Tesi di Dottorato - din.unina.it dottorato/Francesco_Capizzano.pdf · Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Dipartimento di Ingegneria Navale Tesi di Dottorato di Ricerca

Universita degli Studi di Napoli “Federico II”

Dipartimento di Ingegneria Navale

Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria Navale

——

Sviluppo e applicazione di un metodonumerico per lo studio di flussi turbolenti

intorno a geometrie navali

——

Ing. Francesco Capizzano

Ottobre 2002

Indice

Premessa

I Flussi turbolenti in campo navale

I.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–1

I.2 Dalle prime vasche idrodinamiche alle attuali tecniche di simulazione numerica I–2

I.3 La ricerca idrodinamica sui flussi turbolenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–4

I.4 Obiettivi della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–6

I.5 Lavoro di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–6

II Modello matematico

II.1 Idrodinamica della nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–1

II.2 Equazioni in coordinate curvilinee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–5

II.3 Coefficienti di resistenza idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–7

III Modelli di turbolenza

III.1 Modelli completi e modelli incompleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–2

III.2 Modelli algebrici e modelli con equazioni di bilancio . . . . . . . . . . . . . III–5

III.3 Il modello di Baldwin-Lomax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–6

III.3.1 Modifiche al modello di Baldwin-Lomax per flussi navali 3D . . . . . III–9

III.4 Il modello di Spalart-Allmaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–10

III.4.1 Equazione di Spalart-Allmaras in coordinate curvilinee . . . . . . . . III–14

III.4.2 Modifiche al modello di Spalart-Almaras per flussi navali 3D . . . . III–15

III.5 Alcune considerazioni sulla scelta del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . III–16

i

ii

IV Modello numerico

IV.1 Operatori di discretizzazione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–2

IV.2 Integrazione nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–5

IV.3 Metodo di Accoppiamento fra campo di moto e campo di pressioni . . . . . IV–6

IV.4 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–10

IV.5 Algoritmo di risoluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–11

IV.6 Schema multiblocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–12

IV.6.1 Trattamento dell’interfaccia fra blocchi . . . . . . . . . . . . . . . . IV–15

IV.7 Tecniche di accelerazione della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–17

IV.7.1 Multilevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–17

IV.7.2 Multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–20

IV.7.3 Residual Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–26

IV.8 Aspetti numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–27

V Risultati

V.1 Lastra piana infinita profondamente immersa . . . . . . . . . . . . . . . . . V–2

V.1.1 Caso laminare a Re∞ = 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–3

V.1.2 Caso turbolento a Re∞ = 1.0 · 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–8

V.2 Petroliera HSVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–18

V.2.1 Caso turbolento a Re∞ = 5 · 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–19

V.3 Petroliera DYNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–28

V.3.1 Caso turbolento a Re∞ = 1.0 · 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–29

V.4 Primi tentativi con griglie multiblocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–37

V.4.1 Lastra piana a Re∞ = 1.0 · 106 con griglia multiblocco . . . . . . . . V–37

V.4.2 Carena HSVA a Re∞ = 5.0 · 106 con griglia multiblocco . . . . . . . V–41

Conclusioni

Bibliografia

Elenco delle figure

I.1 Bilge vortex : campo di vorticita al disco dell’elica della petroliera DYNE. I–4

II.1 Sistema di coordinate e volume di controllo nel problema della nave. . . . II–2

III.1 Profili tipici delle grandezze caratteristiche nel modello di turbolenza di

Baldwin e Lomax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–9

IV.1 Dominio fisico e dominio computazionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–2

IV.2 Un generico nodo (i, j, k) , di coordinate curvilinee (ξi,j,k, ηi,j,k, ζi,j,k) , ed

uno degli half–nodes, di indici (i + 12, j − 1

2, k) . . . . . . . . . . . . . . . . IV–3

IV.3 Nomenclatura e convenzioni di numerazione degli elementi topologici che

definiscono un generico blocco computazionale. . . . . . . . . . . . . . . . IV–15

IV.4 Trattamento dell’interfaccia fra blocchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–16

IV.5 Trasferimento delle incognite dalla griglia coarse alla griglia fine. . . . . . IV–18

IV.6 Operatore di prolungamento P: interpolazione trilineare. . . . . . . . . . IV–19

IV.7 Gestione delle griglie coarse e fine in SHIP3D–MB . . . . . . . . . . . . IV–21

IV.8 Cicli FAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–23

V.1 Definizione del problema della lastra piana isobarica profondamente immersaV–3

V.2 Griglia monoblocco su lastra piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–4

V.3 Storia di convergenza a Re∞ = 103 su griglia (65× 9× 33) . . . . . . . . V–5

V.4 Soluzione numerica per lastra piana isobarica a Re∞ = 103 su griglia

(65× 9× 33). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–6

iii

iv


(65× 9× 33). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–7


(65× 9× 33): Cf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–8

V.7 Griglia monoblocco su lastra piana per lo studio del flusso isobarico a

Re∞ = 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–9

V.8 Storia di convergenza a Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65). . . . . . . . . V–11

V.9 Studio della qualita della griglia monoblocco (97× 9× 65). . . . . . . . . V–12

V.10 Storia di convergenza a Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65). . . . . . . . . V–12

V.11 Profili di velocita adimensionale a Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65). . . V–13

V.12 Confronto fra i profili di velocita ricavati numericamente e la legge della

potenza al 75% della corda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–14

V.13 Studio della dipendenza della soluzione numerica dalla griglia di calcolo a

Re∞ = 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–15

V.14 Isocurve della viscosita totale νt lungo la lastra piana a Re∞ = 106 su

griglia (97× 9× 65). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–16

V.15 Confronto fra gli andamenti della viscosita totale νt al 75% della corda. . V–16

V.16 Confronto fra curve numeriche e teoriche del Cf lungo la lastra piana a

Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–17

V.17 Topologia monoblocco e condizioni al contorno utilizzate per lo studio del

campo di moto intorno alla carena HSVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . V–18

V.18 Carena HSVA: griglia di calcolo monoblocco. . . . . . . . . . . . . . . . . V–19

V.19 Carena HSVA: vista parziale della zona di griglia degenere. . . . . . . . . V–20

V.20 Andamento dei residui per il test turbolento intorno alla carena HSVA. . V–21

V.21 Carena HSVA: campo di moto intorno a Re∞ = 5.0 · 106 su griglia (53 ×

17× 65). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–22

V.22 Carena HSVA: distribuzione della νt a Re∞ = 5.0·106 su griglia (53×17×65).V–23

V.23 Carena HSVA: particolare della zona poppiera. . . . . . . . . . . . . . . . V–24

V.24 Carena HSVA : velocita assiale u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–25

v

V.25 Carena HSVA: mappa a colori della vorticita e visualizzazione del vortice

ad x/L = 0.975. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–26

V.26 Carena HSVA: coefficiente di pressione Cp a Re∞ = 5.0 · 106 su griglia

(53× 17× 65). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–27

V.27 Topologia monoblocco e condizioni al contorno utilizzate per lo studio del

campo di moto intorno alla carena DYNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . V–28

V.28 Carena DYNE: griglia di calcolo monoblocco. . . . . . . . . . . . . . . . . V–29

V.29 Andamento dei residui per il test turbolento intorno alla carena DYNE. . V–31

V.30 Carena DYNE: campo di moto a Re∞ = 1.0 · 107 su griglia (65× 17× 33). V–32

V.31 Carena DYNE: visualizzazione del campo di moto attraverso un vector-plot.V–33

V.32 Carena DYNE: coefficiente di pressione Cp a Re∞ = 1.0 · 107 su griglia

(65× 17× 33). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–33

V.33 Carena DYNE: coefficiente di attrito alla parete Cf a Re∞ = 1.0 · 107 su

griglia (65× 17× 33).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–34

V.34 Carena DYNE : velocita assiale u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–35

V.35 Carena DYNE: mappa a colori della velocita assiale e visualizzazione del

vortice ad x/L = 1.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–36

V.36 Lastra piana: griglia di calcolo multiblocco. . . . . . . . . . . . . . . . . . V–38

V.37 Andamento dei residui per il test turbolento su lastra piana isobarica con

griglia multiblocco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V–39

V.38 Lastra piana: vista 3D del campo di moto all’interfaccia fra i blocchi. . . V–39

V.39 Lastra piana: vista 3D del campo di moto all’interfaccia fra i blocchi. . . V–40

V.40 Carena HSVA: griglia di calcolo multiblocco. . . . . . . . . . . . . . . . . V–41

V.41 Carena HSVA: vista 3D del campo di moto all’interfaccia fra i blocchi. . V–42

Premessa

La domanda piu frequente che un architetto navale si pone al termine di un estenuante

lavoro di progettazione teorica riguarda sicuramente la possibilita di conoscere in anteprima

il comportamento idrodinamico della “sua” carena. In altre parole il suo sogno e premere un

bottone sul PC e avere all’istante una risposta anche solo qualitativa della distribuzione di

pressione e sforzi alla parete e del sistema ondoso in modo da agire sulla geometria laddove

necessario con modifiche mirate.

La messa a punto di un sistema progettuale integrato basato sul disegno CAD, su analisi

numeriche CFD e su prove in vasca sembra incuriosire ora piu che mai molti progettisti navali.

Le attuali tecniche di simulazione basate sulla risoluzione, piu o meno diretta, delle

Equazioni di Navier-Stokes hanno preso il posto dei gloriosi metodi a pannelli considerati

ancora oggi gli strumenti di design piu robusti. Tuttavia un notevole contributo alla ricerca

si e avuto solo con l’introduzione degli effetti legati alla viscosita del fluido: in primis i

metodi di strato limite e successivamente, con l’aumento della potenza dei sistemi di calcolo,

i metodi RANS (Reynolds Averaged Navier–Stokes) basati sul concetto di eddy viscosity.

I metodi di strato limite funzionano bene nella zona che va dalla prua della nave alla

parte finale del corpo cilindrico, in cui lo spessore dello strato limite rimane relativamente

ridotto. Laddove invece si ha un rapido ispessimento della zona viscosa tali metodi quasi–

bidimensionali risultano insufficienti a catturare la fisica 3D del flusso. I metodi RANS, pur

rappresentando un’approssimazione delle piu generali equazioni di Navier–Stokes, sono in

grado di stimare con maggiore accuratezza il flusso nelle zone poppiere.

Naturalmente l’esigenza di simulare al calcolatore il comportamento fisico di flussi piu o

vi

vii

meno viscosi era nata soprattutto in ambito aeronautico per cui gran parte dei modelli erano

stati messi a punto per quest’ultimo. Successivamente si e sentita l’esigenza di sviluppare e

testare nuove versioni dei piu popolari modelli attualmente in uso al fine di dare una risposta

adeguata anche alla nuova richiesta del settore navale.

Capitolo I

Flussi turbolenti in campo navale

I.1 Introduzione

Molti flussi in natura e nell’ingegneria sono turbolenti. A bassi numeri di Reynolds

gli effetti viscosi dominano ed il flusso si presenta regolare nello spazio e nel tempo (flusso

laminare). Man mano che il numero di Reynolds aumenta l’inerzia del fluido prende il

sopravvento sulla diffusione viscosa e compaiono le prime fluttuazioni nella pressione e nella

velocita (flusso turbolento).

Per fluidi poco viscosi come acqua ed aria dire alti numeri di Reynolds equivale a

considerare circostanze fisiche molto frequenti, d’intensita insignificante, quali possono es-

sere piccole increspature marine o una leggera brezza estiva [51]. Non e pensabile, quindi,

studiare il flusso intorno ad un natante, un automobile o un velivolo senza considerare la tur-

bolenza. Pertanto la messa a punto di modelli di turbolenza rappresenta una delle branche

fondamentali della Computational Fluid Dynamics.

Relativamente al campo navale suscita molto interesse lo studio delle carene nella zona

d’elica. Ivi il flusso e alquanto complesso e presenta diverse caratteristiche quali effetti di

tridimensionalita (cross flow), gradienti avversi di pressione e, spesso, una coppia di intensi

vortici trasversali che fuoriescono dallo strato limite (bilge vortices). Nessun modello di

turbolenza e progettato per questo specifico tipo di flusso. In quest’ottica si puo capire come

I–1


lo sviluppo e il testing di nuove soluzioni numeriche risulti un problema centrale ed ancora

inesplorato della moderna idrodinamica computazionale [5].

I.2 Dalle prime vasche idrodinamiche alle attuali tec-

niche di simulazione numerica

La costruzione di navi e un arte antica. Fin dai primi tempi la costruzione di navi era

basata sull’esperienza ed i miglioramenti avvenivano molto lentamente in quanto tutte le

nuove idee dovevano essere testate in scala 1 : 1. Quando le dimensioni delle navi comin-

ciarono a crescere le spese ed i tempi di costruzioni si fecero altrettanto pesanti. Di quı il

desiderio di acquisire la capacita di una stima preventiva delle prestazioni delle imbarcazioni

prima della loro costruzione. Uno dei pionieri in questo campo fu Frederick af Chapman, il

quale costruı una delle prime vasche idrodinamiche al mondo nella sua fabbrica a Blekinge

in Svezia.

Una vasca idrodinamica ha lo scopo di testare modelli di imbarcazione in scala o altre

geometrie misurandone la loro resistenza a varie velocita. Nel 1975 af Chapman pubblico

un lavoro contenente valori di resistenza per un gran numero di geometrie [7], [14]. Lo

scaling dei dati sperimentali dal modello in vasca al modello reale in maniera corretta era,

ed e ancora, un problema aperto. Nel 1868 questo metodo divenne piu accurato grazie al

lavoro di William Froude [13] che introdusse il numero di Froude mentre nel 1883 Osborne

Reynolds introdusse il numero di Reynolds [37]. Questi due numeri sono fondamentali nel

processo di scaling e rappresentano le basi del metodo standard, a livello mondiale, per

le procedure sperimentali nelle vasche navali. Tale standard comprende tutta una serie

di istruzioni su come ricondurre i dati sperimentali dal modello in scala a quello reale.

Tale standard fu approvato dall’International Towing Tank Conference 1957 (ITTC–57) [20].

Successivamente, con la comparsa di nuove forme di carena come la Very Large Cude Carrier

(VLCC) si dovette modificare la procedura sperimentale dando origine, nel 1978, ad un nuovo

standard (ITTC–78 [21] ).

Ogni qual volta viene esaminata una carena completamente nuova non e lecito pre-

Cap. I. Flussi turbolenti in campo navale F. Capizzano


sumere che le equazioni adimensionali siano valide ed accurate. L’unico modo per scoprirlo

e costruire l’imbarcazione reale oppure, in alternativa, effettuare accurate prove numeriche.

Alla fine degli anni ′70 la tecnologia informatica era evoluta al punto tale che divenne ra-

gionevole calcolare campi di moto per via numerica. Negli ultimi vent’anni, in campo navale,

sono stati messi a punto un certo numero di codici commerciali in grado di stimare in poche

ore il campo di moto intorno ad una carena. La stessa stima richiederebbe circa tre setti-

mane in una vasca navale. L’unico problema, se cosı si puo dire, riguarda il margine d’errore

molto piu elevato delle soluzioni numeriche rispetto a quelle ottenute in vasca. Per contro

l’accuratezza delle prove sperimentali in vasca puo esser garantita solo per quelle forme di

carena che presentano una geometria molto simile a quelle gia largamente collaudate. In

linea di principio i metodi numerici, tenendo conto della fisica del flusso, non necessitano di

modifiche quando si esaminano nuove forme di carena; essi sono in grado di generare una

soluzione numerica con la stessa accuratezza per carene di famiglie differenti.

Dagli anni ′80 in poi molti convegni sono stati promossi sull’argomento [25, 30, 31, 33].

L’aspetto piu rilevante evidenziato nel corso di tutti i lavori ha riguardato lo studio del

vortice che si genera quando il flusso attraversa la zona della geometria ad elevata curvatura

in prossimita dell’elica (bilge vortex). Questo vortice (fig. I.1) incontra il disco dell’elica e

causa una distorsione del flusso lungo le pale. Tale distorsione e causa di vibrazione, rumore

e cavitazione.

Per la corretta progettazione dell’elica e della carena e necessario prevedere con una certa

precisione la presenza del vortice. Questa stima risulta talvolta complicata da tutta una

serie di fattori: modello di turbolenza, qualita della griglia computazionale ed accuratezza

della discretizzazione delle equazioni del moto [5].

Ognuno di questi aspetti e oggetto di studi approfonditi ma va detto che la modellistica

della turbolenza rappresenta essa stessa uno dei compiti piu gravosi che il mondo accademico

e quello industriale si troveranno ad affrontare nel prossimo futuro.


I.3 La ricerca idrodinamica sui flussi turbolenti I–4

Figura I.1: Bilge vortex : campo di vorticita al disco dell’elica dellapetroliera DYNE.

I.3 La ricerca idrodinamica sui flussi turbolenti

Il livello qualitativo dei modelli di turbolenza per la stima di flussi intorno a geometrie

navali e migliorato con la crescita della potenza dei computers. Nel corso del First Interna-

tional Symposium on Ship Viscous Resistance tenuto a Gotheborg in Svezia nel 1978 [29] fu

presentato un solo lavoro sulla stima numerica del flusso intorno ad un carena.

Due anni piu tardi al SSPA-ITTC Workshop on Ship Boundary Layers [30] si concluse

che i metodi di strato limite erano idonei a risolvere il campo di moto su gran parte della

carena, tuttavia nelle regioni poppiere scoppiavano o fornivano risultati erronei. Queste

conclusioni in accordo con la crescente potenza dei computers agevolarono lo sviluppo dei

metodi numerici per la risoluzione delle equazioni di Navier–Stokes complete (RANS).

Tutti i partecipanti al SSPA-CTH-IIHR Workshop del 1990 [31], eccetto uno, usarono


I.3 La ricerca idrodinamica sui flussi turbolenti I–5

la stessa forma delle equazioni RANS. La modellistica raggiunse un livello migliore: quattro

metodi implementarono un modello a zero–equazioni, undici un modello κ− ε standard con

wall–functions e due un modello κ − ε zonale. Uno dei modelli algebrici fu quello della

eddy–viscositydi Smagorinsky utilizzato nella simulazione large eddy.

I metodi RANS della nova generazione erano ormai in grado di simulare, almeno qual-

itativamente, la maggior parte delle caratteristiche del flusso nelle regioni a poppavia ed

in scia. Tuttavia erano evidenti discrepanze tra i valori numerici e quelli sperimentali, in

particolare nelle regioni centrali della scia (ad esempio in prossimita del disco dell’elica). Nel

1993 Deng et al. [11] mostrarono come una riduzione ad hoc della eddy–viscositynel cuore

del bilge vortex aumentasse vistosamente la distribuzione della veolocita in scia mostrando

un ottima rispondenza fra dati numerici e sperimentali. Sung et al. [42] e Zhu et al. [52]

giunsero alla conclusione che piccole variazioni dei modelli piu semplici potevano portare a

notevoli miglioramenti.

Nei lavori del convegno sulla CFD tenutosi a Tokyo nel 1994 [25] furono utilizzati per

la prima volta i near-wall Reynolds stress models con apprezzabili miglioramenti delle stime

numeriche. Negli anni successivi con l’evoluzione di nuovi e piu sofisticati modelli di tur-

bolenza il livello delle simulazioni e migliorato ma ha comportato al tempo stesso una forte

complessita matematico-numerica. Sicuramente tutto cio non ha agevolato le applicazioni di

interesse pratico. In pratica il livello dei modelli ha subito un arresto a partire dal 3rd Osaka

Colloquium del 1998 sulle applicazioni CFD in campo navale [44]. Piuttosto l’attenzione

si e spostata su altre problematiche di carattere piu applicativo come lo studio di eliche

rotanti dietro semplici forme di carena, calcoli numerici di flussi viscosi per imbarcazioni con

interazione di superficie libera, carene con appendici idrodinamiche.

