∈ E un vettore nonnullo. Allora esiste ϕ ∈ E∗ tale che ϕ(x) , 0.

2Ad esempio per dimostrare i teoremi di struttura delle distribuzioni, cfr [49].


Dimostrazione. Sia U un intorno convesso ed equilibrato di 0 tale che x < U.Se pU e il corrispondente funzionale di Minkowski, si ha pU(x) >≥ 1. Siaf : Cx → C la forma lineare data da f (λx) = λ per ogni λ ∈ C. Riesceevidentemente | f (y)| ≤ pU(y) per ogni y ∈ Cx. Grazie alla forma analiticadel teorema di Hanh-Banach esiste un prolungamento ϕ di f a tutto Etalce che |ϕ| ≤ pU. Grazie al lemma precedente ϕ ∈ E∗ e, per costruzioneϕ(x) = 1 , 0.

In generale negli spazi localmente convessi non esistono aperti limitati,a meno di ricondursi al caso normato; vale infatti il seguente risultato.

Teorema 2.1.1 (von Neumann-Kolmogoroff). Sia E uno spazio localmente con-vesso nel quale esiste un intorno limitato di 0. Allora la topologia di E puo esseremutuata da una norma.

Dimostrazione. Sia U ⊂ E un intorno di 0 limitato, che non e restrittivosupporre convesso ed equilibrato. Vogliamo dimostrare che il funzionaledi Minkowski pU e una norma, che induce la topologia assegnata su E.Sia x ∈ E un vettore non nullo e sia V un intorno di 0 tale che x < V. SiccomeU e limitato, esiste λ > 0 tale che U ⊂ λV da cui pU(x) ≥ 1

λ , cio che mostrache pU e una norma. Anche l’ultima asserzione e conseguenza immediatadel fatto che U e limitato: se W e un intorno convesso ed equilibrato di0, esiste µ > 0 tale che V ⊂ µW, da cui pW ≤

1µpU, cosicche la topologia

generata da pU deve coincidere con quella inizialmente assegnata.

Negli spazi localmente convessi valgono le forme geometriche del teo-rema di Hahn-Banach nonche il teorema di Krein-Milman. Allo sopo didare gli enunciati precisi, premettiamo qualche definizione.

Definizione 2.1.3. Due sottoinsiemi A,B ⊂ E di uno spazio localmente convessosi dicono separati da un iperpiano se esiste un funzionale lineare continuo l a valoriinR ed un numero reale a tale che l(x) ≤ a per ogni x ∈ A e l(x) ≥ a per ogni x ∈ B.Se, infine, l(x) < a per ogni x ∈ A e l(x) > b per ogni x ∈ B (con b > a), diciamoche A e B sono strettamente separati.

Teorema 2.1.2 (Hahn-Banach: forme geometriche). Siano A,B ⊂ E sottoin-siemi convessi disgiunti di uno spazio localmente convesso E. Si ha quantosegue:

1. Se A e aperto, allora possono essere separati da un iperpiano.

2. Se A e B sono entrambi aperti, allora possono essere strettamente separati daun iperpiano.

3. Se A e compatto e B e chiuso, allora possono essere strettamente separati daun iperpiano.

2.2. SPAZI DI FRECHET 21

Il teorema di Krein-Milman concerne l’abbondanza di punti estremaliper insiemi convessi compatti.

Definizione 2.1.4 (punti estremali). Sia C ⊂ X un sottoinsieme convesso di unospazio vettoriale X. Un punto x ∈ C si dice estremale se x = ty + (1 − t)z cont ∈ [0, 1] e y, z ∈ C implica y = z = x.

L’insieme dei punti estremali di C si indica con Extr C. In generale, talesottoinsieme puo anche essere vuoto, tuttavia:

Teorema 2.1.3 (Krein-Milman). Sia K ⊂ E un sottoinsieme convesso e compattodi uno spazio localmente convesso E. Allora ExtrK ⊂ K e un sottoinsieme nonvuoto, il cui inviluppo convesso e denso in K.

Il teorema di Krein-Milman e uno strumento molto utile in alcuni risul-tati di esistenza. Applicazioni classiche si hanno, fra le altre, nella teoriadelle rappresentazioni di C∗-algebre e nel teorema di rappresentazione in-tegrale di Choquet.Per la dimostrazione si puo consultare, ad esempio, l’appendice, doveriportata la prova di Kelley.

2.2 Spazi di Frechet

Una classa di spazi localmente convessi particolarmente interessante e quel-la dei cosiddetti spazi di Frechet. Prima di presentarne la definizioneprecisa, consideriamo il seguente:

Lemma 2.2.1. Sia E uno spazio localmente convesso. Le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. E e metrizzabile.

2. 0 ∈ E possiede una base numerabile di intorni.

3. La topologia di E e generata da una collezione numerabile di seminorme.

Dimostrazione. L’unica implicazione non banale e 3 ⇒ 1. Sia pn : n ∈N una collezione numerabile di seminorme generanti la topologia di E.Definiamo la funzione d : E × E→ [0,+∞), ponendo

d(x, y) ∞∑

n=1

12n

pn(x − y)1 + pn(x − y)

per ogni x, y ∈ E.Si verifica facilmente che d e una distanza su E. Inoltre, tale metrica einvariante per traslazioni, cioe d(x + z, y + z) = d(x, y) per ogni x, y, z ∈ E.Rimane da verificare che la topologia indotta da d coincide con la topologia


iniziale. Sia U un intorno di 0 per la topologia iniziale. Allora puo assumersiche U = x ∈ E : pk(x) ≤ ε ∀k = 1, 2 . . . ,n.Verifichiamo che V B ε

2n(1+ε)(0) e contenuta in U. Se x ∈ V, si ha 1

2kpk(x)

1+pk(x) ≤

ε2n(1+ε) per ogni k ∈ N. In particolare, si ha che pk(x)

1+pk(x) ≤ε

1+ε per ognik ∈ 1, 2, . . . ,n cioe pk(x) ≤ ε per ogni k ∈ 1, 2 . . . ,n, che e come direx ∈ U. Questo mostra che la topologia indotta dalla distanza e piu fine dellatopologia iniziale.Sia ora V Bδ(0). Occorre provare che esiste un U intorno di 0 per latopologia iniziale tale che U ⊂ V. Siccome pn(x)

1+pn(x) ≤ 1 per ogni x ∈ E

e per ogni n ∈ N, esiste N > 0 tale che∑∞

k=N+112k

pk(x)1+pk(x) ≤

δ2 per ogni

x ∈ E. Poniamo U x ∈ E : pk(x) ≤ δ2N(1−δ) ∀k = 1, 2, . . .N. Si riconosce

immediatamente che U ⊂ V, cio che conclude la dimostrazione.

Passiamo ora alla definizione preannunciata:

Definizione 2.2.1 (Spazi di Frechet). Uno spazio localmente convesso metriz-zabile si dice uno spazio di Frechet se e completo come spazio metrico.

Quali spazi metrici completi, gli spazi di Frechet sono esempi di spazi diBaire, pertanto non sono unione numerabile di insiemi rari; analogamentea quanto avviene negli spazi di Banach, quindi, i teoremi dell’uniformelimitatezza e della mappa aperta conservano la loro validita nel piu generalecontesto di tali spazi.

Proposizione 2.2.1 (Principio di uniforme limitatezza). Siano E ed F spazidi Frechet. Se F e una famiglia di operatori lineari e continui da E a F taleche q(F(x)) : F ∈ F ⊂ R e un insieme limitato per ogni seminorma continuaq : F → R e per ogni x ∈ E, allora per ogni seminorma continua p definita su Fesiste una seminorma continua d su E e una costante C > 0 tale che

p(F(x)) ≤ Cd(x)

per ogni x ∈ E e per ogni F ∈ F .

Dimostrazione. Fissata una seminorma continua p su F definiamo gli insiemiCn = x ∈ E : p(F(x)) ≤ n per ogni F ∈ F ⊂ E. Gli insiemi Cn sono chiusi(quali intersezione di chiusi) e E =

⋃∞

n=1 Cn grazie alle ipotesi. Allora esisten0 ∈ N tale che Cn0 ha interno non vuoto. Questo significa che esiste unaseminorma continua d su E e un numero δ > 0 tali che

x ∈ E : d(x − x0) ≤ δ ⊂ Cn0

per qualche x0 ∈ Cn0 . Un semplice calcolo mostra che cio implica p(F(x)) ≤2n0δ d(x) per ogni x ∈ E e per ogni F ∈ F .

2.2. SPAZI DI FRECHET 23

Corollario 2.2.1. Sia E uno spazio di Frechet e F ⊂ E∗ una famiglia di funzionalilineari puntualmente limitata. Allora esiste una seminorma continua p su E taleche:

|ϕ(x)| ≤ Cp(x)

per ogni x ∈ E, per qualche C > 0.

I risultati appena dimostrati valgono in un contesto molto piu generale.Non e indispensabile, infatti, lavorare in ambiente metrizzabile (e comple-to): la classe piu ampia in cui e valido il principio di uniforme limitatezzae costituita, come vedremo, dai cosiddetti spazi tonnele (barrelled3).Il teorema della mappa aperta, invece, trova il suo enunciato piu generalenel contesto degli spazi di Ptak. Daremo la dimostrazione di tale teoremadirettamente in quel quadro piu generale; qui ci limiteremo, piuttosto, adenunciarlo, discutendo qualche interessante applicazione:

Teorema 2.2.1 (Mappa aperta). Sia T : E→ F un’applicazione lineare continuae suriettiva fra spazi di Frechet. Allora T e aperta, cioe T(U) e aperto in F per ogniaperto U ⊂ E.

Si hanno i seguenti corollari:

Corollario 2.2.2. Un’applicazione lineare invertibile T : E → F fra spazi diFrechet ha inversa continua.

Corollario 2.2.3 (Teorema del grafico chiuso). Sia T : E→ F un’applicazionelineare fra spazi di Frechet. T e continua se e solo se il suo grafico e chiuso.

Molti spazi provenienti dall’Analisi classica sono spazi di Frechet: quisotto proponiamo gli esempi piu tipici.Indichiamo con S(Rn) lo spazio delle funzioni C∞ a decrescenza rapida inRn, cioe di quelle funzioni f ∈ C∞(Rn) tali che supx∈Rn |xαDβ f (x)| < ∞ perogni coppia di multiindici4 α, β ∈ In.Si riconosce immediatemente che S(Rn) e uno spazio vettoriale sul qualesono ben definite le seminorme pα,β date da pα,β( f ) = supx∈Rn |xαDβ f (x)|per ogni f ∈ S(Rn). Evidentemente pα,β e una prebase numerabile diseminorme, generanti una topologia localmente convessa metrizzabile. Lacompletezza e una semplice verifica. Il duale di S(Rn) e costituito dalle co-siddette distribuzioni temperate, per le quali e ben definita la trasformata diFourier. Per una trattazione molto dettagliata della trasformata di Fourierper tali distribuzioni rimandiamo a [39].

3Mancano buone traduzioni italiane di tale aggettivo. Il corrispondente in italiano e“imbottito“, al quale e meglio preferire, tuttavia, l’aggettivo originale.

4Un n-multiindice α e una n-pla (α1, α2, . . . , αn) tale che αi ∈ N per ogni i = 1, 2, . . . ,n.Dato un multiindice α, si definisce la sua norma il numero naturale |α| =

∑ni=1 αi.

Se α e un multiindice xα e il monomio xα11 xα2

2 . . . xαnn , mentre Dα f (x) ∂|α| f

∂xα11 ∂x

α22 ...∂xαn

n(x).


Esempi notevoli di spazi di Frechet, infine, provengno dall’Analisi comples-sa. Se U ⊂ Cn e un aperto, possiamo considerare lo spazio vettoriale O(U)delle funzioni olomorfe in U. Con la topologia della convergenza uniformesui sottoinsiemi compatti O(U) e uno spazio di Frechet.Per verificare cio,basta scrivere un’esaustione in compatti di U =

⋃∞

i=1 Ki, dove Ki ⊂ U sonocompatti chiusura di aperti tali che Ki ⊂ int(Ki+1) e, se K ⊂ U e compatto,esiste i tale che K ⊂ Ki. La famiglia numerabile delle seminorme pi date da

pi( f ) = supz∈Ki

| f (z)|

genera la topologia della convergenza uniforme sui compatti. La comple-tezza di O(U) e una semplice applicazione del teorema di Morera.Il caso n > 1, corrispondente alle funzioni di piu variabili complesse, eparticolarmente interessante, poiche possono esistere aperti U ⊂ W ⊂ Cn

(con inclusione stretta) tali che ogni funzione olomorfa in U ammette un’estensione olomorfa a W, che e unica grazie al principio di prolungamentoanalitico. Una situazione tipica in cui si verifica tale evenienza, che nonconosce analoghi nel caso di una singola variabile complessa, e riassuntanel seguente famoso risultato di Hartogs:

Teorema 2.2.2 (Hartogs). Sia U ⊂ Cn un insieme aperto e K ⊂ U un compatto taleche U/K e connesso. Allora ogni funzione olomorfa in U/K ammette un’estensioneolomorfa a U.

Siano ora U ⊂W due aperti con la proprieta che ogni funzione olomorfain U si estende in una funzione olomorfa in W. Dato K ⊂ U, definiamo

K =

w ∈W : | f (w)| ≤ sup

z∈K| f (z)| ∀ f ∈ O(U)

Si ha il risultato seguente:

Teorema 2.2.3. Siano U ⊂W due aperti di Cn tali che ogni funzione olomorfa inU si estende in un’unica funzione olomorfa in W. Allora si ha:⋃

K⊂U: K compatto

K = W

Dimostrazione. Diamo una dimostrazione molto veloce che sfrutta la teoriadegli spazi di Frechet. Sia T : O(W) → O(U) l’operatore lineare dato dallarestrizione: T( f ) f U per ogni f ∈ O(W). Grazie alle ipotesi fatte, T esurgettivo, pertanto e un’applicazione aperta. Siccome T e iniettivo (grazieal principio di prolungamento analitico), T e un omemorfismo lineare. Ciosignifica che, dato w ∈ W, esiste un sottoinsieme compatto K ⊂ U tale che| f (w)| ≤ supz∈K | f (z)|, ossia w ∈ K, cio che conclude la prova.

2.3. SPAZI BORNOLOGICI 25

2.3 Spazi bornologici

Una classe estremamente interessante di spazi localmente convessi e co-stituita dai cosiddetti spazi bornologici, nei quali e possibile ricostruire, inqualche senso, la topologia a partire dagli insiemi limitati. Nella teoriadegli spazi normati, infatti, tali insiemi possiedono un ruolo fondamentaleessendo intimamente legati alla norma; non la stessa importanza assumo-no, invece, nel contesto generale dove la seguente definizione mostra tuttoil suo interesse. Ad essa premettiamo un semplice:

Lemma 2.3.1. Sia E uno spazio localmente convesso. Le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. Ogni insieme convesso equilibrato C ⊂ E che assorbe gli isiemi limitati e unintorno dello zero.

2. Ogni seminorma p : E→ R limitata sugli insiemi limitati e continua.

Dimostrazione. 1.⇒ 2. Sia p una seminorma limitata sugli insiemi limitati esia C x ∈ E : p(x) ≤ 1. C e un insieme convesso ed equilibrato, inoltreassorbe gli insiemi limitati: sia B ⊂ E limitato, in modo che esiste λ > 0tale che p(x) ≤ λ per ogni x ∈ E, allora, come e immediato riconoscereB ⊂ λC.Grazie all’ipotesi segue che C e un intorno di zero.2.⇒ 1. Sia C un insieme convesso che assorbe i limitati e sia p la seminormaassociata (funzionale di Minkowski). Si riconosce subito che p e limitatasugli insiemi limitati, sicche p e continua e, dunque, C e un intorno dellozero.

Definizione 2.3.1 (Spazio bornologico). Uno spazio localmente convesso E sidice bornologico se soddisfa una delle condizioni del lemma precedente.

Prima di provare il prossimo risultato, che esprime il carattere bornolo-gico degli spazi metrizzabili, e opportuno segnalare alcune proprieta generalidegli insiemi limitati:

Proposizione 2.3.1. Un insieme B ⊂ E e limitato se e solo se ogni successionexn : n ∈N ⊂ E e limitata.

Dimostrazione. Un’implicazione e ovvia. Supponiamo che E non sia limita-to, in modo che esiste un intorno U di zero tale che B ⊂ λU non e soddisfattaper alcun valore di λ > 0. Cio significa che, per ogni n ∈ N esiste xn ∈ Btale che xn < nB. Per costruzione, la successione xn : n ∈ N ⊂ B non elimitata.

Inoltre:

Proposizione 2.3.2. Se xn : n ∈N ⊂ E e una successione limitata, λnxn tendea zero per ogni successione λn : n ∈N ⊂ C infinitesima.


Dimostrazione. Sia U un intorno (equilibrato) dello zero. Siccome la succes-sione xn e limitata, esiste δ > 0 tale che xn ∈ δU per ogni n ∈N. Sia N ∈Ntale che |λn| ≤

1δ . Allora si ha λnxn ∈ U per ogni n ≥ N, cioe λnxn tende a

zero.

Proposizione 2.3.3. Sia E uno spazio localmente convesso metrizzabile. Sexn ⊂ E e una successione che tende a zero, esiste una successione divergenteλn ⊂ R tale che λnxn tende a zero.

Dimostrazione. Sia Ukuna base numerabile di intorni dello zero con Uk+1 ⊂

Uk. Per ipotesi, per ogni k ∈ N, esiste Nk ∈ N tale che xn ∈1k Uk per ogni

n ≥ Nk. Definiamo λn = k se Nk ≤ n ≤ Nk+1. La successione λn possiede leproprieta volute.

Finalmente possiamo provare il risultato preannunciato:

Teorema 2.3.1. Uno spazio localmente convesso metrizzabile E e bornologico.

Dimostrazione. Sia p una seminorma limitata sugli insiemi limitati di E.Mostriamo che p e (sequenzialmente) continua in zero. Sia xn ⊂ E unasuccessione infinitesima e sia λn ⊂ R come nella precedente. Si ha |p(xn)| =

1|λn|

p(λnxn) e pertanto p(xn)→ 0.

Corollario 2.3.1. Uno spazio normato e bornologico.

La verifica della continuita di un’applicazione lineare T : E → F, doveE e uno spazio bornologico , si riconduce allo studio della limitatezza di Tovvero alla sua continuita sequenziale, come mostra il seguente risultato,che puo essere riguardato come una vasta generalizzazione di quanto e bennoto in relazione agli operatori lineari fra spazi normati:

Teorema 2.3.2. Sia E uno spazio bornologico e T : E→ F un’applicazione lineare,dove F e uno spazio localmente convesso. Le seuenti affermazioni sono equivalenti:

1. T e continuo.

2. T e sequenzialmente continuo.

3. T e limitato (applica insiemi limitati in insiemi limitati).

Dimostrazione. Se T e continuo e sicuramente sequenzialmente continuo.SeT e sequenzialmente continuo, allora e limitato. Sia, infatti, xn ⊂ E unasuccessione limitata. Se Txn ⊂ F non fosse limitata, esisterebbe un intornoV di 0 ∈ F tale che Txn * λV per alcun λ > 0. Cioe, a meno di estratte,Txn < nV per ogni n. Cosicche 1

n Txn < U per ogni n. Tuttavia 1n Txn = T( xn

n )converge a zeo, perche T e sequenzialmente continuo.Supponiamo T limitato e mostriamo che e continuo. Sia V un intorno con-vesso ed equilibrato di 0 ∈ F. Sia U T−1(V). U e convesso ed equilibrato

2.4. SPAZI BARRELED 27

quale immagine inverda di un insieme siffatto. Inoltre U assorbe gli insiemilimitati. Sia B ⊂ E un tale insieme. Per ipotesi T(B) e limitato in F, percioesiste λ > 0 tale che T(B) ⊂ λV, da cui B ⊂ λU (essendo passati alle imma-gini inverse). Siccome E e bornologico, U e un inorno dello zero, percio T econtinua, poiche T(U) ⊂ V.

Corollario 2.3.2. Una forma lineareϕ : E→ C definita su uno spazio bornologicoE e continua se e solo se e limitata, ovvero se e solo se e sequenzialmente continua.

2.4 Spazi barreled

Una seconda classe molto interessante di spazi localmente convessi e co-stituita dai cosiddetti spazi barrelled (tonneles), che costituiscono il piugenerale contesto dove e valido il principio di uniforme limitatezza.

Definizione 2.4.1. Un insieme C ⊂ E convesso equilibrato chiuso si dice unbarrel (tonneau) se e assorbente.

Definizione 2.4.2. Uno spazio localmente convesso E si dice uno spazio barreledse ogni barrel C ⊂ Ee un intorno dello zero.

La prossima proposizione permette di stabilire che vaste classi di spazilocalmente convessi sono tonneles.

Proposizione 2.4.1. Uno spazio localmente convesso di Baire e uno spaziobarreled.

Dimostrazione. Sia C ⊂ E un barrel. Siccome C e un insieme assorbente,possiamo scrivere E =

⋃∞

n=1 nC. Per ipotesi E e uno spazio topologico diBaire, pertanto C ha interno non vuoto.. La conclusione segue dall’osservareche intC e convesso ed equilibrato, cosicche 0 ∈ intC.

Gli spazi metrici completi sono spazi topologici di Baire, pertanto ilseguente corollario segue immediatamente:

Corollario 2.4.1. Gli spazi di Frechet sono spazi barreled. In particolare, sonospazi barreled gli spazi di Banach e gli spazi di Hilbert.

Con lo scopo di enunciare la formulazione generale del teorema dell’u-niforme limitatezza, introduciamo la terminologia necessaria.Se E ed F sono spazi vettoriali topologici (localmente convessi), indichiamocon L(E,F) lo spazio vettoriale (rispetto alle operazioni naturali) delle ap-plicazioni lineari e continue da E a F.L(E,F) puo essere munito di molte topologie (localmente convesse), chedescrivono utili nozioni di convergenza per operatori lineari, come la con-vergenza semplice o puntuale e la convergenza uniforme sugli insiemilimitati.


Prima di introdurre formalmente tali topologie, richiamiamo l’importantenozione di equicontinuita:

Definizione 2.4.3. Un insieme F ⊂ L(E,F) si dice equicontinuo se per ogniintorno U di 0 ∈ F, esiste un intorno V di 0 ∈ E tale che T(V) ⊂ U per ogni T ∈ F.

Nel caso degli spazi normati la nozione di equicontinuita si riduce, evi-dentemente, alla limitatezza rispetto alla norma degli operatori.Se F = C, si ha L(E,C) = E∗ e la nozione di equicontinuita per un insiemeF di funzionali lineari equicontinui si esprime richiedendo che, per ogniε > 0, esista un intorno U di 0 ∈ E tale che |ϕ(x)| < ε per ogni x ∈ U e perogni ϕ ∈ F.Passiamo ora ad introdurre le topologie di rilievo in L(E,F) gia preannun-ciate.Sia S una collezione di sottoinsiemi limitati di E tale che:

1. Se A,B ∈ S, allora esiste C ∈ S tale che A⋃

B ⊂ C.

2. Se λ ∈ C e A ∈ S, allora esiste B ∈ S tale che λA ⊂ B.

Sia infine V un intorno dello 0 ∈ F. Definiamo l’insieme

U(B,V) T ∈ L(E,F) | T(B) ⊂ V

con B ∈ S

Lemma 2.4.1. Con le notazioni precedenti, U(B,V) ⊂ L(E,F) e un insiemeassorbente. Inoltre e convesso se V e convesso, equilibrato se V e equilibrato.

Dimostrazione. Sia T ∈ L(E,F). Siccome T e un’applicazione continua, esisteun intorno U di 0 ∈ E tale che T(U) ⊂ V. Siccome B ⊂ E e un insiemelimitato, esiste λ > 0 tale che B ⊂ λU, cioe 1

λB ⊂ U, da cui segue facilmenteche T ∈ λU(B,V). La seconda parte dell’enunciato e di ovvia verifica.

SeS e una collezione di insiemi limitati che soddisfa le condizioni 1− 2,la famiglia degli insiemi U(B,V), al variare di B ∈ S e di V in una base diintorni di 0 ∈ F descrive una base di intorni di 0 ∈ L(E,F) di una topologiadi spazio vettoriale topologico su L(E,F), chiamata S-topologia. QuandoL(E,F) e munito di tale topologia, viene indicato con LS(E,F). Vale ilrisultato seguente:

Proposizione 2.4.2. LS(E,F) e uno spazio localmente convesso, se F e localmenteconvesso. Se F e uno spazio di Hausdorff e se l’unione degli insiemi di S e densain E, allora LS(E,F) e di Hausdorff.

Dimostrazione. Sia T ∈ L(E,F) un’applicazione lineare tale che T ∈ U(B,V)per ogni B ∈ S e per ogni intorno V di 0 ∈ F. Se x ∈

⋃B∈S B, si ha

Tx ∈ V per ogni intorno V di 0 ∈ F, sicche Tx = 0, F essendo uno spazio diHausdorff.Siccome T e un’applicazione continua e

⋃B∈S B e un sottoinsieme

denso in E, ne segue che T = 0. La verifica di locale convessita e ovvia.

2.4. SPAZI BARRELED 29

Fra le piu interessanti famiglie di sottoinsiemi limitati che soddisfano lecondizioni 1 − 2, menzioniamo le seguenti:

• La famiglia di tutti i sottoinsiemi finiti di E. La topologia corrispon-dente e chiamata topologia della convergenza puntuale (o semplice)eL(E,F) munito di tale topologia e indicato con (L)σ(E,F), oppure conLs(E,F).

• La famiglia di tutti i sottoinsiemi compatti di E. La topologia cor-rispondente e nota come tipologia della convergenza compatta e lospazio corrispondente e indicato come Lc(E,F).

• La famiglia di tutti i sottoinsiemi limitati di E , cui corrisponde lacosiddetta topologia della convergenza limitata (o forte). Lo spaziocorrispondente e indicato con Lb(E,F).

Se indichiamo rispettivamente con σ, c, b le topologie appena introdotte,si ha evidentemente σ c b. Al teorema di uniforme limitatezzapremettiamo qualche risultato valido nel contesto degli spazi localmenteconvessi (non necessariamente barreled).

Proposizione 2.4.3. Se F ∈ L(E,F) e equicontinuo, allora F e limitato inLb(E,F).

Dimostrazione. Dobbiamo provare che F e assorbito da U(B,V), ove B ⊂ Ee un insieme limitato e V ⊂ F e un intorno di 0. Siccome F e equicontinuo,esiste un intorno U di 0 ∈ E tale che T(U) ⊂ V per ogni T ∈ F. Siccome Be limitato, esiste λ > 0 tale che B ⊂ λU, da cui T( 1

λB) ⊂ V per ogni T ∈ F,ossia F ⊂ λU(B,V).

Il seguente risultato e di verifica immediata:

Proposizione 2.4.4. Se F e uno spazio localmente convesso e F ⊂ L(E,F) eequicontinuo, allora convF e equicontinuo.

Finalmente possiamo enunciare il teorannuniato, che mette in luce lepeculiarita degli spazi barreled.

Teorema 2.4.1 (Uniforme limitatezza). Sia E uno spazio barreled e F uno spaziolocalmente convesso. Dato un sottoinsieme F ⊂ L(E,F), le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. F e limitato in Lσ(E,F).

2. F e limitato in Lc(E,F).

3. F e equicontinuo.


Dimostrazione. Evidentemente occorre soltanto dimostrare che la prima af-fermazione implica la terza. Sia F limitato in Lσ(E,F). Sia V ⊂ F un intornodi 0, che non e restrittivo assumere convesso, equilibrato e chiuso. SiaU

x ∈ E : Tx ∈ V per ogni T ∈ F

=

⋂T∈F T−1(V). U e certamente un in-

sieme convesso, equilibrato e chiuso. Se mostriamo che U e assorbente,avremo la conclusione, E essendo barreled per ipotesi.Sia y ∈ E. Quale sottoinsieme limitato inLσ(E,F), F e assorbito da U(y,V),cosicche esiste λ > 0 tale che F ⊂ λU(y,V), cioe T ∈ F implica Ty ∈ λV,ossia y ∈ λU, cio che conclude la prova.

Il seguente utile corollario e noto come teorema di Banach-Steinhaus:

Corollario 2.4.2. Sia E uno spazio barreled e F uno spazio localmente convesso. SiaTnn∈N ⊂ L(E,F) una successione convergente puntualmente ad un’applicazionelineare T. Allora T e continua.

Dimostrazione. Siccome Tnn∈N e puntualmente convergente, abbiamo chetale successione e di Cauchy inLσ(E,F). In particolare, Tnn∈N e un insiemelimitato inLσ(E,F), pertanto e equicontinuo. Sia V un intorno di 0 ∈ F, alloraesiste U intorno di 0 ∈ E tale che Tn(U) ⊂ V per ogni n ∈ N.Da cio segueimmediatamente che T(U) ⊂ V, che esprime la continuita di T.

Concludiamo enunciando un teorema che riconosce nella completezzasequenziale una condizione sufficiente, affinche uno spazio bornologico siabarreled:

Teorema 2.4.2. Uno spazio bornologico sequenzialmente completo E e uno spaziobarreled.

Una classe molto interessante di spazi barreled e quella dei cosiddettispazi di Montel:

Definizione 2.4.4. Uno spazio barreled E si dice di Montel se ogni insieme chiusoe limitato C ⊂ E e compatto.

Osservazione 2.4.1. Uno spazio di Montel e quasi-completo.

Evidentemente uno spazio di Banach e di Montel se e solo se e finito-dimensionale, pertanto la nozione appena introdotta e interessante soltantonei caso non normabile. Un tipico esempio di spazio di Montel e lo spazioO(U) delle funzioni olomorfe su un aperto U ⊂ C con la topologia dellaconvergenza uniforme sui compatti (compatta-aperta). La dimostrazionedi questo fatto, che in Analisi Complessa e noto talvolta come teorema diMontel, e una semplice applicazione del teorema di Ascoli-Arzela e dellaformula integrale di Cauchy. Per maggiori dettagli vedere [49].Altri esempi tipici di spazi di Montel si incontrano nella teoria delle di-stribuzioni: S(Rn) e C∞c (Ω) (Ω ⊂ Rn essendo un aperto) con i loro dualiforti.

2.5. I TEOREMI DI NACHBIN-SHIROTA 31

2.5 I teoremi di Nachbin-Shirota

Esempi molto interessanti di spazi localmente convessi sono dati dagli spazidi funzioni continue su spazi topologici opportuni. In questo paragrafoconsidereremo i cosiddetti spazi di Tychonoff, nel senso della seguente

Definizione 2.5.1 (Spazi topologici T3 12). Uno spazio topologico X si dice di

Tychonoff (ovvero separato T3 12) se e separato T1 e se, comunque dati x ∈ X e un

sottoinsieme chiuso C ⊂ X con x < C, esiste f : X→ R continua tale che f (x) = 0e f (y) = 1 per ogni y ∈ C.

Alcuni autori indicano la proprieta di separazione espressa sopra conl’aggettivo di completamente regolare.L’interesse per tali spazi risiede nel fatto che essi rappresentano esattamen-te la classe di spazi topologici che ammettono compattificazione di Stone-Cech5. Da adesso in avanti, X indichera uno spazio topologico di Tychonoffe C(X) lo spazio vettoriale delle funzioni (reali o complesse) continue su X.Grazie all’ipotesi di completa regolarita C(X), munito della compatta-aperta,si rivela uno spazio sufficientemente ricco da discriminare opportune pro-prieta dello spazio base X.In cio che segue vogliamo enunciare una coppia di teoremi, dovuti es-senzialmente a Nachbin [32] e a Shirota [46], che esprimono l’equivalenzafra interessanti proprieta topologiche possedute da X e proprieta altrettan-to notevoli possedute dal corrispondente C(X), pensato con la topologialocalmente convessa generata dalla base di seminorme pK con

pK( f ) = supx∈K| f (x)| per ogni f ∈ C(X)

dove K ⊂ X e un insieme compatto.All’enunciato del primo premettiamo una definizione.

Definizione 2.5.2. Un insieme F ⊂ X si dice C(X)-limitato se ogni f ∈ C(X) elimitata in F.

Sussiste il risultato seguente:

5Se X e uno spazio topologico, la sua compattificazione di Stone-Cech e la coppia (βX, i),dove βX e uno spazio compatto di Hausdorff e i : X → βX e un’ inclusione (cioe unomeomorfismo fra X e la sua immagine in βX mediante i) tale che i(X) e denso in βX ed esoddisfatta la proprieta universale:Se K e uno spazio compatto di Hausdorff e f : X → K e un’applicazione continua, alloraesiste un’unica applicazione continua β f : βX→ K tale che f = β f i.Si dimostra che uno spazio topologico ammette tale compattificazione se e solo se e com-pletamente regolare.Esistono numerose dimostrazioni di questo risultato. Una dimostrazione svolta in uncontesto di topologia generale e contenuta, ad esempio, nel libro di Kelley [22]; per unadimostrazione che sfrutta la teoria delle algebre di Banach rimandiamo all’appendice.


Teorema 2.5.1 (Nachbin-Shirota). Sia X uno spazio completamente regolare. Leseguenti affermazioni sono equivalenti:

1. C(X) e uno spazio barreled.

2. Se F ⊂ X e chiuso e C(X)-limitato, allora F e compatto.

Il precedente teorema ammette un’interessante applicazione in topolo-gia generale, che, a quanto ci consta, non e stata evidenziata in letteratura.Tale risultato concerne la possibilita di invertire, sotto ipotesi opportune, ilteorema di Weierstrass, essendo possibile inferire la compattezza di X a par-tire dalla sua C(X)-limitatezza. Prima di evidenziare la nostra applicazione,e bene citare, a tal riguardo, un risultato abbastanza noto.

Teorema 2.5.2. Sia (X, d) uno spazio metrico C(X)-limitato. Allora X e compatto.

Dimostrazione. Basta verificare che X e sequenzialmente compatto. Sup-poniamo per assurdo che non lo sia e, cioe, che esista una successionexn : n ∈ N ⊂ X che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Fissatox ∈ X, sia Ax = n ∈N : d(x, xn) ≤ 1

n . Evidentemente Ax ⊂N ha cardinalitafinita, altrimenti esisterebbe una sottosuccessione convergente ad x ∈ X.Definiamo fn(x) = max0, 1− nd(x, xn) e sia f (x) =

∑∞

n=1 n fn(x). Osserviamoche, fissato x ∈ X, la serie che definisce f contiene soltanto un numero finitodi termini non nulli, sicche f e ben definita ed e continua. Siccome si ha chef (xn) ≥ n, riesce supx∈X | f (x)| = +∞, contro l’ipotesi.

Qui sotto il risultato preannunciato.

Proposizione 2.5.1. Sia X uno spazio topologico completamente regolare e siaKn ⊂ X : n ∈ N una famiglia numerabile di compatti tale che, se K ⊂ X ecompatto, esiste n0 tale che K ⊂ Kn0 . Se X e C(X)-limitato, allora X e compatto.

Dimostrazione. Sotto le nostre ipotesi, C(X) munito della topologia compatta-aperta e uno spazio di Frechet, poiche la famiglia numerabile delle seminor-me pKn genera la topologia e la completezza e una verifica ordinaria. Grazieal teorema di Baire, gli spazi di Frechet sono barreled, quindi, grazie alteorema di Nachbin-Shirota, i sottoinsiemi di X chiusi e C(X)-limitati sonocompatti. In particolare, ne segue la compattezza di X.

Il risultato precedente acquisterebbe maggior valore, se si conoscesseroesempi non metrizzabili di spazi topologici che ne verificano le ipotesi.Concludiamo la sezione con un secondo teorema di Nachbin-Shirota, alquale premettiamo la seguente:

Definizione 2.5.3 (Spazi compatti-reali). Uno spazio topologico di TychonoffX si dice compatto-reale se, per ogni forma lineare moltiplicativa6 non nullaω : C(X)→ C, esiste un (unico) x ∈ X tale che ω( f ) = f (x) per ogni f ∈ C(X).

6cioe tale che ω( f g) = ω( f )ω(g) per ogni f , g ∈ C(X).

2.5. I TEOREMI DI NACHBIN-SHIROTA 33

Gli spazi topologici compatti di Hausdorff sono tutti esempi di spazicompatti reali, in modo che la nozione teste introdotta costituisce una ge-neralizzazione opportuna della compattezza; in ogni caso ecco il risultatopreannunciato:

Teorema 2.5.3 (Nachbin-Shirota). Sia X uno spazio completamente regolare. Leseguenti affermazioni sono equivalenti:

1. X e compatto reale.

2. C(X) munito della topologia compatta-aperta e uno spazio bornologico.

Per le dimostrazioni rimandiamo ai lavori originali [32] e [46].


Capitolo 3

Dualita

3.1 Prime definizioni

La teoria della dualita e uno degli strumenti piu potenti per lo studio deglispazi localmente convessi, stabilendo una corrispondenza fra le proprietadi un tale spazio X e quelle del suo duale X∗.

Definizione 3.1.1 (Coppie duali). Due spazi vettoriali (complessi) X e Y sidicono in dualita se esiste un’applicazione 〈·, ·〉 : X × Y→ C tale che:

1. 〈·, y〉 : X→ C e lineare per ogni y ∈ Y.

2. 〈x, ·〉 : Y→ C e lineare per ogni x ∈ X.

3. Dato x ∈ X tale che 〈x, y〉 = 0 per ogni y ∈ Y, si ha x = 0.

4. Dato y ∈ Y tale che 〈x, y〉 = 0 per ogni x ∈ X, si ha y = 0.

I due esempi qui sotto sono fondamentali, tanto da aver ispirato l’interateoria che andremo a tratteggiare.

Esempio 3.1.1. Se X e uno spazio vettoriale, indichiamo con X† il suo dualealgebrico. X ed X† sono in dualita con 〈x, ϕ〉 = ϕ(x) per ogni x ∈ X e per ogniϕ ∈ X†.

Esempio 3.1.2. Se X e uno spazio localmente convesso (di Hausdorff) e X∗ ⊂ X†

e il suo duale (topologico) la mappa di valutazione dell’esempio precedente

〈x, ϕ〉 = ϕ(x) per ogni x ∈ X per ogniϕ ∈ X∗

e ancora un’applicazione di dualita grazie al teorema di Hahn-Banach (X∗ separaX).

35

36 CAPITOLO 3. DUALITA

Molto spesso per indicare che X e Y sono in dualita, si adotta la scritturasintetica (X,Y) e ci si riferisce a tale simbolo col nome di coppia duale1.Data una coppia duale (X,Y), definiamo la σ(X,Y)-topologia su X come latopologia di spazio vettoriale localmente convesso che ha come subbase diintorni aperti dello zero gli insiemi:

Wy = x ∈ X : |〈x, y〉| ≤ 1

al variare di y ∈ Y. Tale topologia e di Hausdorff, perche Y separa X graziealla definizione di coppia duale.Analogamente viene definita la σ(Y,X)-topologia su Y.Sussiste il seguente risultato, che riconosce in Y il duale topologico di Xmunito della σ(X,Y)-topologia.

Proposizione 3.1.1. Sia (X,Y) una coppia duale. L’applicazione Φ : Y → X∗,data da Φ(y)(x) = 〈x, y〉 per ogni y ∈ Y e per ogni x ∈ X, e un isomorfismo linearese X e munito della σ(X,Y)-topologia.

Dimostrazione. L’unica asserzione non ovvia e quella che riguarda la suriet-tivita di Φ. Sia ϕ ∈ X∗, allora esistono y1, y2, . . . , yn ∈ Y tali che

|ϕ(x)| ≤n∑

i=1

|〈x, yi〉| per ogni x ∈ X

In particolare, 〈x, yi〉 = 0 per ogni i = 1, 2, . . . ,n implica ϕ(x) = 0. Ciosignifica che e ben definita la forma lineare λ : Cn

→ C data da

(〈x, y1〉, 〈x, y2〉, . . . , 〈x, yn〉) 3 Cn λ→ ϕ(x) ∈ C

Per il teorema di rappresentazione di Riesz (per spazi finito-dimensionali)si ha λ(z) =

∑ni=1 λizi per ogni z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Cn per un opportuni

λi ∈ C. Pertanto si ha ϕ(x) =∑n

i=1 λi〈x, yi〉 = 〈x, y〉 con y =∑n

i=1 λiyi ∈ Y perogni x ∈ X, cio che conclude la prova.

3.2 Due risultati fondamentali

In questo paragrafo presentiamo due risultati basilari per gli sviluppi suc-cessivi della teoria: il teorema del bipolare ed il teorema di Alaoglu. Comin-ciamo con una definizione importante:

Definizione 3.2.1 (Polare di un insieme). Sia (X,Y) una coppia duale e A ⊂ X.Il polare A di A e il sottoinsieme di Y dato da

A = y ∈ Y : |〈x, y〉| ≤ 1 per ogni x ∈ A

1Dual pair nella letterarura inglese.

3.2. DUE RISULTATI FONDAMENTALI 37

Evidentemente A e convesso, equilibrato e σ(Y,X)-chiuso (quale inter-sezione di chiusi), qualunque sia A ⊂ X.La seguente proposizione e di immediata verifica, pertanto ne omettiamola dimostrazione.

Lemma 3.2.1 (Calcolo di polari). Sia (X, y) una coppia duale. Allora:

1. Se A ⊂ B ⊂ X, allora B ⊂ A.

2. (λA) = 1λA per ogni scalare λ non nullo.

3. Se Aα e una collezione di sottoinsiemi di X si ha (∪Aα) = ∩Aα e (∩Aα) =∪Aα.

4. Se V ⊂ X e un sottospazio, si ha V = V⊥ dove

V⊥ y ∈ Y : 〈x, y〉 = 0 per ogni x ∈ V

.

Prima di enunciare i risultati preannunciati, consideriamo la seguente

Definizione 3.2.2 (Topologie compatibili). Sia (X,Y) una coppia duale. Unatopologia localmente convessaT su X si dice compatibile con la dualita se il dualedi X munito della topologia T e ancora Y.

Evidentemente, la σ(X,Y)-topologia e compatibile con la dualita asse-gnata; anzi e la topologia meno fine con tale proprieta, come e immediatoriconoscere. Osserviamo sin da ora che le topologie compatibili hanno glistessi convessi chiusi e gli stessi insiemi limitati.Ora possiamo finalmente enunciare il teorema del bipolare, che puo essereconsiderato l’espressione astratta della forma geometrica del teorema diHahn-Banach.

Teorema 3.2.1 (Teorema del bipolare). Per ogni sottoinsieme C ⊂ X, C el’involucro convesso (equilibrato) chiuso di C in ogni topologia compatibile con ladualita (X,Y).

Dimostrazione. Sia K la chiusura dell’involucro convesso (equilibrato) diC ⊂ X. Siccome C e assolutamente convesso e chiuso nelle topologie com-patibili (essendo σ(X,Y)-chiuso), si ha K ⊂ C. Mostriamo che l’inclusionenon puo essere stretta. Supponiamo per assurdo che esista x0 ∈ C chenon appartiene a K. Per una delle forme geometriche del teorema di Hahn-Banach esiste ϕ ∈ X∗ tale che Reϕ(x) ≤ 1 per ogni x ∈ K, mentre Reϕ(x0) > 1.Se ora y ∈ Y e tale che ϕ(·) = 〈·, y〉, abbiamo y ∈ K = C, da cui |〈x0, y〉| ≤ 1,che e assurdo.


Come utile corollario del teorema del bipolare abbiamo che un sotto-spazio V ⊂ X e denso in ogni topologia compatibile con la dualita (X,Y) see solo se V⊥ = 0.Il teorema seguente, che nella versione astratta che presentiamo e dovutoa L. Alaoglu, e il piu generale risultato di compattezza noto nel contestodell’Analisi Funzionale.

Teorema 3.2.2 (Alaoglu). Sia (X,Y) una coppia duale. Se U ⊂ X e un intornoconvesso ed equilibrato di 0 ∈ X in una topologia compatibile, allora il polare U

e un insieme σ(Y,X)-compatto.

Dimostrazione. Sia pU la seminorma (funzionale di Minkowski) associata adU. Non e difficile riconoscere che si ha:

U = y ∈ Y : |〈x, y〉| ≤ pU(x) per ogni x ∈ X

Fissato x ∈ X, sia Kx = z ∈ C : |z| ≤ pU(x). Indichiamo con K il prodotto (conla topologia di Tychonoff)

∏x∈X Kx. K e uno spazio topologico compatto

(prodotto di compatti) grazie al teorema di Tychonoff. Osserviamo che siha un’ inclusione naturale U ⊂ K, poiche

K = f : X→ C : | f (x)| ≤ pU(x) per ogni x ∈ X

Tale inclusione realizza evidentemente un omeomorfismo fra U e la suaimmagine in K. Cio significa che U e compatto se e solo se la sua immaginein K e chiusa. A tal scopo basta osservare che U e il sottoinsieme di K datoda: ⋂

x,y∈X α,β∈C

f ∈ K : Pαx+βy( f ) − αPx( f ) − βPy( f ) = 02

ove Pw : K→ Kw (w ∈ X) sono le mappe di valutazione (proiezioni). Questariscrittura di U mostra che tal insieme e chiuso quale intersezione di chiusi(le proiezioni sono continue).

Come immediato corollario del teorema ritroviamo il ben noto risultao(noto come teorema di Banach-Alaoglu), secondo il quale la palla unita X∗1del duale di uno spazio normato X e compatta nella topologia *-debole,essendo il polare della palla unita X1 di X stesso.

Osservazione 3.2.1. L’ipotesi che U ⊂ X sia un intorno di una topologacompatibile non puo essere rimossa, come mostra il seguente controesem-pio.Sia X uno spazio di Banach non riflessivo. Consideriamo la coppia duale(X∗,X) (con la dualita canonica). Sia U ⊂ X∗ la palla unita. U e un insieme

2La linearita di una funzione di K implica che tale funzione e della forma 〈·, y〉per qualchey ∈ Y, poiche le funzioni di K sono dominate da una seminorma continua di una topologiacompatibile.

3.3. TOPOLOGIE COMPATIBILI CON UNA DUALITA: TEOREMA DI MACKEY-ARENS39

convesso ed equilibrato; inoltre e un intorno di 0 ∈ X∗ per la topologiadella norma. Tuttavia il polare di U e la palla unita X1 che non e σ(X,X∗)-compatta. In effetti la topologia della norma su X∗ non e comptibile con ladualita (a meno che X sia riflessivo)

3.3 Topologie compatibili con una dualita: teorema diMackey-Arens

Se (X,Y) e una coppia duale, e possibile definire in X (e in Y) topologielocalmente convesse differenti dalle topologie deboli gia introdotte. In par-ticolare, fra queste vi e la topologia di Mackey, che permette di classificaretutte le topologie compatibili con la dualita assegnata.

Definizione 3.3.1 (Topologia di Mackey). Sia (X,Y) una coppia duale. Latopologia di Mackey su X e la topologia localmente convessa generata dalla famigliadi seminorme pK date da:

pK(x) = supy∈K|〈x, y〉|

dove K ⊂ Y e un insieme σ(Y,X)-compatto. La topologia di Mackey su X vieneindicata con τ(X,Y).

Evidentemente la famiglia di seminorme pC dove C ⊂ Y e σ(Y,X)-compatto convesso ed equilibrato e ancora una base di seminorme per latopologia di Mackey, poiche pK = pK (grazie al teorema del bipolare).Il seguente risultato, noto come teorema di Mackey-Arens, individua inτ(X,Y) la piu fine delle topologie localmente convesse compatibili.

Teorema 3.3.1 (Teorema di Mackey-Arens). Sia (X,Y) una coppia duale. Unatopologia localmente convessa T su X e compatibile con la dualita se e solo seσ(X,Y) T τ(X,Y).

Per la dimostrazione di questo notevole risultato puo essere utile ilseguente:

Lemma 3.3.1. Sia X uno spazio vettoriale topologico localmente convesso. AlloraX∗ =

⋃U∈BU, dove B e una base di intorni convessi di 0 e i polari sono relativi

alla dualita (X,X†).

Dimostrazione. Una forma lineare ϕ : X → C e continua se e solo se edominata da una seminorma continua, cioe se esiste U ∈ B tale che |ϕ(x)| ≤pU(x) per ogni x ∈ X, cioe se e solo se ϕ ∈ U.

Ora possiamo passare alla prova del teorema 3.3.1.


Dimostrazione. Per definizione la σ(X,Y)-topologia e la topologia localmen-te convessa meno fine compatibile con la dualita. Sia T una topologiacompatibile. Occorre mostrare che T τ(X,Y). A tal scopo, sia U ⊂ X unintorno chiuso convesso ed equilibrato di 0 ∈ X. Per il teorema del bipolareU = U. Per il teorema di Alaoglu K = U e σ(Y,X)-compatto, quindiU = x ∈ X : pK(x) ≤ 1 e un intorno di 0 ∈ X per la topologia di Mackey.Per concludere, basta provare che τ(X,Y) e compatibile. Per computare ilduale di X munito della topologia di Mackey, ci avvaliamo del lemma 3.3.1.Sia K ⊂ Y un insieme convesso equilibrato, σ(Y,X)-compatto. Ne segue cheK e chiuso nella topologia σ(X†,X), pertanto K = K, grazie al teorema delbipolare applicato alla coppia duale (X†,X). Per definizione di topologia diMackey K e un intorno (convesso equilbrato) di 0 ∈ X. Quindi

X∗ =⋃

K = Y

al variare di K ⊂ Y fra i sottoinsiemi convessi, equilibrati e σ(Y,X)-compatti.

Un fatto notevole nella teoria della dualita e che la nozione di limitatezzae indipendente dalla topologia, nel senso che le topologie compatibili hannotutte i medesimi insiemi limitati in conseguenza del risultato seguente:

Proposizione 3.3.1. Sia E uno spazio localmete convesso e B ⊂ E un suosottoinsieme. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. B e un insieme limitato.

2. p(B) e limitato in R per ogni seminorma continua p : E→ R.

3. B ⊂ E∗ e un insieme assorbente.

4. ω(B) e limitato in C per ogni ω ∈ E∗.

Dimostrazione. Le prime tre condizioni sono palesemente equivalenti. Mo-striamo che la condizione espressa in 4. implica la limitatezza.Sia B ⊂ E un sottoinsieme che verifica la condizione supx∈B |ω(x)| < ∞ perogni ω ∈ E∗. Sia U un intorno (convesso ed equilibrato) di 0 ∈ E. Vogliamomostrare che B e assorbito da U. Indichiamo con pU il funzionale di Minko-wski associato ad U e definiamo il sottospazio NU x ∈ E : pu(x) = 0 ⊂ E.Sullo spazio quoziente E/NU resta ben definita la norma ‖ · ‖ data da‖x‖ = pU(x). Sia (XU, ‖ · ‖) lo spazio di Banach ottenuto completando ilquoziente E/NU e sia π : E→ XU la mappa lineare ottenuta componendo laproiezione canonica di E sul quoziente E/NU con l’immersione di E/NU nelcompletamento XU. Osserviamo che B e assorbito da U se e solo se π(B) elimitato (in norma) in XU. Per il teorema di Banach − Steinhaus basta verifi-care che π(B) e debolmente limitato. A tal scopo, sia ϕ ∈ X∗U un funzionale

3.4. SPAZI RIFLESSIVI 41

lineare limitato. Definiamo ω : E → C ponendo ω(x) = ϕ(π(x)). Osservia-mo cheω ∈ E∗, perche π e un’applicazione continua. Per ipotesi deve essereallora supx∈B |ω(x)| < ∞ da cui ϕ(π(B)) e limitato per ogni ϕ ∈ X∗U, che e laconclusione.

Come preannunciato, possiamo ora enunciare l’immediato corollario:

Teorema 3.3.2 (Mackey). Gli insiemi limitati di E sono gli stessi per tutte letopologie localmente convesse compatibili con la dualita fra E ed E∗.

Concludiamo questa sezione segnalando una definizione ed un semplicerisultato.

Definizione 3.3.2 (Spazi relativamente forti). Uno spazio localmente convessoE si dice relativamente forte se la sua topologia coincide con la topologia di Mackeyτ(E,E∗).

Esempi tipici di spazi relativamente forti sono dati dagli spazi bornolo-gici:

Proposizione 3.3.2. Se E e uno spazio bornologico, allora E e relativamente forte.

Dimostrazione. Indichiamo con Eτ lo spazio vettoriale topologico E munitodella topologia di Mackey. L’applicazione identica i : E → Eτ e evidente-mente limitata grazie al teorema di Mackey, sicche i e continua in quanto E euno spazio bornologico per ipotesi. Cio significa che la topologia di E e piufine della topologia di Mackey e, quindi, deve coincidere con quest’ultimagrazie al teorema di Mackey-Arens.

Corollario 3.3.1. Se (X, ‖ · ‖) e uno spazio normato, allora τ(X,X∗) e la topologiadella norma, cioe (X, ‖ · ‖) e relativamente forte.

3.4 Spazi riflessivi

Data una coppia in dualita (E,F) e possibile definire una terza topologialocalmente convessa di notevole interesse: la cosiddetta topologia forte.

Definizione 3.4.1 (topologia forte). Sia (E,F) una coppia in dualita. La topologiaforte su F e l topologia localmente convessa generata dalla base di seminorme

pB(y) = supx∈B|〈x, y〉|

al variare di B ⊂ E fra gli insiemi limitati (per le topologie compatibili). Essa vieneindicata con β(F,E).


Vogliamo considerare il caso particolare della coppia duale (E,E∗), oveE e uno spazio localmente convesso. Munito della β(E∗,E)-topologia, E∗

viene indicato con E∗b e chiamato duale forte. Osserviamo che, nel casonormato, la topologia forte sul duale si riduce all’usuale topologia dellanorma (duale), in modo che la seguente definizione appare come un’ovviageneralizzazione:

Definizione 3.4.2 (Biduale). Il biduale E∗∗ di uno spazio localmente convesso Ee il duale dello spazio E∗b.

Come per gli spazi normati, possiamo considerare l’iniezione canonicaj : E→ E∗∗ data da

〈 j(x), ϕ〉〈ϕ, x〉 per ogni x ∈ E e per ogniϕ ∈ E∗

Adesso siamo in grado di dare due importanti definizioni:

Definizione 3.4.3 (Spazi semiriflessivi). Uno spazio localmente convesso E sidice semiriflessivo se l’iniezione canonica di E nel suo biduale E∗∗ e surgettiva.

Una nozione piu forte e quella di riflessivita:

Definizione 3.4.4 (Spazi riflessivi). Uno spazio localmente convesso E si diceriflessivo se l’iniezione canonica j : E → E∗∗ e un omeomorfismo tra E con latopologia iniziale ed E∗∗ con la topologia forte β(E∗∗,E).

Allo scopo di dimostrare una notevole caratterizzazione degli spazi ri-flessivi, consideriamo i seguenti risultati preliminari, molti dei quali vivonodi interesse proprio.Utile corollario del teorema di Alaoglu, consideriamo dapprima il risultatoseguente, che appartiene alla teoria generale degli spazi barreled.

Proposizione 3.4.1. Sia E uno spazio barreled e H ⊂ E∗. Le seguenti condizionisono equivalenti:

1. H e σ(E∗,E)-limitato.

2. H e β(E∗,E)-limitato.

3. H e equicontinuo.

4. H e relativamente compatto per la σ(E∗,E)-topologia.

Dimostrazione. L’equivalenza delle prime tre affermazioni e conseguenzaimmediata del principio di uniforme limitatezza. Supponiamo che H siaequicontinuo. Allora e immediato riconoscere che H ⊂ E e un intornodi 0 ∈ E, cosicche H ⊂ E∗ e compatto nella topologia debole. SiccomeH ⊂ H, si ha che H e relativamente compatto in tale topologia. Se, poi, He relativamente σ(E∗,E)-compatto, allora esso e sicuramente limitato in taletopologia.

3.4. SPAZI RIFLESSIVI 43

Qui di seguito troviamo un risultato generale di un certo interesse:

Teorema 3.4.1. Il duale forte di uno spazio semiriflessivo e uno spazio barreled.

Dimostrazione. Sia E uno spazio semiriflessivo e E∗b il suo duale forte. SiaC ⊂ E∗ un barrel. Occorre provare che C e un intorno di 0 ∈ E∗ per latopologia forte β(E∗,E). Siccome E e semiriflessivo, la topologia forte su E∗ ecompatibile con la dualita (E∗,E), pertanto C e un insieme debolmente chiu-so (essendo convesso). Per il teorema del bipolare C = C. Se mostriamoche C ⊂ E e limitato, avremo la conclusione, ma quest’ultima affermazionee conseguenza immediata del fatto che C e un insieme assorbente.