Al Gothenburg 2000 Workshop [33] materia di studio era la stima dell’incertezza legata

alle soluzioni numeriche. La maggior parte dei partecipanti utilizzavano griglie tra i 500000 e

i 2600000 punti appena sufficienti ad ottenere una maggiore precisione dei risultati numerici.

Tuttavia e auspicabile che nei prossimi anni grazie alle nuove tecnologie informatiche si possa

incrementare la risoluzione con l’utilizzo di griglie molto piu fitte tali da catturare in maniera

soddisfacente molte delle caratteristiche peculiari dei flussi di interesse navale.


I.4 Obiettivi della tesi I–6

I.4 Obiettivi della tesi

Questo lavoro affronta le problematiche connesse con la simulazione per via numerica

di flussi turbolenti in ambito navale. Questi sono calcolati utilizzando un algoritmo che

risolve le equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds RANSE in coordinate curvilinee

generalizzate tridimensionali. A tale scopo viene utilizzato uno schema alle differenze finite

su griglie monoblocco e multiblocco. L’integrazione nel tempo si ottiene con uno schema

esplicito multistadio Runge-Kutta. Per il campo di pressione si risolve una equazione di

Poisson ricavata da un opportuno accoppiamento delle equazioni della continuita e della

quantita di moto.

Per valutare la eddy viscosity si ricorre a due modelli di turbolenza: il modello algebrico

di Baldwin-Lomax ed il modello ad un’equazione di Spalart-Allmaras. Per accelerare la con-

vergenza vengono utilizzati i metodi multilevel, multigrid e residual averaging. La convalida

del codice Ship3D–MB viene effettuata attraverso il noto caso della lastra piana sia in regime

laminare che in quello turbolento. Il metodo viene poi applicato ad alcuni casi reali gia noti

in letteratura quali le carene HSVA e Dyne.

Tutte le prove eseguite considerano la geometria completamente immersa in modo da trascu-

rare gli effetti della superficie libera dell’acqua.

I.5 Lavoro di ricerca

La mia tesi di Dottorato si inquadra in un progetto di ricerca avviato circa tre anni fa

presso il Dipartimento di Ingegneria Navale per la progettazione e lo sviluppo di un solutore

numerico in grado di simulare flussi tridimensionali intorno a geometrie navali discretizzate

a blocchi.

La prima versione del codice denominato SHIP3D–MB era il frutto del paziente e

scrupoloso lavoro di Dottorato dell’Ing. Agostino De Marco [10].

SHIP3D–MB era in grado di ottenere una discreta convergenza del residuo della equazione

della continuita per flussi laminari con topologia della griglia di tipo monoblocco. Inoltre la

gestione topologica delle griglie multiblocco era funzionante ed affidabile. Alcuni tests con-


I.5 Lavoro di ricerca I–7

dotti da De Marco e me su griglie di carene multiblocco indicavano come causa di problemi

il passaggio delle informazioni alle interfacce fra i blocchi. Inoltre il codice era gia predis-

posto per l’implementazione di modelli di turbolenza algebrici. Di fatto la prima versione

del codice ha rappresentato, con la sua architettura informatica, una solida base per la mia

attivita di ricerca.

Il primo passo da me intrapreso e stato quello di consolidare l’efficienza del codice nel

caso di flussi laminari con prove mirate sulla lastra piana completamente immersa verifi-

cando l’effettiva rispondenza tra soluzione analitica e risultati numerici ottenuti con griglie

monoblocco. In effetti si e trattato di un lavoro lungo e faticoso non solo per la compren-

sione del modello numerico ma soprattutto per la complessita dell’implementazione che vede

l’impiego di quasi duecento routines.

Architettura, gestione delle variabili, ricorsione, allocazione dinamica dei dati sono solo

alcuni degli aspetti informatici da me affrontati per apportare numerose migliorie e modifiche

sostanziali al codice. Un esempio su tutti e quello della messa a punto di una procedura

per l’allocazione con successiva deallocazione di numerose variabili locali necessarie per la

successiva implementazione del modello di turbolenza di Baldwin-Lomax. La gestione di

grosse griglie computazionali 3D era ostacolata dalla conseguente esigenza di utilizzo di

memoria RAM superiore ai 500 Mb. Una volta stabilite le variabili globali si e applicata la

procedure a tutte quelle variabili locali che, in base ad una stima effettuata a tappeto su

tutte le porzioni di programma, richiedevano maggiore memoria volatile. In questo modo

a parita di griglie si e ottenuto un risparmio di RAM di oltre il 60%. Cio ha determinato

come logica conseguenza un risparmio di tempo di CPU per iterazione sostanziale tale da

velocizzare anche il lavoro di indagine degli errori legati all’implementazione del modello

numerico. Il risultato finale e stato una diminuzione di circa il 50% sul tempo necessario per

una simulazione.

Oltre alla correzione di errori di vario genere sono state aggiunte numerose righe di

programma che hanno riguardato le condizioni al contorno, la metrica, la gestione dei termini

viscosi e di pressione nel bilancio di quantita di moto.

Il secondo step e stato quello di dotare il codice di alcune tecniche di accelerazione della



convergenza come il residual averaging, il multilevel ed il multigrid (vedi IV.7). Infatti sin

dalle prime prove monoblocco su flussi laminari si e sentita l’esigenza di contenere i tempi

di calcolo visto l’elevato numero di punti griglia necessario per una corretta simulazione 3D.

Cio anche in vista di successive prove su flussi turbolenti la cui buona riuscita, come e noto,

e intimamente legata ad una elevata raffinatezza della griglia.

Proprio l’implementazione dei modelli di turbolenza ha impegnato l’ultima parte del

mio lavoro di sviluppo di SHIP3D–MB. In prima analisi si e scelto di impiegare il modello

di turbolenza di Baldwin-Lomax: questo per la semplicita dell’implementazione nel caso di

griglie monoblocco, accoppiata ad un limitato aumento del calcolo ed a una interessante

capacita di prevedere in modo abbastanza corretto flussi moderatamente separati [4]. Il

suo limite maggiore e dovuto al fatto che non e previsto l’impiego in domini multiblocco in

quanto richiederebbe il salvataggio di un numero eccessivo di informazioni da passare da un

blocco all’altro.

Per il modello di Spalart-Allmaras e previsto l’impiego su griglie multiblocco grazie al

fatto che nella sua formulazione ed implementazione non viene calcolata la distanza diretta

dalla parete, come nel modello di Baldwin-Lomax, ma la distanza dalla parete piu vicina;

tale distanza viene calcolata indipendentemente dal blocco che si sta processando ed at-

traverso questi. Inoltre essendo un modello ad un’equazione ha un costo computazionale

relativamente basso rispetto ai modelli a due equazioni e la sua semplicita lo rende un mod-

ello robusto e notevolmente stabile; questa caratteristica lo fa spesso preferire ai modelli a

due equazioni in quanto consente di definire un CFL del solver della turbolenza (CFLT)

maggiore.

Il lavoro di correzione e sviluppo del codice e stato portato avanti in parallelo con altre

attivita non meno importanti quali:

• progettazione e design di geometrie navali (CAD)

• progettazione di griglie di calcolo tridimensionali monoblocco e multiblocco(Grid Gen-

eration)

• preparazione e realizzazione delle prove numeriche



• rappresentazione grafica della soluzione numerica e analisi dei dati

Per la progettazione ed il design e stato utilizzato un pacchetto CAD versatile ed intuiti-

vo quale THINK3. I parametri di progetto sono stati fissati in base al test che si voleva

condurre. Fissate lunghezza di riferimento e numero di Reynolds si e stimato il far-field ed

in base a questo disegnato il volume di controllo. Il file di dati CAD e stato poi passato

al grigliatore ICEM-CFD, con il quale si e costruita una griglia che tenesse conto di una

stima di avanprogetto circa un plausibile strato limite. Particolare attenzione ha richiesto la

progettazione di una griglia multiblocco intorno alla carena della petroliera HSVA.

Per l’analisi dei dati si e ricorso all’uso del pacchetto di visualizzazione Tecplot della

Amtec.

La fase di preparazione dei test comprende anche un complesso lavoro di definizione

della topologia necessaria a rendere comprensibile la geometria da parte del solutore nu-

merico. Soprattutto per i volumi multiblocco e necessario fare in modo che le convenzioni

sugli indici dei nodi, delle facce, e dei blocchi adottate dal programmatore siano le stesse di

quelle adottate dall’utilizzatore. Da non trascurare poi la fase di definizione di tutti quei

parametri necessari affinche lo schema alle differenze garantisca un buon rateo di conver-

genza del residuo. Si parla quindi di una paziente messa a punto del numero di Courant

CFL, del coefficiente di rilassamento e di quello dissipativo nell’equazione di Poisson per la

pressione senza trascurare la scelta degli stadi della Runge-Kutta e del CFLT nel caso di

flussi turbolenti. La realizzazione delle prove numeriche richiede quindi un lungo e attento

lavoro di preparazione.

A tal proposito basti pensare che la fase cosı detta di pre-processing puo assorbire fino

al 90% del tempo totale di realizzazione di una prova numerica [3]. Mentre il calcolo vero e

proprio rappresenta soltanto l’1% del tempo totale. Infine la fase di post-processing incide

sul tempo totale con una percentuale che puo oscillare tra il 20% ed il 30%.


Capitolo II

Modello matematico

In questo capitolo vengono presentate le equazioni del moto di un fluido intorno ad un corpo

solido in regime incoprimibile nella loro forma generale anche note col nome di equazioni di

Navier-Stokes. Naturalmente l’obiettivo principale rimane la valutazione della resistenza al

moto.

II.1 Idrodinamica della nave

Si consideri una nave in moto ad una velocita uniforme U in acqua calma. Si ritenga

la superficie di interfaccia fra acqua ed aria di estensione indefinita in tutte le direzioni. Si

supponga inoltre che il fondale sia tale da poterne trascurare la presenza. Si fissi un sistema di

coordinate (O, x, y, z) solidale alla carena, come in fig. II.1. L’origine sia posta all’estremita

prodiera in corrispondenza della perpendicolare avanti (FP). Sia l’asse x un asse longitudinale

orientato da prua verso poppa. Per il principio di invarianza galileiana e possibile immaginare

il galleggiante in quiete rispetto al fondale ed investito da una corrente con velocita U = Ui,

dove i e il versore dell’asse x. L’asse y giacera sul piano di galleggiamento e sara normale

all’asse x. L’asse z e quindi verticale, diretto verso l’alto e giace nel piano di simmetria della

carena.

In fig. II.1 e indicato un volume di controllo VC di frontiera Σ ∪ A. Per A si intende

II–1

II.1 Idrodinamica della nave II–2

la superficie di carena mentre Σ = Σl ∪ Sf ∪ S0 ∪ S1, nella fig. II.1, e la superficie del

parallelepipedo che circonda inizialmente la nave. La sua faccia superiore Sf e una porzione

della superficie libera che a regime assume una forma diversa da quella piana iniziale. Le

due facce trasversali S0 ed S1 sono delle superfici di controllo perpendicolari alla corrente

uniforme, la prima presa sufficientemente a monte, le seconda a valle della nave. Infine Σl e

l’insieme delle rimanenti facce del volume di controllo.

Figura II.1: Sistema di coordinate e volume di controllo nel problemadella nave.

Per il flusso intorno alla nave valgono le leggi classiche della meccanica dei fluidi viscosi.

Applicando localmente ad un generico volume elementare dV il principio di conservazione

della massa e della quantita di moto, in ipotesi di flusso stazionario, si ottengono le equazioni

∇ · V = 0 (II.1)

Cap. II. Modello matematico F. Capizzano


ρ V · ∇ V = ∇ · τ + ρ F (II.2)

valide in ogni punto al di sotto della superficie libera, con V il vettore velocita locale del

fluido, ρ la densita del fluido, F la forza esterna per unita di massa, che di solito e pari alla

forza di gravita g = −gk , e τ il tensore degli sforzi. Lo sforzo tn sulla generica unita di

superficie dS in seno al fluido, di normale n , e dato dalla seguente espressione

tn = n · τ = −p n + µ (2 n · ∇ V + n ∧ ω) (II.3)

dove si sono ritenuti trascurabili gli effetti della tensione superficiale e dove p e la pressione,

µ la viscosita, n il versore normale alla superficie elementare considerata, ed orientato nel

verso uscente dalla porzione di fluido assoggettata allo sforzo, ed infine ω = ∇ ∧ V e la

vorticita.

Le equazioni di Navier–Stokes per flussi incomprimibili, in coordinate cartesiane (x, y, z) ≡

(x1, x2, x3), si scrivono, in forma adimensionale partendo dalle II.1 e II.2,

∂ui

∂xi

= 0 (II.4)

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

= −∂P

∂xi

+ χ∂τxixj

∂xj

(II.5)

dove gli indici ripetuti, salvo avviso contrario, indicano una sommatoria, per i, j = 1, 2, 3.

Le grandezze (u, v, w) ≡ (u1, u2, u3) denotano le componenti cartesiane adimensionali del

vettore velocita V mentre P e la pressione statica adimensionale p divisa per la densita. Il

parametro χ e 0 in ipotesi di flusso non viscoso (equazioni di Eulero) mentre e 1 per un flusso



viscoso.1 Le τxixjrappresentano le componenti adimensionali del tensore degli sforzi τ nel

mezzo fluido considerato.

Vedremo piu avanti nel cap. III che per un flusso viscoso in regime turbolento valgono

le stesse equazioni scritte sopra, a patto che con p e V si indichino delle grandezze mediate

nel tempo e che, sotto alcune ipotesi, si consideri la viscosita cinematica come somma di un

contributo laminare e di un contributo turbolento chiamato eddy–viscosity,

νt = νe +1

ReL

(II.6)

In questo modo e possibile esprimere le τxixjcome

τxixj= νt

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)(II.7)

Il numero di Reynolds, ReL, e basato sui valori caratteristici della velocita e del-

la lunghezza di riferimento che vengono utilizzati per adimensionalizzare le variabili nelle

equazioni finora riportate. Per il calcolo della eddy–viscosity e necessario formulare un

modello di turbolenza, che esprima la νe in funzione delle grandezze mediate (vedi cap. III).

Per un dato problema fluidodinamico, oltre alle equazioni di base (II.1) e (II.2) valide

all’interno del volume di controllo devono essere considerate anche le condizioni al contorno

sulla frontiera di VC .

Detta n la normale locale alla superficie di contorno considerata, sulla superficie A della

carena, per un fluido viscoso, vale la condizione di no–slip:

V |A = 0 (II.8)

Sul pelo libero Sf devono essere soddisfatte: (i) la condizione cinematica

1Alcuni autori preferiscono porre χ pari al reciproco del numero di Reynolds, 1/Ren, per un fluido viscoso.In questa Tesi si preferisce mantenere tale termine nell’espressione adimensionale degli sforzi.


II.2 Equazioni in coordinate curvilinee II–5

(n · V )|Sf= 0 (II.9)

e (ii) la condizione dinamica 2

(n · τ

)∣∣Sf

= 0 (II.10)

.

II.2 Equazioni in coordinate curvilinee

Quando si calcola il flusso intorno ad un corpo di forma complessa, come ad esempio la

carena di una nave, l’approccio migliore alla risoluzione delle equazioni del moto, al fine di

applicare in maniera relativamente agevole le condizioni al contorno, risulta dalla risoluzione

delle equazioni del moto in coordinate curvilinee generalizzate.

Il dominio fisico in cui e fissato un sistema di coordinate cartesiane (x, y, z) ≡ (x1, x2, x3)

viene trasformato, attraverso un processo di discretizzazione, nel dominio computazionale

che si identifica con il sistema di riferimento (ξ, η, ζ) ≡ (ξ1, ξ2, ξ3). A questa trasformazione

geometrica e associato uno jacobiano J ed un tensore metrico controvariante [gij], definiti

come segue

J = det

[∂ξj

∂xi

](II.11)

[gij

]= ξi

xξjx + ξi

yξjy + ξi

zξjz (II.12)

per i, j = 1, 2, 3. Per i dettagli sulla teoria che regge questo tipo di trasformazioni il lettore

puo fare riferimento a Sotiropulos [40] e a Warsi [49].

Utilizzando la regola di derivazione di funzioni composte e dopo alcuni passaggi algebrici,

le equazioni del moto di un fluido incomprimibile in coordinate curvilinee si scrivono come

segue

2Gli effetti della tensione superficiale vengono di solito trascurati in problemi del genere.


II.2 Equazioni in coordinate curvilinee II–6

J

[∂

∂ξ

(UJ

)+

∂

∂η

(VJ

)+

∂

∂ζ

(WJ

)]= 0 (II.13)

∂Q

∂t+ A

∂Q

∂ξ+ B

∂Q

∂η+ C

∂Q

∂ζ= −H + χ

[J

(∂E1

v

∂ξ+

∂E2v

∂η+

∂E3v

∂ζ

)](II.14)

Nelle equazioni appena scritte Q = (u, v, w)T ≡ (u1, u2, u3)T e il vettore velocita nello spazio

fisico, (U ,V ,W) ≡ (U1,U2,U3) sono le componenti controvarianti della velocita date dalle

U i = uξix + vξi

y + wξiz (II.15)

per i = 1, 2, 3. A ≡ A1, B ≡ A2, C ≡ A3 sono matrici diagonali definite come

Ai = diag(U i,U i,U i

)(II.16)

I cosiddetti vettori di flusso viscoso E1v , E2

v and E3v sono dati dalle espressioni

Eiv =

νt

J

(ξxξix + g1i)uξ + (ηxξ

ix + g2i)uη + (ζxξ

ix + g3i)uζ + S1j

(ξyξiy + g1i)vξ + (ηyξ

iy + g2i)vη + (ζyξ

iy + g3i)vζ + S2j

(ξzξiz + g1i)wξ + (ηzξ

iz + g2i)wη + (ζzξ

iz + g3i)wζ + S3j

(II.17)

per i = 1, 2, 3, con

S1i = ξiyR21 + ξi

zR31 (II.18)

S2i = ξixR12 + ξi

zR32 (II.19)

S3i = ξixR13 + ξi

yR23 (II.20)


II.3 Coefficienti di resistenza idrodinamica II–7

Rij = (ui)ξξxj+ (ui)ηηxj

+ (ui)ζζxj(II.21)

Infine, il vettore H = (H1, H2, H3)T e dato dalla seguente espressione

H =

Pξξx + Pηηx + Pζζx

Pξξy + Pηηy + Pζζy

Pξξz + Pηηz + Pζζz

(II.22)

L’equazione della continuita (II.13) risulta, numericamente, soddisfatta se viene utiliz-

zata una tecnica di risoluzione basata su una equazione di Poisson per la pressione (Pressure–

Poisson–Equation approach, PPE). Nei paragrafi successivi, quando ricaveremo le equazioni

discretizzate che approssimano le (II.13) e (II.14), verra illustrata una tale strategia e si

ricavera un’equazione di Poisson discretizzata per la pressione.

II.3 Coefficienti di resistenza idrodinamica

Senza entrare nel dettaglio delle origini della resistenza idrodinamica diremo solo che

comunemente questa viene suddivisa nelle due componenti (i) la resistenza viscosa RV dovuta

al moto della carena in un fluido viscoso e (ii) la resistenza d’onda RW (wave resistance)

dovuta alla presenza della superficie libera, presente anche se la viscosita dell’acqua fosse

idealmente nulla.

A sua volta la resistenza viscosa puo suddividersi in due componenti legate essenzialmente

alla presenza dello strato limite: la resistenza d’attrito e la resistenza (viscosa) di pressione

(viscous pressure drag). La prima e dovuta all’azione degli sforzi tangenziali sulla superficie

solida. La resistenza di pressione puo essere invece immaginata come il contributo alla

resistenza totale dovuto alla presenza dello strato limite, che in un fluido viscoso ridistribuisce

gli sforzi normali rispetto al caso di fluido perfetto. Nel caso di flussi con estese separazioni si

ha un ulteriore componente di resistenza detta resistenza dovuta ai vortici (eddy resistance).



Per maggiori approfondimenti su questo argomento si vedano i lavori di Baba e Larsson [32]

e [1]. Spesso per motivi di carattere pratico legati alla sperimentazione in vasca (metodo

di Froude [13]) si considera la resistenza totale come somma della resistenza d’attrito e del

rimanente contributo, detto resistenza residua RR (residuary resistance), pari a RT −RF .

Per il calcolo della resistenza totale di un qualsiasi oggetto in moto in un fluido si parte

dalla forma integrale della quantita di moto (II.2) in regime stazionario,

∫Σ∪A

[ρ V (V · n) + pn− τ · n

]ds = 0 (II.23)

in cui, facendo riferimento alla fig. II.1, A e la superficie del corpo mentre Σ = Σl ∪ Sf ∪

S0 ∪ S1 e la superficie “lontana” dal corpo. In base a questa decomposizione e ricordando

la condizione di velocita nulla sul corpo si ricava il risultante delle forze idrodinamiche che

il fluido in movimento esercita punto per punto sulla carena,

F T =

∫A

[pn− τ · n

]ds = −

∫Σ

[ρ V (V · n) + pn− τ · n

]ds (II.24)

La resistenza totale si definisce proprio come RT = F T · i. Dalla (II.3) si vede come il calcolo

delle forze agenti sul corpo possa avvenire in due modi differenti:

• Metodo di campo vicino. Consiste nel valutare F T attraverso l’integrazione degli sforzi

normali e tangenziali sulla superfice solida del corpo.

F T =

∫A

[pn− τ · n

]ds (II.25)

• Metodo di campo lontano. Si integra il bilancio di quantita di moto sulla superfice Σ

fissandola opportunamente distante dal corpo



F T = −∫Σ

[ρ V (V · n) + pn− τ · n

]ds (II.26)

Osserviamo brevemente, che da un punto di vita prettamente numerico alcune ricerche,

hanno mostrato come l’accuratezza della stima di resistenza viscosa dipenda dalla fittezza

della griglia e quindi dall’accuratezza della soluzione (vedi [4] par. III.13).

Se scegliamo metodo di “campo vicino” e ricordando la II.3 si ottiene

RT =

∫A

p i · n dS +

∫A

µ i · (n ∧ ω) dS = RP + RF (II.27)

in cui (II.27) rappresenta la resistenza di pressione RP mentre n ∧ ω non e altro che la

resistenza d’attrito RF .

L’implementazione numerica del calcolo dei contributi di resistenza richiede quindi

la conoscenza del campo di moto e del corrispondente campo di pressione con una certa

accuratezza. Si introducono a tale scopo i coefficienti di resistenza di pressione e di attrito

Cp =RP

12ρ S V 2

(II.28)

e

Cf =RF

12ρ S V 2

(II.29)

in cui ρ e la densita, ν la viscosita cinematica dell’acqua ed S la superfice della geometria

immersa.

In questo lavoro si considerano corpi “profondamente immersi” ma risulta evidente che

qualora si tenesse conto della presenza del sistema ondoso questi interferirebbe in qualche



misura con lo strato limite intorno alla carena modificando la distribuzione degli sforzi

tangenziali ed influenzando le altre componenti di resistenza.


Capitolo III

Modelli di turbolenza

La valutazione del campo di moto intorno alle moderne carene navali rappresenta un compito

veramente arduo per i modelli di turbolenza. Gli alti numeri di Reynolds del flusso attorno

alle navi determinano uno strato limite sottile su gran parte della carena. Questo porta a

bruschi gradienti di pressione e spesso ad elevati valori del rapporto fra le lunghezze delle

celle computazionali (stretching). Le superfici a forte curvatura nella zona poppiera danno

origine a gradienti di pressione avversi causando un rapido ingrossamento dello strato limite.

Il flusso proveniente dalla zona bassa della carena incontra quello proveniente dalle fiancate

determinando una separazione tridimensionale e spesso una coppia di intensi vortici chiamati

bilge vortices. Tali vortici hanno origine nello strato limite in corrispondenza dei gradienti di

pressione avversi e passando attraverso l’elica si estinguono nella scia. Molti modelli di tur-

bolenza, anche con modifiche mirate, hanno provato a simulare questo fenomeno. Nessuno

tra i modelli piu semplici finora costruiti e in grado di trattare in modo accurato tutte le

caratteristiche del flusso in esame il che rende difficoltosa la scelta del modello di turbolenza.

In questo capitolo viene affrontato il problema della chiusura delle equazioni RANS ponendo

particolare attenzione ai modelli di turbolenza di Baldwin-Lomax e Spalart-Allamars imple-

mentati nel codice SHIP3D-MB. Per entrambi si fa un’analisi dei pregi e dei difetti. Per

una trattazione completa della fisica e delle problematiche connesse con lo studio dei flussi

III–1

III.1 Modelli completi e modelli incompleti III–2

turbolenti si rimanda a testi specifici quali Wilcox [51] e Piquet [36].

III.1 Modelli completi e modelli incompleti

Nello studio di flussi turbolenti l’approccio matematico piu comune rimane quello della

soluzione delle equazioni di Navier-Stokes mediate. L’idea risale alla fine dell’ottocento ed

e dovuta a Reynolds ma il primo tentativo di chiusura delle RANS si deve a Boussinesq

che alcuni anni prima aveva introdotto il concetto di eddy–viscosity. Questo consiste nel

considerare la viscosita cinematica come somma di un contributo laminare e di un contributo

turbolento appunto chiamato eddy–viscosity,

νt = νe +1

ReL

(III.1)

In effetti l’operazione di media sulle equazioni di Navier-Stokes introduce una forte sempli-

ficazione con la conseguente perdita di numerose informazioni in esse contenute. Tuttavia il

vantaggio risulta evidente per flussi di carattere turbolento in quanto non siamo in grado di

prevedere le fluttuazioni spazio-temporali delle variabili fluidodinamiche. Il voler considerare

solo i loro valori medi ci permette di ridurre il numero delle incognite con la possibilita di

utilizzare un set di equazioni formalmente identico alle (II.4)–(II.5) di carattere piu generale

con la sola differenza di considerare le τxixjcome

τxixj= νt

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)(III.2)

somma del tensore degli sforzi classico e di un nuovo tensore comunemente noto come

“tensore degli sforzi di Reynolds”.

Volendo risolvere un siffatto sistema di equazioni abbiamo bisogno di relazioni fra le

quantita incognite e le corrispondenti variabili mediate. I modelli di turbolenza introducono,

appunto, tali relazioni frutto di considerazioni teoriche ed informazioni di carattere empirico.

Cap. III. Modelli di turbolenza F. Capizzano


Uno studio sistematico dei flussi turbolenti si deve a Prandtl con la sua teoria basata

sull’ipotesi della ‘lunghezza di mescolamento’ secondo cui in prossimita di una parete solida

e

νturb =µturb

ρ= ` 2

∣∣∣∣du

dn

∣∣∣∣ (III.3)

dove u e un opportuna velocita media del flusso ed n la normale alla parete.Per rendere

completo il modello occorre esprimere ` in funzione di condizioni note del flusso. Prandtl

e von Karman analizzarono accuratamente i profili di velocita turbolenti ricavando una

suddivisione dello strato limite in tre zone,

inner layer o viscous sublayer in cui dominano le forze molecolari,

outer layer in cui dominano gli stress turbolenti,

overlap layer o log layer in cui entrambi i tipi di stress hanno la stessa importanza.

Per ciascuna regione dello strato limite ricavarono una legge di dipendenza

` ≈ y2 nelviscous sublayer (III.4)

` ≈ ky nellog layer (III.5)

` ≈ cost. nell′outer layer (III.6)

Ma non tutti i flussi si svolgono in prossimita di una parete; nel caso di flussi particolari come

scie, getti e superfici libere e/o di contatto la lunghezza di mescolamento e proporzionale allo



spessore dello strato limite δ. La verita e che la lunghezza di mescolamento ` varia con il

tipo di flusso esaminato e quindi deve conoscersi a priori se si vuole ottenere una soluzione.

Queste idee sono riprese in gran parte dei modelli di turbolenza utilizzati nella CFD.

In particolare si parla di “modelli algebrici o modelli a zero equazioni” con riferimento

alla caratteristica comune di essere basati sulla ipotesi della lunghezza di mescolamento

mixing-lenght.

L’esigenza di produrre una descrizione matematica piu aderente alla fisica delle τ turbo-

lente spinse lo stesso Prandtl all’introduzione di una ulteriore equazione differenziale basata

sul trasporto di energia cinetica turbolenta k in aggiunta ai consueti bilanci di massa, quan-

tita di moto ed energia. In questo modo si tiene conto della storia del flusso da cui dipendono

le τ turbolente e quindi la eddy viscosity . Si parla, in tal caso, di “modello di turbolenza

ad una equazione”.

In verita il vantaggio di avere una descrizione piu realistica dell’evoluzione del flusso

turbolento fa sorgere il problema di definire, comunque, una lunghezza di scala opportuna

da cui far dipendere la eddy viscosity cinematica. Poiche la lunghezza caratteristica deve

essere legata alla dimensione caratteristica degli eddies , differente per ogni flusso, modelli di

questo tipo, che non prevedono una lunghezza di scala, sono “incompleti”. In altre parole, per

ottenere una soluzione, dobbiamo conoscere qualcos’altro circa il flusso oltre alle condizioni

iniziali ed al contorno [51].

Al contrario si parla di modelli “completi” quando applicabili ad un dato flusso tur-

bolento con le opportune condizioni al contorno e/o iniziali ottenendo una soluzione senza

conoscere, a priori, alcun dettaglio su di esso. Il primo di questi, detto modello k-ω, fu in-

trodotto da Kolmogorov negli anni quaranta e si basa sull’aggiunta di una ulteriore equazione

differenziale, analoga a quella formulata per k, relativa ad una nuova grandezza ω da lui

definita come “gradiente di dissipazione dell’energia” per unita di volume e tempo; l’energia

a cui egli si riferisce e l’energia cinetica turbolenta k. Modelli completi come questo vengono

detti “modelli di turbolenza a due equazioni” e solo nell’ultimo decennio sono stati ricon-

siderati grazie all’avvento di calcolatori potenti in grado di risolvere in tempi relativamente

piu veloci le equazioni differenziali non lineari che li caratterizzano.


III.2 Modelli algebrici e modelli con equazioni di bilancio III–5

III.2 Modelli algebrici e modelli con equazioni di bi-

lancio

In definitiva i modelli di turbolenza possono dividersi in due grandi classi

• Eddy viscosity models

• Stress–transport models

I primi sfruttano l’ipotesi di Boussinesq calcolando l’eddy–viscositytramite soluzione di ap-

posite relazioni; i modelli stress–transport, detti anche di chiusura al II ordine, calcolano lo

stress di Reynolds risolvendo in modo approssimato le equazioni del tensore di Reynolds.

Per un flusso 3D si introducono in pratica sette equazioni: una per la scala di lunghezza e

le altre sei per le componenti del tensore di Reynolds (tensore simmetrico).

I modelli eddy–viscositysi possono ulteriormente suddividere in tre categorie, a seconda

del numero di equazioni differenziali da risolvere,

• modelli algebrici

• modelli ad una equazione

• modelli a due equazioni

Nei modelli ad una equazione questa rappresenta in genere il trasporto dell’energia cinetica

turbolenta k. Anche nei modelli a due equazioni la prima riguarda il trasporto di k mentre

la seconda equazione puo rappresentare il trasporto di ε, dissipazione di k per unita di

massa, oppure ω, rateo di dissipazione specifica di k, dando luogo ai ben noti modelli κ− ε e

κ−ω. Esiste comunque una tale varieta di modelli a piu equazioni che elencarne le differenze

sarebbe difficoltoso. Una pregevole panoramica e disponibile in Wilcox [51].

Va detto che una tale produzione di modelli eddy-viscosity dimostra come si sia lontani

dall’aver risolto tutti i problemi legati alla simulazione dei flussi turbolenti. Ciononostante

l’impiego di tali modelli risulta certamente indispensabile ove si vogliano ottenere risultati

di interesse ingegneristico.


III.3 Il modello di Baldwin-Lomax III–6

Nella simulazione di flussi intorno a geometrie navali i modelli eddy-viscosity sono

largamente impiegati a patto di operare opportune calibrazioni rispetto ai casi di interesse

aeronautico.

Nei paragrafi successivi vengono proposti il modello a zero equazioni di Baldwin-Lomax

ed il modello ad una equazione di Spalart-Allmaras.

III.3 Il modello di Baldwin-Lomax

Largamente testato sia in campo aeronautico che in campo navale, si tratta del primo modello

implementato sul codice per lo studio di flussi turbolenti. Inoltre la sua semplicita accoppiata

con una bassa richiesta di sforzo computazionale lo rende ideale per un primo approccio

numerico su griglie monoblocco.

Al pari degli altri modelli algebrici Baldwin e Lomax operano una suddivisione dello

strato limite come auspicato dalla mixing lenght theory in una zona interna (inner layer) ed

in una piu esterna (outer layer) [2]; sicche la viscosita turbolenta e data da

νe =

(νe)in se y ≤ y

(νe)out se y > y(III.7)

in cui y e la distanza dalla parete solida ed y e il valore della y in corrispondenza della quale

le formulazioni per (νe)in ed (νe)out coincidono.

In effetti il primo modello basato sulla suddivisione dello strato limite si deve a Cebeci e

Smith [51] ma la loro formulazione richiedeva la stima dello spessore di strato limite per cui

era applicabile solo per la chiusura delle Thin Layer Navier Stokes (TLNS). Al contrario nella

risoluzione delle RANS non si risolve lo strato limite per cui Baldwin e Lomax proposero un

metodo che utilizza la vorticita per stimare, in modo indiretto, il bordo dello strato limite.

Quindi la lunghezza caratteristica ` e legata alla vorticita il cui modulo in 3D vale,

ω =

[(∂V

∂x− ∂U

∂y

)2

+

(∂W

∂y− ∂V

∂z

)2

+

(∂U

∂x− ∂W

∂x

)2]1/2

(III.8)



Seguono le formulazioni per la zona interna ed esterna dello strato limite 1

• Inner Layer.

(νe)in = ` 2|ω| (III.9)

` = ky[1− e−y+/A+

0

](III.10)

y+ =uτ

νw

y (III.11)

uτ =√

τw/ρ (III.12)

• Outer Layer.

(νe)out = αCcpFwakeFKleb (y; ymax/CKleb) (III.13)

Fwake = min[ymaxFmax; CwkymaxU

2dif/Fmax

](III.14)

1I pedici e e w indicano rispettivamente le parole inglesi eddy e wall



FKleb (y; ymax/CKleb) =

[1 + 5.5

(yCKleb

ymax

)6]−1

(III.15)

in cui ymax ed Fmax rappresentano, rispettivamente, il punto di massimo ed il massimo

della funzione

F (y) = y|ω|[1− e−y+/A+

0

](III.16)

il cui andamento tipico e mostrato in fig. III.1.

• Coefficienti di chiusura

k = 0.40 α = 0.0168A+

0 = 26 Ccp = 1.6CKleb = 0.3 Cwk = 1.0

(III.17)

La Udif rappresenta la velocita euleriana se ci si trova in presenza di strato limite mentre, nel

caso di scia, getti etc., rappresenta la differenza fra la velocita massima nella zona viscosa e

quello alla quota y = ymax:

Udif =(√

U2 + V 2 + W 2)

max−

(√U2 + V 2 + W 2

)y=ymax

(III.18)

Osserviamo che tale modello risulta affidabile sia per la stabilita del processo di con-

vergenza sia la qualita della soluzione per flussi moderatamente separati. La sua implemen-

tazione e agevole nel caso di griglie monoblocco mentre viene sconsigliato il suo utilizzo per

griglie multiblocco essendo la formulazione legata alla distanza da un prefissato punto della

parete solida in corrispondenza del quale si stima la τw. Il che crea non pochi problemi nel

caso di formulazione delle equazioni in coordinate curvilinee.



Figura III.1: Profili tipici delle grandezze caratteristiche nel modellodi turbolenza di Baldwin e Lomax.

III.3.1 Modifiche al modello di Baldwin-Lomax per flussi navali3D

Il modello ora illustrato risale al 1978 ed e stato calibrato per la chiusura delle RANS in

campo aeronautico. Le prime prove effettuate in campo navale con questa formulazione risal-

gono agli anni ’90 [24], [43], [46]; queste indicarono una sovrastima della eddy–viscositynella

zona di scia a poppavia con elevata diffusione nei vortici longitudinali. Tra le tante modifiche

al modello di Baldwin-Lomax sviluppate in seguito per modellare i flussi navali ricordiamo

l’SR222 proposto al convegno di Osaka nel ’98 da Kodama [26]. Si tratta di una variante

semplice che ha dato risultati molto buoni e, sostanzialmente, si basa su due modifiche. La

prima riguarda la riduzione della eddy–viscositynell’Outer Layer in presenza di un gradiente

avverso di pressione

(νe)out −→ (νe)out[1− tanh(βPGymax

ρFmax2 (∇p · es))] (III.19)

in cui βPG = 10.0 mentre es rappresenta il versore del vettore velocita.


III.4 Il modello di Spalart-Allmaras III–10

Il passo successivo consiste nel ridurre gli effetti della vorticita longitudinale ed il cross

flow. In generale nei flussi 3D il vettore della vorticita non e angolato correttamente rispetto

al locale vettore della velocita. Quindi in questi casi il valore di (νe) va ridotto

(νe) −→ (νe)[1− |es · eω|] (III.20)

e successivamente l’intensita del vettore vorticita viene ridotta di una quantita che dipende

dagli angoli tra i vettori vorticita, il locale vettore degli sforzi tangenziali ed il vettore normale

alla superficie

|ω| −→ |en × eτw · ω| (III.21)

in cui eω e il versore del vettore vorticita mentre eτw e il versore del vettore degli sforzi

tangenziali alla parete.

Osserviamo che le modifiche ora illustrate non hanno effetti in 2D o in flussi simmetri-

ci. Il valore di βPG e stato calibrato in base a prove sperimentali condotte su geometrie

simmetriche per i quali non si hanno fenomeni di vorticita longitudinale o cross flow.

III.4 Il modello di Spalart-Allmaras

Il modello di Spalart-Allmaras e rappresenta il primo tentativo di dotare SHIP3D–MB di

un modello con equazione di bilancio. Si tratta di “un modello ad una equazione” in quanto

comporta la risoluzione di una sola equazione differenziale che esprime il trasporto di una

quantita legata direttamente alla eddy-viscosity [41]. Il trasporto di questa quantita e stato

ricavato a partire da considerazioni empiriche ed analisi dimensionali.

Il modello e del tipo eddy-viscosity nel senso che si ritiene valida l’ipotesi di Boussinesq,

ed e “completo in quanto definisce automaticamente la scala di lunghezza della turbolenza.