Conseguenza pressocche immediata del risultato precedente e il teoremache segue:

Teorema 3.4.2. Sia E uno spazio localmente convesso. Le seguenti proprieta sonoequivalenti:

1. E e semiriflessivo.

2. Ogni insieme B ⊂ E chiuso e limitato e compatto per la topologia deboleσ(E,E∗).

Dimostrazione. Sia E e semiriflessivo e B ⊂ E un insieme chiuso e limitato. Ilsuo polare B ⊂ E∗ e un insieme convesso, equilibrato, assorbente e chiusoin E∗b. Siccome E∗b e uno spazio barreled, ne segue che B e un intorno di 0nella topologia forte, che e una topologia compatibile con la dualita (E∗,E).Per il teorema di Alaoglu, B e debolmente compatto; ne segue che B ⊂ B

e tale, quale chiuso in un compatto.Viceversa, se ogni sottoinsieme B ⊂ E chiuso e limitato e debolmente com-patto, si ha che le topologie τ(E∗,E) e β(E∗,E) coincidono, pertanto il bidualedi E e ancora E, grazie al teorema di Mackey-Arens.

Sussiste la seguente

Proposizione 3.4.2. Se E e uno spazio barreled semiriflessivo, allora E e riflessivo.

Dimostrazione. Occorre mostrare soltanto che l’iniezione canonica j : E →E∗∗ = E e bicontinua e cioe che la topologia di E coincide con la topologiaforte β(E,E∗). Siccome E e barreled, si applica il teorema di Banach-Steinhaus,in modo che gli insiemi equicontinui di E∗ sono tutti e i soli insiemi forte-mente limitati. La conclusione segue osservando che la topologia iniziale diE e la topologia della convergenza uniforme sugli insiemi equicontinui.

Possiamo enunciare finalmente la caratterizzazione egli spazi riflessivi:

Teorema 3.4.3. Uno spazio localmente convesso E e riflessivo se e solo se e barrelede ogni insieme chiuso e limitato B ⊂ E e σ(E,E∗)-compatto.


Dimostrazione. Evidente applicazione dei risultati precedenti.

I seguenti corollari non sono scevri di applicazioni concrete in seno allateoria delle distribuzioni.

Corollario 3.4.1. Gli spazi di Montel sono riflessivi.

Dimostrazione. Uno spazio di Montel e barreled per ipotesi; inoltre ogni suosottoinsieme chiso e limitato e compatto per la topologia iniziale e, dunque,e debolmente compatto.

Proposizione 3.4.3. Sia E uno spazio di Montel. Ogni sottoinsieme chiuso elimitato in E∗b e compatto in E∗b. Inoltre, sui sottoinsiemi limitati di E∗b, la topologiaforte e la topologia debole coincidono.

Dimostrazione. Sia H un sottoinsieme limitato in E∗b. Allora H e equicon-tinuo, perche E e uno spazio barreled, pertanto su H la topologia debolecoincide con la topologia della convergenza sui compatti, che devono coin-cidere con la topologia forte; cio prova l’ultima parte dell’enunciato.Supponiamo ora che H sia fortemente chiuso e sia H la sua chiusura nel-la topologia debole. Siccome H e equicontinuo, H e ancora equicontinuoe, pertanto e debolmente compatto. Per quanto dimostrato all’inizio, to-pologia forte e debole coincidono su H, sicche H e fortemente denso inH, da cui H = H, cosicche H e debolmente compatto, ovvero fortementecompatto.

Corollario 3.4.2. Il duale forte di uno spazio di Montel e ancora uno spazio diMontel.

Dimostrazione. Se E e uno spazio di Montel, allora E e (semi)riflessivo,pertanto e uno spazio barreled. Se H ⊂ E∗b e chiuso e limitato per la topologiaforte, H e fortemente compatto grazie alla precedente.

Proposizione 3.4.4. Se B ⊂ E e un sottoinsieme limitato di uo spazio di MontelE, allora la topologia iniziale e la σ(E,E∗) topologia coincidono su B.

Dimostrazione. Indichiamo con B la chiusura di B in E rispetto alla topolo-gia iniziale. Siccome E e uno spazio di Montel, B e un insieme compatto.L’applicazione identica i : (B, σ(E∗,E)) → (B) e continua (siccome la topo-logia iniziale e piu fine della topologia debole). Siccome B e (debolmente)compatto, i e un’applicazione aperta, dunque bicontinua.

Capitolo 4

Caratterizzazioni dellariflessivita secondo James

Esistono numerose caratterizzazioni della riflessivita per uno spazio di Ba-nach; la piu profonda e certamente quella data da James in [16], secondola quale uno spazio di Banach X e riflessivo se e solo se tutti i funzionalilineari continui su X raggiungono la norma sulla palla unita X1 di X.Questo risultato, non scevro di applicazioni alla teoria degli spazi di Bana-ch, puo riguardarsi come conseguenza di un altro e successivo risultato diJames [17], che esprime una caratterizzazione assai efficiente della compat-tezza debole. Il risultato nella sua massima generalita puo essere enunciatocome segue:

Teorema 4.0.4 (James). Sia X uno spazio localmente convesso completo. Unsottoinsieme σ(X,X∗)- chiuso e limitato C ⊂ X e debolmente compatto, se e solo se,per ogni ϕ ∈ X∗, esiste c ∈ C tale che |ϕ(c)| = supx∈C |ϕ(x)|.

L’ipotesi di completezza, purtroppo, non puo essere rimossa, come di-mostra un notevole controesempio dovuto allo stesso James, cfr. [18]. Ilprossimo paragrafo e dedicato proprio alla presentazione del controesem-pio di James; i successivi, invece, alla dimostrazione del risultato richiamato,che richiedera tutta una serie di lemmi preliminari.

4.1 Il controesempio di James

Seguendo molto da vicino l’articolo di James [18], presenteremo uno spazionormato (non completo) Y, la cui palla unita Y1 non e debolmente com-patto, pur essendo debolmente chiusa, limitata e con la proprieta che ogniϕ ∈ Y∗ raggiunge la sua norma. Il completamento di tale spazio e , eviden-temente, uno spazio di Banach riflessivo. Alla costruzione vera e propriapremettiamo qualche nozione preliminare.

45

46CAPITOLO 4. CARATTERIZZAZIONI DELLA RIFLESSIVITA SECONDO JAMES

Definizione 4.1.1 (Somma l2 di spazi normati). Data (Xi, ‖ · ‖i) : i ∈ N unacollezione (numerabile) di spazi normati, definiamo la loro somma l2 come lo spazionormato X delle funzioni x ∈

∏i∈NXi tali che

∑i ‖xi‖

2i ‖x‖

2 < ∞, munito dellanorma ‖ · ‖. Tale spazio viene indicato con ⊕l2

i∈NXi.

Si verifica immediatamente che (X, ‖ · ‖) e uno spazio di Banach se talisono gli spazi (Xi, ‖ · ‖i) per ogni i.Per quanto concerne lo spazio duale di X, sussiste il risultato seguente.

Proposizione 4.1.1. Se X = ⊕l2i∈NXi, allora si ha l’isomorfismo isometrico X∗

⊕l2i∈NXi

∗.

Dimostrazione. Sia Φ : ⊕l2i∈NXi

∗→ X∗ l’applicazione lineare data da Φ(ϕi)(x) ∑

∞

i=1 ϕi(xi) per ogni x = xi ∈ X, se ϕ = ϕi ∈ ⊕l2i∈NX∗i . Tale mappa e ben

definita, poiche si ha

|

∞∑i=1

ϕi(xi)| ≤∞∑

i=1

‖ϕi‖‖xi‖ ≤ (∞∑

i=1

‖ϕi‖2)

12 (∞∑

i=1

‖xi‖2i )

12

da cui si ricava anche che Φ e contrattiva. Verifichiamo che trattasi di unamappa suriettiva. Siaϕ ∈ X∗, definiamoϕi : Xi → C ponendoϕi(y) = ϕ(δi

y),dove δi

y e la successione da δiy( j) = δi, jy. Evidentemente ϕi ∈ X∗i . Vogliamo

verificare che riesce∑∞

i=1 ‖ϕi‖2≤ ‖ϕ‖2, dalla quale avremo la conclusione

piena.A tal scopo, sia ε > 0 e xi ∈ Xi con ‖xi‖ = 1 e ‖ϕi‖

2≤ |ϕi(xi)|2 + ε

2i . Allorasi ha che

∑∞

i=1 ‖ϕi‖2≤

∑∞

i=1 |ϕi(xi)|2 + ε. Sia ora λ = λi ∈ l2 in modo cheλx λixi appartiene a X e ‖λx‖2 = ‖λ‖22. Si ha:

|

∞∑i=1

λiϕi(xi)| = |ϕ(λx)| ≤ ‖ϕ‖‖λ‖2

La disuguaglianza mostra che la successione ϕi(xi) appartiene a l2 e che∑∞

i=1 |ϕi(xi)|2 ≤ ‖ϕ‖2, grazie al teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet;se ne conclude che

∑∞

i=1 ‖ϕi‖2≤ ‖ϕ‖2 + ε, da cui l’asserto, ε > 0 essendo

arbitrario.

Il corollario che segue e immediato

Corollario 4.1.1. Se (Xi, ‖ · ‖i) : i ∈ N e una collezione di spazi di Banachriflessivi, allora X = ⊕l2

i∈NXi e uno spazio riflessivo.

Veniamo ora alla costruzione vera e propria. Per ogni numero naturalen definiamo lo spazio di Banach Xn come Rn, munito della norma data da‖x‖ = maxi=1,2...,n |xi|. Sia X = ⊕l2

n∈NXn. X e uno spazio riflessivo, quale som-ma di spazi riflessivi (finito-dimensionali). Sia, infine, Y ⊂ X il sottospazio

4.2. UN CONTROESEMPIO AL TEOREMA DI JAMES 47

generato dalle successioni xn ∈ X tali che ogni xn ∈ Rn e un vettore le cuicoordinate hanno tutte lo stesso valore assoluto, cioe |x j

n| = |xin| per ogni

i, j = 1, 2, . . . ,n e per ogni n ∈N.L’inclusione Y ⊂ X e stretta1. Inoltre e facile verificare che trattasi di un sot-tospazio denso, invocando, ad esempio, il teorema di Krein-Milman, vistoche le succesioni generanti Y a norma unitaria sono punti estremali dellapalla unita X1 di X. Vogliamo verificare che ogniϕ ∈ X∗ raggiunge la normasu Y1, pur non essendo Y1 riflessivo, quale spazio normato non completo.Siccome l’inclusione Y ⊂ X e densa, vale l’isomorfismo isometrico X∗ Y∗

(dato dalla mappa di restrizione: X∗ 3 ϕ → ϕ Y∈ Y∗). Dato ϕ ∈ X∗, esistex0 ∈ X1 tale che ‖ϕ‖ = ϕ(x0), poiche X e riflessivo2.Tale ϕ ∈ X∗ puo essere identificato ad una successione an ∈ ⊕

l2n∈NR

n conan = ai

n : i = 1, 2 . . . n in modo che

ϕ(x) =

∞∑n=1

n∑i=1

ainxi

n

per ogni x ∈ X.Sia ora y0 ∈ Y la successione y0,n dove y0,n ∈ Rn ha coordinate date dayi

0,n = εin maxi=1,2...,n |xi

0,n| dove εin vale 1 se ai

n ≥ 0, −1 in caso contrario.Osserviamo che, per costruzione, riesce ‖y0‖ = ‖x0‖ ≤ 1 e ϕ(y0) ≥ ϕ(x0) =‖ϕ‖, da cui si ricava che vale ϕ(y0) = ‖ϕ‖.La palla unita Y1, quindi, non e un insieme debolmente compatto, purverificando le ipotesi del teorema di James. Cio mostra che l’ipotesi di com-pletezza non puo essere rimossa.

Nel paragrafo successivo presentiamo un altro controesempio, inqua-drato nel contesto piu generale degli spazi localmente convessi non normati.Questo controesempio e dovuto all’autore.

4.2 Un controesempio al teorema di James

Vogliamo presentare uno spazio localmente convesso (reale) E non comple-to, dotato di un sottoinsieme C ⊂ E che non e debolmente compatto, pur

1Per dimostrarlo, occorre osservare che fissato n ∈N, i vettori del tipo (±1,±1, . . . ,±1) ∈Rn sono i punti estremali della palla unitaria di Rn con la norma del sup (cubo n-dimensionale). Non e difficile verificare (ad esempio per induzione su n) che esiste unvettore xn ∈ Rn che non puo essere espresso come una combinazione lineare di meno di nvettori del tipo descritto. Se indichiamo con x ∈ X l’elemento ⊕nxn, e facile mostrare chex < Y. Il generico elemento di Y e, infatti, un vettore del tipo

∑Ni=1 αi yi dove ciascun yi e

una successione di vettori yni tale che yn

i ∈ Rn e |yn

i (k)| = |yni ( j)| per ogni j, k = 1, 2, . . . ,n

e per ogni n ∈ N. Grazie all’osservazione fatta all’inizio xN+1 non puo esprimersi come∑Ni=1 αi yN+1

i ; cio mostra che x < Y.2Per il teorema di Hanh-Banach, esiste F ∈ X∗∗1 tale che F(ϕ) = ‖ϕ‖, ma F = j(x0) per

qualche x0 ∈ X1, j essendo l’iniezione canonica di X nel suo biduale.


essendo limitato, debolmente chiuso e con la proprieta che per ogni ϕ ∈ E∗

si abbia supx∈C ϕ(x) = ϕ(c) per qualche c ∈ C.Sia X lo spazio di Banach delle funzioni f : [0, 1]→ R tali che

‖ f ‖1 ∑

x∈[0,1]

| f (x)| < ∞

munito della norma ‖ · ‖1. Osserviamo che le funzioni di X hanno supportoal piu numerabile. Sia fx ∈ X la funzione che vale 1 in x e 0 altrove, dovex ∈ [0, 1]. Siccome riesce ‖ fx− fy‖1 = δx,y si ha che (X, ‖ · ‖1) e uno spazio none separabile.Indichiamo con B[0, 1] lo spazio delle funzioni f : [0, 1] → R, che sono ivilimitate, munito della norma uniforme ‖ f ‖∞ = supx∈[0,1] | f (x)|.Sussiste il seguente fatto prevedibile:

Lemma 4.2.1. Con le notazioni precedenti, la mappa Φ : B[0, 1] → X∗ datada 〈Φ(g), f 〉

∑x∈[0,1] g(x) f (x) per ogni f ∈ X, g ∈ B[0, 1], e un isomorfismo

isometrico.

Dimostrazione. Siccome |∑

x∈[0,1] g(x) f (x)| ≤ ‖g‖∞‖ f ‖1, Φ e ben definita e‖Φ(g)‖ ≤ ‖g‖∞. La verifica che Φ e suriettiva non presenta difficolta. Seϕ ∈ X∗, definiamo g ponendo g(x) = ϕ( fx). Evidentemente si ha ‖g‖∞ ≤ ‖ϕ‖.Per costruzione riesceϕ( fx) =

∑y∈[0,1] g(y) fx(y) per ogni x ∈ [0, 1], siccheϕ =

Φ(g) (e ‖ϕ‖ = ‖g‖∞), poiche lo spazio vettoriale generato da fx : x ∈ [0, 1] edenso in X.

Sia ora C[0, 1] ⊂ B[0, 1] il sottospazio chiuso delle funzioni continue.Osserviamo che X e C[0, 1] sono in dualita in modo naturale, perche ifunzionali di C[0, 1] separano X; piu precisamente:

Lemma 4.2.2. C[0, 1] ⊂ X∗ e un sottospazio che norma X, ossia vale l’uguaglianza

‖ f ‖1 = supg∈C[0,1]1 |〈Φ(g), f 〉|

per ogni f ∈ X.

Dimostrazione. Sia f ∈ X. Siccome supp f ⊂ [0, 1] e un insieme al piu nu-merabile, possiamo scrivere supp f = xi : i ∈ N, in modo che ‖ f ‖1 =∑∞

i=1 | f (xi)|. Sia ora ε > 0 e sia N un intero tale che∑∞

i=N+1 | f (xi)| ≤ ε. Siag : [0, 1] → R un prolungamento continuo (alla Tietze) della funzione hdefinita sul chiuso x1, x2, . . . , xN che vale 1 nei punti xi tali che f (xi) ≥ 0 e−1 altrove. Riesce

〈Φ(g), f 〉 =

N∑i=1

| f (xi)| +∞∑

i=N+1

g(xi) f (xi) ≤ ‖ f ‖1 − 2ε

da cui si ricava la conclusione, perche ‖g‖∞ = 1 e ε e arbitrario.

4.3. IL TEOREMA DI JAMES 49

Pensiamo ora lo spazio vettoriale X munito della topologia di Mackeyτ(X,C[0, 1]) e indichiamo con E tale spazio localmente convesso. In [6] vienedimostrato che E non e completo.Sia ora C ⊂ E il sottoinsieme dato dalla palla unita X1. Evidentemente C elimitato per la topologia di Mackey, essendo addirittura limitato in norma;inoltre esso e un chiuso di tale topologia, essendo perfino σ(E,E∗)-chiuso,poiche E∗ = C[0, 1] (grazie al teorema di Mackey-Arens) e vale la scrittura:C = f ∈ E : |〈Φ(g), f 〉| ≤ 1 per ogni g ∈ C[0, 1]1, che esprime C qualeintersezioni di insiemi σ(E,E∗)-chiusi.Osserviamo pure che i funzionali di E∗ raggiungono il sup su C. Infatti,data g ∈ C[0, 1], si ha sup f∈C |〈Φ(g), f 〉| = ‖g‖∞. Siccome g e una funzionecontinua, esiste x0 ∈ [0, 1] tale che ‖g‖∞ = |g(x0)|. Sia f0 = ε fx0 , doveε = 1 se f (x0) > 0, ε = −1 in caso contrario, allora si ha 〈Φ(g), f0〉 = ‖g‖∞,che e quanto volevamo provare, essendo ‖ f0‖1 = 1. Ciononostante, vale ilseguente risultato:

Proposizione 4.2.1. Con le notazioni sopra introdtte, C non e un insieme σ(E,E∗)compatto.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che lo sia. Consideriamo la mappaΨ : X → C[0, 1]∗ data da 〈Ψ( f ), g〉 =

∑x∈[0,1] f (x)g(x) per ogni g ∈ C[0, 1],

f ∈ X. Una facile verifica mostra che Ψ e un’applicazione isometrica, cioeche ‖Ψ( f )‖ = ‖ f ‖1 per ogni f ∈ X. Tale applicazione, inoltre, e continuaquando X e munito della σ(X,C[0, 1])-topologia e C[0, 1]∗ della topologia*-debole.Simmome X1 e un insieme σ(X,C[0, 1])-compatto, ne segue che Ψ(X)1 e*debolmente compatto e, quindi, *debolmente chiuso. Per il teorema diKrein-Smulian, allora, Ψ(X) e *debolmente chiuso, percio Ψ e suriettiva,avendo immagine *debolmente densa. Ne segue che C[0, 1]∗ X, chee assurdo, giacche C[0, 1]∗ M([0, 1]), M([0, 1]) essendo lo spazio dellemisure boreliane finite su [0, 1].

4.3 Il teorema di James

Questo paragrafo e interamente dedicato alla dimostrazione del teoremamenzionato all’inizio del capitolo presente. Presentiamo la prova contenu-ta nel lavoro di James [17] del 1971, che rappresenta l’approccio piu veloceal problema. Senza entrare nei dettagli della storia di questo profondissimorisultato, e comunque inevitabile accennare brevemente a quei passi preli-minari, che hanno portato alla formulazione ottimale del teorema.Il primo risultato e del 1950 ed e dovuto allo stesso James [19], dove fudimostrato che uno spazio di Banach X con base di Schauder e riflessivo seogni funzionale lineare e continuo raggiunge la sua norma sulla palla unitadi X. L’ipotesi di esistenza di base di Schauder fu rimossa lo stesso anno da


Klee in [25].Veniamo adesso alla trattazione vera e propria, per la quale e richiestol’utilizzo di un classico lemma dovuto a Helly:

Lemma 4.3.1 (Helly). Sia X uno spazio di Banach. Dati f1, f2, . . . , fn ∈ X∗ eα1, α2, . . . , αn ∈ R, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. Per ogni ε > 0, esiste xε ∈ X tale che ‖xε‖ ≤ 1 e | fi(xε) − αi| < ε per ognii = 1, 2, . . . ,n.

2. |∑n

i=1 βiαi| ≤ ‖∑n

i=1 βi fi‖ per ogni (β1, β2, . . . , βn) ∈ Rn.

Dimostrazione. 1. ⇒ 2. Siano β1, β2, . . . βn ∈ R fissati. Poniamo S =∑n

i=1 |βi|.Dalla condizione espressa in 1. si ha che αi < fi(xε) + ε (e αi > fi(xε)− ε) perogni i = 1, 2, . . . ,n da cui ricaviamo che

|

n∑i=1

βiαi| < |n∑

i=1

βi fi(xε)| + εS ≤ ‖n∑

i=1

βi fi‖ + εS

che e proprio la 2. grazie all’arbitrarieta di ε > 0.2. ⇒ 1. Sia Ψ : X → Rn la mappa lineare e continua data da Ψ(x) ( f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) e sia α (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn. Occorre provare cheα ∈ K, dove K e la chiusura di Ψ(X1), X1 essendo la palla unitaria diX. Se cosı non fosse, α e K potrebbero essere strettamente separati da uniperpiano di Rn, poiche K e un sottoinsieme compatto e convesso. Ciosignifica che esisterebbe ϕ ∈ Rn∗ tale che ϕ(y) < γ < ϕ(α) per ogni y ∈ K,dove γ e un opportuno numero reale. Per il teorema di rappresentazionedi Riesz abbiamo ϕ(y) =

∑ni=1 βiyi per ogni y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn con

(b1, β2, . . . , βn) ∈ Rn, da cui si ricava che |∑n

i=1 βi fi(x)| < γ∑n

i=1 βiαi per ognix ∈ X1 ossia ‖

∑ni=1 βi fi‖ < γ <

∑ni=1 βiαi che e in contraddizione con la 2.

Il lemma di Helly ammette anche la seguente formulazione, in tuttoequivalente a quella appena dimostrata:

Lemma 4.3.2 (Helly). Sia X uno spazio di Banach. Dati f1, f2, . . . , fn ∈ X∗,α1, α2, . . . , αn ∈ R e M > 0, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. Per ogni ε > 0 esiste xε tale che ‖xε‖ ≤ M + ε e fi(xi) = αi per ognii = 1, 2, . . . ,n.

2. |∑n

i=1 βiαi| ≤M‖∑n

i=1 βi fi‖ per ogni (β1, β2, . . . βn) ∈ Rn.

La dimostrazione per gli spazi separabili e notevolmente meno com-plessa ed e l’argomento della sezione che segue.


Il caso degli spazi di Banach separabili

Il caso separabile puo essere trattato con l’ausilio del seguente lemmatecnico.

Lemma 4.3.3. Sia X uno spazio di Banach, θ un numero reale appartenenteall’intervallo (0, 1) e fn ⊂ X∗1 tale che

‖ f ‖ ≥ θ per ogni f ∈ conv fn.

Se λn e una successione di numeri reali positivi con∑∞

i=1 λi = 1, allora esiste unnumero α ∈ [θ, 1] e una successione gn con gn ∈ conv fi : i ≥ n per ogni n taliche

‖

∞∑i=1

λigi‖ = α

e, per ogni n

‖

n∑i=1

λigi‖ < α

1 − θ∞∑

i=n+1

λi

Dimostrazione. Sia εn una successione di numeri reali positivi tali che

∞∑k=1

λkεk∑∞

i=k+1 λi∑∞

i=k λi< 1 − θ (4.1)

Scegliamo induttivamente gn in modo che gn ∈ conv fi : i ≥ n e∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=1

λigi +

∞∑i=n

λi

gn

∥∥∥∥∥∥∥ < αn(1 + εn) (4.2)

dove

αn = inf

∥∥∥∥∥∥∥

n−1∑i=1

λigi +

∞∑i=n

λi

g

∥∥∥∥∥∥∥ : g ∈ conv fi : i ≥ n

Siccome g e ogni gi appartengono alla palla unita di X∗, si ha θ ≤ 1 per ognin. Inoltre, si ha pure

αn ≤ inf

∥∥∥∥∥∥∥

n−1∑i=1

λigi + λngn +

∞∑i=n+1

λi

g

∥∥∥∥∥∥∥ : g ∈ conv fi : i ≥ n + 1

= αn+1

pertanto la successione αn e monotona crescente, cosicche esiste α =limn→∞ αn e θ ≤ α = ‖

∑∞

i=1 λigi‖ ≤ 1. Segue dalla disuguaglianza 4.2che∥∥∥∥∥∥∥

n∑i

λigi

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ λn∑∞

i=n λi

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=1

λigi +

∞∑nλi

gn

∥∥∥∥∥∥∥ +

∑∞

i=n+1 λi∑∞

i=n λi

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=1

λigi

∥∥∥∥∥∥∥<

∞∑i=n+1

λi

λnαn(1 + εn)∑∞

n+1 λi∑∞

i=n λi+

1∑∞

i=n λi

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=1

λigi

∥∥∥∥∥∥∥ (4.3)


Applicazioni successive della 5.1 per valori decrescenti di n danno

‖

n∑i=1

λigi‖

<

∞∑i=n+1

λi

λnαn(1 + εn)∑∞

n+1 λi∑∞

i=n λi+λn−1αn−1(1 + εn−1)∑∞

i=n λi∑∞

i=n−1 λi+

1∑∞

i=n λi

∥∥∥∥∥∥∥n−2∑i=1

λigi

∥∥∥∥∥∥∥

<

∞∑i=n+1

λi

n∑

k=2

λkαk(1 + εk)∑∞

i=k+1 λi∑∞

i=k λi+

1∑∞

i=2 λi‖λ1g1‖

<

∞∑i=n+1

λi

n∑

k=1

λkαk(1 + εk)∑∞

i=k+1 λi∑∞

i=k λi

Siccome αk ≤ α e tenendo conto della 4.1, si ha che∥∥∥∥∥∥∥

n∑i=1

λigi

∥∥∥∥∥∥∥ < α ∞∑

i=n+1

λi

+ n∑

k=1

(1∑

∞

i=k+1 λi−

1∑∞

i=k λi

)(1 − θ)

= α

1 − θθ∑

i=n+1

λi

cio che conclude la prova.

Acquisito il lemma precedente, non e difficile dimostrare un primorisultato notevole:

Teorema 4.3.1. Sia X uno spazio di Banach separabile. Le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. X non e riflessivo.

2. Dato θ ∈ (0, 1), esiste una successione fn ∈ X∗1 tale che

‖ f ‖ ≥ θ se f ∈ conv fn

e fn∗ 0.

3. Dato θ ∈ (0, 1) e λn una successione di numeri reali positivi con∑∞

i=1 λi =

1, esiste un numero α ∈ [θ, 1] ed una succesione gn ∈ X∗1 tale che gn∗ 0

e

‖

∞∑i=1

λigi‖ = α

e, per ogni n, vale

‖

n∑i=1

λigi‖ < α

1 − θ∞∑

i=n+1

λi

.