Non entriamo nel particolare della calibratura del modello rimandando a Wilcox [51], ma



riportiamo la formulazione globale del modello. Per i coefficienti di chiusura che saranno

introdotti il suffisso b sta per basic, t per trip (inizio transizione), τ per viscoso e infine w

per wall. La eddy-viscosity e calcolata come

νe = νfν1 (III.22)

L’equazione del trasporto di ν per flussi incomprimibili e

∂ν

∂t+ uj

∂ν

∂xj

= cb1(1− ft2)Sν

+1

σ

[∂

∂xj

(1

Re+ ν

)∂ν

∂xj

+ cb2

(∂ν

∂xj

)2]

(III.23)

−(cw1fw −

cb1

k2ft2

) [ν

d

]2

+ ft14U2

I termini a secondo membro rappresentano rispettivamente

cb1(1− ft2)Sν produzione

1σ

∂∂xj

( 1Re

+ ν) ∂ν∂xj

diffusione conservativa

1σcb2(

∂ν∂xj

)2 diffusione non conservativa

−cw1fw( νd)2 distruzione sotto parete

cb1

k2 ft2(νd)2 incremento di produzione dovuto alla transizione

ft14U2 sorgente di turbolenza dovuta alla transizione

Costanti “basiche” per i free shear flows sono



cb1 = 0.1355 cb2 = 0.622 σ =2

3(III.24)

Costanti addizionali e relazioni ausiliarie per i termini di distruzione nello strato limite

turbolento sono

cw1 =cb1

k2+

1 + cb2

σr =

ν

Sk2d2

cw2 = 0.3 g = r + cw2(r6 − r) (III.25)

cw3 = 2.0 fw = g

(1 + c6

w3

g6 + c6w3

) 16

La funzione fw viene introdotta per avere un veloce decadimento del termine distruttivo nell’

outer layer, mentre g funge da limiter per evitare valori di fw troppo elevati. Sia fw che

g assumono valore unitario nel log layer per poi decrescere nell’outer layer. Coefficienti e

relazioni relative alla regione vicino alla parete sono

χ = Reν cν1 = 7.1

fν1 =χ3

χ3+c3ν1

fν2 = 1− χ

1 + χfν1

(III.26)

S = |ω|+ ν

k2d2fν2

La funzione di smorzamento fν1 viene introdotta per collegare il viscous sublayer al log layer

in cui ν deve assumere un comportamento tipico (kyuτ ). Il modulo della vorticita ω viene

modificato introducendo S in modo da ottenere il classico andamento del log layer (S = uτ

ky).

Termini e relazioni relativi alla transizione



ft1 = ct1gt · exp

(−ct2

ωt2

4U2

[d2 + (gtdt)

2])

fν1 =χ3

χ3 + c3ν1

fν2 = 1− χ

1 + χfν1

(III.27)

ct1 = 1.0 ct2 = 2.0

ct3 = 1.2 ct4 = 0.5

dove ωt e la vorticita nel punto di transizione, 4U il modulo della differenza tra la velocita

locale e la velocita nel punto di transizione, 4xt e il 4x della cella in corrispondenza del

punto di transizione e d la distanza dalla parete piu vicina. Le condizioni asintotiche sono

0.5 ≤ χ ≤ 1.341946 (III.28)

Sulla parete solida e

ν = 0 (III.29)

Le prime prove in campo aeronautico mostrarono una convergenza scadente dell’equazione

del trasporto specialmente in prossimita del riattacco della vena fluida. Cio e imputabile al

fatto che S puo diventare negativo influenzando r il cui valore comincia ad oscillare durante

il processo di calcolo. Lo stesso Spalart nel 1993 [38] propose le seguenti modifiche alle III.26

S = fν3|ω|+ν

k2d2fν2 fν3 =

(1 + χfν1)(1− χfν2)

χ

fν2 =

(1 +

χ

cν2

)−3

cν2 = 5.0 (III.30)



In questo modo si ha sempre S ≥ 0. Tuttavia quando ν ed S si annullano anche S assume

valore zero. La funzione fν2 cosı modificata rimane positiva lungo la parete solida. Ivi

assume valori molto diversi da uno e cio comporta una modifica della transizione naturale

del modello da regime laminare a regime turbolento.

Nell’implementare il modello si e trascurato il termine ft14U2 in quanto, come spesso

riportato in letteratura [], non produce sostanziali modifiche dei risultati, mentre si e riscon-

trato un effettivo miglioramento della convergenza utilizzando le modifiche date dalle III.30.

Inoltre come valore asintotico di χ per le nostre prove numeriche si e scelto di utilizzare il

valore di 1.341946 in quanto valori piu bassi portano ad instabilita numerica.

III.4.1 Equazione di Spalart-Allmaras in coordinate curvilinee

Analogamente a quanto fatto per le equazioni di bilancio di massa e quantita di moto nel

par.II.2 possiamo scrivere il bilancio di ν in coordinate curvilinee generalizzate. Seguendo

la teoria secondo cui alla trasformazione geometrica (x, y, z) −→ (ξ, η, ζ) e associato uno

jacobiano J ed un tensore metrico controvariante [gij] definiti nelle II.11 e II.12, possiamo

ricavare, per flussi incomprimibili, l’espressione

∂ν

∂t+ U j ∂ν

∂ξj= Prod + Diffc + Diffnc + Distr (III.31)

per i, j = 1, 2, 3. Le U j sono le componenti controvarianti della velocita

U j = uξjx + vξj

y + wξjz (III.32)

A secondo membro della III.31, trascurando il termine di sorgente dovuto alla tran-

sizione, si distinguono i contributi di produzione, diffusione conservativa, diffusione non

conservativa e distruzione. Di seguito ne sono riportate le espressioni in coordinate curvilinee



Prod = cb1(1− ft2)Sν (III.33)

Diffc =J

σ

∂

∂ξj

[1

J

(1

Re+ ν

)gij ∂ν

∂ξi

](III.34)

Diffnc =cb2

σ

(ξjxi

∂ν

∂xj

)2

(III.35)

Distr = −(cw1fw −

cb1

k2ft2

) [ν

d

]2

(III.36)

per i, j = 1, 2, 3. Osserviamo che nelle equazioni su riportate la notazione con gli indici

ripetuti implica una sommatoria.

III.4.2 Modifiche al modello di Spalart-Almaras per flussi navali3D

Il modello e in grado di simulare flussi viscosi turbolenti con moderate separazioni in

campo aeronautico. Chiaramente ci si aspetta che in campo navale il modello venga calibrato

opportunamente. Come gia accaduto per i modelli algebrici le limitazioni per i flussi intorno

alle carene sono legate alla sovrastima della eddy-viscosity in tutta la zona a valle del disco

dell’elica.

Nella sua formulazione originale il modello di Spalart-Allmaras non e in grado di ripro-

durre le caratteristiche 3D di un flusso in scia tanto complesso da meritarsi l’appellativo

inglese di (hook shape flow). Elevati valori di eddy-viscosity implicano una diffusione consid-

erevole nei vortici logitudinali. Per ovviare a queste deficienze del modello si puo agire at-

traverso correzioni del termine di produzione della viscosita turbolenta cb1|ω|ν. Per simulare

i vortici di estremita, in campo aeronautico, Dacles-Mariani nel 1995 [9], seguendo le indi-

cazioni di Spalart, hanno suggerito una nuova forma del termine di produzione modificando

la ω come di seguito riportato

|ω| −→ |ω|+ C min(0, |τ | − |ω|) (III.37)


III.5 Alcune considerazioni sulla scelta del modello III–16

in cui |τ | rappresenta l’intensita del tensore degli sforzi (|τ | = det(τij)). Il vantaggio di una

tale formulazione consiste nella riduzione della eddy-viscosity nelle zone in cui l’intensita

della vorticita e maggiore di quella del tensore degli sforzi, ad esempio nel cuore del vortice.

D’altro canto la correzione del vortice longitudinale non avviene negli strati limiti sottili in

cui i valori di |ω| e |τ | sono molto vicini. La funzione di C e quella di calibrare il modello;

infatti il comportamento della distribuzione di scia e sensibile alle variazioni di C sicche

il suo valore va assegnato in maniera accurata [16], [17]. Nel caso della carena KLV CC2

Hirata & Hino [18] confrontano le soluzioni numeriche al disco dell’elica al variare di C.

Con l’aumentare di questo parametro la viscosita cinematica turbolenta nel cuore del vortice

diminuisce e cosı pure la velocita assiale. Superato il valore 20 si comincia a vedere la

caratteristica distorsione ad “uncino” della distribuzione di velocita in scia. Valori ancor piu

elevati determinano un aumento della resistenza d’attrito ed una diminuzione della resistenza

di pressione. Cio puo esser dovuto all’aumento della zona di separazione. Di conseguenza

la resistenza totale lentamente diminuisce all’aumentare di C. Dal confronto fra le soluzioni

numeriche e le prove sperimentali Hirata & Hino trovano, per C = 30, una distorsione del

campo di moto al disco dell’elica prossima a quella misurata in laboratorio.

III.5 Alcune considerazioni sulla scelta del modello

I modelli algebrici sono stati per lungo tempo una soluzione ideale per la simulazione numer-

ica dei flussi turbolenti. La semplicita di implementazione ed il basso costo computazionale,

nonche le buone capacita di valutazione di flussi con moderati gradienti di pressione, erano

le caratteristiche che li facevano preferire ai modelli basati su “equazioni di trasporto”. Con

lo straordinario sviluppo della tecnologia informatica ed elettronica dell’ultimo decennio, la

comunita CFD era pronta a investire le proprie risorse nella simulazione numerica di flussi

turbolenti piu complessi. E’ con questa prospettiva che si e sviluppata una nuova generazione

di modelli di turbolenza, sicuramente piu onerosi ma con un maggiore campo di applicabilita

dei modelli algebrici. Questi, pur restando ancora validi per molte tipologie di flussi hanno


III.5 Alcune considerazioni sulla scelta del modello III–17

dei limiti ampiamente riportati in letteratura [51]. Sono state proprio le aumentate poten-

zialita dei calcolatori a metterne in evidenza i principali difetti, legati alla loro interazione

con la griglia computazionale. Infatti la simulazione di flussi turbolenti complessi necessita

di tecniche di grigliatura (multiblocco, griglie non strutturate etc...) che mettono in crisi

la maggior parte dei modelli algebrici, i quali non danno alcuna informazione sulla scala

di lunghezza della turbolenza (i.e. modelli incompleti) che viene definita da un’apposita

relazione ausiliaria, contenente quasi sempre una dipendenza dalla distanza diretta dalla

parete. Se consideriamo ad esempio una griglia strutturata a blocchi intorno ad un profi-

lo con scia, non c’e alcun modello algebrico che garantisca la continuita dell’eddy-viscosity

attraverso l’interfaccia fra il blocco contenente il profilo e quello contenente la scia. Tutti

questi problemi vengono superati con lo sviluppo o comunque con la possibilita di utilizzo

dei modelli “a una o piu equazioni”.

Questi ultimi sono attualmente i piu ampiamente utilizzati nei codici Navier-Stokes.

Quello ideato da Spalart e Allmaras nel 1992 [41] e un modello di gran successo . Il motivo di

tale successo, e dovuto alla sua semplicita e, benche “calibrato specificamente per applicazioni

di interesse aeronautico, ha trovato un certo impiego anche in ambito navale. Il limitato

aumento dei tempi di calcolo viene sicuramente superato dal vantaggio di avere una flessibilita

ed una robustezza tali da permettere il riconoscimento di caratteristiche di flussi complessi

quali separazione, bilge vortex e cross flow. Infine l’applicabilita a domini multiblocco, come

gia accennato nel par. I.5, lo rende sicuramente preferibile al modello di Baldwin-Lomax per

la chiusura nelle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds.


Capitolo IV

Modello numerico

Il metodo numerico proposto in questo lavoro si basa sull’accoppiamento dell’equazione

di continuita con le tre equazioni relative al bilancio della quantia di moto nello spazio.

Quest’accoppiamento da origine ad una equazione di Poisson per la pressione la cui risoluzione

e legata allo schema di discretizzazione spazio temporale adottato (volumi finiti, differenze

finite, elementi finiti). Nel caso delle differenze finite applicate ad un flusso incomprimibile

si pone un problema di instabilita numerica dovuto essenzialmente alla rappresentazione

“nodale” delle grandezze fluidodinamiche. Per ovviare a quest’inconveniente Sotiropoulos

ed Abdallah [47] propongono una metodologia di calcolo in grado di ottenere una soluzione

del campo di moto coerente con il bilancio di massa. In effetti Sotiropoulos con la sua

tesi di dottorato dimostra l’efficacia del metodo per domini monoblocco con l’utilizzo del

modello di turbolenza di Baldwin-Lomax [40]. In questo lavoro viene utilizzato in linea

di massima un approccio analogo. Le differenze sostanziali riguardano l’utilizzo di co-

ordinate cartesiane anziche cilindriche, approccio zonale (multiblocco), acceleratori della

convergenza (Multilevel, Multigrid), modello di turbolenza “completo”(Spalart-Allmaras)

opportunamente modificato per i flussi navali.

IV–1

IV.1 Operatori di discretizzazione spaziale IV–2

IV.1 Operatori di discretizzazione spaziale

La risoluzione delle equazioni di bilancio avviene in un dominio computazionale reso rettan-

golare grazie al passaggio in coordinate curvilinee. In fig. IV.1 viene mostrata la suddetta

trasformazione per un dominio monoblocco intorno ad una generica carena. La discretiz-

zazione spaziale (II.5 e III.23) viene effettuata utilizzando delle formule alle “differenze finite”

a tre punti, di tipo “centrato”, sia per i termini in cui compare una derivata del tipo ∂φ/∂ξj,

che per i termini diffusivi, in cui compare una derivata del tipo ∂2φ/∂ξj2.

Figura IV.1: Dominio fisico e dominio computazionale.

I termini “convettivi”, del tipo U j (∂φi/∂xj) , vengono discretizzati invece utilizzando formule

alle differenze di tipo upwind del secondo ordine. Dal momento che le formule upwind

presentano comunque degli effetti di “diffusivita numerica” ( si veda [19] e [40]), nello schema

presentato in questa Tesi non e stato introdotto alcun termine di “viscosita artificiale al fine

di stabilizzare la convergenza dell’algoritmo di risoluzione delle equazioni del moto.

Si indichi con la tripletta (i, j, k) un generico nodo della griglia strutturata all’interno di

Cap. IV. Modello numerico F. Capizzano


Figura IV.2: Un generico nodo (i, j, k) , di coordinate curvilinee(ξi,j,k, ηi,j,k, ζi,j,k) , ed uno degli half–nodes, di indici(i + 1

2, j − 1

2, k) .

un generico blocco computazionale, si veda la fig. IV.2. I termini convettivi nelle equazioni

di bilancio vengono approssimati secondo la formula alle differenze

(U ∂φ

∂ξ

)i,j,k

=1

2(|Ui,j,k|+ Ui,j,k) δ−ξ φi,j,k +

1

2(|Ui,j,k| − Ui,j,k) δ+

ξ φi,j,k (IV.1)

in cui φ rappresenta la grandezza trasportata (φ = uj nel bilancio di quatita di moto, φ = ν

nell’equazione di Spalart-Allmaras).

I termini diffusivi nelle equazioni in coordinate curvilinee ( II.14 e III.23) assumono la

forma alle differenze

∂

∂ξ

[νt

J

(ξ2x + g11

) ∂u

∂ξ

]i,j,k

= δξ

[νt

J

(ξ2x + g11

)δξui,j,k

](IV.2)



∂

∂ξ

[1

J

(1

Re+ ν

)g11∂ν

∂ξ

]i,j,k

= δξ

[1

J

(1

Re+ ν

)g11δξνi,j,k

](IV.3)

Per i termini di pressione si usa la formula alle differenze

(ξx

∂P

∂ξ

)i,j,k

= (ξx)i,j,k δξPi,j,k (IV.4)

e analogamente per la diffusione non conservativa nel bilancio di ν (cfr.eq. III.23)

(ξx

∂ν

∂ξ

)i,j,k

= (ξx)i,j,k δξνi,j,k (IV.5)

Gli “operatori di differenza” che compaiono nelle sopraelencate espressioni sono

δ±ξ ( )i,j,k = ± 1

2∆ξ[−3( )i,j,k + 4( )i±1,j,k − ( )i±2,j,k] (IV.6)

δξ( )i,j,k =1

2∆ξ[( )i+1,j,k − ( )i−1,j,k] (IV.7)

δξ( )i,j,k =1

∆ξ

[( )i+1/2,j,k − ( )i−1/2,j,k

](IV.8)

Le quantita metriche e lo Jacobiano della trasformazione geometrica tra coordinate

cartesiane e coordinate curvilinee vengono scritte per convenienza senza pedici ma e sottin-

teso che i loro valori sono valutati nel grid–point (i, j, k) utilizzando formule alle differenze

centrate a tre punti. Nel caso dei termini diffusivi in cui compaiono delle derivate seconde e

necessario valutare tali quantita negli half–nodes ((i + 12, j, k) , (i, j + 1

2, k) , ecc.); si procede

allora effettuando una media tra i corrispondenti valori nei nodi circostanti cfr.fig. IV.2 come

suggerito in [40]. Nei termini diffusivi IV.2 e IV.3, e richiesta la valutazione delle grandezze

νt e ν anch’esse interpolate negli half–nodes.


IV.2 Integrazione nel tempo IV–5

IV.2 Integrazione nel tempo

Le equazioni del moto stazionario sono risolte secondo un approccio detto “pseudo-

instazionario”, o time-marching, in cui la variabile temporale rappresenta un parametro di

iterazione. Per integrare nel tempo il sistema di equazioni alle differenze ricavato applicando

le formule suddette in ciascun nodo della griglia viene utilizzato uno schema “esplicito del tipo

Runge–Kutta ad n stadi. Questo schema appartiene alla famiglia dei cosiddetti Multistage

Time–Stepping Schemes, introdotti per la prima volta da Jameson [22] per la risoluzione

delle equazioni di Eulero e di Navier–Stokes per flussi comprimibili. Gli autori del metodo

numerico qui presentato sono stati i primi ad utilizzare uno schema di time–stepping esplicito

a piu stadi per la soluzione delle equazioni del moto di un fluido incomprimibile, si veda [47],

in tre dimensioni ed in coordinate curvilinee generalizzate. Un’analisi delle caratteristiche

di stabilita di questo schema numerico e presentata in [40].

Si definisca un operatore di divergenza discreta D(·) come

D (Qi,j,k) = J

[δξ

(UJ

)i,j,k

+ δη

(VJ

)i,j,k

+ δζ

(WJ

)i,j,k

](IV.9)

Applicando lo schema di Runge–Kutta a quattro stadi al sistema di equazioni del moto

(II.13)–(II.14), si ottiene

D(Q `

i,j,k

)= 0 (IV.10)

Q ì,j,k = Q n

i,j,k − α` ∆ti,j,k R `−1i,j,k (IV.11)

per ` = 1, 2, 3, 4. Nelle equazioni appena scritte il pedice n denota il passo temporale corrente,

al quale la soluzione numerica e nota, mentre ` denota il “livello” o “stadio” all’interno dello

schema di avanzamento della soluzione dal passo n (` = 1) al passo temporale successivo n+1

(` = 4). I coefficienti di peso α` assumono i valori seguenti: α1 = 1/4, α2 = 1/3, α3 = 1/2,

α4 = 1. Infine, il termine R nell’equazione (IV.11) denota il “residuo” dell’equazione della

quantita di moto (II.14) ed e definito come


IV.3 Metodo di Accoppiamento fra campo di moto e campo di pressioni IV–6

R = A∂Q

∂ξ+ B

∂Q

∂η+ C

∂Q

∂ζ+ H − χ

[J

(∂E1

v

∂ξ+

∂E2v

∂η+

∂E3v

∂ζ

)](IV.12)

nel nodo (i, j, k). L’incremento temporale ∆ti,j,k e il cosiddetto Local Time Step. Esso

viene valutato localmente, anziche essere unico per tutti i grid–points, al fine di accrescere il

“rateo” di convergenza complessivo dell’algoritmo di risoluzione di tipo time–marching, cfr.

[22], e viene definito come

∆ti,j,k = CFL ·min √g11,√

g22,√

g33 (IV.13)

Nella (IV.13) il termine CFL rappresenta il cosiddetto numero di Courant–Fridrichs–Lewis o

Courant number. Esso viene mantenuto costante per tutti i nodi al fine di rendere massimo lo

smorzamento dell’errore numerico durante le iterazioni dell’algoritmo di risoluzione. Il CFL

e un parametro fondamentale per la convergenza, soprattutto in schemi espliciti come quello

qui introdotto. Inoltre, nella (IV.13), le quantita g11, g22, g33 rappresentano gli elementi

diagonali del tensore metrico controvariante [gij] = [gij]−1

. L’esistenza di [gij]−1

e possibile,

in ogni nodo, solo se Ji,j,k 6= 0.

IV.3 Metodo di Accoppiamento fra campo di moto e

campo di pressioni

Il sistema (IV.10)–(IV.11), cosı come e scritto non puo essere direttamente integrato nel

tempo per l’assenza di termini in cui compaia la derivata temporale della pressione.

La pressione in flussi incomprimibili perde il suo carattere di grandezza termodinamica.

Inoltre l’equazione di continuita, che nasce come equazione di bilancio di massa, per flussi

incomprimibili diventa semplicemente un vincolo cinematico per il solo campo delle velocita.

La pressione in questo caso va riguardata come una grandezza scalare, un campo scalare, il cui

gradiente ha il principale compito, attraverso l’equazione della quantita di moto, di assicurare

che il campo delle velocita sia indivergente. In tal senso si asserisce che solo le differenze

di pressione sono importanti in simulazioni di flussi incomprimibili [12]. Quindi l’equazione



di continuita discreta (IV.10) verra rimpiazzata da un’equazione discreta equivalente che

fornisca, al passo successivo, dei valori di pressione che assicurino una distribuzione di velocita

a divergenza (discreta) nulla. Una tale equazione per la pressione avra delle condizioni al

contorno alla Newmann.

Nello schema numerico presentato in questo capitolo, come in quello implementato nel

codice di calcolo SHIP3D–MB, la disposizione delle incognite rispetto ai nodi della griglia

e di tipo non–staggered, cfr. [12], sia per quanto riguarda le componenti di velocita che la

pressione. Cioe le incognite sono considerate “collocate” effettivamente nei nodi della griglia,

a differenza di altri metodi in cui l’associazione delle incognite e di tipo diverso. Sotiropoulos

ed Abdallah [47] hanno dimostrato che il particolare trattamento della pressione illustrato

piu avanti permette di ottenere delle soluzioni regolari, ovvero soluzioni in cui vengono

smorzate le oscillazioni derivanti da eventuali comportamenti instabili di tipo checkboard e

che soddisfano l’equazione di continuita entro limiti accettabili di accuratezza.

Se si sviluppano le tre equazioni scalari implicate dalla (IV.11) si ha

u ì,j,k = u n

i,j,k − α` ∆ti,j,k[F 1

i,j,k + (ξxδξ + ηxδη + ζxδζ) Pi,j,k

]`−1(IV.14)

v ì,j,k = v n


i,j,k + (ξyδξ + ηyδη + ζyδζ) Pi,j,k

]`−1(IV.15)

w ì,j,k = w n


i,j,k + (ξzδξ + ηzδη + ζzδζ) Pi,j,k

]`−1(IV.16)

dove F ri,j,k contiene le approssimazioni discrete dei termini convettivi e viscosi presenti nell’e-

quazione scalare della quantita di moto per la componente lungo ξr. Differenziando rispetto

a ξ, η e ζ , rispettivamente, le tre equazioni appena scritte e sommando, tenendo anche conto

dell’equazione di continuita (IV.10), si ottiene la seguente equazione discreta di Poisson per

la pressione (Discrete Pressure Poisson Equation)

J∆ (Pi,j,k)`−1 =

1

α`

D(Q `

i,j,k

)− Jσ `−1

i,j,k (IV.17)

con ∆(·) l’operatore di Laplace discreto in coordinate curvilinee definito come



∆ (Pi,j,k) =

δξ

[∆t

J

(g11δξ + g12δη + g13δζ

)]+ (IV.18)

δη

[∆t

J


)]+

δζ

[∆t

J


)] Pi,j,k

e

σi,j,k = δξ

[∆t

J

(ξxF

1 + ηxF2 + ζxF

3)]

i,j,k

+ (IV.19)

δξ

[∆t

J

(ξyF

1 + ηyF2 + ζyF

3)]

i,j,k

+

δξ

[∆t

J

(ξzF

1 + ηzF2 + ζzF

3)]

i,j,k

L’operatore applicato alla pressione e scomponibile in due parti

∆ (Pi,j,k) = L (Pi,j,k) +N (Pi,j,k) (IV.20)

in cui L (·) contiene i soli termini diagonali dell’equazione (IV.18)

L (Pi,j,k) =

δξ

(g11∆t

Jδξ

)+ δη

(g22∆t

Jδη

)+ δζ

(g33∆t

Jδζ

)Pi,j,k (IV.21)

mentre N (·) contiene i rimanenti termini “incrociati” che risultano in generale dalla non

ortogonalita locale della griglia.

L’equazione (IV.17) e un’equazione ellittica del secondo ordine per la pressione. Essa

puo sostituire l’equazione di continuita (IV.10). Per griglie non–staggered ovvero collocated

il sistema (IV.17)–(IV.11), cosı come e stato derivato, risulta instabile, cfr. [12] (checkboard

instability), e deve essere corretto al fine di garantire la regolarita delle soluzioni numeriche

e la stabilita in generale dell’intero algoritmo iterativo di risoluzione.

Riordinando i termini dell’equazione (IV.10), viene proposto un approccio in cui il

campo di pressione al passo di tempo n + 1 e ottenuto attraverso la seguente riformulazione

dell’equazione di continuita



D(Q `

i,j,k

)= ε J

[L

(P `−1

i,j,k

)− L

(P `−1

i,j,k

)](IV.22)

in cui ε e una costante positiva (ε ≤ 1), introdotta al fine di controllare il valore del termine

di “sorgente di massa artificiale” a secondo membro. La definizione dell’operatore L (·) e

analoga a quella dell’operatore L (·), eccetto il fatto che nel primo vengono applicati gli

operatori di differenza agli half–nodes, cfr. eqq. (IV.8) e (IV.21). Tale definizione viene

introdotta per evitare le classiche instabilita dovute a campi di pressione che presentano un

andamento noto in letteratura col nome di odd–even decoupled pressure field. Nel contributo

di massa artificiale a secondo membro della (IV.22) compaiono tipicamente solo i termini

diagonali degli operatori, essendo essi sufficienti a garantire la regolarita della pressione.

In termini degli operatori di differenza, la sorgente di massa artificiale si scrive nella

forma

ε J[L

(P `−1

i,j,k

)− L

(P `−1

i,j,k

)]= −

ε

4J

∆ξ2δξξ

(g11∆t

Jδξξ

)+ (IV.23)

∆η2δηη

(g22∆t

Jδηη

)+

∆ζ2δζζ

(g33∆t

Jδζζ

) Pi,j,k

dove

δξξ( )i,j,k =1

∆ξ2

[( )i+1,j,k + 2( )i,j,k + ( )i−1,j,k

](IV.24)

L’equazione finale, detta Corrected Discrete Pressure Poisson Equation, e la seguente

(1− ε)L(P `−1

i,j,k

)+ εL

(P `−1

i,j,k

)+N

(P `−1

i,j,k

)=

1

α`

D(Q n

i,j,k

)− σ `−1

i,j,k (IV.25)

e puo essere sostituita, incorporando le equazioni discrete (IV.14)–(IV.15)–(IV.16), a primo

membro della (IV.22).


IV.4 Condizioni al contorno IV–10

IV.4 Condizioni al contorno

Se un blocco computazionale viene considerato come una regione dello spazio per la quale si

pone un problema fluidodinamico differenziale allora le condizioni al contorno si riferiscono

a tutte le sue facce. In generale, per le interfacce fra due blocchi si parla di “condizioni al

contorno interne” o di “condizioni di interfaccia”, cioe le condizioni al contorno corrispon-

dono all’imporre, nei nodi dell’interfaccia, il verificarsi delle equazioni che reggono il moto

all’interno del dominio fluido. In pratica le condizioni al contorno standard sono applicate

a quelle facce dei blocchi computazionali che appartengono alla frontiera del dominio di

calcolo. Si parla in quel caso anche di “condizioni al contorno esterne”.

Per fissare le idee, si assuma che la generica superficie di contorno del dominio di calcolo

corrisponda, in coordinate curvilinee, all’equazione: ζ = 0. Nel codice di calcolo SHIP3D–

MB la condizione al contorno per la pressione e una condizione alla Newmann. Essa si

ricava direttamente dall’equazione della quantita di moto, con l’approssimazione valida as-

intoticamente per 1/Ren → ∞ e tenendo conto della condizione di no–slip per la velocita

g13Pξ + g23Pη + g33Pζ = f(u, v, w) (IV.26)

dove f(u, v, w) e una funzione nota una volta imposte le condizioni al contorno sulle veloc-

ita. La discretizzazione della (IV.26) si ottiene utilizzando una formula alle differenze non

centrata (one–sided) per la derivata nella direzione ζ e delle formule centrali per le direzioni

rimanenti.

In corrispondenza delle pareti solide viene implementata la condizione di no–slip per le

componenti di velocita: u = v = w = 0.

Per le pareti dei blocchi appartenenti alle cosiddette “superfici di far–field”, o “campo

lontano”, in cui le condizioni del flusso sono praticamente quelle di flusso indisturbato, si

impongono le condizioni: uζζ = vζζ = wζζ = 0 .

In corrispondenza di superfici a flusso assegnato, note anche come “pareti di inlet”, le

componenti di velocita vengono specificate a partire da dati sperimentali disponibili per il


IV.5 Algoritmo di risoluzione numerica IV–11

problema da simulare, oppure da correlazioni basate sui risultati teorici del problema della

“lastra piana”.

Per le superfici attraversate in uscita dal fluido, nel campo lontano, si impongono ancora

le condizioni: uζζ = vζζ = wζζ = 0 .

In corrispondenza di superfici di simmetria si impone infine: g13fξ + g23fη + g33fζ = 0,

per f = u, v, w.

Nei nodi appartenenti alle interfacce tra i blocchi, l’ordine dell’accuratezza globale dello

schema numerico viene conservato essendo implementato effettivamente lo stesso sistema di

formule valide per i nodi interni ai blocchi, a patto che la griglia in prossimita delle interfacce

sia sufficientemente regolare. L’implementazione delle formule alle differenze finite presentate

fin qui e un compito non banale, dal momento che in generale l’orientamento e la famiglia

delle coordinate curvilinee cambiano nel passaggio da un blocco a quello adiacente. A tal

proposito si veda il par. IV.6.1.

Limitatamente al caso della lastra piana profondamente immersa si e introdotto il con-

cetto di “parete periodica” per simulare una condizione bidimensionale nota col nome di

“lastra piana infinita”. Si tratta di imporre l’uguaglianza delle grandezze fluidodinamiche

sulle pareti ad η = y = cost. in modo da simulare numericamente la condizione geometrica

di lunghezza trasversale infinita (cfr.fig. V.1). In questo modo e possibile studiare con un

dominio monoblocco 3D un caso tipicamente bidimensionale (cfr.par. V.1).

IV.5 Algoritmo di risoluzione numerica

Si assuma di conoscere la soluzione numerica al livello di tempo n. La soluzione al livello

successivo n + 1 si ottiene seguendo, per ciascun nodo, il seguente procedimento:

1. Si calcolano i termini F 1, F 2, F 3, cfr. eqq. (IV.14)–(IV.15)–(IV.16), allo stadio `−1.

2. Per il calcolo della pressione, si costruisce il secondo membro (IV.23) dell’equazione di

Poisson corretta.

3. Si risolve iterativamente l’equazione (IV.25), con un algoritmo del tipo point successive


IV.6 Schema multiblocco IV–12

relaxation method, [19], ottenendo un campo di pressione allo stadio `− 1. Dato che si

desidera conoscere la soluzione stazionaria, per ciascun passo di tempo, detto in gergo

outer iteration, vengono eseguiti solo pochi passi di integrazione dell’equazione della

pressione, inner iteration, ipotizzando che alla fine delle iterazioni sul tempo anche

l’algoritmo di soluzione dell’equazione per la pressione sia andato a convergenza.

4. Utilizzando i termini F 1, F 2, F 3, ed aggiungendovi i gradienti di pressione H 1, H 2,

H 3, valutati una volta noto il nuovo campo di pressione, cfr. (IV.12), vengono calcolati

infine i residui R delle equazioni della quantita di moto.

5. Vengono aggiornate le componenti di velocita attraverso le equazioni di time–stepping

(IV.14)–(IV.15)–(IV.16).

In un algoritmo di Runge–Kutta a quattro stadi le azioni precedenti, da 1 a 5, vengono

ripetute per ` = 1, . . . , 4, essendo Q n ≡ Q `=0 e Q n+1 ≡ Q `=4 . L’algoritmo di time–

marching si ferma quando la norma della differenza tra le due soluzioni |Q n+1 −Q n| scende

al di sotto di un dato valore di soglia.

Per abbattere i tempi di calcolo, la parte dei termini F 1, F 2, F 3 che contiene la

viscosita viene valutata solo al primo stadio dell’algoritmo di Runge–Kutta. Analogamente,

anche il passo di integrazione dell’equazione di Poisson per la pressione viene effettuato solo

per ` = 1 , senza un significativo peggioramento del rateo di convergenza dell’algoritmo

risolutivo.

IV.6 Schema multiblocco

Lo scafo di una nave e in genere una superficie liscia ed il dominio reale associato allo

scafo puo essere trasformato piuttosto facilmente in una parallelepipedo rettangolare in cui

effettuare calcoli numerici. I flussi navali sono quindi buoni candidati per griglie strutturate

monoblocco, e da tempo gran parte dei metodi RANS implementano griglie di questo tipo.

Nei seminari del 1990 e del 1994 [31], [25] tutti i metodi usavano griglie strutturate

monoblocco. Esistono, comunque, molteplici ragioni per introdurre griglie piu avanzate.



Benche lo scafo in se risulti liscio, presenta spesso appendici idrodinamiche di ogni genere.

Queste vengono di solito trascurate, ma per effettuare simulazioni piu spinte si deve consid-

erare la presenza di un timone, di supporti porta albero, carenature di sentina, pinne, etc.

Una griglia monoblocco che tenga conto di tutte queste appendici presenta necessariamente

punti singolari, spigoli davanti e dietro lo scafo e cio richiede un trattamento speciale da

parte del solutore. Inoltre le griglie strutturate monoblocco presentano spesso un gran nu-

mero di punti griglia in zone in cui non ce ne bisogno e questo pregiudica una alta qualita

di griglia in prossimita delle estremita dello scafo.

Tali considerazioni sono la causa del crescente interesse nello sviluppo di metodi basati su

tecniche di grigliatura meno restrittive. Un esempio e rappresentato dalle griglie totalmente

non strutturate, comuni in meccanica delle strutture. Tali tecniche offrono molti vantaggi

ma necessitano di un lavoro maggiore per la costruzione del solutore il quale deve tener

conto delle informazioni di connessione e deve gestire grosse matrici sparse. Inoltre risulta

molto complicato sviluppare schemi di ordine superiore e tecniche di accelerazione della

convergenza del tipo multigrid. Griglie totalmente non strutturate risultano inappropriate

anche per strati limite agli alti numeri di Reynolds, dove per esperienza sono presenti forti

gradienti in direzione normale alla superficie. Questi svantaggi sono spesso controbilanciati

dal vantaggio di una certa flessibilita per applicazioni CFD di carattere generale per le

quali l’utilizzo di griglie non strutturate puo certamente rappresentare una valida alternativa

alle griglie strutturate monoblocco. Tuttavia non sembra essere il caso dell’idrodinamica

computazionale in cui hanno preso piede i metodi basati sull’utilizzo di griglie strutturate

multiblocco. Non sorprende il fatto che questo sviluppo sia cominciato con l’idrodinamica

sottomarina, in cui le appendici giocano un ruolo importante.

La complessita di gestione di una griglia multiblocco, anche se C0–continuous ma senza

particolari vincoli topologici (quindi dotata di facce compound), risulta comunque sostenibile

quando si voglia sviluppare una tecnologia di soluzione delle equazioni di Navier–Stokes in

domini di calcolo complessi e basata su discretizzazione con griglie strutturate.

Fin dalla prima stesura del codice SHIP3D–MB e stata prevista per il dominio di calcolo

la suddivisione in blocchi, in ognuno dei quali costruire una griglia strutturata. Questo



accorgimento possiede un triplice vantaggio:

• approccio zonale: in ogni zona del campo di moto si puo decidere quale modello sia

piu conveniente applicare in base alle caratteristiche che il flusso presenta localmente

(flusso non viscoso, viscoso laminare, viscoso turbolento, ecc.);

• la suddivisione in blocchi permette di avere, ove possibile, una griglia meno fitta a

vantaggio del risparmio di memoria e della velocita di calcolo. In altre parole la tecnica

multiblock puo vedersi come un metodo per accelerare la convergenza alla soluzione

stazionaria;

• si e in grado di trattare geometrie tridimensionali complesse con appendici idrodi-

namiche e configurazioni multiscafo (catamarani e trimarani).

L’insieme dei blocchi computazionali e degli enti geometrici che definiscono una griglia multi-

blocco viene qui chiamato col nome di topologia della griglia multiblocco o semplicemente

topologia.

L’elemento topologico fondamentale e il blocco computazionale o semplicemente blocco.

Il blocco corrisponde ad una distribuzione tridimensionale strutturata di nodi di una griglia,

localizzata in una regione dello spazio all’interno del dominio di calcolo, i cui contorni definis-

cono un cuboide. Il cuboide e individuato da 6 facce (faces), 12 spigoli (edges) ed 8 vertici

(vertices). In fig. IV.3 sono rappresentati tutti gli elementi topologici che appartengono ad

un blocco. La stessa figura definisce anche le convenzioni di numerazione delle diverse entita

rispetto alla posizione del sistema di indici, detto anche spazio computazionale, (ξB, ηB, ζB) .

Ad esempio, le facce che delimitano il blocco sono ordinate per coppie, a due a due opposte.

Per una trattazione piu approfondita del metodo si rimanda a De Marco [10].

Le tecniche multiblocco attuali offrono maggiore flessibilita rispetto alle griglie monobloc-

co, ma sono ancora limitate dalla necessita di interfacciare i contorni comuni dei singoli

blocchi.



Figura IV.3: Nomenclatura e convenzioni di numerazione degli el-ementi topologici che definiscono un generico bloccocomputazionale.

IV.6.1 Trattamento dell’interfaccia fra blocchi

L’uso di tecniche multiblocco introduce nuove zone di frontiera “non fisiche” all’interno

del dominio di calcolo. Lo sviluppo di un metodo che assicuri un appropriato scambio di

informazioni fra i blocchi e di cruciale importanza per l’accuratezza della soluzione.

Nel caso di codici come questo, l’uso di tecniche di discretizzazione alle differenze finite

non-staggered costringe il progettista ad ideare un algoritmo che risolva le equazioni anche

nei nodi appartenenti all’interfaccia fra i blocchi utilizzando gli stessi operatori applicati ai

nodi interni.