4. Esiste un funzionale lineare continuo, che non raggiunge la sua norma suX1.

Dimostrazione. 1.⇒ 2. Se X non e riflessivo, l’iniezione canonica j : X→ X∗∗

non e suriettiva, percio esiste F ∈ X∗∗ con ‖F‖ = 1 e tale che d(F, j(X)) > θgrazie al lemma di Riesz (cfr. [7]), j(X) ⊂ X∗∗ essendo un sottospazio chiuso,poiche j e isometrica e X e completo.Sia ora xi ⊂ X una successione densa. Verifichiamo che, fissato n, i fun-zionali F, j(x1), j(x2), . . . , j(xn) soddisfano la seconda condizione del lemmadi Helly. La disuguaglianza

θ < d(F, j(X)) ≤M‖F +

n∑j=1

αi j(xi)‖

e valida per ogni α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn e con M = θd(F, j(X)) < 1, pertanto

esiste fn ∈ X∗ tale che fn(xi) = 0 per ogni i = 1, 2, . . . ,n, F( fn) = θ e ‖ fn‖ < 1.La successione fn soddisfa le propieta volute. Se f ∈ conv fn, si ha F( f ) = θ,cosicche ‖ f ‖ ≥ θ. Infine fn converge *-debolmente a zero, perche e unasuccessione equilimitata che converge puntalmente a zero su un insiemedenso.L’implicazione 2. ⇒ 3. e un’immediata applicazione del lemma tecnico,dove la convergenza *-debole della successione gn a 0 e conseguenza delfatto che gn ∈ conv fi : i ≥ n.3.⇒ 4. Mostriamo che il funzionale

∑∞

i=1 non raggiunge la sua norma sullapalla unita di X. Sia, dunque, x ∈ X con ‖x‖ ≤ 1.Siccome gi converge*debolmente a 0, esiste n tale che gi(x) < αθ per ogni i > 0. Allora si ha

∞∑i=1

λigi(x) <n∑

i=1

λigi(x) + αθ∞∑

i=n+1

λi < ‖n∑

i=1

λigi‖ + αθ∞∑

i=n+1

λi = α

Siccome x e arbitrario, la diseguaglianza mostra quanto volevamo, essendoverificata l’uguaglianza α = ‖

∑∞

i=1 λigi‖.L’implicazione 4.⇒ 1. e stata gia dimostrata.

Il caso degli spazi di Banach

Il teorema della sezione precedente puo essere generalizzato al caso nonseparabile grazie ad un secondo risultato di natura tecnica, che ora andiamoad enunciare, dopo averne chiarito la notazione contenuta in esso. SeΦn ⊂ X∗ e una successione di funzionali lineari, indichiamo con LΦn

l’insieme di tutti i funzionali lineari ω ∈ X∗ tali che

lim infn→∞

Φn(x) ≤ ω(x) ≤ lim supn→∞

Φn(x)


per ogni x ∈ X.Effettivamente LΦn e un insieme non vuoto. Ad esempio, se l e un limitedi Banach3 su l∞, ω(x) l(Φn(x)), per ogni x ∈ X, e un funzionale lineareappartenente a LΦn.

Lemma 4.3.4. Sia X uno spazio di Banach, θ un numero appartenente all’inter-vallo (0, 1) e fn ⊂ X∗1 tale che

‖ f − ω‖ ≥ θ se f ∈ conv fn eω ∈ L fi.

Se λi e una successione di numeri positivi con∑∞

i λi = 1, allora esiste α ∈ [θ, 2]e una successione gi ∈ X∗1 tali che

‖

∞∑i=1

λi(gi − ω)‖ = α

e, per ogni n e per ogni ω ∈ Lgi, vale la disuguaglianza

‖

n∑i=1

λi(gi − ω)‖ < α

1 − θ∞∑

i=n+1

λi

.Dimostrazione. La dimostrazione di questo risultato ricalca quella gia vistanel caso separabile, salvo qualche ulteriore complicazione tecnica. Per idettagli rimandiamo al lavoro di James [17].

Il lemma precedente porta alla caratterizzazione seguente:

Teorema 4.3.2. Sia X uno spazio di Banach. Le seguenti affermazioni sonoequivalenti:

1. X non e riflessivo.

2. Dato θ ∈ (0, 1), esistono un sottospazio (separabile) Y ⊂ X e una successione fn ∈ X∗1 tali che

‖ f − ω‖ ≥ θ se f ∈ conv fn eω ∈ Y⊥

e limn→∞ fn(y) = 0 per ogni y ∈ Y.

3. Datiθ ∈ (0, 1) e λiuna successione di numeri reali positivi con∑∞

i=1 λi = 1,esistono α ∈ [θ, 2] e una successione gi ⊂ X∗1 tali che

‖

∞∑i=1

λi(gi − ω)‖ = α e ‖n∑

i=1

λi(gi − ω)‖ ≤ α

1 − θ∞∑

i=n+1

λi

per ogni n e per ogni ω ∈ Lgi.

3Consultare, ad esempio, l’appendice corrispondente.


4. Esiste un funzionale lineare continuo che non raggiunge la sua norma sullapalla unita di X.

Dimostrazione. 1. ⇒ 2. Poiche X non e riflessivo, esiste un sottospazio se-parabile4 Y ⊂ X non riflessivo. Grazie al teorema dimostrato nel paragrafoprecedente, dato θ ∈ (0, 1) esiste una successione fn ⊂ Y∗ tale che ‖ f ‖ ≥ θper ogni f ∈ conv fn con fn

∗ 0. Continuiamo ad indicare, con un pic-

colo abuso di notazione, con fn un prolungamento alla Hanh-Banach deifunzionali sopradefiniti, in modo che fn(y)→ 0 per ogni y ∈ Y. Se ω ∈ Y⊥,abbiamo ‖ f − ω‖ ≥ ‖( f − ω) Y ‖ = ‖ f ‖ ≥ θ per ogni f ∈ conv fn, cio chedimostra la 2.L’implicazione 2. ⇒ 3. e il contenuto del lemma precedente, osservandoche ω ∈ L fn implica immediatamente che ω ∈ Y⊥.3 ⇒ 4. Supponiamo che la proprieta espressa in 3. sia verificata. Sia ∆un numero tale che 0 < ∆ < 1

2θ2 e λn tale che λn+1 < ∆λn per ogni n.

Mostreremo che il funzionale∑∞

i=1 λi(gi − ω) non raggiunge la suna normasu X1, se ω ∈ Lgi. A tal scopo, sia x ∈ X1. Siccome lim infn→∞ gn(x) ≤ ω(x)e α ≥ θ, esiste n tale che (gn+1 − ω)(x) < θ2

− 2∆ ≤ αθ − 2∆. Ne segue che∞∑

i=1

λi(gi − ω)(x) <n∑

i=1

(gi − ω)(x) + (αθ − 2∆)λn +

∞∑i=n+2

λi(gi − ω)(x)

da cui ricaviamo che∞∑

i=1

λi(gi − ω)(x) < ‖∞∑

i=1

λi(gi − ω)‖ + (αθ − 2∆)λn + 2∞∑

i=n+2

λi

Ora∑∞

i=n+2 λi < ∆∑∞

n+1 λi, da cui ricaviamo che

∞∑i=1

λi(gi − ω)(x) < α

1 − θ∞∑

n+1

λi

+ (αθ − 2∆)λn+1 + 2∆

∞∑i=n+1

λi =

α − (αθ − 2∆)∞∑

n+2

λi < α.

Siccome ‖∑∞

i=1 λi(gi − ω)‖ = α, abbiamo la conclusione.Di nuovo, l’implicazione 4. ⇒ 1. e di carattere generale ed e stata giaprovata.

Il caso localmente convesso

Il teorema nella sua massima generalita, cosı come e stato enunciato nell’in-troduzione al presente capitolo, puo essere ricavato senza difficolta ecces-sive, riconducendosi all’analogo risultato per gli spazi di Banach.

4Uno spazio di Banach X, i cui sottospazi separabili sono riflessivi, e riflessivo grazie alteorema di Eberlein-Smulian; consultare, ad esempio l’appendice corrispondente.


Sia E uno spazio localmente convesso e C ⊂ E un insieme limitato. PoniamoSC( f ) sup f (x) : x ∈ C, dove f ∈ E∗.Il primo passo consiste nel dimostrare il teorema per gli insiemi separabili;in tal caso si ottiene il risultato seguente.

Teorema 4.3.3. Sia E uno spazio localmente convesso completo e C ⊂ E unsottoinsieme limitato, σ(E,E∗)-chiuso e separabile. Le seguenti affermazioni sonoequivalenti:

1. C non e σ(E,E∗)-compatto.

2. Esite θ ∈ (0, 1) ed una successione fn ⊂ E∗ equicontinua tale che

SC(| f |) ≥ θ per ogni f ∈ conv fn

e limn→∞ fn(x) = 0 per ogni x ∈ C.

3. Esiste θ ∈ (0, 1) tale che, se λi e una successione di numeri reali positivi con∑∞

i=1 λi = 1, allora esiste α ≥ θ ed una successione gi ⊂ E∗ equicontinuatale che limn→∞ gn(x) = 0 per ogni x ∈ C e

SC

| ∞∑i=1

λigi|

= α

ed e soddisfatta per ogni n la disuguaglianza

SC

| n∑i=1

λigi|

< α1 − θ

∞∑i=n+1

λi

4. Esiste un funzionale lineare continuo, che non raggiunge il suo sup su C.

Dimostrazione. Se E e uno spazio localmente convesso, esiste una famigliadi spazi di Banach Xα tale che E e isomorfo ad un sottospazio chiuso delprodotto di Tychonoff

∏α Xα. Per vedere cio, basta considerare una base

pα di seminorme e definire Yα E/Nα, dove Nα = x ∈ E : pα(x) = 0, mu-nito della norma ‖ · ‖α data da ‖ [x]α‖α = pα(x) per ogni x ∈ E; Xα e dunqueil completamento di Yα rispetto alla norma ‖ · ‖α.Sia i : E →

∏α Xα la mappa lineare data da i(x)(α) = [x]α per ogni α e

per ogni x ∈ E. La mappa i e iniettiva, poiche i(x) = 0 implica pα(x) = 0per ogni α, sicche x = 0. Inoltre, come e immediato riconoscere, trattasidi un omeomorfismo. Questo significa che i(E) e completo e, percio, e unsottospazio chiuso del prodotto

∏α Xα; quale convesso, infine, e un chiuso

della topologia debole nel prodotto degli Xα.Sia ora C ⊂ E un sottoinsieme limitato e sia Cα ∈ Xα la sua immaginemediante la proiezione canonica di E sul quoziente Xα. Indichiamo conwcl(Cα) ⊂ Xα la chiusura debole di Cα.


Se wcl(Cα) e debolmente compatto per ogni α, allora∏α wcl(Cα) e compat-

to nella topologia prodotto (Xα e pensato munito della topologia debole),grazie al teorema di Tychonoff. Cio implica che C e debolmente compatto,poiche C e debolmente chiuso in E e i(E) e debolmente chiuso in

∏α Xα.

Avendo assunto per ipotesi che C non e debolmente compatto, deve esitereun indice α tale che wcl(Cα) non e debolmente compatta in Xα. Osserviamopure che, siccome wcl(Cα) ⊂ cl(conv(Cα)), wcl(Cα) e separabile nella topo-logia della norma.Grazie all’argomento appena presentato siamo ricondotti al caso di un sot-toinsieme separabile C ⊂ X, limitato in norma e debolmente chiuso, dove X euno spazio di Banach. Sia Y ⊂ X il sottospazio chiuso (separabile) generatoda C. Definiamo Z come lo spazio normato costituito dai funzionali linearie continui f su Y con norma data da SC(| f |). Se M sup‖x‖ : x ∈ C, si haSC(| f |) ≤ M‖ f ‖ per ogni f ∈ Y∗, in modo che l’inclusione Z ⊂ Y∗ e continua,da cui ricaviamo che si ha un’iniezione continua Z∗ ⊂ Y∗∗.Consideriamo ora j(C) ⊂ Y∗∗. In realta si ha l’inclusione j(C) ⊂ Z∗, infatti:

|〈 j(x), f 〉| = | f (x)| ≤ SC( f )

per ogni f ∈ Z = Y∗ e per ogni x ∈ C, che mostra che si ha j(C) ⊂ Z∗1. Oraosserviamo che la σ(X,X∗)-topologia e la σ(Y,Y∗) topologia coincidono su C(grazie al teorema di Hanh-Banach), mentre su j(C) coincidono la σ(Y ∗∗,Y∗)topologia e la σ(Z∗,Z)-topologia. Siccome C non e σ(Y,Y∗)- compatto, l’in-clusione j(C) ⊂ Z∗1 deve essere stretta, visto che Z∗1 e *-debolmente compatto(grazie al teorema di Banach-Alaoglu) e C e j(C) sono omeomorfi. Se nericava che esiste F ∈ Z∗1 tale che F < j(C). Siccome Y e completo, j(Y) ⊂ Y ∗ ∗e chiuso, cosicche esiste ∆ > 0 tale che d(F, j(Y)) > ∆.Sia ora xn ⊂ C una successione densa. Applicando il lemma di Helly,ricaviamo che esiste una successione fn ⊂ X∗ tale che ‖ fn‖ ≤ 1, F( fn) = ∆ efn(xi) = 0 per ogni i = 1, 2, . . . ,n, che e proprio la condizione 2..2⇒ 3. si dimostra come nei precedenti, sostituendo ‖ · ‖ con SC(| · |) e sfrut-tando l’equicontinuita degli fn e la limitatezza di C.3.⇒ 4. si ottiene alla stessa maniera dei risutati precedenti.4.⇒ 1. e un’ovvia conseguenza del teorema di Weierstrass.

Rimuovendo l’ipotesi di separabilita, il teorema prende la forma se-guente:

Teorema 4.3.4. Sia E uno spazio localmente convesso completo. Se C ⊂ E e unsottoinsieme limitato debolmente chiuso, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. C non e debolmente compatto.

2. Esiste θ ∈ (0, 1), un sottoinsieme C0 ⊂ C e una successione fn ⊂ E∗

equicontinua tali che

SC(| f − ω|) ≥ θ se f ∈ conv fn eω ∈ C⊥0


e limn→∞ fn(x) = 0 se x ∈ C0.

3. Esiste θ ∈ (0, 1) tale che, se λi e una successione di numeri reali positivicon

∑∞

i=1 λi = 1, esistono α > 0 e una successione gi equicontinua tali che

SC

| ∞∑i=1

λi(gi − ω)|

= α e SC

| n∑i=1

λi(gi − ω)|

< α1 − θ

∞∑i=n+1

λi

per ogni n e per ogni ω ∈ Lgi.

4. Esiste un funzionale lineare continuo, che non raggiunge il sup su C.

Dimostrazione. 1. ⇒ 2. Grazie alla forma generale del teorema di Eberlein-Smulian, un sottoinsieme C ⊂ E limitato e debolmente compatto se e solo see numerabimente compatto nella σ(E,E∗)-topologia.Pertanto, se C non e debolmente compatto, esiste un suo sottoinsieme C0 ⊂ Cseparabile che non e debolmente compatto.Applicando il teorema precedenteall’insieme C0 si ottiene facilmente la condizione 2.La catena di implicazioni 2. ⇒ 3. ⇒ 4 puo essere dimostrata esattamentecome nel caso degli spazi di Banach, sostituendo ‖ ·‖ con SC(| · |) e X1 (la pallaunita di X) con C, osservando che, se θ,C0,C e fn sono quelli descritti in2., allora ω ∈ L fn implica ω ∈ C⊥0 .L’implicazione 4. ⇒ 1. e nuovamente ovvia conseguenza del teorema diWeierstrass.

4.4 Subriflessivita

La caratterizzazione della riflessivita data da James, oltre ad essere unrisultato praticamente definitivo in merito alla questione, ha avuto il pregiodi aprire interessanti temi di ricerca; alcuuni lavori di Bishop e Phelps,in particolare, ispirati dalle idee di James, hanno risolto alcune questionifondamentali appartenenti alla teoria degli spazi di Banach, aprendonecontemporaneamente di nuove.In questa breve sezione vogliamo proprio presentare, senza entrare neidettagli delle dimostrazioni, alcuni di quei risultati cui ci riferivamo.Sia X uno spazio di Banach. Un funzionale ϕ ∈ X∗ si dice norm-attaining seesiste x ∈ X1 = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 tale che ‖ϕ‖ = ϕ(x). Sussiste la seguentedefinizione dovuta a Phelps [37]:

Definizione 4.4.1 (Subriflessivita). Uno spazio normato X si dice subriflessivose l’insieme dei funzionali norm-attaining di X∗ e denso (in norma) in X∗.

La definizione appena data ha senso, perche e possibile esibire esempidi spazi normati (incompleti) che non ne verificano il contenuto.Qui sotto riportiamo un notevole controesempio, che gli stessi Bishop e

4.4. SUBRIFLESSIVITA 59

Phelps in [5] attribuiscono a Katznelson.

Sia X ⊂ C[0, 1] lo spazio dei polinomi, pensati come funzioni continuesull’intervallo chiuso e limitato [0, 1], munito della norma uniforme. Sic-come X e denso in C[0, 1] (grazie al classico teorema di approssimazionedi Weierstrass), X∗ si identifica naturalmente a C[0, 1]∗ = M[0, 1] (misureboreliane finite su [0, 1]).Sia p un polinomio costante in SX = x ∈ X : ‖x‖ = 1, in modo che p e identi-camente uguale a 1 ovvero −1. Sia µ ∈ X∗ tale che |µ(p)| = ‖u‖. Scrivendo ladecomposizione di Hanh diµ = µ+−µ−, abbiamo ‖µ‖ = µ+([0, 1])+µ−([0, 1]).Abbiamo

|µ([0, 1])| = |µ+([0, 1]) − µ−([0, 1])| =

∣∣∣∣∣∣∫

[0,1]pdµ

∣∣∣∣∣∣ = ‖µ‖ = µ+([0, 1]) + µ−([0, 1])

da cui µ+ = 0 0 µ− = 0, cioe µ deve essere una misura o positiva o negativa.Supponiamo, invece, che µ raggiunga la norma su un polinomio non co-stante p ∈ SX. Sia F ⊂ [0, 1] il sottoinsieme (chiuso) dove |p| vale 1. Vogliamomostrare che |µ|(Fc) = 0. Supponiamo che sia |µ|(Fc) > 0, allora

‖µ‖ =

∣∣∣∣∣∣∫

[0,1]pdµ

∣∣∣∣∣∣ ≤∫

[0,1]|p|d|µ| =

∫Fc|p|d|µ|+

∫F|p|d|µ| <

∫Fc

d|µ|+∫

Fd|µ| = ‖µ‖

che e assurdo. Siccome F e un insieme finito, p essendo un polinomio, nesegue che µ e una misura finitamente supportata.Gli elementi norm-attaining di X∗ sono dunque le misure positive, le misurenegative e le misure finitamente supportate.Sia, ora, λ la misura di Lebesgue su [0, 1] e µ0 ∈ X∗ dato da

µ0(A) = λ(A ∩

[0,

12

])− λ

(A ∩

[12, 1

])per ogni sottoinsieme boreliano A ⊂ [0, 1]. Evidentemente si ha ‖µ0‖ = 1.Se ora µ e una misura di segno definito, riesce ‖µ−µ0‖ = ‖µ‖+ ‖µ0‖ ≥ 1. Se,infine, µ e una misura a supporto finito, si ha ‖µ − µ0‖ ≥

12 ; ne segue che i

funzionali norm-attaining non sono densi in X∗.

La patologia mostrata nell’esempio precedente e unicamente imputa-bile alla non completezza dello spazio in questione, infatti vale il risultatoseguente:

Teorema 4.4.1 (Bishop-Phelps [4]). Gli spazi di Banach sono subriflessivi.

Per una trattazione esaustiva dei risultati di Bishop e Phelps, tra cui ilteorema appena citato, rimandiamo al libro di Megginson [30].


4.5 Alcune considerazioni

In questa sezione conclusiva raccogliamo qualche considerazione attornoagli spazi riflessivi, per enuclearne una nuova possibile caratterizzazione.Se X e uno spazio riflessivo, la topologia debole* sul duale X∗ coincidecon la topologia debole su X∗ come spazio di Banach, poiche X∗∗ X(attraverso l’iniezione canonica). Cio significa che, se un sottospazio M ⊂ X∗

*-debolmente denso (totale), allora esso e debolmente denso, ossia e densonella topologia della norma, cosicche la sua palla unita M1 e densa in normain X∗1 e, a fortiori, essa e *-debolmente densa nella palla unita di X∗.Tale circostanza appare, in certo senso, molto caratteristica di tali spazi,perche non e troppo difficile esibire esempi di spazi non riflessivi X, munitidi un sottospazio totale M ⊂ X∗, la cui palla unita non e *-debolmente densain X∗1. Ad un primo esempio di questo tipo, premettiamo un semplicerisultato.

Lemma 4.5.1. Sia X uno spazio normato e M ⊂ X∗ un sottospazio del suo duale.Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. M1 e *-debolmente densa in X∗1.

2. M norma X, cioe, dato x ∈ X, riesce ‖x‖ = supϕ∈M1|ϕ(x)|.

Dimostrazione. 1. ⇒ 2. Sia x ∈ X. Per il teorema di Hanh-Banach esisteη ∈ X∗1 tale che ‖x‖ = η(x). Sia ϕα ⊂M1 una rete *-debolmente convergentea η, in modo che ϕα(x) α

→ η(x), da cui ricaviamo che

supϕ∈M1

|ϕ(x)| ≥ limα|ϕα(x)| = |η(x)| = ‖x‖

che dimostra l’asserzione, la disuguaglianza supϕ∈M1|ϕ(x)| ≤ ‖x‖ essendo

ovvia.2. ⇒ 1. Si tratta di un’applicazione del teorema del bipolare applicato allacoppia duale (X∗,X). Se, infatti, M norma X, si ha M1 = X1, cosiccheM1 = X∗1, cio che conclude la prova.

Ora possiamo presentare il semplice controesempio cui accennavamo.

Esempio 4.5.1. Sia X lo spazio delle funzioni continue sull’intervallo chiusoe limitato [0, 1], munito della norma ‖ f ‖ = | f (0)| +

∫[0,1] | f (x)|dx. Sia M lo

spazio delle funzioni continue in [0, 1] tali che suppg ⊂ [ε, 1− ε] per qualche0 < ε < 1, munito della norma uniforme. Verifichiamo che M si immergeisometricamente in X∗, attraverso la mappa Φ : M → X∗ data da 〈Φ(g), f 〉 =∫

[0,1] g(x) f (x)dx per ogni f ∈ X. Evidentemente si ha ‖Φ(g)‖ ≤ ‖g‖∞ perogni g ∈ M. Verifichiamo che si ha ‖Φ(g)‖ = ‖g‖∞. Sia x0 ∈ (0, 1) tale che

4.5. ALCUNE CONSIDERAZIONI 61

‖g‖∞ = |g(x0)|. Non e restrittivo supporre che |g(x0)| = g(x0). Sia fn ⊂ Xuna successione tale che:

(a) fn > 0 per ogni n(b)

∫[0,1] fn = 1 per ogni n

(c) supp fn ⊂[x0 −

1n , x0 + 1

n

]per ogni n

Dalla (c) si ha che fn(x0) = 0 definitivamente, cosicche ‖ fn‖ = 1 definitiva-mente. Siccome 〈Φ(g), fn〉 → g(x0), abbiamo che ‖Φ(g)‖ ≥ ‖g‖∞.Si verifica immediatamente che M e totale, tuttavia non norma X, infatti:

supg∈M1

|〈Φ(g), f 〉| =∫

[0,1]| f (x)|dx = ‖ f ‖ − | f (0)| per ogni f ∈ X

Se f ∈ X e una funzione con f (0) , 0, si ha, dunque, supg∈M1|〈Φ(g), f 〉| < ‖ f ‖;

cio mostra che M ⊂ X∗ e un sottospazio che non norma X.

In effetti, l’aspetto patologico dell’esempio precedente e da imputarsinon gia al fatto che tale spazio non sia riflessivo, quanto piuttosto al fattoche esso non sia nemmeno completo; vale, infatti, la seguente proposizione,dovuta all’autore:

Proposizione 4.5.1. Se X e uno spazio normato tale che ogni sottospazio M ⊂ X∗

totale norma X, allora X e completo.

Dimostrazione. Sia xn ⊂ X una successione di Cauchy. Sia j : X → X∗∗

l’iniezione canonica di X nel suo biduale. Siccome j e isometrica, j(xn) ⊂X∗∗ e una successione di Cauchy, pertanto esiste F ∈ X∗∗ tale che

‖F − j(xn)‖ → 0

Se F e una forma lineare *-debolmente continua, allora esiste x ∈ X tale cheF = j(x), cosicche ‖x − xn‖ → 0. Supponiamo, invece, che F non sia *de-bolmente continua. Allora M KerF ⊂ X∗ e un sottospazio *-debolmentedenso (totale), pertanto M1 e *-debolmente denso in X∗1. Dato ε > 0, esistenε tale che

‖F − j(xnε)‖ < ε

cioe|F(ϕ) − ϕ(xnε)| < ε per ogniϕ ∈ X∗1 (4.4)

Sia ora ϕ0 ∈ X∗1 tale che ϕ0(xnε) = ‖xnε‖ Siccome l’inclusione M1 ⊂ X∗1 edensa per la topologia *-debole, esite η ∈ M1 tale che |η(xnε) − ϕ0(xnε)| < ε.applicando la 4.4, otteniamo che |η(xnε)| < ε, da cui

‖xnε‖ = ϕ0(xnε) < η(xnε) + ε < 2ε


La successione xn ammette, dunque, una sottosuccessione convergente a0, pertanto essa stessa converge a 0, essendo una successione di Cauchy.Cio conclude la prova.

Il risultato precedente mostra il suo interesse nel collegare due nozioniapparentemente distanti: la completezza di X e la proprieta di passaggio dalglobale al locale (sugli insiemi limitati, approssimando con reti parimentilimitate) per la densita dei sottospazi del duale X∗ di X.A questo punto e bene segnalare che esistono esempi di spazi di Banach X,muniti di un sottospazio totale M ⊂ X∗, la cui palla unita non e *-debolmentedensa in X∗1. Piu precisamente e possibile fornire esempi di spazi di BanachX, muniti di un sottospazio M ⊂ X∗ totale, con caratteristica zero, nel sensodella seguente definizione dovuta a Dixmier.

Definizione 4.5.1 (caratteristica si un sottospazio). Sia X uno spazio di Banache M ⊂ X∗ un sottospazio. La caratteristica di M e il numero reale

infx∈X:x,0

sup|ϕ(x)|‖x‖

: ϕ ∈M1

dove M1e la palla unita di M.

Esplicitando la definizione appena data, un sottospazio M ⊂ X∗ hacaratteristica nulla se e solo se M1 non e densa in X∗r per ogni 0 < r ≤ 1. In [50]viene fornita una procedura generale per costruire sottospazi totali di L∞(R)a caratteristica nulla, semplificando la costruzione di un controesempio diun tale sottospazio di l∞, dovuto a Dixmier , cfr. [10].Tutte queste costruzioni hanno, purtroppo, il difetto di essere involute epoco dirette; per questo motivo vogliamo presentare un esempio diretto diun sottospazio totale caratteristica strettamente minore di uno, seppur nonnulla.

Esempio 4.5.2. Consideriamo lo spazio di Banach c0 delle successioni con-vergenti a 0, munito della norma del sup. Come e ben noto, vale l’isomor-fismo isometrico c∗0 l1, dove l1 e lo spazio delle successioni assolutamentesommabili, che e espresso dalla corrispondenza l1 3 a → ϕa ∈ c∗0 conϕa(x) =

∑∞

i=1 aixi per ogni x ∈ c0.Sia ora M ⊂ l1 il sottospazio delle successioni a tali che

∑∞

i=1 ai = 0. Vogliamoprovare che M e totale e che ha caratteristica pari a 1

2 .Sia x ∈ c0 tale che ϕa(x) = 0 per ogni a ∈ l1. Allora deve essere

xn+1 − xn = 0 per ogni n ≥ 1

da cui segue che x = xn e una successione costante. Siccome x converge azero, deve essere x = 0; cio mostra che M e totale, i.e *-debolmente denso inl1.

4.5. ALCUNE CONSIDERAZIONI 63

Consideriamo ora e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0, . . . ) ∈ c0. Si ha ϕa(e1) = a1 per ognia ∈ l1. Se ora a ∈M, abbiamo

a1 = −

∞∑k=2

ak

da cui |a1| ≤∑∞

k=2 |ak| = ‖a‖1 − |a1|, cosicche |a1| ≤‖a‖1

2 . Se ne ricava, pertanto,che vale l’uguaglianza

supa∈M1

|ϕa(e1)| =12

Cio mostra che la caratteristica di M non supera 12 . In effetti essa e proprio

pari a 12 . Sia, infatti, x ∈ c0 esia k ∈N tale che ‖x‖ = |xk|. Dato ε > 0, esiste nε

tale che |xnε | < 2ε. Sia ora a ∈ l1 tale che ak =|xk |2xk

e xn = −|xk |2xk

, mentre ai = 0

se i , k,n. Allora ‖a‖1 = 1 e |ϕa(x)| ≥ ‖x‖2 − ε; se ne ricava che

supa∈M1

|ϕa(x)| ≥‖x‖2

L’ultima disuguaglianza mostra che la caratteristica di M e 12 . Vogliamo

anche osservare che l’esempio e particolarmente patologico per il fatto cheM e un sottospazio chiuso in norma di codimensione 1.