In un metodo ai volumi finiti si ricorre al concetto di ghost cell ([4], [12]) il che garantisce

alle celle di frontiera lo stesso ordine di accuratezza delle celle interne. Lo stesso concetto

non puo applicarsi ai metodi alle differenze in quanto i nodi sull’interfaccia appartengono

ad entrambi i blocchi. Qualsiasi tecnica di interpolazione fra i nodi interni di due blocchi



adiacenti avrebbe come conseguenza la mancata risoluzione delle equazioni del moto nei nodi

di interfaccia.

Dovendo soddisfare le equazioni del moto ai nodi di interfaccia con la stessa accuratezza

dei nodi interni si puo pensare di estendere gli schemi numerici a nodi fittizi detti ghost

vertex situati oltre l’interfaccia del generico blocco come mostrato in fig. IV.4.

Figura IV.4: Trattamento dell’interfaccia fra blocchi.

In altre parole ogni blocco e costituito da una zona di frontiera ed una zona interna organiz-

zate in modo tale che la zona di frontiera di un blocco sia posizionata completamente dentro

la zona interna del blocco adiacente. Questo sistema e sufficiente ad assicurare che, nei nodi

situati all’interfaccia, le equazioni del moto vengano discretizzate usando esattamente gli

stessi “operatori di differenza” usati per i nodi interni.

Ad ogni iterazione viene quindi assegnato al ghost vertex il valore della variabile fluido-

dinamica (velocita, pressione, eddy-viscosity) del nodo interno al blocco adiacente e questo


IV.7 Tecniche di accelerazione della convergenza IV–17

garantisce lo scambio di informazioni fra blocchi. Questo metodo non introduce alcun

errore nella soluzione stazionaria e produce variazioni molto piccole di tutte le variabili

caratteristiche del flusso attraverso le interfacce fra blocchi.

IV.7 Tecniche di accelerazione della convergenza

Come osservato nel par. I.3 una buona simulazione idrodinamica 3D richiede un numero

di grid points dell’ordine di 105 ÷ 106. Lo sviluppo informatico pur rendendo realistiche

simulazioni su configurazioni navali complesse richiede tempi di calcolo ancora elevati. Per

contenere entro limiti accettabili la fase di risoluzione numerica delle equazioni del moto si

ricorre spesso ad algoritmi per l’accelerazione del processo di convergenza. Tali considerazioni

acquistano ancor piu valore se si pensa che all’aumentare del numero di Reynolds lo strato

limite richiede un infittimento dei punti griglia sempre maggiore.

Il vantaggio nell’implementazione di tali acceleratori risulta evidente se si pensa che

anche le fasi di ricerca degli errori e convalida del solutore risultano piu snelle. Inoltre con

le tecniche multilevel e multigrid si ha la possibilita di effettuare simulazioni con griglie di

fittezza via via crescente partendo da un unica griglia opportunamente progettata. In altre

parole si e in grado di raffinare la soluzione numerica senza dover riprogettare ex novo griglie

piu fitte: basta generarne una con una fittezza molto elevata stabilendo in seguito quale delle

sottogriglie meno fitte risponde meglio alle nostre esigenze.

IV.7.1 Multilevel

Si tratta di una tecnica che permette il trasferimento del problema numerico da un dominio

computazionale con pochi punti griglia ad uno piu fine in cui il numero di punti griglia e

raddoppiato. Si parte dalla griglia piu grossolana coarse per poi passare tramite un op-

portuno operatore di prolungamento alla griglie piu fine. Supponiamo di avere due livelli

di griglie: Lc e Lf (fig. IV.5). Detto W il vettore delle variabili fluidodinamiche incognite

W = (u, v, w, P, ν)T, il suo trasferimento dalla griglia coarse a quella fine si scrive 1

1Per rendere piu leggibile la formulazione tensoriale talvolta si utilizza la notazione in grassetto. Quindil’espressione A(W ) = f equivale a scrivere A ·W = f.



Wf ← IcfW

c (IV.27)

in cui Icf e l’operatore di prolungamento basato su una interpolazione 3D.

Figura IV.5: Trasferimento delle incognite dalla griglia coarse allagriglia fine.

Nel caso di discretizzazione alle differenze finite (vertex-centered) e sconsigliabile una inter-

polazione lineare soprattutto in flussi che contengono una certa simmetria. Al contrario una

interpolazione bilineare o trilineare riproduce esattamente anche le caratteristiche simmet-

riche del problema [50]. Per SHIP3D–MB si e scelto di utilizzare un operatore trilineare il

cui stencil, e riportato in fig. IV.6.

La routine che si occupa del prolungamento delle variabili non fa altro che assegnare ai nodi

della griglia fine opportune medie pesate delle quantita associate ai nodi della griglia coarse



(a) Operatore P 0. (b) Operatore P 1.

(c) Operatore P.

Figura IV.6: Operatore di prolungamento P: interpolazione trilin-eare.

utilizzando i “pesi” mostrati in fig. IV.6(c). Nelle figg. IV.6(a) e IV.6(b) vengono riportati

gli schemi relativi alla definizione di P

P0 =1

8

2 4 24 8 42 4 2

P1 =1

8

1 2 12 4 21 2 1

(IV.28)

In SHIP3D–MB i livelli di griglia sono organizzati come mostrato in fig. IV.7. Ad esempio

per il generico punto Pf si ha



Wf2i,2j,2k =

1

8(W c

i,j,k + W ci+1,j,k + W c

i,j+1,k + W ci,j,k+1 +

W ci+1,j+1,k + W c

i+1,j,k+1 + W ci,j+1,k+1 + W c

i+1,j+1,k+1) (IV.29)

in cui Wf e Wc rappresentano la generica variabile fluidodinamica rispettivamente su griglia

fine e coarse. Analogamente per il punto E ad “est” di Pf si ha

Wf2i+1,2j,2k =

1

4(W c

i+1,j,k + W ci+1,j,k+1 + W c

i+1,j+1,k + W ci+1,j+1,k+1) (IV.30)

mentre per NE a “nord-est” di Pf

Wf2i+1,2j+1,2k =

1

2(W c

i+1,j+1,k + W ci+1,j+1,k+1) (IV.31)

e cosı via.

Per i nodi fine che coincidono con i nodi coarse si opera una semplice “iniezione”

Wf2i−1,2j−1,2k−1 = W c

i,j,k (IV.32)

La gestione dei livelli di griglia non solo permette il controllo del grado di approssimazione

raggiunto dalla soluzione ma rende piu robusto il processo di convergenza in quanto, nel pas-

saggio dalla griglia coarse a quella fine, assegno un campo di moto preesistente migliorando

la qualita della convergenza.

IV.7.2 Multigrid

Per la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes sono richiesti degli schemi di discretizzazione

sufficientemente accurati e delle griglie molto fitte. L’alta accuratezza puo essere ottenuta



Figura IV.7: Gestione delle griglie coarse e fine in SHIP3D–MB

solo a spese dell’efficienza computazionale dell’algoritmo di risoluzione. Le tecniche Multigrid

sono tipicamente adoperate per accelerare la convergenza verso soluzioni stazionarie e per

incrementare l’efficienza dello schema numerico.

Inizialmente sviluppati per la risoluzione di problemi lineari, i metodi a griglie multiple

sono stati applicati con successo a problemi di fluidodinamica per la prima volta da Jameson

per flussi non viscosi [23] e successivamente per flussi viscosi [34]. L’idea che e alla base

delle strategie multigrid consiste nel trasferire alcuni dei compiti associati alla procedura di

risoluzione ad una sequenza di griglie sempre meno fitte.

Fissata una griglia con il desiderato livello di accuratezza (griglia fine) si introducono

successivamente griglie via via piu grossolane ottenendole dalla griglia di partenza tramite

eliminazione alternata dei nodi (griglie coarse). Avendo a disposizione, allora, piu livelli di

griglia, si puo pensare di demandare alla griglia piu accurata l’abbattimento della parte ad



alta frequenza dell’errore tra soluzione di nmo tentativo e soluzione esatta, ed alle griglie piu

grossolane l’abbattimento della parte a bassa frequenza. In tal modo, essendo effettuato lo

smorzamento dei modi a bassa frequenza su una griglia con un numero minore di punti, si

ottiene una accelerazione della convergenza del processo iterativo.

Come risultato si ottengono (i) un aumento dei passi temporali sulle griglie piu grossolane

senza violare i limiti di stabilita dello schema, (ii) una riduzione del numero di operazioni

richieste e quindi (iii) una maggiore velocita di convergenza.

Il metodo multigrid si puo interpretare come una tecnica generale applicabile a diverse

classi di problemi fluidodinamici se del loro carattere si tiene opportunamente conto nella

costruzione degli operatori di trasferimento da un livello di griglia all’altro [35].

Una tecnica multigrid deve sempre smorzare in maniera ottima tutte le frequenze dello spet-

tro dell’errore numerico associato allo schema di discretizzazione spaziale. Le alte frequenze

sono generalmente abbattute con poche iterazioni su una data griglia grazie alle proprieta

di smorzamento dell’errore caratteristiche dell’algoritmo di avanzamento nel tempo (l’RK

nel caso dello schema JST). Le basse frequenze sono abbattute invece grazie alla strategia

multigrid sulle griglie piu grossolane.

Per una trattazione accurata e completa della teoria dei metodi multigrid, che esula

dalle finalita della Tesi, e utile consultare il riferimento [50].

La strategia adottata e di tipo multiblock inside multigrid. Cio significa che il ciclo sui

blocchi e interno al ciclo sui livelli di griglia. E possibile usare un metodo Full Approximation

Storage (FAS), oppure, per ottenere un buon pre-condizionamento della soluzione di primo

tentativo sulla griglia fine, un metodo Full MultiGrid (FMG).

Full Approximation Storage Multigrid

Siano ancora Lf e Lc rispettivamente il livello di griglia fine e coarse. Indichiamo con indici

crescenti i livelli di griglia via via piu accurati essendo 1 l’indice della griglia piu grossolana.

Supponiamo di voler risolvere sul livello di griglia fine (Lf ) il problema non lineare stazionario

A(W ) = f (IV.33)



con A un generico operatore non lineare ed f termine noto. Indichiamo con R il residuo di

IV.33

R(W) = A(W )− f (IV.34)

Un ciclo FAS a V si basa sulla seguente procedura

(a) Ciclo FAS a V : γL = 1. (b) Ciclo FAS a W : γL = 2.

(c) Ciclo FAS a dente di sega: γL = 3.

Figura IV.8: Cicli FAS.



SUBROUTINE MG(WL, fL, L, γL)

1. IF (L=1) THEN

2. esecuzione di Niter rilassamenti al livello di griglia corrente L;

3. ELSE

4. esecuzione di NPRE rilassamenti al livello di griglia corrente L;

(a) restrizione del residuo sulla griglia L− 1

RL−1 ← ILL−1RL (IV.35)

(b) restrizione della soluzione sulla griglia L− 1

W0L−1 ← IL

L−1WL (IV.36)

(c) calcolo del temine noto sulla griglia L− 1

fL−1 ← RL−1

(W0

L−1

)− IL

L−1RL (IV.37)

(d) esegue γL cicli multigrid

FOR I = 1 to γL DO

MG(WL−1, fL−1, L− 1, γL)

END DO

(e) esegue il calcolo e il prolungamento della correzione

WL ←WL + IL−1L

(WL−1 −W0

L−1

); (IV.38)



END IF

5. esecuzione di NPOST iterazioni al livello di griglia corrente L;

END SUBROUTINE

La procedura descritta fa uso del concetto di ricorsione (previsto nel linguaggio di pro-

grammazione Fortran90 ) e in base all’intero γL da luogo a cicli FAS differenti. Se ad esempio

la griglia computazionale prevede quattro livelli di approssimazione, fissando γL = 1, 2, 3 si

ottengono rispettivamente i cicli a V , a W e a dente di sega mostrati in fig. .

L’operatore di prolungamento IL−1L e quello descritto nel par. IV.7.1 (cfr.fig. IV.6). La

restrizione del residuo e la restrizione della soluzione, che abbiamo indicato rispettivamente

con gli operatori IL−1L e IL−1

L si ottengono attraverso una semplice iniezione della variabile

corrente dal nodo fine al nodo coarse corrispondente [50]

Wci,j,k = W f

2i−1,2j−1,2k−1 (IV.39)

Lo schema Full Multigrid

Si consideri il livello di griglia iniziale Lin, con Lin compreso tra il livello di griglia piu coarse

Lc e quello piu fine Lf . Lo schema FMG consiste nell’applicare lo schema multigrid FAS a

partire dal livello di griglia Lin fino al livello Lf secondo lo schema

1. si assegna una soluzione di primo tentativo W0L sul livello di griglia L = Lin

2. FOR L = Lin to Lf − 1 DO

(a) esecuzione di Nc cicli FAS sul livello di griglia L, con l’ottenimento di una soluzione

WL;

(b) interpolazione, tramite l’operatore di prolungamento, della soluzione WL al livello

di griglia successivo



WL+1 ← ILL+1WL (IV.40)

END DO

3. esecuzioni di Nf cicli FAS sul livello di griglia finale.

Qualora si eseguisse tale schema effettuando cicli FAS ad un solo livello di griglia, che

coincidono, ovviamente, a delle semplici iterazioni sul livello di griglia corrente, lo schema

FMG si riduce semplicemente ad un refining di una soluzione di primo tentativo da una

griglia piu grossolana alla griglia finale, effettuando dei rilassamenti sulle griglie intermedie

che contribuiscono senz’altro ad ottenere una soluzione ben condizionata sulla griglia fine.

In altre parole si ritorna alla tecnica multilevel poc’anzi descritta anche nota come Nested

Iteration.

IV.7.3 Residual Averaging

Inoltre un certo carattere implicito gli deriva dall’utilizzo della tecnica del Residual Averaging

che, tra l’altro, aumenta la velocita di convergenza nella simulazione di flussi stazionari.

Allo schema di avanzamento del tempo proposto puo essere dato un carattere implicito

attraverso una tecnica nota con il nome di residual averaging o residual smoothing. L’ef-

fetto pratico risulta in una estensione dei limiti di stabilita dell’algoritmo RK. Inoltre viene

migliorata l’efficienza dei metodi di risoluzione a griglie multiple.

Al generico stadio “`”, il residuo calcolato nel vertice (i, j) viene sostituita da una

grandezza “mediata” R`

i,j. Il residuo mediato e legato a quello non mediato dalla formula

alle differenze fattorizzata

(1− εξ δ2

ξ

) (1− εη δ2

η

) (1− εζ δ2

ζ

)R

`

i,j = Rì,j (IV.41)


IV.8 Aspetti numerici IV–27

dove εξ, εη sono dei coefficienti. Per ottenere le incognite Ri,j dalla (IV.41) e necessario

risolvere un sistema lineare di equazioni con matrice tridiagonale per ciascuna direzione

coordinata.

Per un problema modello lineare ed unidimensionale si dimostra [23] che, detto σ∗ =

CFLmax il limite di stabilita dello schema di partenza, il numero di Courant σ dello schema

con residuo mediato deve essere tale che

εξ ≥1

4

( σ

σ∗− 1

)(IV.42)

In generale i coefficienti εξ, εη vengono calcolati vertice per vertice con formule ottimiz-

zate [34]. Osserviamo che i parametri di smoothing hanno ordine di grandezza unitario e

possono esser scelti in maniera indipendente per ogni direzione nello spazio.

IV.8 Aspetti numerici

Per evitare sprechi di memoria e limitare il tempo di una singola simulazione e prevista

una modalita di funzionamento detta di pre-processing per il calcolo preventivo di tutta una

serie di grandezze geometriche che serviranno per prove successive su una stessa geometria.

Ad esempio risulterebbe poco pratico valutare per ciascun ciclo di prove le distanze carat-

teristiche dei punti griglia dalle pareti solide. A tal proposito si e prevista una apposita

routine che calcola la distanza minima di ciascun nodo del dominio di calcolo dalla parete

solida piu vicina. La valutazione delle distanze puo avvenire anche attraverso i blocchi il

che permette l’utilizzo di domini sia monoblocco che multiblocco. Le distanze cosı trovate

sono quelle richieste dal modello di Spalart-Allmaras. Per il modello di Baldwin-Lomax e

necessaria una ulteriore procedura che effettui il sorting di tutti i punti del dominio ordi-

nandoli in base alla loro distanza da un prefissato punto sulla parete solida. Questo perche

il modello calcola la νe a partire dalla parete solida verso il bordo dello strato limite lungo

la normale geometrica. Chiaramente un modello del genere pone seri problemi informatici

nel caso lo si voglia implementare in uno schema multiblocco. In SHIP3D-MB e previsto il


IV.8 Aspetti numerici IV–28

modello algebrico solo per domini monoblocco; diversamente il modello ad una equazione e

utilizzabile anche in domini multiblocco.

La simulazione vera e propria avviene in modalita running dopo la lettura del file

contenente le informazioni geometriche calcolate in precedenza. Nell’algoritmo di risoluzione

numerica esposto nel par. IV.5 il primo passo consiste nel calcolo dei termini viscosi F 1, F 2,

F 3 ma solo al primo stadio della Runge-Kutta. Entrambi i modelli di turbolenza calcolano

il contributo νe a monte del ciclo di rilassamento delle equazioni del moto e richiedono il

calcolo preventivo della vorticita nei nodi interni al blocco. Nel modello di Baldwin-Lomax si

prevede una apposita routine che valuta la vorticita anche sulla parete solida. Per il modello

di Spalart-Allamras e prevista una procedura di rilassamento disaccoppiata da quella che

risolve le Navier-Stokes. In altre parole prima di risolvere le Navier Stokes al generico passo

di tempo n si effettua un ciclo Runge-Kutta sull’equazione di bilancio di ν. In questo modo

e possibile utilizzare un CFL turbolento in maniera indipendente dal CFL utilizzato per le

Navier-Stokes e di conseguenza si controlla meglio la stabilita di tutto il processo iterativo.

Infine dopo un certo numero di prove si e visto che utilizzando un valore asintotico per χ di

1.341946 [28] si evitano i problemi di instabilita insorti ponendo χ = 0.5 come consigliato

da Spalart.


Capitolo V

Risultati

Il progetto idrodinamico di una carena si basa sulla conoscenza delle caratteristiche del suo

campo di moto. Le prove sperimentali in vasca sono e continueranno ad essere il principale

strumento di indagine per le stime di resistenza ed efficienza propulsiva ma dobbiamo anche

riconoscere che la CFD si sta dimostrando un utile strumento di avanprogetto in campo

navale. I metodi numerici sono in grado di stimare almeno qualitativamente il comporta-

mento idrodinamico della carena sicche il progettista e in grado di apportare le opportune

modifiche per migliorarne le prestazioni.

Il flusso turbolento che si genera intorno alla geometria di una nave e alquanto complesso

a causa di separazioni del filetto fluido soprattutto in zone con forti gradienti di pressione e

ad elevate curvature della geometria. L’interesse e gli sforzi si concentrano principalmente

sulla previsione delle caratteristiche del flusso nella zona d’elica in cui l’efficienza propulsiva

peggiora a causa di grosse strutture vorticose. Detto cio si capisce quanto sia importante la

simulazione numerica nel processo di design e sviluppo di una carena navale.

In questo capitolo sono riportate una serie di simulazioni ottenute con il solutore vis-

coso SHIP3D–MB. Il test-case sulla lastra piana profondamente immersa ha lo scopo di val-

idare il metodo numerico proposto dimostrando contemporaneamente una buona robustezza

per un problema che spesso mette in difficolta anche i codici commerciali piu affermati.

V–1

V.1 Lastra piana infinita profondamente immersa V–2

Le soluzioni numeriche ottenute riguardano sia il regime laminare che quello turbolento in

domini monoblocco.

Le applicazioni in campo navale riguardano le carene HSVA tanker e Dyne tanker per

le quali e disponibile una ricca bibiliografia sia sperimentale che numerica. In alcuni casi

si sono tentate le prime simulazioni con griglie multiblocco e solo per mancanza di tempo

non si e riusciti ad effettuare ulteriori tests di verifica del multiblock. Tuttavia i risultati

sembrano incoraggianti.

Tutte le prove eseguite considerano la geometria completamente immersa in modo da trascu-

rare gli effetti della superficie libera dell’acqua.

Va detto che la realizzazione delle prove numeriche ha richiesto un massiccio impegno

intellettuale e tempi di messa in opera non trascurabili.

V.1 Lastra piana infinita profondamente immersa

La fase di convalida del codice ha richiesto molti sforzi innanzitutto per la focalizzazione

del test piu adatto ai nostri scopi. Il flusso laminare o turbolento su lastra piana isobarica non

e l’unico caso analiticamente risolto: basti pensare ai casi derivanti dall’equazione di strato

limite di Falkner-Skan ovvero ai flussi in condotti alla Couette e Poiseuille [39]. Tuttavia

la lastra piana, con una approssimazione molto spinta, puo vedersi come lo scafo di un

natante a curvatura e spessore nulli. Non a caso il coefficiente di resistenza d’attrito in vasca

viene stimato identificando la carena con una lastra piana di uguale lunghezza e superficie

bagnata. Si tratta di un caso molto difficile da simulare per via numerica a causa della

singolarita presenti al bordo d’attacco ed al bordo d’uscita.

Il primo passo e stato definire la topologia del problema posizionando una lastra piana

di lunghezza L e spessore infinitesimo sul fondo di un dominio a forma di parallelepipedo

come mostrato in fig. V.1.

Le pareti di inflow e outflow distano 3Lr dalle estremita della lastra mentre la parete superi-

ore detta di far–field dista 2Lr. Volendo simulare un fenomeno bidimensionale quale quello

della “lastra piana infinita isobarica” si e pensato di imporre condizioni di parete periodica

Cap. V. Risultati F. Capizzano


Figura V.1: Definizione del problema della lastra piana isobaricaprofondamente immersa

sulle facce laterali ad y = cost.. Una corrente di velocita asintotica Ui investe il bordo

d’attacco generando uno strato limite che si estende anche nella regione di scia e presenta

caratteristiche peculiari note analiticamente sia in regime laminare (soluzione di Blasius) che

in regime turbolento (soluzioni approssimate classiche per il flusso medio).

V.1.1 Caso laminare a Re∞ = 103

Una volta disegnato il modello CAD del dominio computazionale si passa il file in formato

“IGS” al grigliatore ICEM-CFD per il progetto di una griglia monoblocco. Fissato il numero

di Reynolds Re = 103 sappiamo che lo spessore di strato limite per lastra piana isobarica

infinita vale [39]

δ

x=

5.√Rex

(V.1)



in cui Rex = Re∞x/Lr. Per catturare lo strato limite e necessario infittire la griglia in

prossimita della parete seguendo le indicazioni che ci provengono dalla V.1.

(a) Vista complessiva (b) Vista particolare

Figura V.2: Griglia monoblocco su lastra piana

Nella fig. V.2 vengono riportate alcune viste della griglia monoblocco generata sulla lastra

piana con ICEM-CFD. Il numero di punti complessivo pari a (65×9×33 = 19305) permette

la gestione di due livelli di griglia. Si noti l’infittimento dei nodi sulla parete e al bordo

d’attacco luoghi rispettivamente di forti gradienti di velocita e di singolarita geometrica.

Le tab. V.1 e tab. V.2 contengono i principali parametri di input e le condizioni al

contorno utilizzati per il test.

Tavola V.1: Principali parametri di input per il test laminare sulastra piana isobarica.

α Re∞ Lr CFL ΩPPE εPPE Livelli di griglia stadi RK

0 1.0 · 103 1.0 0.1 0.1 0.05 2 4

La stima del grado di convergenza delle prove numeriche si effettua controllando l’evoluzione

del residuo delle equazioni del moto durante il processo iterativo. In questo lavoro vengono

presi in esame i residui dell’equazione di bilancio della quantita di moto, della pressure



Tavola V.2: Condizioni al contorno imposte sul dominio di calcolo

faccia (u, v, w, ν) p

inflow (1, 0, 0, 0) gradiente nullooutflow gradiente nullo gradiente nullofar-field (1, 0, 0, 0) gradiente nullo

symmetry simmetria simmetriaperiodic periodicita periodicita

solid wall (0, 0, 0, 0) gradiente nullo

Figura V.3: Storia di convergenza a Re∞ = 103 su griglia (65×9×33)

poisson equation e del bilancio di massa. Di questi tre residui quello della equazione di

continuita offre indicazioni piu affidabili sul grado di convergenza del processo di calcolo.

Cio risulta evidente anche dal diagramma di fig. V.3 in cui si nota come il residuo della

continuita (divV) diminuisca piu lentamente degli altri due.

La prova single grid, condotta su un PC Pentium 4 a 2 Ghz, richiede circa 0.15sec. ad

iterazioni e raggiunge una convergenza soddisfacente dopo 6000 iterazioni sulla griglia piu



fine senza per questo richiedere l’utilizzo di acceleratori della convergenza. La soluzione

numerica ottenuta restituisce uno spessore di strato limite molto prossimo a quello stimato

da Blasius per via analitica.

(a) Isocurve di u. (b) Isocurve di w.

(c) Isocurve di P

Figura V.4: Soluzione numerica per lastra piana isobarica a Re∞ =103 su griglia (65× 9× 33).

In fig. V.4 sono riportate le isocurve delle componenti “u” e “w” del campo di moto nu-



merico in una sezione longitudinale qualunque. 1 Si noti nella fig. V.4(a), come lo spessore

di strato limite numerico sia prossimo alla curva nera corrispondente al δ teorico di Blasius.

Le isocurve di pressione (fig. V.4(c)) mostrano una compressione della corrente in corrispon-

denza della discontinuita geometrica al bordo d’attacco seguita dalla zona a P ' 0 e da una

leggera espansione in prossimita del bordo d’uscita dovuta allo spessore di strato limite.

Una vista 3D dello sviluppo dello strato limite in scia viene proposto nelle figg. V.5(a)

e V.5(b).

(a) Componente u. (b) Componente w.

Figura V.5: Soluzione numerica per lastra piana isobarica a Re∞ =103 su griglia (65× 9× 33).

Il coefficiente d’attrito alla parete teorico ricavato da Blasius per il regime laminare vale [39]

Cf =0.664√

Rex

(V.2)

Questo viene confrontato con il Cf ricavato numericamente nella fig. V.6 dove si nota un

1Per simulare la lastra piana infinita si e imposta la condizione di parete periodica sulle facce lateralisicche il campo di moto, a carattere 2D, e lo stesso in tutte le sezioni longitudinali.



Figura V.6: Soluzione numerica per lastra piana isobarica a Re∞ =103 su griglia (65× 9× 33): Cf .

leggero scostamento dalla curva teorica che puo essere imputabile allo schema numerico

ovvero alla qualita della griglia di calcolo.

V.1.2 Caso turbolento a Re∞ = 1.0 · 106

Analogamente a quanto fatto per il caso laminare si effettua una stima preventiva dello

spessore di strato limite attraverso la legge

δ

x= 0.375 ·Re−1/5

x (V.3)

in modo da infittire in maniera opportuna la griglia in prossimita della parete. Osserviamo

che nel caso di simulazioni turbolente e possibile indagare sulla qualita della griglia attraverso

la grandezza adimensionale d+n definita dalla III.11



d+n =

uτ

νw

dn (V.4)

in cui dn e la distanza dalla parete solida. Dalla teoria della lastra piana in regime turbolento

[39] si ricava la legge

d+n = 0.172 ·

(dn

L

)·Re0.9

∞ (V.5)

Una stima della distanza minima della prima fila di nodi dalla lastra piana si ottiene ponendo

d+n = 1 e risolvendo la V.5 rispetto a dn/L. Nel nostro caso, per una buona risoluzione dello

strato limite turbolento, la prima fila di nodi deve trovarsi ad una distanza dn/L = 2.31·10−5

dalla parete solida. In base a queste considerazioni si e progettata la griglia mostrata in figura

che permette la gestione di due livelli di fittezza del dominio e conta (97× 9× 65 = 56745)

nodi. La parete solida conta 65 nodi (64 celle) con un evidente infittimento in prossimita

del bordo d’attacco.

Figura V.7: Griglia monoblocco su lastra piana per lo studio delflusso isobarico a Re∞ = 106.

Nel caso di dominio monoblocco e possibile applicare entrambi i modelli di turbolenza mon-



tati su SHIP3D–MB. Al fine di valutare le differenze fra i due modelli si e pensato di con-

frontare le soluzioni numeriche ottenute sulla stessa griglia computazionale avendo fissato

sia le condizioni del flusso asintotico che i parametri della prova. Le tabella V.3 indica i

parametri di input comuni alle due prove mentre le condizioni al contorno sono sempre quelle

riportate in tab. V.2.

Tavola V.3: Principali parametri di input per il test turbolento sulastra piana isobarica.

α Re∞ Lr xtr/Lr CFL ΩPPE εPPE Livelli di griglia stadi RK

0 1.0 · 106 1.0 0.05 0.1 0.1 0.05 2 4

Per il modello di Spalart Allmaras e stato necessario fissare altri due parametri: il numero di

Courant turbolento (CFLT = 0.1) ed il valore asintotico di ν∞ pari a 1.341946. L’andamento

dei residui (cfr.fig. V.8) dimostra che in entrambi i casi si e avuta una soluzione a convergenza.

Nota la soluzione e possibile indagare sulla qualita della griglia attraverso il diagramma di

fig. V.1.2 relativo al test con Baldwin-Lomax; come si pio notare la d+n si agira intorno al

valore unitario lungo tutta la parete solida.

Il confronto fra le isocurve di u in fig. V.10 mostra la buona rispondenza di entrambi i modelli

rispetto alla stima teorica del δ di strato limite V.3.

Una conferma della corretta implementazione dei modelli di turbolenza su SHIP3D–MB si

ha dall’andamento dei profili di velocita turbolenti adimensionali diagrammati in funzione

della d+n per diverse stazioni fissate lungo la lastra piana (fig. V.11).

Il diagramma, in scala logaritmica, mostra il confronto fra le curve analitiche

u+ = d+n nelviscous sublayer (V.6)

u+ =1

0.41ln d+

n + 5.0 nellog layer (V.7)



(a) Baldwin-Lomax.

(b) Spalart-Allmaras.

Figura V.8: Storia di convergenza a Re∞ = 106 su griglia (97× 9×65).



Figura V.9: Studio della qualita della griglia monoblocco (97 × 9 ×65).

(a) Baldwin-Lomax. (b) Spalart-Allmaras.

Figura V.10: Storia di convergenza a Re∞ = 106 su griglia (97× 9×65).

e le curve ricavate numericamente; queste ultime seguono dapprima la legge V.6 per poi

discostarsene all’aumentare della d+n e seguire la legge di parete . Fissata la stazione al 75%

della corda si sono diagrammati i profili di velocita turbolenta u/Ue ricavati numericamente



(a) Stazioni di controllo.

(b) Confronto tra soluzione analitica e numerica.

Figura V.11: Profili di velocita adimensionale a Re∞ = 106 su griglia(97× 9× 65).

con entrambi i modelli di turbolenza e come si puo osservare dalla fig. V.1.2 entrambi si

discostano poco dalla legge della potenza [39]

u

Ue

=

(dn

δ

)1/7

(V.8)



Figura V.12: Confronto fra i profili di velocita ricavati numeri-camente e la legge della potenza al 75% dellacorda.

Certamente la qualita della griglia influenza non poco la soluzione nello strato limite. Profili

di velocita turbolenti ottenuti numericamente con griglie piu fitte seguono meglio le curve

teorico-analitiche. Lo studio dell’influenza della griglia di calcolo e riportato in fig. V.13(a)

per soluzione con modello di Baldwin-Lomax ed in fig. V.13(b) per soluzione con modello di

Spalart-Allmaras.

Utilizzando la griglia piu fine si nota un accordo migliore fra soluzione numerica e legge

analitica sia con l’uno che con l’altro modello di turbolenza. Va detto comunque che le due

formulazioni danno origine a una distribuzione di eddy viscosity sostanzialmente diversa.

Con Baldwin-Lomax si nota una certa discontinuita della νt nel passaggio da parete solida

a scia (vedi fig. V.14(a) intorno al punto x/L = 1.0); al contrario con Spalart-Allmaras

non si notano discontinuita (fig. V.14(b)) e la νt si propaga uniformemente in tutta la scia

(fig. V.14(b)).

Nei diagrammi di fig. V.14 e tracciato in nero l’andamento teorico dello spessore di strato

limite turbolento; il modello di Baldwin-Lomax sembrerebbe produrre piu turbolenza di

quello di Spalart-Allmaras e cio spiegherebbe la differenza fra le stime di spessore di strato



(a) Baldwin-Lomax.

(b) Spalart-Allmaras.

Figura V.13: Studio della dipendenza della soluzione numerica dallagriglia di calcolo a Re∞ = 106.

limite visibile in fig. V.10. Questa osservazione sembra confermata dagli andamenti di νt in

direzione normale alla parete solida alla stazione x/L = 0.75 (cfr.fig. V.1.2).

Osserviamo che nel flusso reale a Re∞ = 1.0 ·106 su lastra piana c’e poca “turbolenza” il che

mette in crisi i modelli con equazioni del trasporto. Considerando che tali equazioni sono

risolte in maniera disaccoppiata dalle NS, quindi al di fuori del ciclo della Runge-Kutta e



(a) Baldwin-Lomax. (b) Spalart-Allmaras.

Figura V.14: Isocurve della viscosita totale νt lungo la lastra pianaa Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65).

Figura V.15: Confronto fra gli andamenti della viscosita totale νt al75% della corda.

con un metodo di integrazione nel tempo di tipo Euleriano, la poca “turbolenza” del flusso

sembra causare un ritardo nell’aggiornamento della eddy viscosity rispetto a quello delle

variabili fluidodinamiche. In pratica tali modelli “stentano a produrre turbolenza”.

Analogamente a quanto fatto per il caso laminare si puo confrontare il Cf stimato numeri-



Figura V.16: Confronto fra curve numeriche e teoriche del Cf lungola lastra piana a Re∞ = 106 su griglia (97× 9× 65).

camente con l’andamento teorico ricavato da Prandtl (legge di parete) [39]

Cf = 0.0576 ·Rex−1/5 (V.9)

Nel primo tratto, come ci si aspettava, in prossimita del bordo d’attacco si osserva un

andamento laminare analogo a quello di Blasius (a pari numero di Reynolds). Superata

l’ascissa di transizione a regime turbolento (xtr/L = 0.05), il Cf numerico si approssima

gradualmente alla curva teorica di Prandtl (cfr.fig. V.1.2). Limitatamente al caso in esame il

modello di Baldwin-Lomax restituisce valori di Cf piu elevati e piu prossimi a quelli teorici

di quanto non faccia quello di Spalart-Allmaras. Cio avvalora l’ipotesi a cui si accennava

poc’anzi secondo la quale i modelli con equazioni di trasporto di grandezze “turbolente”

producono poca turbolenza nel caso di lastra piana a Re∞ = 1.0 · 106.

In definitiva le prove su lastra piana isobarica sono state utili per la “calibrazione” di


V.2 Petroliera HSVA V–18

SHIP3D–MB ; inoltre, grazie alla disponibilita di soluzioni certe, la correzione degli errori di

implementazione e risultata sicuramente piu agevole e veloce.

V.2 Petroliera HSVA

Lo studio del campo di moto intorno alla carena HSVA viene considerato dagli addetti ai

lavori una tappa obbligata per chi si cimenta con le simulazioni numeriche in campo navale.

Si tratta di un caso ampiamente studiato non solo in vasca ma anche con metodi CFD. In

effetti tale carena nasce proprio come test universale per applicazioni scientifiche e non viene

impiegata per la navigazione vera e propria.

Sfruttando la simmetria della geometria rispetto al piano longitudinale e possibile organizzare

il dominio di calcolo come mostrato in fig. V.17. Quindi si processa solo meta carena con un

notevole risparmio di risorse computazionali. La parete di inflow dista Lr dalla prua mentre

Figura V.17: Topologia monoblocco e condizioni al contorno utiliz-zate per lo studio del campo di moto intorno alla carenaHSVA.



l’outflow e posto a 3Lr dalla poppa. Il campo lontano (far–field) e collocato a 2Lr dalla

chiglia e dalla fiancata. Vengono considerate pareti di simmetria sia la sezione longitudinale

che divide in due l’imbarcazione che la superficie che individua il piano d’acqua.

V.2.1 Caso turbolento a Re∞ = 5 · 106

La superficie di questa geometria e stata generata utilizzando il CAD Think3 Design a partire

dal file contenente la una nuvola di punti che definisce le sezioni di carena. La ricostruzione

e avvenuta con l’ausilio di entita superficiali dette “nurbs”. Il file “iges” contenente la carena

ricostruita al computer e stato passato al grigliatore ICEM–CFD per la generazione di una

griglia monoblocco adatta a simulare un flusso turbolento a Re∞ = 5 · 106. Questo significa

avere una certa risoluzione di griglia sia nello strato limite che in prossimita della prua o

della poppa ove e presente una forte salto della curvatura geometrica.

(a) Vista lato-prua (b) Vista lato-poppa

Figura V.18: Carena HSVA: griglia di calcolo monoblocco.

Una volta stabilito il numero di punti lungo ciascuna direzione coordinata e la legge di

spaziatura si genera il grigliato che spesso va controllato per evitare irregolarita, discontinuita

ecc. Anche se il grigliatore mette a disposizione un certo numero di controlli per la qualita

della mesh solo la simulazione vera e propria puo dirci se abbiamo fatto o meno un buon



(a) Sezione subito a valle della poppa (b) Vista particolare della zona di griglia degenere

Figura V.19: Carena HSVA: vista parziale della zona di grigliadegenere.

lavoro di discretizzazione. Trattandosi di un processo lungo e delicato quasi mai si ottiene

una griglia soddisfacente al primo tentativo. Piuttosto accade di frequente che il feedback

continuo tra grigliatore e solutore numerico richieda una gran quantita di ore lavorative.

Tavola V.4: Condizioni al contorno per la carena HSVA.


inflow (1, 0, 0, 0) gradiente nullooutflow gradiente nullo gradiente nullofar-field (1, 0, 0, 0) gradiente nullo

symmetry simmetria simmetriasolid wall (0, 0, 0, 0) gradiente nullo

La griglia di calcolo monoblocco finale utilizzata per questa simulazione conta (53 × 17 ×

65 = 58565) grid points rispettivamente in direzione longitudinale, trasversale e normale alla

carena ed e mostrata nelle figg. V.18.

L’altezza della prima fila di celle oscilla intorno al valore medio 10−5. In effetti utilizzando

la relazione V.5 si ricava che per un Re∞ = 5 · 106 sarebbe stato piu opportuno avere un



Tavola V.5: Principali parametri di input per il test sulla carenaHSVA monoblocco.

α Re∞ Lr xtr/Lr CFL ΩPPE εPPE CFLT ν∞ Livelli di griglia stadi RK

0 1.0 · 106 1.0 0.05 0.1 0.1 0.05 0.1 1.341946 2 4

valore di dn/L di 5.44 · 10−6.