La possibilita di esibire sottospazi con tali patologie (caratteristica nulla)e conseguenza di un risultato, che, in certo senso, e definitivo. Il teoremacui ci riferiamo e il seguente:

Teorema 4.5.1 (I. M. Ostrovskii [33]). Sia X uno spazio di Banach. Esisteun sottospazio totale M ⊂ X∗ a caratteristica nulla, se e solo se X non e quasi-riflessivo.

Per un’adeguata comprensione dell’enunciato, ricordiamo che uno spa-zio di Banach X si dice quasi-riflessivo se lo spazio quoziente X∗∗/ j(X) hadimensione finita, j(X) ⊂ X∗∗ essendo l’immagine di X mediante l’iniezionecanonica di X nel suo biduale.Il risultato precedente sembra incoraggiare la formulazione della seguentecongettura:

Congettura 1. Se X uno spazio normato, in cui ogni sottospazio totale M ⊂ X∗

ha caratteristica pari a 1, allora X e riflessivo.

Sebbene l’enunciato sia intuitivo, non ci sembra facile dimostrare l’as-serzione ne smentirla, fornendo un esempio di spazio non riflessivo con laproprieta descritta. Sicuramente e verificata, invece, la seguente proposi-zione:


Proposizione 4.5.2. Uno spazio normato X, tale che ogni sottospazio totale M ⊂X∗ e denso in norma, e riflessivo.

Dimostrazione. Sia F ∈ X∗∗/ j(X), allora KerF e totale, percio e denso in norma,cosicche F = 0, giacche F e continuo per la topologia della norma. Cio mostrache X∗∗ = j(X).

Vale il seguente risultato, dove P e la proprieta “M ⊂ X∗ e totale ⇒ Mha caratteristica 1“.

Lemma 4.5.2. Sia X uno spazio di Banach che soddisfa P. Se Y ⊂ X e un sottospaziochiuso munito di complementare topologico, allora Y soddisfa ancora la proprietaP.

Dimostrazione. Sia M ⊂ Y∗ un sottospazio totale. Sia Z ⊂ X un complemen-tare topologico di X. Definiamo

N ϕ ⊕ η : ϕ ∈M, η ∈ Z∗

dove (ϕ⊕η)(y + z) = ϕ(y) +η(z) per ogni y ∈ Y e per ogni z ∈ Z. Osserviamoche N ⊂ X∗, cioe che ϕ⊕ η e limitato, infatti |(ϕ⊕ η)(y + z)| ≤ |ϕ(y)|+ |η(z)| ≤C‖y + z‖ con C = αmax‖ϕ‖, ‖η‖, dove α > 0 e un numero reale tale che‖y‖ + ‖z‖ ≤ α‖y + z‖ per ogni y ∈ Y, per ogni z ∈ Z (un tale α esiste, percheZ e un complementare topologico).Evidentemente N e un sottospazio; inoltre e totale. Sia x ∈ X tale cheω(x) = 0 per ogni ω ∈ N. Scriviamo x = y + z per due opportuni (e unici)y ∈ Y e z ∈ Z, in modo che ϕ(y) + η(z) = 0 per ogni ϕ ∈M e per ogni η ∈ Z∗.Sia η0 ∈ Z∗ tale che η0(z) = 0, allora ϕ(y) = 0 per ogni ϕ ∈ M, sicche y = 0(M e totale), da cui z = y = 0, cioe x = 0. Siccome in X vale la proprieta P,ne segue che N norma X; in particolare se y ∈ Y, abbiamo:

‖y‖ = supω∈N1

|ω(y)| ≤ supϕ∈M1

|ϕ(y)| ≤ ‖y‖

cio che conclude la prova.

Va segnalato che, invece, si incontrano notevoli difficolta tecniche, quan-do si cerca di provare che P e stabile per passaggio a somme dirette (di tipol2!) di spazi che posseggono la proprieta P.

Capitolo 5

Caratterizzazioni di spazi diBanach duali

Un problema molto interessante e quello di riconoscere se uno spazio diBanach X sia o meno un duale, cioe se esista o meno uno spazio di BanachY, tale che valga l’isomorfismo isometrico Y∗ X. Nel caso in cui un talespazio esista, si dice anche che Y e un preduale. Occorre subito osservareche, in generale, non si ha unicita del preduale, nel senso che non e dif-ficile esibire due spazi di Banach non isomorfi, i cui duali, invece, sonoisometricamente isomorfi. Un esempio tipico si ha considerando gli spazidi successioni c0 e c, i cui duali sono entrambi isometricamente isomorfi allospazio l1. Ciononostante, c0 e c non sono isometricamente isomorfi (pur es-sendo linearmente isomorfi). Per convincersi di quest’ultima affermazione,basta osservare che la palla unita di c0 e scevra di punti estremali, non cosıper la palla unita di c1.Caratteristica fondamentale degli spazi di Banach duali e l’esistenza di unatopologia localmente convessa (la topologia*-debole), rispetto alla quale lapalla unita di tali spazi e compatta (teorema di Banach-Alaoglu). Questacircostanza assicura l’abbondanza di punti estremali per la palla unita deglispazi duali, grazie al teorema di Krein-Milman. Per escludere l’esistenzadi un preduale basta verificare, quindi, che la palla unita dello spazio diBanach in questione e povera di punti estremali, quando non ne sia addirit-tura sprovvista. Un esempio tipico e dato dallo spazio C(X) delle funzionicontinue (a valori reali) su uno spazio topologico compatto e connesso X,munito della norma uniforme. Si riconosce molto facilmente che C(X)1possiede soltanto due punti estremali, dati dalle funzioni costanti f1 = 1 ef2 = −1. Se ne conclude che, sotto l’ipotesi di connessione, C(X) non e uno

1Sia x ∈ c0 e sia N tale che |x(n)| < 12 per ogni n ≥ N. Definiamo y1, y2 ∈ c0 ponendo

y1(n) = y2(n) = x(n) per ogni n ≤ N, mentre y1(n) = x(n) + 2−n e y2(n) = x(n) − 2−n per ognin > N. Evidentemente, riesce x = 1

2 (y1 + y2) e ‖yi‖ = 1 per i = 1, 2.Quindi la palla unita di c0 non ha punti estremali.L’elemento e = (1, 1, 1, . . . ) ∈ c e, invece, un punto estremale, come e immediato riconoscere.

65

66 CAPITOLO 5. CARATTERIZZAZIONI DI SPAZI DI BANACH DUALI

spazio duale2.

In questo capitolo presentiamo una nostra caratterizzazione degli spazidi Banach duali, fornendo condizioni necessarie e sufficienti affinche unospazio di Banach X ammetta preduale. Daremo anche qualche cenno al pro-blema, ben piu difficile, dell’unicita del preduale, che nel contesto generaledegli spazi di Banach sembra essere di soluzione assai riposta, non essen-do noti teoremi generali. Occorre segnalare sin da ora che tale problematrova, invece, una risposta elegante quanto soddisfacente nel quadro delleC*-algebre, dove vige il celebre teorema di Sakai:

Teorema 5.0.2 (Sakai [41]). Una C*-algebraA e uno spazio duale se e solo se esisteuna rappresentazione fedele π : A → B(H), tale che π(A) ⊂ B(H) e un’algebradi von Neumann. In tal caso, il preduale di A e unico a meno di isomorfismiisometrici.

Per una dimostrazione piu moderna del teorema, e possibile consultare[48] oppure [35].

Un secondo risultato notevole sull’unicita dei preduali che merita diessere citato e il seguente:

Teorema 5.0.3 (Ito, [14]). Sia R un algebra di von Neumann e M ⊂ R unsottospazio ultradebolmente chiuso. Allora R/M munito della norma quoziente euno spazio duale con preduale unico (a meno di isomorfismi isometrici).

5.1 La caratterizzazione

Molti fra i risultati gia noti esprimono condizioni necessarie e sufficientiaffinche uno spazio di Banach sia un duale, richiedendo la compattezzadella sua palle unita rispetto a topologie localmente convesse opportuna-mente introdotte. Soddisfacenti da un punto di vista teorico, tali risultatisi mostrano, pero, poveri di applicazioni piu concrete, perche la verificadella compattezza nei contesti infinito-dimensionali e di norma un compitonon banale. Sfruttando la caratterizzazione della compattezza debole datada James, cosı come e stata esposta nel capitolo precedente, cercheremo diovviare a tale difficolta tecnica, rimandando alla completezza della topologiadi Mackey per opportune coppie duali.Iniziamo ad esporre la nostra analisi, osservando preliminarmente che, seX e uno spazio di Banach duale, allora X∗ contiene copie isometriche di tuttii suoi preduali. Piu precisamente, sussiste il seguente risultato:

2In effetti e noto molto di piu: C(X) e uno spazio duale se e solo se X e uno spazioiperstoniano. Consultare [48]

5.1. LA CARATTERIZZAZIONE 67

Lemma 5.1.1. Sia X uno spazio di Banach, che ammette un preduale M. Alloraesiste un’immersione isometrica i : M → X∗ tale che i(M) e un sottospazio acaratteristica 1, i cui funzionali sono norm-attaining.

Dimostrazione. Sia Φ : X → M∗ un isomorfismo isometrico. Trasponendootteniamo un isomorfismo isometrico Φ∗ : M∗∗ → X∗. Sia i : M → X∗ lamappa data dalla composizione i = Φ∗ j, dove j e l’iniezione canonicadi M nel suo biduale M∗∗. Evidentemente i immerge M isometricamen-te in X∗. Vogliamo provare che i(M) ⊂ X∗ e un sottospazio a caratteri-stica 1. Sia, infatti, x ∈ X, allora ‖x‖ = ‖Φ(x)‖ = supm∈M1

|〈Φ(x),m〉| =supm∈M1

|〈x,Φ∗(m)〉| = supm∈M1|〈 j(Φ∗(m)), x〉| = supm∈M1

|〈i(m), x〉|. Inoltre ifunzionali di i(M) sono norm-attaining. ‖i(m)‖ = ‖m‖ = 〈ϕ,m〉 per qualcheϕ ∈ M∗1. Siccome Φ e suriettivo, esiste x ∈ X1 tale che ϕ = Φ(x), cosicche‖i(m)‖ = 〈Φ(x),m〉 = 〈x,Φ∗(m)〉 = 〈i(m), x〉, che e proprio quanto volevamoverificare.

Purtroppo il lemma precedente esprime soltanto condizioni necessarie ,nel senso che un sottospazio chiuso in norma M ⊂ X∗, i cui funzionali sianonorm-attaining, non e giocoforza un preduale, come si e gia dimostrato nelnostro controesempio contenuto nel capitolo precedente.Il motivo e che le condizioni esposte non catturano alcuni aspetti fonda-mentali degli spazi di Banach duali, che riguardano le proprieta di (quasi)-completezza della topologia *-debole. I risultati cui ci riferiamo sono iseguenti:

Proposizione 5.1.1. Sia X uno spazio di Banach. X∗ munito della topologiaσ(X∗,X) e uno spazio localmente convesso quasi-completo.

Dimostrazione. Se A ⊂ X∗ e un insieme limitato nella topologia*-debole, al-lora A e limitato in norma grazie al teorema di Banach-Steinhaus, X essendocompleto. Sia, ora, ϕi ⊂ X∗ una rete limitata in norma, che e di Cauchyper la topologia *-debole. Cio significa che, per ogni x ∈ X, la rete numericaϕi(x) e di Cauchy, pertanto esisteϕ(x) ∈ C tale cheϕi(x)→ ϕ(x). Resta cosıdefinita un’applicazione ϕ : X → C che e lineare per costruzione. Inoltreϕ ∈ X∗, perche |ϕ(x)| ≤ supi ‖ϕi‖‖x‖ per ogni x ∈ X. Cio conclude la prova,essendo limi ϕi = ϕ nella topologia *-debole.

Osservazione 5.1.1. Si puo dimostrare che la topologia *-debole non e maicompleta, se X e infinito-dimensionale. Vedere, ad esempio, [30].

Il prossimo risultato concerne la completezza della topologia di Mackeyτ(X∗,X); a quanto ci consta non e stata osservata altrove o, comunque,adeguatamente sottolineata.

Proposizione 5.1.2. Il duale X∗ di uno spazio di Banach X, munito della topologiadi Mackey τ(X∗,X) e uno spazio localmente convesso completo.


Dimostrazione. Trattasi di un’applicazione del criterio di completezza diGrothendieck (Cfr. [53]). Per il teorema di Mackey-Arens il duale di X∗

munito della topologia di Mackey e X stesso. Sia ora ϕ : X→ C una formalineare che e continua sui sottoinsiemi equicontinui A ⊂ X, intendendo X∗

munito della topologia τ(X∗,X). Dobbiamo mostrare che ϕ ∈ X∗, cioe che ϕe continua in 0 per la topologia della norma. Sia xn ⊂ X una successioneconvergente in norma a 0, in modo che l’insieme xn ∪ 0 e compatto perla topologia della norma; sia K ⊂ X la chiusura dell’inviluppo convesso ditale insieme. Grazie a un classico teorema di Mazur (per la dimostrazioneconsultare [8]), K e un insieme compatto in norma; a fortiori esso e σ(X,X∗)-compatto. Ne risulta che pK : X∗ → C, data da pK(η) = supx∈K |η(x)|, euna seminorma di Mackey su X∗, pertanto K e equicontinuo, ma alloraϕ(xn)→ 0, che e quanto volevamo mostrare.

Prima di procedere e bene osservare che la topologia di Mackey τ(X∗,X)e strettamente meno fine della topologia della norma, a meno che X non siauno spazio riflessivo3; il risultato di completezza ottenuto, pertanto, e nonbanale.

Se R e un algebra di von Neumann, e possibile dimostrare [1] che latopologia di Mackey τ(R,R∗) (R∗ essendo il preduale di R) e addiritturapienamente completa . Per una trattazione esaustiva ma coincisa degli spazipienamente completi (o spazi di Ptak), rimandiamo alla classica monogra-fia di Wilansky [53]; i primi studi sulla topologia di Mackey su W*-algebre,[42] e [43], sono dovuti essenzialmente a Sakai , il cui classico trattato [44]fornisce un’introduzione davvero esauriente alla teoria delle C*-algebre edelle algebre di von Neumann, da un punto di vista della dualita fra unospazio di Banach e il suo duale.

La condizione necessaria espressa dal lemma 5.1.1 permette, comunque,di escludere che uno spazio di Banach ammetta preduale. Qui sotto unanostra applicazione:

Teorema 5.1.1. Sia K uno spazio topologico compatto di Hausdorff (non connesso)e sia X ⊂ C(K) un sottospazio separabile chiuso in norma tale che:

1. Per ogni insieme finito E ⊂ K e per ogni funzione g : E → R, esiste f ∈ Xtale che f E= g e f = 0 su Ec.

3Se X e uno spazio riflessivo, τ(X∗,X) e la topologia della norma: infatti X1 e un convessoσ(X,X∗)-compatto, cosicche la norma duale ‖ · ‖ e una seminorma di Mackey, perche ‖ϕ‖ =supx∈X1

|ϕ(x)|. Viceversa, se la topologia τ(X∗,X) coincide con quella della norma, X deveessere riflessivo: X∗1 e un intorno di 0 per la topologia τ(X∗,X), ne segue che esiste un insiemeconvesso K ⊂ X debolmente compatto tale che X∗1 = ϕ ∈ X∗ : supx∈K |ϕ(x)| ≤ 1, cioe X∗1 = K;se ne ricava che X1 = K = K e debolmente compatta, dunque X e riflessivo per il teoremadi Kakutani [7].


2. supp f e numerabile per ogni f ∈ X.

allora X non ammette alcun preduale.

Dimostrazione. Sia fi : i ∈ N ⊂ X una successione densa in X e sia F ⊂ Kl’insieme Fσ dato da F ∪isupp fi. F e un insieme numerabile, quale unio-ne numerabile di insiemi numerabili; inoltre, come e immediato verificare,supp f ⊂ F per ogni f ∈ X.Riscriviamo F come xi : i ∈ N. Vogliamo mostrare che X∗ e isometrica-mente isomorfo a l1. A tal scopo sia ϕ ∈ X∗. Per il teorema di Hanh-Banachϕ e la restrizione a X di un funzionale lineare continuo definito su C(K).Per il teorema di Riez-Markov, esiste, dunque, una misura su K boreliana efinita µ, tale che ϕ( f ) =

∫K f dµ per ogni f ∈ X.

Poniamo λi = µ(xi), in modo che ϕ( f ) =∑

i λi f (xi) per ogni f ∈ X.Vogliamo mostrare che la successione λ = λi : i ∈ N e in l1 e che‖ϕ‖ = ‖λ‖1 =

∑i |λi|.

Siccome ϕ e limitato, esiste C > 0 tale che |ϕ( f )| ≤ C‖ f ‖∞ per ogni f ∈ X.Sia ora N un intero fissato e sia fN ∈ X la funzione data da f (xi) = sign(λi)per ogni i ∈ 1, 2, . . . ,N e f (xi) = 0 per ogni i > N. Allora, si ha:

ϕ( fN) =

N∑i=1

|λi| ≤ C (5.1)

perche ‖ fN‖∞ = 1, prendendo il sup su N in 5.1 otteniamo∑

i |λi| ≤ C, cosic-che λ ∈ l1 e ‖ϕ‖ = ‖λ‖1. Cio permette di concludere che X∗ l1, come s’eraanticipato.Per mostrare che X non ammette preduale, mostreremo che non vi sonosottospazi chiusi M ⊂ l1 X∗ a caratteristica 1, i cui funzionali sono norm-attaining.Con queste intenzioni, cominciamo osservando che i funzionali norm-attaining (sulla palla unita si X) sono tutti funzionali rappresentati dasuccessioni sommabili del tipo:

• λ = λi : i ∈N con supporto finito.

• λ = λi : i ∈N a segno definitivamente costante.

Infatti se λ = λi : i ∈N non e del tipo descritto, esiste una sottosuccessioneλik : k ∈ N i cui termini sono a termini alternati. Se f ∈ X1 e tale che∑

i λi f (xi) =∑

i |λi| deve essere giocoforza f (xik) = sign(λik) per k ∈ N, mauna tale f non puo essere continua, perche K e compatto.I sottospazi M ⊂ l1 norm-attaining, quindi, sono necessariamente del tipo:

• M ⊂ lF, lF ⊂ l1 essendo il sottospazio delle successioni a supportofinito.

• l f +Rλ, con λ ∈ l1 a segno definitivamente costante.


Il teorema di Baire, tuttavia, implica che un sottospazio del primo tipo efinito-dimensionale (perche contenuto in un sottospazio numerabilmentegenerato) e, dunque, non puo essere nemmeno totale; un sottospazio delsecondo tipo, invece, non puo essere chiuso. Cio conclude la prova.

Osservazione 5.1.2. Il teorema precedente e una generalizzazione dell’ana-logo risultato per lo spazio c0 delle successioni convergenti a zero. Infattic0 ⊂ l∞ = Cb(N) C(βN), ove βN e la compattificazione di Stone-Cech4 diN, soddisfa le ipotesi del teorema 5.1.1.La dimostrazione che usualmente viene data per il caso di c0 passa peril teorema di Krein-Milman, poiche la palla unita di c0 e scevra di puntiestremali. Questo elegante argomento, tuttavia, non si estende con facilitaal caso piu generale, cosı come e presentato nel teorema precedente.

Osservazione 5.1.3. Se K e iperstoniano (cfr. [48]), C(K) e uno spazio duale;ne segue che X non puo essere chiuso nella topologia *-debole, altrimentisarebbe esso stesso uno spazio duale.

Osservazione 5.1.4. Un aspetto fondamentale della dimostrazione del pre-cedente e che esibisce esempi di preduali di l1, che in generale non sono(isometricamente isomorfi) a c0.

Passiamo ora a presentare un primo risultato di eistenza dei preduali: sitratta di una generalizzazione di un teorema di Dixmier [10]. Daremo unaprova, che sfrutta in maniera decisiva il teorema di Krein-Smulian.

Proposizione 5.1.3. Sia X uno spazio di Banach. Se M ⊂ X∗ e un sottospaziochiuso in norma a caratteristica 1, tale che la palla unita X1 e compatta nellatopologia σ(X,M), allora l’applicazione lineare Φ : X → M∗ data da Φ(x) =j(x) M e un isomorfismo isometrico. In particolare X e uno spazio di Banach dualee M ne e un preduale.

Dimostrazione. L’applicazione lineare Φ : X→M∗ data da 〈Φ(x), ϕ〉 = 〈ϕ, x〉per ogni x ∈ X e per ogni ϕ ∈ M e certamente continua, infatti e isome-trica: ‖Φ(x)‖ = supϕ∈M1

|ϕ(x)| = ‖x‖ per ogni x ∈ X, perche M norma X.Dobbiamo mostrare che Φ e suriettiva. Sia Y RanΦ ⊂ M∗. Y e un sotto-spazio *-debolmente denso, infatti Y⊥ = 0 come e immediato riconoscere.Osserviamo che Y1 = Φ(X1), ne segue che Y1 e *-debolmente compatta,perche X1 e σ(X,M)-compatta per ipotesi e Φ e continua da X con la topo-logia σ(X; M) a M con la topologia *-debole σ(M∗,M). In particolare Y1 e*-debolmente chiuso, pertanto Y e *-debolmente chiuso grazie al teoremadi Krein-Smulian (M e uno spazio di Banach). Ne segue che Y = M∗, cio checonclude la prova.

4Vedere, ad esempio, l’appendice omonima.


Il risultato precedente continua a sussistere se si assume soltanto cheM sia un sottospazio totale (chiuso in norma), come e dimostrato in [20],quale immediata applicazione del teorema del bipolare all’insieme con-vesso X1 nella dualita (X,M) . Senza invocare il teorema del bipolare, ecomunque possibile dimostrare che un tale sottospazio ha caratteristicacertamente positiva. La funzione X1 3 x → g(x) supϕ∈M1

|ϕ(x)| ∈ R einfatti semicontinua inferiormente se X1 e munito della σ(X,M)-topologia,quale inviluppo superiore di funzioni continue. Siccome X1 e compatto,g e dotata di minimo, cosicche esiste x0 ∈ X1 tale che g(x) ≥ g(x0), cioesupϕ∈M1

|ϕ(x)| ≥ δ > 0, con δ = supϕ∈M1|ϕ(x)| > 0 (perche M e totale). Ne

segue che supϕ∈M1|ϕ(x)| ≥ δ‖x‖ per ogni x ∈ X.

Va sottolineato che l’ipotesi che M ⊂ X∗ sia chiuso in norma, invece, nonpuo essere rimossa.

Passiamo ad enunciare il risultato principale della sezione. Si tratta diun teorema che si avvale della caratterizzazione di James della compattezzadebole.

Teorema 5.1.2. Sia X uno spazio di Banach. Le seguenti affermazioni sonoequivalenti:

1. X e uno spazio duale, cioe esiste uno spazio di Banach M tale che M∗ X(isomorfismo isometrico).

2. Esiste un sottospazio chiuso in norma M ⊂ X∗ a caratteristica 1, tale che ifunzionali di M raggiungono la norma su X1 e X e completo con la topologiadi Mackey τ(X,M).

Dimostrazione. L’implicazione 1.⇒ 2. e gia stata dimostrata. L’implicazione2. ⇒ 1. richiede, come preannunciato, l’applicazione del teorema di James.Dobbiamo provare che X1 e σ(X,M)-compatta. Per ipotesi, lo spazio local-mente convesso (X, τ(X,M)) e completo. Per il teorema di Mackey-Arens ilsuo duale e M. L’insieme X1 e limitato in norma, percio e limitato per la to-pologia di Mackey τ(X,M); inoltre esso e σ(X,M)-chiuso,quale intersezionidi chiusi, essendo

X1 =⋂ϕ∈M1

x ∈ X : |ϕ(x)| ≤ 1

dal momento che M ha caratteristica 1.I funzionali lineari di M assumono il sup su X1 per ipotesi; ne segue che X1e un insieme σ(X,M)-compatto. Cio conclude la prova.

Appare naturale aspettarsi le conclusioni del teorema precedente, sottol’ipotesi di quasi-completezza della topologia σ(X,M). Piu precisamente, siha il risultato seguente, nel quale non e richiesto il teorema di James.


Proposizione 5.1.4. Sia M ⊂ X∗ un sottospazio chiuso in norma e totale.Supponiamo che la topologia σ(X,M) sia quasi-completa. Allora M∗ Xnell’isomorfismo canonico Φ(x) = j(x) M.

Dimostrazione. Occorre mostrare che X1 e un insieme σ(X,M) compatto.Osseviamo che, siccome X1 e σ(X,M)-limitato, basta dimostrare che X1e σ(X,M)-limitato, grazie all’ipotesi di quasi-completezza. Cio e direttaconseguenza del fatto che X1 e totalmente limitata rispetto alla topologiadebole σ(X,X∗), che e piu forte della σ(X,M)-topologia, visto che M ⊂ X∗.Per mostrare che X1 e totalmente limitata rispetto alla topologia debole,basta considerare l’iniezione canonica j : X→ X∗∗, che e un omeomorfismofra X e la sua immagine in X∗∗, quando X e pensato la topologia debole eX∗∗ e pensato con la sua topologia *-debole σ(X∗∗,X∗). Ora, per il teoremadi Goldstine, j(X1) = X∗∗1 , la chiusura essendo quella relativa alla topologia*-debole. Per il teorema di Banach-Alaoglu, X∗∗1 e*-debolmente compatta,cosicche j(X1) e *-debolmente totalmente limitato, cioe X1 e debolmentelimitato.

Il teorema 5.1.2 ammette un interessante corollario, quando applicatoalle W*-algebre:

Corollario 5.1.1. Sia R una W*-algebra. Se M ⊂ R∗ e un sottospazio chiuso(in norma) a caratteristica 1, i cui funzionali sono norm-attaining e tale che latopologia di Mackey τ(R,M) e completa, alloraM R∗ (isomorfismo isometrico),R∗ essendo il preduale di R (funzionali ultradebolmente continui).

Dimostrazione. Si tratta di un’immediata applicazione del teorema di Sakaisull’unicita del preduale per un algebra di von Neumann.

Per quanto soddisfacente dal punto di vista teorico, il teorema 5.1.2 none veramente definitivo. Sarebbe opportuno, infatti, affiancarlo a criteri,che permettano di riconoscere la completezza della topologia di Mackeyτ(X,M) sotto ulteriori condizioni sufficienti su M. Questo sembra essere ingenerale un problema molto riposto, tuttavia il caso separabile puo essereaffronto piu agevolmente, come mostrano i risultati della prossima sezione.

5.1.1 Il caso separabile

L’assunzione che X sia uno spazio di Banach separabile ci permette didimostrare un utile teorema di completezza per la topologia di Mackey, chepuo essere enunciato come segue:

Teorema 5.1.3 (Completezza della topologia di Mackey). Sia X uno spazio diBanach separabile e M ⊂ X∗ sottospazio (chiuso) a caratteristica 1. Allora X ecompleto rispetto alla topologia di Mackey τ(X,M).


Alla dimostrazione del teorema premettiamo qualche nozione prelimi-nare. Per prima cosa, avremo bisogno del seguente lemma a caratteregenerale:

Lemma 5.1.2. Sia E uno spazio localmente convesso e fα : α ∈ I ⊂ E∗ una rete difunzionali lineari continui. Se fα : α ∈ I converge uniformemente sui compattidi E a f , allora f e sequenzialmente continua.

Dimostrazione. Sia xn : n ∈ N ⊂ X una successione convergente a x ∈ X.Allora

| f (x) − fn(x)| ≤ | f (x) − fα(x)| + | fα(x) − fα(xn)| + | fα(xn) − f (xn)| (5.2)

L’insieme K xn : n ∈ N ∪ x e compatto, percio, esiste α0 ∈ I taleche supy∈K | fα(y) − f (y)| < ε

3 per ogni α α0. Sia ora N ∈ N tale che| fα0(xn)− fα0(x)| < ε

3 per ogni n ≥ N, allora la 5.2 implica che | f (x)− fn(x)| < εper ogni n ≥ N, che e la continuita sequenziale di f .