Tuttavia l’utilizzo di una topologia monoblocco come quella mostrata in fig. V.17 comporta

un classico inconveniente riportato anche da altri autori [8]: la degenerazione della topologia

delle celle sulla linea di chiglia laddove finisce la carena e comincia la scia (fig V.19).

Quando la finezza della griglia in questa zona e molto alta, e cio accade quando si cerca

una buona risoluzione dello strato limite turbolento, il codice restituisce Jacobiano nullo per

cui non e possibile effettuare alcuna simulazione. Di conseguenza oltre un certo valore di

dn/L non si puo andare. Da queste ed altre considerazioni deriva la scelta di chiudere le

equazioni RANS utilizzando il modello di Spalart-Allmaras grazie alla sua caratteristica di

Figura V.20: Andamento dei residui per il test turbolento intornoalla carena HSVA.



(a) Isocurve di u. (b) Isocurve di v sul piano d’acqua.

(c) Isocurve di w sul piano di simmetria.

Figura V.21: Carena HSVA: campo di moto intorno a Re∞ = 5.0·106

su griglia (53× 17× 65).

non richiedere griglie particolarmente fitte in prossimita della parete solida. Al contrario nel

modello di Baldwin-Lomax si ricorre a quantita che dipendono fortemente dalla qualita della

griglia nello strato limite.

Anche il settaggio dei parametri legati allo schema numerico e la scelta delle opportune con-

dizioni al contorno (cfr.tab. V.4) richiedono un certo numero di tentativi prima di raggiungere



un buon compromesso fra grado di convergenza e qualita della soluzione.

L’input definitivo, riportato in tab. V.5, ha permesso un buon grado di convergenza del

processo iterativo(cfr.fig V.20).

La visualizzazione del campo di moto si puo realizzare tracciando le isocurve delle compo-

nenti di velocita (u, v, w) come in fig. V.21. La componente u (cfr.fig. V.21(a)) consente di

apprezzare lo sviluppo dello strato limite e della scia lungo lo scafo; la componente v sul

piano d’acqua (cfr.fig. V.21(b)) mostra le deviazioni del flusso intorno alla prua e alla poppa,

mentre la componente w indica le stesse deviazioni lungo la linea di chiglia (cfr.fig. V.21(c)).

Il modello di Spalart-Allmaras, come gia detto non presenta discontinuita nella distribuzione

della eddy viscosity tra la zona poppiera e la zona di scia per cui il processo di calcolo iterativo

risulta piu stabile di quanto non accada con Baldwin-Lomax(cfr.fig. V.22).

(a) Vista complessiva (b) Vista particolare

Figura V.22: Carena HSVA: distribuzione della νt a Re∞ = 5.0 · 106

su griglia (53× 17× 65).

Nella fig. V.23 viene mostrato un ingrandimento della zona poppiera in cui si puo osservare

lo sviluppo delle grandezze u e νt su alcuni piani di sezione longitudinale praticati a x/L =

0.7, 0.8, 0.976.

Particolarmente interessanti sono le isomappe di u presentate in fig. V.24. Nella sezione

x/L = 0.8 si comincia a notare la distorsione del campo di moto che porta alla tipica



(a) Isocurve di u (b) Isocurve di totalviscosity

Figura V.23: Carena HSVA: particolare della zona poppiera.

configurazione ad uncino ricavata sperimentalmente. Purtroppo non si e riusciti ad entrare

in possesso di un ets di dati sperimentali per cui vengono presentati solo i risultati numerici.

Tuttavia si e potuto appurare, sfogliando numerosi lavori numerico-sperimentali, che le stime

numeriche presentate sono qualitativamente interessanti. Inoltre i test-cases condotti sulla

lastra piana fanno ben sperare nella buona riuscita delle prove sulle carene.

D’altronde prova della buona capacita di previsione delle caratteristiche del flusso da parte

di SHIP3D–MB si ha osservando il campo di vorticita ed il vector plot in prossimita del

disco dell’elica presentati in fig. V.25: la simulazione numerica ha “catturato” il bilge vortex.

Il diagramma di fig. V.26 riporta l’andamento del coefficiente di pressione Cp lungo la linea di

galleggiamento e lungo la chiglia dell’imbarcazione. Sembrerebbe in base ai risultati concordi

di altri autori che il Cp sia sottostimato forse a causa di una non grigliatura, come detto, non

ottimale. Alcune prove da me condotte su griglie meno fitte hanno evidenziato una chiara

tendenza del Cp verso valori numerico-sperimentali di altri lavori allorche si infittiscono le

zone dello strato limite e della scia.

Sicuramente l’utilizzo di griglie piu fitte migliorerebbe la qualita della soluzione ma i

limiti delle discretizzazioni monoblocco non lo permettono. Si puo aggirare parzialmente



(a) Sezione x/L = 0.8 (b) Sezione x/L = 0.976

(c) Sezione x/L = 1.005

Figura V.24: Carena HSVA : velocita assiale u.

il problema utilizzando modelli di turbolenza che non richiedono griglie molto fini (vedi

Spalart-Allmaras). Ma si tratta solo di un espediente in quanto come abbiamo appurato in

questo paragrafo la soluzione, pur avendo raggiunto una convergenza accettabile, restituisce

risultati approssimativi.

L’alternativa e rappresentata dalle griglie multiblocco con una raffinatezza della griglia

molto piu spinta e di conseguenza soluzioni molto piu accurate.



Figura V.25: Carena HSVA: mappa a colori della vorticita evisualizzazione del vortice ad x/L = 0.975.



Figura V.26: Carena HSVA: coefficiente di pressione Cp a Re∞ =5.0 · 106 su griglia (53× 17× 65).


V.3 Petroliera DYNE V–28

V.3 Petroliera DYNE

L’entusiasmo suscitato dai metodi numerici in campo navale all’inizio degli anni ′90 indusse

molte organizzazioni del settore ad organizzare convegni che avessero come tema lo studio del

campo di moto intorno a carene “tipo” quali l’HSVA e la DYNE come nel famoso Workshop

tenutosi a Goteborg nel 1990 [31]. Nota inizialmente con l’appellativo di “mystery case” deve

il suo nome definitivo ad Albert Dyne il quale suggerı alcune modifiche alla geometria della

zona poppiera dell’HSVA. Quindi la DYNE e una carena HSVA modificata accentuando la

curvatura della poppa in modo da ottenere una coppia di bilge vortices piu intensi di quelli

generati dalla precedente geometria. L’obiettivo era quello di verificare la rispondenza dei

metodi CFD nel catturare piccole variazioni delle caratteristiche del flusso conseguenti ad

altrettanto piccole modifiche della curvatura in prossimita del disco dell’elica.

Figura V.27: Topologia monoblocco e condizioni al contorno utiliz-zate per lo studio del campo di moto intorno alla carenaDYNE.

Anche in questo caso si “gioca” sulla simmetria della carena rispetto al piano longitudinale



ed in piu se ne processa solo la meta poppiera come mostrato in fig. V.27.

La parete di inflow contiene i bordi della sezione di mezzeria mentre l’outflow ed il far–

field sono posizionati entrambi a 1\ 2 ·Lr dalla superficie solida. Vengono considerate pareti

di simmetria sia la sezione longitudinale che divide in due l’imbarcazione che la superficie

che individua il piano d’acqua.

V.3.1 Caso turbolento a Re∞ = 1.0 · 107

Per questa geometria si disponeva di un file contente una nuvola di punti messa a disposizione

dal CETENA (Centro di Tecnica Navale) di Genova. Dopo una laboriosa ricostruzione

CAD si riusciva ad ottenere la superficie che sarebbe stata successivamente processata dal

grigliatore. Dopo numerosi tentativi si otteneva una griglia monoblocco in grado di soddisfare

le nostre esigenze. Costituita da (65 × 17 × 33 = 36465) grid points rispettivamente in

direzione longitudinale, trasversale e normale alla carena, presenta un’altezza media della

prima fila di celle di circa 10−5.

(a) Complessivo (b) Particolare

Figura V.28: Carena DYNE: griglia di calcolo monoblocco.

L’esperienza fatta con l’HSVA e stata fondamentale per la messa a punto di questa griglia che,

pur soffrendo dei limiti imposti dalle topologie monoblocco si e rivelata migliore di quanto



ci aspettassimo. In effetti si e cercato di rendere il piu regolare possibile la distribuzione

dei nodi sia in prossimita dello strato limite che nella zona di discontinuita della curvatura

tra la fine della carena e l’inizio della scia. Successivamente si e effettuato uno smoothing

mirato dei nodi nelle zone critiche considerando come parametro di qualita il determinante

del sistema di equazioni che ICEM–CFD utilizza per la generazione del grigliato.

Tavola V.6: Principali parametri di input per il test sulla carenaDYNE monoblocco.

α Re∞ Lr xtr/Lr CFL ΩPPE εPPE CFLT ν∞ Livelli di griglia stadi RK

0 1.0 · 107 1.0 0.05 0.1 0.1 0.05 0.1 1.341946 2 4

Nelle tabb. V.6 e V.7 sono riportati i valori di input e le condizioni al contorno utilizzati

per questa prova; il relativo processo di calcolo ha raggiunto un buon grado di convergenza

(cfr.fig.V.29).

Tavola V.7: Condizioni al contorno per la carena DYNE.


inflow (1, 0, 0, 0) gradiente nullooutflow gradiente nullo gradiente nullofar-field gradiente nullo gradiente nullo

symmetry simmetria simmetriasolid wall (0, 0, 0, 0) gradiente nullo

Il campo di moto ricavato numericamente e visibile in fig. V.30 attraverso le isocurve delle

tre componenti di velocita (u, v, w).

La visualizzazione del campo di moto risulta piu immediata se ad ogni nodo viene associato

un vettore di componenti (u, v, w) che assume un colore diverso a seconda dell’intensita della

velocita locale. Tale tecnica, nota con il nome di vector plot, permette di seguire ad esempio

come curva il flusso nella zona poppiera (cfr.fig. V.31).



Figura V.29: Andamento dei residui per il test turbolento intornoalla carena DYNE.

In base ad alcuni confronti da me effettuati manualmente con i dati cartacei di alcuni lavori

(cfr. ??, ??), sembra che la stima del coefficiente di pressione Cp della Dyne sia piu accurato

di quanto non accada per l’HSVA (cfr.fig. V.32(b)). In fig. V.32(a) viene anche riportato

un contour plot del Cp sulla superficie di carena. La zona poppiera, com ci si attendeva, e

caratterizzata da una prima espansione del flusso seguita da una ricompressione man mano

che ci si avvicina alla scia.

Anche il Cf (cfr.fig. V.33) mostra il tipico andamento riportato sia nei lavori del Workshop

di Tokio [25] che nel lavoro di Sotiropoulos [40].

Come e consuetudine in campo navale si riportano in fig. V.34 le isocurve di velocita longi-

tudinale in alcune sezioni in prossimita del disco dell’elica. Anche in questo caso come per

l’HSVA si osserva per x/L = 1.005 la tipica distorsione del campo di moto causa del vortice

in poppa.

Tale fenomeno che si genera a causa della forte variazione della curvatura in prossimita della

poppa, si deve all’incontro dei flussi che provengono dalla zona alta e dalla zona bassa della

carena.



(a) Isocurve di u. (b) Isocurve di v sul piano d’acqua.

(c) Isocurve di w sul piano di simmetria.

Figura V.30: Carena DYNE: campo di moto a Re∞ = 1.0 · 107 sugriglia (65× 17× 33).

La particolare conformazione della geometria della DYNE favorisce la formazione del bilge

vortex che viene regolarmente previsto dalle simulazioni numeriche effettuate con SHIP3D–

MB (cfr.fig. V.35).



Figura V.31: Carena DYNE: visualizzazione del campo di motoattraverso un vector-plot.

(a) Isocurve di Cp sulla carena (b) Andamento del Cp lungo la carena

Figura V.32: Carena DYNE: coefficiente di pressione Cp a Re∞ =1.0 · 107 su griglia (65× 17× 33).



Figura V.33: Carena DYNE: coefficiente di attrito alla parete Cf aRe∞ = 1.0 · 107 su griglia (65× 17× 33)..



(a) Sezione x/L = 0.8 (b) Sezione x/L = 0.976

(c) Sezione x/L = 1.005

Figura V.34: Carena DYNE : velocita assiale u.



Figura V.35: Carena DYNE: mappa a colori della velocita assiale evisualizzazione del vortice ad x/L = 1.005.


V.4 Primi tentativi con griglie multiblocco V–37

V.4 Primi tentativi con griglie multiblocco

Come abbiamo visto nel precedente paragrafo l’utilizzo di griglie monoblocco, soprattutto se

si adotta uno schema alle differenze finite, vincola fortemente la qualita della grigliatura. Un

modo per avere griglie piu fitte e quindi piu adatte a simulare il problema in esame consiste

nell’adottare una suddivisione del dominio di calcolo in piu blocchi in ognuno dei quali si

progetta una griglia strutturata. In questo modo le zone geometricamente piu difficili da

modellare vengono suddivise in zone dalla geometria piu elementari e per questo piu semplici

da discretizzare.

Chiaramente i tempi di generazione di una mesh del genere sono piu elevati rispetto alla

topologia monoblocco ma i vantaggi sono notevoli. Inoltre e possibile accoppiare al concetto

del multiblock l’idea di “approccio zonale” secondo cui, nel processo di risoluzione delle

equazioni di Navier-Stokes, si applicano modelli matematici differenti in blocchi posizionati in

zone del campo di moto aventi caratteristiche del flusso distinte (euleriano, viscoso laminare

o turbolento, ecc.). In questo modo si ha un notevole risparmio di risorse informatiche in

quanto si raffina il calcolo solo dove e necessario. Nei paragrafi successivi vengono presentate

due prove numeriche effettuate con griglie multiblocco. Osserviamo che si tratta di tests

preliminari e che solo nel caso di lastra piana si ha una buona convergenza. Al contrario per

la carena HSVA non si e riusciti ad ottenere una convergenza accettabile; sara sicuramente

necessario apportare altre correzioni allo schema di interscambio delle informazioni fra le

diverse facce dei blocchi.

V.4.1 Lastra piana a Re∞ = 1.0 · 106 con griglia multiblocco

Un buon test di partenza per la verifica di qualsiasi schema numerico e rappresentato dal flus-

so su lastra piana isobarica. La topologia che si e pensato di impiegare per questa prova vede

l’impiego di 4 blocchi disposti in modo da verificare la rispondenza dello schema multiblocco

implementato su SHIP3D-MB. I dati di input sono gli stessi di quelli utilizzati per il caso

monoblocco (cfr.tab. V.3) cosı come la griglia multiblocco ricavata da quella monoblocco sud-



dividendola in 4 parti (cfr.fig. V.36). In sostanza il dominio risulta discretizzato esattamente

come il caso single-block.

Figura V.36: Lastra piana: griglia di calcolo multiblocco.

La prova ha raggiunto un buon grado di convergenza anche nel caso multiblocco (cfr.fig. V.37)

sul livello di griglia piu fine.

In fig. V.38 viene fornita una vista 3D del campo di u e di quello di νt sulla latra piana; si

noti il raccordo fra le isocurve nel passaggio attraverso l’interfaccia fra i blocchi.

Una vista della sezione longitudinale mostra nel dettaglio la continuita delle isocurve di u e

νt all’interfaccia fra i blocchi.

In base ai risultati ottenuti, nel caso in esame, lo schema multiblocco sembra funzionare

correttamente.



Figura V.37: Andamento dei residui per il test turbolento su lastrapiana isobarica con griglia multiblocco.

(a) Isocurve di u (b) Isocurve di νt

Figura V.38: Lastra piana: vista 3D del campo di motoall’interfaccia fra i blocchi.



(a) Isocurve di u

(b) Isocurve di νt

Figura V.39: Lastra piana: vista 3D del campo di motoall’interfaccia fra i blocchi.



V.4.2 Carena HSVA a Re∞ = 5.0 · 106 con griglia multiblocco

Questa prova ha lo scopo di verificare il passaggio delle informazioni fra i blocchi nel caso di

superfici curve e non piane come nel caso precedente. Il dominio di calcolo viene suddiviso

in 11 blocchi come mostrato in fig. V.40.

Figura V.40: Carena HSVA: griglia di calcolo multiblocco.

Purtroppo in questo caso non si e ottenuta una soluzione a convergenza per cui il campo

di moto riportato in fig. V.41 serve solo a dare indicazioni su come intervenire per per-

fezionare lo schema multiblocco implementato nel codice. Benche il campo di moto non sia

numericamente sviluppato si nota una certa continuita delle isocurve di u e v tra blocchi

adiacenti.

Ispezionando i valori delle grandezze fluidodinamiche scambiate fra i diversi domini sembra

che la procedura non tenga conto della curvatura delle linee di griglia. Ulteriori verifiche

saranno condotte in tal senso per correggere eventuali errori concettuali e/o di implemen-

tazione.



(a) Isocurve di u

(b) Isocurve di v

Figura V.41: Carena HSVA: vista 3D del campo di motoall’interfaccia fra i blocchi.


Conclusioni

L’obiettivo primario di questa tesi e stato quello di effettuare con successo, presso il DIN

dell’Universita di Napoli, le prime simulazioni numeriche di flussi navali complessi. Queste

sono state condotte grazie alla costruzione di un solutore numerico dimostratosi efficace sia

in termini di qualita della soluzione che per tempi di calcolo risultati relativamente contenuti

con i normali personal computers a nostra disposizione. La convalida del codice attraverso

confronti con soluzioni analitiche note e stata soddisfacente. Non ci si e limitati all’implemen-

tazione di un semplice modello algebrico ma si e voluta raffinare l’analisi numerica applicando

un modello di turbolenza, molto apprezzato in campo aeronautico, che prevede la risoluzione

di un’ulteriore equazione di bilancio. A tal proposito, mentre il modello di Baldwin-Lomax

ha dato buoni risultati per flussi con bassa “produzione di turbolenza” (lastra piana isobarica

a Re∞ = 1.0 · 106), il modello ad una equazione di Spalart-Allmaras e riuscito a “catturare”

separazioni e vortici di flussi fortemente turbolenti intorno a geometrie largamente studiate

come l’HSVA e la DYNE. Non si esclude che miglioramenti nelle stime numeriche possano

aversi con l’implementazione di modelli con piu equazioni di trasporto (κ− ε, κ− ω). Tut-

tavia l’esperienza in campo aeronautico ha dimostrato significativi incrementi di prestazione

solo con la “nuova” generazioni di modelli EASM.

L’accuratezza delle stime numeriche e comunque legata anche alla topologia delle griglie

di calcolo. Se da un lato le griglie monoblocco sono piu facili da progettare e da ispezionare

dall’altro, come si e potuto constatare, limitano fortemente la qualita della discretizzazione

del dominio computazionale. Le topologie multiblocco superano questo problema ma ne in-

troducono un’altro: lo scambio delle informazioni fra blocchi adiacenti. Nelle fasi conclusive

Conclusioni–1

Conclusioni–2

di questo lavoro si e gia implementata una procedura di scambio delle grandezze fluidodi-

namiche. In tal senso un futuro lavoro di ricerca oltre a perfezionare l’aspetto multiblocco

di SHIP3D–MB potrebbe prevedere l’impiego di un modello matematico per la risoluzione

della superficie libera intorno alla nave in moto.

F. Capizzano

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F. Capizzano

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Tesi di Dottorato - din.unina.it dottorato/Francesco_Capizzano.pdf · Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Dipartimento di Ingegneria Navale Tesi di Dottorato di Ricerca