Prima di procedere, e opportuno segnalare che il lemma precedenteconsente di dare una seconda dimostrazione completezza della topologiadi Mackey τ(X∗,X) sul duale di uno spazio di Banach.

Seconda dimostrazione del lemma 5.1.2, sez. 1. Sia ϕi : i ∈ I ⊂ X∗ una retedi Cauchy per la topologia di Mackey τ(X∗,X). Sia K ⊂ X un insiemedebolmente compatto. Per il teorema di Krein-Smulian (consultare, adesempio, l’appendice omonima) convK e debolmente compatto, ne segueche, dato ε > 0, esiste i0 ∈ I tale che

supx∈K|ϕi(x) − ϕ j(x)| ≤ sup

x∈convK

|ϕi(x) − ϕ j(x)| < ε per ogni i, j ≥ i0 (5.3)

perche pconvK e una seminorma di Mackey. In particolare, fissato x ∈ Xla successione numerica ϕi(x) : i ∈ I e convergente. Se poniamo ϕ(x) =limi ϕi(x) per ogni x ∈ X, grazie all’osservazione preliminare abbiamo cheϕ e limite uniforme sugli insiemi debolmente compatti della rete ϕi : i ∈ I;pertanto ϕ : X → C e una forma lineare sequenzialmente continua per latopologia debolo, cosicche ϕ ∈ X∗. Passando al limite la disuguaglianza5.3, se ne ricava che ϕi → ϕ per la topologia τ(X∗,X), cio che conclude laprova.

Introduciamo, quindi, una classe notevole di spazi: quelli di Mazur, nelsenso della seguente

Definizione 5.1.1 (Spazi di Mazur). Uno spazio localmente convesso E si dicedi Mazur se ogni forma lineare F : E→ C sequenzialmente continua e continua.


Gli spazi bornologici sono tutti esempi di spazi di Mazur. Non tuttigli spazi di Mazur, tuttavia, sono bornologici. Ad esempio, ogni spazionormato X con la topologia debole σ(X,X∗) e uno spazio di Mazur, pur nonessendo bornologico5 a meno che dim(X) < ∞. Ancora, se X e uno spaziodi Banach separabile, il teorema di Krein-Smulian garantisce che X∗ con latopologia *-debole e uno spazio di Mazur, che non e bornologico.Il lemma seguente esprime proprio la proprieta di Mazur per gli spazi chesono di nostro interesse:

Lemma 5.1.3. Sia X uno spazio di Banach separabile e M ⊂ X∗ un sottospazio(chiuso) a caratteristica 1. Allora M munito della σ(M,X)-topologia e uno spaziodi Mazur.

Dimostrazione. Sia f : M → C una forma lineare sequenzialmente σ(M,X)-continua. Siccome X e separabile, la restrizione a M1 della σ(M,X)-topologiae metrizzabile. Cio significa che la restrizione f M1 e una funzione unifor-memente σ(X∗,X)-continua. Siccome M1 e *-debolmente denso in X∗1, esisteun prolungamento σ(X∗,X)-continuo, g : X∗1 → C. Tale funzione e emi-nentemente la restrizione di una forma lineare G : X∗ → C, che e σ(X∗,X)-continua, grazie al teorema di Krein-Smulian. Pertanto, esiste x ∈ X taleche f (ϕ) = ϕ(x) per ogni ϕ ∈M, che e quanto volevamo provare.

Veniamo ora alla dimostrazione del teorema 5.1.3.

Dimostrazione. Sia xα : α ∈ I ⊂ X una rete di Cauchy per la topologia diMackey τ(X,M). Allora, dato K ⊂ M un sottoinsieme (convesso) σ(M,X)-compatto e ε > 0, esiste α0 ∈ I tale che

supϕ∈K|ϕ(xα − xβ)| < ε per ogniα, β α0 (5.4)

In particolare, la successione numerica ϕ(xα) : α ∈ I e di Cauchy per ogniϕ ∈ M e, dunque, convergente. Sia f : M → C la forma lineare data daf (ϕ) = limα ϕ(xα) per ogni ϕ ∈ M. Passando al limite la disuguaglianza5.4, si ha che f e limite uniforme sugli insiemi σ(M,X)-compatti di formelineari σ(M,X)-continue; pertanto f e sequenzialmente continua rispetto atale topologia.Siccome M ha la proprieta di Mazur rispetto alla σ(M,X)-topologia, esiste x ∈ X tale che f (ϕ) = ϕ(x) per ogni ϕ ∈ M. Ma alloraxα → x per la topologia τ(X,M), cio che conclude la prova.

Con il risultato di completezza, possiamo dimostrare un notevole risul-tato di esistenza del preduale:

5La palla chiusa X1 e un insieme convesso ed equilibrato che assorbe gli insiemi σ(X,X∗)-limitati, i.e. gli insiemi limitati in norma, ma X1 non e un intorno di 0 per la topologia debole,a meno che X sia finito-dimensionale.


Teorema 5.1.4. Sia X uno spazio di Banach separabile. Se M ⊂ X∗ e un sottospaziochiuso in norma tale che:

1. M ha caratteristica 1.

2. I funzionali di M sono norm-attaining.

Allora M e canonicamente un preduale di X. Ne segue, in particolare, che M eseparabile.

Dimostrazione. Si tratta di un’immediata applicazione del teorema princi-pale della sezione precedente. La separabilita di M, poi, e conseguenzadiretta della separabilita di X, che ne e il duale.

L’ipotesi che M sia chiuso in norma non puo essere difalcata, come mostrail seguente:

Esempio 5.1.1. Consideriamo lo spazio di Banach separabile C[0, 1] dellefunzioni (reali) continue su [0, 1]. Indichiamo conM([0, 1]) lo spazio dellemisure boreliane finite su [0, 1], in modo da aversi C[0, 1]∗ M[0, 1] (teore-ma di Riesz-Markov). Sia N ⊂ M([0, 1]) il sottospazio generato dlle misuredi Dirac δx, al variare di x ∈ [0, 1]. N e evidentemente un sottospazio a carat-teristica 1. I suoi funzionali, inoltre, sono tutti norm-attaining. Sia,infatti,ϕ ∈ N, allora ϕ =

∑ni=1 λiδxi . Allora ‖ϕ‖ =

∑ni=1 |λi| e raggiunta su ogni

funzione f ∈ C[0, 1] tale che f (xi) = signλi e, di tali funzioni, ne esistono anorma unitaria, che xi : i = 1, 2 . . . ,n ⊂ [0, 1] e chiuso.

Il teorema precedente ammette un corollario, che esprime interessantiproprieta di massimalita per opportuni sottospazi norm-attaining.

Teorema 5.1.5. Sia X uno spazio di Banach separabile. Se M ⊂ X∗ e un sottospaziochiuso a caratteristica 1 di funzionali norm-attaining, allora M e massimale rispettoalla proprieta di essere norm-attaining.

Dimostrazione. M e un preduale, cosicche X1 e σ(X,M)-compatta. Se N ⊇Me un sottospazio chiuso di funzionali norm-attaining, allora M e ancora unpreduale, percio X1 e pure σ(X,M)-compatta.Siccome le topologie di compatto di Hausdorff non sono comparabili, lerestrizioni a X1 della σ(X,M)-topologia e della σ(X,N)-topologia devonocoincidere. Cio implica che N = M, grazie al teorema di Krein-Smulian: seϕ ∈ N, allora ϕ X1 e σ(X,M)-continua, percio ϕ e σ(X,M)-continua, cioeϕ ∈M.

Osservazione 5.1.5. Dalla dimostrazione del teorema precedente e beneestrarre un’informazione generale: fra due preduali distinti N e M di X, ca-nonicamente realizzati quali sottospazi di X∗, non possono esservi relazioni diinclusione.


I seguenti corollari sono immediati; purtuttavia non sembra agevoledarne una dimostrazione diretta:

Corollario 5.1.2. Non esiste un sottopazio chiuso X ⊂ l∞ di funzionali norm-attaining su l1 tale che c0 ⊂ X con inclusione stretta.

Corollario 5.1.3. Non esiste alcun sottospazio (chiuso) X ⊂ B(H) di funzionalinorm-attaining su S1

6 tale cheK (H) ⊂ L con inclusione stretta.

Piu generale e, invece, il seguente corollario:

Corollario 5.1.4. Se Y e uno spazio di Banach con duale Y∗ separabile, alloraj(Y) ⊂ Y∗∗ e un sottospazio chiuso massimale di funzionali norm attaining, ovej : Y→ Y∗∗ e l’iniezione canonica di Y nel suo biduale Y∗∗.

Per apprezzare i risultati precedenti, occorre porli a confronto col teore-ma di Bishop-Phelps sulla densita in norma dei funzionali norm-attaining.Concludiamo la sezione citando una caratterizzazione dovuta a Dixmierdei preduali, quali opportuni sottospazi minimali:

Teorema 5.1.6 (Dixmier [10]). Sia X uno spazio di Banach e N ⊂ X∗ unsottospazio chiuso a caratteristica 1. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. N e (canonicamente) un preduale.

2. N e un sottospazio chiuso minimale rispetto alla proprieta di essere totale.

5.1.2 Applicazioni

In questo breve paragrafo diamo due interessanti applicazioni del teoremadi esistenza dei preduali per spazi separabili; si tratta di dimostrazioni estre-mamente sintetiche di due risultati classici: il teorema di rappresentazionedi Riesz-Frechet per gli spazi di Hilbert e il teorema di rappresentazione diRiesz per gli spazi di Lebesgue Lp per p > 1.

Teorema 5.1.7 (Riesz-Frechet). Sia H uno spazio di Hilbert (reale) separabile eϕ ∈ H∗. Allora esiste un unico x ∈ H tale che ϕ(y) = (y, x) per ogni y ∈ H, dove(·, ·) e il prodotto interno di H.

Dimostrazione. Sia Φ : H→ H∗ l’applicazione lineare data da Φ(x) = ϕx, do-ve ϕx e il funzionale lineare continuo ϕx(y) (y, x) per ogni y ∈ H. Siccomesi ha ‖ϕx‖ = ‖x‖ per ogni x ∈ H, Φ e un’applicazione isometrica, cosiccheΦ(H) ⊂ H∗ e un sottospazio chiuso, che e evidentemente a caratteristica1. I suoi funzionali, infine, sono tutti norm-attaining, pertanto Φ(H) e unpreduale di H, cioe Φ(H)∗ H, da cui H∗ H cio che conclude la prova,l’isomorfismo essendo realizzato da Φ.

6S1 e l’ideale degli operatori tracciabili, cfr.[34].


Osservazione 5.1.6. Interessante e notare come la nostra dimostrazione delteorema di Riesz-Frechet, ancorche valida soltanto nel caso separabile, nondipende dal lemma di Riesz sulla decomposizione in somma diretta

H = M ⊕M⊥

dove M e un sottospazio chiuso e M⊥ il suo complemento ortogonale, i.e.M⊥ = x ∈ H : (x,m) = 0 ∀m ∈M.

Passiamo alla seconda applicazione, che appare ben piu interessante,permettendo di semplificare notevolmente la dimostrazione del teoremadi rappresentazione di Riesz per gli spazi Lp. Gli argomenti piu comuni,invece, richiedono di sfruttare le disuguaglianze di Clarkson7 (come, adesempio, e presentata in [7]), ovvero il teorema di Radon-Nikodym (come nelclassico trattato di Royden [40]).Prima di presentare la nostra dimostrazione del teorema preannunciato,fissiamo velocemente la notazione. Indichiamo con (X,S, µ) uno spazio dimisura σ-finito separabile8, in modo che gli spazi di Lebesgue corrispondentiLp(X, µ) sono spazi di Banach separabili per ogni p ≥ 1 (finito!). Infine sep > 1, indichiamo con q il suo esponente coniugato, cioe quel numero realeq > 1 tale che 1

p + 1q = 1.

Con le notazioni introdotte, abbiamo il seguente:

Teorema 5.1.8. Sia p > 1. L’applicazione Φ : Lq(X, µ)→ Lp(X, µ)∗ data da

〈Φ( f ), g〉 =

∫X

f gdµ per ogni g ∈ Lp(X, µ) e per ogni f ∈ Lq(X, µ)

e un isomorfismo isometrico, dove q > 1 e l’esponente coniugato a p.

Dimostrazione. Daremo la prova nel caso separabile9. Consideriamo lo spa-zio di Banach Lq(X, µ). Sia Ψ : Lp(X, µ) → Lq(X, µ)∗ l’applicazione datada

〈Ψ( f ), g〉 =

∫X

f gdµ per ogni g ∈ Lq(X, µ) e per ogni f ∈ Lp(X, µ)

Si ha |〈Ψ( f ), g〉| ≤∫

X | f g| ≤ ‖ f ‖p‖g‖q grazie alla disuguaglianza di Holder.Cio mostra che Ψ e ben definita, essendo ‖Ψ( f )‖ ≤ ‖ f ‖p per ogni f ∈ Lp(X, µ).Fissata f ∈ LP(X, µ), sia g0 : X→ R la funzione misurabile data da

g0(x) =

| f (x)|p−2 f (x)0 se f (x) = 0

7Dalle disuguaglianze di Clarkson segue il caratere uniformemente convesso degli spaziLp per ogni p > 1 e, quindi, il fatto che essi sono spazi riflessivi in virtu del teorema di Milman.

8Questo significa che la σ-algebraS e numerabilmente generata. Ad esempio, se X e unospazio metrico separabile, la σ-algebra dei boreliani di X gode di questa proprieta.

9Cio non e, di fatto, troppo restrittivo: quasi tutti gli spazi classici dell’Analisi godono ditale proprieta.


La funzione g0 appartiene a Lq(X, µ), infatti |g0(x)|q = | f (x)|(p−1)q = | f (x)|p,

cosicche ‖g0‖qq = ‖ f ‖pp, da cui ‖g0‖q = ‖ f ‖

pqp = ‖g0‖

p−1. Inoltre si ha

〈Ψ( f ), g0〉 = ‖ f ‖pp = ‖ f ‖p‖g0‖q (5.5)

La 5.5 mostra che ‖Ψ( f )‖ = ‖ f ‖p e che la norma e raggiunta sulla fun-zione g0

‖g0‖q∈ Lq(X, µ)1. se ne conclude che Ψ(Lp(X, µ)) ⊂ Lq(X, µ)∗ e un

sottospazio chiuso di funzionali norm attaining. Inoltre, un argomentosimmetrico al precedente mostra che tale sottospazio ha caratteristica 1,pertanto Ψ(Lp(X, µ)) e un preduale di Lq(X, µ), da cui Lp(X, µ)∗ Lq(X, µ)nell’isomorfismo descritto.

Osservazione 5.1.7. E’ bene sottolineare che la dimostrazione precedentedipende soltanto dall’elementare disuguaglianza di Holder, unitamente allacaratterizzazione dei preduali.

5.2 Unicita del preduale

In questa sezione vogliamo pesentare qualche risultato noto in relazioneall’unicita dei preduali. Gli spazi riflessivi sono esempi di spazi di Banachduali, quali duali del proprio duale, inoltre il loro preduale e unico a menodi isomorfismi isometrici. Prima di fornire una nostra dimostrazione di talerisultato, richiamiamo una nozione di grande interesse: quella di unicitaforte del preduale, nel senso della seguente:

Definizione 5.2.1 (unicita forte del preduale). Sia X uno spazio di Banachcon preduale M ⊂ X∗. Diciamo che M e fortemente unico se, per ogni predualeN ⊂ X∗ di X, riesce N = M.

Evidentemente si tratta di una nozione che e piu forte della sempliceunicita (a meno di isomorfismi isometrici) del preduale ed e la nozionecorretta per gli spazi riflessivi:

Teorema 5.2.1. Il preduale di uno spazio di Banach riflessivo e fortemente unico.

Dimostrazione. Diamo una nostra dimostrazione di questo classico risulta-to. Sia X uno spazio riflessivo e M ⊂ X∗ un suo preduale.Per il teorema di Banach-Alaoglu X1 e σ(X,M) compatta. Poiche X e ri-flessivo, X1 e σ(X,X∗)-compatta. Cio significa che le restrizioni delle duetopologie su X1 devono coincidere (perche le topologie di spazio compattodi Hausdorff non sono comparabili e la σ(X,M) topologia e sicuramentemeno fine della topologia debole, valendo l’inclusione M ⊂ X∗). Da ciodiscende che M = X∗. Sia, infatti, ϕ ∈ X∗, allora ϕ X1 e una funzioneσ(X,M)-continua. Per il teorema di Krein-Smulian, ϕ e una forma lineareσ(X,M)-continua, percio ϕ ∈M. Cio conclude la dimostrazione.

5.2. UNICITA DEL PREDUALE 79

Una semplice analisi della dimostrazione del teorema di Sakai mostrache anche il preduale di un’algebra di von Neumann e fortemente unico.In effetti non sono noti in letterature esempi di spazi di Banach duali conpreduale unico, ma non fortemente unico.

Nel suo articolo di rassegna [13] G. Godefroy raccoglie gli esempi notiin letteratura di tali spazi, descrivendo accuratamente le tecniche del setto-re. Di notevole interesse e, in particolare la nozione di funzionale lineareuniversalmente continuo per le topologie *-deboli, come e precisato nellaseguente:

Definizione 5.2.2. Un funzionale ϕ ∈ X∗ si dice universalmente continuo per letopologie *-deboli se, per ogni preduale M ⊂ X∗, riesce ϕ ∈M.

Intendiamo illustrare l’utilita della definizione appena data attraversodue classiche applicazioni: l’unicita (forte) dei preduali di l∞ e di B(H). Insostanza si deduce la continuita *- debole universale di certe forme lineari,mostrando che la palla unita del loro nucleo puo essere espressa qualeintersezione di palle opportune, che sono universalmente compatte per letopologie *-deboli grazie al teorema di Alaoglu.

Esempio 5.2.1 (Unicita del preduale di l∞). .Sia M ⊂ l∗∞ un preduale di l∞, lo spazio di Banach delle successioni limitate,munito della norma del sup. Sia en ∈ l∞ la successione data da en(k) = δn,kper ogni k ∈N e ϕn ∈ l∗∞ la forma lineare data da ϕn(x) = xn per ogni x ∈ l∞.Vogliamo mostrare che ϕn e universalmente continua per le topologie *-deboli. A tal scopo basta osservare che (Kerϕn)1 = B1(en) ∩ B1(−en), doveBr(x0) x ∈ X : ‖x − x0‖ ≤ r. Per il teorema di Alaoglu, le palle chiuseBr(x0) sono compatte nelle *-deboli, ne segue che (Kerϕn)1 e *-debolmentecompattin ogni topologie *-debole, sicche Kerϕn e *-debolmente chiuso inogni topologia *, grazie al teorema di Krein-Smulian. Ne segue che i fun-zionali coordinati ϕn sono universalmente continui per le topologie deboli*,cosicche ϕn ∈ M per ogni n, da cui l1 = spanϕn : n ∈N ⊂ M. Deve essere,pertanto, M = l1, non potendo esistere relazioni di inclusioni proprie fra ipreduali.

Esempio 5.2.2 (Unicita del preduale di B(H)). .Vogliamo mostrare che il preduale diB(H), dove H e uno spazio di Hibert efortemente unico ed e rappresentato daS1, l’ideale degli operatori tracciabili(o nucleari, vedere [38]). A tal scopo basta provare che se M ⊂ B(H)∗ e unpreduale, allora M contiene tutti gli operatori di rango finito, pensati qualiforme lineari attraverso la traccia 10.

10A ∈ S1 e identificato al funzionale ϕA dato da ϕA(T) = tr(AT) per ogni T ∈ B(H). Lacorrispondenza lineare A → ϕA e inoltre isometrica: ‖A‖1 = ‖ϕA‖ per ogni A ∈ S1, dove‖A‖1 tr(|A|) e la norma che rende S1 un’algebra di Banach.


Dati x, y ∈ Ha norma unitaria sia x ⊗ y l’operatore di rango 1 dato dax ⊗ y (z) = (z, y)x per ogni z ∈ H. Se mostriamo che x ⊗ y ∈ M per ognix, y ∈ H avremo la conclusione. Occorre mostrare che Ker x⊗ y ⊂ B(H) e unsottospazio universalmente *-debolmente continuo, ossia che e tale la suapalla unita. Ora (Ker x⊗y)1 =

T ∈ B(H)1 : (Ty, x) = 0

. Definiamo l’insieme

Cyx B1(x ⊗ y) ∩ B1(−x ⊗ y). Costituisce una semplice verifica dimostrare

cheCy

x = T ∈ B(H)1 : Ty = T∗x = 0

Se z e un vettore unitario ortogonale a x e y si ha, come e facile verificare,che

Cyx ∩ Cy

z ∩ Czx = (Ker x ⊗ y)1

da cui la conclusione grazie al teorema di Alaoglu.

Una classe notevole di spazi di Banach duali e costituita dagli spazi(isometricamente) isomorfi al proprio biduale. In [15] James ha dimostratoche tale classe e strettamente piu ampia di quella rappresentata dagli spaziriflessivi, fornendo un brillante esempio di spazio di Banach separabileJ, oggi noto come spazio di James, che, pur non essendo riflessivo11, eisometricamente isomorfo al suo biduale J∗∗.Sembra interessante affrontare il problema dell’unicita del preduale per talispazi, visto che questo ha soluzione positiva per gli spazi riflessivi e, piuin generale, per gli spazi quasi riflessivi. Qui ci limitiamo ad osservareche vale la seguente caratterizzazione di tali spazi, ritenendo che potrebberivelarsi utile alla soluzione del problema proposto.

Proposizione 5.2.1. Se X e uno spazio Banach, Allora vale l’isomorfismo isome-trico X X∗∗ se e solo se esite un’isometria Φ : X∗ → X∗ tale che Φ(X) e unpreduale di X. Inoltre X e riflessivo se e solo se Φ e suriettiva.

Dimostrazione. Si tratta di un’immediata applicazione del lemma 5.1.1.

11Piu precisamente j(J) ⊂ J∗∗ ha codimensione 1. Per i dettagli vedere, ad esempio, [2].

Appendice A

Filtri e convergenza

La nozione di filtro, introdotta da H. Cartan, permette la piu generaletrattazione delle questioni di convergenza. La definizione e la seguente:

Definizione A.0.3 (Filtro). Un filtro F su un insieme non vuoto X e unacollezione di sottoinsiemi di X tale che:

1. ∅ < F

2. Se A,B ∈ F , allora A ∩ B ∈ F

3. Se A ∈ F e B ⊇ A allora B ∈ F

Dato un sottoinsieme non vuoto A ⊂ X, la collezione F (A) dei sottoin-siemi di X che contengono A e un filtro, detto il filtro di base A. Se A constadi un solo elemento x ∈ X, F (A) e anche indicato con Fx. Un filtro F si dicelibero se non esiste alcun sottoinsieme A ⊂ X tale che F = F (A).L’inclusione induce una relazione d’ordine sui filtri: un filtro F si dice piufine del filtro G se G ⊂ F . In tal caso si scrive anche G F . Osserviamoche F (A) F (B) se e solo se B ⊂ A.Particolarmente utile nelle questioni di topologia generale e la nozione diultrafiltro:

Definizione A.0.4 (ultrafiltro). Un filtro massimale rispetto all’ordinamentoparziale si dice un ultrafiltro.

Ad esempio, Fx e un ultrafiltro per ogni x ∈ X come e immediatoverificare; inoltre

Teorema A.0.2 (Lemma degli ultrafiltri). Dato un filtro F su X, esiste unultrafiltro F0 tale che F F0.

Dimostrazione. Si tratta di una semplice applicazione del lemma di Zorn.Consideriamo la famiglia (non vuota) F dei filtri G tali che F G munita

81

82 APPENDICE A. FILTRI E CONVERGENZA

dell’ordinamento parziale dato da . Sia Gα : α ∈ I una catena in F. Dob-biamo mostrare che essa ammette un maggiorante. Poniamo G =

⋃α∈I Gα

e proviamo che G e un filtro. L’unica verifica non ovvia e che, dati A,B ∈ G,si ha che A

⋂B e non vuota. Siccome Gα : α ∈ I e una catena, esiste α ∈ I

tale che A,B ∈ Gα, percio A⋃

B e non vuota, perche Gα e un filtro.Per il lemma di Zorn esiste, pertanto, un filtro massimale F0 in F, che eproprio quanto volevamo dimostrare.

Consideriamo ora la nozione di base di un filtro. Questa definizione, inqualche modo, e modellata sulla definizione di base di aperti su uno spaziotopologico.

Definizione A.0.5 (Base di un filtro). Una sottocollezione di insiemi B ⊂ Fdi un filtro F si dice una base del filtro, se per ogni A ∈ F esiste B ∈ B tale cheB ⊂ A.

Se X e uno spazio topologico e x un suo punto, e immediato riconoscereche Nx (collezione degli intorni di x) e un filtro. Sia Ox ⊂ Nx la collezionedegli insiemi aperti che contengono x. Dalla definizione di intorno seguesubito che Ox e una base del filtroNx.Se B e base di un filtro F e A,B ∈ B, allora esiste C ∈ B tale che C ⊂ A

⋂B,

semplicemente perche A⋂

B ∈ B. Viceversa:

Lemma A.0.1. Sia B ⊂ P(X) una collezione di sottoinsiemi tale che:

1. ∅ < B.

2. Dati A,B ∈ B esiste C ∈ B tale che C ⊂ A⋂

B.

Allora B e base del filtro F A ∈ P(X) : ∃B ∈ B con B ⊂ A.

La dimostrazione del lemma precedente e un semplicissimo esercizio,quindi preferiamo ometterla; segnaliamo, invece, che due filtri con stessabase devono coincidere, come e facile verificare.

D’ora in poi supporremo che X sia uno spazio topologico. Prima dipresentare la teoria della convergenza per i filtri, va detto che e possibileassegnare una topologia su un insieme qualunque, assegnando un filtroNxin corrispondenza di ogni elemento x ∈ X, richiedendo che:

1. x ∈ A per ogni A ∈ Nx.

2. Dato U ∈ Nx esiste V ∈ Nx tale che y ∈ V implica U ∈ Ny.

Le condizioni richiamate garantiscono che la collezione degli insiemi A ⊂ Xtali che per ogni x ∈ A esiste U ∈ Nx con U ⊂ A e una topologia e che Nxnon e altro che il filtro degli intorni di x in tale topologia.Passiamo a consideare la nozione di convergenza di un filtro:

83

Definizione A.0.6 (Filtri convergenti). Un filtro F su uno spazio topologicoX si dice convergente al punto x ∈ X se e piu fine del filtro degli intorni di x; insimboliNx F .

Non e difficile dimostrare la seguente:

Proposizione A.0.2. Uno spazio topologico e di Hausdorff se e solo se ogni suofiltro converge al piu ad un punto.

La nozione di punto di accumulazione di un filtro e pure di notevoleutilita:

Definizione A.0.7 (Punto di accumulazione di un filtro). Un punto x ∈ X sidice di accumulazione per il filtro F se x ∈ F per ogni F ∈ F .

Se F converge a un punto x ∈ X, allora x e punto di accumulazione peril filtro (Se F ∈ F e U ∈ Nx, allora F

⋂U e non vuota perche appartiene al

filtro F ). Il viceversa in generale non e vero, tuttavia:

Proposizione A.0.3. Un ultrafiltro converge a tutti i suoi punti di accumulazione.

Dimostrazione. Sia x un punto di accumulazione dell’ultrafiltro F . Sia U ∈Nx, allora U

⋂F e non vuoto per ogni F ∈ F , percio U ∈ F per massimalita.

In uno spazio di Hausdorff, quindi, un ultrafiltro possiede al piu unpunto di accumulazione. Naturalmente non e detto che debba ammetereun punto di accumulazione, a meno che lo spazio sia compatto:

Teorema A.0.3 (Compattezza e filtri). Uno spazio topologico X e compatto se esolo se ogni filtro in X ha almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione. Sia C una famiglia di chiusi di X con la proprieta dell’in-tersezione finita. Allora la collezione B dei sottoinsiemi di X che sonointersezioni finite di insiemi di C e la base di un filtro F . Sia x ∈ X un suopunto di accumulazione. SiccomeC ⊂ F , riesce x ∈ C per ogni C ∈ C, sicche⋂

C∈C C e non vuota.Viceversa, sia F un filtro sullo spazio topologico compatto X. Consideria-mo la famiglia di chiusi C F : F ∈ F . Siccome F e un filtro, C ha laproprieta dell’intersezione finita, dunque esiste x ∈ X tale che x ∈ F per ogniF ∈ F (grazie alla compattezza di X). Cio conclude la prova.

Il teorema precedente e la versione generale del ben noto risultato suglispazi metrici, che esprime la compattezza in termini di compattezza persuccessioni (ogni successione ammette una sottosuccessione convergente).In termini di ultrafiltri il risultato prende la forma:

Teorema A.0.4. Uno spazio topologico X e compatto se e solo se ogni ultrafiltroin X e convergente.


Dimostrazione. Sia X compatto e F un ultrafiltro. Allora esiste x ∈ X chee punto di accumulazione per F . La tesi segue dal fatto che un ultrafiltroconverge a tutti i suoi punti di accumulazione.Viceversa, sia F un filtro. Per il lemma degli ultrafiltri esiste un ultrafiltroF0 tale che F F0. Per ipotesi F0 e convergente a un certo x ∈ X. Tale xe certamente punto di accumulazione per F0 e, a fortiori, per F . Ne segueche X e compatto, giacche F e arbitrario.

Il teorema precedente e una caratterizzazione piuttosto potente dellacompattezza. Ad esempio, consente una dimostrazione molto veloce delteorema di Tychonoff:

Teorema A.0.5 (Tychonoff). Il prodotto di spazi compatti e compatto.

Dimostrazione. Sia Xα : α ∈ I una collezione di spazi topologici compatti.Poniamo X =

∏α∈I Xα con la topologia prodotto, cioe con la topologia

meno fine per la quale le proiezioni sui fattori pα sono continue. Sia F unultrafiltro in X. Per ogni α ∈ I la collezione pα(F ) = pα(F) : F ∈ F e la basedi un ultrafiltro in Xα (facile verifica). Siccome Xα e compatto, esiste xα ∈ Xα

tale che pα(F ) converge a xα. Sia x ∈ X dato da x(α) xα1. Si riconosceimmediatamente che F converge a x. Ne segue che X e compatto.

Naturalmente la dimostrazione precedente non prescinde dall’assiomadella scelta, dipendendo dal lemma degli ultrafiltri. Cionondimeno il lem-ma degli ultrafiltri non sostituisce interamente l’assioma della scelta. Illemma degli ultrafiltri, in effetti, non e equivalente all’assioma della scelta,differentemente dal teorema di Tychonoff stesso, che Kelley ha dimostratoessere equivalente all’assioma della scelta in [23].

Prima di concludere questa sezione, e bene introdurre la seconda nozio-ne indispensabile a trattare le nozioni di convergenza nella loro generalita;ci riferiamo al concetto di net (o successione generalizzata), introdotto daMoore e Smith [31]. Prima di darne la definizione precisa ricordiamo cheun insieme parzialmente ordinato (I,) si dice diretto se per ogni i, j ∈ I,esiste k ∈ I tale che i k e j k.

Definizione A.0.8 (Net). Una successione generalizzata (o net) su uno spaziotopologico X e un’applicazione x : I→ X, dove I e un insieme diretto.

Si suole identificare l’applicazione con la sua immagine ed indicare unnet x come xi : i ∈ I. La nozione di convergenza per una successionegeneralizzata e, senza sorprese, la seguente

Definizione A.0.9 (Reti convergenti). Una rete xi : i ∈ I ⊂ X e convergenteal punto x ∈ X se per ogni intorno U di x, xi e definitivamente in U, cioe esisteiU ∈ I tale che xi ∈ U per ogni i iU.

1Un tale x ∈ X esiste grazie all’Assioma della scelta.

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Naturalmente e anche possibile dare la nozione di punto di accumula-zione per una rete, infatti

Definizione A.0.10 (Punti di accumulazione di una rete). Un punto x ∈ Xsi dice di accumulazione per una rete xi : i ∈ I ⊂ X se per ogni intorno U di xxi : i ∈ I e frequentemente in U, cioe per ogni I esiste j ∈ I con j i tale chex j ∈ U.

Cosı come per le successioni ordinarie, e possibile dare una nozione disottorete. A tal scopo ricordiamo che un’applicazione f : I → J fra insiemidiretti si dice un morfismo cofinale se preserva l’ordine e se, comunque datoj ∈ J, esiste i ∈ I tale che f (i) j.

Definizione A.0.11 (Sottorete). Una rete y j : j ∈ I ⊂ X si dice una sottoretedi xi : i ∈ I ⊂ X se esiste un morfismo cofinale f : J → I tale che y j = x f ( j) perogni j ∈ J.

Con la nozione di sottorete e facile dare la seguente caratterizzazionedei punti di accumulazione:

Lemma A.0.2. Un punto x ∈ X e di accumulazione per la rete xi : i ∈ I ⊂ X see solo se esiste una sottorete y j : j ∈ J ⊂ X che converge a x ∈ X.

Dimostrazione. Se esiste una sottorete y j : j ∈ J ⊂ X che converge a x ∈ X,allora x e un punto di accumulazione di xi : i ∈ I ⊂ X, come e immediatoriconoscere. Viceversa, sia x un punto di accumulazione di xi : i ∈ I ⊂ X.Definiamo l’insieme

J = (i,U) : i ∈ I,U ∈ Nx tali che xi ∈ U

munito della relazione d’ordine (i,U) ( j,V) se e solo se i j e V ⊂ U.Siccome x e un punto di accumulazione per la rete xi : i ∈ I, l’insieme (J,)e diretto. Siano, infatti, (i,U) e ( j,V) due elementi di J; sia h ∈ I tale chei, j h e k h tale che xk ∈ U ∩ V, allora (k,U ∩ V) ∈ J.Sia f : J → I l’applicazione suriettiva data da f (i,U) = i. Evidentementesi tratta di un morfismo cofinale. Non resta da provare che la sottoretex f (( j,U)) : ( j,U) ∈ J converge a x. Sia U un intorno di x e sia i ∈ I tale chexi ∈ U, allora se ( j,V) (i,U) riesce x f ( j,U) = f j ∈ U.

Reti e filtri in certo senso si corrispondono. Dato un filtro2F possiamo

introdurre l’ordinamento parziale suF dato dall’inclusione, cioe F G seG ⊂ F. Si tratta evidentemente di un ordinamento filtrante, cioe (F ,) e uninsieme diretto. Per l’assioma della scelta, esiste una funzione x : F → Xtale che xF x(F) ∈ F per ogni F ∈ F . La rete xF : F ∈ F e convergente ax ∈ X se lo e il filtro come e immediato riconoscere.

2Su uno spazio topologico X.


D’altra parte, data una rete xi : i ∈ I ⊂ X possiamo considerare la collezio-ne F dei sottoinsiemi di F ⊂ X tali che xi e definitivamente in F. Evidente-mente si tratta di un filtro convergente a x ∈ X se lo e la rete xi : i ∈ I.Al concetto di ultrafiltro corrisponde la nozione di rete universale introdottada Kelley:

Definizione A.0.12 (Rete universale). Una rete xi : i ∈ I ⊂ X si dice universale(ultrarete) se per ogni sottoinsieme F ⊂ X, la rete e definitivamente in F o nel suocomplementare Fc.

Evidentemente una rete universale converge a tutti i suoi punti di accu-mulazione, pertanto se X e uno spazio di Hausdorff, una tale rete possiedeal piu un punto di accumulazione.L’esistenza delle ultrareti e garantita dal lemma degli ultrafiltri: una retecorrispondente ad un ultrafiltro e infatti una rete universale, come e im-mediato riconoscere. Vicendevolmente il filtro corrispondente ad una reteuniversale e un ultrafiltro, pertanto si ha il seguente:

Teorema A.0.6. Uno spazio topologico X e compatto se e solo se ogni rete universaledi X e convergente.

Appendice B

Il teorema di Hahn-Banach

Il teorema di Hahn-Banach (forma analitica) e un potente risultato di esten-sione per forme lineari. Sia E uno spazio vettoriale reale. Una funzionep : E → R si dice una gauge se e positivamente omogenea e subadditiva,cioe se:

1. p(λx) = λp(x) per ogni x ∈ E e per ogni λ > 0.

2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) per ogni x, y ∈ E.

Possiamo ora formulare la cosiddetta forma analitica reale del teorem diHanh-Banach:

Teorema B.0.7 (Hahn-Banach). Sia E uno spazio vettoriale reale e p una funzionedi gauge su E. Data una forma lineare ϕ : F → R, dove F ⊂ E e un sottospazio,tale che ϕ(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ F.Esiste una forma lineare Φ : E→ R tale che Φ(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. Si tratta di una semplice applicazione del lemma di Zorn.Innanzitutto mostriamo che e possibile prolungare ϕ su F + Rx0 (dove x0e un vettore di E che non appartiene a F ) in modo che la forma lineareottenuta sia ancora dominata da p. Poniamo ϕ(x + tx0) ϕ(x) + tλ perogni x ∈ F e per ogni t ∈ R, dove λ e un numero reale. Occorre far vedereche e possibile scegliere λ ∈ R in modo che ϕ ≤ p. Grazie alla positivaomogeneita di p e sufficiente verificare che esisteλ tale cheϕ(x)+λ ≤ p(x+x0)e ϕ(x) − λ ≤ p(x − x0) per ogni x ∈ F.Siano x, y ∈ F allora ϕ(x) + ϕ(y) = ϕ(x + y) ≤ p(x − x0) + p(y + x0) da cuiϕ(x) − p(x − x0) ≤ ϕ(y) + p(y + x0), sicche

supx∈E

ϕ(x) − p(x − x0)

≤ inf

y∈F

p(y + x0) − ϕ(y)

Cio significa che esiste λ ∈ R tale che ϕ(x) − p(x − x0) ≤ λ p(x + x0) − ϕ(x)per ogni x ∈ E, che e quanto volevamo.Sia adesso F la famiglia delle coppie (G, η) dove G ⊂ E e un sottospazio

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88 APPENDICE B. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH

contenente F e η e una forma lineare definita in G tale che η F= ϕ eη ≤ p. F e munito dell’ordinamento parziale dato dall’inclusione, cioe(G, η) (H, ω) se e solo se G ⊂ H e ω G= η. (F,) e un insieme induttivo,cioe ogni catena ammette un maggiorante inF. Se

(Hα, ηα)

e una catena (i.e

un insieme totalmente ordinato) di F, l’insieme⋃α Hα ⊂ E e un sottospazio

sul quale e possibile definire la forma lineare η ponendo η(x) = ηα(x) sex ∈ Hα. Grazie alla proprieta di catena η e ben definita ed e dominata dap, sicche (H, η) ∈ F ne e un maggiorante. Per il lemma di Zorn esiste unelemento massimale (H0,Φ). Per massimalita deve essere H0 = E, grazie aquanto visto all’inizio della dimostrazione.

Il passaggio dal caso reale al caso complesso non presenta particolaridifficolta. Il teorema resta vero sotto ipotesi leggermente piu restrittive, ilmodulo del funzionale dovendo essere dominato da una seminorma:

Teorema B.0.8 (Hahn-Banach: caso complesso). Sia E uno spazio vettorialecomplesso e p una seminorma definita in E. Sia ϕ : F → C una forma linearedefinita sul sottospazio F ⊂ E tale che |ϕ(x)| ≤ p(x) per ogni x ∈ F.Esiste una forma lineare Φ : E→ C tale che |Φ(x)| ≤ p(x) per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. Ci si riconduce al caso reale definendo la forma R-linearedata da g(x) = Reϕ(x) per ogni x ∈ F. Evidentemente g ≤ p. Sia G un’esten-sione di g a tutto E tale che G(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ E.Definiamo Φ(x) G(x) − iG(ix) per ogni x ∈ E. Vogliamo verificare che Φe C-lineare. A tal scopo basta assicurarsi che Φ(ix) = iΦ(x) per ogni x ∈ E.Questa e una facile verifica:

Φ(ix) = G(ix)−iG(i2x) = G(ix)+iG(x) = i(G(x)−iG(ix)) = iΦ(x) per ogni x ∈ E

Si verifica facilmente che Φ estende ϕ. Infine |Φ(x)| = Φ(x)eiθ = Φ(eiθx) =G(eiθx) ≤ p(eiθx) = p(x) per ogni x ∈ E, cio che conclude la prova.

Il teorema di Hahn-Banach e ricchissimo di conseguenze ed applicazio-ni. Ad esempio il duale (topologico) X∗ di uno spazio normato X e moltoricco, come e espresso dal seguente:

Corollario B.0.1. Sia X uno spazio normato e x0 ∈ X non nullo. Allora esisteϕ ∈ X∗ tale che ‖ϕ‖ ≤ 1 e ϕ(x0) = ‖x0‖.

Dimostrazione. Sia F = Cx0 e ϕ : F → C dato da ϕ(λx0) = λ‖x0‖ per ogniλ ∈ C. Si ha evidentemente |ϕ(x)| ≤ ‖x‖ per ogni x ∈ F. Un prolungamentoalla Hahn-Banach di ϕ (rispetto alla seminorma p(x) = ‖x‖) ha tutte leproprieta di cui all’enunciato.

Un secondo corollario che presenta numerose applicazioni in AnalisiFunzionale e il seguente:

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Corollario B.0.2. Sia M ⊂ X un sottospazio chiuso proprio di uno spazio normatoX. Se x0 < M, esiste ϕ ∈ X∗ con ‖ϕ‖ ≤ 1, tale che ϕ(y) = 0 per ogni y ∈ M eϕ(x) = d(x,M).

Dimostrazione. Consideriamo lo spazio quoziente X/M munito della normaquoziente ‖x‖ inf ‖y‖ : y ∈ x = d(x,M), dove x indica classe di equiva-lenza (mod M) di x ∈ X.Siccome x0 < M, si ha x0 , 0, cosicche, applicando il teorema di Hahn-Banach allo spazio normato quoziente, otteniamo che esiste η ∈ (X/M)∗ taleche ‖η‖ = 1 e η(x0) = ‖x0‖ = d(x0,M).Sia ora ϕ ∈ X∗ dato da ϕ = ηπ dove π : X→ X/M e la proiezione canonicasul quoziente. Evidentemente ϕ(M) = 0, ϕ(x0) = d(x0,M) e ‖ϕ‖ ≤ 1, datoche ‖π‖ ≤ 1.

Concludiamo ricordando che il teorema di Hahn-Banach non e equiva-lente all’Assioma della scelta, esistendo sue dimostrazioni che prescindonodal lemma di Zorn. Ad esempio Luxemburg in [28] ha dimostrato che epossibile dare una prova del teorema a partire dal lemma degli ultrafiltri.

90 APPENDICE B. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH

Appendice C

Limiti di Banach

Un’applicazione molto interessante del teorema di Hanh-Banach si ha quan-do bisogna dimostrare l’esistenza di opportuni funzionali lineari sullo spa-zio di Banach l∞ delle successioni (reali) limitate, munito della norma‖x‖∞ = supn∈N |xn|.Se indichiamo con c ⊂ l∞ il sottospazio delle successioni convergenti,allora e ben definito il funzionale lineare limitato ϕ : c → R dato daϕ(x) = limn→∞ xn. Il funzionale ϕ possiede le proprieta seguenti:

• ‖ϕ‖ = 1.

• Se x ∈ c e tale che xn ≥ 0 per ogni n, allora ϕ(x) ≥ 0.

• Se x ∈ c, allora ϕ(Sx) = ϕ(x), dove (Sx)n = xn+1 per ogni n.

Il teorema che segue mostra che e possibile estendere a l∞ il funzionale ϕ inmodo che le proprieta di cui sopra continuino ad essere verificate.

Teorema C.0.9. Esiste un funzionale lineare limitato L : l∞ → R tale che:(a) ‖L‖ = 1.(b) Se x ∈ c, L(x) = limn→∞ xn.(c) Se x ∈ l∞ e xn ≥ 0 per ogni n, riesce L(x) ≥ 0.(d) Se x ∈ l∞, allora L(Sx) = L(x), dove (Sx)n = xn+1.

Dimostrazione. Sia S l’operatore lineare continuo di l∞ in se, dato dallo shiftdestro, cioe (Sx)n = xn+1 per ogni n e per ogni successione x ∈ l∞.Sia M ⊂ l∞ la chiusura del sottospazio Ran(I − S), e ∈ l∞ la successioneidenticamente uguale a 1. Vogliamo provare che riesce

d(e,M) = d(e,Ran(I − S)) = 1.

Siccome 0 ∈ M, si ha sicuramente d(e,M) ≤ 1. Sia ora x ∈ l∞. Dobbiamoprovare che riesce ‖e + Sx − x‖ ≥ 1 cioe che supn∈N|1 + xn+1 − xn| ≥ 1.Dobbiamo, quindi, verificare che, dato ε > 0, esiste N ∈ N (dipendente da

91

92 APPENDICE C. LIMITI DI BANACH

ε), tale che |1 + xN+1 − xN | ≥ 1 − ε. Se, per assurdo, esistesse ε > 0 tale che|1 + xn+1 − xn| < 1 − ε per ogni n, si avrebbe, in particolare, xn+1 < xn − ε, dacui xn+1 < x1 − nε, contro il fatto che x e una successione limitata.Per uno dei corollari del teorema di Hanh-Banach esiste L ∈ l∗∞ tale cheL(e) = d(e,M) = 1, ‖L‖ = 1 e L(M) = 0, cioe L(x) = L(Sx) per ogni x ∈ l∞, chee la (d).Sia ora c0 ∈ l∞ il sottospazio delle successioni convergenti a 0. Vogliamoverificare che c0 ⊂ KerL. A tal scopo, basta verificare che Ran(I − S) e densoin c0. Sia x = xn ∈ c0, allora, dato ε > 0, esiste N tale che |xn| < ε perogni n ≥ N. Sia y ∈ l∞ la successione data da y1 = 0, yk =

∑k−1j=1 xi per ogni

2 ≤ k ≤ N e yk = yN per ogni k ≥ N, Allora Sy − y = x1, x2, . . . , xN, 0, 0, . . . ,cosicche ‖x − (Sy − y)‖ < ε.Se ora x ∈ C, possiamo scrivere x = (x − le) + le dove l limn→∞ xn, da cuiL(x) = L(x− le) + L(le) = l, poiche (x− le) ∈ c0 e L(e) = 1; cio mostra la validitadella (b).Resta da provare la positivita di L. Supponiamo, per assurdo, che esistex ∈ l∞ con z ≥ 0 e L(x) < 0. Non e restrittivo supporre che ‖x‖ ≤ 1, cioeche riesca 0 ≤ xn ≤ 1. Allora la successione y = 1 − x e tale che ‖y‖ ≤ 1 eL(y) = 1 − L(x) > 1, contro il fatto che ‖L‖ = 1.

Talvolta un funzionale L ∈ l∗∞ con le proprieta espresse nell’enunciatodel teorema precedente viene chiamato un limite di Banach ovvero limitegeneralizzato.La proprieta di positivita di L e equivalente alla monotonia di L e cioe cheL(x) ≥ L(y) per ogni x, y ∈ l∞ con x ≥ y (i.e. xn ≥ yn per ogni n ∈ N).Dalla proprieta di monotonia e possibile ricavare facilmente che valgono lediseguaglianze

lim infn→∞

xn ≤ L(x) ≤ lim supn→∞

xn per ogni x ∈ l∞.

Se, infatti, poniamo yn = supi≥n xn e zn = infi≥n per ogni n ∈ N, abbiamoz ≤ x ≤ y, cosicche L(z) ≤ L(x) ≤ L(y).Per concludere bisogna osservare che yn e zn sono successioni conver-genti a lim supn→∞ xn e a lim infn→∞ xn rispettivamente, pertanto L(y) =lim supn→∞ xn e L(z) = lim infn→∞ xn.Vogliamo concludere osservando che L non e un funzionale moltiplica-tivo, cioe esistono x, y ∈ l∞ tali che L(xy) , L(x)L(y). A tal scopo, siax = (1, 0, 1, 0, . . . ), allora Sx = (0, 1, 0, 1, . . . ), cosicche x + Sx = (1, 1, 1, 1, . . . );se ne ricava che L(x + Sx) = 1, da cui L(x) = 1

2 . Ora x2 = x, ma L(x)2 = 14 . Cio

mostra che L non puo essere moltiplicativo.

L’esistenza dei limiti generalizzati trova numerose applicazioni in dif-ferenti contesti matematici. Molto interessante e la possibilita di esibireuna rappresentazione fedele dell’algebra di CalkinB(H)/K(H) attraverso un

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limite di Banach, quando H e uno spazio di Hilbert separabile. Se en ⊂ He una base ortonormale, possiamo definire una forma lineare ϕ : B(H)→ Cponendo ϕ(T) = L((Ten, en)) per ogni T ∈ B(H), dove L e un limite di Bana-ch su l∞. Si riconosce immediatamente che ϕ e uno stato, cioe un funzionalelineare positivo con ϕ(I) = 1. Se (Hϕ, xϕ, πϕ) e la terna di G.N.S. corrispon-dente, si verifica facilmente che πϕ : B(H)→ B(Hϕ) e una rappresentazione(con vettore ciclico xϕ∈Hϕ) il cui nucleo coincide con l’ideale K (H) deglioperatori compatti. Cio significa che πϕ passa al quoziente B(H)/K (H)come rappresentazione fedele (isometrica). Per i dettagli sulla terminolo-gia introdotta consultare ad esempio [8], il libro di Dixmier [9] restandocomunque una trattazione classica e piu completa della teoria elementaredelle C*-algebre.

94 APPENDICE C. LIMITI DI BANACH

Appendice D

Versioni geometriche delteorema di Hahn-Banach

Il teorema di Hahn-Banach ammette numerose formulazioni geometriche,molte delle quali trovano interessanti applicazioni in Analisi convessa. Que-ste versioni 1del teorema concernono la possibilita di separare opportuna-mente sottoinsiemi convessi e disgiunti. Per semplicita considereremo ilcaso di uno spazio localmente convesso E sul campo reale R.Ricordiamo che due insiemi A,B ⊂ E disgiunti possono essere separati daun iperpiano se esiste ϕ ∈ E∗ tale che ϕ(x) ≤ a per ogni x ∈ A e ϕ(y) ≥ a perogni y ∈ B, dove a e un opportuno numero reale. Se poi esiste b < a tale cheϕ(x) ≤ b per ogni x ∈ A, allora diciamo che A e B possono essere separati insensio stretto.Qui sotto troviamo le piu comuni forme geometriche del teorema di Hahn-Banach.

Teorema D.0.10 (Hahn-Banach: prima forma geometrica). Siano A,B ⊂ Esottoinsiemi convessi e disgiunti, di cui uno aperto. Allora tali insiemi possonoessere separati da un iperpiano.

Dimostrazione. Sia x ∈ E tale che−x ∈ A−B y−z : y ∈ A, z ∈ B. DefiniamoC A − B + x. C e un insieme aperto e convesso, inoltre per costruzionex < C, perche A e B sono disgiunti. Osserviamo anche che 0 ∈ C e che C e uninsieme assorbente in quanto aperto. Sia pC il corrispondente funzionale diMinkowski. Siccome x < C, si ha pC(x) ≥ 1, cosicche l(y) ≤ pC(y) per ogniy ∈ Rx se l(λx) = λ per ogni λ ∈ R. Sia ora ϕ un’estensione di l a tutto Etale che ϕ(y) ≤ pC(y) per ogni y ∈ E. Evidentemente ϕ ∈ E∗. Non resta damostrare che A e B sono separati da tale funzionale lineare. Siano a ∈ A eb ∈ B, in modo che a − b + x ∈ C, cosicche ϕ(a − b + x) ≤ pC(a − b + x) ≤ 1, dacui ϕ(a) ≤ ϕ(b) + 1 − ϕ(x) = ϕ(b). Siccome a e b sono arbitrari, concludiamoche supa∈A ϕ(a) ≤ infb∈B ϕ(b), che e proprio quanto volevamo verificare.

1Nel caso normato esse sono dovute essenzialmente a S. Mazur, cfr. [29]

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96APPENDICE D. VERSIONI GEOMETRICHE DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH

Teorema D.0.11 (Hahn-Banach: seconda forma geometrica). Se A,B ⊂E sono sottoinsiemi convessi, disgiunti e aperti, allora possono essere separatistrettamente da un iperpiano.

Dimostrazione. E una conseguenza pressocche immediata del teorema pre-cedente. Sia ϕ ∈ E∗ tale che l’iperpiano di equazione ϕ(x) = a separa A e B.Siccome ϕ e non nullo, gli insiemi ϕ(A), ϕ(B) ⊂ R sono aperti (come e facileverificare, scivendo la decomposizione in somma diretta E = Kerϕ ⊕ Rx0conϕ(x0) , 0), inoltre la loro intersezione consta di al piu un punto, dunqueessa e vuota, da cui la conclusione.

Teorema D.0.12 (Hahn-Banach: terza forma geometrica). Siano A,B ⊂ Esottoinsiemi convessi e disgiunti. Se A e compatto e B e chiuso, allora possonoessere separati strettamente da un iperpiano.

Dimostrazione. Il teorema e una conseguenza non difficile della secondaversione geometrica. Dato x ∈ A esiste Ux intorno aperto e convesso di O taleche (x+Ux)

⋂B = ∅, grazie al fatto che B e chiuso. (x+Ux) : x ∈ A costituisce

un ricoprimento aperto di A, pertanto esistono x1, x2, . . . , xn ∈ A tali cheA ⊂

⋃ni=1(xi + Uxi). Definiamo U

⋂ni=1 Uxi . U e evidentemente un intorno

apeto e convesso do 0. Gli insiemi A + 12 U e B − 1

2 U sono aperti, convessi edisgiunti per costruzione, pertanto possono essere separati strttamente daun iperpiano. A fotiori, dunque, sono separabili strettamente anche A eB.

Occorre segnalare che la forma analitica del teorema di Hahn-Banach ele sue formulazioni geometriche sono equivalenti. Il libro [49] di F. Trevescontiene un’interessante dimostrazione della forma analitica del teorema apartire dalla seguente proposizione di carattere geometrico:

Teorema D.0.13. Sia E uno spazio localmente convesso, N ⊂ E un sottospazio eΩ ⊂ E un sottoinsieme convesso ed aperto tale che N

⋂Ω = ∅. Esiste un iperpiano

chiuso H ⊂ E tale che N ⊂ H e H⋂

Ω = ∅.

Appendice E

Teorema di Krein-Milman

In questa appendice presentiamo una semplice dimostrazione del teoremadi Krein-Milman dovuta a J. Kelley. Segnaliamo sin da ora che la provadi questo risultato dipende in maniera cruciale dall’assioma della scelta inuna delle sue molteplici formulazioni. Il caso finito dimensionale, invece,puo essere affrontato senza far ricorso a tale assioma, come e mostrato adesempio in [26].Da adesso in poi lavoreremo nel contesto degli spazi localmente convessi,sebbene sia possibile inserire alcune delle considerazioni preliminari in unquadro piu generale.

Definizione E.0.13 (Facce di un convesso). Sia K ⊂ E un sottoinsieme convessochiuso in uno spazio localmente convesso E. Un sottoinsieme convesso chiuso F ⊂ Ksi dice una faccia di K se, dati x, y ∈ K, tx + (1 − t)y ∈ F per qualche t ∈ (0, 1)implica x, y ∈ F.

Alcuni autori usano indicare le facce di un convesso col nome di insiemidi supporto.

Osservazione E.0.1. Se F ⊂ K e una faccia di K e G ⊂ F e una faccia di F, alloraG e anche una faccia di K, come e immediato riconoscere.

La collezione delle facce di un convesso puo essere ordinata per inclu-sione. Risulta evidente che un punto estremale e una faccia minimale; inipotesi di compattezza vale anche il viceversa:

Lemma E.0.3. Sia K ⊂ E un sottoinsieme convesso compatto. Se F ⊂ K e unafaccia minimale, allora F consta di un unico punto estremale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che F contenga almeno due puntidistinti, diciamo x e y. Siccome E e uno spazio localmente convesso, esisteϕ ∈ E∗ tale che ϕ(x) > ϕ(y). Definiamo l’insieme G z ∈ F : ϕ(z) = M, Messendo il massimo di ϕ su F. Si riconosce facilmente che G e una faccia di

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98 APPENDICE E. TEOREMA DI KREIN-MILMAN

F e, siccome y < F, si ha l’inclusione propria G ⊂ F, contro la minimalita diF.

Veniamo ora alla dimostrazione vera e propria del teorema di Krein-Milman:

Teorema E.0.14. Sia K ⊂ E un sottoinsieme convesso compatto. Allora ExtrK enon vuoto e il suo inviluppo convesso e denso in K.

Dimostrazione. Sia (F ,) la famiglia di tutte le facce di K con l’ordinamentoparziale dato dall’inclusione. Mostriamo che (F ,) e un insieme indut-tivo. Sia, a tal scopo, Fα : α ∈ I ⊂ F una catena. Definiamo F =

⋂α∈I Fα.

Evidentemente F ⊂ K e un sottoinsieme convesso chiuso. Osserviamo cheF e l’intersezione di sottoinsiemi chiusi con la proprieta dell’intersezionefinita, pertanto F e non vuoto, grazie alla compattezza di K. Applicandoil lemma di Zorn, ricaviamo l’esistenza di una faccia minimale F0 ⊂ K e,quindi, di un punto estremale grazie al lemma precedente.Sia ora C la chiusura dell’involucro convesso di ExtrK. In base a quantovisto finora, C e un sottoinsieme di K non vuoto. Se proviamo l’inclusioneK ⊂ C, il teorema sara completamente acquisito. Sia x < C. Grazie alla for-mulazione geometrica del teorema di Hanh-Banach, esiste ϕ ∈ E∗ tale cheϕ(x) > maxy∈C ϕ(y). Sia ora M ∈ R il massimo di ϕ assunto su K. L’insiemez ∈ K : ϕ(z) = M e una faccia. Sia z0 un suo punto estremale. Allora z0 ∈ C,cosicche M = maxy∈C ϕ(y), da cui ϕ(x) > maxy∈K ϕ(y), cioe x < K, cio checonclude la dimostrazione.

Va segnalato che il teorema di Krein-Milman non e equivalente all’assio-ma della scelta, tuttavia lo e la seguente affermazione dove, in certo senso, ilcontenuto di tale teorema viene opportunamente unito a quello del teoremadi Banach-Alaoglu:

Teorema E.0.15. Se X e uno spazio di Banach, allora la palla unita dello spazioduale X∗1 contiene un punto estremale.

Il lettore interessato puo reperire i dettagli della dimostrazione in [3].

Appendice F

Compattificazione diStone-Cech

Questa breve sezione e dedicata alla dimostrazione dell’esistenza della com-pattificazione di Stone-Cech per spazi completamente regolari. Seguiremoun approccio che sfrutta alcuni fatti elementari della teoria delle algebre diBanach, della quale una trattazione piuttosto approfondita e presentata nellibro di Larsen [27]; piu sintetica e, invece, la presentazione contenuta nelclassico libro di Katznelson [21], dove sono mostrate le applicazioni all’A-nalisi Armonica.Il risultato preannunciato puo essere enunciato alla maniera seguente:

Teorema F.0.16. Sia X uno spazio completamente regolare. Allora esiste una(unica) coppia (βX, i), dove βX e uno spazio compatto di Hausdorff e i : X → βXe un omeomorfismo fra X e i(X), tale che i(X) e denso in X; inoltre e soddisfatta laseguente proprieta universale: data un’applicazione continua

F : X→ K

dove K e uno spazio compatto, esiste un’unica applicazione continua

βF : βX→ K

tale che F = βF i.

Dimostrazione. Consideriamo l’algebra di Banach (commutativa) Cb(X) del-le funzioni continue e limitate su X con la norma uniforme ‖ f ‖∞ = supx∈X | f (x)|.Definiamo βX come lo spettro di tale algebra. Siccome Cb(X) e unitale, βXe un compatto di Hausdorff.Sia i : X → βX la mappa data da i(x) = ωx per ogni x ∈ X, dove ωx :Cb(X)→ C e il funzionale lineare moltiplicativo dato dalla valutazione in x,cioe ωx( f ) = f (x) per ogni f ∈ Cb(X).La mappa i e iniettiva, infatti i(x) = i(y) implica f (x) = f (y) per ogni

99

100 APPENDICE F. COMPATTIFICAZIONE DI STONE-CECH

f ∈ Cb(X), sicche x = y, X essendo completamente regolare. La conti-nuita di i e un ovvia conseguenza del fatto che βX ⊂ Cb(C)∗ e munito dellatopologia *-debole. Inoltre, sempre grazie al fatto che X e T3 1

2, i ha inversa

continua.Per verificare la densita di i(X) in βX, sia ω ∈ βX e V un suo intorno. None restrittivo supprre che V sia della forma η ∈ βX : |〈η − ω, f 〉| < ε, conf ∈ Cb(X) una funzione fissata. Si ha che 〈ω, f 〉 ∈ σ( f ) (σ( f ) essendo lospettro di f ) e σ( f ) e la chiusura dell’immagine f (X). Sia x ∈ X tale che| f (x)−ω( f )| < ε; allora, come e immediato riconoscere, i(x) ∈ V, ossia i(X) edenso in βX.Resta da provare la proprieta universale. Sia F : X → K un’applicazionecontinua. Indichiamo con Φ : C(K) → Cb(X) l’omomorfismo di algebreindotto da tale applicazione, i.e. Φ(g) = g F per ogni g ∈ C(K). Pertrasposizione, ne risulta indotta una mappa lineare Φ∗ : Cb(X)∗ → C(K)che e continua per le topologie deboli*. Evidentemente, tale mappa appli-ca funzionali moltiplicativi su funzionali moltiplicativi. Definiamo, allora,βF : βX→ K (lo spettro diC(K) e omeomorfo a K attraverso la corrisponden-za K 3 x→ ωx ∈ σ(C(K)), dove ωx e la valutazione in x) come la restrizionedi Φ∗ a βX. Dobbiamo provare che riesce βF i = F. Sia x ∈ X, alloraβF i)(x) = Φ∗(ωx); ora 〈Φ∗(ωx), g〉 = 〈ωx,Φ(g)〉 = 〈ωx, g F〉 = g(F(x)) perogni g ∈ C(K), che e quanto volevamo provare. L’unicita dell’estensione βFe immediata conseguenza del fatto che i(X) e denso in βX, che e uno spaziodi Hausdorff.

Fra le altre cose, la proprieta universale esprime la massimalita 1 dellacompattificazione di Stone-Cech. La controparte algebrica di tale costru-zione e rappresentata dall’immersione di una C*-algebra (non unitale) nellaC*-algebra dei suoi moltiplicatori, cfr. [35].

1Piu precisamente, se (X, i) e una compattificazione di X, allora esiste un’applicazionecontinua e surgettiva F : βX→ X.

Appendice G

Il teorema di Eberlein-Smulian

La topologia debole su uno spazio di Banach X e metrizzabile quandoristretta ai sottoinsiemi limitati se e solo se X∗ e separabile (per la dimo-strazione di questo fatto rimandiamo a [11]); ciononostante la compattezzadebole di un sottoinsieme E ⊂ X puo sempre essere espressa in terminidi compattezza sequenziale: questo e il contenuto del celebre teorema diEberlein-Smulian.Prima di darne l’enunciato preciso, richiamiamo le diverse nozioni dicompattezza condizionale:

Definizione G.0.14. Un sottoinsieme A ⊂ S di uno spazio topologico S si dice:

1. condizionalmente compatto se la sua chiusura A e compatta

2. condizionalmente sequenzialmente compatto, se ogni successione xn ⊂ Aha un’estratta convergente

3. condizionalmente numerabilmente compatto se ogni successione xn ⊂ Aha un punto di accumulazione

In uno spazio metrizzabile1 le nozioni introdotte coincidono. In gene-rale, invece, le nozioni sono distinte e, come e facile riconoscere, la compat-tezza condizionale implica la compattezza numerabile condizionale.Con le definizioni date il teorema di Eberlein-Smulian puo essere enunciatocome segue:

Teorema G.0.17 (Eberlein-Smulian). Sia E ⊂ X un sottoinsieme di uno spaziodi Banach X. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. A e σ(X,X∗) condizionalmente compatto.

2. A e σ(X,X∗) condizionalmente sequenzialmente compatto.

3. A e σ(X,X∗) condizionalmente numerabilmente compatto.1O, piu in generale, in ogni spazio che soddisfa il primo assioma di numerabilita.

101

102 APPENDICE G. IL TEOREMA DI EBERLEIN-SMULIAN

La dimostrazione di questo risultato e piuttosto delicata; seguiremo davicino l’articolo [51] di R. Withley, che ha il pregio di fornirne una notevolesemplificazione. Prima di procedere e opportuno segnalare che esiste unadimostrazione del teorema che sfrutta le proprieta delle basi di Schauder edelle successioni basiche; essa e dovuta essenzialmente a A. Pelczynski [36].

Alla dimostrazione del teorema facciamo precedere due risultati preli-minari.

Lemma G.0.4. Sia X uno spazio di Banach tale che X∗ possiede una successionetotale. Allora la topologia debole e metrizzabile su ogni sottoinsieme E ⊂ Xdebolmente compatto.

Dimostrazione. Sia ϕn ⊂ X∗ una successione totale, i.e. ϕn(x) = 0 per ognin implica x = 0. Non e restrittivo supporre che ‖ϕn‖ = 1 per ohni n.Definiamo la funzione d : X × X → R, ponendo d(x, y) =

∑n

12n |ϕn(x − y)|

per ogni x, y ∈ X. Evidentemente trattasi di una distanza. Sia ora E ⊂ X unsottoinsieme debolmente compatto. Per il teorema di Banach-Steinhaus E elimitato, pertanto la mappa identica i : E→ (E, d) e continua, se E e munitodella topologia debole. Siccome E e debolmente compatto, tale mappa e unomeomorfismo, ne segue che la topologia di E e metrizzabile.

Osservazione G.0.2. Il risultato vale in particolare per gli spazi separabili.Se X e un tale spazio, esiste infatti una successione xn ⊂ X tale che ‖xn‖ = 1per ogni n, che e densa sulla sfera unitaria di X. Fissato n ∈ N, sia ϕn ∈ X∗

tale che ‖ϕn‖ = ϕ(xn) = 1. Si riconosce facilmente che la successione ϕn ⊂

X∗ e totale, riuscendo addirittura che supn |ϕn(x)| = ‖x‖ per ogni x ∈ X.

Corollario G.0.3. Sia E ⊂ X un sottoinsieme condizionalmente compatto rispet-to alla topologia debole. Allora E e condizionalmente sequenzialmente compattorispetto alla topologia debole.

Dimostrazione. Sia xn ⊂ E, dobbiamo mostrare che esiste una sottosucces-sione debolmente convergente. Sia Y ⊂ X il sottospazio chiuso separabilegenerato dalla successione xn. L’insieme E ∩ Y e condizionalmente com-patto per la topologia debole, perche E e tale per ipotesi e Y e debolmentechiuso, quale convesso chiuso in norma. Grazie al risultato precedente,esiste una sottosuccessione xnk σ(Y,Y∗)-convergente a x ∈ X. Se ϕ ∈ X∗,allora ϕ Y e un funzionale lineare continuo su Y, da cui la conclusione.

Passiamo ora alla dimostrazione del teorema di Eberlein-Smulian.

Dimostrazione. I risultati preliminari mostrano che si deve soltanto provarel’implicazione 3. ⇒ 1. A tal scopo, sia E ⊂ X un sottoinsieme condizional-mente numerabilmente compatto. Se ϕ ∈ X∗, ϕ(E) ⊂ C e condizionalmentenumerabilmente compatto, cioe ha chiusura compatta; in particolare e li-mitato. Per il teorema di Banach-Steinhaus E e limitato. Sia J : X → X∗∗

103

l’iniezione canonica di X nel suo biduale. Sia w∗(J(E)) ⊂ X∗∗ la chiusuradi J(E) rispetto alla topologia σ(X∗∗,X∗). Se mostriamo che w∗(J(E)) ⊂ J(X)avremo la conclusione, grazie al teorema di Alaoglu, poiche J e un omeo-morfismo lineare tra X con la topologia debole e l’immagine J(X) con latopologia *-debole σ(X∗∗,X∗), w∗(J(E)) essendo limitato in norma.Sia F ∈ w∗(J(E))), vogliamo dimostrare che esiste x ∈ X tale che F = j(x). Siaϕ1 ∈ X∗ con ‖ϕ1‖=1, allora esiste e1 ∈ E tale che |〈F − j(a1), ϕ1〉| < 1, perchej(E) e +debolmente denso in w∗( j(E)). Il sottospazio di X∗∗ generato da F eF − j(a1) e finito dimensionale, pertanto la sua sfera unitaria e un insiemecompatto per la topologia della norma in particolare e totalmente limitato,cosicche esistono F1,F2, . . . ,Fn ∈ X∗ a norma unitaria tali che

⋃nj=1 B 1

4(F j)

contiene tale sfera. Scegliamo ϕ2, ϕ3, . . . , ϕn(2) in modo che Fm(ϕm) > 34 per

ogni m = 2, 3, . . . ,n(2). Segue che

max|G(ϕm)| : 2 ≤ m ≤ n(2)

≥

12‖G‖

per ogni G ∈ spanF − j(e1),F.Sfruttando ancora la densita di j(E) in w∗( j(E)), ricaviamo che esiste a2 ∈ Etale che max

|〈F − j(a2), ϕm〉| : 1 ≤ m ≤ n(2)

< 1

2 . Esattamente come sopra,segue che possiamo trovare ϕn(2)+1, ϕn(2)+2, . . . , ϕn(3) ∈ X∗ di norma unita-ria tali che max

|G(ϕm)| : n(2) < m ≤ n(3)

≥

12‖G‖, per ogni G ∈ spanF −

j(a1),F − j(a2),F. Siccome F ∈ w∗( j(E)), esiste a3 ∈ E tale che

max|〈F − j(a3), ϕm| : 1 ≤ m ≤ n(3)

<

13

Chiaramente il procedimento continua per induzione per ogni n ∈ N;in tal modo so ottiene una successione an ⊂ E con le proprieta sopradescritte. Per ipotesi, esiste x ∈ X che e un punto di accumulazioneper tale successione. Sia Y ⊂ X la chiusura (in norma) del sottospaziospanan : n ∈ N. Siccome Y e debolmente chiuso, segue che x ∈ Y,pertanto F − j(X) appartiene alla chiusura (nella topologia *-debole) dellospazio spanF,F− j(a1),F− j(a2), . . . ,F− j(an), . . . . Per costruzione, per ogniG ∈ spanF − j(an) + spanF, abbiamo che sup |G(ϕm)| ≥ 1

2‖G‖ (per ognim = 1, 2, . . . ,n); siccome F− j(x) e nella chiusura *-debole dell’unione di talisottospazi, si ha che

|〈F − j(x), ϕm〉| ≥12‖F − j(x)‖ per ogni m (G.1)

Sempre dalla costruzione descritta segue che si ha anche la disugua-glianza |〈F − j(an), ϕm〉| < 1

p per ogni n > n(p) > m. Allora

|〈F − j(x), ϕm〉| ≤ |〈F − j(an), ϕm〉| + |〈 j(an − x), ϕm〉| ≤1p

+ |ϕm(an − x)|

104 APPENDICE G. IL TEOREMA DI EBERLEIN-SMULIAN

per ogni n > n(p) > m. Siccome x e un punto di accumulazione dellasuccessione an, dato ϕm e un intero N > m, esiste un elemento an tale che|ϕm(an − x)| < 1

N con n > n(N) > m; per tale elemento an si ha

|〈F − j(an), ϕm〉| + |ϕm(an − x)| <2N

da cui 〈F − j(x), ϕm〉 = 0 per ogni m, da cui F = j(x) grazie alla G.1.

Dal teorema segue che, in particolare, un sottoinsieme K ⊂ X e debol-mente compatto se e solo se e debolmente compatto per successioni.

Qui sotto alcuni dei corollari piu noti del teorema: si tratta di applica-zioni immediate.

Teorema G.0.18 (Eberlein-Smulian). Uno spazio di Banach X e riflessivo se e solose ogni successione limitata xn ⊂ X ammette una sottosuccessione debolmenteconvergente.

Dimostrazione. Uno spazio di Banach X e riflessivo se e solo se la sua pallaunita X1 e debolmente compatta, cioe se e solo se X1 e debolmente compattaper successioni.

Il risultato precedente permette anche di concludere che:

Corollario G.0.4. Uno spazio di Banach X e riflessivo se e solo se ogni sottospaziochiuso e separabile Y ⊂ X e riflessivo.

Appendice H

Il teorema di Krein-Smulian

Insieme al teorema di Banach-Alaoglu, il teorema di Krein-Smulian e ilrisultato principale sulle topologie *deboli per i duali di spazi di Banach.L’enunciato del teorema e il seguente:

Teorema H.0.19. Sia X uno spazio di Banach. Un sottoinsieme convesso C ⊂ X∗

e *-debolmente chiuso se e solo se C∩ rX∗1 e *-debolmente compatto per ogni r > 0,X∗1 essendo la palla unita di X∗.

Dimostrazione. La necessita della condizione e un’ovvia conseguenza delteorema di Banach-Alaoglu; dimostriamone, pertanto, la sufficienza. Co-minciamo osservando che C e sicuramente chiuso in norma. Occorre pro-

vare che, se ϕ < C, allora ϕ < Cσ(X∗,X)

. Siccome ϕ < C, esiste r > 0 taleche Br(ϕ) ∩ C = ∅, dove Br(ϕ) = η ∈ X∗ : ‖η − ϕ‖ < r. Sostituendo C con1r (C − ϕ), non e restrittivo supporre che X∗1 ∩ C = ∅.Ora vogliamo provare che esiste una successione di insiemi finiti Fn ⊂ Xtali che Fn ⊂

1n−1 X1 e

F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fn ∩ C ∩ nX∗1 = ∅ (H.1)

i polari essendo relativi alla dualita (X∗,X).La prova e per induzione, il caso di n = 1 essendo banalmente verificato perogni F1 ⊂ X∗. Supponiamo, quindi, di aver costruito n sottoinsiemi finitiF1,F2, . . .Fn che soddisfano la H.1. Consideriamo l’insieme

D F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fn ∩ C . . . (n + 1)X∗1

Grazie alle ipotesi, D e convesso e *-debolmente compatto, inoltre D∩nX∗1 =

∅ (ipotesi induttiva). Cio significa che D∩( 1n X1) = ∅, ossia

⋂x∈ 1

n X1D∩x =

∅, da cui ricaviamo che esiste un insieme finito Fn ⊂1n X∗1 tale che Fn∩D = ∅,

grazie alla proprieta dell’intersezione finita; cio conclude il passo induttivo.L’insieme

⋃n Fn e numerabile, sia xn una sua riscrittura come successione.

Evidentemente si ha ‖xn‖ → 0, in modo che e ben definita l’applicazione

105

106 APPENDICE H. IL TEOREMA DI KREIN-SMULIAN

lineare T : X∗ → c0, ponendo Tϕ = ϕ(xn). Dato m > 0, riesce mX∗1 ∩C

⋂n Fn = ∅, cio significa che, dato ϕ ∈ C, esiste n, tale che |ϕ(xn)| ≥ 1, cioe

che T(C) non interseca la palla (aperta) unita di c0. Siccome T(C) e convesso,si applica la forma geometrica del teorema di Hanh-Banach e si concludeche esiste λ ∈ c∗0 tale che

λ(B0) < t ≤ λ(T(C)) per qualche t ∈ R

B0 essendo la palla unita aperta di c0. Se λ e scelto con norma 1, ricaviamoanche che t ≥ 1. Ora c∗0 l1. Sia λi ⊂ l1 la successione che corrisponde alfunzionale λ e sia x =

∑∞

i=1 λixi ∈ X (la serie e assolutamente convergente,quindi e convergente, perche X e completo). Dato ϕ ∈ C, si ha:

ϕ(x) =

∞∑i=1

λiϕ(xi) = λ(T(ϕ)) ≥ 1

cio mostra che 0 < Cσ(X∗,X)

.

Il teorema di Krein-Smulian e ricco di conseguenze; fra le piu note visono le seguenti:

Corollario H.0.5. Sia X uno spazio di Banach. Un sottospazio M ⊂ X∗ e *-debolmente chiuso se e solo se la sua palla unita M1 e *-debolmente chiusa.

Corollario H.0.6. Sia X uno spazio di Banach. Una forma lineare F : X∗ → C e *-debolmente continua se e solo se la sua restrizione a X∗1 e una funzione *-debolmentecontinua.

Dimostrazione. Un’implicazione e ovvia. Sia M = KerF. Se la restrizioneg F X∗1 e una funzione *debolmente continua, M1 = g−1(0) e *-debolmentechiuso, cosicche M e *-debolmente chiuso e, quindi, F e una forma lineare*-debolmente continua.

Corollario H.0.7. Sia X uno spazio di Banach separabile. Un sottospazio M ⊂ X∗

e *-debolmente chiuso se e solo se e sequenzialmente chiuso.

Dimostrazione. Se M e sequenzialmente chiuso per la topologia *-debole, M1e chiuso in tale topologia, perche la restrizione a X∗1 della topologia *-debolee metrizzabile, grazie all’ipotesi di separabilita.

Corollario H.0.8. Sia X uno spazio di Banach separabile. Una forma lineareF : X∗ → C e *-debolmente continua se e solo se e sequenzialmente continuarispetto a tale topologia.

107

Il teorema e i suoi corollari trovano numerose applicazioni in contestidiversi. Ad esempio, in [34] viene data una presentazione dell’integrazione(in senso debole) per le funzioni a valori in spazi di Banach separabili, qualesemplice applicazione del corollario H.0.8.Prima di presentare un’elegante applicazione del teorema, nota essa stessacome teorema di Krein-Smulian, preferiamo insistere su un aspetto pocodiscusso del teorema: la completezza di X.Se X e uno spazio normato non completo, la conclusione del teorema nonsussiste, come mostra il seguente controesempio.

Esempio H.0.3. Sia lF lo spazio delle successioni numeriche a supportofinito, munto della norma del sup. Si ha l∗F l1, perche l’inclusione lF ⊂ c0e densa e c∗0 l1. Sia M ⊂ l1 il sottospazio dato da

M

a ∈ l1 :∞∑

n=1

1n2 an = 0

Osserviamo che non e σ(l1, lF)-chiuso, quale nucleo di una forma lineareche non e continua rispetto a tale topologia, provenendo dall’ elementox =

1n2

∈ c0/lF. La palla unita M1, ciononostante, e σ(l1, lF)-chiusa. Siccome

lF e separabile, basta mostrare che M1 e sequenzialmente chiusa. Sia ak unasuccessione in M con ‖ak‖ ≤ 1 per ogni k. Supponiamo che ak convergaad un elemento a ∈ l1 nella topologia σ(l1, lF). Si ha senz’altro ‖a‖ ≤ 1,pertanto resta da dimostrare soltanto che a ∈ M. A tal scopo, osserviamopreliminarmente che ak tende ad a puntualmente, cioe limk→∞ ak(n) = a(n)per ogni n ∈ N. Sia ora ε > 0. Allora esiste N tale che

∑∞

n=N+11n2 |ak(n)| < ε

2per ogni k, grazie al fatto che 1

n2 ∈ l1 e |ak(n)| ≤ 1 per ogni k e per ogni n.Ora ∣∣∣∣∣∣∣

∞∑n=1

1n2 a(n)

∣∣∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣∣

N∑n=1

1n2 a(n)

∣∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

1n2 a(n)

∣∣∣∣∣∣∣ ≤limk→∞

∣∣∣∣∣∣∣N∑

n=1

1n2 ak(n)

∣∣∣∣∣∣∣ +ε2

= limk→∞

∣∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

1n2 ak(n)

∣∣∣∣∣∣∣ +ε2≤ ε

siccome ε e arbitrario, se ne conclude che∑∞

n=11n2 a(n) = 0, cioe che a ∈M.

Il controesempio precedente non dipende dalla natura particolare dilF; vale, infatti, la seguente proposizione, che, in certo senso, inverte ilcorollario H.0.6.

Proposizione H.0.4. Sia X uno spazio normato. Se ogni sottospazio M ⊂ X∗ dicodimensione 1 , tale che M1 e *-debolmente chiusa, e *-debolmente chiuso, alloraX e completo.


Dimostrazione. Sia xn ⊂ X una successione di Cauchy. Sia j : X → X∗∗

l’iniezione canonica di X nel suo biduale. La successione j(xn) ⊂ X∗∗ e diCauchy, pertanto esiste F ∈ X∗∗ tale che ‖F − j(xn)‖ → 0. Occorre mostrareche F e σ(X∗,X)-continuo e cioe che M KerF e *-debolmente chiuso. Inbase alle ipotesi, basta verificare che M1 e σ(X∗,X)-chiuso. Sia ϕα unarete appartenente a M1, con ϕα → ϕ ∈ X∗ topologia *-debole. Dobbiamoverificare che ϕ ∈M, cioe che F(ϕ) = 0. Ora

|F(ϕ)| ≤ |(F − j(xn))(ϕ)| + | j(xn)(ϕ − ϕα)| + |( j(xn) − F)(ϕα)| ≤2‖F − j(xn)‖ + |ϕ(xn) − ϕα(xn)| per ogni n, α

Dato ε > 0, sia n0 tale che ‖F− j(xn0)‖ < ε3 e siaα0 tale che |ϕ(xn0)−ϕα(xn0)| < ε

3 ,allora |F(ϕ)| < ε, da cui F(ϕ) = 0, cio che conclude la prova.

Di seguito l’applicazione gia citata: si tratta di un risultato molto ri-posto, sebbene l’enunciato potrebbe non darlo a intendere, esprimendo uncontenuto intuitivo ed aspettato.

Teorema H.0.20 (Krein-Smulian). Sia X uno spazio di Banach e K ⊂ X uninsieme debolmente compatto, allora conv K e debolmente compatto.

Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare il teorema nel caso in cui X siaseparabile. Pensiamo K munito della topologia debole e consideriamo lospazio di Banach C(K) delle funzioni continue su K, in modo che C(K)∗ =M(K). Se µ ∈ M(K), definiamo Fµ : X∗ → C, ponendo

Fµ(ϕ) =

∫Kϕ(x)dµ(x)

Trattasi evidentemente di una forma lineare continua, infatti si ha ‖Fµ‖ ≤‖µ‖ supx∈K ‖x‖ Vogliamo mostrare che Fµ e σ(X∗,X) continuo. Siccome X eseparabile, basta verificare che lo e sequenzialmente, ma cio e conseguenzaimmediata del teorema di convergenza dominanta di Lebesgue. Pertan-to esiste ed e unico xµ ∈ X tale che Fµ(ϕ) = ϕ(xµ) per ogni ϕ ∈ X∗. Lacorrispondenza M(K) 3 µ → xµ ∈ X e lineare, diciamola T. Si tratta diun’applicazione continua, quandoM(K) e munito della topologia *debole(vaga) e X della topologia debole, infatti 〈ϕ,T(µ)〉 =

∫k ϕ(x)dµ ∈ X∗ per ogni

ϕ ∈ X∗. Sia C ⊂ M(K) il sottoinsieme convesso delle misure di probabilitasu K. Grazie al teorema di Alaoglu, C e compatto nella topologia vaga,pertanto T(C) e convesso e debolmente compatto. Per concludere non restada osservare che K ⊂ C. Se x ∈ K, si ha T(δx) = x, da cui segue l’inclusionevoluta.Passiamo ora a dimostrare il teorema nel caso generale. Occorre provareche convK ha chiusura compatta. Per il teorema di Eberlein-Smulian, bastadimostrare che ogni successione xn : n ∈ N ⊂ K ha un’estratta conver-gente. Per ogni n ∈ N, esiste un insieme finiti Fn ⊂ K tale che xn ∈ Fn.

109

Poniamo F = ∪nFn e sia M ⊂ X il sottospazio chiuso generato da F.M eseparabile e K1 = K ∩ M e debolmente compatto, pertanto convK1 e de-bolmente precompatto, grazie a quanto gia dimostrato, ne segue che esiateuna sottosuccessione xnk : k ∈ N debolmente convergente. Cio concludela prova.

La dimostrazione del teorema precedente e dovuta a R. Whitley [52]; unadimostrazione che evita i teoremi di Krein-Smulian e di Eberlein-Smulian edata, invece, in [47].


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CARATTERIZZAZIONI DI SPAZI DI BANACH DUALI · 2010. 5. 26. · Tesi di Dottorato Dottorando: Stefano Rossi Relatore: prof. Sergio Doplicher Coordinatore del Dottorato: prof. Alberto